Слова и смыслы. Мировоззрение и картина мира: ассоциативный словарь

Числа

Мне было немногим более пяти лет. Может быть, пять с половиной. Я заболел ангиной, да такой сильной, что меня уложили в больницу, где я отлежал – в инфекционном отделении – недели две. Каждый день в палату приходила уборщица и проводила влажную уборку. Протирая все поверхности раствором хлорки, она со мной разговаривала – о том о сём. Поскольку у меня были книжки и я их сам читал, что показалось ей удивительным для такого возраста, он спросила: «Может, ты и считать умеешь?» Я ответил утвердительно. А она уточнила: «До скольки?» Вопрос вполне разумный, потому что маленькие дети обучаются считать до трех, потом – до десяти, а остальное уже обычно в школе. А я уже знал, что ряд чисел бесконечен и мог считать «сколько угодно». Так и ответил. Уборщица не поверила и сказала: «А ну, давай, считай». Я и завелся: «Один-два-три-четыре-пять…» Уборщица делала свое дело, а я громким голосом декламировал на всю палату: «Сто восемьдесят два, сто восемьдесят три…»

Где-то после «трехсот с чем-то» она работу завершила и ушла. Ну и я умолк. А эпизод остался в памяти.

Умение считать дает нам не только необходимый навык, но и формирует то, что я образно назову архитектурой нашего сознания и подсознания, нашего логического аппарата. Внутренние зрительные образы ряда чисел помогают запоминать и даты, и назначенное время в течение дня, и расходование денег, и свою жизнь в виде последовательности возрастов и многое другое. Со счетом, числами и цифрами связано очень многое.

Числа и цифры – быть может, уместно напомнить, в чем отличие? Напомню. Цифра – это знак, которым обозначают числа: от 0 до 9 числа и цифры совпадают, а вот далее – уже нет. Число 10 записано с помощью двух цифр: 1 и 0, число 1950 – с помощью четырех цифр: 1, 9, 5 и 0.

Напомню также, что существуют разные способы записи чисел. 1, 2, 3 и т. д. – это так называемые арабские цифры, которыми пользуемся мы, а также остальные европейские и американские народы. Иногда мы пользуемся римскими цифрами: I, II, III, IV, V, VI и так далее, узнавая в привычных обозначениях веков и дат и римское «десять»: Х, и римское «пятьдесят»: L, и римское «сто»: C, и римское «пятьсот»: D, и «тысячу»: M. Последние буквы встречаются чаще всего в помпезных сооружениях, на фронтонах которых авторы-архитекторы вписывают дату постройки, например: MCMXLIX, что означает 1949.

И если история римских цифр известна и никакой особой интриги в себе не несет, то история возникновения и проникновения арабских цифр в европейскую культуру на самом деле доподлинно неизвестна. Существует, однако, версия, настолько давно и безапелляционно представляемая как научно-достоверная и единственно верная, что знать ее следует. Вот она.

Жил да был некто Герберт, родившийся в 946 году во Франции, в городе Аврилаке. С молодости он стал монахом монастыря Святого Герольда. Когда ему было всего двадцать лет, монастырь посетил граф Боррель II из Барселоны и попросил дать ему кого-нибудь из смышленых монахов для обучения в Испании. Почему в Испании можно было чему-нибудь обучиться? Потому что половина теперешней Испании была Арабским халифатом, уровень развития наук в котором намного превосходил европейский.

Вскоре Герберт оказался в городе Вик, куда были привезены из Кордовы арабские документы и книги. Герберт стал их изучать, постиг математику, астрономию и арабский способ записи чисел.

Так на долю Герберта выпала честь стать тем европейцем, который не только изучил арабские цифры и научился с их помощью производить арифметические действия, но и оценил преимущество арабских чисел перед распространенными в Европе римскими. Поскольку впоследствии Герберт, обретя сперва известность своей ученостью и благочестием, получил приставку к имени: Герберт Аврилакский, – а потом сподобился стать 139-м папой Римским Сильвестром II, он поспособствовал широкому распространению арабских цифр по всей Европе. Ну, а после перевода в XII веке на латынь книги Аль-Хорезми «Об индийском счете» арабские цифры и, что гораздо важнее, десятеричная система счисления получили окончательное распространение в Европе.

В арабских текстах, которыми пользовался Герберт, цифры назывались индийскими и писались не так, как мы их пишем сейчас, а так, как их пишут арабы до сих пор. Возникает вопрос о трансформации арабских цифр, существовавших в арабских рукописях и книгах, в «наши арабские» 1, 2, 3. Говорят, что трансформация цифр из исторически-арабских в европейско-арабские проходила как-то постепенно… Предложены рисунки, показывающие как именно постепенно исходные арабские цифры трансформировались в современные 1, 2, 3 и так далее цифры. Почему, как и когда это происходило, высказано немало гипотез, но ни одна из них не выглядит окончательно убедительной. Но такова официальная история арабских цифр в европейской культуре. Скорее всего, она содержит неточности, над устранением которых продолжает работать вполне живая наука – история математики.

В истории математики рассказывается о том, что кроме названных арабских и римских цифр, существовали и многие другие графические виды чисел, выработанные в разных цивилизациях: древнеегипетской, шумеро-вавилонской, китайской, цивилизации майя и других. Помимо различного начертания чисел, сформировались и различные системы счисления, то есть методы записи больших чисел: позиционные, в которых значение символа числа зависит от его местонахождения, а также непозиционные и смешанные. Кроме того, системы счисления отличались от того, какой ряд чисел положен в ее основание: пятеричная, десятеричная, шестидесятиричная, алфавитная и т. д.

Сохранились и остаются поныне вполне понятными греческие и славянские рукописи, в которых подробно описаны и широко используются цифры и построенные на их основе числа. Графически числами были буквы алфавита, отмеченные дополнительными знаками. Кроме кириллической и греческой письменностей, существовали и рунические письмена, в которых также имеются прообразы современных цифр и тоже можно изобразить ряд их графических метаморфоз.

Не забудем, что и сейчас абсолютное большинство людей на земле пользуются вовсе не привычными нашими арабскими цифрами, а своими собственными крючочками, загогулинами и иероглифами: это Китай, Индия, Япония, Таиланд и все прочие азиатские страны со своими языками и письменностями. Хотя, несомненно, влияние нашей цивилизации и нашего способа записи чисел огромно настолько, что во всех странах наряду со своими цифрами изучают и знают наши арабские 1, 2, 3…

И последнее… Название раздела – «Числа» – совпадает с заглавием Четвертой книги Пятикнижия Моисеева из собрания текстов, известного всему миру под названием «Библия». Начинается эта книга со слов:

1. И сказал Господь Моисею в пустыне Синайской, в скинии собрания, в первый день второго месяца, во второй год по выходе их из земли Египетской, говоря:

2. исчислите все общество сынов Израилевых по родам их, по семействам их, по числу имен, всех мужеского пола поголовно:

3. от двадцати лет и выше, всех годных для войны у Израиля, по ополчениям их исчислите их – ты и Аарон;

4. с вами должны быть из каждого колена по одному человеку, который в роде своем есть главный.

5. И вот имена мужей, которые будут с вами: от Рувима Елицур, сын Шедеура;

6. от Симеона Шелумиил, сын Цуришаддая;

7. от Иуды Наассон, сын Аминадава;

8. от Иссахара Нафанаил, сын Цуара;

9. от Завулона Елиав, сын Хелона…

И так далее… Первая часть книги, в сущности, расширенный мобилизационный список, приближающийся по своему содержанию к переписи населения. По этой причине в греческом переводе эта книга и была названа «Арифмои», что, как нетрудно догадаться, было переведено на славянский язык как «Числа». В еврейском же тексте эта книга называется «Бемидба», что означает «В пустыне», потому что в ней ведется рассказ о пребывании евреев под предводительством Моисея в пустыне.

Я упомянул тут Библию в связи с совпадением заглавий и желанием снизить пафос возможной аналогии или ассоциации: наша глава «Числа» вполне прозаичная, приземлённая и не претендует на сакральность. Ну, а кого интересуют сакральность и мистичность ветхозаветных текстов – тому в «Каббалу», в увлекательный мир интеллектуальных игр, рассматривающих эти тексты как мистические шифры, тайные коды мироздания, в попытках разгадать которые и проводят свои самые напряженные и самые счастливые минуты, дни и годы каббалисты. Но я постараюсь удержаться от соблазна наполнения главок про числа их толкованиями из Каббалы, нумерологии, гаданий на картах Таро и прочих сфер мне не близких, то есть не сформировавших в моем ассоциативном мире устойчивых образов и связей. Одно добавлю: гематрия – это сумма числовых значений входящих в слово букв. Слово греческое, но метод применяется также и в иудейской каббале для анализа текстов на иврите и арамейском языке. Как это работает, посмотрим на примере анализа моего имени. Сперва надо его «ивритизировать»: Сергей = סרגיי (это можно проделать с любым именем, есть онлайн-ресурсы в Интернете). Буквы (справа налево) называются: Самех, Реш, Гимель, Йуд. Полная гематрия этого имени равна 273 (60 + 200 + 3 + 10 = 273). Сокращенная гематрия равна 3 (2 + 7 + 3 = 12; 1 + 2 = 3). Людям с именами, имеющими гематрию 3, соответствуют следующие характеристики: «Творчество. Любят людей и общество, большие сборища и множество людей. Контактные, обладающие чувством юмора. Иногда немного неожиданные и ребячливые. Оптимисты». Эти или подобные характеристики можно прочитать в книгах по каббале.

Вернусь, однако, в наш обычный мир…

Число это придумали гораздо позднее всех прочих. Но начнем с него – с нуля.

Когда возникла практическая надобность обозначать числом то, чего нет? Или иначе, потребность считать пустоту? Кажется, что в обычной жизни совершенно не нужен «ноль». «Один-два-три…» – это понятно, это нужно. Пришло, однако, время, когда понадобился и ноль.

Вероятная история возникновения числа «ноль» может быть изложена примерно так.

Люди повсеместно пришли к изобретению счета: одни племена сделали это раньше, другие – позднее, но в конце концов все выработали свои способы подсчета, свои слова для обозначения количеств, свои символы и способы их фиксации. Сперва это были предметы – пальцы, камешки, ракушки, – потом придумали письменные знаки.

Интересно, что числа далеко не сразу стали просто числами. То есть сначала для подсчета, скажем, людей были одни слова, а для подсчета животных – другие. Постепенно у всех народов формировалось абстрактное мышление и появились собственно числа: равные количества – «три стрелы» и «три барана» – стали обозначать одним и тем же словом и символом «три». Чем большее количество объектов надо было пересчитать, тем большее количество слов-символов для этого и появлялось. Когда возник абстрактный счет натуральными числами, точно сказать трудно, но речь идет о многих тысячах лет тому назад. Так, например, наиболее известный в этой связи объект – кость с 55 зарубками, обозначавшими, видимо, подсчет чего-то, – датируют возрастом от 5 до 30 тысяч лет тому назад.

Огромный скачок в развитии человечества произошел тогда, когда люди научились производить арифметические действия с числами – складывать, вычитать и пр., – не просто перекладывая предметы из кучки в кучку, а записывая их в виде символов. Именно это и привело в конце концов к появлению позиционной системы записи, в которой не сразу, но появился и «нуль».

Проиллюстрируем способ позиционной записи чисел на пример года рождения автора этой книги: 1950.

От картинки, на которой мы могли бы нарисовать 1950 чёрточек, пожалуй, откажемся. А вот от картинки, которая еще недавно была перед глазами любого продавца или бухгалтера, не откажемся. Я имею в виду эпоху счётов: деревянных шайбочек (костяшек), нанизанных на проволочки. Я еще обучался ими пользоваться в школе, теперь это, конечно, не самый нужный навык, а сами счёты – музейный экспонат. Если представить в виде строк четыре проволочки-линии, отвечающие за разные разряды, а костяшки-шайбочки – в виде наклонных черточек, то у нас получится вот что:

1 / (одна костяшка – одна тысяча)

9 ///////// (девять костяшек – девять сотен)

5 ///// (пять костяшек – пять десятков)

0 – пусто – (ни одной костяшки – нуль единиц)

Отсутствие костяшек на счётах или в их предшественнике – абаке – надо было как-то записывать. Так и появились символы, обозначавшие «ноль», «пустоту». У вавилонян, писавших клинописью, использовались два клинышка в определенной ориентации, а у индусов – кружочек, похожий на современный ноль.

Индусы называли это число «шунья» или «сунья» («пустота»), арабы, вторгшиеся в Индию в VII веке до н. э., переняли систему счета и само слово, озвучивая его на свой манер как «аль сифр». Дойдя до Европы, слово превратилось в «цифр» – цифру. Только в XVI веке в обиход вошло латинское «нуллюс» – «ничто».

Но вернемся к поиску времени, когда «нуль», уже ставший символом, значком, помогавшим правильно записывать числа, стал осмысленной величиной, описывающей «ничто»? Ни в древнем Вавилоне, ни в античной Греции «нуля» просто не было. Все великие древнегреческие математики, включая Пифагора и Эвклида, вполне обходились без нуля как реального числа, а не просто «значка» или камушка особой формы. Вероятно, все-таки индийцы прежде других (возможно – и китайцы) осознали «нуль» как весьма содержательное понятие. В том числе, видимо, и потому что индийская философия оперировала таким понятием, как «шуньята» – божественная пустота, центральное понятие в буддизме. В представлении индийских философов и мистиков, пустота не просто «вместилище» – как у европейского мировоззрения на протяжении тысячелетий, – а источник всего сущего. Европеец не может и не хочет производить, рождать что-либо «из ничего», это противно его логике и его рационализму. Индийский мистик пребывает в гармонии как раз и именно в связи с осознанием бесконечности и наполненности «пустого». Европа лишь после Декарта (XVII век) начинает наполнять «нуль» содержанием и возводит его в ранг «настоящего» числа, равноправного в ряду всех прочих чисел. «Нуль» становится точкой на шкале числе, отделяет отрицательные числа от положительных.

В наше время «ноль» или «нуль» не просто играет важную роль, а я смело возведу его в ранг самого главного числа вообще. Почему? А попробуйте это оспорить и назвать какое-то другое «главное» число… Быть может, перебрав варианты, вы со мной и согласитесь.

Половинка, полушка, «одна вторая»… Хороший повод поговорить про дроби вообще. Дроби люди «придумали», вернее сказать, осознали их необходимость так же давно, как и необходимость в счете. Издревле надо было много чего делить на части и как-то учитывать результат дележки количественно. Та форма записи дробей, которую мы называем «простые дроби» (1/2), и та, которую мы называем «десятичные» (0,5), появились в разные времена. Простые дроби вошли в обиход давно – еще в Древнем Египте. Причем долгое время египтяне использовали только такие дроби, в числителе которых единица (так называемые аликвотные дроби). Вроде бы ясно, что это неудобно, и в ходе развития появились все прочие виды дробей. Но вот пример, показывающий и несомненное удобство от использования таких дробей. Например, надо разделить 7 буханок хлеба на 8 человек. Современный человек начнет искать весы, отрезать по кусочку, стремясь каждому отвесить по 7/8 буханки, или примется измерять буханку линейкой, потом разрезать ее на 8 равных ломтей… В общем, методов много – и все неудобные. Египтянин же, не знающий иных дробей, кроме тех, что имеют в числителе единицу, поступит иначе. В его арсенале нет дроби 7/8, но у него вместо этого есть сумма знакомых ему дробей: (1/2 + 1/4 + 1/8). Тогда он спокойно режет все буханки пополам, получает 14 половинок, 8 из них раздает. Потом из оставшихся шести половинок берет четыре и режет их снова пополам, получает восемь четвертушек, раздает и их. Последние две половинки дважды режет пополам и получает восемь восьмушек. Получилось восемь порций по три куска в каждой: 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8. И думать нечего!

Ясные и понятные нам современные дроби, возникшие в десятичной системе счисления, появились не сразу. В Древнем Риме дроби были двенадцатеричные и применялись они в основном при взвешивании. Единица веса, называемая «асс» по имени бронзовой монеты «ассарий», использовавшейся в качестве своего рода эталона веса, делилась на 12 долей, называемых унциями. Иногда вместо «асс» можно встретить другое название той же весовой единицы: «либра». Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть – половиной. Потом эти наименования распространились и на другие объекты. Например, можно было сказать, что я преодолел пять унций того расстояния, которое намереваюсь пройти и т. п. В ходу были более мелкие величины – части унции. Так, например, половина унции (то есть 1/24 часть асса) называлась «семунция», а, скажем, совсем маленькая величина: унция, деленная на 24 части или 1/288 асса, – называлась «скрупулюс» (мелкий камешек). Отсюда и пошло выражение «скрупулезно», то есть до мельчайших деталей. До недавнего времени в фармакологии использовался скрупул как единица веса и принимался равным 1,3 грамма, в аптечном деле можно также встретить и «асс», он же – «либра», он же – «аптечный фунт» (≈ 327,45 г). А название «унция» до сих пор живет в английской мере весов: 1 унция = 28,35 г.

В русском обиходе употреблялись слова «доля», «дробь» и даже «ломаные числа», а названия у некоторых дробей были такими: 1/2 – половина, полтина; 1/3 – треть; 1/4 – четь; 1/6 – полтреть; 1/8 – полчеть; 1/12 – пол-полтреть; 1/16 – полполчеть; 1/24 – полполполтреть (малая треть); 1/32 – полполполчеть (малая четь); 1/5 – пятина; 1/7 – седьмина; 1/10 – десятина. Современное начертание дробей через черточку (горизонтальную или наклонную) повсеместно распространилось около 300 лет тому назад. Десятичные дроби были известны в Китае и Индии давно (III век н. э.), а в Европе получили распространение с XVI века. С того времени установилась и форма записи десятичных дробей через разделительную точку или запятую, отделяющую целую часть от дробной. Точка используется в Великобритании, США и странах, находящихся под их влиянием. Запятая – в России, Германии, других странах Европы. На этом с половинкой завершаем и переходим к целому: единице.

Интересно, как всё-таки люди придумывали счет и числа? Сначала придумали «один»-«единицу», потом – «два»-«двойку» и так далее? Наверное, нет. Ведь потребность в счете возникла сразу в связи с каким-то множеством объектов, то есть придумывать надо было одновременно несколько понятий-чисел.

Как бы то ни было, но «1» определенно содержит признак фундаментальности, интеллектуального прорыва: именно она фиксирует «отдельность», «неделимость» и «неслиянность» объекта счета среди ему подобных.

Еще одно отличие состоит в том, что у этого числа-понятия в русском языке есть три разных слова, его обозначающих: «один», «единица» и «раз».

Пожалуй, наиболее точно очерчен смысл слова «единица», поскольку ему повезло попасть в высокоточную обработку мира математических терминов: единица – наименьшее натуральное число, целое число между 0 и 2.

«Единица», однако, не только число, но и некий базовый элемент измерений. Наилучшим образом единицы измерений описаны в физике и технике, где с их помощью формируют системы физических величин: метр, грамм, секунда – это единицы измерения длины, массы и времени соответственно. За пределы математической точности выходят, однако, некоторые слова, образованные от «единицы». Например, единство – взглядов, стремлений и пр.

Глядя на знак «1», мы вправе назвать его и как «единица», и как «один». И то и другое верно. Слово «один» вполне может не просто заменить слово «единица» в процессе счета, но только так и будет правильно: один-два-три-четыре… Потому что «единица-два-три…» будет не перечислением неких объектов, а озвучиванием числового ряда: «1, 2, 3…». У слова «один» еще очень много смыслов: «один ученый сказал…», то есть «какой-то ученый сказал»; «одно и то же лицо», то есть «одинаковые лица»…

Пожалуй, одним из выдающихся свойств русского слова «один» является то, что оно, обозначая нечто единичное, может описывать множество объектов: «кругом одни идиоты»: то есть все вокруг идиоты, и их много.

Нельзя позабыть, что «1» – наихудшая оценка в русской и советской школе, называемая также «кол». В некоторых других странах все наоборот: «1» – высший балл, например, в Германии.

А каково происхождение слов «один» и созвучного ему «един»? Встретилось мне такое вот, на мой взгляд, правдоподобное толкование. Если вспомнить, что счет у всех, наверное, народов начинался с использования собственных пальцев, то легко себе представить такую, например, картину.

Начинаем счет с отгибания большого пальца при сжатом кулаке, отделяя его от остальных? «От-дельный» – «от-дин» – «один».

Теперь «два»: добавляем к отделенному большому пальцу указательный: «добава» – «добва» – «два».

«Три». Добавляем третий палец и говорим: «друга добава» – «друга» – «дру» – «дры» – «три».

«Четыре». К трем оттопыренным пальцам добавляем четвертый и говорим: «ещё к трём» – «ещё к три» – «щётри» – «щётыри» – «четыре».

«Пять» – все пальцы растопырены, вся кисть руки, которая называлась прежде, да и сейчас «пясть», то есть «пять».

Глядя на «1» неверно говорить «раз», хотя в процессе счета оно полностью заменяет и «единицу» и «один»: раз-два-три… И так же, как синонимы, оно указывает на однократность чего либо: «раз в жизни». Но есть у него и свои собственные смыслы. Прежде всего, это отдельная, так сказать, порция какого-либо действия, мера: один раз ударил, два раза сказал и т. д. Кроме того, «раз» служит синонимом слову «однажды»: «Раз в крещенский вечерок девушки гадали…» А еще это практически то же самое, что и знак умножения или деления: в два раза больше, в сто раз умнее, в два раза хуже…

Есть и вовсе мудрёное толкование смысла слова «раз». В связи с этим толкованием его даже пишут с большой буквы: «Раз». Потому что этим словом обозначено не просто начало, но и первопричина всякого события, а также и иной потаенный смысл. Этот смысл сохранился и живет в словах «развитие», «разведка», «разум»… Что такое «развитие»? Это «витие Раза», то есть некое ветвление первопричины. А что такое «разведка»? Это «ведение Раза», то есть знание о первопричине. «Раз-ум» – первопричина ума…

Если пойти вглубь, вслед за многими исследователями русской древней истории, скажем за Татищевым и Тредиаковским, то мы узнаем, что Раз – это имя самого древнего, еще доязыческого бога и что в самоназвании русских и России имеется корень рос-рас (раз), определяющий их связь с божеством, со своим первопредком. И что русские в древности называли себя «разами». И Раз-Рас-Расея – тоже вполне раз-умная цепочка.

Вот-те и «раз»!

Ну, а если Раз – это тот самый бог древних славян, которого потом или теперь называют «Род», то Раз-витие – это жизнь, существование Раза, раз-ум – это ум Раза… Ну и так далее.

Отдельное и сильное в этой связи впечатление производит то, что аналогичный по своему значению и роли бог у древних германцев назывался Один. И то, что сейчас предлагают произносить его – например, в связи с операми Вагнера и иными источниками, где он фигурирует, – с ударением на первом слоге, ничего не меняет: Раз и Один – одно и то же!

-=-

Все три синонима – «единица», «один» и «раз» – входят в огромное количество пословиц, поговорок и крылатых выражений. Вот некоторые из них.

Не все едино, что хлеб, что мякина. Ни единого гроша. Один-одинёшенек. Один как перст. Один на один. В один присест. Одним махом. Один к одному. Одним миром мазаны. Под одну гребенку. Один и тот же. Как раз. На раз-два. Раз-два и в дамки.

Поэтическая образная система позволяет превратить единицу в ноль. «Единица – вздор, единица – ноль», писал Маяковский, стремясь подчеркнуть, возвысить роль коллектива:

Завершая эти несколько слов о «наименьшем натуральном числе», отметим, что мы лишь чуть-чуть приоткрыли направления, в каждом из которых этому «слову можно посвятить целые тома рассуждений.

«Золотое сечение» – одно из таинственных, волшебных чисел, определяющих отношение двух величин. Удивительна широта и разнообразие явлений, в которых оно возникает.

Существует несколько способов определения этой пропорции, этого числа. Есть, например, словесное: «Это такое отношение двух величин, при котором большее из них так относится к меньшему, как к их сумма к большему».

Есть алгебраическое:

Есть несколько вариантов геометрического определения. Например, такое:

Описание этого построения: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок CD, равный BC, и, наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда:

Это соотношение часто обозначают греческой буквой Φ («фи»), утверждая, что эта буква выбрана в честь великого греческого архитектора и скульптора Фидия, жившего в IV веке до нашей эры. Но сама эта пропорция широко использовалась задолго до Фидия: пирамида Хеопса (2600 лет до н. э.) построена на основе золотого сечения. Округленно число Ф = 1,62, точное значение в виде десятичной дроби требует записи бесконечной дроби.

Ответить на вопрос, кто, когда и почему эту пропорцию «обнаружил», научился воспроизводить и начал использовать, думаю, невозможно. Непросто также и достоверно воспроизвести, как и почему это произошло. Ясно, что это соотношение длин (отрезков, размеров чего-либо) приятно глазу. Выражение «приятно глазу» так субъективно, что полностью на него положиться как на причину обнаружения и применения золотого сечения вряд ли возможно. Есть, конечно, и мистико-метафизическое, эзотерическое объяснение, трактующее это как «знание, полученное посвященными от высших сил».

Не может не вызвать удивление и широта природных явлений, в которых возникают структуры, объекты, геометрия которых подчинена золотой пропорции. Это встречается в мире растительном – в расположении листьев на ветке, в соотношении длины хвоста и туловища ящерицы и др.

Есть еще одно геометрическое представление золотого сечения, так называемая золотая спираль.

Не стану усложнять текст описанием построения этой спирали, скажу лишь, что размеры прямоугольников подчинены правилу золотого сечения. Появление этой или очень близкой к ней спирали в природе встречается очень часто: от геометрии улитки до завивающихся вьюнков, от узора паутины до океанских ураганов, от спирали ДНК до форм галактик…

Такой охват явлений, такая устойчивость, повторяемость этого соотношения невольно приводит к мысли о его «божественном» происхождении и что именно оно лежит в основе «вообще всего». Проще всего с этим, не мудрствуя, согласиться и возблагодарить Господа Бога за его премудрость!

Можно (не отказываясь от благодарности «высшим силам») поразмыслить над этим явлением и обнаружить, что спиральные формы действительно часто встречаются и в живом, и в неживом мире. И что выстраиваются они в процессах роста, развития вследствие нескольких причин. Среди них – стремление к устойчивости явления или объекта, проявление самоорганизации. На молекулярном уровне одним из факторов является структура молекул, объединивших атомов в определенной геометрии, которая выстроилась как следствие закономерностей электромагнитного и квантово-механического взаимодействия, приводящих, например, молекулу воды к строго заданной геометрии расположения атомов кислорода, «прилепившихся» к атому водорода. Более сложные структуры, возникающие с участием молекул, имеющих свою геометрию, складываются с учетом форм этих «кирпичиков»…

И еще: при более глубоком изучении оказывается, что спиральные формы и прочие подобные симметрии не всегда в точности соответствуют золотому сечению, в котором Ф = 1,618033988… Похожими, близкими, но не совпадающими с математической точностью являются, например, спираль Архимеда или ряд Фибоначчи… Все они нами воспринимаются как приятные глазу, как гармоничные.

С учетом этого нашего восприятия строились великие сооружения и в древности – афинский Акрополь, и в наши дни – можно привести в пример творчество Ле Корбюзье или Ивана Жолтовского. Замечено, что наше восприятие картины «управляется» именно золотым сечением: внимание подсознательно устремлено в те зоны изображения, расположение которых мы можем заранее определить с помощью геометрических построений. Многие художники – от Леонардо да Винчи и Альбрехта Дюрера до современных мастеров – этим пользуются осознанно.

Наконец, пропорции злотого сечения (или близкие к ним) в музыке не просто встречаются: на них основан гармонический ряд музыкальных нот. И восприятие нами крупных музыкальных (и даже литературных, драматургических, кинематографических) произведений тоже следует этой таинственной гармонии.

Все это и многое другое является проявлением различных симметрий, существующих в природе. Эту мысль можно поэтизировать, увести из мира рационального: это является проявлением божественной гармонии Мироздания частью которого является человек. (См. также главы о числах «е» и «пи».)

Двойка, две единицы… Пара: две руки, две ноги, два глаза, два уха… «Два» – базовый алгоритм, начало счета: один плюс один равно двум. Инь и ян, плюс и минус, добро и зло, материя и дух, тепло и холод, свет и тень, левое и правое – бесконечный ряд оппозиций, дуальностей, концептуальных пар, диалектических начал и противоположностей. Двойка, пара – очевидное основание материального мира, базовый конструкт в построении правил логики.

Именно приведение всего к дуальным оппозициям лишило, по мнению восточных мистиков и многих современных мыслителей, европейскую, христианскую культуру полноты восприятия мира. Сведя все к оппозиции «бог – дьявол», христианству удалось упростить картину мира и создать эффективную систему выживания христианства и технологию управления обществом. Торжество диалектики дуальностей произошло, несмотря на то что в самом христианстве существовала троичность божественного: Бог-Отец, Бог-Сын и Бог – Дух Святой. Но аристотелевско-гегелевская логика и потребности управления социальными процессами оказались важнее: они вошли в повседневную практику, оставив неслиянность троичной гармонии христианским философам.

«Три» – число, издревле несущее в себе священные, сакральные, магические смыслы. Герой русских сказок непременно должен сделать выбор из трех возможностей: «налево, направо или прямо», ему предстоит отрубить три головы у трехглавого дракона, исполнить три желания, отгадать три загадки. Испытания всегда бывают троекратными и лишь на третий раз удается достичь желаемого. Былинных богатырей тоже было трое. Троекратное повторение дает ощущение завершенности, полноценности всякой последовательности действий. Даже поцелуй у славян троекратный.

Почему именно число 3 во многих культурах стало таким важным, особенным? Здесь не отослать нас к более простым и очевидным случаям, типа особенного статуса чисел «пять» – пять пальцев на руке, «десять» – по числу пальцев на обеих руках и т. д. В природе мы часто встречаем явления парные – два глаза, два вида животных и растений: мужское и женское, два времени суток – день и ночь и т. д. Что-либо, существующее в виде трех компонент или состояний, в природе встречается крайне редко. Я, например, кроме трехлепестковых растений типа ряски, так сразу и не припомню. Впрочем, и не надо ничего припоминать, поскольку число «три» возникло не потому, что в природе имелся соответствующий устойчивый аналог, а просто потому, что надо было считать. Умение считать возникло раньше письменности и раньше понятия «число». В языках первобытных народов сохранился принцип, по которому люди формировали систему счета. Так, например, Миклухо-Маклай описывает: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например "бе, бе, бе"… Досчитав до пяти, он говорит "ибон-бе" (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет "бе, бе", пока не доходит до "самба-бе" и "самба-али" (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Так что число «три» как элемент счета возникло естественным образом как «бе-бе-бе». В других языках, например в языке австралийских аборигенов и многих других народов, «три» обозначалось как сумма 1 + 2: 1 = энеа, 2 = петхевал, 3 = петхевал-энеа, 4 = петхевал-петхевал. А у некоторых других племен специальные слова имелись не только для единицы и двойки, а и для тройки: 1 = мал, 2 = булан, 3 = гулиба, 4 = булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6 = гулиба-гулиба и т. д.

На каком-то этапе развития первобытные люди стали делать зарубки, завязывать узелки, складывать камушки в ямку и т. д., формируя тем самым, говоря языком современным, абстрактное множество чисел, позволяющее не только вести счет определенного набора предметов, но и сравнивать количества разных предметов между собой не просто на глаз, а путем точного пересчета. Следует сказать, что счет на глаз, во всяком случае, умение отличать объекты по их количеству, умеют производить и животные, даже такие глупые, как голуби: они четко различают объект с семью пятнышками от объекта с девятью пятнышками.

Но вернусь к сакрализации чисел. Эта забава – впрочем, эту «забаву» возвели в ранг «науки нумерологии» и смежных видов магии и колдовства – пришла людям в голову очень давно и развилась до состояния ветвистого древа всякого рода толкований. О тройке сказано много возвышенного, чего только не наговорили. Число три олицетворяет трехчастную природу мира: небо, земля и вода (иногда – воздух, вода и огонь); трехчастную природу человека: тело, душа и дух; трехчастную природу жизни: рождение, жизнь и смерть; трехчастную природу пространства: начало, середина и конец; трехчастную природу времени: прошлое, настоящее и будущее. Во всех религиях имеются троичные элементы. В индуизме – Брахма, Вишну, Шива, олицетворяющие единую силу творения, сохранения и разрушения. У даосов Великая Триада – это небо, человек и земля; у маори Божественный творец есть триединство Солнца, Луны и Земли и т. п. Наконец, христианская Троица: Бог-Отец, Бог-Сын и Бог – Дух Святой.

Я думаю, что столь настойчивое обращение людей к троичным конструктам возникает из-за инстинктивного ощущения гармонии и устойчивости троекратных действий. Быть может, инстинктивность эта может быть проиллюстрирована троекратным бросанием жребия при необходимости выбора альтернативы в условиях неопределенности критериев. Во всяком случае, трудно найти устойчивую «тройку» в мире, окружавшем человека на ранних стадиях его развития, когда создавался счет как таковой, когда использовались пальцы рук и ног. Парные элементы и явления, как мы уже говорили, встречаются часто: две руки, ноги, два глаза, два времени суток, пара мужчина – женщина и т. д., а вот «троица» – конструкция, скорее, ума, нежели очевидный природный объект.

Выше – в разделе про «двойку» – мы коснулись проблемы троичной гармонии мира. Учение о троичности Бога развивается много столетий, прославлено в иконописи и трудах Святых Отцов, закреплено в Символе Веры, но до сих пор сохраняет в себе нерешенные, спорные вопросы, ответы на которые по-разному дают в восточном и в западном христианстве. В частности, остается предметом разногласий так называемая проблема филиокве. Восточное христианство – Православное – рассматривает источником Святого Духа лишь Бога-Отца, в то время как западное христианство в большинстве церквей рассматривает Св. Дух как исходящий от Бога-Отца и от Бога-Сына как от одного источника. Слово «филио́кве» происходит от латинского filioque – «и Сына». Именно это добавление к латинскому переводу Никео-Константинопольского Символа веры, принятое Западной (Римской) церковью в XI веке в догмате о Троице: об исхождении Святого Духа не только от Бога-Отца, но от Отца и Сына, – стало одним из самых главных поводов для разделения Вселенской церкви. А последствием этого раскола христианских церквей стал весь трагизм тысячелетней истории войн и конфликтов, сотрясающих всю мировую цивилизацию до дня сегодняшнего.

Напомню, что никакой троичности Бога в иудаизме, из которого выросло христианство, нет и в помине. Иудейский бог един и целостен. А к христианской троичности Бога иудеи относятся как отходу от монотеизма, называя христианский подход тритеизмом.

Троичность Бога можно считать попыткой христианства вырваться из тесных, надуманных дихотомий типа «добро – зло», «свет – тьма». В более древних религиях – индуизме и буддизме – и связанных с ними философиях такой проблемы нет. Троичность там является естественным свойством всего сущего. Даже их логика не попадает в ловушку двоичности, поскольку оперирует не альтернативой «то» или «это», а еще и третьей возможностью: «ни то, ни это», «нети-нети» на санскрите.

Современные «активисты мысли» говорят в этой связи о переходе от диалектики к триалектике, рассуждая о триединстве мироздания, состоящего из материи, духа и сознания. Это, разумеется, глубоко вторичный подход, повторяющий слегка измененными словами христианскую концепцию, попытка ее онаучить и приземлить.

Гораздо интереснее и состоятельнее китайский подход к анализу явлений, основанный на рассмотрении баланса (или связки) трех сил и выработке неких правил, рекомендаций о перспективах выигрыша при различных сочетаниях типов действий: активного и пассивного. Сейчас эти идеи привлекаются в качестве даже не иллюстраций, а обоснований при анализе мировой геополитики.

Ну да, «е» – это, конечно, буква, а не число. Но ею обозначается важное число: е = 2,718281828459045…

Это основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Число знаков после запятой у числа е бесконечно.

В предыдущем абзаце я просто повторил сведения на уровне школьной математики. Сказанное верно. Но ни в малейшей мере не объясняет: почему это странное число повторяется в огромном количестве закономерностей, описывающих самые разные процессы – от процесса деления ядер до процесса размножения бактерий или роста населения, от хода роста денежных вкладов в банке до процесса затухания колебаний в контуре…

Я не уверен, что мне удастся ответить на поставленный вопрос: почему это число фигурирует так часто, не прибегая к сложным формулам, к выводу математических закономерностей, описывающих различные процессы роста или убыли чего-либо? Но я попытаюсь это сделать. Мне кажется, что прикосновение к этому вопросу, попытка если не понять детально, то хотя бы ощутить воистину божественную гармонию мироздания, благотворна сама по себе.

Обращусь к процессам, с которыми сталкиваются многие: деньги, лежащие в банке «под проценты». Представим себе сказочный банк, который дает клиентам сказочный процент: 100 % годовых. Положили рубль – через год получили 2 рубля. Что банк все это время делает с вашими деньгами, нам неизвестно, но как-то он с их помощью зарабатывает еще больше. Вы тоже хотите больше и предлагаете банку начислить вам не 100 % в конце года, а 50 % через шесть месяцев, потом снова – 50 % через шесть месяцев. И тогда вы, получив свои проценты через полгода (50 копеек), добавляете их – если банк не против – к вкладу, и во втором полугодии у вас на счете лежит уже 1,5 рубля. И на них начисляются снова 50 %, так что к концу года получится 1,5 + 0,75 = 2,25 руб. То есть, разбив период вклада на две части и добавив начисленный полтинник к сумме вклада, мы заработали дополнительно 25 копеек. Войдя во вкус, вы просите банк разбить период на три части и получать трижды по 33,3 %. И тогда в конце года у вас получится 1,33 + 0,44 + 0,59 = 2,36 руб. Если продолжать делить период на все более и более короткие отрезки (если в банке тоже сидят сумасшедшие, можно доторговаться до разбиения не только на 365 дней, а вести начисление каждый час…), то итоговая сумма будет понемногу, но увеличиваться: при разбиении на пять периодов получится около 2,49 руб., на десять – 2,59 руб., на сто – 2,7. В общем, чем больше будет отрезков, тем ближе итоговая сумма будет к числу 2,718, то есть к числу е. При таком росте (денег, бактерий, элементарных частиц и т. д.) их исходное количество возрастет в е раз. Если банковский процент составит 300 % – в 3е раз, если банковский процент 50 % – получим е в степени 1/2. А если наш 100 % вклад продолжится пять лет кряду, мы в итоге получим е5 = 148,41 (е в пятой степени равно 148,41).

Это число возникает часто, но не всегда. Ведь если бы мы не просили банк уменьшать интервалы и – главное! – не стали бы добавлять к имеющейся сумме того, что успело нарасти, то наш рубль просто удваивался каждый год: 1, 2, 4, 8 и т. д. Выявим главную особенность именно такого роста. Оно состоит в том, что размер суммы, на которую начисляются проценты, не только сам увеличивается, но и увеличивает скорость, с которой она растет! Казалось бы, эту скорость определяют те 100 %, которые были с самого начала. Но это не так: 100 % остаются неизменными, а скорость растет. Удивительно, но это число возникает повсюду, где скорость роста определяется не только, например, временем, но и самим растущим числом. Это воистину число естественное, природное.

История его нахождения извилиста. На протяжении лет ста математики вплотную подходили к тому, чтобы его вычислить. В неявном виде это число присутствовало в таблицах логарифмов, изданных Непером в 1618 году. Потом оно – тоже неявно – присутствовало в определении Сент-Винсентом площади сектора гиперболы в 1647 году. Гюйгенс в 1661 году установил связь между гиперболической функцией и логарифмом, он был, как никто близок к тому, чтобы выловить это число, но не сделал этого. Никола Меркатор и Якоб Бернулли тоже были близки. Наконец, Лейбниц в письме к Гюйгенсу в 1690 году выявил это число и ввел для него буквенное обозначение (b), но еще не придал ему численного значения. И только великий Леонард Эйлер (в 1731 г.) довел вопрос практически до современного уровня. Он ввел обозначение буквой е и вычислил значение до 18 знаков после запятой.

И еще об одном словечке, связанном с этим числом, надо сказать: экспонента. Так называют функцию y = ex (е в степени х). Тут важно, как мне кажется, кое-что разъяснить, поскольку это слово давно и прочно вошло в журналистику и публицистику. Сплошь и рядом можно прочитать про «экспоненциальный рост» чего-либо. Часто при этом имеют в виду просто очень быстрый рост, но не только журналюгам, но и некоторым «экспертам-аналитикам» очень хочется выглядеть авторитетно, и они украшают свою речь научными терминами. Экспоненциальным можно назвать только такой рост, который зависит от самой изменяющейся величины, а не любое быстрое увеличение чего-либо. Более других грешат неверным использованием понятия «экспоненциальный рост» экономисты и экономические журналисты.

Как запомнить число е? Придумано немало мнемонических правил, стишков. Для «шибко культурных», например, так: «2,7 затем два Льва Толстых потом равнобедренный прямоугольный треугольник». Сие означает, что после 2,7 дважды повторяется год рождения Льва Толстого (1828), а потом углы 45, 90 и 45 градусов. Или стишок: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» – по количеству букв в каждом слове. А вот еще: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой».

Большой, однако, след оставил великий писатель: и романов значительных понаписал, и зеркалом революции побыл, и в число Эйлера смог угодить…

Напоследок о том, до какого знака после запятой это число известно. Вот последние (на 2015 год) данные. Два парня, работавшие в НАСА, запустили мощный компьютер и он, пока процесс не остановили, насчитал число с двумя миллионами с лишним знаков после запятой. Кажется, это пока самое длинное е, но ничего, кроме времени (и денег), не нужно, чтобы нащелкать еще сколь угодно много.

Число более известное, чем «е», потому что… Не знаю почему. Наверное потому, что числу π в школе уделяют больше внимания, оно чаще упоминается. Но е тоже учат в школе… В общем, про «пи» помнят почти все, а про «е» не все. Сочинено немало стишков и выражений, позволяющих восстановить довольно много знаков в числе π, подсчитывая число букв в каждом слове. Например, вот такие:

Кто и шутя, и скоро пожелать пи число узнать, тот знает.

Как я хочу и желаю надраться до чертей после сих тупых докладов, наводящих тяжелую депрессию.

Есть и английский вариант:

То, что число π есть отношение длины окружности к ее диаметру, тоже помнится людьми довольно долго после школьной поры. Известно это число с глубокой древности, а начиная с конца XVIII века, благодаря Эйлеру, в повсеместный обиход вошло и обозначение этого числа греческой буковой п. Несколько раньше Эйлера это обозначение использовал английский математик Уильям Джонс.

Области знаний, в которых вдруг возникает число п, не может не удивлять и с неизбежностью ставит вопрос: почему и как оно играет такую важную роль? Почему число пи такое «волшебное»? Как оно оказывается в формулах, описывающих совершенно разные процессы и явления: в оптике и термодинамике, в статистике и в космологии, в инженерных расчетах сооружений и при описании ядерных реакций – повсюду появляется число пи.

А связано это не с «магическими» свойствами числа, а с тем, как мы описываем окружающий мир с помощью математических моделей. Рассматривая пространство как однородное и изотропное, описываемое геометрией Евклида, мы с неизбежностью приходим к тому, что в наших формулах появится число пи. И уже неважно, что мы описываем: круги на воде, полет ракеты, колебания фотонов в лазере или прочность крыши дома… Такими же вездесущими являются и некоторые другие числа – уже упомянутое число «е» и ряд других, называемых иногда мировыми константами.

Пятерка! Ничего особенного не было бы в этом числе, если бы: не пять пальцев на руке и не высший балл школьной оценки. Отсюда популярное восклицание «Пять!», когда хотят сказать «Отлично!» по какому-либо поводу. Этим же руководствуются и те учащиеся, которые выбирают в метро турникет с номером «5» – чтобы получить на экзамене хорошую оценку. Думаю, что в тех странах, где используется десятибалльная система, эти турникеты не пользуются такой популярностью.

Лично у меня самые яркие образы числа «7» связаны с неожиданным для большинства современников событием прошлого – с так называемой семилеткой, то есть планом народно-хозяйственного развития, введенным Хрущевым в 1959 году. До этого были планы на пять лет (пятилетки), а в ходе Шестой пятилетки (1956–1960) Никите Сергеевичу Хрущеву, бывшему в те годы Первым секретарем ЦК КПСС, а с 1958 года еще и Председателем Совета министров СССР, захотелось изменить, увеличить целевые показатели текущей пятилетки, что и было сделано на XXI съезде КПСС.

Но при чем тут мои детские – в 1959 году мне исполнилось 9 лет – впечатления? Не следил же я тогда столь пристально за экономической жизнью страны! Разумеется, не следил. А вот плакаты и почтовые марки разглядывать любил. Художники воспользовались динамичностью графического образа цифры «семь» и изготовили много плакатов, прославляющих «семилетку» и пропагандирующих плановый рост всевозможных показателей: выплавка стали возрастет с 55,9 до 91 млн т, добыча нефти – со 113 до 240 млн т – и так далее, причем все эти диаграммы роста были выполнены в форме цифры «7». Почему-то мне это очень понравилось и запомнилось.

Семилетка, кстати сказать, не была завершена полным успехом, не все показатели были достигнуты. Тем не менее было построено очень много – тысячи! – гигантских заводов, ГЭС, химкомбинатов…

Кроме политико-пропагандистской роли в этот краткий период, число и цифра «7» прочно связаны в сознании с возрастом начала учебы в школе. Эта традиция тянется со времен Древней Греции.

С числом «семь» связано много устойчивых выражений, оно закреплено как некое «магическое» количество: «семь чудес света», «у семи нянек дитя без глаза», «седьмое небо», «семь смертных грехов», «семь раз отмерь, один раз отрежь», «семь бед – один ответ», «семь пядей во лбу», «за семь верст киселя хлебать», «на семи ветрах, на семи холмах» «семь дней недели», семь нот в музыке: до, ре, ми, фа, соль, ля, си»…

Число «семь», вероятно, чаще других (возможно, только «три» составит ему конкуренцию) используется названиях произведений: «Белоснежка и семь гномов», «Цветик-семицветик», «Семь самураев», «Великолепная семерка», «Семь невест ефрейтора Збруева».

А уж на какие высоты возведено это число в эзотерике, нумерологии и каббале – и говорить нечего. В общем, это число священное, волшебное, счастливое, магическое, таинственное… Даже жизнь человека расклассифицирована по 7-летним периодам: 0–7, 7-14, 14–21 и так далее – до «последнего», 12-го (по числу знаков Зодиака) цикла: 77–84. Для каждого периода составлены описания, даны названия и предложены рекомендации. Чтение этих текстов и их обдумывание – занятие столь же популярное, как и раскладывание пасьянсов. Возможно, и столь же полезное.

«В девятку!». Это про забитие гола в верхний угол ворот. Любители футбола, не говоря о футболистах, знают, при чем тут «девятка». Остальным расскажу.

Футбольные ворота разделены на пронумерованные зоны – для удобства обучения футболистов. Разделите мысленно ворота вертикальной линией посередине. Теперь каждую половинку поделите на девять квадратов и пронумеруйте их, начиная со средних, серединных квадратов на уровне земли: 1 слева и один справа, 2 слева и 2 справа, 3 слева и 3 справа. Нижний ряд пронумеровали. Точно так же, снова начиная с середины, нумеруем квадратики средней линии: 4, 5, 6 – симметрично на обеих половинах. Наконец, пронумеруем верхний ряд: у центральной линии будут две семерки, а по углам – девятки.

Вот и все. Тренер теперь может говорить ученикам: «Бей в четверку!» – это значит прямо в центральную область. «Бей в трешку слева» – в левый нижний угол, наконец, «в девятку» – в верхний угол.

Еще одна «девятка» в русском языке: модель автомобиля ВАЗ-2109.

Наконец, в узком кругу знатоков спецслужб (и среди бывших работников этих служб) словом «девятка» называют бывшее «Девятое управление КГБ СССР», то, которое отвечало за охрану – государственных деятелей и объектов. Теперь оно называется ФСО: Федеральная служба охраны.

Число-символ, число-база. Его особая роль кажется очевидной: десять пальцев стали основой счета и системы счисления. А она заложила важный счет всему: предметам, расстояниям, мерам веса и прочему – в метрической системе, а также периодам жизни: круглым датам, которые отмечают с повышенной торжественностью.

Есть выражение «в десятку!». Так говорят, когда хотят отметить точность высказывания. Это пришло из стрельбы по мишеням в виде концентрических кругов. Центральный, самый маленький в диаметре – «десятка», за попадание в него дается десять очков. На тюремном жаргоне «десятка» – срок заключения в 10 лет. Его же называют «червонец», потому что денежную купюру достоинством в 10 рублей (тоже – «десятка») называли «червонец» из-за ее красноватого цвета. Хотя до XX века червонцами называли золотые монеты из червонного золота. «Десятка» – это также игральная карта. Тут открывается простор для толкований, потому что на картах гадают.

Вот упрощенные толкования десяток разных мастей.

Десятка пик – значит неприятность, заболевание, неосуществление желаемого.

Десятка треф – какие-то перемены: то ли благоволение фортуны, то ли наоборот; то ли новые дружеские и любовные связи, то ли разрывы прежних.

Десятка бубен – удача, получение денег или подарков.

Десятка червей – радость, осуществление сокровенного.

Думаю, что это «самое особенное» число из всех. Вот несколько примеров его применения.

12 месяцев в году, 12 знаков зодиака. 12 звуков в октаве (если считать полутонами), 12 подвигов Геракла, 12 олимпийских богов, 12 знаков на нагрудном украшении верховного жреца Мемфиса (4000 г. до н. э.), 12 столпов манихейской веры, 12 ступеней сансары…

Если обратиться к Библии, то она просто перенасыщена числом «12»: 12 сыновей Иакова основали 12 колен Израилевых, 12 поколений до Всемирного потопа, 12 апостолов, 12 (двунадесятых) праздников…

12 рыцарей Круглого стола короля Артура…

12 присяжных заседателей (кинофильм «Двенадцать разгневанных мужчин»)…

Поэма Блока «Двенадцать», «Двенадцатая ночь» – пьеса Шекспира, «12 стульев» роман Ильфа и Петрова…

Можно привести и куда менее очевидные, но тщательно собранные любителями числа «12» сведения: 12 пар ребер у человека, 12 кнопок в телефонах, 12 элементов в столовых сервизах, 12 дюймов в футе, 12 пенсов в шиллинге, 12 полушек в алтыне, 12 букв в именах: Иисус Христос, Будда Гаутама, Аллах-Магомед, а также Ульянов-Ленин, Адольф Гитлер… Последнее – глупость про имена – мне особенно нравится: представляете, сколько «великих-величайших» не сподобились обрести имя на русском языке из 12 буковок!.. Этой «цепочке наблюдений за число «12» конца нет.

Ясно, что такое внимание к числу «12» возникло не на ровном месте и возникло оно очень и очень давно.

Существует несколько версий «происхождения» числа «12». Вернее, его особой роли. Все эти версии уводят нас в глубокую древность – к шумерам, в Вавилонию – к самой древней цивилизации, оставившей к тому же достаточное количество источников, свидетельствующих об их знаниях. Известно, что они были весьма сведущи и в математике, и в астрономии, использовали шестидесятеричную систему счисления, делили год на 360 дней. Анализируя свойства круга, легко прийти к его разделению на 6 или 12 частей, не используя никаких цифр и вычислений, только с помощью одного циркуля. Оперирование числами выявляет немалое удобство таких величин, которые легко без остатка делятся на максимальное количество частей. В этом смысле число 360 очень привлекательно: у него 24 делителя! Часто можно прочитать, что особая роль у числа «12» из-за 12 зодиакальных созвездий. Здесь все перевернуто с ног на голову: не число «12» особенное из-за 12 созвездий, а созвездий решили выделить именно 12 из-за особенностей (удобство и хорошее соотнесение с другими величинами) числа «12».

Ну а когда к делу подключились жрецы (а они подключились с самого начала: они и были одними из создателей математического описания мира), то всякое явление, всякий символ они наполняли смыслами – мистическими, волшебными, божественными. Числу «12» по праву досталась эта особая роль: очень многое в описании и моделировании природы и природных явлений, в хозяйственной практике – земледелия, строительства, учета и пр. – опиралось на удобное число «12».

И вообще, как говорил Швейк: «На дюжины считать удобно и дешевле выходит». Кстати, а откуда это слово – «дюжина» – взялось? Принято считать, что от французского douzaine или итальянского dozzina. И еще пишут, что впервые письменно на русском это слово обнаружено в текстах 1720 года.

А это-то вроде бы ничем не примечательное число как попало в разряд «главных»? Снова осматриваем нашу руку и видим, что четыре пальца на руке составлены из трех сочленений, а большой – из двух. Итого 14 членов.

Ну и что? – скажете вы. Мало ли что еще в организме и скелете человека можно пересчитать и получить какие угодно числа?

И мне будет нечего возразить, кроме как просто сообщить, что уже упоминаемые мною каббалисты придают этому числу особое значение и указывают на его мистическую связь с божественным, подтверждаемую не только пересчетом фаланг пальцев, но и красивой игрой с буквами древнееврейского алфавита, каждая из которых имеет множество смыслов и толкований, в том числе привязку к числам… Не углубляясь в тему, скажем, что с числом «14» связывают такие категории как «духовность», «связь с божественным», «благоговение» и разные другие важные вещи.

Ну, а вне каббалистики и нумерологии это число чем-нибудь примечательно? Пожалуй, почти ничем… Разве что забытым условием приема в ряды комсомольцев начиная с 14-летнего возраста – но кто об этом помнит? А быть может, и этот возраст был некогда избран кем-то из создателей комсомола, что-то знавших о Каббале?..

Впрочем, в следующей главе мы вдруг вспомним, что в современной России паспорт выдают с 14-летнего возраста!

Число «16» относится к главным – для меня и моего поколения, – потому что связано с особым статусом возраста, с шестнадцатилетием. В СССР с этого возраста выдавали паспорт, и это событие было достаточным поводом для выделения именно шестнадцатилетия как особой даты, как рубежа, за которым начинается взрослость.

Сейчас в России паспорт выдают в 14 лет, но и 16 остается рубежной датой по многим иным признакам, среди которых, быть может, главный – это наступление полной уголовной ответственности, и это действительно серьезное основание считать человека взрослым. Хотя и остается многое, чего 16-летним делать еще нельзя. Например, покупать спиртные напитки и сигареты без сопровождения взрослых.

Так что в полном смысле взрослым гражданин России становится в 18 лет.

18 – относится к «важным» числам, прежде всего, из-за рубежного возраста, после которого человеку все разрешено: вступать в брак, быть родителем и многое другое. Но мне думается, что вознесся этот возраст до уровня символа благодаря песне «Восемнадцать лет».

Эти трогательные стихи написал поэт Владимир Кириллович Застрожный, положил их на музыку композитор Октябрь Васильевич Гришин, а певица Людмила Георгиевна Зыкина сделала эту песню одной из самых популярных и любимых. Именно благодаря этой песне, а не неким формальным признакам и возраст и число приобрели некий сакральный оттенок, а фраза «в жизни раз бывает восемнадцать лет» – крылатой фразой, сродни формуле, объясняющей особенности поведения в этом возрасте.

Загадочное и до сих пор убедительно не разгаданное слово – «сорок». Почему не «четыредцать» или «четыредесят», как у болгар?

Предположений и толкований высказано несколько, но они мне по большей части кажутся надуманными. Самое распространенное толкование – про шкурки. На шубу якобы надо ровно 40 шкурок соболей, вот и возникла такая мера счета – по количеству шкурок, потребных для изготовления шубы или длиннополого кафтана: «четыредцать» шкурок есть один «сорок». Есть другой вариант толкования «со шкурками»: «сорок» – это мешок, короб или связка, в которых имеется 40 шкурок. В общем, «сорок» – мера счета партий шкурок. К ней же приписывают и «сорочку» – мужскую рубаху с длинными рукавами, потому якобы, что ее фасон близок к фасону того самого длиннополого кафтана из 40 шкурок. Мне кажется, что это – бред, не достойный обсуждения. Но допустим… А слово-то «сорок», которое еще не числительное, а существительное, то есть мера набора шкурок, откуда произошло? На вопрос о происхождении слова эта гипотеза не отвечает… Но именно она торчит из всех словарей и школьных учебников уже много десятилетий.

Есть гипотеза, что «сорок» – это искаженное тюркское «кырык», что и означает число «40». Гипотеза хороша, только надо объяснить, почему вдруг из тюркского взяли именно это слово, а остальные числительные образованы как-то иначе. Есть, однако, и на этот вопрос ответ: потому что было принято «мерить сороками», то есть 40 – устойчивая мера счета, сродни «десятку», «дюжине», «сотне». Это предположение подтверждается, например, принятыми мерами объема бочек: сорокаведерная. Ну и набор, связка из 40 шкурок, тоже может быть назван «кырык шкурок».

Эта версия несколько убедительнее первой, которую и версией-то считать нельзя.

Есть и третья версия. Сорок происходит от слова «срок». То есть 40 «чего-то» – дней, лет или иных мер времени названы «сроком», и эта мера времени имеет устойчивое значение. Настолько устойчивое, что произошло превращение существительного в числительное. В христианстве это число действительно играет важную роль: сорок дней поста, сороковины, сорокоуст… В Ветхом Завете число «40» тоже «в почете»: сорок дней продолжался Всемирный потоп, сорок дней ждал Моисей скрижали Завета на горе Синай, сорок лет он же водил евреев по пустыне, сорок дней постился Христос в пустыне. Вспомним также, что нормальная беременность длится 40 недель.

В общем, 40 – явная устойчивая мера времени, обозначающая полное завершение какого-то периода, то есть срок. Эту, версию, пожалуй, тоже можно принять: срок – сорок.

Возвращаясь к мехам и шкуркам: число «40» могло получить свое особое наименование по одной из двух последних версий, а уж потом при подсчете шкурок куниц и соболей стали это слово употреблять. А то, что именно его и употребляли, факт несомненный, зафиксированный в русских таможенных документах XVI века.

Число «40» само по себе, независимо от неожиданного его русского наименования, выделено в культурах многих народов. И в качестве меры времени – как мы только что указали на примерах из библейской истории, – и в других случаях. Например, у инков в храмах изображалось 40 лучей, от солнца исходящих, в 40 лет Мухаммед стал пророком, 40 лучей на флаге Кыргызстана, империя инков делилась на 40 провинций, у Али-Бабы было 40 разбойников, да и «Робин Бобин Барабек скушал», как известно, «сорок человек».

В нумерологии числу «40» придается какое-то ни с чем не сравнимое мистическое значение. Ему приписывается целых 11 смыслов, 11 уровней бытия и сознания. Я их пересказывать не буду. Я лучше сам придумаю, почему число 40 стало таким особенным. Отвечаю (придумываю): потому что у мужчины и женщины в совокупности 40 пальцев, а мужчина и женщина вместе создают ячейку бытия, ту целостность, которая только и может порождать жизнь человеческую, то есть – с точки зрения человечества – воплощают в себе всю полноту бытия. Во как! Взял – и придумал!

В общем, число «40» встречается как явно неслучайное. Подсказку к особому статусу этого числа могут дать русские пословицы, которые приводит В. И. Даль в своем словаре:

«Встарь вели счет у нас сороками и девяностами» и «Что девять сороков, что четыре девяноста – одно». Отсюда мы сразу исчисляем число 360 = 40 х 9 или 4 х 90 и вспоминаем, что некогда у многих древних народов длина года считалась равной 360 дням.

Ну, а «сорок сороков» – просто большое количество чего-либо, а вовсе не точно 1600 = 40 х 40. Хотя были попытки обосновать и это число применительно к устойчивому выражению, описывающему количество храмов Москвы: если считать не собственно здания, а так называемые престолы, коих в одном храме может быть несколько, то их общее число бывало близко к полутора тысячам.

Все мы с детства знаем это словосочетание: «за тридевять земель…», то есть где-то очень далеко. Есть, однако, у этой величины и современное численное значение: 27. Потому что 3 х 9 = 27. То есть древние сказители-сказочники уводили своих героев куда-то очень далеко, «за 27 земель». И еще дальше – «в тридесятое государство». Ясно, что «тридесять» – это 30. Неясно лишь, какой перечень государств имелся в виду, когда говорили «в тридесятом государстве». Видимо, перечень, так сказать, актуальных государств был значительно короче тридцати, только в таком случае можно было обозначить совсем неведомое государство. Я предполагаю, что и «тридевять» и «тридесятое» – не столько какие-то точные числа, сколько звучные, хорошо аллитерирующие слова, украшающие речь сказочника и сказительницы, несущие звуковой образ чего-то отдаленного…

В последние годы, например, в речи еще не утвердилось, но распространилось выражение «сто-пятьсот» – как эмоциональный и звуковой образ большого количества.

Важное «круглое» число: столетие – век, центнер, сто. Денежные купюры достоинством в 100 единиц выпускаются практически во всех странах. В общем, не упомянуть это число нельзя.

Поскольку словарь наш – ассоциативный, поделюсь двумя забавными ассоциациями, вызванными числом – или словом – «сто». Обе они связаны с фамилиями.

Первая фамилия – Стогорский: известный советский виолончелист Александр Павлович Стогорский. Родной младший брат другого всемирно известного виолончелиста – Григория Павловича… Пятигорского! Оба они по рождению были Пятигорскими. Старший – Григорий – эмигрировал в Америку и остался Пятигорским. Младший прожил всю жизнь в СССР и, чтобы не возникало путаницы с братом, взял псевдоним Стогорский, который стал и официальной фамилией.

Вторая ассоциация позаковыристее. Был такой знаменитейший австрийский архитектор: Фриденсрайх Хундертвассер (1928–2000). Его настоящее имя – Фридрих Штовассер. Будучи еще совсем молодым человеком – в 1949 году, – Штовассер начал придумывать себе псевдоним. Сперва он обнаружил, что первая часть его фамилии «Што» звучит похоже на русское (и в некоторых других славянских языках) «Сто». Потом это «сто» перевел на немецкий: «хундерт». Получилось – Хундертвассер. Над именем он трудился несколько лет. Сперва примерял к себе «Фредерик», потом – «Фридерейха», наконец, «Фриденсрайх», что может быть переведено как «богатый миром». Под этим именем он вошел в мировую архитектуру: несколько зданий в Вене, построенных по его проектам, стали едва ли не самыми главными объектами интереса современных туристов.

Замечательное число, красивое внешне и сопровождающееся веселым бредом (иногда, впрочем, и не очень-то веселым) людей суеверных, называющих его «Числом зверя». Тянется это число издалека – со страниц Библии. В Ветхом Завете упоминается трижды:

– «сыновей Адоникама шестьсот шестьдесят шесть» (Ездр. 2:13);

– «В золоте, которое приходило Соломону в каждый год, весу было шестьсот шестьдесят шесть талантов золотых» (3Цар. 10:14);

– «Весу в золоте, которое приходило к Соломону в один год, [было] шестьсот шестьдесят шесть талантов золота» (2Пар. 9: 13).

В Новом Завете упоминается один раз, в Откровении Иоанна Богослова: «Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо число это человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть.»

Упоминания числа 666 в Ветхом Завете – просто статистика. Придавать или не придавать ей символическое, мистическое значение – дело толкователей. В Новом Завете мистический смысл заявлен сразу. Коли так, то решили «придать значение», пустившись в обратный путь: с помощью гиматрии, то есть числовых значений букв (см. Каббала), восстановить слова – имена, – гематрия которых давала бы 666. Кое-что, конечно, отыскали. Уже во II веке н. э. Ириней Лионский предложил три варианта: Евантас, Титан, Латинянин. Вскоре добавились Лампекис и Бенедикт. Потом – гораздо позднее – «исчислили» императоров Нерона и Домициана, на эту роль пробовался также Наполеон… Но все подобные решения не имели должного резонанса. Испытание временем выдержал другой подход, конспирологический, в котором грядущий Антихрист будет каким-то образом помечен числом 666, и задача в том, чтобы суметь его вовремя распознать.

Мракобесие, охватившее нашу страну после разрушения СССР, пробудило самые дремучие суеверия и всколыхнуло «общественность» на борьбу с Антихристом. Относительно невинные примеры.

– В 1998 году по просьбе верующих Храма Троицы Живоначальной в Воронцове номер московского автобусного маршрута 666, проходящего мимо храма, был изменён. Номер 666 маршрутам более не присваивался.

– В 1999 году «по просьбе многочисленных туристов, не желающих ездить на поезде с номером из "дьявольских" шестёрок» номер пассажирского поезда Москва – Осташков был изменён с 666-го на 604-й.

– В 2000 году из-за религиозных мотивов номер пассажирского поезда Луганск – Симферополь был изменён с 666-го на 242-й.

– На выборах в Государственную думу России в 2007 году Иркутская областная избирательная комиссия отказалась создавать избирательный участок № 666, ссылаясь на неприятности, происходившие на участке с таким номером во время выборов 2003 года.

– В 2017 году авиакомпания Finnair решила отказаться от рейса № 666.

Бдительные борцы с проникновением зловредного числа в жизнь отыскивают его и в узорах денежных купюр, и в орнаментике номеров страниц общегражданских паспортов… Наиболее ожесточенный, массовый характер демонстрирует борьба с тайной записью числа зверя в штрихкодах. Недавно мне показали пачку сливочного масла, производитель которого, идя навстречу пожеланиям суеверных покупателей, печатает поверх штрих-кода две пересекающиеся красные линии, вроде как «крестит» Диавола. Трепет вызывала и дата 06.06.06, от которой ожидали – но так и не дождались – пришествия Антихриста…

Ну, а теперь, стряхнув с себя суеверный морок бесовского числа, посмотрим на само число.

Число «666» относится к так называемым треугольным числам. Если выложить в строку или линию предметы (скажем, кирпичи) в количестве 36 штук, потом над ней – ряд из 35, еще выше – 34, затем – 33, и так далее, до последнего, 36-го ряда, в котором будет один кирпич, мы получим стенку в виде равнобедренного треугольника из 666 кирпичей. Потому что 1 + 2 + 3 + … + 34 + 35 + 36 = 666. Это свойство числа, кстати сказать, сатанисты не упустили: в рулетке на ободе ее диска выставлены игровые числа: от «0» (зеро) до 36. Их сумма, ясное дело, 666. Вот тебе и Сатана, и порок игрового азарта!

Есть еще несколько красивых свойств числа «666». Сумма квадратов первых семи простых чисел:

666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17².

Или вот такое:

333³ + 444³ + 555³ = 666³.

И еще – для любителей математики:

666 является суммой суммы кубов первых шести натуральных чисел и суммы кубов первых пяти натуральных чисел:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 5³ + 4³ + 3³ + 2³ + 1³ = 666;

666 равно сумме своих цифр и кубов своих цифр:

6 + 6 + 6 + 6³ + 6³ + 6³ = 666;

666 является «числом Харшад» (делится нацело на сумму своих цифр):

666 / (6 + 6 + 6) = 666 / 18 = 37;

666 можно представить как сумму чисел, составленных из цифр от 1 до 9, двумя способами в возрастающем порядке цифр и одним в убывающем:

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666,

123 + 456 + 78 + 9 = 666,

9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666.

Этим далеко не исчерпываются замечательные математические игры с числом «666». Не исчерпаются и проблемы с «числом зверя», поскольку страх перед ним – болезнь, называющаяся тоже весьма страшно: «гексакосиойгексеконтагексафобия». Учитывая невозможность это слово запомнить и произнести (и прочитать-то нелегко), думаю, что болезнь сия не может быть исцелена…

Это, конечно, число, но уже на грани не числа, а «ощущения». «Миллион» – почти синоним понятия, скорее даже эмоции – «очень много».

В древнерусском счете для обозначения больших чисел использовалось понятие «тьма» (см. Тьма), и записывали его как . При этом система русского счета подразделялась на малый счет и большой счет. Соответственно, для оперирования в пределах не слишком больших количеств и для очень больших. И в малом, и большом счетах использовалось слово «тьма», обозначавшее разные величины. Так, в малом счете «сто сотен», или десять тысяч (10000 = 10⁴), назывались «тьма малая», а в большом имелась «тьма великая» – тысяча тысяч, или миллион (10⁶).

Использовались и понятие «тьма-тьмущая» – практический синоним бесконечно большого количества, неисчислимого множества. От слова «тьма» произошло и воинское звание «темник» – руководитель большого войска.

О втором значении слова «тьма» – как отсутствие света – сказано в соответствующей статье (см. Тьма). Там же и о глубоком, онтологическом содержании этого важнейшего из понятий.

Вернемся к слову и числу «миллион». Миллион находился за пределом количеств, востребованных в реальной, повседневной жизни крестьянина вплоть до XX века, и, поэтому мог использоваться просто как синоним «очень много». В нашей сегодняшней жизни это уже давно не так. Мы легко оперируем миллионами: и в мире денег, и при оценке населения страны, и во многих других экономических, географических и физических описаниях реальной жизни. Человеку давно стало мало миллиона, даже в его бытовой лексике угнездились миллиард (тысяча миллионов, 10⁹) и триллион (миллион миллионов, 10¹²) – так принято называть эти величины в России. Но человечество пока еще недалеко ушло от использования двух видов счета – малого и большого и, соответственно, от путаницы в этом вопросе. За пределами России сосуществуют «короткая» и «длинная» шкалы. В «короткой» число 10⁹ называют «биллион», а 10¹² – «триллион»; в «длинной» 10⁹ называют «миллиард», а 10¹² – «биллион». В США, например, «остров миллиардеров» (в Майами) называется «Billionaire Island», то есть в Америке миллиардеров измеряют по «длинной» шкале.

Слово «миллион» по-прежнему несет в себе не только числовое, но и эмоциональное содержание, придавая ясную окраску «очень большого количества» в таких строчках, как «миллион, миллион, миллион алых роз», да и в названии «миллионер» тоже присутствует не одна лишь числовая оценка собственности в денежном выражении.

Ну, а какое число «самое большое»? (Во малограмотный, – подумают читатели, помнящие школьную математику. Нет самого большого числа, ряд чисел бесконечен!)

А я упорствую: какое число самое большое? Не в смысле модели бесконечного ряда чисел, не «математическое» самое большое число, а «физическое» самое большое число? То есть самая большая величина, имеющая физический смысл? Ну, например: если пересчитать все существующие во Вселенной элементарные частицы, это будет «самым большим числом»?

Мне, кажется, это верный ход мысли, но… Многие элементарные частицы неустойчивы, не все открыты, их количество есть величина переменная, да и «размер Вселенной» – величина оценочная. Да и одна ли Вселенная во Вселенной? В общем, точное количество «элементарных частиц» во Вселенной определено быть не может, а вот оценки имеются: от 10⁷⁹ до 10⁸¹. Назвать это число своим именем затруднительно, хотя гораздо большее число 10¹⁰⁰ название имеет: «гугол» (googol). Но за этим числом нет никакой физической реальности. Если, конечно, не считать компанию «Гугл» (Google), которая взяла себе в качестве имени искаженное «гугол».

А самое маленькое число, имеющее физический смысл? Ну, конечно, ноль. А если не ноль, но очень маленькое? Самый маленький размер, масса, время?

Тут снова придется погрузиться в микромир и узнать, что в нем все не так как в нашем макромире. Микромир – квантовый и релятивистский одновременно. Это означает, что в нем действуют законы квантовой механики, в нем все движется со скоростями, близкими к скорости света, в нем действует принцип неопределенности (Гайзенберга – Бора), согласно которому мы не можем одновременно точно измерить координаты частицы и ее скорость, в нем нет вообще частиц и тел в привычном для нас образе и виде, а есть вероятности их присутствия в неких областях, размытых не только в пространстве, но и во времени… И чем полнее и точнее мы будем пытаться описать этот мир словами, тем все менее соответствующими действительности будут наши слова, и единственный способ описания и анализа микромира дает язык высокой, сложной математики.

И тем не менее физика – наука строгая и любит давать ответы на ей самой поставленные вопросы. Есть в физике фундаментальная единица длины: около 1,6х10^–35 м, так называемая планковская длина – по имени Макса Планка, одного из создателей квантовой механики. Каков смысл этой единицы? Если рядом нет физиков, то можно упрощенно говорить, что это и есть самое маленькое расстояние или самый маленький размер, меньше которого быть ничего реального (то есть имеющего физический смысл) не может, потому что…

Стоп! – скажем себе. Не надо пытаться на пальцах объяснить все на свете. Надо быть честным и мужественным: хотите в этом разобраться глубже – изучайте университетскую физику. И тогда вы узнаете и про остальные планковские единицы – массы, времени, температуры, заряда и частоты. И тогда их физический смысл вам станет понятен.

Завершая, однако, подчеркну, чтобы не было путаницы: планковские величины – это единицы измерения, а не реальные объекты, имеющие такие размеры, массу и пр. То есть на вопрос о самом маленьком (ненулевом) числе, описывающем реальный материальный объект или событие, я достаточно полно и не ответил. Но я приведу примеры очень маленьких величин, которыми оперируют в современной физике.

Время протекания ядерных реакций: 10^–23 сек. Но и это оценочная, а не измеренная величина. Что касается экспериментально измеряемого промежутка времени, то самым малым на сегодняшний день является аттосекунда: 10^–18 сек. При исследовании размеров элементарных частиц (в частности, кварков) оперируют аттометрами (10^–18 м), а их массы – величины порядка 10^–27 кг. Самой маленькой измеренной силой является 174 иН (йоктоньютон)(yN, yoctonewtons), или 174х10^–24 Н. Её удалось измерить в т. н. ловушке Пеннинга – устройстве в котором в весьма разреженном и предельно охлажденном состоянии находятся ионы бериллия, на которые воздействуют магнитным полем.

Добравшись до самых маленьких величин, следует умолкнуть.