Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

ГЛАВА 7 Пифагорейцы и неопифагорейцы

В учении, которое сегодня известно как пифагорейское, невозможно отделить ядро, приписываемое самому Пифагору Самосскому, от идей, развившихся в течение 100 лет после его смерти. Математические знания пифагорейцев в области гармонии чисел дошли до нас через труды Филолая Кротонского и Архита Тарентского.

Большинство авторов древности утверждают, что после смерти учителя школа Пифагора распалась на фракции, хотя нет единой точки зрения на то, сколько этих фракций было и как они назывались. Наиболее известно деление на пифагорейцев и пифагористов, из которых первые были мистиками, а вторые — математиками, что, возможно, отражало различия между акусматиками и математиками. Однако в наше время трудно найти свидетельства, подтверждающие или опровергающие такое деление. Считается, что так называемые пифагорейцы были первыми последователями Пифагора, и поэтому их называют старыми, или древними, пифагорейцами. Среди них наиболее выделяются фигуры Филолая Кротонского и Архита Тарентского.

Одним из немногих авторов, чьи сведения по истории науки важны для реконструкции примитивного пифагореизма, был Аристотель. Стагирит посвятил пятую главу книги I своей * Метафизики* критике и изложению доктрины «так называемых пифагорейцев», говоря его же словами. Однако некоторые современные ученые считают, что философ описывал более позднее время, когда состояние знаний нельзя было идентифицировать с учением самого Пифагора или первого поколения пифагорейцев. Другие исследователи идут еще дальше и утверждают, что различия между Пифагором и его последователями были весьма велики, так как учитель проявил себя исключительно в религиозной сфере, а его ученики занимались математическими исследованиями.

Как бы то ни было, трудно установить точную дистанцию между первыми пифагорейцами и их последователями. Пифагорейство не ограничивается доктриной последователей учителя в узком смысле этого слова: оно включает в себя и влияние, которое они сами оказали на других, в особенности на Платона.

Поскольку Пифагор не оставил письменных работ, трудно сказать, до какой степени тексты, которые традиционно относят к пифагорейской традиции, отражают точку зрения ее основателя. Похоже, поначалу члены братства стремились держать в тайне свои идеи, но последующие поколения сделали их знания всеобщим достоянием. Свидетельства о «настоящих» и «ложных» пифагорейцах и обвинения в предательстве показывают, что в первоначальной пифагорейской среде существовал внутренний конфликт относительно передачи их наследства после рассеяния группы.

Из каких пифагорейских кругов берет начало традиция, приписывающая Пифагору основание математики и числовой космологии? Идея универсальной арифметики стала формироваться и излагаться в письменных источниках уже в более поздние периоды — как минимум, через век после смерти учителя, когда древняя религиозная школа вобрала в себя методологическую и спекулятивную традицию ионийской философии. Начиная с Платона складывается отношение к пифагорейцам как к школе математической и астрономической. Проблему числа заострил Аристотель, который неоднократно заявлял, что «так называемые пифагорейцы» считали число материальной первоосновой всех вещей.

Филолай Кротонский (470-385 до н.э.) жил через 100 лет после Пифагора. Он взял на себя труд изложить и упорядочить пифагорейское учение, начав с космологии. В первой половине V века до н.э. Филолай сформулировал теорию строения космоса, который вращался вокруг центрального огня. Он изложил пифагорейскую физику в целом и выстраивал образ Пифагора и его братства как учителей науки чисел, музыки и астрономической гармонии. Гармония была началом космического равновесия, о чем уже говорили некоторые досократики, так что это влечет за собой вопрос, была ли система Филолая точной реконструкцией учения Пифагора или это сплав с более поздними идеями.

Парадоксальным образом, источники, из которых мы сегодня черпаем знания о греческой математике, отличаются меньшей достоверностью, чем сведения, которые дошли до нас о гораздо более древних Египте или Месопотамии. Не сохранилась ни одна оригинальная рукопись наиболее важных греческих математиков.

Возможное объяснение этому — хрупкость материала, на котором они были записаны, но главная причина состоит в уничтожении больших древнегреческих библиотек. Основные источники знаний о древнегреческих математических трудах — это, во-первых, византийские манускрипты, отстоящие от оригиналов на 500- 1500 лет, а во-вторых, переводы на арабский и латинские версии этих переводов. Проблема всех этих трудов состоит в том, что они являются не репродукциями, а критическими изданиями, так что трудно выделить издательские правки и комментарии или быть уверенными, что оригиналы были правильно поняты. Для дополнения картины классической греческой математики ученые могут прибегать также к источникам, не математическим в точном смысле слова, но тематически смежным с ними. Греческие философы, особенно Платон и Аристотель, много писали о математике, и их труды дошли до нас. Так или иначе, в нашем распоряжении есть тексты Евклида, Архимеда и других греческих математиков, но реконструкция их трудов — это сложнейшая задача, которая и в наши дни оставляет многочисленные лакуны и влечет дискуссии.

Манускрипт, содержащий «Трактат о небе» Аристотеля в латинском переводе, изданный в 1502 году в Голландии.

Кем был Филолай Кротонский? Возможно, он пережил разгром школы в этом городе и бежал в Грецию. Платон рассказывает, что Филолай был учителем в Фивах и умер после возвращения в Кротон ок. 399 года до н.э. Если эти данные верны, то он был современником Сократа и мог встречаться с Платоном в Италии. Платон утверждал, что Филолай первым стал распространять пифагорейское учение и что у самого Платона были экземпляры его трудов. Различные тексты, авторство которых приписывается Филолаю, в наше время считаются подлинными, а его учение оказало весьма глубокое влияние на современников.

Он утверждал, что вся материя состоит из чисел двух типов: ограниченные и неограниченные числа. К этим двум типам добавляется некое третье состояние материи, происходящее из сочетания первых двух элементов — гармония. Душа — это гармоничное сочетание телесных элементов. Гармония как равновесие мира и наполняющих его сущностей — это ключевой принцип теории Филолая, как это видно из приписываемых ему текстов. Кроме того, именно благодаря Филолаю до нас дошла пифагорейская идея о том, что числа гармонично сочетаются в пропорциях, соответствующих трем основным интервалам музыкального звукоряда: октава (2:1), квинта (3:2) и кварта (4:3).

Платон воспринял идеи Филолая и использовал их, чтобы сформулировать собственную космологическую теорию. Три космических принципа кротонца он превратил в четыре: предельное, беспредельное, результат их смешения (мировая материя) и их причина (Демиург). Платонова концепция космоса проникнута пифагорейской идеей гармонии: Вселенная — это прекраснейшее произведение, лучшее произведение искусства из всех возможных, зубчатая передача, состоящая из точнейшим образом подогнанных друг к другу совершенных частей. Некоторые фрагменты платоновских «Диалогов», по-видимому, отсылают к пифагорейскому учению в трактовке Филолая, например, геометрия как способ познания устройства Вселенной. Геометрия для Филолая была основой большинства наук, неоценимым инструментом систематизации и познания чисел. Традиционное пифагорейство настолько «платонично», а Платон настолько «пифагоричен», что Аристотель задавался вопросом, кто, собственно, на кого повлиял.

Архит Тарентский (ок. 428-347 до н.э.) был учеником Филолая. В историю он вошел как астроном и математик, но более всего — как философ, попытавшийся на практике реализовать идеал политика-ученого. Архит сформулировал идею пифагорейского правительства и попытался осуществить ее, так как он был не только философом и ученым, но и избирался в стратеги (военачальники) Тарента семь раз (с 367 по 361 год до н.э.). Источники ставят ему в заслугу то, что в годы его правления город достиг своего расцвета, а демократия — триумфа. Политический рост Тарента — установленный исторический факт, а его система управления, основанная на общественной гармонии, стала прекрасным примером того, какого результата можно достичь, применяя расчет, математику и геометрию в области политики. Ученый из Тарента считал, что математический расчет применим ко всем областям жизни, продолжая тем самым идеи Филолая. Согласно последнему, с помощью счета и геометрии можно разрешить любую проблему. Архит обращался к искусству счета, то есть изучению свойств чисел, как к основе анализа пропорций, на которой можно было построить отношения между логической мыслью, образованием и правосудием. Согласно этой идее, изучение числовых пропорций обеспечивало наилучшее распределение богатства и власти в обществе. Геометрия была тем дидактическим инструментом, который мог руководить душой во всех жизненных проявлениях. Это видение геометрии как инструмента упорядочивания, применимого в астрономии, музыке, торговле или политике, было востребовано в том историческом контексте, где требовалось согласие после длительных периодов раздоров. Архит возродил пифагорейскую политику, но на сей раз она базировалась не на харизме лидера, а на приложении идеи гармонии к взаимодействию социальных классов. Мыслитель послужил связующим звеном между пифагорейцами и Платоном, и дружба этих двух философов хорошо задокументирована их личной перепиской.

Традиция обычно представляет Архита главным действующим лицом последнего периода расцвета пифагорейской школы, в то время как современные историки считают, что он возродил сошедший было со сцены пифагореизм, лишив его мистического аспекта и рационализировав его таким образом, чтобы представить это течение «наукой наук», основанной на математике и музыке. Он автор некоторых серьезных достижений в области математики, которыми позднее восхищался Евклид, — например, ему принадлежит демонстрация иррациональных соотношений и доказательство иррациональности квадратного корня с помощью процедуры, впоследствии названной евклидовой, хотя впервые использовал ее именно Архит.

В области музыки он пытался обосновать гармонию математическими соображениями и изучал пропорции мелодических созвучий — октавы, квинты и кварты. Кроме того, Архит сформулировал акустическую теорию звука, причину которого видел в движении тел в воздухе и разнообразной скорости такого движения, что находилось в русле идеи о гармонии сфер. В геометрии он использовал чисто математический подход. Мыслителю приписывают открытие трехмерного решения задачи об удвоении куба, которое впоследствии предложил Гиппократ Хиосский (ок. 470-410 до н.э.), и это было следствием развития трехмерной геометрии (стереометрии). Архит первым нашел геометрическое решение этой проблемы, неразрешимой в рамках построений исключительно с помощью линейки и циркуля, как и квадратура круга или трисекция угла. Его решение было в геометрическом смысле безупречно, хотя и весьма сложно, и тем не менее оно было неприемлемо с точки зрения строгих критериев греческой геометрии — использования только линейки и циркуля.

Наконец, считается, что Архит собрал все сведения традиции о решении теоремы Пифагора, хотя точных доказательств этому нет. Неоплатоник Прокл (412-485) в своих комментариях к «Началам» Евклида первым приписал авторство теоремы самосскому ученому. Возможно, Пифагор был всего лишь мнимым автором этого открытия, а сама теорема была выдвинута и доказана анонимным гением архаической эпохи.

Удвоение куба получило также название Делосской задачи. Легенда рассказывает о ее решении Архитом, а также о его взглядах на математику как способ обеспечить политическое сотрудничество. Когда на острове Делос, месте рождения бога Аполлона, разразилась эпидемия чумы, жители острова обратились к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как им избавиться от напасти. Ответ был таков: им надо сделать новый алтарь Аполлону в форме куба, который был бы в два раза больше прежнего. Граждане Делоса попытались просто удвоить размеры прежнего алтаря, однако новый куб имел объем в восемь раз больше. Тогда они обратились за советом к Платону, который ответил им: Аполлон таким образом просто решил обратить их внимание на то, что следует неустанно заниматься геометрией. Когда эта задача стала известна Архиту, он смог разрешить ее с помощью геометрии, использовав так называемую кривую Архита. Тарентский ученый предложил использовать кривую, которая образуется движением точки, и поверхность, которая образуется движением кривой. С помощью этих инструментов он решил задачу, найдя пропорцию между двумя заданными величинами. В современной записи, приняв для простоты длину ребра первоначального куба за 1 и введя такие переменные х и у, что

1/x = x/y = y/2.

получаем: х² - 3√2. Искомый ответ невозможно воплотить с помощью линейки и циркуля. Эти величины можно построить геометрически, найдя пересечение между тремя поверхностями: тор, конус и цилиндр.

Виртуальная реконструкция пересечения тора (светло-серый), конуса (промежуточный тон) и цилиндра (самый темный).

Философы, хронологически отделяющие Платона от пифагорейцев, занимались изучением первооснов бытия, но напрямую не применяли в своих исследованиях математику. Парменид, Зенон, Эмпедокл, Левкипп Милетский (ок. 500-430 до н.э.) и Демокрит Абдерский (ок. 460-370 до н.э.) провозгласили великие принципы, которые редко основывались на наблюдениях, но предполагали, что природа познаваема. Каждый из этих принципов представлял собой звено той цепи, которая привела к математическим исследованиям природы.

Влияние пифагорейских идей на Платона повлекло за собой быстрое развитие идей о числах и гармонии, изначально сформулированных Филолаем, а также геометрических и политических воззрений Архита. Платон был великим популяризатором математики в качестве инструмента познания действительности. Согласно Платону, чувства обманывают нас, а знание физического мира не имеет особой важности, потому что материальные вещи изменчивы. Таким образом, прямое изучение природы и физические исследования бесполезны. Физический мир — это лишь несовершенная копия мира идеального, и именно этот последний должен стать объектом изучения математиков и философов. Геометрия же для Платона была инструментом движения Вселенной к добру.

Платон (ок. 427-347 до н.э.) родился в знатной семье и в молодости стремился заниматься политикой, однако вскоре понял, что этот путь не подходит для людей, обладающих совестью. Он отправился в Египет и в Южную Италию, где посетил пифагорейцев. Платон был не ученым-математиком, а скорее дилетантом-энтузиастом и был убежден в важности этой дисциплины как науки наук. Тем не менее практически все важнейшие математические труды того времени принадлежат его друзьям или ученикам. В Афинах философ основал Академию, высшую школу, при которой находилось большое пространство со зданиями, где Платон со своими ассистентами читал лекции. Изучение философии и математики стало основным назначением Академии в классический период. Древняя Академия была разрушена римлянами в 86 году до н.э., но преподавание там продолжалось, и история Академии насчитывала уже 900 лет, когда в 529 году христианский император Юстиниан повелел закрыть ее, обвинив в обучении языческим и извращенным наукам.

Мозаика I века из Помпей, на которой персонажи, собравшись вокруг солнечных часов, рассматривают сферу. Традиционно считается изображением афинской Академии Платона (Национальный музей Неаполя).

Отношение Платона к математике было ключевым элементом его философии, которая утверждала существование объективной реальности, складывающейся из форм и идей. Идеи Платона были независимы от человеческого восприятия, неизменны, вечны и вневременны. Они постигались с помощью реминисценции, своего рода скрытого воспоминания — хотя эти идеи и присутствовали в душе, их необходимо было как-то вытащить на поверхность. Такими идеями были добро, истина, справедливость, красота... Математические идеи были заключены в подобных представлениях, но занимали более низкое положение — как промежуточная ступень между чувственным миром и миром высших идей. В рамках этой философии математика играла двойную роль: с одной стороны, она была частью реальности, а с другой — помогала организовать разум так, чтобы он постигал высшие, вечные идеи.

Его астрономия также, по-видимому, основывалась на пифагореизме. Платон перенял древнюю пифагорейскую традицию, которая связывала полет души с круговым движением звезд, он утверждал, что душа вовлечена в кружение звезд с их музыкальной гармонией. Пифагорейская астрономия той эпохи, то есть времен Архита, утверждала, что планеты движутся по геометрическим законам и, следовательно, имеют душу и представляют собой божественные сущности. Влияние пифагорейской математики можно найти и в образовательной деятельности Платона: платоновская диалектика — это финальная ступень ряда математических дисциплин, который начинается с арифметики и геометрии плоских фигур; изучение музыки и музыкальной гармонии, а также математических основ движения звезд позволяет доказать их божественную природу. В «Государстве» Платон говорит о связи между правосудием и математически-музыкальными пропорциями. Математика превращается в способ доказательства, что порядок в природе соответствует и нравственному порядку, ведь присутствие числа можно найти во всех вещах, поскольку число являет собой след божественного происхождения мира.

Однако Платон в своих дерзких мечтах пошел гораздо дальше пифагорейцев, желая не только расшифровать тайны природы с помощью математики, но и заменить природу математикой. Он утверждал, что после того как разум окинет взором физический мир, чтобы получить о нем какое-то представление, он может продолжать познание без помощи органов чувств. С этой точки зрения природы просто не существовало, существовали лишь математические законы, а физику заменяла геометрия. Платон пояснял свою позицию, приводя в пример астрономию. Порядок звезд на небе и их движения были прекрасными, но астрономия должна заниматься законами движения звезд на математическом небе. Платон имел в виду теоретическую астрономию. Конфигурация небесных тел должна была представлять собой лишь схемы, чтобы открыть путь к изучению высших истин.

Хотя поначалу Аристотель принял идеи своего учителя Платона, но затем его взгляд на мир и отношения математики и природы настолько изменился, что можно сказать, что теории Платона и Аристотеля прямо противоположны друг другу. В книге «Математическая мысль от античности до наших дней. История математики» известный историк и популяризатор математики Морис Клайн представляет Аристотеля как физика, в отличие от Платона. Аристотель верил в существование материальных вещей, в первичность материи как основы реального мира. Для него мир был материей и формой. Материя отличается неопределенностью и становится чем-то, лишь когда приобретает конкретную форму. Так, интересующими его вещами, которые должны стать объектом научного рассмотрения, были форма и изменения материи: то есть наука должна была заниматься изучением физического мира. Очевидно, Аристотель не мог не критиковать мир Платона и его сведение всех наук к математике, что Стагирит и сделал в своем труде «Метафизика». Этот знаменитый труд представляет собой собрание из 14 книг, которые традиционно публикуются как единый трактат, но на самом деле написаны независимо друг от друга и собраны воедино уже впоследствии. Их содержание не является систематическим изложением, а служит лишь опорой для преподавания: каждая книга содержит серию лекций по определенной теме.

Так называемые пифагорейцы, которые первыми начали разрабатывать математическую науку, не только продвинули ее вперед, но и, вскормленные на ней, поверили, что ее законы — это законы всего сущего.

Аристотель, «Метафизика», книга I

Книга I является введением в курс: в ней Аристотель объясняет, что такое мудрость и как ее достичь. Главы 1 и 2 посвящены причинам и основным законам. Начиная с третьей главы Стагирит излагает доктрины предшествующих философов и подвергает критике их недостатки. Критика пифагорейцев содержится в главе 5, где проводится параллель между пифагорейской мыслью и философией элеатов. Именно Аристотель составил то, что называется пифагорейским списком противоположностей — десять пар противоположных понятий, которые представляли элементы Вселенной. Как говорит Стагирит, пифагорейцы использовали эти противоположности для обозначения всех явлений, происходящих из действия двух космических сил и антагонистических законов.

«...Очевидно, что они число принимают за начало и как материю для существующего, и как [выражение] его состояний и свойств, а элементами числа они считают четное и нечетное, из коих последнее — предельное, а первое — беспредельное; единое же состоит у них из того и другого (а именно: оно четное и нечетное), число происходит из единого, а все небо, как было сказано, — это числа. Другие пифагорейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно: предел и беспредельное, нечетное и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадратное и продолговатое»[¹ Перевод А. В. Кубицкого.].

Аристотель (384-322 до н.э.) родился в Стагире, греческом городе в Македонии. Почти 20 лет он был учеником Платона, а три года (с 343 по 340 год до н.э.) — учителем Александра Македонского. В 335 году до н.э. он основал свою школу (Лицей), которая состояла из сада, аудитории и святилища, посвященного музам. Стагирит написал множество книг на самые разные темы, как научные, так и литературные, и хотя он не посвятил отдельной работы математике, она появляется в его текстах постоянно, так как Аристотель часто использовал ее в примерах. Таким образом, он занимался базовыми принципами, отделяя аксиомы от общих сведений (то есть общих мнений, далеких от науки) и постулатов (то есть начальных положений конкретной науки). Однако одним из самых значительных его достижений было основание логики. Базовые принципы этой науки древние греки уже применяли в математических доказательствах, но заслуга Аристотеля в том, что он систематизировал и свел воедино ее приемы.

Какое место занимала математика в мире Аристотеля, столь критично настроенного к пифагорейцам и Платону? В его понимании математика помогала физике в описании таких свойств, как форма и количество, и в объяснении наблюдаемых материальных феноменов, она была способом абстрагирования от реального мира. Математические объекты существовали только в человеческом разуме. Хотя математическая наука могла дать многие определения, она не обеспечивала возможности показать качественные отличия. Разные цвета, к примеру, не могли быть сведены к геометрическим различиям. Аристотель проводил формальную границу между математикой и физикой и ставил первую в подчиненное положение по отношению ко второй.

Пифагорейство вновь возродилось в I веке до н.э. и было весьма влиятельным течением в следующие 300 лет в форме неопифагорейства. Неопифагорейцы взяли на вооружение фигуру Пифагора, считая его основателем их образа мысли, они часто заявляли о преемственности и декларировали, что их целью является возрождение пифагорейского учения. Несмотря на такие декларации, кроме собственно пифагорейской доктрины, в неопифагорействе слились элементы платонизма, аристотелевской стоической философии, а также различные восточные течения.

Неопифагорейские идеи разбросаны по разным источникам и настолько отличаются друг от друга, что их трудно свести в единую систему. Основные общие тезисы для всех неопифагорейцев таковы:

— высшая реальность представляет собой единство, выражение которого — математическая единица;

— это единство порождает все остальные проявления реальности с помощью движения, которое позже назовут эманацией;

— единство обладает абсолютной чистотой и трансцендентальностыо.

Неопифагорейство было всего лишь бледным слепком наследия пифагорейцев и не оказало такого влияния на историю науки, как оригинальный пифагореизм. Со времен пифагорейцев виднейшие философы и ученые, которые формировали греческий интеллектуальный мир, особенно в эллинистическую эпоху, размышляли над математическим устройством природы. Теория оставалась незыблемой в течение всей классической эпохи, а исследование математических законов шло своим ходом. Большинство великих математиков принимали эти идеи и следовали им. Данная доктрина царила вплоть до XIX века, и в течение всего этого долгого периода исследование математических закономерностей ассоциировалось с поисками объективной истины. Некоторые греки, к примеру Птолемей, считали, что математические теории представляют собой попытки человека составить точное описание мира, но убеждение, что математика заключает в себе объективную истину, привлекало к этой науке самых заметных ученых и мыслителей в истории.

Согласно традиции, именно первые пифагорейцы назвали Вселенную «космосом»[² Древнегр. kosmos означает «красота, порядок».] и стали видеть в ней порядок, установленный в соответствии с законами математики. Если это так, то этого достаточно, чтобы обеспечить им место на Олимпе человеческого разума. Учитывая оригинальность и силу мысли пифагорейцев, кажется естественным, что эти удивительные люди — политики, математики, физики, философы, а также маги и аскеты — повлияли на труды Платона и Аристотеля и, через этих последних, на деятельность всех великих философов и ученых человечества. Пифагорейская доктрина науки оставила столь глубокий след в истории западной культуры, что Пифагора можно считать одним из самых влиятельных мыслителей и благодаря этому обстоятельству можно сказать, что он достиг своей мечты — обрел бессмертие. Эта победа, пусть и символическая, говорит об огромной силе его разума, поскольку Пифагор, как утверждал Бертран Рассел, был так мудр, что оказывался прав даже в тех случаях, когда ошибался.