Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

ГЛАВА 5 Гармония Вселенной

Отыскивая математическое основание музыкальной гармонии, пифагорейцы стали первыми, кто применил математику для описания законов природы. Связь, которую они установили между арифметикой, геометрией и музыкой, превратила музыкальное искусство в раздел математики. Кроме того, перенося на космос музыкально-числовые соотношения, они создали космологию, в которой движение звезд вызывало музыкальные звуки, находящиеся в совершенной гармонии: это была «музыка сфер».

Предшествующие греческой цивилизации культуры воспринимали природу как хаотический и пугающий мир. Однако около 600 года до н.э. начало складываться новое интеллектуальное направление рационального и критического характера, сформулировавшее идею природы упорядоченной и правильно устроенной, секреты которой человеческий разум может познать.

Вероятно, именно ионийские философы первыми попытались определить первооснову всего сущего, которой они считали некую субстанцию, остающуюся неизменной в чреде всех видимых изменений. Новое направление мысли развивалось медленно, в маленьких группах интеллектуалов, и продолжало оперировать мифологическими категориями и следовать старым ритуалам, которые укоренились в культуре представителей этого направления и среди большинства населения.

В целом эти первые греческие интеллектуалы не уделили достаточно времени тому, чтобы объяснить причины и мотивы, которые привели их к созданию теорий, а сосредоточились на их изложении с максимальной дедуктивной строгостью. У современных историков науки слишком мало источников для точного объяснения, почему именно греки стали развивать такие мощные инструменты науки, как математика. Возможно, мотивом было желание постигнуть законы физического мира: их исследования в области астрономии, оптики и музыки ставили такие задачи, которые послужили сильным импульсом к развитию математики и применению ее в этих областях.

Гравюра по дереву из «Музыкальной теории», труда композитора и исследователя музыки эпохи Возрождения Франкино Гаффурио (1492). На первом рисунке изображен библейский персонаж Иубал, «отец всех, кто играет на гуслях и свирели», остальные три рисунка изображают музыкальные эксперименты Пифагора.

Первой значительной группой, развивавшей математический взгляд на природу, была пифагорейская секта. Нет никаких сомнений, что их религиозные воззрения были мистическими, но философия природы была совершенно рациональной. Членов группы поражало, что различные явления, качественно отличающиеся друг от друга, демонстрируют одинаковые математические свойства. Они считали, что эти свойства должны быть первоосновой всех явлений. И так как они воспринимали числа как точки или как элементарные частицы материи, то число и было материей, формой существования Вселенной и причиной любого явления.

Само слово «музыка» берет начало от греческого термина musika, что значит «имеющее отношение к музам». В греческой мифологии музы были богинями — покровительницами музыки, танца, астрономии и поэзии. Можно сказать, что музыка эфемерна и существует только в памяти: она развивается во времени и неуловима. Эти ее качества, среди прочих, придают музыке несколько магический оттенок, который заставил человека использовать ее в своих ритуалах с древнейших времен и сделал ее важнейшим компонентом религиозного культа. Музыка заняла в космосе Пифагора и пифагорейцев центральное место.

Согласно легенде, идя однажды по дороге, мудрец с Самоса услышал удары молота, доносившиеся из кузницы. Он подошел поближе и увидел, что звук рождается из вибрации металла под ударами инструмента; более длинные куски издавали более низкие звуки. После этого наблюдения он стал ставить эксперименты с колоколами и кувшинами с водой и занялся изучением вибраций струн на лире и монохорде — инструменте с одной струной, изобретение которого приписывают Пифагору, — пока не открыл общих отношений между длиной вибрирующего участка струны и высотой звука.

Вероятнее всего, все происходило не так, как рассказывает легенда, хотя во многих источниках Пифагор действительно именуется изобретателем музыкального искусства, которому он приписывал благотворное влияние на людей. Ученый изучал законы акустики и первый нашел отношения между числами и гармоническими звуками, то есть теми, одновременное звучание которых приятно для слуха. Он оставил миру первую математическую теорию музыки и тем самым сделал шаг в направлении устранения произвольных суждений в исследованиях природы и к сведению хаоса к понятной и упорядоченной модели. Перевод музыки в числовые соотношения стал возможен, когда были установлены два факта:

— звук, получаемый при щипке струны, зависит от длины струны;

— гармонические звуки производятся при равном натяжении струн, соотношение длин которых выражается целыми числами.

Пифагорейцы тщательно изучали звуки единственной струны монохорда, изменяя ее длину так, как прижимаются струны на современной гитаре. Варьируя длины струны, они получали разные музыкальные ноты. Чем короче струна, тем выше была нота. Затем, при сравнении пары звуков, произведенных струнами различной длины, они открыли нечто удивительное: деление длинной струны на малые числа — надвое, на одну треть, на две трети от первоначальной длины — производило гармонично сочетающиеся звуки, то есть звуки, приятные для слуха. Таким образом, длины струны, соответствующие каждому гармоническому сочетанию звуков, можно выразить соотношением целых чисел. Благодаря этому наблюдению пифагорейцам удалось выстроить математическую модель физического феномена, опираясь, прежде всего, на свое эстетическое чувство — нечто похожее на то, что произошло с золотым сечением в рамках формирования концепции красоты в эпоху Возрождения.

Гармонические отношения, интервалы, которые нашли пифагорейцы, сегодня изучаются в каждой музыкальной школе:

— октава: самый простой интервал, который получается, если струну прижать на середине ее длины или же ущипнуть две с равной силой натянутые струны, одна из которой вдвое короче другой. Это соотношение в числовом виде выражается как 2:1. На музыкальном языке «интервал между двумя одинаковыми нотами составляет октаву»: например, это расстояние между нотой до и следующим до;

— квинта: это такое гармоническое отношение, когда струна прижимается в точке, находящейся на одной трети от всей длины струны, или же когда звучат две струны с соотношением длин 3:2. В этом случае более короткая струна производит ноту на квинту выше, чем более длинная (к примеру, интервал между до и соль)]

— кварта: сочетание, в котором струна зажимается на расстоянии одной четверти всей длины или же когда звучат две струны с соотношением длин 4:3, и тогда на музыкальном языке говорят об интервале кварта (скажем, интервал между до и фа).

Октава,квинта и кварта — три музыкальных интервала, открытые пифагорейцами, — показаны в соотношении к соответствующим частям полной длины струны.

Таким образом, музыкальные интервалы в зависимости от пропорций деления струны, выраженных в формуле

(n+1)/n

гармоничны и приятны для слуха. На основании этого факта пифагорейцы заявили о существовании прямой связи между числом и гармонией. Они составляли свои звуковые ряды, основываясь на простых числовых соотношениях между различными звуками. Так, пифагоров ряд базируется на двух самых простых интервалах — октаве с соотношением 2/1 и квинте с соотношением 3/2. Пифагорейцы получали различные ступени звукоряда, связывая квинты и прибегая к тому, что называется перенесением на октаву, то есть деля и умножая на 2, чтобы расположить получаемые ноты в необходимом порядке.

Этот процесс выглядит так (взяв за первый звук до, можно получить подобным образом весь звукоряд начиная с любой ноты). Прежде всего высчитывается первая восходящая квинта для получения соль. Следующая восходящая квинта даст нам ре, а далее — ля, ми и си. Отсчитав теперь нисходящую квинту от начального до, мы получим фа. Таким образом строятся семь нот звукоряда:

фа ← до → соль → ре → ля → ми → си.

Продолжая откладывать квинты, можно получить 12 звуков хроматической гаммы, которая называется также додекафонической, потому что содержит 12 полутонов западного темперированного звукоряда. Это наиболее используемая система гармонического строя в западной музыке. Она основывается на темперированном полутоне, который равен 1/12 части октавы и в числовом выражении составляет корень 12-й степени из двух. Он, в свою очередь, делится на 100 центов (цент — это сотая доля полутона),

соль |>← ре |>→ ля |>← ми |>← си |>← фа ← до → соль → ре → ля → ми → си → фа #,

В музыке цент — безразмерная логарифмическая единица отношения двух частот или значений границ музыкального интервала. Цент равен 1/100 полутона — это настолько малое значение, что оно находится за пределами человеческого восприятия. С учетом того, что 12 полутонов составляют одну октаву, цент — это такое число, что:

(с¹⁰⁰)¹² = 2 => с¹²⁰⁰ = 2 => с =¹²⁰⁰√2.

где символы бемоль (|>) и диез (#) обозначают, соответственно, звуки на полтона ниже или выше обозначенных. Получив 12 нот с помощью откладывания квинт, достаточно будет расположить звуки в пределах одной октавы путем перенесения на октаву.

После изложения необходимых предварительных принципов можно определить положение каждой ноты с помощью умножения квинт и перенесения на октаву, учитывая, что (напоминаем) значение пропорции частот будет 1 для отношения ноты до к самой себе и 2 — для отношения до и до следующей октавы. Прежде всего, определяется нота соль, которая отстоит на квинту от до:

соль = 3/2 от до

или, проще:

соль = 3/2.

Далее определяется ре, которое находится на квинту от соль. Она получается умножением на 3/2 и перенесением на октаву, то есть умножением на 1/2 или делением на 2. Расстояние от до до ре называется тоном. Тон — типичная дистанция между двумя нотами в темперированной системе, соответствующая одной седьмой октавы и, логичным образом, делящаяся на два полутона. Выполнив простейшие умножения, мы получаем интервал от до до ре:

ре = соль · 3/2 · 1/2 ре = 3/2 · 3/2 · 182 ре = 9/8.

22 222 8

После этого так же определяется ля, отстоящее от ре на квинту:

ля = ре · 3/2 ля = 9/8 · 3/2 · 1/2 ля = 27/16.

Ми находится через квинту от ля, но необходимо перенесение на октаву:

ми = ля · 3/2 · 1/2 ми = 27/16 · 3/2 · 1/2 ми = 81/64.

Ряд завершается си, отстоящим на квинту от ми, и фа, на квинту вниз от до, перенесенного на октаву вверх (то есть умноженного на 2). Так образуется то, что в наши дни известно как квинтовый круг, представленный на рисунке.

Таким образом, если принять для до значение 1 получается следующая таблица.

Этот процесс можно продолжать далее для определения нот, обозначенных на фортепьяно черными клавишами, или бемолей, продвигаясь вниз по квинтам, начиная с фа.

Поднявшись на квинту от си, мы получаем фа#, которое должно бы быть тем же звуком, что и соль|> после соответственного перенесения на октаву. Однако это разные звуки: разница между фа# и соль|> называется пифагоровой коммой. Таким же образом, после перенесения на октаву звуки фа# и ре|> находятся друг от друга на расстоянии точной квинты, но образуют интервал, который отличается от квинты на пифагорову комму. Такая квинта чуть меньше и называется «волчьей квинтой».

Структура квинтового круга представляет собой комбинацию двенадцати квинт, которые в результате приходят к ноте, почти идентичной начальной, но через семь октав, как это показано на клавиатуре.

Эта разница в «почти», проявляющаяся на расстоянии семи октав, и называется пифагоровой коммой. Можно вычислить ее значение СР, приняв за отправной пункт частоту ƒ и сравнив цепочки из двенадцати квинт и из семи октав:

CR = ƒ · (3/2)12/(ƒ · 27 ) = 1, 013643265.

Таким образом, разница составляет более 1 % октавы, или почти четверть тона. Эта разница возникает потому, что дробь, которой выражается квинта, несовместима с октавой, что можно легко доказать. Можно выяснить, существуют ли такие значения х и у, которые позволяли бы увязать эти дроби:

(3/2)^x = 2^y => 3^x/2^x = 2^y => 3^x = 2^x+y.

Как видим, необходимо найти число, которое было бы одновременно некоторой степенью 2 и 3. Но так как 2 и 3 — простые, существование такого числа противоречило бы фундаментальной теореме арифметики, согласно которой любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел. Эта теорема, сформулированная еще Евклидом, была доказана математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855). Исходя из нее можно утверждать, что интервалы, сложенные из квинт и из октав, никогда не сойдутся, то есть существование хроматического звукоряда без пифагоровой коммы невозможно.

Греки называли ноты первыми буквами ионийского алфавита, присвоив отдельную букву каждому полутону и каждому звуку, повышенному на октаву. Наше фа обозначалось как а, повышенное фа — как β (бета), фа, повышенное на две ступени, — γ (гамма).

Пифагор не только был очарован мистикой натуральных чисел, на него большое влияние оказали открытия, связанные со средним арифметическим, средним геометрическим и средним гармоническим, что можно увидеть на схеме справа. Таким образом, 3:4 — это среднее арифметическое 1 и 1/2:

1 - 3/4 = 3/4 - 1/2.

а 2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:

(1 - 2/3)/1 = (2/3 - 1/2)/(1/2).

Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2 и 2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) производят приятные звуки, и из этого факта вывел звукоряд, о котором мы уже говорили. Назвал он эти интервалы диапазон, диапенте и диатессарон, а сегодня они известны как октава, квинта и кварта. Можно заметить отсутствие здесь среднего геометрического: возможно, Пифагор отказался от него, потому что столкнулся с проблемой высшего порядка, и весьма серьезной, как мы покажем дальше. Операция со средним геометрическим приводит к появлению несоизмеримых чисел и в точности соответствует повышенному фа хроматического ряда.

Римляне также использовали для записи музыкальных звуков первые буквы своего алфавита. Римский философ Боэций (480-525), автор «Утешения философией», взявшийся за задачу совместить философские школы Платона и Аристотеля, создал трактат о теории музыки. В этой книге, известной под латинским названием De musica («О музыке»), он предлагает звукоряд из 15 нот, представляющих две октавы, игнорируя циклический принцип построения октав.

Этот принцип вспомнят позже, обозначая одними и теми же буквами одинаковые ноты разных октав. Так называемая немецкая, или английская, номенклатура ввела для семи нот главной октавы большие буквы от А до G, следующей октавы — маленькие буквы от а до g, третьей октавы — двойные маленькие буквы ( аа, bb, сс, dd, ee, ff, gg). Таким образом, семь из 12 звуков, соответствующие нынешним белым клавишам фортепьяно, получили собственные имена. Остальные пять были названы позже, после появления концепции бемолей, бекаров и диезов. Их названия основаны на названиях основных семи.

«Рука Гвидо», как она изображена в работах бенедиктинского монаха.

В XI веке тосканский монарх Гвидо д’Ареццо (ок. 995-1050) значительную часть времени посвятил тому, чтобы создать мнемонические правила для исполнителей музыки. Самое, пожалуй, известное из них называется «рука Гвидо», в соответствии с которым ноты располагаются в алфавитном порядке на кисти руки. Гвидо д’Ареццо даже переименовал ноты, присвоив каждому звуку слог из широко известного в то время гимна Иоанну Крестителю: «Чтобы слуги твои голосами своими смогли воспеть чудные деяния твои, очисти грех с наших опороченных уст, о Святой Иоанн», что на латыни звучит следующим образом:

Ut queant laxis

Resonare fibris

Mira gestorum

Famuli tuorum

Solve polluti

Labii reatum

Sancte Iohannes.

После замены ut на до сложились названия семи нот, которые существуют в большинстве языков до сих пор.

В своих поисках гармонии Вселенной пифагорейская школа строила астрономические акустические модели и изучала музыку и арифметику. Пифагорейцы сводили движение планет к числовым отношениям. Они считали, что небесные тела в своем движении через космическое пространство рождают гармонические вибрации, музыку сфер. Возможно, к такой идее они пришли, услышав звук, который издает предмет, привязанный к колеблющейся струне, как это практиковалось в некоторых религиозных обрядах. Кроме того, члены братства утверждали, что небесное тело, двигающееся быстрее, должно производить более высокий звук, чем то, которое движется медленнее. Однако, согласно их астрономическим воззрениям, быстрее двигалось то тело, которое находилось дальше от Земли, поэтому и звуки, производимые планетами,— человек не мог услышать их без помощи инструментов, так как привык к ним с рождения — варьировались в зависимости от расстояния от них до Земли и находились в гармонии между собой.

Пифагор и его ученики пытались не просто наблюдать и описывать движения небесных тел, но и найти в них какую-то закономерность. Идея единообразного кругового движения, очевидная для наблюдаемых Луны и Солнца, подсказывала, что движения планет также подлежат объяснению в рамках круговых перемещений.

Греко-римская цивилизация в целом культивировала теоретическую науку, в рамках которой знания не были связаны ни с какой практической деятельностью. Высшие дисциплины распределялись на две большие группы. Первую, тривиум («три дороги»), составляли грамматика, диалектика и риторика. Вторая, квадривиум («четыре дороги»), охватывала арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Весь комплекс из двух этих «путей», или семь свободных искусств, стал семью ступенями, которые вели человека к равновесию в гармоничной Вселенной.

Семь свободных искусств на фреске Андреа Бонайути, выполненной в 1365 году в Испанской капелле флорентийской базилики Санта-Мария-Новелла. Каждое из искусств представлено женской фигурой, перед которой помещен кто-нибудь из великих мыслителей. Среди них и Пифагор, изображенный рядом с Арифметикой (в первом ряду слева).

В соответствии с этой концепцией поздние пифагорейцы пришли к революционному выводу, который был связан с полным отказом от некоторых наиболее древних представлений: они первыми предположили, что Земля — это шар. Возможно, эту догадку можно считать самым блестящим достижением пифагорейской космологии, но позже пифагорейцам пришлось прибегать к различным трюкам, чтобы заставить наблюдаемую реальность соответствовать их идее Вселенной.

Так как они считали 10 совершенным числом, то были вынуждены поместить на небо 10 подвижных небесных тел.

В центре того, что они называли Вселенной, а мы — Солнечной системой, располагался «центральный огонь», вокруг которого по идеальным круговым орбитам вращались небесные тела. Самой близкой к центральному огню была Земля. Луна вращалась не вокруг Земли, а имела собственную орбиту, так же как и Солнце, которое было следующим по удаленности от центра телом. Дальше следовали пять планет и, наконец, звезды, которые, словно драгоценные камни, были прикреплены к небесной сфере (см. рисунок).

Простое сложение показывает, что пять планет, а также Земля, Солнце, Луна и сфера звезд в сумме дают лишь девять тел. Недостающее десятое тело пифагорейцы придумали, оно вращалось вокруг центрального огня и называлось Антихтон, что буквально можно перевести как «Противоземля».

Однако ни один астроном, включая великих ученых Месопотамии, никогда не видел на небе такого объекта. Впрочем, это обстоятельство последователей Пифагора не смутило, ведь само название, которое они дали десятой планете, все объясняет: десятое небесное тело увидеть невозможно, потому что оно обращается вокруг центрального огня ровно с той же скоростью, что и Земля, и при этом находится точно с противоположной его стороны. При этом обитаемая часть Земли расположена «спиной» к центральному огню.

К сожалению, пифагорейцы, выдвинув первую теорию, предполагавшую движение Земли, не смогли принять идею вращения земного шара вокруг своей оси. Напротив, они были уверены, что именно сфера неподвижных звезд вращается вокруг центра Вселенной. Как бы то ни было, греческий мир воспринял большую часть этого учения, прежде всего единообразное круговое движение и деление космических объектов на небесные и подлунные тела. Некоторые специалисты считают, что именно пифагорейцы предложили идею о том, что небесные тела вечны, божественны, совершенны и неизменны, а объекты подлунного мира, такие как Земля и, по мнению греков, кометы, подвержены изменению, упадку и смерти.

У пифагорейцев странным образом сочетались строгая логичная мысль и на удивление ненаучные концепции. Их сосредоточенность на числах вылилась в философию природы, которая в конечном счете имела мало отношения к природе и повлекла самые разные последствия — как благотворные для развития науки, так и наоборот.

При этом пифагорейцы преодолели наиболее важное ограничение, сдерживавшее ионийцев. И те и другие утверждали, что истинным смыслом исследований должно быть постижение гармоничного порядка, царящего в природе, но ионийцы отстаивали идею единого вещества как первоосновы мира. Пифагорейцы же заменили эту концепцию идеей структуры, формы и числовых соотношений. В известном смысле современная наука следует в русле того значения, которое пифагорейцы придавали числу, хотя и в гораздо более сложном виде.

С другой стороны, некоторая фанатичность помешала пифагорейцам перейти к идеям, более пригодным для объяснения природных явлений, из-за этого законы природы оказались в подчиненном положении по отношению к идеалам красоты, симметрии и гармонии. Несгибаемая вера в первичность числа тормозила прогресс, который мог бы привести к появлению моделей, более пригодных для описания мира.

Экстраполяция числового мистицизма в область космологии с помощью музыки была столь притягательной идеей, что в течение веков она вдохновляла множество мыслителей и художников. В эпоху Ренессанса некоторые соборы строили с соблюдением «музыкальных» пропорций 2:1, 3:2 и 4:3. В 1623 году философ-герметист[¹ Герметизм — эзотерическое философское течение поздней античности, возродившееся в эпоху Ренессанса. Сочетало элементы древнегреческой философии, астрологии, алхимии и магии. Название происходит от мифического основателя течения Гермеса Трисмегиста (Гермеса Триждывеличайшего).] Роберт Фладд (1574-1637), ученик медика и алхимика Теофраста Парацельса (1493-1541), опубликовал труд Anatomiae Amphitheatrum («Анатомический амфитеатр»), включавший иллюстрацию, на которой была изображена рука Всевышнего, настраивающая небесный монохорд. Божественная длань натягивает струну в плоскости, на которой орбиты планет располагаются в соответствии с интервалами музыкального звукоряда.

Знаменитый рисунок монохорда из трактата Anatomiae Amphitheatrum.

Наиболее наглядный пример такой слепоты — греческая космология. Уже в III веке до н.э. стало понятно, что круговые орбиты не соответствуют наблюдаемым движениям небесных тел. Тогда в модель были введены эпициклы — маленькие круги, центр которых движется по основной орбите. Со временем число эпициклов росло, система усложнялась и стала совершенно бесполезной. Сама мысль о том, что небесные тела движутся по каким-то другим, не круговым орбитам, древними греками даже не рассматривалась: это должен быть именно круг — совершенная фигура.

Даже Николай Коперник (1473-1543) в своем великом труде De revolutionibus orbium celestium («О вращении небесных тел»), опубликованном в год его смерти, переместил Землю из центра Вселенной и заменил ее Солнцем, но остался верен круговым орбитам. Только в 1609 году Иоганн Кеплер (1571— 1630) предположил, что орбиты на самом деле эллиптические. Но даже этот революционер не смог полностью избавиться от влияния поэтической идеи о музыкальной гармонии космоса. Хотя Кеплер был ключевой фигурой для научной революции, этот великий немецкий астроном и математик оставался мистиком. Тридцать лет своей жизни он потратил на то, чтобы доказать, что движение планет подчиняется пифагорейским законам гармонии. В поисках фундаментального закона, объясняющего неправильность планетных орбит, Кеплер измерил для каждой планеты ее максимальную скорость в перигелии (ближайшей к Солнцу точке орбиты) и в афелии (самой дальней от Солнца точке). К радости ученого, соотношения между двумя этими скоростями соответствовали гармоническим интервалам, и поэтому он обозначил эти соотношения символами музыкальной нотации, отдав таким образом дань пифагорейской идее музыки сфер. Кеплер изложил свою теорию в трактате Harmonia mundi («Гармония мира»), вышедшем в 1619 году. На его страницах он представил гамму и аккорды, связанные с каждой из планет. Согласно автору, планеты исключительно редко звучат все вместе в совершенном согласии, такая симфония может сложиться только один раз за всю историю мира с момента его сотворения.