Удивительные числа Вселенной

1,000000000000000858

В тот год под рождественской елкой посреди обычной футбольной символики и атрибутики лежало нечто новое. Это был словарь английского языка Collins — один из тех огромных классических словарей, которые при необходимости можно использовать в качестве баррикады. Я не знаю, почему мои родители сочли нужным купить десятилетнему сыну словарь: в то время я не особо интересовался словами. Тогда у меня в жизни были две страсти: футбольный клуб «Ливерпуль» и математика. Если мои родители полагали, что этот подарок расширит мой кругозор, то они жестоко ошибались. Я поразмышлял о своей новой игрушке и решил, что смогу использовать ее хотя бы для поиска больших чисел. Сначала я искал «биллион», затем «триллион», а вскоре обнаружил «квадриллион». Игра продолжалась до тех пор, пока я не наткнулся на поистине великолепный «центиллион». Шестьсот нулей! Конечно, в старом варианте с длинной шкалой наименования больших чисел; сейчас мы перешли на короткую шкалу, и центиллион имеет менее вдохновляющие триста три нуля, а миллиард (он же биллион) — девять нулей, а не двенадцать.

Однако на этом все закончилось. В моем словаре не было ни гуголплекса, ни числа Грэма, ни даже TREE(3). Мне бы понравились эти колоссы. Подобные фантастические числа могут привести вас на грань понимания, на передний край физики и раскрыть фундаментальные истины о природе нашей реальности. Но наше путешествие начинается с другого большого числа, которого тоже не было в моем словаре: 1,000000000000000858.

Полагаю, вы разочарованы. Я обещал вам покататься на левиафанах, а это число вовсе не кажется большим. Даже народ пирахан из тропических лесов Амазонии может назвать что-то большее, хотя их система числительных включает только hói (один), hoí (два) и báagiso (много)[5]. Еще хуже, что это число даже не такое красивое и элегантное, как π или √2. Оно кажется замечательно непримечательным во всех смыслах.

Все это верно до тех пор, пока мы не начинаем думать о природе пространства и времени и об экстремальных случаях взаимодействия человека с ними. Я выбрал именно это число, потому что оно стало мировым рекордом, отражающим пределы нашей физической способности связываться со временем.

16 августа 2009 года ямайскому спринтеру Усэйну Болту удалось замедлить свои биологические часы в 1,000000000000000858 раза. Ни один человек никогда не замедлял время настолько, по крайней мере без механической помощи. Возможно, вы знаете это событие под другим названием. В тот день на чемпионате мира по легкой атлетике в Берлине Болт побил мировой рекорд в беге на 100 метров, разогнавшись на отрезке между 60 и 80 метрами до скорости 12,72 метра в секунду. На трибунах сидели родители бегуна Уэлсли и Дженнифер, и в каждую секунду, прожитую их сыном на этом отрезке, они проживали чуть больше: если точно, то 1,000000000000000858 секунды.

Чтобы понять, как Болту удалось замедлить время, нам нужно ускорить его до скорости света. Нам надо спросить, что произошло бы, если бы спринтер смог догнать свет. При желании вы можете назвать это мысленным экспериментом, но не забывайте, что Болт сумел побить три мировых рекорда на Олимпийских играх в Пекине, питаясь куриными наггетсами. Вообразите, чего он мог бы достичь при правильном рационе.

Чтобы иметь хоть какую-то надежду догнать свет, необходимо предположить, что он движется с конечной скоростью. Это далеко не очевидно. Когда я сказал своей дочери, что свет от ее книги достиг ее глаз не мгновенно, она сразу же проявила скептицизм и настояла на проведении эксперимента, чтобы выяснить, верно ли это на самом деле. Обычно всякий раз, когда я чересчур близко подхожу к экспериментальной физике, у меня идет кровь из носа, но у моей дочери, похоже, обнаружилось больше практических умений. Для определения скорости света она предложила такой метод: выключите свет в спальне, затем снова включите его и посчитайте, сколько времени потребуется, чтобы свет дошел до вас. Это ровно тот же эксперимент, который Галилео Галилей и его помощник провели с закрывающимися фонарями 400 лет назад. Как и моя дочь, физик пришел к выводу, что свет распространяется если и не мгновенно, то необычайно быстро. Скорость света велика, но конечна.

К середине XIX века некоторые физики — например, француз с прекрасным именем Ипполит Физо — взялись определить достаточно точное (и конечное) значение скорости света. Однако чтобы правильно понять, что значит догнать свет, нам нужно сначала сосредоточиться на замечательной работе шотландского физика Джеймса Клерка Максвелла. Она также проиллюстрирует прекрасную синергию между математикой и физикой.

К тому моменту, когда Максвелл изучал поведение электричества и магнетизма, у ученых уже имелись намеки, что они могут оказаться двумя сторонами одной медали. Например, Майкл Фарадей, один из самых влиятельных ученых Англии, несмотря на отсутствие у него формального образования, ранее открыл электромагнитную индукцию, показав, что изменение магнитного поля порождает электрический ток. Французский физик Андре-Мари Ампер также установил связь между этими двумя явлениями. Максвелл взял эти идеи и соответствующие уравнения и попытался придать им математическую строгость. Но он заметил некоторые неувязки: для переменных полей и токов закон Ампера оказывался неверным. Максвелл провел аналогию с уравнениями, описывающими течение воды, и определил поправки для предложений Ампера и Фарадея. С помощью математических рассуждений он нашел недостающие части этой электромагнитной головоломки, и в результате возникла картина, обладающая беспрецедентной элегантностью и красотой. Именно эта стратегия, впервые предложенная Максвеллом, раздвигает границы физики в XXI веке.

Создав свою математически непротиворечивую теорию, объединяющую электричество и магнетизм, Максвелл заметил нечто волшебное. Его новые уравнения допускали волновое решение — электромагнитную волну, где электрическое поле периодически меняется в одном направлении, а магнитное — в другом. Чтобы понять, что обнаружил Максвелл, представьте, что вы плаваете с аквалангом и к вам приближаются две морские змеи. Они двигаются по одной прямой, но электрическая извивается в направлении вверх-вниз, а магнитная — влево-вправо. Что еще хуже, они мчатся к вам со скоростью 310 740 000 метров в секунду. Возможно, последняя часть аналогии ужасает сильнее всего, но она — как раз самая замечательная часть открытия Максвелла. Дело в том, что величина 310 740 000 метров в секунду была скоростью, вычисленной Максвеллом для своей электромагнитной волны: она просто выскочила из его уравнений, как математический чертик из табакерки. Любопытно, что эта величина оказалась также очень близкой к оценкам скорости света, установленным Физо и другими учеными. Вспомните, что, согласно убеждениям того времени, электричество и магнетизм не имели ничего общего со светом; однако оказалось, что они, по-видимому, представляют собой волны, бегущие с одинаковой скоростью. Современные измерения скорости света в вакууме дают значение 299 792 458 метров в секунду, но и параметры уравнений Максвелла теперь известны с улучшенной точностью, так что это чудесное совпадение сохранилось. Благодаря ему Максвелл понял, что свет и электромагнетизм должны быть явлениями одной природы: удивительная связь между двумя, казалось бы, различными свойствами физического мира была обнаружена математическими методами.

Это еще не все. Волны Максвелла включали не только свет. В зависимости от частоты их колебаний (иными словами, от скорости изгибания змей из стороны в сторону) эти волновые решения описывали радиоволны, рентгеновские и гамма-лучи, и, какими бы разными ни были их частоты, скорость перемещения волн всегда оказывалась одинаковой. В 1887 году немецкий физик Генрих Герц измерил скорость распространения радиоволн и установил, что она равна скорости света. Когда ученого спросили о следствиях его открытия, Герц скромно ответил: «Оно совершенно бесполезно. Это просто эксперимент, доказывающий, что маэстро Максвелл был прав». Конечно, всякий раз, когда мы настраиваем радиостанцию на нужную частоту, мы вспоминаем о реальном влиянии открытия Герца. Но даже если он преуменьшал собственную значимость, Герц был прав, называя Максвелла маэстро. В конце концов, шотландец оказался дирижером самой изящной математической симфонии в истории физики.

До того как Альберт Эйнштейн произвел революцию в нашем понимании пространства и времени, ученые в основном полагали, что световым волнам требуется определенная среда для распространения — точно так же, как океанским волнам необходимо двигаться через какую-то воду. Такая гипотетическая среда для света была известна как светоносный эфир. Предположим на мгновение, что эфир реален. Если бы Усэйн Болт догнал свет, ему пришлось бы мчаться через эфир со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Если спринтер наберет такую скорость, что он увидит, двигаясь рядом с лучом света? Свет больше не удаляется от него, поэтому будет выглядеть как электромагнитная волна, колеблющаяся вверх-вниз, влево-вправо, но на самом деле никуда не перемещающаяся. (Представьте морских змей, извивающихся из стороны в сторону, но в итоге остающихся на одном и том же месте в океане.) Однако не существует явного способа приспособить законы Максвелла к волне такого рода, и это заставляет предположить, что законы физики для такой «турбонаддувной» версии ямайского спринтера должны кардинально отличаться.

Это тревожит. Когда Эйнштейн пришел к тем же выводам, он понял, что в самой идее догнать свет есть что-то неправильное. Теория Максвелла была слишком красива, чтобы отказываться от нее только потому, что кто-то быстро двигается. Эйнштейну также требовалось разобраться со странными результатами эксперимента, проведенного весной 1887 года в Кливленде. Два американских физика, Альберт Майкельсон и Эдвард Морли, пытались найти скорость движения Земли относительно эфира, используя некое хитроумное расположение зеркал, но ответ всегда оказывался нулевым. Такой результат означал, что Земля — в отличие от почти всех других планет в Солнечной системе и за ее пределами — почему-то двигается вместе с этим заполняющим пространство эфиром, с точно такой же скоростью и в точности в том же направлении. Как мы увидим далее в этой книге, подобных совпадений без веской причины не бывает. Поэтому просто-напросто эфира не существует, а маэстро Максвелл всегда прав.

Эйнштейн предположил, что законы Максвелла (как и любые другие физические законы) никогда не изменятся, как бы быстро вы ни двигались. Если вас запереть на корабле в каюте без окон, вам не удастся провести эксперимент, который определит вашу абсолютную скорость, потому что таковой не существует. Ускорение — совсем другая история, мы к нему еще вернемся, но, пока капитан корабля плывет с постоянной скоростью относительно моря (будь то десять узлов, двадцать узлов или скорость, близкая к скорости света), вы и ваши коллеги-экспериментаторы в каюте будете находиться в блаженном неведении. Если вернуться к Усэйну Болту, то мы знаем, что его погоня за светом окажется тщетной. Он никогда не догонит луч, потому что законы Максвелла неизменны. Как бы быстро он ни бежал, свет всегда будет удаляться от него со скоростью 299 792 458 метров в секунду.

Все это противоречит нашей интуиции. Если гепард бежит по равнине со скоростью 70 миль (113 км) в час, а Болт преследует его со скоростью 30 миль (48 км) в час, то обычная логика подсказывает, что гепард каждый час будет увеличивать свой отрыв от спринтера на 40 миль (65 км) — просто потому, что его относительная скорость равна 70–30 = 40 миль в час. Но когда мы говорим о луче света, двигающемся по равнине со скоростью 299 792 458 метров в секунду, то неважно, как быстро бежит Болт, — луч света все равно будет двигаться относительно него со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Свет всегда будет двигаться со скоростью 299 792 458 метров в секунду[6] — относительно африканской равнины, относительно Усэйна Болта, относительно стада паникующих антилоп-импал. Это действительно не имеет значения. Мы можем подвести этот итог в одном твите:

Эйнштейну бы это понравилось. Он всегда говорил, что его идеи следовало бы именовать теорией инвариантности, сосредоточив внимание на их наиболее важных аспектах: постоянстве скорости света и инвариантности законов физики. Ироничное название «теория относительности» придумал немецкий физик Альфред Бухерер, критиковавший работу Эйнштейна. Мы называем ее специальной теорией относительности, чтобы подчеркнуть тот факт, что все вышеизложенное применимо только к равномерному движению, или движению без ускорения. Для ускоренного движения (когда гонщик «Формулы-1» нажимает на газ или ракета взлетает в космос) нам нужно нечто более общее и глубокое — общая теория относительности Эйнштейна. Мы подробно поговорим об этом дальше, когда погрузимся на дно Марианского желоба.

А пока давайте придерживаться специальной теории относительности Эйнштейна. В нашем примере предполагается, что Болт, гепард, импала и луч света двигаются с постоянной скоростью друг относительно друга. Их скорости могут различаться, но не меняются со временем, и главное, несмотря на эти различия, все видят, что световой луч удаляется от них со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Как мы уже видели, это общее представление о скорости света, безусловно, противоречит нашему повседневному пониманию относительных скоростей, когда одна скорость вычитается из другой. Но причина здесь только в том, что вы не привыкли путешествовать со скоростями, близкими к световой. Иначе вы бы смотрели на относительные скорости совсем по-другому.

Проблема во времени.

Видите ли, вы предполагали, что в небесах есть какие-то огромные часы, которые сообщают нам точное время. Возможно, вы не считаете, что предполагаете такое, но это именно так, — в частности, когда начинаете вычитать относительные скорости, руководствуясь тем, что считаете здравым смыслом. Мне жаль вас разочаровывать, но эти абсолютные часы — фантазия. Их нет. В реальности существуют лишь часы на вашем запястье, часы на моем запястье или часы на Boeing 747, летящем через Атлантику. У каждого из нас есть собственные часы, собственное время, и показания этих часов не всегда совпадают, особенно если кто-то мчится со скоростью, близкой к световой.

Предположим, я поднимаюсь на борт Boeing 747 и вылетаю из Манчестера. К тому моменту, когда самолет достигает побережья в Ливерпуле, он летит со скоростью несколько сотен километров в час. К легкому раздражению других пассажиров, я решаю подкинуть мяч в салоне на пару метров. Моя сестра Сьюзи (живущая в Ливерпуле) находится на пляже, когда самолет двигается над ней, и, с ее точки зрения, мяч пролетает значительно дальше — примерно двести метров или больше. На первый взгляд кажется, что такая ситуация не требует серьезного пересмотра нашего повседневного представления о времени. В конце концов, быстро летящий самолет просто переносит мяч с собой, и, естественно, Сьюзи видит, что он перемещается намного дальше. Но теперь поиграем в аналогичную игру со светом. Я ставлю вертикально на полу салона фонарик и включаю его: вертикальный луч света двигается перпендикулярно направлению движения самолета. Через какое-то очень короткое время я вижу, как свет достиг потолка салона. Если бы Сьюзи могла заглянуть внутрь, она увидела бы, как свет распространяется по диагонали, поднимаясь от пола к потолку, но при этом также перемещаясь горизонтально вместе с самолетом.

^{Траектория светового луча в глазах Сьюзи на пляже}

Для нее это расстояние по диагонали больше, чем то расстояние по вертикали, которое измерил я; следовательно, она увидела, что свет прошел большее расстояние, нежели увидел я. Однако свет и для нее двигался с такой же скоростью. Это может означать только одно: для Сьюзи свету потребовалось больше времени, чтобы пройти свой путь. Иными словами, с ее точки зрения, мир внутри самолета должен двигаться в замедленном темпе. Этот эффект известен как замедление времени.

Степень замедления зависит от относительной скорости — скорости моего самолета относительно сестры или скорости Усэйна Болта относительно его родителей на трибунах стадиона. Чем ближе вы к скорости света, тем больше замедляется время. Когда Болт бежал в Берлине, его максимальная скорость составляла 12,42 метра в секунду, а время замедлилось в 1,000000000000000858 раза[7]. Это рекорд для человека.

Существует и еще одно следствие замедления времени: вы стареете медленнее. Например, Усэйн Болт постарел примерно на 10 фемтосекунд меньше, чем все зрители на трибунах во время берлинского забега. Конечно, фемтосекунда — это не так уж и много (всего лишь одна миллионная доля от миллиардной доли секунды), но все же он постарел меньше, так что, вернувшись в состояние неподвижности, он прыгнул в будущее, хотя и совсем чуть-чуть. Если вы не очень хорошо бегаете, то для замедления времени можно воспользоваться механическими средствами, и есть все шансы, что у вас получится даже лучше. Например, российский космонавт Геннадий Падалка провел в космосе 878 дней 11 часов и 31 минуту на борту космических станций «Мир» и МКС, вращаясь вокруг Земли со скоростью примерно 28 000 километров в час. В результате ему удалось попасть в будущее на рекордные 22 миллисекунды раньше по сравнению с его семьей, оставшейся на Земле[8].

Однако вам незачем становиться космонавтом, чтобы путешествовать во времени таким образом. Таксист, который ездит по городу сорок часов в неделю в течение сорока лет, окажется на несколько десятых микросекунды моложе по сравнению с человеком, который просто сидит на месте. Если вас не впечатляют микросекунды и миллисекунды, подумайте, что может случиться с бактериями, оказавшимися на борту корабля Starshot, который ученые хотят направить к альфе Центавра. Starshot — детище венчурного капиталиста-миллиардера Юрия Мильнера, который планирует разработать аппарат с солнечным парусом, способный долететь до ближайшей к нам звездной системы со скоростью в 20 процентов от световой. Альфа Центавра находится от нас на расстоянии около 4,37 светового года, поэтому до окончания такого путешествия землянам придется ждать более двадцати лет. Однако для самого аппарата и безбилетных бактерий на его борту время замедлится до такой степени, что путешествие займет менее девяти лет.

В этот момент вы можете заметить кое-что подозрительное. Если наша отважная бактерия будет девять лет мчаться со скоростью в одну пятую от скорости света, то она пролетит менее двух световых лет, а это менее половины расстояния до альфы Центавра. То же и с Усэйном Болтом. Я сказал вам, что он бежал на 10 фемтосекунд меньше, чем вы думали, а поэтому в реальности он и преодолел меньшее расстояние. И это действительно так. С точки зрения Болта, дорожка двигалась относительно него со скоростью 12,42 метра в секунду, поэтому она должна была уменьшиться в длину примерно на 86 фемтометров (что соответствует размеру примерно 50 протонов). Вы можете даже поспорить, что он в каком-то смысле не совсем совершил забег. Для бактерии пространство между Землей и альфой Центавра будет двигаться очень быстро, и в результате оно сократится менее чем на половину своей первоначальной протяженности. Такое сокращение пространства или дорожки берлинского стадиона известно как релятивистское (или лоренцево) сокращение длины. Итак, вы видите, что бег не только уменьшает ваш возраст, но и помогает вам выглядеть стройнее. Если бы вы бежали со скоростью, близкой к скорости света, любой наблюдатель заметил бы, что вы расплющились, как блин, благодаря сокращению занимаемого вами пространства.

Тут есть еще кое-что, о чем вам следует побеспокоиться. Я только что сказал, что дорожка стадиона двигалась относительно Усэйна Болта со скоростью 12,42 метра в секунду. Следовательно, его родители двигались по отношению к нему с точно такой же скоростью. С учетом всего вышесказанного это означает, что Болт должен увидеть, как часы его родителей замедлились. Но это выглядит очень странно, потому что я уже сказал вам: родители Болта должны увидеть, как замедляются часы их сына. Однако на самом деле именно так и обстоят дела: как Уэлсли и Дженнифер видят своего сына в замедленной съемке (!), так и Болт тоже видит их в замедленной съемке. И вот тут есть один действительно тревожный момент: я ведь также отмечал, что Болт финишировал в забеге, оказавшись на 10 фемтосекунд моложе, чем был бы, если бы стоял на месте. Разве мы не можем перевернуть ситуацию и посмотреть на нее с точки зрения Болта? Для его родителей время идет медленнее, так почему они не могут меньше постареть? Кажется, у нас появился парадокс. Он известен как парадокс близнецов (обычно в его объяснении фигурируют близнецы), но, к сожалению, у Усэйна Болта нет близнеца. Впрочем, это неважно. Истина состоит в том, что именно Болт стареет меньше и остается чуть-чуть моложе. Но почему он, а не его родители?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно учесть роль ускорения. Помните: все, что мы до сих пор обсуждали, относится к равномерному движению, когда ускорение отсутствует. В те моменты, когда Болт бежит с постоянной скоростью 12,42 метра в секунду, он и его родители — инерциальные объекты. Это просто причудливый жаргонный термин, который сообщает, что они не ускоряются, на них не действует никакая дополнительная сила, ускоряющая их или замедляющая. Во всех таких случаях применяются законы специальной теории относительности, поэтому и Болт будет видеть своих родителей в замедленной съемке, и наоборот. Однако спринтер не бежит с постоянной скоростью на протяжении всего забега: сначала он разгоняется с нуля до максимальной скорости, а в конце снова замедляется. На отрезках, когда он ускоряется или замедляется, бегун не является инерциальным объектом (в отличие от своих родителей). Движение с ускорением — совершенно другое дело. Например, даже если запереть вас в каюте корабля без окон, вы однозначно сможете сказать, ускоряется ли корабль, потому что почувствуете силу, действующую на ваше тело. Слишком сильное ускорение может даже убить вас. Конечно, смерть Болту никогда не грозила, однако его ускорения и замедления было вполне достаточно, чтобы убрать эквивалентность между ним и его родителями. Такая асимметрия устраняет наш парадокс: более подробный анализ, где тщательно учитывается ускоренное движение бегуна, показывает, что немного меньше будет стареть именно Болт, а не его родители.

Важно понимать, что это не просто забавное развлечение с уравнениями. Это реальные эффекты, которые ученые уже измерили. Установлено, что быстро движущиеся атомные часы тикают медленнее, чем их стационарные аналоги; они «меньше стареют», подобно Усэйну Болту в Берлине. Еще одно свидетельство дала крохотная частица под названием мюон: у нее обнаружена «отсрочка смерти». Мюон очень похож на обычный электрон, вращающийся вокруг ядра атома, но примерно в двести раз тяжелее и живет гораздо меньше. Примерно через две миллионные доли секунды он распадается на электрон и маленькие нейтральные частицы, называемые нейтрино. В Брукхейвенской национальной лаборатории в Нью-Йорке проводится эксперимент, в ходе которого мюоны разгоняют по 44-метровому кольцу до скорости в 99,94 процента от световой. Если учесть известную продолжительность их жизни, можно ожидать, что мюоны до своего распада совершат только 15 кругов; однако каким-то образом они проходят примерно 438 кругов. Дело тут не в том, что у них как-то удлинилась жизнь (если бы вы двигались рядом с одним из мюонов с той же скоростью, вы бы все равно увидели, как он распадается через две миллионные доли секунды[9]), просто при движении на такой скорости длина окружности кольца уменьшается в 29 раз по сравнению с исходной. В результате мюон успевает пройти около 438 кругов, потому что на каждом круге из-за сокращения длины ему приходится проходить меньшее расстояние.

Сокращение длины и замедление времени помогают нам понять, почему ничто и никто (и даже Усэйн Болт) не может двигаться быстрее света. По мере того как Болт все ближе подбирается к скорости света, кажется, что его время замедляется до полной остановки, а расстояния, с которыми он сталкивается, стягиваются к нулю. Как можно еще больше замедлить время? Куда можно еще уменьшить расстояния? Просто некуда. Скорость света представляет собой некий барьер, и единственный разумный вывод состоит в том, что ничто и никто не может двигаться быстрее.

Ускоряясь и приближаясь к скорости света, Болт потребляет все больше калорий, пытаясь разогнаться все сильнее. Скорость света выглядит непреодолимым барьером, поэтому в конце концов его скорость начинает стабилизироваться, а ускорение замедляться. Чем ближе он к скорости света, тем труднее двигаться. Его инерция — сопротивление ускорению — становится все больше. В этом и состоит проблема с попыткой разогнаться до скорости света: инерция увеличивается до бесконечности.

Но откуда берется эта инерция? Единственное, что Болт привносит в систему, — это энергия, и именно она должна быть источником дополнительной инерции Болта. Энергия никуда не исчезает, она просто меняет свой вид, переходя из одной формы в другую. Таким образом, инерция должна быть какой-то формой энергии, и это должно быть истинно, даже когда Болт находится в покое. Хорошо то, что для Болта, находящегося в покое, мы точно знаем инерцию: это просто его масса, ведь чем он тяжелее, тем ему труднее двигаться. Масса и энергия являются одним и тем же — в соответствии с формулой Эйнштейна[10]: E = mc². Ужаснее всего в этой формуле то, какое огромное количество энергии (Е) можно получить из массы (m) благодаря огромной величине скорости света (c). Усэйн Болт в состоянии покоя весит около 95 килограммов, и, если всю эту массу преобразовать в энергию, она окажется эквивалентна 2 млрд тонн тротила. Это более чем в 100 000 раз превышает энергию, выделившуюся при взрыве в Хиросиме.

Теперь поговорим о пространстве-времени.

Погодите. Что это? Откуда оно взялось? На деле все это время мы говорили о пространстве-времени. Сокращение длины. Замедление времени. В вышеуказанных примерах время и пространство растягиваются и сжимаются в идеальном тандеме. Поэтому неудивительно, что они должны быть связаны, оказаться частью чего-то большего. Родившийся в Российской империи и проработавший почти всю жизнь в Германии математик Герман Минковский был настолько вдохновлен идеями Эйнштейна, что совершил первый прыжок в пространство-время. Он заявлял: «Отныне пространство само по себе и время само по себе уходят в мир теней, и в реальности существует лишь их своеобразное сочетание». Довольно любопытно, что Минковский некогда учил молодого Эйнштейна в Высшей технической школе Цюриха, хотя вспоминал его как лентяя, которого никогда не волновала математика.

Что на самом деле Минковский подразумевал под пространством-временем? Чтобы понять это, мы должны начать с трех пространственных измерений. У пространства есть три измерения, потому что для определения своего положения вам нужно указать три независимые координаты: например, две ваши GPS-координаты и высоту над уровнем моря. Теперь взгляните на часы и запишите время. Подождите 30 секунд и снова посмотрите на часы. Те два момента, когда вы смотрели на часы, произошли в одной и той же точке пространства, но в разные моменты. Мы могли бы различать их, введя еще одну (временную) координату для отображения момента, в который произошло каждое из этих событий. Таким образом, у нас есть четвертая независимая координата — четвертое измерение. Соединим их и получим пространство-время.

Чтобы должным образом оценить элегантность концепции пространства-времени, следует подумать о том, как мы измеряем расстояния — сначала в пространстве, а затем в пространстве-времени. Расстояния в пространстве можно измерить с помощью теоремы Пифагора. Вы, вероятно, помните это школьное утверждение о прямоугольных треугольниках: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако эта старая теорема дает гораздо больше, чем вы могли решить поначалу. Чтобы понять почему, давайте сначала построим пару перпендикулярных осей, как показано на левом рисунке.

Относительно этих осей точка P имеет координаты (x, y), и по теореме Пифагора мы легко получаем, что она находится от центра координат на расстоянии Если мы повернем оси вокруг начала координат O, как показано на правом рисунке, и определим новый набор координат (x', y'), расстояние от начала координат, очевидно, останется неизменным и теорема Пифагора будет работать так же, как и раньше:

В этом и заключается настоящая прелесть теоремы Пифагора: расстояние остается неизменным даже при повороте координат.

Теперь о пространстве-времени. Минковский предложил нам объединить пространство и время. Конечно, в действительности нам хочется смешать три пространственных измерения с единственным временным измерением, но для простоты давайте рассмотрим одно пространственное, обозначенное координатой x, и соединим его со временем, обозначенным координатой t. Минковский определил, что для измерения расстояния d в этом пространстве-времени мы должны использовать странную форму теоремы Пифагора, которая задается формулой

Да-да, именно так: знак минус. Что все это означает? Мы к этому еще вернемся, но сначала нам нужно понять фрагмент c²t². Мы хотим измерять расстояния и сразу констатируем очевидное: время — не расстояние. Чтобы превратить его в расстояние, нужно умножить его на какую-то скорость, а что может быть лучше скорости света? Это означает, что c²t² можно рассматривать как единицу измерения квадрата расстояния, а это именно то, что нам нужно, когда мы думаем о теореме Пифагора. Теперь о знаке минус. Мера расстояния в пространстве-времени должна оставаться неизменной всякий раз, когда мы выполняем аналогичное вращение пространства-времени: когда проводим те преобразования, которые переводят нас между наблюдателями, движущимися друг относительно друга, — например, преобразование, которое переводит положение родителей Усэйна Болта в положение его самого. Такие «вращения» называются преобразованиями Лоренца; они кодируют растяжение времени и сжатие пространства, которые делают физику относительности такой удивительно причудливой. Таинственный знак минус имеет решающее значение для сохранения неизменными расстояний в пространстве-времени всякий раз, когда вы совершаете такой переход между инерциальными наблюдателями в относительном движении. Возможно, проще всего это увидеть для света, который движется в пространстве со скоростью x / t = c. Подставив это в формулу Минковского[11], мы увидим, что свет находится на нулевом расстоянии от начала координат в пространстве-времени. Начало координат остается на месте всякий раз, когда мы «вращаем» наши пространственно-временные координаты, и поэтому свет должен выглядеть одинаково для всех наблюдателей. Ничто не движется быстрее света в пространстве, но в пространстве-времени он вообще не перемещается ни на какое расстояние. Вот что делает его особенным.

А что насчет вас? Что вы делаете в пространстве-времени? Ну я предполагаю, что вы удобно устроились в кресле и читаете эту книгу. Что бы вы ни делали, мы знаем, что вы не движетесь в пространстве, определенном относительно вас самих, но движетесь во времени и поэтому должны двигаться в едином пространстве-времени. Насколько быстро? Что ж, берем формулу для расстояния при x = 0, получаем и легко видим, что вы движетесь в пространстве-времени со скоростью d / t = c. Иными словами, вы перемещаетесь сквозь пространство-время со скоростью света. Как и все другие люди.

Соединив свои пространственно-временные координаты с расстоянием в пространстве-времени, Минковский начал строить удивительно изящную картину физики в терминах четырехмерной геометрии. Если записать на этом новом языке уравнения Максвелла, они обретают невероятно простую форму. Разделять пространство и время — все равно что смотреть на мир сквозь туман. Соедините их — и откроется мир удивительной красоты и простоты. Это и делает теоретическую физику таким замечательным предметом: чем больше вы понимаете, тем проще она становится. Возможно, это не более очевидно, чем использование Эйнштейном геометрии, чтобы победить силу гравитации и увидеть, что это обман. Эту историю мы расскажем попозже, снова используя замедление времени. Однако на этот раз мы не станем бежать вместе с Усэйном Болтом или мчаться сквозь космос с Геннадием Падалкой. Мы отправимся к центру Земли, где время идет чуть медленнее, чем на ее поверхности.

«В действительности сильнее всего ощущение одиночества, осознание того, как крохотный ты опускаешься в это огромное, необъятное, темное, неизвестное и неисследованное место» — так сказал канадский кинорежиссер Джеймс Кэмерон. Эти слова свидетельствуют об ощутимом чувстве страха, о том, что ситуация не под контролем, что человек во власти чего-то большего. Эти слова были бы уместны в сценарии его самого известного фильма «Титаник», однако на самом деле они выражали эмоции режиссера после возвращения из Бездны Челленджера — самой глубокой из известных точек океанского дна, которая находится в Марианском желобе на глубине почти 11 километров ниже уровня моря. Кэмерон отправился туда 26 марта 2012 года в глубоководном аппарате Deepsea Challenger и провел три часа, исследуя этот чуждый мир: находясь в полном одиночестве в самой враждебной среде на планете.

Кэмерон стал первым человеком, который погрузился на такую глубину со времен группы ВМС США пятьдесят лет назад[12], и первым, кто сделал это в одиночку. Однако, возможно, примечательнее всего тот факт, что он вернулся из этого путешествия, прыгнув вперед во времени на 13 наносекунд.

Прыжок Кэмерона в будущее произошел не из-за высокой скорости, как у Усэйна Болта или Геннадия Падалки, а благодаря глубине погружения. Дело в том, что время замедляется еще и тогда, когда вы погружаетесь в гравитационный колодец, в данном случае — отправляетесь ближе к центру Земли. Это эффект общей теории относительности, объединившей релятивизм и гравитацию — вершины гения Эйнштейна. Поскольку Джеймс Кэмерон провел довольно много времени на глубине, у него накопилась впечатляющая величина гравитационного замедления времени.

Однако больше всех к центру Земли приблизился экипаж российской научно-исследовательской экспедиции «Арктика-2007».

2 августа 2007 года пилот Анатолий Сагалевич, полярник Артур Чилингаров и бизнесмен Владимир Груздев спустились в точке Северного полюса на дно Северного Ледовитого океана на борту глубоководного аппарата «Мир-1», оказавшись на глубине 4261 метра. Может показаться, что это гораздо меньше, чем глубина Марианского желоба. Однако Земля — не идеальная сфера, она имеет форму сплюснутого с полюсов сфероида, который слегка выпирает на экваторе. Поэтому аппарат «Мир-1» оказался гораздо ближе к центру планеты, чем Deepsea Challenger. Проведя полтора часа на морском дне, трое мужчин на борту аппарата переместились вперед во времени на несколько наносекунд. Помимо взятия образцов почвы и фауны, они установили российский флаг из нержавеющего титанового сплава. Это событие вызвало ожесточенные претензии со стороны других арктических стран, которые увидели здесь попытку объявить этот регион российской территорией. Россияне отрицали это, заявив, будто собирались просто доказать, что российский шельф простирается до Северного полюса, и сравнив это с тем моментом, когда астронавты «Аполлона-11» установили американский флаг на поверхности Луны.

Хотя эта книга посвящена вовсе не международной политике, такие вещи никогда далеко не расходятся. Чтобы понять, как и почему эти глубоководные исследователи смогли замедлить время, нам нужно оказаться в начале XX века — во временах, когда мир воевал, а окопы заливало кровью простых людей, сражавшихся в тяжелой обстановке. В то время битвы бушевали и в мире науки. Британские физики (более других увлеченные идеями эфира и ведомые неукротимым лордом Кельвином) не жаждали принимать новые идеи Эйнштейна о времени и пространстве. Они опирались на Исаака Ньютона, легенду британской науки, чьи законы всемирного тяготения все еще оставались традиционной авторитетной моделью — даже спустя 300 лет после своего появления. Ньютоновская гравитация могла объяснить очень многое: от движения планет до траектории пуль, падающих в битве на Сомме. Однако в теории Ньютона имелось нечто тревожное — нечто, привлекшее более пристальное внимание к труду Эйнштейна: мгновенное действие на расстоянии.

Почему это беспокоит? Представьте, что произошло бы, если бы Солнце внезапно исчезло. Конечно, мы все после этого умерли бы, но сколько времени потребуется, чтобы мы осознали свою печальную судьбу? В мире, где правит ньютоновская теория, сила гравитации действует мгновенно на больших расстояниях, поэтому мы узнаем о пропаже Солнца в тот момент, когда она произойдет. Беда в том, что солнечному свету нужно восемь минут, чтобы добраться до Земли. Согласно Эйнштейну, это означает, что нам потребуется не менее восьми минут, чтобы получить какой-либо сигнал от Солнца, включая тот, который говорит о его исчезновении. Ясно, что теории Ньютона и Эйнштейна находятся в прямом конфликте. Хотя Эйнштейн был далек от патриотизма, такая немецкая угроза ньютоновскому трону никогда не находила одобрения в Англии на фоне Первой мировой войны.

У самого Ньютона были серьезные опасения по поводу такого действия на расстоянии. В письме к ученому Ричарду Бентли в феврале 1692 года он писал: «Мысль, что… одно тело может воздействовать на другое на расстоянии через пустоту, без посредства какого-либо агента… представляется мне таким абсурдом, что, на мой взгляд, ни один человек, обладающий способностью судить о философских материях, никогда не сможет с ней согласиться».

В итоге Эйнштейн справился с этими проблемами, но для этого он отказался от Ньютона и его величайшего открытия. Он попросту отказался от существования гравитации.

Гравитация — обман.

Мне нравится начинать курс глубокого изучения гравитации с этой короткой фразы, даже если она расстраивает некоторых студентов. Но утверждение верно: гравитация — действительно обман. Даже на Земле можно стать невесомым, полностью устранив тяготение. Для этого отправляйтесь в роскошный город Дубай на краю пустыни и поднимитесь на вершину небоскреба Бурдж-Халифа — самого высокого здания в мире, уходящего в небо почти на километр. Оказавшись там, заберитесь в какой-нибудь большой ящик (вроде старой британской телефонной будки с затемненными стеклами) и попросите кого-нибудь сбросить вас вниз. Что происходит, когда вы падаете в этом ящике? На вас действует ускорение силы тяжести 1g, но оно действует и на пол ящика. Да, на ящик также будет воздействовать небольшая сила сопротивления воздуха, но, если воздух достаточно разрежен, вы станете более или менее невесомым и гравитация исчезнет. Конечно, я осознаю, что этот способ проверки гравитации слишком радикален. Но ведь на самом деле для ощущения эффекта невесомости вам вовсе не обязательно прыгать с Бурдж-Халифа. Достаточно съехать с крутого холма на своем автомобиле. Возможно, вам уже знакомо ощущение, когда ваш желудок начинает выполнять сальто. Это гравитация начинает исчезать, когда вы с ускорением спускаетесь по склону. Всякий раз, когда это происходит, я напоминаю себе (и всем, кто находится со мной в машине), что в животе непосредственно ощущаются эффекты гения Эйнштейна.

Когда Эйнштейн понял, что всегда может устранить эффекты гравитации, он назвал это самой счастливой мыслью в своей жизни. Смерть гравитации можно проследить вплоть до Галилея, гения эпохи Возрождения и основателя современной науки. По словам его ученика Винченцо Вивиани, Галилей сбрасывал сферические предметы разной массы с вершины наклонной Пизанской башни, демонстрируя профессорам и студентам, что те падают с одинаковой скоростью. Это противоречило старому утверждению Аристотеля о том, что более тяжелые предметы падают быстрее. Вопрос, действительно ли Галилей когда-то устраивал такие представления, остается предметом споров[13], но сам эффект, безусловно, реален. Одну версию такого эксперимента провел на Луне астронавт «Аполлона-15» Дэвид Скотт. Он взял молоток и перо, а затем одновременно выпустил их из рук. Без сопротивления воздуха оба объекта упали на поверхность Луны одновременно: как и предсказывал Галилей, они падали с одинаковой скоростью. Именно это универсальное поведение гарантирует, что и вы с телефонной будкой упадете с небоскреба Бурдж-Халифа в идеальном тандеме.

Но если мы можем полностью устранить гравитацию, то в каком смысле она реальна? Можем ли мы имитировать ее в открытом космосе? Имитировать гравитацию в космосе легко: достаточно ускориться. Если бы Международная космическая станция включила свои двигатели и начала подниматься на большую высоту с ускорением в 1g, то космонавты сразу бы перестали ощущать невесомость. Корабль будет двигаться вверх, однако космонавтам покажется, что они падают вниз — точно как под действием силы тяжести. Затемните иллюминаторы, и экипаж станции вполне может обмануться, считая, что МКС рушится на Землю.

Дело в том, что гравитация и ускорение неразличимы, — в космическом корабле с затемненными иллюминаторами у вас нет возможности узнать, ощущаете ли вы действие гравитации, или корабль ускоряется в пространстве. Это эйнштейновский принцип эквивалентности — физическая эквивалентность между гравитацией с одной стороны и ускорением с другой. Вы не можете отличить их друг от друга. Если вы все еще сомневаетесь, подумайте о том, что происходит, когда вы ведете машину и поворачиваете слишком быстро. Поверните налево, и вас как будто потянет к правой двери автомобиля. Это похоже на фальшивую силу тяготения, действующую вбок. Истина в том, что автомобиль ускоряется, когда поворачивает на перекрестке, а ваше тело при этом хочет продолжить движение в прежнем направлении, в результате чего вас откидывает к противоположной двери автомобиля.

Вернемся на мгновение к нашим глубоководным исследователям. Чтобы в полной мере оценить, как для них замедляется время, нам нужно снова подумать о свете. Как гравитация влияет на свет? Поскольку гравитация и ускорение неразличимы, мы можем спросить, как ускорение влияет на свет. Представьте, что вы на космическом корабле, летящем через пустое межзвездное пространство с постоянной скоростью. У вас в руках тарелка с желе[14], а у вашего друга — лазерное ружье. В случае дуэли вы бы проиграли, но это не поединок, а эксперимент. Вы предлагаете другу выстрелить лазером в желе. Когда он это делает, лазер прорезает желе по идеально прямой линии. Вы решаете повторить эксперимент, но на этот раз запускаете двигатели и начинаете разгонять ракету. Вы с другом немедленно почувствуете эффект фальшивой гравитации: теперь вы можете нормально стоять на полу космического корабля, с ускорением несущего вас в космос. Вы предлагаете включить лазер, и друг снова разрезает желе. Вы внимательно рассматриваете пути, которые проложил луч. Первый путь был прямым, однако второй оказался слегка изогнут, как показано ниже.

^{Что происходит, когда вы в космосе проводите лазерным лучом по желе, если космический корабль двигается с постоянной скоростью (слева) и если он ускоряется (справа)}

Что случилось со вторым световым лучом? Ничего особенного. Он по-прежнему прошел через пространство по прямой линии, однако в этот момент желе ускорялось «вверх» вместе с ракетой. С вашей точки зрения (и с точки зрения желе), световой луч искривился. Хотя в этом случае искривление оказалось просто следствием ускорения желе, принцип эквивалентности говорит, что точно так же луч света должен искривляться под действием гравитации.

И он искривляется.

Подтверждение появилось вскоре после окончания Первой мировой войны. Хотя в те трудные времена в Британии мало кто воспринимал новые идеи Эйнштейна, у него имелся один сторонник. Артур Эддингтон был вдумчивым честолюбивым астрономом и пацифистом и старался, чтобы британские ученые поддерживали довоенный интерес к работам немецких коллег. Хотя получить доступ к немецким научным журналам было трудно, он узнал о трудах Эйнштейна от голландского физика Виллема де Ситтера и решил проверить предсказание, что свет от звезд должен искривляться под действием гравитации Солнца. Проблема тут в том, что яркое солнце не дает возможности увидеть свет звезд. Эддингтон понял, что для проведения соответствующего эксперимента ему нужно солнечное затмение; по его расчетам, затмение должно было произойти 29 мая 1919 года на красивом португальском острове Сан-Томе и Принсипи у западного побережья Африки, а затем зона затмения пересекала Атлантику и попадала в северную Бразилию. На африканский островок отправились Эддингтон и королевский астроном Фрэнк Уотсон Дайсон, а вторая группа ученых поехала в город Собрал в бразильском штате Сеара. Несмотря на облака и дождь, угрожавшие успеху эксперимента, ученым удалось сфотографировать во время затмения несколько звезд из скопления Гиады. Когда снимки сравнили с ночными изображениями того же скопления, положение звезд не совпадало. Следовательно, фотография, сделанная во время затмения, подтвердила, что свет звезды, проходящий близко к Солнцу, искривился, что и породило несовпадение с ночными снимками. Предсказание Эйнштейна подтвердилось и попало в заголовки новостей по всему миру. Именно в этот момент он стал суперзвездой.

Искривление света имеет важные последствия для времени. Вдали от гравитационного поля свет движется по прямой линии, и нужно всего несколько наносекунд, чтобы он добрался от лампочки на одной стене МКС до картинки на другой. Но если мы разместим МКС на орбите вокруг черной дыры, то сильное гравитационное поле искривит свет. Изогнутые пути длиннее прямых, поэтому свету потребуется немного больше времени, чтобы пройти путь от одной стены к другой. Это означает, что событие длится дольше, если гравитация больше, а поэтому гравитация должна замедлять время.

Чем сильнее гравитационное поле, тем сильнее искривляется свет и тем больше замедляется время. Вот почему Джеймс Кэмерон смог совершить прыжок в будущее, нырнув на дно Марианского желоба. Гравитационное поле Земли там сильнее, хотя и ненамного, поэтому часы идут медленнее. Обратное тоже верно. Поднимитесь высоко — и гравитационное поле немного ослабеет, заставляя часы идти быстрее. Секунда, проведенная на вершине Эвереста, примерно на триллионную долю длиннее секунды на уровне моря. Астронавты «Аполлона-17» после своего полета (двенадцать с половиной суток, включая три дня на Луне) испытали рекордное замедление времени[15], вернувшись назад во времени примерно на миллисекунду[16].

В 1959 году ученые непосредственно измерили влияние гравитации на время в известном эксперименте, который прошел в башне Джефферсоновской физической обсерватории в Гарвардском университете. Роберт Паунд и его ученик Глен Ребка направляли гамма-лучи (высокоэнергетические электромагнитные волны) с вершины башни высотой 22,6 метра в приемник, расположенный внизу. Их идея заключалась в том, чтобы использовать в качестве меры времени частоту гамма-лучей: часы «тикали» с каждым новым колебанием электромагнитной волны. Оказалось, что в нижней части башни частота волн была больше, чем наверху. Это означало, что одна секунда внизу соответствовала большему количеству колебаний волны, чем секунда наверху. Вывод был однозначен: значение секунды должно оказаться разным на разных концах башни. Секунда внизу содержала большее количество колебаний, поэтому она должна быть длиннее. Как и предсказывал Эйнштейн, время у подножия башни текло медленнее, чем наверху.

Способность гравитации искривлять свет и замедлять время означает, что ядро Земли примерно на два с половиной года моложе ее поверхности[17]. Но как гравитация делает это, если на самом деле она — обман? Как она вызывает искривление света? Истина в том, что она вовсе его не вызывает. Свет всегда проходит через пространство по прямой линии, а искривляется само пространство. Чтобы представить, что происходит, возьмите апельсин из вазы с фруктами. Отметьте две точки на поверхности фрукта достаточно далеко друг от друга, а затем нарисуйте кратчайший путь между ними. Если вы не совсем уверены, какой путь кратчайший, представьте, что эти точки находятся на «экваторе» апельсина, а затем проведите линию вдоль этого «экватора». Теперь аккуратно очистите апельсин, чтобы его кожура осталась единым куском. Расправьте кожуру на столе. Какую форму теперь имеет линия, которую вы нарисовали? Она изогнута, верно? Это очень странно, потому что кратчайшее расстояние между двумя точками вроде бы должно быть прямой линией; однако оказывается, что это справедливо только для плоской поверхности. На искривленной же кратчайшие пути искривлены — точно так, как линия, нарисованная вами на апельсине. Именно так и двигается свет. Он следует по кратчайшему пути в пространстве, но поскольку пространство искривлено, то и путь искривлен. Если вы когда-либо летали на большие расстояния из Лондона в Нью-Йорк и смотрели на карту полета, то замечали, что самолет летит по странной кривой траектории, проходящей через канадскую Арктику. Причина в том, что авиакомпания рассчитала кратчайший путь, а он изогнут, как и поверхность Земли.

Конечно, на самом деле искривлена геометрия пространства-времени. Минковский предложил, как измерять расстояния в плоской геометрии пространства-времени, но, когда оно искривляется, меры для расстояний сплющиваются и сжимаются, растягиваются и вытягиваются. Что вызывает это сплющивание и сдавливание? Материя. Вы. Солнце. Земля. Все, что имеет массу, энергию или импульс, заставляет пространство-время искривляться и искажаться. Представьте лист резины, который растянут и имеет вид плоскости. Бросьте на него тяжелый камень, и лист прогнется. Это хорошая аналогия того, что материя делает с пространством-временем.

Свет будет двигаться в этом искривленном пространстве-времени по кратчайшему пути. Он следует по особому короткому пути — настолько короткому, что его длина в пространстве-времени равна нулю. Вспомните, что именно это делает свет особенным, и это остается верным, когда пространство-время искривляется. Эти пути света называются нулевыми геодезическими. А как насчет более тяжелых вещей, например планет или звезд? Что они делают в пространстве-времени? Тоже следуют по кратчайшим доступным для них путям — аналогам прямых линий. Их пути не совпадают с путями световых лучей, потому что они перемещаются не так быстро, но в пространстве-времени они выбирают наиболее экономичный маршрут из числа тех, что им доступен. Такие пути известны как времениподобные геодезические. В искривленном пространстве-времени они искривлены. В реальности они могут выглядеть очень искривленными. Траектория Земли настолько искривлена, что зацикливается и образует эллипс, по которому двигается наша планета в своем ежегодном путешествии вокруг Солнца. На самом деле она следует по времениподобной геодезической — прямой линии, проходящей через сильно искривленное пространство-время, которое создано гравитирующим Солнцем.

Вам может показаться, что я прибегаю к слишком большой поэтической вольности, описывая эти изогнутые пути как прямые линии, когда они — явно — не прямые. Но на самом деле я выражаюсь более буквально, чем вы, вероятно, думаете. Оказывается, интересующая нас геометрия пространства-времени всегда выглядит плоской при увеличении масштаба. Это немного похоже на то, как поверхность нашей планеты кажется сферической, когда вы смотрите на нее из космоса; однако, стоя на земле, можно решить, что она плоская. Разумеется, она плоская в хорошем приближении, пока вы работаете с увеличенным масштабом, и то же справедливо для пространства-времени. Увеличьте масштаб — и даже самая искривленная геометрия будет выглядеть точно так же, как пространство-время, описанное Минковским. Благодаря этой способности увеличивать масштаб и открывать пространство-время Минковского мы можем покончить с гравитацией, по крайней мере в достаточно небольшом объеме. Именно это происходило, когда вы прыгали с небоскреба Бурдж-Халифа. Конечно, Земля создает искривленное пространство-время, однако, спрыгнув с самого высокого здания в мире в телефонной будке, вы обнаружите, что увеличиваете масштаб и вовсе избавляетесь от гравитации, по крайней мере в очень хорошем приближении.

Эти кратчайшие пути — времениподобные геодезические — одинаковы, кто бы или что бы ни двигалось по ним. Молоток или перо — неважно: оба будут следовать времениподобной геодезической и путешествовать в пространстве-времени со скоростью света. Оба объекта падают в точности одинаково, как и предсказывал Галилей. Но только Эйнштейн объяснил, почему это происходит.

Теория Эйнштейна раз за разом торжествовала: ее диковинные предсказания подтверждались еще более диковинными экспериментами — от искривления света и амбициозной послевоенной экспедиции Эддингтона на остров Сан-Томе и Принсипи до гравитационного замедления времени и эксперимента с гамма-лучами, проведенного Паундом и Ребкой. Еще один важный метод проверки эйнштейновской теории дают орбиты планет, и примечательнее всего здесь траектория движения Меркурия. Хотя его орбита эллиптична, сам эллипс двигается, прецессирует, ежегодно чуть-чуть меняя свое положение. О таком неустойчивом перемещении Меркурия предупреждает даже ньютоновская теория гравитации (из-за гравитационных эффектов других планет), хотя предсказанные ею величины не соответствуют действительности. Когда французский математик Урбен Леверье заметил это, он предположил, что между Меркурием и Солнцем находится еще одна планета — невидимый темный Вулкан, который влияет на движение Меркурия. Согласно расчетам Леверье, гравитации Вулкана было бы достаточно, чтобы дать орбите Меркурия тот толчок, что необходим для ее непрерывного изменения. На предсказаниях такого рода Леверье построил карьеру: в августе 1846 года он предсказал существование планеты Нептун, исследуя изменения орбиты Урана[18]. Буквально на следующий день после получения письма с расчетами два немецких астронома Иоганн Галле и Генрих д’Арре обнаружили Нептун на расстоянии примерно одного градуса от местоположения, предсказанного Леверье[19]. А вот Вулкан так никогда и не нашли, несмотря на несколько ложных тревог. Вулкана в реальности не существует, а нестабильность орбиты Меркурия можно объяснить поправками, вытекающими из теории Эйнштейна. Меркурий больше других планет чувствителен к ним, потому что находится ближе всего к Солнцу.

Эта предостерегающая история о противоположных судьбах Нептуна и Вулкана эхом отзывается и в XXI веке. Сегодня мы обсуждаем необходимость темной материи и темной энергии, чтобы привести нашу теорию в соответствие с реальными космологическими наблюдениями. Высказано предположение, что они не более реальны, чем Вулкан, и то, что мы видим, объясняется какими-то поправками, вытекающими из еще более новой теории гравитации — усовершенствованной теории Эйнштейна, касающейся астрофизики и космологии. Хотя эта идея обрела популярность на рубеже тысячелетий, недавно она заглохла после еще одного подарка для первоначальной теории Эйнштейна — открытия гравитационных волн в 2015 году. Эйнштейн предсказывал, что пространство-время — динамичный монстр, что по нему должна пробегать рябь — гравитационные волны, определенным образом искажающие форму времени и пространства. Существуют альтернативные теории, которые предсказывают волны, искажающие пространство-время иначе, но те волны, которые мы измерили, полностью совпадают с исходным предсказанием Эйнштейна. Если Солнце волшебным образом пропадет, нам сообщит об этом именно гравитационная волна — точнее, пространственно-временное цунами. Эта волна пройдет через Солнечную систему со скоростью света, разрывая гравитационное поле Солнца, и это станет последним апокалиптическим подтверждением торжества Эйнштейна над Ньютоном.

Если Усэйн Болт стал пределом относительности в мире людей, апогеем нашей физической способности игр со временем, то что эквивалентно гравитации? Где она искажает время до неузнаваемости? Ответ находится в «украшенном темном источнике бесконечного творения».

Он находится в Повехи.

Повехи. Это слово взято из «Кумилипо» — древней гавайской песни, описывающей сотворение мира. Его можно примерно перевести как «украшенный темный источник бесконечного творения». На языке маори оно просто означает «ужас». Повехи — монстр, ужасающий левиафан, скрывающийся в ядре Мессье 87 — сверхгигантской галактики в созвездии Девы. Жители Земли впервые увидели его в апреле 2019 года.

^{Изображение Повехи, полученное в проекте Event Horizon Telescope («Телескоп горизонта событий»)}

Поразительное изображение Повехи создала система Event Horizon Telescope, состоящая из восьми наземных радиообсерваторий, стратегически расположенных по всему миру. Если учесть размер и расстояние до источника, достижение было выдающимся. Представьте, что вы сидите в парижском кафе и с помощью телескопа пытаетесь прочесть газету в Нью-Йорке. Именно это требовалось, чтобы получить удивительное изображение с такими великолепными деталями.

Но что это за ужас, что за темный источник? Повехи — черная дыра гигантских размеров, в миллиарды раз массивнее Солнца. Это гравитация, доведенная до ужасающего предела. Мы уже видели, как свет искривляется под действием гравитации. Что происходит, когда вы усиливаете гравитационное поле, когда вы все больше искривляете пространство-время? Вы создаете тюрьму. Свет искривляется до такой степени, что оказывается в ловушке, он не может убежать; но если не может убежать свет, то не убежит ничто. Повехи — космическая темница, неумолимый ад, тюрьма для забытых.

Первым человеком, додумавшимся до таких ужасов, был английский священник. В ноябре 1783 года преподобный Джон Мичелл предположил, что могут существовать темные звезды — огромные астрофизические объекты, в пятьсот раз превышающие по размерам Солнце, гравитационное притяжение которых настолько велико, что даже свет не может от них вырваться[20]. Для того времени идея была увлекательной, хотя вскоре о ней забыли. Причина в том, что она базировалась на корпускулярной теории, согласно которой свет состоит из частиц, а после экспериментов Томаса Юнга на рубеже XIX века эта теория уступила место волновой модели света. Хотя работу Мичелла о черных дырах игнорировали почти два века, другие его труды снискали большее признание. Он был даже провозглашен отцом сейсмологии: его работа о разрушительном землетрясении и цунами, от которых в 1755 году пострадал Лиссабон, содержала идею, что землетрясение произошло из-за разломов земной коры, а не из-за атмосферных возмущений.

Сегодня большинство ученых считают, что черные дыры действительно существуют. Как правило, они образуются, когда у какой-то достаточно крупной звезды — как минимум в двадцать раз тяжелее Солнца — заканчивается топливо. Звезды получают энергию от ядерного синтеза, соединяя ядра атомов в своем ядре — печи, где постоянно взрываются термоядерные бомбы. Эта сила не дает звезде сколлапсировать под собственным весом: направленное наружу тепловое давление противодействует силе гравитации. Однако этот процесс не длится вечно. Как только звезда создает в своем ядре слишком много железа, процессы синтеза становятся неэффективными и она больше не может удерживать собственный вес. Наступает смерть звезды. Гравитация быстро начинает побеждать, сдавливая ее, и удавка становится все туже и туже. А затем взрыв! Звезда дает отпор, наносит резкий ответный удар безжалостной атаке гравитации. Борьбу ведут нейтроны — частицы в ядре звезды, яростно отталкивающие друг друга из-за сильного взаимодействия всякий раз, когда их прижимают слишком близко друг к другу. Внешние слои материи падают внутрь, ударяются о неподвижное ядро нейтронов и отскакивают. В одно мгновение волна давления пробивается к поверхности звезды, и она взрывается. Сверхновая, катастрофическое событие, ненадолго затмевающее всю галактику.

Что останется? Вероятнее всего, это будет нейтронная звезда — объект, плотность которого так велика, что чайная ложка его вещества будет весить столько же, сколько гора на Земле. Если общая масса нейтронной звезды не превысит примерно три массы Солнца, то у нее есть шанс на выживание. Чуть тяжелее — и гравитационная удавка снова начнет затягиваться. Ничего не смогут сделать и нейтроны. Ничто не сможет ничего сделать. Коллапс становится неудержимым. В конце концов звезда оказывается настолько плотной, что свет больше не может выйти наружу. Все, что когда-то было звездой, скрыто за горизонтом событий — люком в космическую темницу, сфероидальной поверхностью, после пересечения которой нет возврата.

Примерно одна звезда из тысячи достаточно тяжела, чтобы закончить свою жизнь под воздействием гравитации. Такие черные дыры массой со звезду есть повсюду, они разбросаны по всей галактике; это мрачные остатки самых больших и мощных звезд, когда-либо существовавших. Однако Повехи — это нечто большее. Черные дыры, появившиеся в результате смерти звезды, обычно имеют массу в 5–10 масс Солнца, а масса Повехи — это 6,5 млрд Солнц. Этот колосс — сверхмассивная черная дыра, которая находится в ядре огромной галактики M 87, удаленной от нас более чем на 50 млн световых лет. Повехи затмевает нашего собственного монстра: в центре нашей галактики Млечный Путь находится черная дыра массой 4 млн солнечных масс, которую называют Стрелец А*. Считается, что большинство галактик привязано к сверхмассивной черной дыре в их центре. Галактика 0402+379 содержит две такие черные дыры, — вероятно, это результат столкновения двух исходных галактик. В ядре 0402+379 должны бушевать цунами гравитационных волн, разрывающих пространство-время, пока два эти чудовища борются за верховенство. Сейчас мы не вполне понимаем, как появилась Повехи или любая другая из таких громад. Возможно, это прожорливые остатки гигантских звезд: когда-то эти черные дыры имели массу звезды, а потом выросли до гигантских размеров, миллионы лет питаясь всей материей, которая осмеливалась подойти к ним слишком близко.

Черную дыру определяет существование горизонта событий. Чтобы оставаться неподвижным на его поверхности, вам надо двигаться со скоростью света. Если вы приблизитесь к горизонту событий у черной дыры с массой звезды, это станет фатальным. В каком-то смысле это странно: вспомните, что гравитация — обман и мы можем избавиться от нее, забравшись в затемненную телефонную будку и упав (хоть с небоскреба Бурдж-Халифа, хоть к горизонту событий черной дыры). Проблема в том, что область, в которой мы можем от нее избавиться, — размер телефонной будки, — становится все меньше по мере того, как гравитационное поле усиливается, а пространство-время все больше искривляется. За пределами нашей будки есть опасные перепады гравитационного напряжения — приливы гравитации, которые нельзя игнорировать. Для черной дыры массой со звезду горизонт находится слишком близко ко дну гравитационного колодца, и приливы гравитации разорвут вас, как только вы подойдете слишком близко. С другой стороны, для сверхгигантской черной дыры вроде Повехи дно колодца находится дальше, поэтому прохождение через горизонт ничем не примечательно. Но как только вы переступите этот порог, ваши дни сочтены. Буквально. Время закончится. В центре черной дыры находится сингулярность — место, где пространство-время прикасается к бесконечности, где гравитационное поле неограниченно растет. Сингулярность — это не конец пространства, а конец времени. Как только вы пересечете горизонт событий, ваша траектория в пространстве-времени приведет вас в эту точку — в место, где не существует завтра, где нет будущего, даже в принципе. Когда вы приближаетесь к этому Армагеддону, гравитационные напряжения — эти чудовищные приливы — растягивают вас, как спагетти, атомы в вашем теле разделяются, их ядра разрываются на протоны и нейтроны, а те — на составляющие их кварки и глюоны. Какое бы сознание ни оставалось, оно будет стремиться к этой сингулярности, сострадательной неизбежности.

Однако сторонние наблюдатели, смотрящие издалека, как вы падаете в черную дыру, увидят совсем другую картину. Сначала они обнаружат, как вы ускоряетесь в сторону забвения, а если бы они могли как-то посмотреть на ваши субъективные часы у вас на запястье, они увидели бы, что эти часы замедляются все больше — по мере того как вы все глубже погружаетесь в гравитационный колодец. Пока вы приближались к горизонту событий, они (и вы) замедлились вплоть до полной остановки. Вы как будто застыли во времени и пространстве, украсив собой горизонт и став постоянным напоминанием о том, что может случиться, если вы подойдете слишком близко. Это вовсе не значит, что вы на самом деле не попадете в черную дыру; обязательно попадете, просто наблюдатели извне никогда этого не увидят, ведь каждый миг, который вы проводите на горизонте событий, для них будет вечностью.

Для объектов, находящихся подальше от горизонта, время не останавливается, но при достаточном приближении значительно замедляется. Если черная дыра достаточно быстро вращается, то могут существовать стабильные орбиты планет, которые подходят очень близко к горизонту событий. В принципе вы можете ненадолго побывать на них, замедлить время, а затем вернуться домой, оказавшись на целые годы в будущем. В фильме «Интерстеллар» экипаж космического корабля «Эндьюрэнс» испытал на себе всю силу гравитационного замедления времени, посетив планету Миллер, вращающуюся вокруг сверхмассивной черной дыры под названием Гаргантюа. Она вращается так быстро (всего на триллионную долю процента меньше теоретического максимума), что планета Миллер может приближаться к горизонту событий почти вплотную — на расстояние всего в несколько тысячных долей процента от радиуса горизонта[21]. Разведывательная группа находится на планете чуть более трех часов, но после возвращения герои обнаруживают, что их коллега, оставшийся на борту «Эндьюрэнса», постарел аж на двадцать три года. Нужно сказать, что черные дыры с таким моментом вращения невероятно редки (если они вообще существуют), поскольку есть природные механизмы, не дающие моменту увеличиться до уровня выше 99,8 процента от максимального. Это означает, что орбиты планет не могут располагаться настолько близко к горизонту, поэтому эффект замедления времени будет слабее. Вращательный момент Повехи вполне может оказаться примерно на уровне 99,8 процента. Три часа, проведенные на какой-нибудь планете, вращающейся близко к этой настоящей черной дыре, равнялись бы 32 часам и 24 минутам для тех, кто ждет на корабле-базе. Это не совсем «по-голливудски», зато Повехи реальна, мы ее видели, и, возможно, некоторые из ее планет населены существами, жизнь которых течет почти в одиннадцать раз медленнее по сравнению с нашим бешеным существованием на Земле.

Не стоит заблуждаться: изображение Повехи — убедительное доказательство существования черных дыр в природе, но не окончательное. Ведь мы видим не сам горизонт событий, а тень, которая в два с половиной раза больше. Несмотря на замечательные и впечатляющие изображения, полученные в проекте Event Horizon, самые убедительные доказательства существования черных дыр дают гравитационные волны.

14 сентября 2015 года ученые из LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory — Лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория) впервые обнаружили эту крохотную рябь на ткани пространства-времени. Система LIGO использует две обсерватории: выведенный из эксплуатации ядерный производственный комплекс в Хэнфорде и обсерваторию в кишащих аллигаторами болотах города Ливингстон. Эта мельчайшая рябь растянула и сжала четырехкилометровые рукава детекторов менее чем на ширину протона — таков был признак бурного слияния двух черных дыр массой в 36 и 29 солнечных масс, произошедшего где-то далеко в наблюдаемой Вселенной. Энергия, выделившаяся при слиянии, впечатляет: она эквивалентна массе трех Солнц или 1034 бомб, сброшенных на Хиросиму, и это взрывное пространственно-временное цунами сминает и растягивает пространство. Но, возможно, такую волну могло произвести какое-то другое событие или какой-нибудь иной экзотический компактный объект, не являющийся черной дырой? В момент слияния два объекта находились всего в 350 километрах друг от друга, а совокупная масса 65 Солнц втискивалась в область, менее чем вдвое превышающую размер предполагаемого горизонта событий. Трудно вообразить, что это была не пара черных дыр, стремящихся по спирали к последнему объятию, а что-то иное.

Число 1,000000000000000858 поначалу не казалось большим, но его оказалось достаточно, чтобы открыть дверь в незнакомый мир. Когда Усэйн Болт пробился к этому мировому рекорду замедления времени, он коснулся грани относительности. Он побудил нас заглянуть в мир физики, далекий от повседневной интуиции, где беговые дорожки сжимаются, а время замедляется. В самом крайнем проявлении это физика черных дыр, где время останавливается для несчастной жертвы, упавшей в горизонт событий. Нам посчастливилось жить в беспрецедентную эпоху открытия черных дыр: мы можем видеть темную тень, отбрасываемую гигантской дырой Повехи в сердце чудовищной галактики; мы можем слышать, как эти левиафаны сталкиваются, а гравитационные волны грохочут в пространстве-времени подобно релятивистскому раскату грома, сигнализирующего о свадьбе небесных богов. Физика этих богов предполагает призрачную истину о нашей физической реальности — голографическую истину, Вселенную, заключенную в голограмме. Именно эту историю мы продолжим рассказывать в следующих главах, исследуя идеи энтропии, хранительницы секретов, и квантовой механики, правящей в субатомном мире. Это история, которую можно рассказать с помощью чудовищных чисел, больше по величине и даже более интересных, чем число 1,000000000000000858.

Гугол

В детстве мой двоюродный брат Джерард Грант любил рассказывать нам истории о привидениях. Он описывал, как видел в лунном свете призрак своего деда, молившийся перед статуей Девы Марии; или случай, когда он жил в кемпинге в отдаленной части Ирландии и, проснувшись, обнаружил, что бекон и яйца шипят на плитке возле его палатки. По его словам, тут действовал «маленький народец», лепреконы. Была даже байка о человеке, который предсказал собственную смерть. «Он увидел, как идет следом за самим собой, — рассказывал нам Джерард. — Доппельгангер, двойник. Точная копия. Тогда он понял, что умрет». И умер. Ну по крайней мере, так уверял Джерард.

Вы можете решить, что байкам о доппельгангерах не место в серьезной книге по физике и математике. Но когда дело доходит до рассказов о числовых колоссах, стоит ожидать неожиданного. Эта история начинается с гугола:

Это единица, за которой следует сто нулей, или десять в сотой степени. В гуголе есть десятичная элегантность, возможно даже декаданс, и мы можем смело считать его большим числом по любым земным меркам. Если бы вы выиграли в лотерею гугол фунтов стерлингов, вы могли бы купить себе роскошную яхту или даже целый флот роскошных яхт, авианосец или, если пожелаете, любое судно на всей планете. Вы сможете купить даже Соединенные Штаты Америки. США в целом, вероятно, обойдутся вам менее чем в 50 трлн долларов, что для гуголлионера пустяк. Вы сможете купить буквально все: каждую молекулу, каждый атом, каждую элементарную частицу в наблюдаемой Вселенной. Во Вселенной около 1080 частиц, так что с такой суммой вы можете позволить себе заплатить более квинтиллиона фунтов за каждую из них.

Легенда о гуголе начинается с Милтона Сиротты, девятилетнего племянника выдающегося математика Эдварда Казнера из Колумбийского университета. Казнер принадлежит к избранной группе людей, у которых есть собственное пространство-время, таких как Герман Минковский, Карл Шварцшильд и Рой Керр. Казнеровское пространство-время не похоже ни на одну Вселенную, которую вы когда-либо видели. Если бы вы оказались внутри него, то обнаружили бы, что одни измерения пространства расширяются, а другие сжимаются, как кусок теста, который растягивается в одну сторону и сжимается в другую. Впрочем, этот ужасающий мир не имеет ничего общего с гуголом. Когда Казнер придумывал это понятие, математик пытался передать необъятность бесконечности. Он подчеркивал, что даже те числа, которые кажутся очень большими, в любом практическом смысле исчезающе малы по сравнению с бесконечностью. Он решил проиллюстрировать этот факт, используя единицу с сотней нулей, но ему нужно было название для этой крохотной громадины. Десять дуотригинтиллионов или десять сексдециллиардов действительно не подходят. Предложение его племянника Милтона было гораздо лучше: гугол.

Забавно: число, которое превозносят за то, что оно такое большое, первоначально было введено, чтобы продемонстрировать, насколько оно мало. Вскоре Казнер и его племянник придумали еще одно фантастическое число: гуголплекс. Согласно первоначальному определению Милтона, гуголплекс — единица, за которой идут нули, «пока не устанешь». Чтобы выяснить, насколько велико оно в реальности, я провел эксперимент: за одну минуту я смог написать единицу со 135 нулями в довольно спокойном темпе, не устав, так что гуголплекс явно больше гугола. Чтобы немного подтолкнуть ситуацию, было бы неплохо нанять кого-нибудь, обладающего выносливостью Рэнди Гарднера. В середине 1960-х семнадцатилетний подросток Рэнди Гарднер бодрствовал 11 дней и 25 минут в рамках эксперимента по изучению последствий недосыпания. Если бы он потратил это время на написание гуголплекса, постоянно работая в моем неторопливом темпе, он бы написал единицу с 2 141 775 нулями. Это много, но в итоге Казнер потребовал менее расплывчатого определения гуголплекса и остановился на числе, далеко выходящем за рамки критериев Милтона. Казнер определил свое новое число как единицу, за которой следует гугол нулей. Вдумайтесь: гугол нулей! Десять в степени гугол! Хотя это число кажется поистине колоссальным, Казнер понимал, что существует бесконечное множество чисел, которые гораздо больше.

Например, гуголплексиан. Это единица, за которой следует гуголплекс нулей. Гуголплексиан также называют гуголплексплекс или гуголдуплекс. На деле эти последние термины намного мощнее, поскольку они позволяют нам использовать идею рекурсии для создания целой башни поистине огромных чисел. От гуголдуплекса можно перейти к гуголтриплексу (у которого за единицей следует гуголдуплекс нулей), а затем к гуголквадруплексу (с гуголтриплексом нулей) и т. д.[22]

Но мы увлеклись. Мы ограничимся гуголом и гуголплексом, потому что их уже более чем достаточно, чтобы пролить свет на следующий фрагмент любопытной физики и вернуться к предостерегающей истории о двойнике-доппельгангере. Дело в следующем: когда мы воображаем гуголианскую или даже гуголплексианскую Вселенную, мы можем начать задаваться вопросом, реальны ли двойники. Под гуголианской Вселенной я подразумеваю такую, которая имеет размер не менее гугола в любых земных единицах измерения расстояния, которые вы выберете (метры, дюймы, фарлонги — конкретная единица не имеет особого значения). Гуголплексианская Вселенная еще больше — ее поперечник составляет гуголплекс тех же земных единиц.

Идея космологических двойников восходит к физику из Массачусетского технологического института Максу Тегмарку[23]. Он вообразил огромную и великолепную Вселенную с далекими мирами, недоступными для любого телескопа, и оценил расстояние до вашей точной копии, имеющейся где-то далеко в космосе, — с точно такой же прической, тем же носом и даже теми же мыслями. Когда я впервые прочитал его заявление, я был настроен скептически. Не в обиду будет сказано, зачем Вселенной нужна еще одна ваша версия? Или моя? Или Джеймса Кордена?[24] А потом я сел и задумался. Заявление Тегмарка было следствием голографического мира, величайшей иллюзии во всей физике.

Я решил самостоятельно оценить это расстояние, используя определенные важные идеи, которые привели некоторых величайших физиков мира к голографической истине. Это история, которую мне нужно будет рассказать вам за две главы, между гуголом и гуголплексом. Она начинается с энтропии и того, что она может означать для человека и черной дыры размером с человека. Она уводит нас вглубь квантовой теории, волшебного компонента микроскопического мира, определяя, что в реальности означает, что вы — это вы, и ваш двойник — тоже вы. Моя итоговая оценка получилась чуть более консервативной, чем оценка Тегмарка, но они сравнимы. Я получил, что расстояние между вами и вашим двойником (в метрах, милях или любых других земных единицах, которые вы хотите использовать) находится где-то между двумя нашими громадинами: гуголом и гуголплексом. Иными словами, вы не найдете своего двойника в гуголианской Вселенной, но в гуголплексианской они почти наверняка будут существовать. Возможно, они даже читают точную копию этой книги.

Взгляните в зеркало. Что вы видите? Каждый раз, когда я смотрю на свое отражение, я обычно замечаю пятнышки седых волос или перекрещивающиеся морщинки, унаследованные от моей испанской бабушки — моей абуэлиты[25]. Они меня не волнуют. В конце концов, я физик-теоретик. Люди моей профессии не особо беспокоятся о своей внешности. Но я вижу ход времени, увеличение энтропии.

Если мы хотим оценить расстояние до вашего двойника, мы должны сначала понять, что такое энтропия, и осознать ужас ее увеличения. Энтропию часто понимают неправильно, легкомысленно считая синонимом беспорядка или разрушения. На самом деле ее лучше воспринимать как похитителя или тюремщика. Это ключ, который навсегда запирает энергию. И однажды сделает это с энергией всей Вселенной. Представьте себя на мгновение в викторианской Англии. Вы смотрите вниз на клубы черного дыма, поднимающиеся из труб какого-нибудь северного городка. Рабочие, как муравьи, ползут на фабрики; их дома, расположенные уступами, окутаны сатанинской дымкой смога. Именно тогда аппетит человечества впервые стал ненасытным: больше машин, больше энергии, больше мощности. Но это не может продолжаться вечно — и не потому, что планета умирает от последствий изменения климата, а из-за энтропии и ее угрожающего роста.

История энтропии началась на этих викторианских фабриках и в пытливом уме молодого французского военного инженера Сади Карно. Вдохновленный дымом и громом промышленной революции, Карно изобрел собственную область физики — термодинамику, посвященную динамике тепла и его связи с механической энергией. Всякий раз, когда вы сжигаете топливо, цель в том, чтобы преобразовать выделяющуюся теплоту во что-то полезное. Например, в двигателе вашего автомобиля топливо сгорает очень быстро, и получающиеся горячие газы толкают поршни. Затем это движение передается через коленчатый вал к колесам, и автомобиль едет. В начале XIX века никаких автомобилей не было, но идеи Карно вышли далеко за рамки поездов и фабрик того времени. Он понял, что ключ к двигателю — разница температур. Когда она существует, вы можете получить полезную механическую работу — например, перемещение поезда вперед или движущую силу машины. Однако тепло всегда будет переходить от горячего тела к холодному, пока разница температур не исчезнет, и на этом все закончится. Система прекратит работать, и вы уже не сможете подавать энергию к машинам.

Возможно, вы решите, что можно как-то перераспределить тепло (может быть, даже с помощью своей машины), чтобы снова что-нибудь нагреть или охладить в надежде на то, что разница температур опять появится и вы обеспечите какую-то полезную работу. Отчасти это верно, однако Карно сумел показать, что такое перераспределение всегда потребует вложить больше энергии, чем вы получите. Применительно к автомобилю эта идея означает следующее: вы преобразуете кинетическую энергию автомобиля обратно в топливо, и это избавляет вас от необходимости заправляться на бензоколонке. При достаточной ловкости вы могли бы вернуть часть этой энергии, но не столько, сколько вы изначально вложили, так что в итоге ваш двигатель заглохнет. Проблема в том, что в реальном мире вы всегда что-то теряете. Вы никогда не сможете полностью вернуть свои двигатели в исходное состояние, по крайней мере бесплатно. Знания такого рода были важны для викторианских предпринимателей, которые размышляли о потенциальной прибыли от своих заводов. Как мы увидим, они также будут важны для нас, если мы хотим понимать, как энтропийный психопат душит жизнь во всей Вселенной.

Трудно решить, что замечательнее всего в работе Карно: то, что он понял все это до того, как люди узнали о сохранении энергии (мы вернемся к этому чуть позже), или то, что он сделал это с помощью — так уж вышло — совершенно неправильной модели теплоты. Подобно многим своим современникам, он считал, что тепло — некий невесомый флюид, который называли тогда теплородом. На самом деле его не существует. В целом это не имело особого значения благодаря уникальной способности Карно отбрасывать детали и сосредоточиваться на том, что действительно важно. Через четыре года после публикации своих идей Карно уволился из армии, а через десять лет умер. В 36 лет его забрала эпидемия холеры, унесшая в 1832 году почти 20 000 жизней парижан. В соответствии с тогдашними правилами сожгли не только тело ученого, но и большую часть его вещей, включая несколько неопубликованных работ. Люди осознали гениальность Карно только через десятки лет, а содержание сожженных рукописей мы не узнаем уже никогда. Как мы увидим, такие трагедии повторятся много раз на протяжении всей истории термодинамики.

Одна из них — трагическая история Юлиуса фон Майера. После изучения медицины он в 1840 году отправился судовым врачом в экспедиции в Голландскую Ост-Индию. Если какой-нибудь моряк заболевал, Майер прибегал к кровопусканию: открывал вену пациента, чтобы попытаться облегчить симптомы. Обычная практика того времени привела Майера к поразительному открытию. Он заметил, что кровь в венах моряков была такой же ярко-красной, как и артериальная. А в более холодных краях, например в его родной Германии, венозная кровь, направляющаяся к легким, намного темнее и бархатистее, и причина тому — нехватка кислорода, который используется телом для поддержания тепла за счет медленного сжигания пищи. Майер понял: чтобы согреваться под тропическим солнцем, морякам достаточно сжигать меньше топлива, поэтому в их венах течет кровь с более высоким уровнем кислорода, чем можно было бы ожидать. Это означало эквивалентность тепла, выделяемого пищей в организме, и солнечного тепла. Майер пришел к выводу, что любое тепло эквивалентно энергии.

С помощью небольшого кровопускания судовой врач установил первый закон термодинамики: энергия никогда не создается и не уничтожается. Это вечный оборотень, который существует всегда, постоянно переходя из одной формы в другую. Он также определил, что теплота представляет собой форму энергии, в отличие от старой модели теплорода, которая вдохновляла Карно. Майер описал свои выводы, однако его работа не получила признания. Из-за отсутствия физического образования статьи немецкого медика отличались плохим изложением и изобиловали ошибками. Независимо к тем же выводам пришел английский физик Джеймс Джоуль, и благодаря большей научной строгости почти все заслуги в этом открытии приписали ему. Неприятности продолжались: вскоре после этого у Майера умерли двое детей, он впал в депрессию, попытался покончить жизнь самоубийством и закончил свои дни в психиатрической больнице — блестящий ученый, сломленный личной трагедией и пренебрежением коллег[26].

Ничто не может избежать проклятия термодинамики. В конце концов это коснется каждого из нас и каждой части Вселенной, в которой мы живем. Чтобы понять тот ужас, который ждет нас, предлагаю приготовить чашку чая. После заваривания вы видите разницу температур между чаем и окружающим воздухом. Согласно теории Карно, в этом случае можно установить крошечную тепловую машину, которая сумеет преобразовывать тепло в полезную механическую работу. Может, вы даже запустите какой-то крошечный моторчик. Разумеется, если вы отвлечетесь и оставите чай надолго, то тепло будет переходить от напитка к воздуху, пока они оба не дойдут до одинаковой температуры. В этом случае вы окажетесь вне игры: вся имеющаяся тепловая энергия внезапно станет бесполезной и недостижимой. Чтобы двигатель снова заработал, потребуется восстановить перепад температур, однако нельзя просто щелкнуть выключателем и ожидать, что он сам по себе появится. Для восстановления разности температур всегда нужны какие-то затраты энергии, и она должна поступать откуда-то еще. Проще всего вскипятить чайник и заварить еще одну чашку чая, но это не проходит даром.

Что-то забирает у нас энергию. Да, конечно, она не уничтожается, но уходит за пределы досягаемости. Кто или что ее забирает? Что заставляет тепло двигаться, когда мы надолго оставляем чашку горячего чая? Что стремится устранить разницу температур и помешать нам извлекать энергию, которую можно использовать?

Этот похититель — энтропия.

До этой идеи дошел немецкий физик и математик Рудольф Клаузиус, который пересмотрел работы Карно в свете открытий Джоуля и фон Майера. Энтропия — фактор переноса тепла, средство блокировки энергии. Клаузиус объявил ее свойством преобразований. Термин «энтропия» образован от греческого слова τροπή, означающего «обращение», «превращение», «поворотный момент», в частности в сражении. С помощью хитроумной математики Клаузиус вывел формулу, связывающую энтропию с энергией, которую она блокирует. Он обнаружил, что изменения энтропии растут вместе с изменениями энергии. Кроме того, энтропия оказывается наиболее чувствительной к ним при низких температурах, когда система находится в холодном состоянии[27].

Чтобы посмотреть на формулу Клаузиуса[28] в действии, представьте чайник, который получает энергию от термоядерного взрыва, и сорт чая, способный выдержать невероятно высокие температуры. Этот термоядерный чайник нагревает чай до 100 млн градусов Цельсия (выше температуры солнечного ядра). Что произойдет, когда миллионная часть миллиардной доли джоуля[29] тепла перейдет от чая в окружающий воздух? Поскольку напиток теряет часть своей тепловой энергии, то в соответствии с формулой Клаузиуса энтропия чая немного упадет — чуть менее чем на единицу. Когда воздух поглотит потерянную энергию, его энтропия возрастет. Вопрос: энтропия воздуха увеличится больше или меньше, чем на ту единицу, что была потеряна чаем? Ответ весьма примечателен. Окружающий воздух должен быть примерно в миллион раз холоднее такого сверхгорячего чая (иначе у вас серьезные проблемы). Поэтому его энтропия в миллион раз более восприимчива к изменениям энергии, — иными словами, она увеличится почти на миллион единиц. Возросшая энтропия воздуха значительно перевесит уменьшившуюся энтропию чая. Энтропия комбинированной системы — чая и воздуха — гарантированно возрастет.

Этот рост энтропии известен как второй закон термодинамики. Он говорит нам о том, что полная энтропия системы никогда не может уменьшаться. В некоторых случаях она остается на прежнем уровне, но в грубой хаотичной реальности физического мира она склонна повышаться, как это было с перегретой чашкой чая. Эта растущая энтропия становится причиной того, что ветряные мельницы и автомобильные двигатели всегда что-то теряют в окружающей среде. Второй закон можно применить даже к Вселенной в целом, и эта стрела времени, направленная из прошлого в будущее, показывает неуклонное возрастание энтропии. Именно это возрастание — эту стрелу, направленную в будущее, — я вижу, когда смотрю в зеркале на свои седые волосы. И это пугает меня — не из-за моего движения к старости, а из-за того, что все это означает для Вселенной. По мере того как энтропия Вселенной растет, она превращает все больше энергии в бесполезную передачу тепла. Она постепенно душит наши ресурсы, отнимая у нас способность выполнять работу, блокируя все больше полезной энергии, подобно смирительной рубашке, которая затягивается все сильнее. Будущее — постэнтропический кошмар, охваченный параличом. Нас ждет тепловая смерть, ждет Вселенная, в которой нет движения, действия.

Хотя Клаузиус объяснил, что делает энтропия, он не рассказал, что это такое. Так что же это? И какое отношение она может иметь к двойникам? Чтобы по-настоящему понять энтропию, нам нужно глубже заглянуть в двигатели промышленной революции, нужно посмотреть на газ внутри них.

По большей части газ — это ничто, обширное пространство пустоты, в котором беспорядочно перемещаются атомы и молекулы. Вы можете вообразить рой сердитых насекомых, запертых в пустом сарае, беспорядочно летающих от стены к стене слева направо и справа налево, сталкивающихся, падающих и снова поднимающихся. Чтобы представить, как газ становится все горячее, нужно вообразить, что эти мухи летают все быстрее. Под температурой понимается средняя кинетическая энергия, которая за счет движения есть у каждой молекулы (в нашем примере — у каждого насекомого). Время от времени при своем беспорядочном перемещении насекомые сталкиваются и упруго отлетают друг от друга. Они случайным образом отражаются от стен и предметов, и эта совокупная сила ощущается как давление. Если бы вы попали в этот сарай, они налетали бы на вас и вы бы ощущали их коллективное прикосновение. Если насекомых в сарае будет больше, они начнут налетать на вас чаще, касания станут сильнее, давление будет расти. Если мы начнем набивать ими сарай все больше, то такое давление раздавит вас и уничтожит. Как известно, именно такой ужас творится на Венере, где давление воздуха в девяносто раз выше, чем на Земле. Если вы окажетесь там, молекулы местного воздуха мгновенно раздавят вас насмерть.

Эту «насекомообразную» модель газа предложил в 1738 году Даниил Бернулли, швейцарский принц из аристократического Дома науки, в который входили его отец Иоганн и дядя Якоб — пионеры математического анализа и теории вероятностей[30]. Модель Бернулли позволила ему вывести из механики молекулярных столкновений закон Бойля, дающий соотношение между давлением и объемом газа. Несмотря на этот успех и солидное положение физика в научных кругах, другие ученые восприняли модель Бернулли не особо приветливо. В XVIII веке большинство физиков все еще придерживались модели теплорода, где температура определялась как плотность этого флюида. Они не понимали, зачем Бернулли представил теплоту как форму энергии, заключенной в микроскопическом движении мельчайших частиц. В конце концов, это происходило за целый век до Майера и его кровопускательных прозрений. Бернулли просто опередил свое время.

Чтобы еще больше усложнить жизнь Бернулли, его отец Иоганн попытался украсть работу сына, неправильно датировав собственную (более позднюю) рукопись, чтобы казалось, что она была написана раньше. Дух соперничества со стороны Иоганна и раньше портил отношения между ним и Даниилом. В 1733 году их самостоятельные работы поделили награду Парижской академии. Этот компромисс так разозлил Иоганна, что он порвал с сыном.

Когда теория теплорода умерла от руки Клаузиуса, блестящую идею Даниила Бернулли ждало возрождение. В частности, ею занимались трое ученых: Максвелл, маэстро электричества и магнетизма; тихий американец Джозайя Уиллард Гиббс; и в первую очередь — Людвиг Больцман, измученный гений, который в конце концов покончил с собой.

Клаузиус, Максвелл, Больцман, Гиббс и другие физики начали применять к модели Бернулли статистические методы. В конце концов, она описывала газ, где многочисленные беспорядочно движущиеся частицы отскакивали и прокладывали себе путь сквозь пустое пространство. Эти ученые показали, как из микроскопического хаоса могут возникать коллективные явления. Как и в случае гигантских стай скворцов, где не видны отдельные птицы, температура и давление в газе не определены в базовом микромире, однако проявляются на макроуровне благодаря силе больших чисел. Температуру можно воспринимать через среднюю кинетическую энергию молекул и то, как она изменяется вместе с энтропией. Но как насчет самой энтропии? Что это?

Энтропия — то, что учитывается[31].

Я говорю в буквальном смысле. Как объяснил Больцман, энтропия — на самом деле подсчет микросостояний. Микросостояние похоже на итоговую перепись для какого-нибудь макроскопического объекта; оно говорит вам все, что нужно знать о расположении всех атомов и молекул, где они находятся и что делают. Когда мы рассматриваем какой-то объем газа (или яйцо, или динозавра), мы знаем, что он состоит из множества мельчайших частиц. Каждый атом находится в той или иной точке, вращается определенным образом, двигается с определенной скоростью через короткие промежутки пространства, и таких атомов миллиарды и миллиарды. При этом сами атомы состоят из строительных блоков, имеющих, разумеется, собственные свойства. Чтобы полностью описать газ, яйцо или динозавра, вы можете создать (если сошли с ума) гигантский массив данных, перечислив положение, скорость, спин[32], любимый цвет, книги, музыку и любые иные характеристики для миллиардов строительных блоков в этой системе. Такой массив данных будет описывать конкретное микросостояние, предоставляя вам полную и точную информацию о рассматриваемом объекте.

Но дело вот в чем: даже если вы измените положение нескольких атомов здесь или там, никто этого не заметит. Яйцо будет выглядеть точно так же, объем газа сохранит ту же температуру, а динозавр по-прежнему останется трицератопсом, который должен был умереть 65 млн лет назад. Когда мы смотрим на крупные объекты, глупо беспокоиться обо всех мелочах. Энтропия — мера этой скрытой детальности. Она учитывает все микросостояния, которые поддерживают неизменность макроскопических свойств объекта. Со временем, когда яйцо или динозавр начинают распадаться, превращаясь в пыль, пропадает все больше их микроскопических деталей. Глядя на пыльные останки, все труднее отличить одно возможное микросостояние от другого. С тревожной неизбежностью количество микросостояний яйца или динозавра со временем увеличивается. Так растет энтропия: всегда возрастает и никогда не уменьшается.

Энтропия не обязательно связана с молекулами и атомами. Мы можем говорить об энтропии в любом контексте, пока существуют какие-то микросостояния и мы можем их подсчитать. Возьмем, например, программное обеспечение для распознавания лиц. Мой телефон признает меня, хотя я не всегда принимаю точно такое же выражение лица, как при регистрации. Он отбрасывает все лишние данные и считает множество чуть-чуть различающихся моих изображений одним и тем же объектом. Если бы вы сосчитали все изображения, то получили бы меру энтропии для моего лица.

Вот более количественный пример: в английской Премьер-лиге играют двадцать футбольных команд, которые в ходе сезона проводят с каждым из соперников по одному матчу дома и на выезде. В общей сложности получаем 20 × 19 = 380 матчей за сезон, каждый заканчивается одним из трех возможных исходов: победа дома, победа на выезде или ничья. Это означает, что существует 3380 разных вариантов футбольных сезонов. Однако многие из них приведут к одинаковой турнирной таблице, если нас интересует только количество очков, набранных чемпионами, занявшими второе место, и т. д. Мы можем думать о различных исходах как о микросостояниях и для любой итоговой таблицы подсчитать все способы, которые приводят к одному и тому же распределению очков. Это дало бы нам меру энтропии для Премьер-лиги.

Математика Премьер-лиги с двадцатью командами слишком сложна, чтобы разобраться в ней во всех подробностях, поэтому сократим число команд и представим урезанную лигу, в которой всего два соперника: «Ливерпуль» и «Манчестер Юнайтед». Ради математической простоты мы уберем все остальные команды, включая «Эвертон», «Арсенал», «Тоттенхэм Хотспур» и даже живущий на нефтяные деньги «Манчестер Сити». В сезоне такой ужатой Премьер-лиги состоятся всего две игры, а значит, возможны всего девять разных исходов. Если нас не беспокоит вопрос, кто на первом месте, а кто на втором, разные результаты матчей могут привести к одинаковой турнирной таблице. Поскольку за победу начисляется три очка, за ничью — одно, а за поражение — ноль, девять возможных исходов дадут четыре разные турнирные таблицы, как показано на следующем рисунке.

Посмотрим на таблицу A, где чемпион набирает шесть очков, а команда, занявшая второе место, не получает ни одного. Это можно реализовать двумя способами: «Ливерпуль» выиграет оба матча или проиграет оба. Иными словами, есть два разных микросостояния, которые дадут одну и ту же турнирную таблицу. Такой подсчет дает нам меру энтропии для таблицы А. Или, точнее, ее дает нам натуральный логарифм числа состояний.

Мне нужно быстренько объяснить, что такое логарифм. Логарифм числа X по основанию a (обозначается log_aX) — такое число b, что a^b = X, то есть степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось X. Например, если мы возьмем основание 10, то логарифм 100 по основанию 10 равен 2, поскольку 10² = 100, и мы можем написать log₁₀100 = 2. Если в качестве основания логарифма берут число Эйлера e ≈ 2,71828, то обычно используют обозначение ln и говорят о натуральных логарифмах. Например, lne² = 2, lne³ = 3, lne^0,12 = 0,12 и т. д. Натуральные логарифмы в науке используют гораздо чаще, чем десятичные.

Больцман предложил формулу для энтропии, использующую натуральный логарифм: S = lnW, где W — количество соответствующих микросостояний или количество способов. Вернемся к сокращенной Премьер-лиге. Энтропия таблиц A и C равна ln2 ≈ 0,693, энтропия таблицы B составляет ln4 ≈ 1,386, а энтропия таблицы D равна нулю (поскольку ln1 = 0). Точно так же мы считаем состояния и энтропию, когда говорим о яйцах или динозаврах. Единственная разница заключается в используемых числах. Количество микросостояний, которые могли бы описать съеденное на завтрак яйцо (или динозавра!), крайне велико; там понадобятся гуголы, в отличие от чисел 1, 2 и 4, которые обнаружились у нас для результатов двух команд в Премьер-лиге.

Итак, у нас определена энтропия для Премьер-лиги. Как увидеть ее вероятное увеличение со временем? Это довольно легко. Представьте, что сезон закончился таблицей А и, соответственно, энтропией ln2. Что произойдет в следующем сезоне? Если отдельные исходы матчей равновероятны, то с вероятностью ⁴/₉ энтропия останется на том же уровне ln2 (это случится, если в следующем сезоне реализуется таблица A или таблица C), с вероятностью ⁴/₉ энтропия увеличится до ln4 (если после сезона получится турнирная таблица B) и с вероятностью ¹/₃ она упадет до нуля (если получится таблица D). Таким образом, даже в нашем небольшом примере энтропия с большей вероятностью будет расти, чем падать.

Когда мы изменим числа до гугольных масштабов, необходимых для учета количества атомов в яйце или динозавре, эти преобладающие вероятности станут подавляющими. Увеличение энтропии уже не просто вероятно, а неизбежно. Представьте кубик льда при комнатной температуре. Эта система описывается микросостояниями для льда и со временем будет переходить в другие возможные микросостояния. Система совершает несколько микроскопических скачков между различными состояниями, и никто не удивится, обнаружив, что в итоге появится лужа. Есть небольшие шансы, что кубик останется льдом, но они ничтожны. При комнатной температуре мы получаем небольшое количество возможных ледяных микросостояний по сравнению с большим количеством водяных, а это просто означает, что лед с большой вероятностью растает.

С помощью этих статистических игр мы также можем понять законы термодинамики, в соответствии с которыми энергия попадает в плен к энтропии, а Вселенная движется к параличу. Ведь чем больше микросостояний вы накапливаете, тем больше растворяются ваши знания о яйце, динозавре или лужице. В каком-то смысле становится все труднее добыть полезную энергию, потому что вы не знаете точно, где она находится. Это немного напоминает попытку вора украсть драгоценный камень: если тот спрятан в большом особняке с сотнями комнат, то, скорее всего, на поиски уйдет очень много времени. Если особняк достаточно велик, а вор ищет наобум, он может никогда не найти драгоценность. То же и с энтропией, которая размывает энергию, из-за чего нам становится все труднее ее украсть. Больцман понял, что если вы пустите все на самотек, то беспорядок и невежество всегда будут возрастать. Посмотрите новости и послушайте политиков, и вы быстро поймете, что австрийский физик был прав.

Работа Больцмана поистине замечательна. Он не просто небрежно прыгал от микроскопического к макроскопическому, от лилипутов Лилипутии к великанам Бробдингнега. Он построил мост на прочном математическом фундаменте и четко показал, как по нему безопасно двигаться. Разумеется, как обычно, эти идеи физика встретили сопротивление, поскольку не все были готовы принять реальность атомов и преобладание пустого пространства. Справляться с таким сопротивлением Больцман оказался не готов. Блестящий ученый имел проблемы с психикой и отличался склонностью к резким перепадам настроения, маниакальному поведению и глубокой депрессии. Все закончилось еще одной трагедией для термодинамики: Больцман повесился в Дуино (недалеко от Триеста), когда его жена и дочь плавали в заливе. Он не оставил предсмертной записки. Неизвестно, привели ли к этому отчаянному поступку профессиональные проблемы ученого. Но мы точно знаем, что годом ранее Эйнштейн опубликовал работу, оставшуюся Больцману неизвестной, которая окончательно убедила научный мир в реальности атомов и соответствовала мосту, которым австрийский физик связал микро- и макромир[33].

Но вернемся к вам и вашему двойнику. Как яйцо, динозавр или определенный объем газа, вы тоже состоите из миллиардов атомов и молекул. Невозможно точно знать, где находятся все эти атомы и что они делают. В результате не существует одной схемы, одного массива данных, который мог бы идеально описать вас — человека, читающего эту книгу в своем макроскопическом мире. Таких массивов много. Разумеется, существует масса других микросостояний, которые не имеют ничего общего с вами — человеком, читающим эту книгу. Среди них найдутся те, которые описывают вас, но читающего журнал Hello! или корову, читающую журнал Hello! или газ из молекул при заданных температуре и давлении, и даже такие, которые описывают всего лишь пустое пространство. Вы занимаете (более или менее) кубический метр пространства, и для этого объема мы могли бы вообразить бесконечное количество различных сценариев — слегка различающихся вариантов вас, коров, газов, вакуумов. Поэтому должно существовать бесконечное количество микросостояний, которые в принципе могли бы описать любой конкретный кубический метр пространства. Верно?

Нет.

Это число конечно. Если бы оно было бесконечно, ничто не мешало бы энтропии в этом кубическом метре расти и расти, от гугола к гуголплексу, к числу TREE(3) и далее. Однако что-то ее останавливает: гравитация. Клаузиус учил нас, что энтропия и энергия растут совместно, а Эйнштейн объяснил, что энергия — это масса. Если вы попытаетесь втиснуть слишком много энтропии в кубический метр пространства, гравитация почувствует массу соответствующей энергии и призовет тюремщика. Неизбежно сформируется черная дыра.

Черные дыры — это энтропийный предел. Они скрывают свои микроскопические секреты лучше, чем кто-либо и что-либо. Это безликие незнакомцы, чью ужасную историю вы никогда не узнаете и даже не сможете узнать. Когда вы смотрите на них и пытаетесь что-то измерить, черные дыры сообщают о себе лишь три параметра: массу, заряд и спин. Все остальное остается скрытым. Представьте, что в глубине своего сада вы нашли маленькую черную дыру. Как узнать, из-за чего она образовалась? Предположим, на следующий день она все еще там же, но стала тяжелее, увеличив свою массу примерно на массу слона. Можете ли вы уверенно заявить, что дыра поглотила именно слона? Возможно, это было полное собрание сочинений Шекспира, у которого масса, заряд и спин совпадают с теми же характеристиками слона? Оба сценария привели бы к той же черной дыре с теми же тремя характеристиками, так откуда нам знать, какой из двух сценариев осуществился в реальности? Откуда знать истинную историю черной дыры?

Это умение черной дыры хранить тайны намекает на ее непревзойденную способность сохранять энтропию. Существует много причин для ее появления (будь то слоны или шекспировские тексты), и все же ни одна из них не закодирована в ее макроскопических характеристиках. Все теряется в сообществе возможных микросостояний, какими бы они ни были. Для любого данного объема пространства нет ничего более энтропийного, чем черная дыра, которая располагается в точности внутри этого объема, а ее горизонт событий касается внешнего края. Но если черные дыры — это энтропийный предел, то сколько в них имеется энтропии?

Для большинства макроскопических объектов (таких как яйца, люди или динозавры) энтропия растет с увеличением объема. Например, мама-трицератопс, которая в десять раз крупнее своего детеныша по всем трем измерениям, будет обладать примерно в 1000 раз большей энтропией. Это интуитивно понятно: взрослое животное занимает объем, который в 1000 раз больше и, следовательно, вмещает в 1000 раз больше атомов. Каждый атом дает несколько новых возможностей. Например, атом может вращаться в двух направлениях, и мы получаем две возможности для каждого атома. Для сотни новых атомов у нас 2100 вариантов, для миллиона — 21 000 000 вариантов и т. д. Ясно, что количество таких вариантов, микросостояний при увеличении количества атомов растет экспоненциально. Энтропия — логарифм этой величины, она избавляет от степени, так что она должна быть пропорциональна количеству атомов. Поэтому для мамы-трицератопса энтропия в 1000 раз больше, чем для ее детеныша.

Однако трицератопс — не такой уж энтропийный объект. Мы могли бы втиснуть в то же пространство миллиард трицератопсов, порождая давку ящеров с гораздо большей энтропией, но с тем же объемом. Яйца, люди, трицератопсы — ни один из этих объектов не находится на вершине энтропийной пищевой цепи. Там находятся черные дыры, и так уж вышло, что энтропия большой и маленькой черных дыр сильно отличается от энтропии мамы-трицератопса и ее детеныша. Энтропия черной дыры растет пропорционально площади горизонта событий, а не ее объему. Это противоречит интуиции, но только потому, что мы не привыкли иметь дело с объектами, которые настолько стиснуты сокрушительными объятиями гравитации.

В начале 1970-х израильско-американский физик Яаков Бекенштейн и его британский коллега Стивен Хокинг показали, что черная дыра с горизонтом событий площадью A_H имеет энтропию, определяемую формулой

Символ l_p означает планковскую длину[34]. Это самое маленькое расстояние в физике, имеющее смысл: около одной миллиардной от триллионной доли триллионной доли сантиметра. Эта длина соответствует масштабам, когда мы начинаем терять контроль над нашим пониманием гравитации, — здесь последняя начинает заигрывать с микромиром квантовой механики, где ткань пространства и времени становится нерезкой, размытой и, возможно, даже рвется.

Хокинг смог определить компоненты этой формулы с помощью определенных хитроумных термодинамических рассуждений, однако надлежащего микроскопического вывода этого уравнения по-прежнему не существует. А на деле нам больше всего хотелось бы взять типичную черную дыру и идентифицировать все микросостояния, соответствующие трем ее макроскопическим свойствам — массе, заряду и спину. Затем мы бы подсчитали эти микросостояния и проверили, будет ли получившаяся энтропия точно соответствовать формуле Бекенштейна и Хокинга. Никто еще не выяснил, как это сделать, — по крайней мере, для тех черных дыр, которые болтаются в центрах галактик[35]. Решение этой проблемы остается заветной мечтой для исследователей черных дыр.

Вернемся к тому кубометру пространства, который вы занимаете, а на самом деле к любому. Сколько микросостояний потребуется, чтобы быть абсолютно уверенными, что вы знаете всю его физику? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно рассмотреть все возможные микросостояния и довести дело до энтропийного предела. Иными словами, нужно взять самую большую черную дыру, которая может поместиться внутри этого объема. Площадь горизонта событий у нее будет около квадратного метра, поэтому по формуле Бекенштейна и Хокинга[36] получаем энтропию, равную примерно 10⁶⁹. Это соответствует примерно микросостояниям. Вот он, предел. Это самое большое количество микросостояний, которое вам когда-либо понадобится для описания произвольного кубического метра пространства.

Будучи амбициозным гугологом[37], я дам этому огромному, но конечному числу собственное имя: доппельгангион. Мы определили это число на стыке двух глав — между гуголом и гуголплексом. Вполне уместно: в конце концов, доппельгангион находится где-то между этими двумя колоссами. Он сильно возносится над гуголом, но не дотягивает до гуголплекса. Чтобы в полной мере оценить его значимость, нам придется продолжить поиски вашего двойника в следующей главе, изучая вопрос, что значит «быть вами» — вплоть до субатомного уровня.

Благодаря этому энтропийному пределу я знаю сейчас, что тот кубический метр, который занимаю, когда пишу эти слова, описывается по крайней мере одним из возможных микросостояний. Это также верно и для кубометра пространства, занимаемого принцем Гарри, Меган Маркл или газообразным инопланетянином из галактики Андромеды, замышляющим межгалактическую войну. И это правда о вас. Вы лучше, чем один на гугол, но не дотягиваете до одного на гуголплекс. Для любого из нас лучший вариант — оказаться одним на доппельгангион.

Возможно, я слишком добр. Из микросостояний найдется сразу несколько, которые могут адекватно описать вас и ваши макроскопические черты — тот же нос, те же уши, то же довольное выражение лица и т. д. Предположительно ваш двойник использует такие же состояния. Если бы мы стремились к большей точности, можно было бы попытаться немного сократить число соответствующих микросостояний. Мы могли бы спрашивать о точном состоянии отдельных атомов в вашем организме или нейронах, инициирующих мысли в вашем мозге. Все зависит от того, насколько тщательно мы хотим определить вас и заодно вашего двойника. Насколько точным должно быть совпадение, чтобы говорить о двойнике? Достаточно ли вам одинаково выглядеть или также требуется, чтобы у вас были одинаковые мысли и одинаковое расположение атомов? Однако в тот момент, когда вы начинаете измерять состояния отдельных атомов, вы попадаете в микромир, в царство квантовой механики, то есть в тему следующей главы. Поиск вашего двойника превратился в квантовый квест. Если честно, так было всегда. Вселенная — квантовый объект. Вы — квантовый объект.

Как и ваш двойник-доппельгангер.

Гуголплекс

Вы немного перебрали, но это неважно. По вечерам в среду в вашем пабе проводят викторину, а сегодня задали вопрос об энтропии. Вы оказались единственным человеком, знавшим ответ, и поэтому сейчас вполне довольны собой. Когда вы, спотыкаясь, шагаете домой, вы видите прохожего на другой стороне улицы. Погодите. Он вроде на этой стороне. Или вообще посреди дороги? Вы не можете сказать. Что, черт возьми, происходит? Неужели вы действительно перепили?

Добро пожаловать в микромир, где каждый прохожий — чародей, где правит квантовая механика, а вы находитесь здесь, там, везде и нигде, затерявшись в вероятностном тумане. Возможно, вы удивлены, что я привел вас сюда, в самый крохотный из миров, когда наша конечная цель в том, чтобы вообразить гуголплекс — единицу, за которой следует гугол нулей, — и необъятность гуголплексианской Вселенной. Но у меня нет выбора. Если вы хотите должным образом оценить гуголплексианскую Вселенную и найти двойника, который живет в ней, вам необходимо понять квантовые законы. Они не похожи ни на что, к чему вы привыкли. Они странны и противоречат здравому смыслу. Но чтобы продолжить путешествие, нам нужно изучить новый образ жизни. Эта жизнь ниже уровня нашего обычного существования; она проходит в танце субатомных частиц, из которых состоим все мы. В танце, который делает вас вами (и вашего двойника — вами).

Квантовая механика выросла на обломках катастрофы. К концу XIX века физики открыто торжествовали. Они начали эру открытий и изобретений: электричество, магнетизм, свет, радио, атомы, молекулы и термодинамика. Их гений освещал улицы Лондона, Парижа и Нью-Йорка, приводил в движение двигатели промышленной революции и готовился изменить мир с помощью радио и телевидения. Однако не все шло гладко. В бочке меда имелась ложка дегтя, постыдный секрет, абсурд, порожденный лучшими и наиболее надежными идеями физики.

Ультрафиолетовая катастрофа.

Когда физик говорит об ультрафиолете, он просто имеет в виду то, что колеблется с очень высокой частотой. Например, вы, вероятно, слышали об ультрафиолетовом излучении. Это такое же электромагнитное излучение, как и видимый свет, но его частота больше, и мы его не видим. Ультрафиолетовая катастрофа проявилась, когда физики XIX века задумались о том, сколько энергии будет содержаться в высокочастотном излучении, поглощаемом или испускаемом определенными объектами. Вы можете ощутить эту катастрофу, не выходя из собственного дома[38]. Предположим, у вас на кухне есть духовка с идеальной изоляцией и вы поворачиваете ручку, выставляя температуру 180 °C. Вы задаетесь вопросом: сколько энергии имеется в духовке в тот момент, когда она достигнет нужной температуры? Чтобы выяснить это, загляните внутрь печи. Она кажется пустой, но вы знаете, что на самом деле это не так. Она заполнена волнами электромагнитного излучения, извивающимися, как морские змеи Максвелла из главы «1,000000000000000858». Вы замечаете, что некоторые змеи извиваются более яростно, чем другие, совершая больше колебаний между головой и хвостом. В этих колебаниях заключена энергия, и вы начинаете все это суммировать. С небольшой помощью привидения условного физика, жившего в конце Викторианской эпохи, вы можете вычислить общую энергию всех колебаний.

В ответе вы получите бесконечность.

Неудивительно, что викторианское привидение выглядит смущенным. Оно и должно смущаться — это же катастрофический ответ. Как оно могло так напортачить? Чтобы изучить происходящее, посмотрим на отдельную волну электромагнитного излучения. Мы можем представлять ее в виде пары морских змей-близнецов (электрической и магнитной), находящихся в духовке и извивающихся взад и вперед под прямым углом друг к другу, как показано на следующем рисунке.

Эта волна имеет две важные характеристики: частоту колебаний и амплитуду. Частота говорит нам, как быстро извиваются змеи, а амплитуда — величина их изгибов. Викторианское привидение рисует вам картину множества пар змей, извивающихся с одинаковой амплитудой, причем в полном диапазоне частот. Оно также сообщает вам то, что говорили ему Максвелл и Больцман: средняя энергия, хранящаяся в каждой паре змей, одинакова — она не зависит от частоты. На деле оно убеждает вас, что каждая пара несет около 6 зептоджоулей[39] энергии[40]; это в 100 трлн раз меньше, чем 200 калорий, которые вы получите от батончика Mars. Несмотря на это крошечное число, привидение говорит вам, что полный диапазон частот на самом деле бесконечен. Поэтому в печи находится бесконечное количество извивающихся змей, они наполняют печь бесконечным количеством энергии. Такая логика приводит вас к ультрафиолетовой катастрофе и бесконечно большому счету за электроэнергию.

Но паниковать пока не нужно. Сейчас мы знаем, как избежать этой катастрофы, благодаря гениальному немецкому физику Максу Планку. Как и многие герои этой книги, он пострадал в личной жизни: нацисты казнили его сына Эрвина за участие в неудавшемся покушении Клауса фон Штауффенберга на Адольфа Гитлера.

Планк понял, что не все змеи рождаются равными[41]: энергия, которую они несут, должна зависеть от того, как быстро они извиваются. Если он хочет избежать ультрафиолетовой катастрофы, то самые извивающиеся змеи должны в среднем нести все меньше энергии, чтобы компенсировать тот факт, что их бесконечно много. Планк придумал, как это должно происходить в реальности. Электромагнитные волны не могут обладать произвольным количеством энергии (как предполагало наше викторианское привидение). В энергетическом спектре должны существовать пропуски, которые становятся все больше по мере увеличения частоты, что уменьшает среднее значение. Планк также заметил, что для соответствия результатам экспериментов[42] эти промежутки должны быть очень точными. Разрешенные энергии могут появляться только четко определенными порциями (структурными элементами), и чем выше частота волны, тем больше такие порции.

Но Планк не называл их порциями. Он называл их квантами (от лат. quantum — «сколько»).

Чтобы лучше понять математику, стоящую за «порционной» идей Планка, представьте вариант «Игры в кальмара», где погрязшие в долгах участники рискуют жизнями, участвуя в детских играх в надежде получить колоссальный денежный приз. Предположим, что есть 511 игроков с разным уровнем долга.

• 1 игрок должен 8 млрд корейских вон.

• 2 игрока должны по 7 млрд вон.

• 4 игрока должны по 6 млрд вон.

• 8 игроков должны по 5 млрд вон.

• 16 игроков должны по 4 млрд вон.

• 32 игрока должны по 3 млрд вон.

• 64 игрока должны по 2 млрд вон.

• 128 игроков должны по 1 млрд вон.

• 256 игроков не имеют долгов.

В начале соревнования средний долг всех игроков составляет чуть меньше миллиарда вон (точнее, 982 387 476 вон). К концу первой игры жестко «устранили» всех, кто должен 1 млрд вон, 3 млрд вон, 5 млрд вон или 7 млрд вон. Игроков стало меньше, и их общая задолженность значительно сократилась: средний долг оставшихся снизился примерно до 657 млн вон на каждого. Пусть к концу второй игры выбывают задолжавшие 2 млрд вон и 6 млрд вон. Средний долг остальных игроков в этот момент составляет всего 264 млн вон на каждого. После каждой очередной игры участники выбывают, и в «спектре» долгов появляются всё большие пробелы, что снижает средний показатель задолженности.

Планк понял, что нечто подобное должно происходить и с волнами в вашей духовке. Когда вы проводите перепись энергии для волн определенной частоты, то обнаруживаете, что эти колебания поглощают энергию только порциями определенного размера. При этом для более высоких частот эти порции увеличиваются, а средняя энергия резко падает.

Планк вычислил, что для соответствия экспериментальным данным волны с частотой ω должны иметь энергии, кратные величине ħω, где ħ — очень маленькое число, так называемая постоянная Планка, меньше одной миллиардной от триллионной доли триллионной доли привычных единиц[43]. Как мы вскоре увидим, малость величины ħ и становится причиной того, что квантовый мир оставался скрытым от нас так долго.

В каком-то смысле очень странно, что у волн есть такая смирительная рубашка: законы природы вынуждают их выбирать определенный набор энергий в зависимости от их частоты. Например, по этим правилам волны с частотой 1033 герц могут иметь энергию только из целого числа джоулей: 1 джоуль, 2 джоуля, 3 джоуля и т. д., а другое количество энергии запрещено. Возникает вопрос: что произойдет, если я попробую скормить одной из этих волн половинку джоуля? Разве это не выведет волну за пределы допустимого диапазона и не вызовет революцию? Да, так бы и случилось, и поэтому волна просто откажется от еды! Она безмерно уважает закон, и базовые порции энергии (кванты) всегда останутся незыблемыми.

Эти порции ħω используют в качестве валюты постоянную Планка — примерно так же, как корейская вона присутствует в качестве валюты в «Игре в кальмара». Поскольку постоянная Планка очень мала (относительно наших повседневных единиц), нам потребовалось крайне много времени, чтобы вообще заметить существование таких порций. То же происходит и с деньгами: если вы торгуете исключительно товарами, которые стоят миллиарды вон, то не заметите разницу в одну вону. Сначала Планк рассматривал эти порции энергии и свою валюту как математическую диковину. Но оказалось, что его математические заклинания распахнули портал и обнаружили глубокие истины, касающиеся физического мира, как это случилось полвека назад с Максвеллом, изучавшим математику электричества и магнетизма. И все же Альберту Эйнштейну потребовалось мужество, чтобы пробраться через эту теорию и рассказать миру о том, что открыл Планк.

Чтобы правильно оценить его труды, нужно рассказать о небольшом эксперименте, в котором вы направляете луч ультрафиолета на цинковую пластину и металл начинает испускать электроны. В этом нет ничего особо странного. Ультрафиолетовый свет способен творить ужасные вещи, и я могу удостовериться в этом каждый раз, когда забываю нанести солнцезащитный крем. Странность в этом эксперименте заключается в том, что происходит, когда вы увеличиваете интенсивность света. Возможно, вы ожидаете, что электроны будут вылетать с большей скоростью, потому что в луче теперь больше энергии. Но этого не происходит. Да, вы получите больше электронов, однако скорость их вылета останется прежней. Единственный способ получить более быстрые электроны — увеличить частоту излучения. Например, рентгеновские лучи обладают более высокой частотой, чем ультрафиолетовые. Поэтому рентгеновский луч будет порождать более быстрые электроны, чем ультрафиолетовый, даже если использовать менее интенсивное рентгеновское излучение. Верно и обратное: если вы уменьшите частоту луча, электроны замедлятся, а если уменьшите до определенного предела, то они вообще перестанут испускаться. Например, если светить на цинковую пластинку видимым светом, электроны не появляются, потому что частота излучения слишком мала.

Это явление получило название фотоэффекта, и Эйнштейн дал объяснение необычным результатам, наблюдаемым в экспериментах. Шел 1905 год — его annus mirabilis, год чудес. Хотя в том же году ученый изложил специальную теорию относительности, он всегда считал свою работу, посвященную фотоэффекту, более революционной, бунтарской, противоречащей устоявшимся представлениям[44]. Мы можем понять суть этого бунта с помощью еще одной аналогии, пусть и алкогольной. Представьте, что вы в переполненном водочном баре, где сидит гугол посетителей, желающих выпить и ожидающих, пока их обслужат. Сейчас они трезвые, но после полулитра водки будут считаться пьяными и вышибалы вышвырнут их на улицу, где за развитием событий наблюдает Эйнштейн. В бар привозят водку — несколько тысяч миниатюрных бутылочек по 50 миллилитров. Посетители бара эгоистичны и друг с другом не делятся. Бармены распределяют бутылочки случайным образом, и из-за огромного количества клиентов большинство из них останется ни с чем. Некоторые посетители получат одну бутылочку, но маловероятно, что кому-то посчастливится добыть больше одной. В результате в баре не окажется ни одного человека, которому хватит водки, чтобы дойти до пьяного состояния, поэтому вышибалы никого не выставят за дверь. На следующий день в бар поступает миллиард 50-миллилитровых бутылочек, но ничто принципиально не меняется — все равно никто не получит достаточно водки, чтобы напиться и оказаться вышвырнутым на улицу. На третий день водочная компания решает повысить ставки. Она отказывается от миниатюрных сосудов и вместо них привозит в бар литровые бутылки. Этих бутылок несколько тысяч, и бармены снова распределяют их случайным образом. Через некоторое время Эйнштейн наконец замечает выставленных из бара людей. Они пьяны, и все без исключения держат в руке по литровой бутылке водки, наполовину опорожненной. На четвертый день компания снова использует литровые бутылки, но теперь их миллион. Эйнштейн видит, как на улицу вышвыривают гораздо больше пьяных, но каждый по-прежнему держит бутылку водки, опорожненную ровно наполовину.

Какое отношение к фотоэффекту имеют все эти жизненные радости? Эйнштейн осознал, что если свет делится на порции, как предположил Планк, то фотоэффект можно было бы легко объяснить с помощью нашей алкогольной аналогии. Вы можете считать бар металлической пластиной, посетителей — электронами, а доставку водки — лучом ультрафиолета. Если Планк прав, то свет обязательно доставляет энергию порциями определенного размера в зависимости от их частоты — точно так же, как водка всегда поставляется в 50-миллилитровых или литровых бутылках. Всякий раз, когда порция энергии попадает на цинковую пластину, 700 зептоджоулей уходят на то, чтобы выбить электрон, а весь остаток энергии идет на его ускорение. Поскольку размер порций фиксирован, остаток всегда одинаков, и поэтому электроны всегда летят с одинаковой скоростью. Если вы увеличите интенсивность луча, это принципиально ничего не изменит, а значит, на пластинку падает больше порций энергии, поэтому они выбивают больше электронов, но все эти частицы летят с той же скоростью, что и раньше. То же происходит и с водкой. Когда в бар привезли литровые бутылки, их количество уже не имело особого значения. Важно лишь то, что объема бутылки достаточно, чтобы перешагнуть полулитровый порог опьянения, и посетителя, добравшегося до этого порога, гарантированно вышвырнут за дверь с оставшейся половиной литра. Также становится понятно, почему электроны остаются на месте, когда на цинковую пластину падает видимый свет. Рассмотрим, например, синий свет: его кванты имеют энергию примерно 400 зептоджоулей, а этого недостаточно, чтобы выбить электрон.

Фотоэффект доказал, что свет состоит из частиц. Эти частицы (кванты видимого света) получили название фотонов. Фотонам предписано переносить строго определенное количество энергии. Они подобны муравью-рабочему, которому поручено нести конкретный лист конкретного размера. Это вызвало огромное беспокойство. Уже более ста лет, после новаторских экспериментов британского ученого-энциклопедиста Томаса Юнга, свет считали волной, а тут внезапно обнаружилось, что он ведет себя как поток частиц. Это все равно, как если бы вы однажды утром проснулись и услышали, что Грета Тунберг поддержала Дональда Трампа. О таком вы даже подумать не могли.

Юнг установил волновую природу света в классическом эксперименте. Он взял темный экран и прорезал в нем две щели очень близко друг к другу, а за ним поставил второй экран. Когда ученый направил луч света на первый экран, он обнаружил изображение на втором. Если свет — поток частиц, то на экране должна появиться непрерывная полоса света с максимальной интенсивностью посередине, непосредственно за двумя щелями. Здесь вы можете провести аналогию с градом пуль, выпущенных без разбора в сторону экрана. Проходя через узкие промежутки, они будут отклоняться и чаще попадать в середину экрана, чем в его края. Стоять в центре хуже всего, поскольку пули попадают с обоих направлений, — в отличие, скажем, от правого края, где вам будут угрожать только пули, прошедшие через правую щель. Однако в своем эксперименте Юнг не обнаружил такой «пулевой» картинки. Он увидел ряд светлых и темных полос, которые напоминали штрихкод на товарах из супермаркета.

^{Двухщелевой эксперимент Юнга}

Такая картина соответствует прохождению света одновременно через обе щели, подобно приливной волне, прорывающейся частями через смежные двери в прибрежной гостинице, а затем соединяющейся с собой с другой стороны. Темные полосы — это места, где гребень одной волны накладывается на впадину другой; при таком наложении волны ослабляются: результирующая амплитуда уменьшается. А вот светлые полосы — места, где волны складываются «созидательно», гребень с гребнем, в результате амплитуда их увеличивается и яркость экрана повышается. Появившаяся в эксперименте Юнга картина полос безошибочно указывала на то, что свет ведет себя как волна, а не как частица.

Но теперь фотоэффект, казалось, утверждал прямо противоположное.

Итак, что такое свет? Волна или частица?

Правда в том, что свет подобен идеальному театральному актеру. Он может менять свой костюм в зависимости от шоу. Когда продюсером становится Томас Юнг и на сцене ставится двухщелевой эксперимент, свет будет танцевать как волна. Когда постановкой шоу занимается фотоэлектрическая компания, свет будет танцевать как частица.

Возможно, вам кажется, что можно объяснить ситуацию, сказав, что фотоны — это частицы, а волнообразное поведение света — всего лишь макроскопический эффект, результат их собирания в «большие стаи». Ведь волны в реальности состоят из множества крохотных молекул воды, так что, возможно, когда у вас есть достаточно большая компания фотонов, они сговариваются вести себя подобно волне. В реальности компания фотонов — очень хороший способ представить себе обычный луч света. Но дело вот в чем: эксперимент Юнга приводит к тем же результатам, даже если вы снижаете интенсивность луча до совсем малого уровня — испускаете по фотону за раз. Каждый фотон попадает на экран в случайной точке, однако в конце концов все равно начинает появляться картинка штрихкода. Когда на сцене театра ставится двухщелевой эксперимент, даже одиночный фотон начинает танцевать, как волна. Это один из моих любимых фактов во всей физике: одиночная частица света действует как волна, почти как если бы она проходила через обе щели одновременно. Это абсолютный взрыв мозга. Это не имеет права быть правдой. Но это правда!

От этого факта никуда не деться: одиночный фотон может вести себя и как частица, и как волна, в зависимости от настроения. А как насчет того, что мы обычно считаем частицами, например электронов и протонов? Не могут ли они тоже быть волнами? Конечно, могут. Свет — не единственный актер на сцене; оказывается, материя более чем способна устроить точно такое же шоу. Когда два американских физика Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер пропустили электроны через пару щелей, те нарисовали картинку штрихкода на экране сзади, как и положено каждой уважающей себя волне.

К 1927 году, когда Дэвиссон и Джермер завершили свои эксперименты, эти результаты уже с нетерпением ожидали. Сцену подготовил более десяти лет назад самый знаменитый физик Новой Зеландии Эрнест Резерфорд, или, если называть его полным титулом, 1-й барон Резерфорд Нельсонский, кавалер Ордена Заслуг. Как следует из титула, Резерфорд был важным человеком — лауреатом Нобелевской премии и отцом ядерной физики. Еще до Первой мировой войны ученый провел эксперименты, которые установили, что атомы напоминают миниатюрную солнечную систему: электроны вращаются вокруг плотного центра, названного ядром. Широкое облако электронов несло отрицательный заряд, а ядро оказалось заряжено положительно. Наличие зарядов означало, что в динамике атомной Солнечной системы доминируют электромагнитные силы. Однако для Макса Планка модель Резерфорда не имела смысла: если электроны двигаются по орбите, то у них есть ускорение, а поэтому — согласно теории Максвелла — они должны излучать энергию и почти мгновенно обрушиваться на ядро. В результате атом должен превращаться в скучный нейтральный комочек. Реальные же атомы не имеют права на существование.

В Копенгагене эта проблема привлекла внимание бывшего футболиста по имени Нильс Бор. В подростковом возрасте он был вратарем датской команды «Академиск Болдклуб», а его брат Харальд играл там в полузащите. Харальд даже выступал за национальную сборную на Олимпийских играх[45], а вот Нильс решил сосредоточиться на физике и к 1913 году понял, как спасти атом.

Бор взял собственную валюту Планка, крошечную постоянную ħ, и выдвинул гипотезу, что электроны могут двигаться только по определенным орбитам, на которых они ничего не излучают. В частности, по этой причине орбиты не могут быть сколь угодно близкими к ядру. Бор вычислил, что в атоме водорода самая низкая из разрешенных орбит имеет радиус около пятидесяти триллионных долей метра. Радиус второй допустимой орбиты в четыре раза больше, следующей — в девять раз и т. д. Вы можете представить атом Бора в виде многоквартирного дома: первый этаж соответствует ядру, а на десятом (на расстоянии в девять этажей от первого) толпятся зомби. Если те окажутся на первом этаже, они выберутся на улицу и уничтожат весь город. Чтобы предотвратить катастрофу, власти перекрыли лестницы и перепрограммировали лифт, чтобы он останавливался только на определенных этажах. На десятом этаже лифт есть, но теперь он может останавливаться только на втором и пятом этажах (то есть на расстоянии в один и в четыре этажа от первого). Некоторые зомби натыкаются на лифт и попадают на другие уровни — иногда добираются до пятого этажа, а иногда и до второго. Но они никогда не попадут на первый этаж, потому что лифт там не останавливается. В результате город выживет. То же происходит и в атоме. Как только электрон достигает самого низкого из разрешенных уровней, рассчитанного с помощью собственной планковской валюты, ему запрещается опускаться ниже, поэтому атом может существовать.

Хотя Бор сформулировал правила, фактически он не объяснил, почему электрон должен им подчиняться, почему он может вращаться вокруг ядра только на определенном расстоянии. И здесь на сцене появляется молодой французский аристократ — Луи де Бройль, 7-й герцог Брольи. В 1924 году он защитил в Парижском университете докторскую диссертацию, где утверждал, что электроны на боровских орбитах можно воспринимать не как частицу, а как волну, образующую окружность, подобно изображению змея Уробороса, кусающего себя за хвост. В зависимости от импульса этого электрона соответствующая волна должна иметь четко определенную длину[46]. Длина волны — просто расстояние между соседними гребнями или впадинами в изгибах нашей змеи: у частиц с большим импульсом длина волны мала, а у частиц с малым импульсом — велика. Чтобы гребни и впадины аккуратно уложились в длину окружности, их должно оказаться целое число. Такое возможно только для окружностей строго определенных радиусов.

Ситуацию можно сравнить с группой людей, которые водят хоровод, то есть образуют круги из разного количества участников, держащих соседей за руки. В самом маленьком хороводе всего один малыш: он сцепил руки, держит сам себя. Далее идут два подростка: их руки вдвое длиннее, чем у малыша, и круг, который они образуют, больше в четыре раза (у двух человек вдвое больше рук, и они вдвое длиннее). Третье кольцо состоит из трех взрослых: их руки втрое длиннее рук малыша, поэтому кольцо в девять раз больше. Если бы труппа набрала гигантов с еще более длинными руками, которые вчетверо длиннее рук малыша, можно было бы продолжить и сделать круг из четырех человек. При этом каждый раз участники очередного хоровода, образовавшие круг, обнаруживают, что двигаются по окружности строго определенного радиуса. Ровно так же движутся и электроны в атоме.

Диссертация молодого де Бройля привлекла внимание Эйнштейна, который сразу же признал важность его идей. Де Бройль начал революцию. Появилась армия блестящих молодых физиков, готовых бросить вызов общепринятым знаниям, например: Вернер Гейзенберг, Эрвин Шредингер, Паскуаль Йордан и Поль Дирак. Одним из первых в бой отправился австрийский физик Шрёдингер. Его вдохновило услышанное на конференции небрежное замечание[47], что электрон как волна должен удовлетворять некому волновому уравнению. Чтобы решить эту проблему, он оставил свою жену дома на Рождество и отправился в домик на альпийский курорт Ароза в Швейцарии. Он прихватил копию диссертации де Бройля, а для компании — любовницу из Вены. Это были скандальные несколько недель, но к их концу Шрёдингер открыл одно из самых важных уравнений в физике[48].

Хотя Шрёдингер с помощью своего волнового уравнения смог воспроизвести правильную физику атома водорода, было не совсем ясно, что представляет собой эта волна. Шрёдингер использовал название «волновая функция» и был убежден, что она описывает распределение заряда электрона, словно он размазан по пространству. Но это не так. Хотя Дэвиссон и Джермер и зафиксировали волнообразную картину в своем двухщелевом эксперименте, та появилась только после того, как на экран попало большое количество электронов. А вот отдельный электрон всегда приземлялся в одном случайном месте — его собственный заряд никогда не разбивался и не распределялся в виде штрихкода, как пытался предположить Шрёдингер.

Суть происходящего понял Макс Борн (лауреат Нобелевской премии и дед актрисы и певицы Оливии Ньютон-Джон): волновая функция Шрёдингера — это волна вероятностей. Ее величина говорит вам, где может находиться электрон и насколько вероятно то, что он там находится[49]. Если бы вы стали его искать, то, скорее всего, обнаружили бы там, где вероятность максимальна, но никакой гарантии тут нет — он может оказаться где угодно, где эта волна есть. Пока вы не выполните какое-то измерение и не зафиксируете положение электрона, вы не можете знать, где он находится. Это определяется случаем.

Ситуация немного похожа на попытку выследить беглого преступника с помощью дешевого GPS-трекера. Вы не способны точно определить его местонахождение. В лучшем случае вы можете сказать, что он прячется где-то в городском торговом комплексе, возможно где-то в его середине, но вы не знаете наверняка. Истинное местоположение определяется случаем. В ваших силах расставить полицейских в стратегически выгодных точках вокруг торгового центра, однако вам неизвестно, кто из них на самом деле поймает беглеца. Вы узнаете, где находится преступник, только после того, как он будет пойман. Похоже, природа обрекла нас на использование дешевых GPS-трекеров. В двухщелевом опыте конечное положение отдельного электрона определяется случайностью, и только после того, как вы выполните много измерений и учтете много электронов, начнет проявляться закономерность, согласующаяся с волной вероятности. Последствия этого глубоки.

Детерминизм мертв.

Иными словами, прошлое не может полностью определять будущее. Мы знаем, что это справедливо для электрона в опыте Дэвиссона и Джермера: его судьба принципиально непознаваема. С определенной вероятностью он может оказаться в той или иной точке экрана, но никогда нельзя знать точно, где вы его найдете. Бог просто любит играть в кости. Природа — это игра, основанная на случае. Если вам не везет в любви, не отчаивайтесь, что ваша судьба — жить в одиночестве. Помните, что в микромире попросту нет такой вещи, как судьба.

Возможно, самое важное в этих волнах вероятности — то, как они накладываются друг на друга. Это справедливо для любой волны. Если вы плывете на корабле и бросите камень в воду, при падении он создаст небольшие круговые волны. Они накладываются на огромные волны, двигающиеся вверх и вниз от борта корабля. Такое наложение в физике называется суперпозицией. В двухщелевом эксперименте вы получаете волну вероятности для электрона, который проходит через левую щель, наложенную на волну вероятности для электрона, который проходит через правую щель. Конечный результат — волна, демократично сочетающая в себе две исходные, образуя красивую картинку штрихкода, которую мы видим на экране.

Теперь мы знаем, что, когда электрон падает на экран в двухщелевом опыте, он попадает туда, куда попал, с определенной вероятностью. Мы знаем, откуда электрон начал свое движение и где его закончил, но знаем ли мы, каким путем он двигался? Через какую щель он прошел — левую или правую? Мы не можем знать это наверняка и именно поэтому говорим о вероятностях, хотя здравый смысл заставляет уверенно предположить, что он прошел через ту или иную щель.

Ричард Фейнман не был в этом так уж уверен.

Фейнман был настоящей звездой физики — обаяние, привлекательная внешность и резкий нью-йоркский акцент. А еще он был гением. После Второй мировой войны Фейнман заявил, что если рассматривать электрон как волну, то можно считать, что он проходит через обе щели одновременно. И не потому, что он распределен в пространстве, как считал Шрёдингер. Он двигается куда более странно: буквально проходит и тем и другим путем.

И еще одним.

И еще одним.

На самом деле электрон движется всеми путями, которые вы можете себе вообразить. Он не просто выбирает самые проторенные дороги через обе щели. Он выбирает и бессмысленные пути — например, обходит вокруг самой дальней точки галактики Андромеды с нарушением ограничений на космическую скорость или зарывается в центр Земли, а потом выбирается обратно. Согласно Фейнману, в каком-то смысле электрон делает все это и еще много чего. Но вот что действительно важно: Фейнман показал, как присвоить определенное число каждому пути между двумя точками. Когда вы вычисляете среднее этих величин по всем различным путям, вы получаете волну вероятности для электрона, двигающегося между этими точками. Нет нужды конструировать электронную волну вручную — достаточно взять все возможные пути или, иными словами, все возможные истории и просуммировать их.

Это также относится и к вам, когда вы отправляетесь в магазин. Возможно, вы думаете, что шагаете прямо от дома до магазина, но это только один путь. На самом деле вы исследуете все возможные пути, в том числе и те, что уходят во все уголки Вселенной. Конечно, в вашем случае основной (абсолютно подавляющий) вклад в «сумму по всем историям» вносит смертельно скучный прямой путь из вашего дома в магазин. Это происходит потому, что макроскопический объект, подобный вам, состоит из несметного множества фрагментов, и все они обладают собственным квантовым поведением, как отдельный электрон или отдельный фотон. Но когда вы начинаете усреднять по всем этим взаимодействующим частям, проявляется совершенно прозаическая история повседневного существования, и квантовую размытость обнаружить гораздо труднее.

Полагаю, из-за всего этого вы сейчас чувствуете себя несколько неуверенно. Превосходно! Именно так и должно быть. Видите ли, неопределенность — это суть квантовой механики. Последняя просто развалится на миллион кусочков, если вы не примете принцип, который называется принципом неопределенности. Он утверждает, что вы не можете точно знать одновременно положение и импульс электрона или любой другой частицы. Это запрещено квантовой механикой.

Чтобы понять причину, представьте, что у вас есть микроскоп с высоким разрешением, который способен выделить отдельный электрон и определить, где он находится. Проблема в следующем: чтобы увидеть электрон, его нужно осветить. Однако пучок фотонов обладает определенным импульсом и при столкновении с электроном передаст ему часть этого импульса. Мы не знаем точно, какую именно. Чтобы уменьшить эту неопределенность, соприкосновение должно оказаться как можно более легким. Для этого прежде всего нужно максимально ослабить наш пучок — испускать всего по одному фотону за раз. Но даже такого смягчения недостаточно: нам также необходимо уменьшить импульс отдельных фотонов. А теперь вспомним, чему нас учил де Бройль: фотоны с малым импульсом имеют очень большую длину волны. Однако разрешение микроскопа зависит от длины волны падающего света: чем она больше, тем хуже разрешение. Таким образом, если у вас есть реальная определенность с импульсом электрона, у вас должна быть реальная неопределенность с его положением (его координатой).

Эта аналогия принадлежит самому Гейзенбергу, гордому баварцу, открывшему принцип неопределенности в 1927 году, в разгар квантовой революции. Аналогия слабовата, поскольку не учитывает квантовую природу взаимодействия между электроном и фотоном. Чтобы надлежащим образом понимать принцип неопределенности, нам нужно правильно его сформулировать. Каждый раз, когда вы пытаетесь измерить положение электрона, лучшее, что вы можете сделать, — установить, что он находится в какой-то области пространства, имеющей размер ∆x. То же верно и для импульса: вы всего лишь знаете, что он находится в каком-то промежутке размером ∆p. Часто говорят, что ∆x и ∆p — неопределенность для положения и импульса соответственно.

Согласно принципу Гейзенберга они должны удовлетворять следующему соотношению:

Если вам требуется точное знание положения электрона, то неопределенность ∆x должна уменьшиться до нуля. А чтобы точно знать импульс, в ноль должна обратиться неопределенность ∆p. Принцип Гейзенберга говорит нам, что одновременно такого не может происходить. Если вы хотите точнее знать координату частицы, вам придется отказаться от знания импульса, и наоборот.

Существует и другой вариант принципа неопределенности, который связан с неопределенностью энергии частицы ∆E и неопределенностью ее времени ∆t. Этот дополнительный компонент вам нужен, если вы собираетесь говорить о неопределенности в пространстве-времени, как, возможно, склонен делать Усэйн Болт. Формула имеет очень похожий вид:

Лучший способ понять эту формулу — с помощью музыки. Причина в том, что неопределенность на самом деле оказывается свойством волн, она обнаруживается не только в вероятностных волнах квантовой теории, но и в звуковых, которые рождены музыкальными инструментами. Мой друг и коллега Фил Мориарти подробно рассказывает об этом в своей книге «Когда принцип неопределенности доходит до 11»[50]. Фил любит играть на электрогитаре. Предположим, он дергает пятую струну, настроенную на «ля» (в стандартном строе для шестиструнной гитары), позволяя этой ноте звучать как можно дольше. Звук слышен несколько секунд, пока энергия не рассеется. Как и все люди, Фил знает, что этот конкретный звук — комбинация волн разной частоты. Если вы внимательно посмотрите на спектр частот, то увидите ряд узких пиков, показывающих отдельные гармоники для этой конкретной струны.

Поскольку Фил — любитель металла, он также любит прием, когда металлист при игре прижимает ребром ладони струны гитары в районе бриджа (струнодержателя), чтобы приглушить звук. В результате получается классическое звучание хеви-метала — нота та же, только теперь она отличается характерной глухостью. Если вы проанализируете спектр такого приглушенного звучания, то обнаружите те же гармоники, что и без него (в конце концов, нота осталась той же), но пики сливаются друг с другом, образуя аморфное пятно неопределенной частоты.

^{Амплитуда первой ноты Фила в зависимости от частоты (вверху) и времени (внизу). Нота соответствует последовательности узких частот и продолжает звучать некоторое время}

^{Амплитуда приглушенного звучания Фила в зависимости от частоты (вверху) и времени (внизу). На этот раз нота длится недолго, а частоты разбросаны в гораздо более широком диапазоне}

Разница между этими двумя гитарными звуками отражает суть принципа неопределенности. Первый отличается точной частотой, что видно по узким пикам в его спектре. Но у него нет определенности во времени: нота длится так долго, что мы не можем сказать конкретно, когда она в реальности прозвучала. Для метода игры с приглушением все наоборот: здесь есть точность во времени благодаря краткости звука, но нет точности по частоте. В обоих случаях мы видим компромисс между точностью в частоте и точностью во времени.

То же происходит и с волнами вероятности. Чтобы установить связь с принципом неопределенности, нам всего лишь нужно перейти от частот к энергиям, используя преобразователь для планковской валюты E = ħω. В конце концов, принцип неопределенности — не что иное, как элементарная математика французского ученого Жозефа Фурье, восходящая к началу XIX века. Фурье показал, как любой сигнал можно построить с помощью какой-нибудь комбинации осциллирующих синусоид, и, если вы хотите локализовать сигнал — зафиксировать его местоположение во времени или пространстве, — вам потребуется множество волн, которые аннулируют (компенсируют) друг друга в разных местах. Если вы хотите знать, где находится протон или электрон, вам нужен один острый пик на их волне вероятности. Согласно теории Фурье, это означает, что вам нужно множество волн с самыми разными длинами, которые налагаются и компенсируют друг друга везде, кроме окрестности этой частицы.

В квантовой истории есть один важный аспект, которого мы избегали (по крайней мере, до настоящего момента), поскольку он, пожалуй, беспокоит больше всего. Помните, как вы преследовали беглого преступника в торговом центре? Вы не знали точно, где он скрывается, но внезапно один из ваших полицейских поймал его — и вот вы уже точно понимаете, где он. В одно мгновение вы перешли от волны вероятности, раскинувшейся по всему торговому комплексу, к резкому пику в точке поимки. Какая физика описывает этот переход?

С тем же вопросом мы сталкиваемся, когда обнаруживаем электрон. Согласно Бору, в момент измерения волновая функция мгновенно сосредоточивается в том или ином месте. Вы не можете описать это с помощью уравнения, подобного уравнению Шрёдингера, — и как же вы это объясните? Когда я был студентом Кембриджа, я спросил об этом своего преподавателя. Он ответил, что задал тот же вопрос великому пионеру квантовой теории Полю Дираку, и тот признался, что озадачен. Но я был студентом давным-давно. Сегодня мы знаем гораздо больше (если не все) о том, что происходит на самом деле, но, чтобы объяснить это, сначала нужно рассказать вам историю о собаке Шрёдингера.

Во время дерзкого налета на Букингемский дворец радикальная группа преподавателей естествознания, называющих себя учениками Шрёдингера, захватила одного из любимых корги королевы Елизаветы. Цель группы — рассказывать общественности о науке, используя все, что нужно, чтобы привлечь ее внимание. Вскоре после рейда ученики выложили в Сеть видео, показывающее, что собака заперта в большом ящике. Ящик полностью закрыт, никто не видит и не слышит, что происходит внутри. Ученики уверяли зрителей, что воздуха собаке хватит минимум на два часа. Одновременно они предупредили и о том, что рядом с корги находится небольшое радиоактивное устройство. В течение часа с вероятностью в 50 процентов один из радиоактивных атомов распадется. Если это произойдет, запустится цепочка событий, которая приведет к выстрелу, мгновенно убивающему собаку. С такой же вероятностью в 50 процентов никакие атомы не распадутся и корги выживет. Затем идет прямая трансляция. Корги до сих пор в ящике. Ученики рассказывают, что собака сидит там уже почти час, и предлагают зрителям предположить, в каком она состоянии. Жива она или мертва? Социальные сети взрываются откликами.

А затем ящик открывают. Мрачно заявляют, что корги умер. Или, возможно, подобно королеве, вы бы предпочли другую концовку, в которой собака выживает. На самом деле это не имеет значения. Суть в том, что, когда организаторы акции открывают ящик и заглядывают внутрь, собака или жива, или мертва. Других способов закончить эту историю нет.

Но как насчет того момента, когда вопрос задан, а в ящик еще не заглянули? Что тогда? Что ж, как и все в квантовой механике, собаку следует описывать некоторой волной вероятности. Одна такая волна описывает живую собаку, другая — мертвую. Когда корги впервые оказывается в ящике, он неутомимо лает и, похоже, полон решимости отхватить кусок от кого-нибудь. Собака явно жива и должна описываться первой из наших волн вероятности — живой. Но время идет, и волна, описывающая собаку, превращается в нечто более экзотическое: волну мертвой собаки, которая накладывается на волну живой. Вероятность того, что корги жив или мертв, оказывается растянутой на оба варианта точно так же, как она была растянута на положение беглого преступника в торговом центре. Так что, прежде чем кто-то заглянет внутрь ящика — до того, как кто-то произведет измерение, — может показаться, что корги и жив, и мертв.

Это все хорошо, но, когда ученики наконец откроют ящик и посмотрят в него, они увидят либо живую собаку, либо мертвую. Они не могут увидеть одновременно и то и другое. Кажется, что волна корги сколлапсировалась в живое или мертвое состояние, — точно так же, как она сколлапсировалась, когда преступника схватили посреди торгового центра. Если собака действительно и жива, и мертва, почему ученики никогда не увидят этого? Почему они не увидят никакой квантовой размытости? Чтобы понять это, нам нужно подумать обо всем, что окружает собаку: от учеников и наблюдающего мира до всех молекул воздуха, наполняющих ящик, в котором она содержится. Назовем все это средой.

Когда эта среда вступает в контакт с собакой, она начинает взаимодействовать с нею: миллиарды атомов и фотонов непрерывно прыгают туда-сюда, обмениваясь энергией, импульсом и всем прочим, что они могут предложить. Но вот в чем дело: суперпозиции заразительны. Как только происходит первый контакт, среда видит суперпозицию собак. На какое животное она должна реагировать — мертвое или живое? Она не может выбирать, поэтому удваивается и реагирует на обе. Такое двуличное поведение — признак новой и усовершенствованной суперпозиции: в одной ее половине мы обнаруживаем печальную среду, перепутавшуюся с мертвым корги, который не способен от нее отделиться; в другой мы видим счастливую среду, перепутавшуюся с живым корги.

Те, кто оказался частью среды, смогут увидеть только то, что среда им позволит. Что нам нужно, чтобы ученики увидели живую и мертвую собаку? Безусловно, понадобится суперпозиция: волна вероятности, которая выбирает шанс на счастливую среду с собакой, которая выживает; и волна вероятности, которая выбирает шанс на грустную среду с собакой, которая умирает. Но чтобы ощутить квантовую размытость, нам нужно еще, чтобы волны перекрывались: чтобы счастье и грусть интерферировали друг с другом — точно так же, как было с состояниями электрона, проходившего через щели в классическом опыте Дэвиссона и Джермера. Кажется, что все компоненты на месте. В конце концов, я только что рассказал вам, как среда принудительно присоединяется к суперпозиции, так что суперпозиция, безусловно, существует. Почему же тогда ученики никогда не видят собаку, которая и мертва, и жива? Проблема в том, что среда велика; и чем больше она становится, тем больше счастливая волна отрывается от грустной и тем меньше они перекрываются. Этот процесс называется декогеренцией. По мере того как все больше объектов среды контактируют с корги (прямо или косвенно), описывающие собаку волны вероятности все больше расходятся между собой. Волна счастья и волна грусти больше не могут интерферировать каким-либо осмысленным образом, и квантовые свойства собаки сильно маскируются. Декогеренция происходит так быстро, что, когда ученики проверят корги, они практически гарантированно увидят его либо живым, либо мертвым. Они никогда не смогут наблюдать оба состояния одновременно.

Хотя это объясняет, почему мы не видим квантовой размытости в нашей повседневной жизни, это фактически не дает ответа на вопрос, который поставил в тупик Дирака. К концу этого процесса собака и среда все еще находятся в суперпозиции, хотя и практически без перекрытия. Одна научная школа утверждает, что эта сочиненная нами загадка — признак нашей отчаянной потребности в детерминизме. Есть риск придать волновой функции слишком много реальности, к этому были склонны и сам Шрёдингер, и многие другие. Волновая функция — это не то, за что можно ухватиться. Скорее вы должны думать о ней как о страже вероятности. Ее задача — дать вам представление о том, что может произойти в эксперименте, точно так же, как набор шансов дает вам некоторое представление о том, что может произойти на скачках. Результат эксперимента или скачек — это результат эксперимента или скачек. То, что есть. О чем тут беспокоиться?

В истории корги есть еще один важный аспект, который необходимо понимать, когда мы наконец вернемся к вопросу о двойниках (вы еще помните их?). Теперь мы знаем, что корги и окружающая среда в итоге представляют собой суперпозицию запутанных состояний. Это пример чистого состояния. Несмотря на свою сложность, оно все же ведет себя как волна и содержит полную информацию об истинном квантовом состоянии собаки и среде, в которой находится. Однако в реальности чистое состояние для больших систем нам никогда точно не известно. Отслеживание такого количества квантовой информации нецелесообразно, а иногда и невозможно, особенно когда вокруг существуют черные дыры, уничтожающие информацию о своих узниках. Чтобы справиться с этим, нам нужно воскресить дух Больцмана. Иными словами, взять средние значения.

В рассказанной истории главная забота королевы — благополучие любимого питомца. Ее не интересует точное состояние атомов собаки, молекул воздуха, которые ее окружают, или ящика, в котором она находится. И уж точно ее не волнует состояние радикально настроенной группы преподавателей естественных наук, захвативших ее корги. Чтобы описать квантовое состояние здоровья собаки и просто здоровье животного, ей нужно проигнорировать лишнее и определить средние значения. Для этого требуется взять все возможные среды, сцепленные со всеми возможными состояниями ее любимого корги, и вычислить их средний вклад. Что останется в итоге? Она получит так называемое смешанное состояние. По сути, это список возможных состояний, связанных с благополучием корги (например, состояние мертвой собаки или состояние живой собаки), и соответствующие вероятности. Эти вероятности дают ей представление о том, что можно увидеть, если в конце концов заглянуть внутрь ящика.

Возможно, вам покажется, что такие смешанные состояния не особо отличаются от чистых, о которых мы говорили выше, но это не одно и то же. Чистое состояние — настоящая волна, суперпозиция, когда одна рябь накладывается на другую и дает новую, более сложную, но все-таки волну. Смешанное состояние — просто какой-то список, а не суперпозиция. Оно не ведет себя как волна. Когда мы думаем о каком-то чистом состоянии, описывающем собаку и среду, безусловно, существуют суперпозиции, в которых мы можем рассматривать собаку как одновременно живую и мертвую. Однако когда мы начинаем думать о смешанном состоянии, описывающем только собаку, мы не можем в реальности сказать, мертва она или жива, или даже говорить о какой-то комбинации этих двух свойств. Причина в том, что у нас нет абсолютно никакого представления. Мы можем выдать список некоторых конкретных чистых состояний, в которых, на наш взгляд, корги может находиться, и соответствующих вероятностей, но это максимум, что в наших силах.

Один из способов лучше понять это — вообразить, что вы слушаете Let It Be, классическую песню The Beatles. Вы пользуетесь наушниками, которые действуют так: в одном воспроизводится пробирающая до глубины души фортепианная музыка, а в другом звучит Пол Маккартни, который поет а капелла, с характерным очарованием выговаривая мудрые слова. Если вы наденете оба наушника сразу, вы, естественно, услышите суперпозицию (наложение) обоих звуков и сможете насладиться песней в том виде, в котором она появилась в чартах 1970 года. Каждый из этих звуков можно рассматривать как чистое состояние: инструментальная партия фортепиано, пение Маккартни, а также великолепное сочетание того и другого. Все три представляют собой суперпозицию волн — только звуковых, а не волн вероятности, как в квантовой механике.

А теперь представьте другой сценарий, в котором вы случайно сломали наушники, так что один из них не работает. Вы не знаете, какой звук должен быть в том или ином наушнике, и поэтому до включения записи не знаете, какой из двух компонентов будет отсутствовать. Вы потеряли часть информации. Теперь у вас есть смешанное состояние: это список из двух чистых состояний — фортепианной инструментальной партии и пения Маккартни, и в оставшемся наушнике музыка и пение могут прозвучать с вероятностью 50 процентов.

Чистое состояние говорит вам все, что нужно знать о квантовой системе. Если угодно, это полная квантовая информация. Конечно, это не означает абсолютной предопределенности в результатах эксперимента. Они все еще окутаны вероятностью, поскольку в квантовой механике чистое состояние — это волна вероятности, и она не может сказать вам, где появится электрон. Максимум, на что она способна, — сообщить вам, где электрон появится с большой вероятностью. С другой стороны, в смешанном состоянии квантовая информация фактически отсутствует. Мы не можем даже уверенно сказать, какая конкретная суперпозиция описывает систему, потому что это знание сцеплено с непознаваемой средой. Если нас волнует только вопрос, мертва собака или жива, то существует куча ненужной информации, о которой нам незачем беспокоиться. Наши знания неполны, ну и что с того? Смешанное состояние дает нам представление о том, чего можно ожидать, когда мы выполняем важные для нас измерения.

Я взял вас в трудное квантовое путешествие вглубь микроскопического мира вероятностей и неопределенностей и заверяю, что это не просто любопытная прогулка. Оно важно для цели обнаружить вашего двойника и понять, кто он и кто вы. Теперь мы знаем, что вас нельзя идентифицировать с помощью определенного расположения атомов, потому что такое описание невозможно. Для этого требуется знать точное положение и импульс всех частиц в человеческом организме, а это запрещает квантовый закон Гейзенберга. В реальности мы должны думать о себе как о сложном квантовом состоянии, управляемом волнами вероятности, которые накладываются друг на друга. Но нужно ли в реальности знать все об этом сложном состоянии, чтобы иметь возможность сравнить себя с двойником? Нужно ли, чтобы вы были чистым состоянием?

Кто есть вы? Что значит быть таким же, как вы? Например, у меня есть брат Рамон, и у нас много общего в ДНК. Нам нравится панк-группа Stiff Little Fingers, мы болеем за футбольный клуб «Ливерпуль». Если бы это было все, что нас интересует, мы оказались бы двойниками. Однако по многим другим параметрам мы различаемся: например, моя шея чудовищно длинная, а у него нормальная. Но если мы собираемся рассматривать истинных двойников, нельзя мириться с любыми различиями. Впрочем, как мы увидим, на деле это может оказаться опасной игрой.

По сравнению с электроном вы — большой объект. Этого и следовало ожидать. Чтобы сконструировать нечто столь же сложное, как человек, читающий эту книгу, требуется очень многое: кварки, из которых состоят протоны и нейтроны; глюоны, которые их связывают; атомные ядра, окутанные вероятностными облаками электронов; атомы, соединенные в сложные молекулы; триллионы этих молекул, которые образуют множество клеток организма. Ситуацию усложняет то, что все эти объекты сцеплены с окружающим миром. Помните, как в школьные годы по классу распространялась какая-нибудь сплетня? Часто она принимала форму бумажки, на которой было написано что-то вроде: «Дегси собирается пригласить на свидание Хелен Джонс. Передай дальше». Последнюю фразу всегда подчеркивали, чтобы устранить все сомнения в важности указания. Когда записка блуждала по столам, ученики реагировали на новость по-разному: проявляли ревность, волнение, безразличие. Сами эти реакции часто запускали новый набор реакций и взаимодействий. В любом случае было ясно одно: знание о намерениях Дегси в мгновение ока сцепляло весь класс в единое целое. То же справедливо для вас и наблюдаемой Вселенной. Вселенная с начала времен обменивается такими записками, и она сцеплена с каждой частичкой вашего организма. Отслеживание такой массы информации — дело сложное.

Когда кто-нибудь смотрит на вас или даже спрашивает, о чем вы думаете, он явно не получит всей доступной информации. По правде говоря, ваших собеседников не волнует вопрос, каков спин у одного из электронов глубоко внутри вашей тонкой кишки[51]. Каждый раз, когда мы говорим о каком-нибудь человеке (яйце, динозавре или газе), мы на самом деле никогда не представляем их чистыми состояниями, поскольку имеется масса неизвестной информации. Вы не исключение. Вы не чистое состояние, а смешанное. Все, что мы действительно можем сделать для вашего описания, — указать список состояний (микросостояний) и связанных с ними вероятностей. Но что нам делать с недостающей информацией? И что нужно, чтобы ее узнать?

То, чего мы не знаем, скрыто в списке вероятностей. Мы не можем улучшить ситуацию, не проведя ни единого измерения. Например, в некоторых микросостояниях, вас описывающих, спин электрона в вашем кишечнике с некоторой вероятностью принял значение «вверх», а в других микросостояниях с какой-то другой вероятностью он принял значение «вниз». Не обманывайте себя, думая, что фактическое значение спина — «вверх», а вы просто об этом не знаете. В квантовой механике нет абсолютной истины — опять же, пока нет измерения. Пока вы не проведете в тонкой кишке опыт Штерна — Герлаха в миниатюре и не определите спин электрона, можно говорить исключительно о вероятности значения спина «вверх» или «вниз». Эта логика применима ко всем без исключения вещам, которые мы хотели бы знать о вас, вплоть до микроскопического уровня. Если вы не проведете все нужные измерения, вам необходимо признать, что на самом деле вы — квантовый шизофреник, некое обширное семейство микроскопически различающихся вариантов, и все они столь же реальны, как и любые другие.

Единственный способ излечиться от этой шизофрении — провести больше измерений. Это единственный путь к чистоте. Беда в том, что это требует огромного количества измерений: в вашем организме более миллиарда миллиардов миллиардов атомов, и вам придется проанализировать структуру каждого из них. Эксперименты такого масштаба почти наверняка уничтожат вас. Трудно представить, как можно исследовать всю вашу микроскопическую структуру, не воздействуя энергией, которая разорвет ваши атомы на части. В довершение всего никуда не уйти от того факта, что само проведение такого эксперимента повлияет на то, чем вы являетесь. Скорее всего, превратитесь в плазму. Иногда лучше не знать.

Однако предположим, что мы можем каким-то образом провести все необходимые измерения, не уничтожив вас. Что тогда? Что ж, тогда вы действительно будете одним на доппельгангион. Вы окажетесь одним из возможных микросостояний, идеально чистым, правда только на мгновение. Ловкая команда экспериментаторов, успешно записавшая всю вашу микроскопическую структуру, теперь может начать поиски вашего двойника. Конечно, им нужно держать много информации. Как мы увидим в следующей главе, было бы целесообразно хранить ее в достаточно большом пространстве (больше человека по размеру), чтобы избежать коллапса в черную дыру. Однако, предприняв все соответствующие меры безопасности, можно начинать поиск. Экспериментаторы начинают с кубического метра пространства, расположенного справа от вас, и выполняют необходимые измерения. Дают ли они точно такие же результаты, как и для вас? Почти наверняка нет, поэтому экспериментаторы переходят к следующему кубическому метру, затем к следующему и продолжают так долго, как могут. В любом отдельном опыте шансы получить точно такой же результат ничтожно малы — доппельгангион к одному. Но если делать что-то достаточно часто, иногда может произойти неожиданное. Вот почему вас не должно удивить, что в 2016 году Премьер-лигу выиграл клуб «Лестер Сити»[52]. Если группа, занимающаяся поиском двойников, постепенно сдвинется на доппельгангион метров, проведя измерения доппельгангион раз, у них есть шансы на успех. Не удивляйтесь, если они обнаружат вашего двойника, который сидит и читает эту книгу.

Да ладно, серьезно?

Я ожидал, что вы и ваше другое «я» отреагируют так. Однако подумайте вот о чем: доппельгангианские расстояния ничтожны по сравнению с гуголплексианской Вселенной. Если выразить масштабы дробью, то отношение доппельгангиона к гуголплексу — неразличимо малое число. Это означает, что в гуголплексианской Вселенной шансы на обнаружение двойника резко увеличиваются. К тому же стоит заметить, что расстояние в доппельгангион почти наверняка завышено: мы получили его, потребовав точного совпадения между вами и вашим двойником, а это чревато серьезной опасностью убить вас обоих. Если взять более слабое (и более безопасное) определение, то двойники, скорее всего, найдутся на более близких расстояниях. Таким образом, каким бы редким и сложным объектом вы ни были и какими бы строгими ни оказались выбранные критерии соответствия, совершенно неправдоподобно отрицать существование вашего двойника в гуголплексианской Вселенной. Было бы неправдоподобно отрицать даже существование множества двойников.

Если Вселенная достаточно велика, ваш двойник где-то есть.

А достаточно ли она велика? Для начала нам нужно четко понимать, что мы подразумеваем под Вселенной. Прежде всего это наблюдаемая Вселенная. Если она имеет какое-то начало, то свету из самых далеких миров не хватит времени дойти до нас, поэтому существует предельное расстояние, на которое мы можем видеть. А мы точно знаем, что у Вселенной было начало, — это можно понять, взглянув на ночное небо. Что вы видите? Если убрать романтическое мерцание горстки звезд и планет, вы наблюдаете чернильную черноту. Однако в вечно существующей бесконечной Вселенной картина выглядела бы иначе. Ночное небо было бы таким же ярким, как дневное: куда бы вы ни бросили взгляд, вы наткнулись бы на свет какой-нибудь звезды — молодой, старой или невообразимо древней. Первым на это указал немецкий астроном Генрих Ольберс. Он вообразил эту бесконечную и неизменную во времени Вселенную с равномерно разбросанными по ней звездами. Если Вселенная вечна, у звезд нет предельного возраста. Конечно, более далекие звезды будут казаться тусклее, но ведь их количество окажется больше, а поэтому, в какую бы точку вы ни посмотрели, вы бы увидели там звезду. Во Вселенной Ольберса ночь превращается в день.

Однако реальная ночь — это не день, и причина в том, что Вселенная постоянно обновляет себя. Со временем промежутки между звездами и галактиками становятся все больше — не потому, что они пытаются убежать друг от друга, а потому, что растет само пространство. Оно буквально расширяется. Поверните часы назад, и Вселенная начнет сжиматься, а в какой-то момент стянется в ничто. Это начало Вселенной — пожалуй, самая знаменательная дата в истории, около 14 млрд лет назад.

Существуют различные способы измерить возраст Вселенной. Один из них — уловить свет от наиболее взрывных жестоких смертей в самых дальних видимых уголках космоса. Это сверхновые — превратившиеся в маяки умирающие звезды, расположенные очень далеко. Если предположить, что эти далекие сверхновые примерно похожи на близкие к нам, и сравнить свойства полученного от них света, можно добыть ценную информацию об истории Вселенной. Другой способ измерить ее возраст — использовать реликтовое излучение (иначе — космическое фоновое излучение), которое заполняет Вселенную со времен образования первых атомов. Эти два метода измерения возраста несколько противоречат друг другу, но не так сильно, чтобы людей сильно беспокоила необходимость в новой физике. В любом случае оба метода дают для возраста Вселенной оценку в 14 млрд лет. Для нас важно то, что этот возраст конечен, а это устанавливает верхний предел расстояния, которое мог пройти свет с момента возникновения Вселенной. Возможно, вам кажется, что расстояние равно примерно 14 млрд световых лет, но это неверно: такая величина игнорирует расширение пространства. По современным оценкам, самые дальние уголки наблюдаемой Вселенной расположены на расстоянии около 47 млрд световых лет от нас. Все, что оказалось за этой границей, находится слишком далеко для возможности связи — никакой сигнал (световой или иной) оттуда не может добраться до нас.

Сравнимы ли 47 млрд световых лет с гуголплексианской Вселенной?

Нет.

Это совершенно ничтожная величина. Что бы мой двоюродный брат ни рассказывал в детстве про двойника, на самом деле нет никакой надежды найти свою копию в наблюдаемом мире. А если двинуться дальше? Насколько далеко простирается существующий космос? Есть ли что-то за пределами воображаемой стены, расположенной на расстоянии в 47 млрд световых лет? Есть ли за этой стеной одичалые?[53] И что вообще может означать остановка Вселенной?

Вселенная определенно не ограничивается размером в 47 млрд световых лет. Она простирается гораздо дальше — в районы, скрытые от земного взгляда. Вы могли бы даже отправиться в эти отдаленные области, если бы, конечно, сумели прожить достаточно долго. Вселенная могла бы в конце концов прекратить расширяться и свернуться наподобие поверхности огромной сферы. Вы даже можете вообразить космического Магеллана, отправляющегося в величайшую экспедицию, чтобы обогнуть всю Вселенную. Если она действительно огромная сфера, которую можно пересечь, об этом нам потенциально могут рассказать фотоны реликтового излучения. Если это сфера, то она должна быть неопределимо большой, диаметром не менее 23 трлн световых лет[54]. Это означает, что Вселенная минимум в 250 раз больше той части, которую мы можем видеть. Эти скрытые глубины велики, но достаточно ли? Возможно, Вселенная простирается и за 23 трлн световых лет, а как насчет гуголплекса?

Чтобы увидеть истинный размер Вселенной, нужно вернуться в ее детство. Детям нравятся головоломки, головоломка есть и в реликтовом излучении. Если вы окажетесь на борту Международной космической станции и посмотрите налево, фотоны реликтового излучения ударят вам прямо в лицо. Это излучение, которое за время своего триумфального путешествия по Вселенной остыло до средней температуры всего в 2,7 кельвина. Теперь посмотрите направо. В вас ударит другой поток фотонов реликтового излучения, и они тоже имеют среднюю температуру 2,7 кельвина. Куда бы вы ни взглянули, фотоны реликтового излучения будут иметь эту температуру. Возможно, вам это не кажется странным, но это действительно странно. Эти фотоны приносят с собой сведения о мирах, откуда пришли, и все они говорят одно и то же. Это может означать только то, что далекие миры что-то знают друг о друге, но как такое может быть? В конце концов, когда фотоны начали свое путешествие, эти ранние миры были ненаблюдаемы друг для друга. Никакой сигнал не мог пройти между ними. Как они сговорились распространять информацию об одной температуре для всего космического фонового излучения? Это можно сравнить с ситуацией, когда вы наткнулись на племя в глубине Амазонии, никогда не имевшее контактов с внешним миром, но при этом почему-то все люди там разговаривают на отличном английском. Что бы вам индейцы ни говорили, вы, несомненно, заподозрите, что в какой-то момент своей истории это племя повстречалось с каким-то англичанином.

Следовательно, далекие области на противоположных концах неба с реликтовым излучением в какой-то момент в прошлом должны были встречаться; в какой-то момент они общались. Но если они слишком далеко друг от друга, чтобы обмениваться сигналами, то как они это делали? Вполне возможно, что Вселенная в детстве придумала гениально простое решение этой задачки — процесс, который ученые назвали инфляцией. Она предполагает, что две отдаленные области когда-то были очень близки: соседство, обмен сигналами, передача информации. Внезапно их разорвало, отделив друг от друга быстрее скорости света. В каком-то смысле это трагично, но в то же время и странно. Как они могли разделиться на части быстрее света? Безусловно, ничто в космосе не может обогнать свет, даже Усэйн Болт. Но здесь происходит иное. Само пространство раздувается быстрее: его подталкивает любопытный дьяволенок, названный инфлатоном[55]. Нам мало что известно об инфлатоне. Возможно, он несколько похож на знаменитый бозон Хиггса, с которым мы познакомимся позже; возможно, это и есть бозон Хиггса, просто играющий другую роль в другое время, — мы не знаем наверняка. Мы даже не знаем, сколько инфлатонов существует: один или два. Чем бы он ни был, он быстро создал такое огромное пространство между соседними мирами, что к тому времени, когда все закончилось, они потеряли всякую способность сообщаться между собой. Однако важно то, что они все еще помнили друг друга и передавали эту информацию фотонам реликтового излучения. Вот почему у них примерно одинаковая температура.

Как только мы начинаем спрашивать о начале инфляции (почему она началась именно так?), мы наконец приходим к гуголплексианской Вселенной. Ответ может заключаться в процессе, названном вечной инфляцией: бесконечном процессе создания Вселенной. Идея такова: инфлатон проводил время, случайным образом принимая разный вид. Он прыгал (в квантово-механическом смысле) от одного значения к другому. По большей части он не делал ничего особенно интересного, пока внезапно в каком-то мельчайшем уголке младенческой Вселенной не прыгнул в какое-то подходящее значение, запустившее взрыв. Подобно семени гигантской секвойи, этот крохотный уголок вырос в нечто колоссальное — всю ту Вселенную, которую мы видим. Но дело вот в чем. Инфлатон продолжал прыгать, случайным образом перескакивая от одного значения к другому, и делал это в каждой отдельной точке пространства. Время от времени в каком-нибудь маленьком забытом уголке Вселенной он натыкался на подходящее место и — бум! Рождалось исполинское пространство. А потом это случалось снова. И снова. И чем больше он создавал, тем больше было шансов на продолжение. Могучий левиафан рос и рос до чудовищных размеров, пока в конце концов не превзошел даже гуголплексианскую Вселенную. И как засвидетельствовал бы космический Магеллан, отправившийся в путешествие к самым дальним мирам, какие только можно вообразить, в такой огромной Вселенной… есть двойники.

Мой двоюродный брат Джерард был прав.

Число Грэма

Когда я был маленьким, на канале BBC шло популярное телешоу под названием «Задумайте число». Его ведущий Джонни Болл бегал по сцене в отличных костюмах с кучей великолепного реквизита, наполняя наши юные впечатлительные умы радостями науки. Естественно, мне это безумно нравилось. «Задумайте число» — безобидная образовательная забава. Или нет?

Совершенно нормально придумать число 7, 15 или 476 522. Но что произойдет, когда вы задумаете число Грэма? Что ж, если вы это сделали, это действительно не нормально. Если вы будете думать о числе Грэма неправильно, вы умрете. Задним числом кажется, что Джонни Боллу в реальности следовало бы назвать свое шоу «Задумайте число, которое не убьет вас», но, полагаю, в Британии 1980-х вопросы здоровья и безопасности не были особо актуальными.

Заманчиво сравнить смерть от числа Грэма с судьбой некоторых людей, пострадавших при извержении Везувия в 79 году нашей эры. Возможно, вы видели изображения жертв в Помпеях: убитые жаром пирокластических потоков, они навсегда оказались погребены под пеплом[56]. Но это еще счастливчики. В близлежащих городах Геркуланум и Оплонтис есть свидетельства более мрачного конца: остатки расколотых черепов, взорванных быстрым вскипанием мозговой жидкости после извержения вулкана. Эти люди погибли из-за взрыва головы. Число Грэма может привести к еще более впечатляющей травме мозга, если вас заставят думать о нем цифра за цифрой, если бесцеремонно впихнуть в ваше воображение его десятичное представление. Какое-то время вы не чувствуете ничего неприятного, цепочка цифр перед вашим мысленным взором становится все длиннее. А потом происходит это.

Смерть от превращения головы в черную дыру.

Истина в том, что вы не можете задумать число Грэма, — по крайней мере, во всей его гигантской красе. Оно просто слишком велико, чтобы с ним можно было иметь дело — вам или кому угодно. Проблема не в интеллекте, а в физике. Если вы попытаетесь впихнуть столько информации в человеческую голову, та неизбежно сколлапсирует и превратится в черную дыру. Как мы увидим, черные дыры ограничивают количество информации, которую можно втиснуть в определенный объем пространства, а ваша голова далеко не так велика, чтобы справиться со всей информацией, содержащейся в числе Грэма. Это проблема самого числа. Оно не просто огромно, а феерично, оно гораздо больше, чем гугол, гуголплекс или даже гуголплексиан. Число Грэма и все его цифры не могут существовать ни в вашей голове, ни в наблюдаемой Вселенной, ни даже в гуголплексианской Вселенной. В его десятичном представлении содержится слишком много информации, ее просто невозможно вместить.

Зачем кому-то изобретать число, способное вас убить? Ответственность за это несет обладатель многочисленных наград математик Рональд Грэм. Он без почтения относился к стереотипам о математиках. Когда в начале 1950-х пятнадцатилетний подросток с лицом младенца поступил в колледж в Чикаго, он начал заниматься прыжками на батуте и жонглированием; в итоге он достиг такого мастерства, что стал выступать с цирковой группой Bouncing Baers. Даже в старости он продолжал прыгать, хотя уже в комфортных условиях собственного дома. Как рассказывают его друзья, от Рона Грэма всегда ждали неожиданного. Он мог обсуждать математику, а в следующий момент — встать на руки или запрыгать вокруг вас на пого-стике.

История числа Грэма на самом деле начинается на заре XX века с другого яркого математика по имени Фрэнк Рамсей. Тот был эрудитом и членом тайного общества интеллектуалов, известного как «Кембриджские апостолы»[57]. Он учился у великого экономиста Джона Мейнарда Кейнса, который позже рекомендовал его в Королевский колледж (это и мой старый колледж в Кембриджском университете). Будучи студентами, мы все знали о Кейнсе (я жил в здании, носящем его имя), однако никто никогда не говорил о Рамсее. А следовало бы. Рамсей умер в 1930 году от хронических заболеваний печени, когда ему было всего 26 лет, однако к тому времени он уже немало сделал в математике, экономике и философии. Однако самый большой вклад Рамсея в науку оказался почти случайным: небольшая сопутствующая теорема, глубоко спрятанная в его статье 1928 года, посвященной формальной логике. Эта теорема положила начало новой области комбинаторной математики, которая теперь носит его имя.

Теория Рамсея связана с получением порядка из хаоса. Это немного похоже на то, как вы наблюдаете обсуждение парламентариями Брексита и спрашиваете себя: можно ли среди всего этого беспорядка — этой какофонии разных эго и мнений — найти какие-нибудь островки согласия, какое-то единство? Тот же вопрос я могу задать, устроив званый ужин[58]. Представьте, что я пригласил шестерых несхожих людей — родственников и друзей из разных сфер моей жизни, имеющих весьма различный жизненный опыт и взгляды. Я рассаживаю их вокруг стола и — как хороший хозяин — пытаюсь установить, кто с кем знаком. Алджернон знает мою дочь Беллу. Он мой старый друг по университету и время от времени бывал у нас в доме. Сейчас Алджернон работает в музыкальной индустрии. Он любит напоминать людям, что, когда он работал в музыкальном магазине, туда зашел певец Лео Сейер и купил дюжину компакт-дисков со своими записями (это правда). Белла все еще учится в школе, но надеется однажды стать художницей. Также с университетских времен Алджернон знаком с Кларки. Это спортивный обозреватель, и он не знаком с Беллой, поскольку по возможности старается избегать детей. Всю эту информацию я изобразил на следующей диаграмме.

Сплошные линии обозначают людей, которые знакомы друг с другом, а пунктирные отражают незнакомых людей. Следующий гость — Дино, профессор одного из университетов Лиги плюща[59]. Он тоже учился в университете со мной, Алджерноном и Кларки, но, как и Кларки, не знаком с Беллой. Я добавляю эту информацию на диаграмму.

Осталось еще два человека. И Эрнест, и Фонси знают Беллу, но не знакомы ни друг с другом, ни с другими гостями. Эрнест — инженер, дед которого занимался ввозом североамериканских серых белок в Британию (это тоже реальная история). Фонси — начинающий политик. В очередной раз обновляю диаграмму.

Уже сейчас, когда гостей всего шесть, сетка сплошных и пунктирных линий выглядит хаотично. Но если вы заглянете внутрь этого хаоса, то начнете видеть определенный порядок. Например, Алджернон, Кларки и Дино образуют так называемую клику — группу из трех человек, каждый из которых знает двух других[60]. Кларки, Эрнест и Фонси образуют клику другого рода: группу из трех попарно незнакомых между собой людей. При этом можно заметить, что нет ни одной такой клики из четырех человек.

Подобные сети лежат в основе теории Рамсея. На самом деле нет ничего удивительного, что на вечеринке с шестью гостями мы обнаружили такие клики из трех человек. Это неизбежно должно было произойти[61]. При этом шесть человек — минимальное количество, гарантирующее, что найдется тройка попарно знакомых или попарно незнакомых. Однако, как мы видели, шести гостей недостаточно, чтобы гарантировать аналогичную компанию из четырех человек. Оказывается, для этого нужно минимум восемнадцать гостей. Соответствующие числа называются числами Рамсея. Если пользоваться упрощенным математическим языком[62], можно сказать, что третье число Рамсея — 6, а четвертое — 18.

Рамсей показал, что можно получить клики любого конечного размера, если пригласить на вечеринку достаточно большое количество людей. Но он не смог определить, сколько именно людей придется созвать. Даже в случае клики всего из пяти человек ситуация резко усложняется. Большинство математиков считает, что для гарантированного получения клики из пяти человек требуется пригласить минимум 43 гостя, однако точный ответ никому не известен. Минимальное число находится где-то между 43 и 48.

Чтобы определить его точно, математикам требуется изобразить все возможные сети и посмотреть, где гарантированно возникнут клики из пяти элементов. Для этого можно попробовать привлечь компьютер, однако вам просто не хватит вычислительной мощности. Когда есть 43 гостя, вы поручаете компьютеру изучить 2⁹⁰³ разных сетей. Это число значительно больше гугола. Даже современные суперкомпьютеры отказываются работать с такими числами.

Чтобы гарантировать клику из шести человек, минимальное число гостей должно быть где-то между 102 и 165. Очевидно, что проблема нахождения точного значения шестого числа Рамсея значительно сложнее, чем нахождение пятого. Великий странствующий математик Пал Эрдеш предложил следующее апокалиптическое описание ситуации. Представьте вторжение инопланетян — армию пришельцев, намного опередивших нас в развитии. Они высадились на Землю и потребовали, чтобы мы сообщили им пятое число Рамсея, а иначе они уничтожат нашу цивилизацию за глупость. Стратегия Эрдеша для этого случая заключалась в том, чтобы объединить мощь всех компьютеров мира и довериться математикам, которые дадут ответ на вопрос. Но если бы пришельцы потребовали шестое число Рамсея, то такая стратегия бессмысленна. В этом случае придется искать способ уничтожить инопланетян до того, как они уничтожат нас.

Яркий пример Эрдеша позволяет познакомиться с его уникальным характером. Этот эксцентричный математик, родившийся в Будапеште перед Первой мировой войной, большую часть своей взрослой жизни провел в путешествиях, редко задерживаясь на одном месте более чем на месяц. Он постоянно ездил по континентам от одного коллеги к другому, разыскивая новые решения для своего сборника математических задач. Если Эрдеш появлялся с чемоданом у вашей двери, предполагалось, что вы обеспечите ему кров и еду на столько времени, на сколько он захочет, спланируете и организуете его дела. Если у вас имелись дети, он называл их эпсилонами, намекая на обозначение, которое математики используют, когда хотят описать что-то бесконечно малое. У него также имелась какая-то задача, предназначенная для вас. Это было его величайшее умение — соединить какую-нибудь математическую проблему с тем самым человеком, который может помочь решить ее. На протяжении своей удивительно необычной карьеры, подпитываемой пристрастием к запрещенным веществам, венгерский математик написал более 1500 статей, причем большинство его работ были совместными: у него насчитывалось свыше 500 соавторов. Из-за таких методов ученые ввели число Эрдеша (это длина кратчайшего пути от данного человека до Эрдеша посредством совместных публикаций), и у большинства математиков число Эрдеша очень невелико[63].

У Рона Грэма число Эрдеша равно 1. Они были очень близкими людьми — настолько, что Грэм устроил в своем доме «комнату Эрдеша», где математик мог жить во время своих визитов и хранить вещи, когда уезжал. Грэм даже заботился о финансах Эрдеша, собирая его чеки и оплачивая счета. Однако к знаменитому числу Грэма венгерский математик отношения не имеет. Оно появилось благодаря сотрудничеству с другим американским математиком Брюсом Ли Ротшильдом, а затем с Мартином Гарднером, который вел рубрику математических развлечений в журнале Scientific American.

Грэм и Ротшильд занимались одной конкретной задачей из теории Рамсея. Чтобы понять ее, добавим к нашему званому ужину еще пару гостей — Грэма и Харольда. Грэм — дядя Беллы, а Харольд — какая-то загадка. Кажется, он свободно говорит на пяти разных языках, но никто толком не знает, кто он и чем занимается, да и разговаривает он мало, — возможно, он шпион. На самом деле это не имеет значения. Важно то, что теперь у нас есть восемь гостей, то есть мы можем расположить их в вершинах куба и создать сеть нового типа.

Предположим, я решил сделать через эту сеть какой-то разрез. Например, я мог бы провести его по диагонали через Беллу, Кларки, Эрнеста и Харольда. Эти четыре человека образуют своеобразную подсеть, которую гораздо проще нарисовать на плоском листе бумаги.

Но это не клика — это ничем не примечательное сочетание знакомых и незнакомых людей. Можно ли сделать более интересный разрез? В данном случае ответ положительный: проведя разрез по задней стенке куба через Эрнеста, Фонси, Грэма и Харольда, мы получим клику из четырех незнакомых попарно людей.

Грэму и Ротшильду хотелось узнать, в любом ли кубе всегда существует разрез, дающий такую клику. Если взять пространство трех измерений, то ответ отрицательный: существуют расстановки восьми гостей по вершинам куба, когда при любом разрезе клика не получится. Но, разумеется, математики не привязаны к трехмерному миру, поэтому Грэм и Ротшильд начали думать о гиперкубах в пространствах четырех, пяти, шести или любого другого числа измерений. Сколько измерений нужно взять, чтобы гарантировать клику на каком-нибудь разрезе?[64]

Не стоит и говорить, что Грэм и Ротшильд не смогли дать определенного ответа на этот вопрос, — так бывает с большинством задач в теории Рамсея. Однако они показали, что у задачи есть конечный ответ, и смогли дать для него оценку: это минимальное число измерений должно находиться между числом 6 и каким-то исполинским числовым монстром — неким конечным числом, превосходящим все, что мы когда-либо могли понять. Вопреки распространенному мнению, тот гигантский верхний предел, который они представили, — это не то, что мы сейчас называем числом Грэма[65]. То, что именуется сейчас числом Грэма, появилось шестью годами позже, в 1977 году, когда Рон общался с Мартином Гарднером. Математику требовался простой способ описать этот верхний предел для статьи Гарднера в Scientific American, поэтому он придумал нечто еще более грандиозное. В 1980 году это новое число попало в Книгу рекордов Гиннесса как «самое большое число, когда-либо использовавшееся в математическом доказательстве». Но на самом деле оно никогда в доказательствах не использовалось.

Неважно. Я хочу шокировать вас, заставив задуматься о величине числа Грэма, которое он показал Гарднеру. Не беспокойтесь. Я не собираюсь заставлять вас думать о его десятичном представлении. Во всяком случае, пока. Сейчас мы сосредоточимся на гораздо более безопасном способе представления числа Грэма, использующем стрелочную нотацию Кнута. Она названа в честь американского специалиста по информатике Дональда Кнута, который изобрел ее в 1976 году. Кнут много писал о числах и вычислениях и известен тем, что предложил вознаграждение в размере 2,56 доллара любому, кто обнаружит ошибку в какой-либо из его книг[66]. Его стрелки обеспечат нам безопасный проход через страну больших чисел.

Начнем с умножения: что мы подразумеваем, когда пишем 3 × 4? Возможно, вы хотите сказать «двенадцать», но давайте немного поразмыслим. На самом деле, когда мы пишем 3 × 4, мы имеем в виду, что тройка сложена сама с собой четыре раза, то есть 3 + 3 + 3 + 3. В общем виде это выглядит так:

Иными словами, a сложено с собой b раз. Разложив его таким образом, мы видим, что умножение — это просто затейливый способ описать повторяющееся сложение. А что насчет повторяющегося умножения?

Математики называют это возведением в степень и обычно записывают так:

Теперь a умножено на себя b раз. Например:

Вероятно, вы называете эти штуки степенями. Впрочем, неважно, как вы их называете, — лишь бы понимали, что это означает. Скажем, Дональд Кнут предложил собственный способ записывать степени — он предпочитает использовать стрелку:

Примеры выше можно записать в виде 3 ↑ 3 = 27 и 3 ↑ 4 = 81.

Здесь мы могли бы остановиться, и большинство нормальных людей так и сделает, но мы — не нормальные. Давайте продолжим. Что будет, если вы займетесь повторяющимся возведением в степень? Такая операция называется тетрацией. Кнут записывает ее в виде двойной стрелки:

Здесь к числу a мы b раз применяем операцию стрелки. Иначе тетрацию можно назвать степенной башней, поскольку вы можете изобразить ее в виде

где башня из букв a имеет b этажей.

Давайте найдем 3 ↑ ↑ 3 и 3 ↑ ↑ 4. Это степенные башни из троек: в одной три этажа, а в другой четыре. Иными словами:

Двойная стрелка позволяет нам одним прыжком переместиться от числа 3 до 7,6 трлн. Неплохое достижение. Однако нотация Кнута позволяет гораздо больше. Достаточно использовать тройную стрелку, считая ее повторением операции двойной стрелки:

Логика тут та же самая, но теперь к числу a мы b раз применяем операцию двойной стрелки. Тройная стрелка — это очень мощная штука. Попробуем найти 3 ↑ ↑ ↑ 3. Поскольку для тройной стрелки нужно несколько раз повторять операцию двойной стрелки, то мы получаем

Да уж. Мы пришли к числу 3 ↑ ↑ 7,6 трлн. Это башня

в которой 7,6 трлн этажей! Представьте, что мы выписываем ее полностью: если каждая тройка будет иметь высоту два сантиметра, башня растянется до Солнца. Поэтому данное число иногда называют солнечной башней. Честно говоря, я боюсь его вычислять.

Но мы не собираемся на этом останавливаться.

Как насчет 3 ↑ ↑ ↑ ↑3? От этого реально сойти с ума. Если вы начнете вычислять, вы получите

Мы боялись вычислить даже солнечную башню, а теперь приходится иметь дело с солнечной башней двойных стрелок! Честно говоря, это уже просто неприлично. Гугол и гуголплекс давно за спиной. У нас нет ничего, что имело бы такой размер. Нужно признать, что мы вышли за рамки физической реальности. Но мы все еще и близко не подобрались к числу Грэма.

Выбора нет — надо продолжать.

В этом месте Грэм вводит понятие лестницы. Каждая ступенька — это число, которое намного больше всего предыдущего. Нижняя ступенька лестницы Грэма обычно называется g₁, и это то самое монструозное число, с которым мы только что встретились:

Шагаем на следующую ступеньку и внезапно обнаруживаем, что мы поднялись на

Посмотрите, сколько стрелок: их g₁! Четырех уже было достаточно, чтобы породить чудовищное число, а теперь чудовищным стало количество стрелок. Монстр из монстров. Но мы все еще далеко от числа Грэма.

Сделаем еще один шаг по лестнице:

Нет смысла даже пытаться описать, насколько велико это число. Слова слишком сильно отстали от математики. Но надеюсь, вы видите закономерность: с каждой новой ступенькой на лестнице Грэма количество стрелок неимоверно увеличивается. Воздействие на само число вообще непостижимо. Итак, продолжаем подниматься: от g₃ к g₄, от g₄ к g₅ и т. д. К тому времени, когда мы достигнем шестьдесят четвертой ступеньки, мы окажемся далеко, далеко, далеко, далеко в стране больших чисел и не сможем понять, где мы. Зато мы наконец пришли к цели: g₆₄ — это и есть число Грэма.

Невелика точность, если ответ на математический вопрос лежит где-то между числом 6 и неимоверно большим числом g₆₄? Рон Грэм соглашался с этим, но для него это подчеркивало разрыв между тем, что вы считаете истиной, и тем, что вы можете доказать. Мы знаем, что существует точный ответ на первоначальный вопрос Грэма и Ротшильда, и он скрывается где-то на этом невероятно огромном интервале, но найти его точно? Что ж, удачи. На самом деле этот интервал значительно сократился с тех пор, как Грэм и Ротшильд написали свою статью. Сейчас мы знаем, что ответ находится где-то между 13 и 2 ↑ ↑ ↑ 5. Это улучшение, но его явно не хватит, чтобы удовлетворить требования разгневанной инопланетной расы, проверяющей человечество с помощью проблем из теории Рамсея.

В истории математики число Грэма — настоящий левиафан, но я боюсь, что его великолепие теряется из-за абстракции. Чтобы лучше понять его, мы обратимся к физике и выясним, почему это число настолько велико, что способно убить.

Что делает число Грэма таким опасным? Почему ваша голова сколлапсирует, если вы будете размышлять о его десятичном представлении? Оказывается, в таком изображении числа Грэма есть энтропия — много энтропии, — а каждый раз, когда вы пытаетесь втиснуть слишком много в слишком маленькое пространство, неизбежно образуются черные дыры. Может показаться странным, что число способно нести энтропию так же, как яйцо или трицератопс, однако энтропия тесно связана с информацией, а последняя в числе Грэма, безусловно, содержится. Если бы я назвал вам его последнюю цифру, у вас появилось бы новое знание. Если бы я назвал вам его полное десятичное представление, вашей голове пришлось бы втискивать гораздо больше информации. Поглощение такого большого количества энтропии в замкнутом пространстве приведет к единственному возможному результату: смерти от превращения головы в черную дыру.

Чтобы понять связь между черными дырами, энтропией и десятичным представлением числа Грэма, нам нужно изучить смысл информации. Мне известна последняя цифра числа Грэма, и я предлагаю вам узнать ее. Вы можете задавать мне какие угодно вопросы, но я буду отвечать только «да» и «нет». Предположим, вы придерживаетесь следующей стратегии.

Вы понимаете, что ответ — семерка.

Вы узнали это за три вопроса. Стратегия была удачной: с каждым новым вопросом круг возможных цифр существенно уменьшался. В среднем такая стратегия определит случайно выбранную цифру за 3,32 вопроса. Именно таким методом Клод Шеннон, криптограф и пионер теории информации, предложил измерять количество информации: минимальное число ответов «да» или «нет», необходимое, чтобы точно определить то, что вы хотите знать.

Шеннон сочетал очевидный талант к вычислительной технике и математике с практическими навыками первоклассного инженера. Он всегда что-то мастерил: от летающих тарелок-фрисби с ракетным двигателем до одноколесных велосипедов и жонглирующих роботов. Самое хулиганистое его творение — машина, при включении выдвигавшая механическую руку, которая тут же отключала машину. Шеннон также дружил с Роном Грэмом; эта дружба выросла из интереса Шеннона к жонглированию: старик хотел научиться этому искусству, а Грэм согласился быть преподавателем. В итоге Шеннон умел жонглировать четырьмя мячами — на один больше, чем могли осилить его роботы.

Интерес Шеннона к теории информации произрастает из его работ военного времени над кодами и коммуникациями в компании Bell Telephone Laboratories в Нью-Джерси. Он понимал важность передачи информации, особенно во время войны, и что нередко она трудна или даже опасна. Шеннон хотел выяснить, как эффективно передать сообщение, когда мешает сильный «шум», и для этого ему потребовалось определить хорошую меру для количества информации.

Чтобы понять его меру, подбросьте монетку. Чтобы определить результат броска, вам нужен всего один ответ вида «да» или «нет» — достаточно спросить: выпал орел? Таким образом, один бросок монеты несет один бит информации. Пять бросков монеты дают пять бит, гугол бросков даст гугол бит. В общем виде нам нужно связать количество битов не с количеством монет, а с количеством возможных исходов. При пяти подбрасываниях монеты можно получить 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 различных исхода. Как извлечь пять бит из этих 32 исходов? Поскольку 32 = 2⁵, пять бит находятся в показателе степени. В случае последней цифры числа Грэма возможны десять разных исходов (последней может оказаться любая цифра от 0 до 9). Сколько это битов? Ситуация немного сложнее, поскольку 10 больше, чем 2³, но меньше, чем 2⁴, поэтому ответ лежит где-то между тремя и четырьмя битами. Оказывается, знание последней цифры числа Грэма несет примерно 3,32 бита информации[67].

Конечно, Шеннона больше интересовали слова и предложения, а не подбрасывание монеты. Самое длинное слово, встречающееся в основных словарях английского языка, — pneumonoultramicroscopicsilicovolcanoconiosis. Это термин для заболевания легких, вызванного вдыханием вулканического кремнезема после извержения. Не идеальная судьба, но, надо полагать, лучше, чем взорвавшаяся голова. Нас интересует, сколько информации содержится в самом этом слове. Поскольку в английском алфавите 26 букв, мы могли бы сказать, что каждая буква — один из 26 возможных исходов. Поскольку это число находится между 16 = 2⁴ и 32 = 2⁵, мы получаем оценку: в каждой букве содержится от 4 до 5 бит информации. Более точный подсчет дает величину 4,7 бита информации[68]. Все наше слово состоит из впечатляющих сорока пяти букв, так что получаем 211,5 бита. Хотя это разумная оценка общего объема информации, содержащейся в нашем слове, в реальности она завышена. В английском языке, как и в любом другом, есть определенные закономерности и правила. Например, рассмотрим слово quicquidlibet, которое буквально означает все, что угодно. В нем вы дважды встречаете букву q и в обоих случаях почти наверняка знаете, что следующей будет u[69]. Разве можно сказать, что чтение буквы u дает вам 4,7 бита информации, если вы уже заранее знали, что именно она и должна появиться?

Такие тонкости говорят нам о том, что вычислять информацию сложнее, чем просто смотреть на возможные исходы: нужно учитывать еще и вероятности. Например, если вы пять раз подбросите симметричную монету, вы действительно получите пять бит информации. А если монета несимметрична и всегда падает орлом? Можете ли вы утверждать, что получили какую-то информацию, увидев, как пять раз подряд выпал орел? Конечно, нет.

Шеннон придумал формулу для информации, которая все это учитывает. Согласно ей, если вы подбросите монету, у которой с вероятностью p выпадает орел, а с вероятностью q = 1 — p выпадает решка, то вы получаете — plog₂p — qlog₂q бит информации. Формула включает логарифмы по основанию 2, потому что Шеннон вычислял информацию в формате бинарных (двоичных) исходов. Она работает именно так, как вы интуитивно ожидаете. Например, если монета честная, то p = q = 0,5, и подбрасывание дает один бит информации. Если монета абсолютно перекошена в сторону орла (p = 1, q = 0) или решки (p = 0, q = 1), то подбрасывание вообще не даст никакой информации. Все остальные варианты лежат между этими крайними случаями.

Но как насчет более сложных вещей, которые действительно интересовали Шеннона, например букв, слов или даже предложений? Как измерить информацию, содержащуюся в них? Что ж, предположим, у вас есть первые несколько букв какого-то неизвестного слова: CHE. Сколько информации содержится в следующей букве, когда она станет известной? Если бы все буквы были равновероятными, мы бы сказали: 4,7 бита. Однако мы знаем, что это неверно. Попробуйте ввести буквы CHE, набирая сообщение на мобильном телефоне. Какие слова появляются в качестве подсказки? Вот некоторые из наиболее вероятных.

Это заставляет предположить, что любая из букв Е, А и С имеет более высокую вероятность появления, чем, скажем, В. Если условиться, что буква А встречается с вероятностью p₁, буква В — с вероятностью p₂, буква С — с вероятностью p₃ и т. д., вплоть до Z, имеющей вероятность p₂₆, то, согласно Шеннону, количество информации в следующей букве будет таким:

Как обычно, она измеряется в битах. Шеннон проверял способности носителей английского языка угадывать следующую букву в слове. Его эксперименты показали, что в среднем каждая буква содержит от 0,6 до 1,3 бита информации. Может показаться, что это немного, но именно поэтому письменный английский хорош для общения. Если какая-нибудь буква пропущена или введена неправильно, вы не потеряете слишком много информации и, скорее всего, сможете расшифровать th mxssage (или, в случае русского языка, эт сожбщение).

Самое примечательное свойство формулы Шеннона — ее сходство с другой формулой, которую более полувека назад вывел физик Джозайя Уиллард Гиббс. Мы коротко упомянули этого ученого в главе «Гугол», когда отправились на поиски двойников — в экспедицию, которая во многом опиралась на понятие энтропии. Тогда мы отметили, что энтропия подсчитывает микросостояния, но это подразумевало некоторое упрощение: такой метод верен только тогда, когда все микросостояния равновероятны. Именно Гиббс показал, как поступать в более общем случае. Если первое микросостояние имеет вероятность p₁, второе — вероятность p₂, третье — вероятность p₃ и т. д., то энтропия вычисляется по следующей формуле:

Поразительное сходство с формулой Шеннона. Разница в том, что Гиббс использует натуральные логарифмы, а Шеннон — логарифмы по основанию 2. На самом деле эта разница условна. Шеннон выбрал основание 2, поскольку хотел измерять информацию в битах, чтобы сравнивать ее с системой из двух исходов (например, при броске монеты). Но это всего лишь вопрос выбора. С тем же успехом вы могли бы измерять информацию в натах. Один нат равен 1 / ln2 ≈ 1,44 бита. В этом случае мы сравниваем информацию не со случаем двух исходов, а со случаем e ≈ 2,72 исхода. По какой-то причине природа предпочитает работать с натами, а не с битами, и, если мы соответствующим образом поменяем единицы измерения, формула Шеннона в точности совпадает с формулой Гиббса.

Действительно ли энтропия и информация — одно и то же? Я бы сказал «да». Обе эти величины измеряют степень таинственности и неопределенности, хотя и подходят к этому вопросу с нескольких разных точек зрения. Мы говорим об энтропии газа, яйца или трицератопса, потому что не можем быть уверены, в каком состоянии они находятся на самом деле. Есть много того, что мы не знаем или не желаем знать. По любому практическому определению трицератопс останется тем же трицератопсом, если мы изменим спин одного из электронов глубоко внутри его кишечника. В то же время энтропия учитывает всю эту неопределенность. Но представьте теперь, что этот вопрос вам небезразличен и вы решили определить спин этого электрона и все остальное, в чем у вас нет уверенности. Вы соберете ужасно много информации. Сколько? Ну это определяется тем, насколько велика была изначальная неопределенность, а это как раз энтропия.

Информация — это больше, чем просто абстрактная идея. Это физическая величина. Мы даже можем задаться вопросом о ее массе. Точное значение зависит от того, в каком виде хранится информация. Например, данные на вашем мобильном телефоне хранятся путем улавливания электронов в блоке памяти. Электроны в этой ловушке обладают чуть более высокой энергией по сравнению с электронами вне ловушки, и поскольку у них больше энергия, то у них больше и масса. Это верно в силу эквивалентности массы и энергии, которую Эйнштейн объяснил с помощью поэзии самого известного своего уравнения E = mc². В среднем один бит данных добавляет около 10^–26 миллиграммов массы. Чтобы масса вашего мобильного телефона увеличилась на вес пылинки, требуется, чтобы он хранил около 10 трлн гигабайт данных[70]. Согласно компании International Data Corporation, это размер глобальной датасферы, объединяющей всю совокупность данных мира.

Мы научились мастерски хранить информацию. Когда текстильщик XVIII века Базиль Бушон придумал, как управлять ткацким станком с помощью перфорированной ленты, в нескольких сантиметрах рулона помещалось всего несколько бит. Чтобы конкурировать с 64 гигабайтами, хранящимися в моем айфоне, Бушону понадобился бы длиннейший рулон ленты — в десять раз больше, чем расстояние от Земли до Луны. Мы уплотняем данные и втискиваем их во все уменьшающиеся пространства, по мере того как технологии ускоряются, чтобы не отставать от спроса. Выпустит ли когда-нибудь компания Apple телефон, способный хранить эти 10 трлн гигабайт?

Уже выпустила.

Мой айфон может использовать свои электронные ловушки для хранения 64 гигабайт фотографий, видеороликов и сообщений WhatsApp, однако он держит гораздо больше информации в другом месте — в полной сети атомов и молекул, из которых состоит. Беда в том, что эта дополнительная информация не особо для нас полезна. Мы не можем прочитать ее или изменить. Мы способны оценить ее величину, вычислив тепловую энтропию телефона. Это примерно 10 триллионов триллионов натов, то есть около 1000 трлн гигабайт[71]. Как видите, в этой микроскопической структуре содержится колоссальное количество данных, однако вы не можете использовать их, чтобы показать бабушке видеоролик, где дети играют с собакой в саду за домом. Возможно, когда-нибудь мы найдем способ хранить один бит данных в каждом из его атомов или даже в каждом из его кварков и электронов. Тогда емкость памяти мобильного телефона станет сопоставима с его тепловой энтропией. Если и когда это произойдет, мы действительно сможем начать размышлять, насколько мы способны хранить данные во все более ограниченных пространствах.

Но придет время, когда данные приведут к клаустрофобии. Черные дыры — это проблема: они ограничивают объем данных, которые можно втиснуть в ограниченное пространство. Причина в том, что черные дыры также несут энтропию. Так и должно быть: иначе что произойдет, если вы бросите в черную дыру какого-нибудь политика? Он несет в себе массу энтропии — от расположения атомов и молекул в ногах до ложной информации, хранящейся в нейронах его мозга. Как только он исчезнет за горизонтом и станет единым целым с черной дырой, его энтропия будет потеряна. Получается, что полная энтропия уменьшилась, а это нарушает второй закон термодинамики. Чтобы защитить второй закон, кто-то должен оплатить счет за энтропию, — если не политик, то черная дыра.

Вы можете получить представление о том, сколько энтропии содержится внутри черных дыр, если посмотрите, что происходит, когда они становятся каннибалами. Если одна черная дыра поглощает другую, общая площадь горизонта всегда увеличивается. Эта потребность в увеличении площади отражает рост энтропии, который мы наблюдали в термодинамике. Яаков Бекенштейн серьезно отнесся к этой связи и в 1972 году предположил, что энтропия черной дыры связана с площадью ее горизонта событий. Но идея Бекенштейна нуждалась в доказательстве. Для нее требовались вычисления. А для них была нужна храбрость и гениальность молодого физика по имени Стивен Хокинг.

Мы уже видели, что Хокинг вычислил энтропию как

где A_H — площадь горизонта, а l_p — планковская длина. Примечательно то, так он это сделал. Вплоть до середины 1970-х черные дыры вели себя так, как положено: они были черными. Во всяком случае, так считали люди. Но затем Хокинг сделал немыслимую вещь: оспорил это утверждение. Он взял определяющее свойство черной дыры — тот факт, что она поглощает все частицы, включая свет, — и показал, что это представление неверно. Для многих это выглядело бессмысленным бредом. Однако Хокинг не был сумасбродом. Он просто понял, что выход из этого природного Алькатраса дает квантовая механика.

В квантовой теории не все так тихо, как кажется. Как мы увидим в главе «10^–120», безмолвная пустота космоса на самом деле представляет собой бурлящий суп из виртуальных частиц, с шумом появляющихся и исчезающих. На самом деле это даже вовсе не частицы: в реальности они представляют собой своеобразный «кризис самоопределения». Когда мы говорим о реальной частице, мы имеем в виду локализованную волну в каком-то конкретном поле: фотон — в электромагнитном; гравитон — в гравитационном; электрон — в «электронном». Проблема в том, что квантовая механика может размыть это описание, — по крайней мере, если два поля умеют взаимодействовать друг с другом. Если нейтрон движется через гравитационное поле, это не всегда просто волна в нейтронном поле, какую-то часть времени он обеспечивает также волнение гравитационного поля. Точно так же волны гравитационного поля часть своего времени колеблют нейтронное поле. Проведем аналогию. Представьте двух людей из очень разных слоев общества: один (Левша) вырос в социалистической среде, другой (Правша) — в гораздо более консервативной. Представьте Левшу как некую волну «левого» поля, а Правшу — «правого». Оба продукты своей среды, воспитанные так, что они уверены в истинности собственной идеологии. А потом они встречаются и начинают взаимодействовать. Они разумные люди, поэтому не только говорят, но и слушают. В результате бывают моменты, когда их четкая определенность ослабляется. Левша по-прежнему остается левым, но иногда делает паузу и задумывается о широком воздействии своих радикальных идей на экономику. Правша по-прежнему предпочитает считать себя консерватором, но иногда его беспокоят социальная справедливость и проблемы неравенства. Примерно так же вы можете представлять виртуальные частицы — как описанное загрязнение идей. Однако такое заигрывание с другими идеологиями продолжается недолго: Левша всегда оказывается верен своим социалистическим идеалам, а Правша — своему консерватизму. Так и с виртуальными частицами: вы никогда не найдете ту, за которую можно цепляться вечно. Волна в других полях — всегда временное явление.

Хокинг размышлял о таком загрязнении в окрестностях черной дыры и понял нечто замечательное: то, что вы считали исключительно временным, иногда становится постоянным. Если пара таких виртуальных частиц образуется вблизи горизонта черной дыры, одна из них может упасть в дыру, а другая ускользнуть. Беглец, навсегда разлучившийся со своим партнером, становится настоящей частицей — остатком, за который можно ухватиться. Она ведет себя точно так же, как если бы ее испустил горизонт событий, вытягивая энергию из гравитационного поля и немного ослабляя его. В результате возникает поток излучения, называемый излучением Хокинга, и черная дыра испаряется.

Хокинг сумел показать, что его излучение придает черной дыре некоторую температуру, и с помощью определенной термодинамической гимнастики вывел формулу энтропии. С научной точки зрения это был удивительно смелый шаг: по тем временам его предложение выглядело крайне радикально. Однако смелый гений Хокинга оказался вознагражден, и теперь его идеи признаны повсеместно.

Объявив, что черные дыры на самом деле не черные, поскольку испускают какое-то излучение, Хокинг тут же ошеломил всех еще раз: квантовая механика нарушается.

Во многих странах есть конституция — базовый набор правил, установленных отцами-основателями, которые изложили собственное видение будущего молодой нации. То же верно и для нации квантовой механики. У нее есть своя конституция — ряд фундаментальных постулатов, написанных пионерами квантовой теории, среди которых Бор, Гейзенберг, Борн и Дирак. Одно из этих фундаментальных правил гласит, что ничто никогда не теряется: то, что входит, должно выйти. Хокинг понял, что черная дыра, похоже, игнорирует это утверждение: она начинается как чистое квантовое состояние, а заканчивает свои дни в виде излучения, которое он описывал как смешанное состояние. В предыдущей главе мы уже сталкивались с чистыми и смешанными состояниями. Чистые состояния сообщают вам все, что нужно знать о квантовой системе, — в отличие от смешанных, когда некоторая информация отсутствует. Фокус в том, что квантовая конституция запрещает любую потерю чистоты: вы не можете перейти от чистого состояния к смешанному, потому что информация не должна просто исчезать. Она всегда должна где-то остаться, даже если ее трудновато обнаружить. Казалось, что черные дыры восстают против квантовой механики.

Описанная ситуация известна как информационный парадокс. Это одна из тех загадок, которые настолько глубоки, что их решение должно открыть действительно важные сведения о мире, в котором мы живем. Хокинг любил делать ставки на вещи такого рода. В 1997 году вместе с Кипом Торном он заключил пари с физиком из Калифорнийского технологического института Джоном Прескиллом: тот полагал, что информация никогда не теряется, даже внутри черной дыры; Хокинг и Торн считали иначе. Победитель в споре должен был получить энциклопедию по своему выбору. Вполне подходящий приз, если учесть, что результат спора на самом деле зависел от того, можно ли воспроизвести информацию, содержащуюся в энциклопедии, если кто-нибудь по неосторожности уронит ее в черную дыру. Семь лет спустя Хокинг предложил решение этого парадокса и счел себя проигравшим в пари. Он послал Прескиллу экземпляр «Полной энциклопедии бейсбола», пошутив, что вместо этого ему следовало бы сжечь книгу и отправить пепел. Ведь информация все равно должна сохраниться! А вот Торн не стал платить, потому что предложение Хокинга его не убедило. Оно действительно не обрело популярность. И все же есть весьма серьезные причины полагать, что черные дыры не восстают против квантовой механики (информация в них не теряется), и мы объясним причины в следующей главе. Квантовая механика слишком ценна, чтобы от нее отказываться.

Черные дыры обладают огромным количеством энтропии относительно своего размера. Это позволяет им хранить огромные объемы информации — той, которая, в соответствии с нынешними представлениями, доступна теоретически, но не практически. Черная дыра размером с мой айфон могла бы хранить аж 10⁵⁷ гигабайт[72]. Это оставляет далеко позади те 64 гигабайта, где я храню фотографии и сообщения, или даже 10¹⁵ гигабайт, содержащихся в атомарной структуре айфона. Ничто не хранит информацию так эффективно, как черная дыра.

Чтобы понять причины, предположим, что вы — межгалактический путешественник, намеревающийся посетить экзопланету Kepler-62f, которая вращается вокруг звезды Kepler-62. Эта звезда немного меньше и холоднее нашего Солнца; она находится в созвездии Лиры, а расстояние до нее — примерно тысяча световых лет. Повод слетать туда имеется. Программа SETI считает Kepler-62f подходящим местом для поиска внеземной жизни. Это старая твердотельная планета, расположенная в обитаемой зоне; ее поверхность покрыта океаном, а времена года похожи на наши[73]. Вы летите туда на космическом корабле, который не слишком велик: он вмещается в сферу диаметром три метра. Корабль набит битком: продовольствие, топливо и, важнее всего, огромное количество информации в компьютерных системах. Общая масса корабля — примерно миллион килограммов. Вы не знаете точно, сколько в нем содержится энтропии, но понимаете, что она велика, — из-за всей этой информации.

Приблизившись к планете Kepler-62f, вы замечаете нечто тревожное: вокруг вашего космического корабля сформировалась какая-то гигантская оболочка, вы внезапно оказались внутри внеземной сферы. Непонятно, откуда взялся этот кокон, но на случайность это не похоже. Вы убеждены, что это нападение жителей планеты, поместивших корабль в сферическую тюрьму. После тестов оказывается, что кокон состоит из какого-то очень плотного материала — более плотного, чем нейтронная звезда. Вы немного паникуете. Вычисления показывают, что общая масса оболочки немного не дотягивает до 10²⁷ килограммов. Теперь вы паникуете уже всерьез. Как эта оболочка сохраняет свою форму? Почему она не разрушается и не излучает вещество? Впрочем, эти вопросы не имеют особого смысла, зато вас сильно беспокоит то, что оболочка, похоже, сжимается. Расчеты говорят, что совокупная масса корабля и этого кокона превышает пороговое значение в 10²⁷ килограммов. Если оболочка стянется до диаметра трех метров, соприкоснувшись с космическим кораблем, то слишком большая масса окажется втиснутой в слишком маленькое пространство. Неизбежно появится черная дыра.

К несчастью, вы умираете задолго до того, как оболочка подойдет к трехметровому порогу: вас разрывают в клочья гравитационные приливы. После этого жители Kepler-62f отправляют зонд, чтобы исследовать черную дыру, в которой находится ваш корабль. Их цель — установить, сколько вы знали; иными словами, сколько информации имелось на борту корабля, пока его не поглотила черная дыра. Инопланетяне измеряют диаметр горизонта событий. Поскольку он равен 3 метра, обитатели планеты вычисляют, что энтропия черной дыры составляет около 2,7 × 10⁷⁰ нат. Инопланетяне знают, что общая энтропия не может уменьшаться со временем. Хотя до вашего попадания в ловушку на борту корабля могло храниться много информации, чужаки понимают, что ее не могло быть более этой итоговой величины — 2,7 × 10⁷⁰ нат.

История, конечно, немножко фантастическая. Обитатели планеты Kepler-62f никак не могли создать и контролировать кокон такой высокой плотности. Но это неважно. На самом деле это всего лишь мысленный эксперимент, который придумал удивительно изобретательный американский физик Леонард (Ленни) Сасскинд. Он хотел показать, как черные дыры ограничивают количество энтропии, которое можно хранить в ограниченном пространстве. Возьмите любой объект — космический корабль, трицератопса или даже просто яйцо — и целиком поместите его в самую маленькую сферу, с которой сможете управиться. Сасскинд показал, что энтропия этого объекта не может превышать энтропию черной дыры, горизонт которой совпадает с такой сферой. В нашей фантастической истории космический корабль помещался в сферу диаметром три метра. Затем инопланетяне показали, что его энтропия ограничена энтропией черной дыры точно такого же размера[74].

Мы можем применить идею Сасскинда к человеческой голове. Чтобы установить абсолютный предел объема информации, которая может в ней храниться, достаточно вычислить энтропию черной дыры размером с голову. Если вы когда-нибудь попробуете выйти за этот предел, попытаетесь втиснуть слишком много сведений в ограниченное пространство в голове, та гарантированно сколлапсирует под действием гравитации. Вы станете жертвой превращения головы в черную дыру.

Я не всегда думаю. Жена сказала, что я не думал, когда решил спустить воду из посудомоечной машины с помощью пылесоса. Да, я прекрасно знаю, что вода и электричество — опасное сочетание. Мой план состоял в том, чтобы втянуть воду в шланг, а затем быстро отключить электричество. Если бы все получилось, я бы перелил воду в раковину до того, как она бы соприкоснулась с электрическим оборудованием. К счастью, вернувшаяся домой жена положила конец такой идее еще до того, как я успел сломать пылесос и себя. Полагаю, как раз поэтому я и не экспериментатор. У меня все хорошо с ручкой, бумагой и хитрыми расчетами, но, чем бы вы ни занимались, не подпускайте меня близко к дорогим приборам. Похожие проблемы были у выдающегося немецкого теоретика Вольфганга Паули, одного из пионеров квантовой механики, который сыграет большую роль во второй половине этой книги. Говорили, что Паули может сорвать эксперимент, просто находясь поблизости, так что, полагаю, я в хорошей компании.

Но иногда я все же думаю. Обычно о футболе или о физике, а в моменты особенного безрассудства даже о числах. Когда случается что-либо из указанного, в моем мозге происходят определенные события. Что делает мозг, когда думает о каком-то числе? Что нужно делать, чтобы думать о действительно больших числах? А что произойдет, если мозг возьмется за число такой величины, как число Грэма?

Воспоминания, крупицы знаний и, возможно, даже последние пятьсот цифр числа Грэма хранятся в мозге в виде различных схем в сети нейронов. В любой момент одни нейроны находятся в состоянии покоя, а другие возбуждены. Как правило, мозг пытается задействовать как можно меньше нейронов. Всего у человека около 100 млрд нейронов. Если учесть, что каждый из них может быть либо возбужден, либо нет, мы получаем величину примерно в 100 млрд бит. Это намного превышает наши практические потребности, если только мы не решим взяться за число Грэма. Возможно, вы надеетесь представить его десятичную запись в своем воображении, если сможете очистить свой разум от всей лишней информации: попытаетесь забыть состав своей семьи, как выглядит яйцо или как распознать звук пения птиц. Оказавшись в этом медитативном состоянии, вы можете попробовать внести в мозг число Грэма, цифра за цифрой, используя все более сложные схемы нейронов. Но даже если бы вы умели манипулировать своим сознанием так радикально, вы бы все равно потерпели неудачу. Проблема в том, что в десятичном представлении числа Грэма намного больше 100 млрд цифр. Вы не можете представить себе даже «солнечную башню», не говоря уже о числе Грэма.

Чтобы улучшить ситуацию, мозг должен научиться хранить информацию более эффективно. Мы знаем, что нет ничего более эффективного для хранения информации, чем черная дыра. Может ли ваш мозг найти способ имитировать эти приемы хранения, какими бы они ни были? Гия Двали, директор института физики Макса Планка в Мюнхене, предположил, что это возможно для определенных типов нейронных сетей. Его логика основана на некоторых очень интересных идеях о черных дырах и о том, как они хранят свою информацию. Помните, что этот вопрос все еще открыт и мы обсуждаем исследования, которые находятся на переднем крае науки. Начнем с того, что Двали и его сотрудники считают, будто черная дыра ведет себя как конденсат Бозе — Эйнштейна. Это особое состояние материи, в котором значительная часть частиц находится в одном и том же квантовом состоянии с минимально возможной энергией. Вы можете получить конденсат Бозе — Эйнштейна, охладив газ чрезвычайно низкой плотности до температур, близких к абсолютному нулю, как это было впервые сделано в 1995 году с атомами рубидия. Странность этих конденсатов в том, что они проявляют квантовое поведение даже на макроскопическом уровне. Двали считает черные дыры конденсатом огромного количества гравитонов — квантовых волн в гравитационном поле, — упакованных настолько плотно, насколько вообще возможно. Затем информация сохраняется в квантовых волнах самого конденсата. Оказывается, это очень эффективный способ хранения данных: огромные объемы информации и очень малые затраты энергии; именно этого вы и ожидаете от черной дыры. Однако ученый пошел дальше и создал модель нейронной сети, способной хранить информацию весьма похожим образом. А что, если ваш мозг сумеет сохранять информацию, используя подобную нейронную сеть?

Этого по-прежнему недостаточно, чтобы вместить число Грэма.

Все действительно сводится к тому количеству данных, которое можно впихнуть в человеческую голову. Каков здесь максимум? Чтобы ответить на этот вопрос, я решил посмотреть на свою собственную голову, которая, насколько я прикинул, имеет радиус около 11 сантиметров. Если воспользоваться формулой Хокинга, мы обнаружим, что черная дыра такого же радиуса обладает огромным количеством энтропии, эквивалентным десяти миллиардам триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт информации. Это максимальное количество информации, которое кто-либо или что-либо может когда-либо надеяться удержать в области пространства размером с мою голову. Сравните это с Большим адронным коллайдером — машиной, которая с удовольствием производит просто неприличные объемы данных, но при этом дает всего лишь 10 млн гигабайт данных за целый год. Однако и десять миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт никак не хватит, чтобы изобразить все число Грэма. Даже близко недостаточно.

А что насчет вашей головы? Может, с нею будет лучше? Увы, каждая человеческая голова ограничена примерно одним и тем же пределом: около десяти миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт. Конечно, в реальности ваша голова никогда не сможет сохранить такое огромное количество гигабайт, особенно если вы еще живы. Вспомните, что информация имеет массу; и, чтобы приблизиться к этому значению, вам нужно упаковать в относительно небольшое пространство головы весьма серьезную массу, в десять с лишним раз превышающую массу Земли. По мере того как в голове будут прибавляться данные и масса, возникнут огромное внутреннее давление и угрожающе высокие температуры. Ваша голова обязательно взорвется, и, возможно, не один раз. О выживании не может быть и речи.

Но мы не должны допустить, чтобы смерть помешала такому интересному мысленному эксперименту. Представьте, что друзья унесли ваше бездыханное тело и то, что осталось от головы, далеко-далеко, в невидимые глубины межзвездного пространства, далеко от посторонних глаз. Они уважают ваше желание и продолжают вводить число Грэма — цифра за цифрой. Если каким-то образом удастся сохранить данные в голове, то в итоге можно достичь вышеописанного порога в десять миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт. В этот момент головы уже нет — на ее месте черная мини-дыра. Если вы втиснете столько информации в такой маленький объем, единственным физическим объектом, способным ее сохранить, останется черная дыра.

Впрочем, тела тоже не будет. Оно не сможет пережить близость к черной дыре размером с голову. Да и мало что смогло бы пережить. Возможно, вам кажется, что такая небольшая черная дыра не должна быть особо разрушительной. Но вспомните, что внутри пространства, которое когда-то было вашей головой, сконцентрирована масса десяти таких планет, как Земля. Нельзя недооценивать гравитационное воздействие такого объекта. Когда вы имеете дело с черными дырами, беспокоиться надо именно о небольших по размеру. Черная дыра размером с голову окажется гораздо опаснее, чем Повехи — того колосса, с которым мы столкнулись в конце главы «1,000000000000000858». Из-за ее небольшого размера все объекты, находящиеся недалеко от ее горизонта, оказываются слишком близко к сингулярности и неизбежно будут разодраны на части гравитационными приливами. Чтобы разорвать человеческое тело, требуется всего лишь примерно 10 000 ньютонов. На границе черной дыры размером с голову на ваше тело будет действовать приливная сила, которая в триллион с лишним раз больше.

Маленькие черные дыры ужасающе реальны. Конечно, те из них, с которыми можно столкнуться в природе, возникают не потому, что в какого-то беднягу насильно вбили число Грэма. Они появляются и не в результате коллапса звезд. Эти крошечные драконы обычно рождаются в первичном бульоне младенческой Вселенной. В младенческом состоянии горячая Вселенная была наполнена излучением. Оно не было идеально равномерным. В некоторых местах рябь энергии оказывалась такой плотной, что порождала гравитационный коллапс. Образовавшиеся черные дыры были маленькими — гораздо меньше, чем те, которые получаются из звезд. Некоторые из них были совсем крохотными и уже давно испарились из-за излучения Хокинга. Но все, превышавшие размерами триллионную долю миллиметра (включая черные дыры размером с вашу голову), могут существовать и сегодня. Есть масса домыслов и предположений, что эти древние объекты могут быть одним из основных компонентов темной материи — загадочной невидимой субстанции, составляющей большую часть материи Вселенной. Наша собственная галактика окутана огромным ореолом этого вещества, и его намного больше, чем видимых звезд. При этом черные дыры размером с голову могут составлять до 10 процентов этой материи. Итак, как я уже сказал, такие вещи реальны. Возможно, галактика даже полна ими.

Мы почти закончили наш эксперимент. Вы наконец ощутили смерть в результате превращения головы в черную дыру и теперь представляете собой черную дыру размером с голову, одиноко плывущую в межзвездном пространстве. Честно говоря, вы стали какой-то гадостью, которую скорее можно принять за темную материю, чем за человека, которым вы когда-то были: чудовищем, разрывающим в клочья любого, кто попытается к вам приблизиться. Ради чего? Ради десяти миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт данных, часть которых вы теряете из-за излучения Хокинга. И увы, вы даже не приблизились к числу Грэма.

Поэтому вы продолжаете.

Ваши друзья продолжают скармливать вам данные. Еще одна цифра числа Грэма. И еще одна. И еще. Ваша черная дыра растет, а ее горизонт событий расширяется все дальше. Он обязан расти, поскольку появляется все больше энтропии и все больше информации. В конце концов вы достигнете размера Повехи. В этот момент вы содержите 10⁸⁶ гигабайт, но все же вы только начали двигаться к числу Грэма. С другой стороны, вы уже не так опасны, как раньше. Из-за вашей величины приливные силы в окрестности вашего горизонта очень малы. Если бы человек, которого вы любите, приблизился, чтобы поцеловать вас, его бы не разорвало. Считается, что ему придется сильно постараться, чтобы не упасть в черную дыру, но если он как-то сможет отдалиться, то есть некоторая надежда, что он при этом не окажется разорванным в клочья. Невелико счастье, но все же.

Вы продолжаете.

Больше цифр. Больше данных. Наконец горизонт черной дыры расширяется на миллиарды световых лет, заполнив большую часть наблюдаемой Вселенной. На этом этапе начинает ощущаться нечто новое и неожиданное: деситтеровский горизонт. Это важный вопрос, так что нам стоит воспользоваться моментом, чтобы объяснить, что это такое.

Мы живем в необычной Вселенной. Еще в 1998 году две группы астрономов под руководством Адама Рисса и Сола Перлмуттера заметили нечто странное. Они наблюдали за смертью далеких звезд, выходивших на свой последний парад; эти звезды превращались в сверхновые. Однако собранный учеными свет был тусклее, чем ожидалось, словно эти звезды располагались дальше, чем нам казалось. Это указывало на ускорение. Звезды оказались дальше, потому что пространство расширялось все быстрее. Оно ускорялось. Мы этого не ожидали, потому что гравитация притягивает. Можно было бы ожидать, что она замедляет расширение космоса, поскольку ее безжалостные объятия стягивают пространство-время. Однако что-то раздвигает Вселенную.

Что может сотворить такое? Мы называем это темной энергией, но это всего лишь обозначение, которое мы даем какому-то неизвестному преступнику, — например, Джеку-потрошителю или буке, которой пугают детей. Многие считают, что темная энергия связана с вакуумом космического пространства. Вполне разумная идея в нашей квантовой Вселенной, где вакуум — бурлящий бульон из виртуальных частиц, заполняющий пустыню между звездами и галактиками. Не надо думать о нем как о субстанции, которую можно удержать или поймать (вы никогда не сможете удержать виртуальную частицу), однако вы можете почувствовать его воздействие, поскольку он загрязняет гравитационные поля, расталкивая Вселенную во все стороны и заставляя ее расти с вечно увеличивающейся скоростью. Вселенная, ускоренная бульоном своего вакуума, известна как деситтеровское пространство (Вселенная де Ситтера, или модель де Ситтера). Название дано в честь голландского физика, который первым задался вопросом, на что похожа жизнь в таком месте.

Обнаруженные Риссом и Перлмуттером сверхновые, похоже, заставляют предположить, что мы направляемся именно в мир де Ситтера, где звезды и галактики разлетаются все дальше, не оставляя ничего, кроме вакуума и ускоряющего бульона. Если это так (а большинство физиков сейчас с этим соглашаются), каждый из нас окружен огромной космологической оболочкой диаметром почти в триллион триллионов километров. Она представляет собой своеобразный горизонт, хотя он сильно отличается от горизонта событий, обозначающего край черной дыры. Этот деситтеровский горизонт обозначает границу того, что мы можем когда-либо надеяться увидеть, даже если бы мы жили вечно. Возможно, вам кажется странным, что такая граница может существовать. В конце концов, если подождать достаточно долго, времени хватит, чтобы принять свет даже от самых далеких звезд и галактик. Но это не так. Когда действует ускорение, эти далекие звезды удаляются от нас все быстрее. Пространство между вами и ими увеличивается слишком быстро, свет не может успеть за этим процессом. Даже с вечностью в кармане вы никогда не сможете заглянуть за пределы деситтеровского горизонта. Свет этих далеких миров никогда не сможет добраться до вас.

Всякий раз, когда есть предел тому, что вы можете видеть, используется слово горизонт. Однако важно понимать, что деситтеровский горизонт имеет больше общего с океанским горизонтом, чем с горизонтом событий черной дыры. Это не вход в темницу и не покров какой-то ужасной сингулярности. При этом он не имеет абсолютного местоположения. Подобно океанскому горизонту, это явление относительное, персональное. Каждый человек может описать собственный деситтеровский горизонт — обширную космологическую сферу с собой в центре. У вас есть свой деситтеровский горизонт — ваша персональная граница между тем, что вы можете видеть, и тем, что не можете, и он пролегает не там, где пролегает мой горизонт или горизонт инопланетянина из галактики Андромеды. При желании вы могли бы пересечь горизонт этого инопланетянина, а он ваш — так же легко, как далекий корабль может в океане скрыться за горизонтом для другого корабля.

Давайте заканчивать наш эксперимент. По мере того как вы собираете все больше цифр числа Грэма, ваш деситтеровский горизонт раздвигается. Горизонт событий вашей черной дыры продолжает расти, расширяясь все дальше, пока в конце концов не соприкоснется с вашим деситтеровским горизонтом. Такая ситуация известна как предел Нариаи. Вы не можете больше увеличивать свою черную дыру. Ваши друзья могут попытаться вложить еще больше данных и вытолкнуть вас за пределы вашей собственной космологической оболочки, но дела пойдут плохо. Уравнения заставляют предположить, что природа будет сопротивляться, заставляя Вселенную перейти в Большое сжатие. И несмотря на все, что вам пришлось пережить, вы не приблизитесь к числу Грэма.

В общем, если вы действительно хотите зафиксировать всю информацию в числе Грэма, вам понадобится Вселенная побольше. Если у нее есть деситтеровский горизонт, он должен быть не меньше числа Грэма — в метрах, милях или любых других единицах, которые вы решите использовать. Мы живем в другом месте (наши деситтеровские горизонты ничтожны по сравнению с этой величиной), однако подобная Вселенная в принципе могла бы существовать. Теория струн предсказывает мультивселенную — огромное множество Вселенных, имеющих разные размеры, форму и количество измерений. Если в этой мультивселенной существуют гиганты с невообразимо большой космологической оболочкой, то, возможно, найдется место для Грэма и его исполинского числа.

Tree(3)

При счете 47–47 в последнем сете табло корта № 18 Всеанглийского клуба лаун-тенниса и крокета отказало. Шел Уимблдонский теннисный турнир 2010 года. Француз Николя Маю (прошедший в турнир через квалификационные игры) и его американский соперник Джон Изнер творили историю. На тот момент их матч уже был самым длинным в истории тенниса, но при этом еще далек от завершения. Табло отказало, потому что не было рассчитано на такие продолжительные игры. Инженеры, которые его запрограммировали, не ожидали, что электронике придется обрабатывать столько данных в таком количестве геймов. Когда экран погас, счет продолжил вести арбитр, и к моменту наступления темноты в конце второго дня игры матч остановили при счете 59–59. За ночь программисты починили табло, но предупредили: «Если они сыграют не больше двадцати пяти геймов, все в порядке. Если они будут играть дольше, табло откажет». Повезло. В двадцатом гейме третьего дня Изнер нанес потрясающий удар по линии и тем самым взял гейм на подаче Маю. Война на истощение наконец закончилась. Изнер выиграл: 6–4, 3–6, 6–7, 7–6, 70–68. Непримечательный матч первого круга превратился в удивительное событие. Двое игроков сражались на корте более одиннадцати часов, изнемогая, но не сдаваясь. Оба сделали более сотни эйсов (подач навылет). Для зрителей на корте № 18 и миллионов телезрителей этот матч оказался угрозой вечности.

Уимблдон никогда больше не увидит ничего подобного. В 2018 году, через восемь лет после эпической встречи Маю и Изнера, Всеанглийский клуб решил изменить правила[75]. Организаторы обеспокоились соблюдением расписания и влиянием марафонских поединков на физическое состояние игроков. Они заявили, что со следующего года в пятом решающем сете при счете 12–12 игроки будут играть тай-брейк. Угроза бесконечного матча уменьшилась, но не исчезла, ведь ограничений на продолжительность тай-брейка или отдельного гейма не существует, и теннисный матч по-прежнему потенциально может длиться вечно.

То же верно и для «Монополии». Я уверен, что после нескольких часов игры вы уже задавались вопросом, завершится ли когда-нибудь партия, надеясь приземлиться в отеле в Мейфэр[76], лишь бы все закончилось. Угроза бесконечности есть всегда, если только вы не придерживаетесь исключительно тех игр, которые гарантированно заканчиваются после конечного числа шагов вроде крестиков-ноликов. Шахматы — еще одна конечная игра: если мы используем обязательное правило семидесяти пяти ходов, шахматная партия гарантированно закончится менее чем за 8849 ходов. Итак, если вы намереваетесь оставаться в конечном мире, что делать, если кто-нибудь предлагает сыграть в Игру деревьев? Грозит ли это вам вечностью?

Этот вопрос поставил великий странник Пал Эрдеш, рассказывая о своих путешествиях по математическому миру в конце 1950-х. Эрдеш часто говорил о молодом венгерском математике, с которым он познакомился в Будапеште, когда оба они были еще подростками. Его звали Эндре Вайсфельд, или Эндрю Важони, как он стал называть себя позже. Он поменял имя из-за дискриминации евреев в 1930-х, а затем бежал в Америку. По словам Эрдеша, Важони выдвинул гипотезу, что Игра деревьев всегда будет конечной, однако так и не доказал свое утверждение, а теперь уже умер. На самом деле Важони был жив и здоров, — по крайней мере, когда Эрдеш рассказывал свою историю. Просто на языке Эрдеша он именовался умершим, поскольку ушел из науки и устроился на хорошо оплачиваемую работу авиаинженера. Однако гипотеза оставалась недоказанной. В коридорах Принстона байки Эрдеша с интересом выслушивал один талантливый молодой студент. Его звали Джозеф Краскал.

Весной 1960 года, только что защитив докторскую диссертацию, Краскал доказал, что Игра деревьев гарантированно заканчивается после конечного числа ходов. Однако имейте в виду: хотя игра конечна, она легко может продлиться дольше жизни человека, планеты или даже галактики. Возможно, вам придется играть до смерти Вселенной и еще дольше.

Давайте играть. Идея в том, чтобы построить лес деревьев из определенного множества семян.

Вот типичное дерево.

Как видите, деревья — просто кружки, соединенные линиями. Кружки — семена, а линии — ветви. В нашем примере есть три разных типа семян: черные, белые и крестики. Правила игры таковы: когда вы строите лес, первое дерево должно иметь не более одного семени, второе — не более двух и т. д. Лес умирает, если вы строите дерево, которое содержит одно из предыдущих деревьев. У выражения «содержит одно из предыдущих деревьев» есть точное математическое значение, но, возможно, достаточно представить яблоню. Яблони могут стоять отдельно, а могут вырастать из других деревьях. Возможно, где-нибудь в лесу вы видите определенную яблоню, а затем обнаруживаете какую-то большую сосну, из ствола которой торчит точная копия этой яблони. Такая ситуация в Игре деревьев запрещена.

Чтобы дать более точное определение, сравним несколько деревьев и спросим, «содержит» ли одно из них другое. Например, рассмотрим следующие различные деревья.

Содержит ли дерево A дерево B? Ответ довольно очевиден. Конечно, дерево А содержит дерево B — это видно по верхним ветвям. А что насчет дерева С? Содержится ли и оно в дереве А? На первый взгляд кажется, что нет, но подумайте, что произойдет, если вы прикроете белое семя в центре дерева А. То, что остается, по сути является деревом С. Таким образом, в этом смысле вы можете утверждать, что дерево А действительно содержит дерево С.

Чтобы разобраться с ситуацией, нужно поближе взглянуть на свод правил. Чтобы одно дерево содержало другое, мы должны уметь сопоставлять соответствующие семена, как сделали в вышеприведенном примере, прикрыв белое семя дерева А. Но одного этого недостаточно. Соответствующие друг другу семена также должны согласовываться по своему ближайшему общему предку. Для любых двух семян на верхних ветвях дерева вы можете найти их ближайшего общего предка, прослеживая их родословную в сторону корня и обнаружив то семя, где эти две линии сходятся. Представьте, что семена — это вы и ваш двоюродный брат. Если вы пойдете по своим родословным, эти линии сойдутся у ваших общих бабушки и дедушки.

Посмотрите на черное семя и крестик на верхних ветвях дерева А и дерева С. Прослеживая родословную в обоих случаях, мы видим, что в случае дерева А их ближайший общий предок — белое семя, а в случае дерева С — черное. Таким образом, получилось расхождение. Соответственно, в этом более слабом смысле дерево А не содержит дерево С.

Проясним ситуацию еще на одном примере. Вот еще два дерева.

Содержит ли дерево D дерево E? Первое, что нужно проверить: можем ли мы привести в соответствие семена? Закрываем все семена-крестики в дереве D и видим, что можем. Теперь нам нужно задаться вопросом о предках. Обратите внимание на белое и черное семена в верхних ветвях обоих деревьев. Проследив их родословную, мы видим, что в обоих случаях ближайшим общим предком оказывается черное семя, находящееся в корне. Подходит по всем статьям. Дерево D действительно содержит дерево E.

Теперь, когда правила понятны, мы готовы играть. Возьмем вариант, когда нам разрешено пользоваться только черными семенами. Я делаю ход первым. Помните, что это первое дерево, поэтому в нем может быть максимум одно семя. Изобразим его так.

Ваш ход. И у вас сразу же неприятности. Поскольку это второе дерево в лесу, в нем может быть не больше двух семян. Существует только два возможных дерева, которые вы можете изобразить: либо еще одно дерево из одного семени, либо дерево из двух семян.

Однако очевидно, что мое дерево содержится в обоих ваших возможных деревьях. Какое бы из них вы ни посадили, лес умрет. Избежать этого невозможно, поэтому игра заканчивается после первого же хода. Если использовать только один тип семян, лес может состоять только из единственного дерева, состоящего из одного семени.

Теперь давайте поиграем, когда разрешены два различных типа семян. Игра гарантированно закончится после трех ходов.

Какое бы дерево вы ни посадили дальше, оно обязательно уничтожит лес. Я догадываюсь, что вы не слишком впечатлены. Кому захочется играть в игру, которая обязательно закончится после трех жалких ходов?

Но подождите.

Пришло время сыграть с семенами трех видов — черные, белые и крестики. Давайте попробуем сделать несколько ходов.

Дела идут хорошо — лес все еще жив. Но сколько ходов мы можем сделать? Мы знаем, что в какой-то момент игра гарантированно завершится (это доказал Краскал). Но когда именно? Через сто ходов? Через гуголплекс? Когда число ходов будет равно числу Грэма?

Гораздо позже.

В этой книге мы уже читали истории о числовых исполинах — числах непостижимых размеров. Но эти колоссы — ничто по сравнению с нашим следующим левиафаном. Число, которое обозначают TREE(3), — гигантское предельное число ходов в игре с тремя семенами. Оно входит в крайне экстравагантную последовательность TREE(n). Если вы играете в Игру деревьев с n различными семенами, то игра закончится через TREE(n) ходов. Взгляните, как неспешно она начинается.

TREE(1) = 1 (поскольку игра с одним семенем продлится всего один ход),

TREE(2) = 3 (поскольку игра с двумя семенами продлится максимум три хода),

а потом бабах!

TREE(3) — это число, достаточно огромное, чтобы поглотить и гуголплекс, и число Грэма.

Все ваши представления превратились в ничто. Вы можете перейти к еще большим числам: TREE(4) получается при игре с четырьмя семенами, TREE(5) — при игре с пятью и т. д. Однако достаточно уже TREE(3). Умопомрачительного, невообразимого и безумного.

Первоначальная гипотеза Важони и последующее доказательство Краскала сообщают нам, что Игра деревьев рано или поздно закончится, пока вы играете с конечным числом семян. Американский математик и философ Харви Фридман понял, что она может порождать заодно чрезвычайно большие числа. Талант Фридмана к логике проявился уже в очень раннем возрасте. Когда ему было всего четыре или пять лет, он нашел словарь и спросил у матери, что это. «Книга со значениями слов», — ответила мать. Через несколько дней мальчик оспорил это утверждение. Он сказал, что словари бесполезны, потому что ходят по кругу. Слово «большой» они определяют через слова «крупный», «значительный», а те — через слово «большой». Как вообще можно узнать, что на самом деле что-либо означает? Примерно через десяток лет его ранние таланты обеспечили ему место в Книге рекордов Гиннесса — как самому молодому университетскому профессору: в возрасте 18 лет он получил в Стэнфордском университете звание ассистент-профессора[77].

Фридман заметил, что число TREE(3) невероятно велико. Математик не мог точно определить его, но сумел показать, что оно больше — гораздо больше, — чем любое другое число, которое вы найдете в этой книге. Он дал оценку — снизу — в терминах огромных чисел, известных как числа Аккермана. Чтобы ощутить их размер, нужно вернуться к лестнице Грэма. Возможно, вы помните, что первая ступенька g₁ = 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 была уже чудовищно велика, а дальше числа принимали совершенно неконтролируемый характер. Вторую ступень мы строили с помощью g₁ стрелок: g₂ = 3 ↑^g1 3, третью — с помощью g₂ стрелок: g₃ = 3 ↑^g2 3 и т. д., пока не дошли до шестьдесят четвертой ступеньки и числа Грэма. Но предположим, что вы продолжаете подниматься: на шестьдесят пятую ступеньку, когда число стрелок равно числу Грэма, на шестьдесят шестую, шестьдесят седьмую, на гуголную ступень этой лестницы. Предположим, что вы не отдыхали, пока не поднялись вот на такое количество ступеней:

В этой формуле 187 195 стрелок Кнута. Это невероятно большое число, но оно всего лишь говорит о количестве ступенек лестницы Грэма! Всего шестьдесят четыре ступени вверх по этой лестнице привели вас к числу Грэма. Можете ли вы хотя бы начать осознавать, куда вас приведут 2 ↑ ^{187 195}187 196 ступеней? Этот настоящий гигант похож на предложенную Фридманом оценку числа TREE(3), но не питайте иллюзий: это сильно заниженная оценка. На самом деле TREE(3) гораздо больше, этот левиафан среди левиафанов доминирует над всем, с чем мы сталкивались в нашем путешествии по большим числам.

В реальности нет интуитивно ясного способа осознать, почему TREE(3) настолько велико. Какой-то намек можно получить, взглянув на варианты игры, которые мы использовали поначалу. В игре с двумя типами семян мы были вынуждены использовать белые семена, начиная со второго круга. Однако если у нас остается всего один цвет, есть огромный риск обнаружить одно дерево внутри другого, и игре суждено быстро закончиться. А вот при игре с тремя видами семян ко второму кругу у нас остается целых два вида допустимых вариантов. Большая разница: мы можем играть с комбинациями, открывая все больше путей для новых экзотических узоров из деревьев. В конце концов мы исчерпаем все возможности, но это будет нескоро.

Подобные деревья имеют практическое значение. Они возникают всякий раз, когда происходит ветвление — от алгоритмов принятия решений в информатике до дерева жизни в эволюционной биологии. Эпидемиологи используют так называемые филогенетические деревья для анализа эволюции вирусов и антител. Их применяли также к другим эволюционирующим системам, например раковым геномам. Однако интерес Фридмана к деревьям был глубже всего этого. Он искал недоказуемую истину: то, что верно, но при этом принципиально не может быть доказано, — по крайней мере, в рамках собственного математического аппарата. Это не имеет ничего общего с отсутствием умений или таланта у математиков. Такие фундаментальные истины гарантированно останутся недоказанными всегда, даже при самых опытных юристах. Как мы увидим, Игра деревьев — игра в этом математическом суде — является игрой недоказуемых истин.

Недоказуемая истина бьет по основам математики. Математика выросла из какого-то базового набора правил и принципов. Например, на понятии последовательности — того факта, что всегда можно увеличить число на единицу, — вы можете построить идею сложения. Вам нужна только продолжающаяся последовательность, где числа снова и снова увеличиваются на единицу. Далее вы можете разработать умножение, возведение в степень, ввести понятие простых чисел и доказать все теоремы, связанные с простыми числами. Математика — это рукотворная система, которая управляет сама собой. Он создает свой фундамент, свои основные строительные блоки, а из них мы строим городки и мегаполисы математической вселенной. Эти строительные блоки называются аксиомами. Чем больше аксиом есть у вас вначале, тем богаче и сложнее будет созданная вами математическая вселенная. Это интуитивно понятно. Если у меня в распоряжении имеются только желтые кирпичи, то все здания в мегаполисе будут желтыми. Но если есть желтые и красные кирпичи, я могу создавать более интересные узоры. Естественно, я по-прежнему способен возводить желтые дома, но теперь можно также создавать здания, украшенные сложной мозаикой желтого и красного цветов. В главе «Бесконечность» мы рассмотрим еще один пример — границу между финитной (конечной) и трансфинитной математикой. Из финитных кирпичей вы строите финитные здания. Оказывается, чтобы вывести математику в бесконечность, вам нужен новый тип кирпича, известный как аксиома бесконечности.

Интерес к аксиомам математики впервые возник в начале XX века. Многие из ведущих математиков мира тогда начали верить в теорию всей математики. Достаточно установить полный набор аксиом, из которых будет следовать все. Имея такие аксиомы, можно доказать истинность всех истинных утверждений, по крайней мере в принципе. Можно показать, что математика полна и не имеет противоречий. Несомненно, такой вере в математику способствовало осознание ее силы и красоты. Математика покоряла Вселенную. Только еретик мог заявить, что она поломана: что она неполна.

Этим еретиком стал Курт Гедель, блестящий чешский[78] философ и логик, которого многие считают наследником Аристотеля. В декабре 1931 года, когда мир охватила Великая депрессия, Гедель доказал существование недоказуемой истины — тот факт, что математика никогда не может оказаться полной. Какие бы аксиомы в качестве базы вы ни выбрали, всегда найдутся истинные утверждения, которые невозможно доказать. Конечно, вы всегда можете расширить эту базу, добавив в нее еще одну аксиому, которая поможет вам доказать то, что вы хотите. Однако в рамках новой системы все равно существуют верные утверждения, которые не удастся доказать. Аксиомы и доказательства никогда не поспевают за истиной.

Вернемся в наш мегаполис. В нем имеются только желтые и красные кирпичи, поэтому неудивительно, что на улицах преобладают простые здания двух цветов. Эти постройки подобны доказуемым теоремам математики. При наличии достаточного количества времени и усилий городские инженеры могут рассказать вам, как их строили. Однако в каком-нибудь темном закоулке обязательно найдется странное загадочное здание. Нечто недоказуемое. Ни один инженер никогда не сможет рассказать вам, как оно было построено, — по крайней мере, из тех стройматериалов, которыми располагает город. И все же это гордое и безошибочное напоминание о гении Геделя.

Чтобы дать представление о методах, лежащих в основе доказательства Геделя, я планирую убедить вас, что все числа интересны. Предположим, что это не так: существуют неинтересные числа. Если какое-то число действительно неинтересно, вряд ли у него будет своя страница в «Википедии», поскольку писать на странице не о чем. Однако среди этих неинтересных чисел должно быть наименьшее. Для определенности предположим, что это 49 732. Ну теперь мне хочется написать страницу в «Википедии» о числе 49 732, чтобы весь мир узнал об интересном факте: вот самое маленькое неинтересное число. На самом деле число оказывается интересным, и мы пришли к противоречию. Следовательно, неинтересных чисел не существует, все они интересны.

Геделевское доказательство неполноты использует аналогичную идею, хотя оно гораздо строже. Ключом к методу Геделя был разработанный системный код — своеобразный способ математики ссылаться на саму себя. Каждая аксиома, каждое математическое утверждение, истинное или ложное, получили собственный кодовый номер. Вы можете представить, что с каждым утверждением связали определенное число — аналогично коду ASCII. Например, одно число соответствует утверждению «квадратный корень из двух — иррациональное число», а другое — утверждению «1 + 1 = 3». Тогда истинность или ложность любого математического утверждения можно связать со свойством соответствующего числа. Например, можно сказать, что четные числа соответствуют истинным утверждениям, а нечетные — ложным. Конечно, на деле все конструировалось намного сложнее, но дух был именно таким. Вооружившись строгой системой кодирования, Гедель рассмотрел следующее утверждение:

Теперь выйдем за пределы системы и предположим, что математика свободна от противоречий. Это означает, что утверждение Геделя должно быть истинным или ложным. Оно не может быть одновременно истинным и ложным. Предположим, оно ложно. Это означает, что утверждение можно вывести из аксиом. Противоречие. Следовательно, это утверждение должно быть истинным. Итак, мы нашли математически верное утверждение, которое невозможно вывести из аксиом; мы открыли недоказуемую истину, то самое загадочное здание в нашем математическом мегаполисе.

Математика никогда не может оказаться полной.

Теорема Геделя прославила ученого. Она апеллировала к духовной идеологии, к идее, что математическая вселенная никогда не оказывается достаточной. Несмотря на успех, жизнь Геделя омрачалась депрессией, а со временем у него развился параноидальный страх отравления. Он ел только продукты, проверенные и приготовленные его женой Адель. Когда в 1977 году ученый заболел и попал в больницу, он отказался есть и в итоге умер от недоедания 14 января 1978 года.

Математикам хотелось найти более интересные примеры недоказуемой истины, чем надуманный пример Геделя. У них имелся корыстный интерес. Представьте, что вы пытаетесь доказать (или опровергнуть) какую-нибудь известную математическую теорему. Это может быть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха или одна из множества других нерешенных проблем математики. Если вы достаточно молоды, доказательство принесет вам Филдсовскую медаль[79], так что вы работаете на износ день и ночь. Если единственными недоказуемыми истинами становятся искусственные геделевские утверждения, ваш труд имеет шансы на успех. А что, если существуют более интересные недоказуемые истины? Что, если та теорема, над которой вы работаете, верна, но недоказуема в рамках нашей математической базы? Тогда у вас нет шансов. Вы обречены на неудачу.

В 1977 году британский математик Джефф Парис и его американский коллега Лео Харрингтон показали, что самые большие страхи математиков вполне реальны. Работая с урезанной версией математики, известной как арифметика Пеано, они смогли найти истинное утверждение из теории Рамсея, которое нельзя было доказать в рамках этой конкретной системы. Иными словами, арифметика Пеано позволяет придумать теорему, сформулировать ее в явном виде, но не дает возможности доказать ее. Для доказательства требуется выйти за пределы этой арифметики в какую-то более широкую математическую структуру с большим количеством аксиом. Недоказуемая истина Париса и Харрингтона стала предупреждением для математиков всего мира.

Харви Фридман тоже искал недоказуемые истины. Он стремился проанализировать теоремы математики и понять, для каких теорем нужны те или иные аксиомы. Представьте, что вы идете по городу и видите желтое здание. Вы спрашиваете себя: что мне действительно нужно, чтобы построить этот дом? Разумеется, вам понадобятся только желтые кирпичи. Желтые и красные были бы излишеством. Именно такую логику Фридман пытался применить к математике.

Поиски Фридмана привели его к Игре деревьев и недоказуемым истинам, которые таятся внутри ее. Чтобы увидеть их, вы должны сначала сыграть в эту игру в финитном мире — мире конечной математики, математической базе, построенной исключительно из конечных кирпичиков. Конечно, в этом конкретном мире есть много доказуемых истин. Например, легко доказать, что числа TREE(1) и TREE(2) конечны. Все, что нам нужно сделать для этого, — сыграть все возможные партии и посмотреть, когда они закончатся. Точно так же мы могли бы доказать, что число TREE(3) конечно, по крайней мере в принципе. Я помню, как сообщил вам, что игра с тремя семенами может продлиться дальше смерти Вселенной, но сейчас мы занимаемся математикой, а не физикой (кощунство!). Представим будущее, которое окажется достаточно продолжительным, чтобы мы могли играть столько, сколько нам нужно. Сыграв фантастически большое, но конечное число конечных игр, мы также можем показать, что конечны числа TREE(4), TREE(5), TREE(6) и т. д.

Предположим, что мы остаемся в этом конечном мире. Можем ли мы доказать, что числа TREE(n) конечны для всех значений n? По наивности вы наверняка подумаете, что можем, — с учетом всего вышесказанного. Однако это утверждение сильнее, чем утверждение, что число TREE(n) конечно для любого конкретного значения n, например для 3, 4 или гугола. Тем не менее мы все же знаем от Краскала, что такое более сильное утверждение также истинно. Поэтому мы снова спрашиваем: можем ли мы доказать это в финитном мире — так же, как можно доказать, что числа TREE(3) или TREE(4) конечны? Ответ: нельзя. В своем доказательстве Краскал вышел в трансфинитный мир, и Фридман понял, что без этого не обойтись. Итак, вот нужная истина на вашей ладони:

Недоказуемая истина в финитном мире.

Теперь я хочу, чтобы вы снова сыграли в Игру деревьев, но на этот раз в реальном физическом мире. На этот раз законы физики начнут затрагивать вас, вашу игру и ту неожиданную Вселенную, которая вас окружает. Благодаря величине числа TREE(3) партия может продлиться очень долго, отдавая вас во власть космической перезагрузки, — причуды нашей оригинальной космологии и ее голографической истины. Но мы забегаем вперед: существует много других интересных вещей, которые могут происходить задолго до того, как вы достигнете космической перезагрузки. Посмотрим, что происходит в реальности.

Вы начинаете игру в парке в прекрасный день: золотая осень, солнечно, а тишину вокруг нарушает только песня случайного дрозда. И вы начинаете. Безмятежность разрушается скоростью вашей игры. Вы играете лихорадочно быстро — с максимальной скоростью, которую допускает физика, и каждое новое дерево появляется каждые 5 × 10^–44 секунд. Это планковское время — самое маленькое время, какое только можно вообразить. Идея более коротких промежутков времени разрушает структуру пространства и времени способами, которые мы пока не понимаем, поскольку гравитация становится жертвой квантовой механики. За двадцать четыре часа вы нарисовали триллион триллионов триллионов триллионов деревьев, но партия еще не закончилась. Помните, что она потенциально может длиться до TREE(3) ходов, а вы и близко не подошли к этому пределу.

Вы играете год — партия продолжается. Вы играете век — и партия продолжается. Я представляю, что вы вечно молоды, как Питер Пэн, не способны стареть и подчиняетесь только физике, а не биологии. Века превращаются в тысячелетия, тысячелетия — в мегагоды (миллионы лет), а игра продолжается. Через 110 млн лет вы замечаете, что Солнце светит примерно на один процент ярче, чем в начале вашей игры, а Земля становится теплее. Континенты приближаются друг к другу и наконец примерно через 300 млн лет объединяются в суперконтинент. Через 600 млн лет Солнце становится таким ярким, что разрушает геохимический цикл углерода на планете. Деревья и леса уже не могут существовать, но вы все равно продолжаете играть. По мере того как уровень кислорода падает, в атмосферу Земли начинает проникать смертоносное ультрафиолетовое излучение. В качестве меры предосторожности вы продолжаете играть в помещении. Спустя 800 млн лет Солнце уничтожает всю сложную жизнь на Земле, — разумеется, кроме вас, поскольку вы продолжаете жить несмотря ни на что. Еще через 300 млн лет, когда Солнце уже на 10 процентов ярче, чем сегодня, начинают испаряться океаны.

Вы играете дальше. Поскольку Земля становится все более непригодной для жизни, убежище предлагает Марс. Через 1,5 млрд лет обстановка там напоминает земные условия во время ледникового периода. Вы решаете перенести свою игру туда. Это мудрый шаг: спустя 4,5 млрд лет Земля с безудержно царящим парниковым эффектом становится такой же негостеприимной, как современная Венера. Примерно в то же время происходит столкновение двух галактик: галактики Андромеды и нашего Млечного Пути; при этом появляется галактическая химера — гигантская галактика Млекомеда. В межзвездном хаосе, который последует далее, судьба Солнечной системы неизвестна. Некоторые модели предполагают, что она отклонится в сторону центральной черной дыры, а потом вылетит из горла галактики как межзвездное отхаркивание. Впрочем, это не будет иметь для вас особого значения. В своем новом марсианском доме, согретом теплом яркого Солнца, вы продолжаете играть.

Еще миллиард лет — и у Солнца заканчивается водород в ядре. В результате наша звезда начинает превращаться в красного гиганта. В течение следующих 2 млрд лет Солнце увеличивается, поглощая Меркурий и Венеру, а возможно, даже Землю. Марс становится слишком горячим, и вы переносите игру на спутники Сатурна. Но тепло длится не очень долго. Примерно 8 млрд лет игры — и внешние слои гиганта улетучиваются. Солнце становится белым карликом. Масса этой слабой звездочки составляет половину нынешней, а размером она едва превышает Землю, так что не может согреть ни одну из выживших планет. Конечно, чересчур фантастично думать, что вы действительно смогли бы пережить такие эпические перемены и эпические времена, но если бы смогли, то нет гарантий, что игра закончится. Предельная величина TREE(3) слишком велика.

Через квадриллион лет Солнце перестает светить. Возможно, оно начнет одиноко бродить по космической пустоте со своими планетами на буксире. Возможно, столкнется с черной дырой. Мы не знаем. То, что в реальности произойдет в последние дни Вселенной, зависит от темной энергии — таинственной субстанции, доминирующей в той космологической эволюции, которую мы наблюдаем сегодня. Сейчас мы знаем, что темная энергия заставляет пространство расширяться все быстрее.

В предыдущей главе мы отмечали: многие физики считают, что темная энергия связана с космическим вакуумом. Предполагается, что в квантовой Вселенной он заполнен бурлящим бульоном из виртуальных частиц, равномерно распределяющих свою энергию в пустыне между звездами и галактиками. Если это действительно источник темной энергии, то нас ждет холодное спокойное будущее — по крайней мере, в течение какого-то времени. Вселенная будет продолжать расти, расширяясь с увеличивающейся скоростью. Примерно через 10⁴⁰ лет большую часть материи, которую мы видим сегодня, проглотит армия сверхмассивных черных дыр, бродящих по Вселенной. Они насладятся захватывающей эпохой своего космического доминирования, а через гуголгод (то есть гугол лет) после нынешнего момента просто умрут. В соответствии с теорией Хокинга они испарятся, распространяя его излучение по всей пустой Вселенной.

По мере продолжения расширения Вселенной эти фотоны и субатомные частицы разлетаются все дальше. В конце концов остается только пустота пространства; однако помните, что она наполнена бурлящим бульоном темной энергии. Теперь вы в деситтеровском пространстве, мерзнущем при температуре чуть выше абсолютного нуля. Это космический эквивалент смерти во сне, без особой драмы, если не считать случайного щекотания от тепловых флуктуаций. И если бы кто-то все еще был способен играть, Игра деревьев могла бы продолжаться.

Но что, если темная энергия — это не кипящий бульон вакуума? Что, если наша судьба отличается от деситтеровского пространства? Тогда смерть Вселенной может оказаться гораздо более жестокой. Например, если темная энергия однажды исчезнет, через миллиард или более лет Вселенная, возможно, перестанет расширяться. Она может даже начать сжиматься, рушиться в себя, стискивая энергию, что в итоге приведет к апокалиптическому сжатию, которое называют Большим сжатием, или Большим хлопком. Самое пугающее в Большом сжатии — скорость стягивания. Это происходит быстро, гораздо быстрее, чем соответствующее расширение. Как вагончик американских горок, Вселенная медленно поднимается, а потом летит вниз с головокружительной скоростью.

Другой возможный вариант предполагает, что темная энергия растет. Она увеличивается, не просто ускоряя расширение, а даже ускоряя ускорение. Происходит Большой разрыв — Вселенная, разделенная на части. Когда она разрывается, пространство расширяется настолько, что планеты отрываются от своих звезд, как ребенок, которого отнимают у матери. Но на этом процессы не останавливаются. Со временем расширение космоса разрывает на части атомы, ядра и все остальное.

Что станет с Игрой деревьев, когда Вселенная вступит в фазу смерти, какой бы она ни была? В случае Большого сжатия или Большого разрыва смерть Вселенной оказывается чересчур грубой, так что игра оборвется. Однако в данный момент большинство ученых предсказывают более спокойное будущее. Все факты — от наблюдений сверхновых до измерения космического микроволнового фонового излучения — указывают, что во Вселенной господствует бурлящий квантовый вакуум, то есть нас ждет замороженное деситтеровское пространство. Если у нас такая судьба, то вы можете представить, что игра продолжается и через гуголгод — все время спокойного умирания нашей Вселенной. Личность игроков изменится за такие колоссальные промежутки времени — это неизбежно: ни один человек не сможет существовать так долго, не став жертвой тепловых и квантовых нестабильностей. Но что насчет самой игры? Может ли она продолжаться столько, сколько нам нужно? Может ли достичь предельного числа TREE(3)?

Нет.

Это спокойное умирание Вселенной не вечно. Через лет, после гуголплексгода (гуголплекса лет), Вселенная повторится. Вселенная повторится. Это время возвращения Пуанкаре — время, которое требуется, чтобы наш уголок Вселенной вернулся сколь угодно близко к тому состоянию, в котором он находится сейчас. Он возвращается в то же квантовое состояние, описывая те же звезды, планеты, людей, жаб и чуждых микробов, какими мы их видим сегодня. Нас ждет повторение, потому что мы окружены гигантской сферой огромной важности, и внутри этой сферы Вселенная может упорядочиться огромным числом способов, но число этих способов конечно: у Вселенной конечное число нарядов. Скоро я объясню, почему это происходит, но сначала вы должны представить, как Вселенная примеряет эти наряды. На разных этапах она выглядит по-разному: так, как она выглядела, когда астероид упал на полуостров Юкатан, так, как она выглядит сейчас, или так, как она будет выглядеть, когда президентом изберут Джастина Бибера. Она примерит каждый наряд во второй раз, затем в третий, четвертый и т. д., вечно возвращаясь к триумфам и провалам своего прошлого. Для нашего уголка Вселенной время возвращения невообразимо велико, но Игра деревьев продолжается значительно дольше. Даже при самом спокойном будущем наша Вселенная отвергает TREE(3). Она перезагружается снова, и снова, и снова — задолго до того, как игра достигнет своего предела.

Возвращение Пуанкаре, названное в честь французского математика Анри Пуанкаре, — свойство любой конечной системы, будь то наша Вселенная, ящик, наполненный газообразным азотом, или даже колода игральных карт. Двигаясь по системе, вы исследуете все возможные варианты, а в итоге вернетесь к тому, с чего начали. А потом двинетесь снова. Существует почти 10⁶⁸ способов перетасовать колоду из 52 карт. Когда вы впервые открываете пачку, карты аккуратно сгруппированы по мастям и разложены в порядке возрастания. Затем вы перетасовываете колоду, портя это красивое расположение и заменяя его каким-то другим. Вы снова тасуете, меняя порядок карт еще раз. Если вы будете тасовать, тасовать и тасовать колоду целый гуголгод, несомненно, вы увидите, что некоторые комбинации повторяются. Однако Пуанкаре доказал нечто более сильное. Если тасование производится действительно случайно, то в какой-то момент карты вернутся к тому упорядоченному расположению, как при их покупке. Это и есть возвращение Пуанкаре.

А что насчет ящика с азотом? Предположим, в начальный момент все молекулы втиснуты в правый верхний угол. Вы видите, как со временем они разлетаются. Они танцуют и сталкиваются, образуя огромное количество расположений и комбинаций, но в какой-то момент возвращаются. Они оказываются в верхнем правом углу, как было в самом начале. Наша Вселенная такая же. Если у нее есть только конечное число способов упорядочения, то по правилам, установленным Пуанкаре, она всегда вернется туда, где находится сейчас. Она повторится.

Я упомянул о гигантской сфере, которая вас окружает. Это артефакт нашего холодного и пустого будущего — будущего в деситтеровском пространстве, где доминирует энергия, хранящаяся в бульоне его вакуума. Из-за этого каждый из нас окружен гигантской космологической оболочкой, известной как деситтеровский горизонт. Я немного рассказывал об этом в предыдущей главе, но полезно повторить. У вас есть свой деситтеровский горизонт, а у меня свой. Ваш горизонт — гигантская сфера радиусом около 17 млрд световых лет, в центре которой вы находитесь. Эта сфера — граница того, что вы сможете когда-либо увидеть. Например, в какой-то невообразимо далекой галактике могут жить инопланетяне, обсуждающие какую-нибудь инопланетную форму Брексита, однако вы никогда не увидите их спор, даже если будете жить вечно. Причина в том, что темная энергия раздвигает пространство между вами и ими с постоянно увеличивающейся скоростью. Естественно, от инопланетян будет отражаться свет, и часть его может даже направиться в вашу сторону, но он никогда не дойдет до вас. Пространство между вами увеличивается слишком быстро, свет от инопланетян не успевает за ним.

Я также упоминал, что деситтеровский горизонт — не то же самое, что горизонт событий черной дыры. Это не граница невозврата и не покров для убийственной сингулярности. Однако, несмотря на важные различия, в некоторых аспектах эти два горизонта очень похожи. Эту идею развили Стивен Хокинг и его бывший ученик Гэри Гиббонс. Они смогли показать, что из вашего деситтеровского горизонта исходит квантовое излучение — точно так же, как оно исходит из горизонта черной дыры. В нашем уголке Вселенной температура этого деситтеровского излучения низка, около 2 × 10^–30 кельвинов, так что его бессмысленно искать, но тем не менее оно существует. По мере того как неустанное расширение пространства разбавляет Вселенную, оно оставляет за собой эту температуру застывшей пустоты. Это похоже на ад Нифльхейма, но с минимальным прикосновением тепла, поднимающим температуру чуть выше абсолютного нуля[80]. И вспомните: когда есть температура, есть и энтропия.

Как энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий, так и энтропия деситтеровского пространства пропорциональна площади деситтеровского горизонта. Окружающий вас деситтеровский горизонт огромен, его площадь составляет почти триллион триллионов триллионов триллионов квадратных километров. Если мы воспользуемся знаменитой формулой Хокинга, связывающей эту площадь с энтропией, мы получим более тридцати миллиардов триллионов гуголов энтропии. Это помогает найти количество микросостояний — нарядов, которые содержит гардероб вашей Вселенной. Такая большая энтропия соответствует космическому гардеробу с разными нарядами. Хотя он велик — даже больше платяного шкафа Ким Кардашьян, — он конечен. Если вообразить, что Вселенная примеряет новый наряд каждый планковский промежуток времени, или каждую секунду, или даже каждый год, то примерно через перемен она обнаружит, что надела тот же наряд, который носит сегодня. В этом и состоит ее возвращение Пуанкаре — бестактность в моде, навязанная ей космологической оболочкой и замерзшим будущим.

Хотя такое возвращение для нашего уголка Вселенной, видимо, реально (если учесть все, что мы знаем о темной энергии), необходимое для возвращения время настолько велико, что это событие не увидит никто и никогда. Нет ни существ, ни машин, обладающих таким колоссальным долголетием и способных на такие точные измерения. Проблема в квантовой нестабильности. Предположим, у вас есть самый совершенный прибор, способный определять состояние Вселенной с поразительной точностью. Он измеряет сегодняшнюю Вселенную и записывает то, что обнаруживает. Он проводит измерение и сравнение в любой момент будущего, но, чтобы заметить повторение, ему нужно существовать в течение невероятно долгого времени. Это невозможно. Всегда будут вмешиваться квантовые нестабильности, портящие все записи. Возвращение Пуанкаре для нашей Вселенной существует, но никто не обнаружит его экспериментально. В некотором смысле это неполнота Геделя, но физическая, а не математическая: недоказуемая истина в царстве физики. То же мы можем сказать о TREE(3) и Игре деревьев. Этот предел существует в принципе, но он настолько велик, что законы нашей Вселенной никогда не позволят до него дойти.

Наше путешествие по стране больших чисел подходит к концу. Мы отважились проникнуть в микромир и макромир. Мы видели размытую реальность квантовой механики, находящуюся внутри всего сущего, добрались до края черной дыры, где время останавливается, и двигались через Вселенную, границы которой неизвестны до сих пор. Я надеюсь, вы начинаете смотреть на числа как на ворота в самую интересную физику во Вселенной: от гугола и гуголплекса — к обнаружению двойников, от числа Грэма — к опасности смерти от превращения головы в черную дыру, а от числа TREE(3) и Игры деревьев — к космической перезагрузке. Эти гигантские числа придвинули нас к пониманию последних результатов современной физики.

Возможно, вы заметили одну общую тему. На каждом шагу нам бросала вызов энтропия — путем ограничений на количество микросостояний, способных описать вас, вашу голову или всю Вселенную, которую вы когда-либо можете увидеть. И все же, несмотря на все последовавшие драмы, существует единый физический принцип, лежащий в основе всего, что мы открыли. Он ближе к современному состоянию физики и гораздо драматичнее всего, что было раньше. Я думаю, вы готовы к этому. Начнем со страшилки.

Будильник требует, чтобы вы проснулись. Не открывая глаз, вы пытаетесь дотянуться и заставить его замолчать. Почти бессознательно поднимаетесь с кровати и бредете в душ. Теплая вода течет по голове, медленно приводя вас в сознание.

А потом ужас.

Вы пойманы в стене, привязаны к двумерной тюрьме. И не только вы. Привязано все: душ, раковина, кровать, где вы спали. Внутри нарастает паника. Вы мчитесь в свою комнату, быстро одеваетесь и летите вниз по лестнице. Ощущение странное. Словно вы двигаетесь по миру, который когда-то знали — миру трех измерений, — однако теперь понимаете, что это на самом деле ложь. Вам приснился кошмар. Нужно сбежать, и вы открываете дверь наружу.

Но ужас только усиливается.

Остальной мир оказался в такой же ловушке, но, похоже, никто этого не замечает. Проезжает на велосипеде хорошо одетая женщина. Взвинченный неряшливый мужчина, похоже, опаздывает. Автобус набит увлеченно болтающими школьниками. Все они сплющены, и никто не осознает этого. Вы бросаетесь к женщине, но она быстро уносится, со страхом оглянувшись. Вы падаете на колени. Когда ужас прозрения начинает переполнять вас, испускаете первобытный крик. Вот так. Это реальность. Вы — всего лишь голограмма.

Это ваша история: физик проснулся и признал голографическую реальность Вселенной. Вот к чему ведет эта книга: к осознанию того, что гравитация и три измерения пространства — нечто вроде иллюзии. Настолько же легко вы можете представить себя в голографическом мире — запертым в границах того пространства, которое мы обычно воспринимаем.

Наверное, мне следует объяснить подробнее.

Голографические откровения начались с Бекенштейна и Хокинга. Они выяснили, что черные дыры несут энтропию — точно так же, как мы с вами, яйцо или трицератопс. Как обычно, эта энтропия подсчитывает все возможные микросостояния, которые могут описать одну и ту же черную дыру. Она также измеряет скрытую информацию. Возможно, вы помните черную дыру в глубине вашего сада, о которой шла речь в главе «Гугол». Дыра увеличила свою массу на массу слона, однако вы не могли сказать, поглотила она слона или энциклопедию, имеющую массу слона. Это означало, что вы могли представить разные микросостояния, описывающие один и тот же макроскопический объект. Иными словами, та черная дыра должна была иметь энтропию.

Однако Бекенштейн и Хокинг пошли дальше. Они поняли, что энтропия черной дыры растет с увеличением площади ее горизонта. Вы можете считать его границей дыры. Это утверждение известно как закон площадей для черных дыр, и он противоречит нашим обыденным представлениям. Видите ли, мы с вами (как яйцо или динозавр) не соблюдаем закон площадей. Энтропия обычных вещей, таких как люди и яйца, фактически растет с увеличением объема, а не площади поверхности. Это интуитивно понятно, и мы даже можем использовать в качестве примера вашу голову. Если вы хотите увеличить объем данных в ней (точнее, если желаете, чтобы она могла сохранять больше энтропии при той же температуре), вам потребуется больше нейронов. А для этого вам понадобится мозг большего размера и большего объема, а не просто большой череп.

Но почему черные дыры ведут себя не так, как остальные объекты? Почему их энтропия растет с увеличением площади поверхности, а не объема? От черной дыры вас и яйцо отличает степень, в которой вы ощущаете сокрушительные объятия гравитации. Черные дыры обладают мощной гравитацией: та их связывает, без нее дыры не могут существовать. Когда гравитация становится настолько важной, правила хранения энтропии отличаются от тех, к которым мы привыкли, и этот фактор бросает вызов вашему представлению о реальности.

В начале 1990-х нидерландский лауреат Нобелевской премии Герард Хоофт и физик из Стэнфорда Ленни Сасскинд, с которым мы познакомились в предыдущей главе, начали осознавать, что на самом деле означают результаты Бекенштейна и Хокинга. Как мы уже видели, они поняли, что черные дыры находятся на вершине энтропийной пищевой цепочки, ограничивая количество информации, которую можно втиснуть в определенный объем пространства. Предел достигается, когда пространство заполнено максимально возможной черной дырой, и в соответствии с законом площадей предельная энтропия определяется площадью поверхности ее границы, а не объемом ее внутренней части. Однако их великое прозрение заключалось в следующем: если максимальная энтропия определяется площадью поверхности границы, нам нужно представлять, что вся информация хранится на этой границе. Иными словами, если я хочу описать физику внутри некоторого объема в трехмерном пространстве, я мог бы с равным успехом закодировать все на границе этого объема — на двумерной поверхности, которая его окружает.

Давайте на миг задумаемся об этом. Сасскинд и Хоофт утверждают, что вы можете найти всю информацию, которая вам когда-либо понадобится, на той поверхности, которая окружает интересующее вас пространство. Это все равно что сказать: настоящее содержимое любой посылки всегда можно найти на ее упаковке. Представьте такую посылку, доставленную к вашей входной двери, — возможно, даже самим Хоофтом. Когда вы снимаете оберточную бумагу, то обнаруживаете книгу: «Фантастические числа и где они обитают». Вы заглядываете в оглавление: почему у Грэма есть какое-то число? Что вообще такое TREE(3)? Отложив книгу, вы берете оберточную бумагу и бросаете ее в мусорную корзину. Но потом вы кое-что замечаете: эта бумага не пустая, а исписана мелкими буквами. Если вас не подводят глаза, то на ней те же слова, что и в «Фантастических числах». Вся информация из посылки хранится на ее упаковке — на границе занимаемого пространства.

Проведем другую, более точную аналогию. Представьте, что вам на Рождество подарили коробку лего, но не простого, а планковского. В ней огромное количество черных и белых кирпичиков, каждый из которых невероятно мал: размер его сторон равен планковской длине (примерно 1,6 × 10^–35). В коробке есть также набор инструкций по сборке вселенной лего. Вы начинаете собирать, и довольно быстро у вас появляется вселенная, подобная той, что показана на следующем рисунке.

^{Вселенная лего}

Это просто маленькая конструкция в виде куба со стороной в восемь кирпичиков со случайным черно-белым рисунком. Согласно гипотезе Хоофта и Сасскинда, мы должны уметь закодировать на границе этой вселенной все, что нам нужно знать о ней. Граница состоит из шести граней, на каждой из которых 64 квадрата — всего 384 квадрата. Поскольку у нас есть два возможных цвета, мы можем закодировать до 2³⁸⁴ различных рисунков. Однако возникает проблема. Если вы точно так же учтете внутреннюю часть, то всего в ней 8 × 8 × 8 = 512 кирпичиков, и поэтому существует 2⁵¹² возможных вариантов их расстановки. Как 2³⁸⁴ возможных рисунка могут закодировать 2⁵¹² вариантов? Истина в том, что не могут. Если Хоофт и Сасскинд правы, то внутри куба должны иметься расстановки, которые не могут существовать: им в принципе запрещено существовать. Что мешает им осуществиться? Что налагает этот запрет? Это может быть только гравитация.

Помните: именно гравитация нарушала энтропийные традиции. Именно она, черные дыры и неожиданный закон площадей привели Хоофта и Сасскинда к мысли, что вся информация может храниться на границе. И поэтому именно гравитация должна мешать вам упаковать один бит информации в каждый планковский кирпичик. В итоге у нас есть два эквивалентных описания нашей вселенной лего: внутренняя часть с расстановками, запрещенными гравитацией, и граница со всеми возможными вариантами — без запретов и, следовательно, без гравитации. Это просто два разных способа описания одной вещи. Когда англичанин увидит тарелку с тефтелями, он назовет их meatballs, а испанец скажет albóndigas. Оба человека описывают одно и то же, но на разных языках. Так и с нашей физической Вселенной. Вы можете либо описать ее с помощью теории пространства трех измерений и силы гравитации, либо использовать другую теорию, привязанную к двумерной границе пространства и без какой-либо гравитации. Как только мы начинаем работать с этой пограничной картиной, мы начинаем считать лишнее пространственное измерение иллюзией. В реальности оно вам не нужно, потому что теория границы охватывает все. В некотором смысле граница и есть всё.

Я понимаю, что это может вас огорчить. Как вы можете ощущать три измерения пространства, если существует идеальное физическое описание, в котором их всего два? Все дело в том, как вы декодируете информацию. На самом деле это тесно связано со способом декодирования голограммы. Итак, как это происходит? Предположим, вы хотите сделать простую голограмму плюшевого медвежонка. Сначала вам нужен лазерный луч, дающий чистый свет одного цвета. Затем он разделяется на два дочерних луча: один падает на медвежонка и рассеивается, а другой отражается от зеркала. Эти два луча возвращаются к фотопластинке с высоким разрешением. Поскольку на один луч игрушка воздействовала, а на другой нет, гребни и впадины двух волн не обязательно приходят в идеальное согласие. Любое несовпадение фиксируется на пластинке посредством интерференционной картины из светлых и темных полос.

^{Как создать и декодировать голограмму}

С подобными идеями мы сталкивались в главе «Гуголплекс», когда обсуждали двухщелевой опыт Юнга. Сейчас детали иные, но ключевой принцип тот же: если два гребня приходят согласованно, вы получаете конструктивную (усиливающую) интерференцию и более светлую полосу; а если в момент появления гребень складывается со впадиной, получается деструктивная (ослабляющая) интерференция и вы видите более темную полосу. Теперь вы можете считать это изображение светлых и темных полос различной интенсивности двумерным кодом трехмерного объекта, однако вам все равно придется проделать определенную работу, чтобы декодировать его. Если вы просто посмотрите на интерференционную картину на фотопластинке, то не увидите ничего интересного. Чтобы оживить изображение, вы направляете на него другой луч того же света и превращаете двумерную информацию в трехмерное изображение исходного плюшевого мишки.

Блеск голограммы в том, что она позволяет создать код для трехмерного изображения на двумерной пластине. Грубо говоря, вы можете считать плотность светлых и темных полос изображением глубины по недостающему измерению. Иными словами, плотная темная полоса кодирует какое-то расстояние по перпендикуляру близко к пластине, а более светлая изображает что-то более далекое. Голограммы Хоофта и Сасскинда сохраняют недостающее измерение весьма схожим образом. Вы ощущаете три измерения, а не два, поскольку именно так ваш мозг предпочел декодировать светлые и темные полосы. Он решил представлять их как третье пространственное измерение и немножко гравитации.

Предположение Хоофта и Сасскинда обычно называют голографическим принципом. Чтобы по достоинству оценить его, на самом деле нам следует говорить о нем на языке теории относительности и квантовой механики. Иными словами, нам в действительности следует говорить о квантовой гравитации в четырехмерном пространстве-времени и о квантовой голограмме на его трехмерной границе (с двумя пространственными измерениями и одним временным). Мы также можем представить применение этих голографических правил ко множеству других Вселенных, включая те, которые выглядят совершенно не так, как наша. Это чисто гипотетические миры, которые сплющены и искривлены удивительным образом и могут даже включать дополнительные пространственные измерения помимо тех трех, которые мы обычно представляем. Но каким бы ни было пространство-время в этих мирах, мы можем попробовать сыграть в нашу голографическую игру. При этом вы ожидаете получить два эквивалентных описания одной и той же физики: мир с более высоким числом измерений и гравитацией и мир, где есть граница с меньшим числом измерений, а гравитация отсутствует. Например, в мире с шестью пространственными измерениями и одним временным можно говорить о гравитации в семимерном пространстве-времени и о голограмме, существующей на его шестимерной границе. Суть в том, что всякий раз, когда вы размышляете о гравитации, вы можете думать о голографическом принципе.

Нет никаких сомнений: работу Хоофта и Сасскинда следует считать революцией в нашем понимании квантовой гравитации. Она позволяет переформулировать старые проблемы на новом, улучшенном голографическом языке. Пример — информационный парадокс. Возможно, вы помните его из главы «Число Грэма». Хокинг был убежден, что черные дыры теряют информацию, а значит, нарушают фундаментальные квантовые законы. Но если учесть голографию, то понятно, что это не так. Причина в том, что должен существовать способ закодировать образование и испарение черной дыры на границе пространства. Поскольку это альтернативное описание с уменьшенным количеством измерений не включает никакой гравитации, мы представляем его с помощью гораздо более простой квантовой теории. Это соответствует квантовому танцу заряженных частиц, на которые действуют обычные простые силы, подобные тем, что обнаруживаются в молекулярных взаимодействиях или ядерной физике. Чтобы голография имела смысл, эта квантовая теория для границы должна быть математически последовательной и физически корректной. Когда вы описываете события на этом альтернативном языке, ничто не должно давать сбоев или ломаться, и поэтому никакая информация не должна теряться. Конечно, это рассуждение работает только в случае, если голография реальна.

Так что, голография реальна?

Это вопрос на миллион долларов. У нас нет никаких экспериментальных доказательств, что наш мир — голограмма. И даже если она существует, мы не уверены, на что она будет походить. Конечно, как осознали Хоофт и Сасскинд, черные дыры искушающе намекают на ее существование. Однако реальность голографии в нашем конкретном мире остается гипотезой. Но есть и другие миры, где голография фактически доказана.

Эти иные миры открыл Хуан Малдасена. Это современный гигант в мире физики, удостоенный множества наград профессор элитного Института перспективных исследований в Принстоне. За последние три десятилетия он внес непревзойденный вклад в наше теоретическое понимание гравитации и Вселенной. Я бы сказал, что в терминологии pound-for-pound Малдасена — величайший из ныне живущих физиков[81]. Сасскинд называет его Мастером.

В середине 1990-х Малдасена был еще новичком. Его репутация стала расти, когда он приехал из Буэнос-Айреса в аспирантуру Принстонского университета и начал работать над теорией струн и физикой черных дыр. Через год после отъезда из Принстона Малдасену вдохновило выступление российского физика Александра Полякова на международной конференции в Амстердаме. Поляков выдвинул предположение, что некоторые аспекты ядерной физики в четырех измерениях можно связать со струнами, двигающимися в пятимерном пространстве-времени. Молодой аргентинец обзавелся блестящими связями и через несколько месяцев произвел фурор в научной среде, опубликовав статью под названием «Предел больших N для суперконформных теорий поля и супергравитации»[82].

Не самое броское название, однако содержание статьи вызвало шок в научном сообществе. В этот момент восходящая звезда Малдасены превратилась в сверхновую. Он открыл голографический мир, в котором одно пространственное измерение было всего лишь иллюзией. Неважно, что этот мир сильно отличался от нашего. Важно, что он был достаточно прост с математической точки зрения и Малдасена мог точно продемонстрировать, как работает иллюзия. Теперь к голографии требовалось относиться всерьез. Открытие этого странного и чисто гипотетического мира стало шагом вперед в нашем понимании пространства и времени на самом фундаментальном уровне.

Мир Малдасены был не похож на все, что вы могли бы себе представить: экзотическая вселенная струн и квантовой гравитации, действующая в десяти измерениях пространства и времени, пять из которых особым образом искривлены, а пять — свернуты, как сфера. Для границы этого пространства-времени Малдасена дал другую теорию — теорию без гравитации, способную описать все, что происходило внутри. Важно то, что он показал, как и почему эти два описания должны быть действительно эквивалентными. Он также научился бегло говорить на обоих языках — «внутреннем» и «граничном» — и с помощью выдающегося американского физика Эдварда Виттена начал составлять «словарь» для них. Конечно, Хоофт и Сасскинд предполагали, что подобные голографические описания должны существовать, но дальше они не пошли. Они не смогли привести какой-нибудь пример и сказать: «Вот Вселенная с гравитацией, вот ее голограмма, а вот словарь, который вам нужен, чтобы перемещаться между ними». А вот Малдасена сумел это сделать. Хотя он знал о более ранних идеях Хоофта и Сасскинда, в центре его внимания находились не они. Теорию Малдасены с голографией связал Эд Виттен.

Эд Виттен — еще один гений, лауреат Филдсовской премии и один из ста самых влиятельных людей мира 2004 года по версии журнала Time. Его отец Луи был физиком-теоретиком, который обсуждал свои исследования с не по годам развитым ребенком, всегда разговаривая с ним как со взрослым. Несмотря на замечательную способность понимать работы отца, Эд в итоге отошел от физики. Он изучал историю в Брандейском университете в Массачусетсе, а затем писал статьи для The Nation и The New Republic в качестве политического обозревателя. Однако физика все же манила его. Поступив в магистратуру Принстонского университета и защитив диссертацию, Виттен впоследствии стал одним из основателей теории струн. «Все расчеты он производит только в уме, — признавалась его жена Кьяра Наппи, тоже физик. — Я заполняю расчетами целые страницы, прежде чем пойму, что делаю. Но Эдвард сядет только для того, чтобы определить знак минус или коэффициент два».

Голографический пример Малдасены известен как АдС/КТП-соответствие. Он демонстрирует двойственность: дает два эквивалентных описания одних и тех же физических явлений. С одной стороны такой двойственности находится мир АдС (сокращение от слова «антидеситтеровский») — искривленный многомерный мир, где в качестве фундаментальной силы присутствует гравитация. С другой стороны находится КТП (конформная теория поля), обнаруживающая особые математические свойства голограммы в пространстве меньшей размерности. С этой стороны двойственности гравитация отсутствует, однако весьма примечательно, что эта теория способна описывать точно такую же физику. Он делает это посредством невесомого вальса заряженных частиц, очень похожих на глюоны — частицы-переносчики сильного взаимодействия, склеивающие ядра атомов. Система является поистине голографической: вы можете представлять, что глюоны живут на границе этого пространства-времени, на внешней стене антидеситтеровского пространства.

В своей исходной статье Малдасена привел очень убедительные аргументы в пользу АдС/КТП-соответствия, однако не смог предложить строгого математического доказательства. Но время шло, и ученые раз за разом проверяли его утверждения. Некоторые физические величины можно точно вычислить для обеих сторон соответствия: с одной стороны, используя гравитацию и пространство-время, а с другой — с помощью голограммы. Результаты всегда совпадали, и теперь уже нет сомнений: АдС/КТП-соответствие действительно можно считать конкретным примером голографического принципа в действии. Теперь мы можем вообразить миры — пусть даже искривленные антидеситтеровские, — в которых с помощью голографического трюка легко убрать гравитацию и одно пространственное измерение.

Но как насчет нас? Действительно ли мы существуем внутри голограммы? Этот вопрос гораздо сложнее. Мы живем не в пятимерном антидеситтеровском пространстве, поэтому не можем напрямую апеллировать к магии Малдасены. Однако черные дыры в нашей Вселенной творят забавные вещи. Их энтропия растет пропорционально площади границы, а не объему. Кажется, что информация должна храниться на горизонте событий, а не внутри черной дыры. Как будто наш мир сообщает нам, что он голографичен, но держит эту голограмму в секрете, по крайней мере сейчас. Если у нас есть голограмма, вы ощущаете гравитацию и определенные пространственные измерения из-за странного способа, которым вы декодируете эту голограмму. Оглянитесь. Посмотрите влево и вправо, вперед и назад, вверх и вниз. Если наши голографические ожидания верны, одно из этих измерений может быть упаковано в нечто совершенно иное. В тот момент, когда мы освобождаемся от гравитационных запретов, нам больше незачем говорить о трех измерениях пространства. Нас вполне устроят и два.

Это напоминает мне аллегорию пещеры Платона и прикованных узников внутри нее. За спинами людей горит костер, а они смотрят на тени, появляющиеся на стене. Для них эти тени — всё: их развлечение, их уплощенное восприятие всего существующего. Однако Платон утверждал, что с помощью философии и мышления узники могут освободиться от своих цепей. Они могут видеть больше, чем тени, отбрасываемые куклами. Но сейчас я думаю, что Платон недооценивал тени. В голографическом мире они так же реальны, как и куклы.

Голографический принцип — самая важная идея, возникшая в физике за последние тридцать лет. Она привела к прорыву в нашем понимании силы гравитации, разрешению информационного парадокса черной дыры и глубокому пониманию природы квантовой гравитации. Она помогла нам лучше понять микроскопические объятия кварков и глюонов, когда они соединяются в субатомном мире. Более того, она бросила вызов нашему восприятию реальности, нашему представлению об окружающем нас пространстве. Она побудила нас задаться вопросом, существует ли оно на самом деле или это просто иллюзия.

Для нас эта иллюзия — наследие левиафанов, самых больших и величественных из наших фантастических чисел. С помощью гуголплексианских двойников, смерти от превращения головы в черную дыру, числа TREE(3) и недостижимого завершения Игры деревьев мы рассказали историю энтропии и квантовой механики, гравитации и таинственной физики черных дыр, этих космических темниц. Те же идеи и концепции лежат в основе голографической истины. Они отражают ужас избыточности числа измерений, альтернативной реальности, пойманной в ловушку на границе пространства. Мы — тени на стене.

Теперь, когда мы наконец переходим от великого к малому, от больших чисел к маленьким, вы должны ожидать неожиданного. Маленькие числа станут намекать на симметрию и красоту, но в итоге оставят нас в отчаянии. Вам следует приготовиться к рассказам о Вселенной, которая не должна была существовать, которая должна была уйти в небытие в момент своего рождения. Наша Вселенная. Наша неожиданная Вселенная. Не могу говорить за вас, друзья, но меня это беспокоит больше, чем тени. Меня беспокоит мысль, что все, что я знаю, никогда не должно было существовать: я, моя семья, мои самые близкие друзья. Эта книга никогда не должна была появиться, но все же вы читаете ее прямо сейчас, в момент, который мог никогда не наступить.