Удивительные числа Вселенной

Георг Кантор сильно похудел, пальто тяжело свисало с немощного тела. Лицо стало невыразительным. Когда-то он был яркой и внушительной фигурой, которой придавали силу интеллект и стремление к собственной математической мечте. Однако на последней сохранившейся фотографии, сделанной в Галле в 1917 году, это незаметно. К тому времени уже три долгих года бушевала Первая мировая война, немецкий народ голодал. В стране был неурожай, а военные корабли союзников не давали импортировать продовольствие. Некоторым немцам удавалось пополнять свой рацион за счет сельского хозяйства или черного рынка. Но не Кантору. После маниакальной депрессии его поместили в психиатрическую клинику — Nervenklinik в Галле. Поскольку продовольственные пайки в немецких учреждениях составляли вдвое меньше нормы, а уровень смертности удвоился, он постоянно писал жене, умоляя забрать его домой. Она не могла исполнить это желание, и 6 января 1918 года Георг Кантор, ослабленный недоеданием, умер от сердечного приступа.

Последние годы Кантора были осложнены психическими заболеваниями, личной трагедией и профессиональным истощением. Но, несмотря на пережитые падения, он поднялся выше всех. Он осмелился вообразить невообразимое, достигнув небес, чтобы посмотреть на небесные числа — бесконечности. Кантор увидел не только бесконечность на краю царства конечных чисел, но и более высокие, находящиеся далеко за пределами земного понимания. Благодаря его идеям мы теперь знаем, что существуют бесконечности, которые настолько велики, что математически недоступны для других, меньших. Другими словами, за царствами бесконечности лежат другие царства бесконечности.

Чаще всего бесконечность изображается в виде «пьяной» восьмерки ∞, лежащей на боку после того, как перебрала. Этот символ ввел в 1655 году англичанин Джон Валлис; иногда его называют лемнискатой, что означает «ленты»[152]. Но эта конкретная бесконечность — не число, она представляет собой границу, идею вечного продолжения, ad infinitum[153], предел, который вы можете надеяться когда-нибудь достичь. Но, как показал Кантор, бесконечные числа существуют, и их бесконечно много. Они так же реальны, как пять, сорок два или даже гугол. Просто они существуют не в конечном мире — они трансфинитны. Это чудовищные алефы и могучие омеги, и есть даже число под названием йети.

Начнем с нескольких вопросов.

Когда речь идет о бесконечности, интуитивная ясность редка. Это, безусловно, справедливо по отношению к отелю Гильберта, названному в честь великого немецкого математика Давида Гильберта, который предложил эту идею более века назад. В отеле Гильберта есть бесконечное количество номеров, а это означает, что, даже когда он полон, управляющий может принять столько новых гостей, сколько ему понадобится. Чтобы понять, как он это делает, пронумеруем комнаты: 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. Когда появляется новый гость, управляющему нужно всего лишь переместить всех жильцов отеля в комнату со следующим номером: семья из комнаты номер 1 переезжает в комнату номер 2, пара из комнаты 2 переезжает в комнату 3, бизнесмен из комнаты 3 переезжает в комнату 4 и т. д. Из-за бесконечности числа комнат этот процесс никогда не прервется, все старые жильцы останутся в отеле, а новый гость может поселиться в комнату 1, которая освободилась в начале этой цепочки. Управляющий не станет паниковать, даже если столкнется с бесконечным количеством новых гостей. Он просто переведет всех в комнаты с удвоенным номером. Старые посетители теперь занимают комнаты с четными номерами, а комнаты с нечетными освободились для новых гостей. В отеле Гильберта всегда есть места.

По собственному признанию, Давид Гильберт был «скучным и глупым мальчиком», который не производил впечатления в школе; однако он стал одним из самых влиятельных мыслителей в новейшей истории. Его работы легли в основу большей части современной математики и физики — от логики и теории доказательств до теории относительности и квантовой механики. Но, возможно, больше всего он известен благодаря опубликованному им в 1900 году списку из двадцати трех нерешенных математических задач, который оказал огромное влияние на исследования последнего столетия. Первая из задач, гипотеза континуума, — это проблема бесконечности, первоначально предложенная Кантором. На сегодня только восемь задач Гильберта имеют решения, которые полностью приняты математическим сообществом. Как мы увидим позже, гипотеза континуума в их число не входит.

Первые письменные упоминания о бесконечности восходят к VI веку до нашей эры — к Древней Греции и философским трудам Анаксимандра. Анаксимандр — представитель милетской школы, который, возможно, обучал Пифагора[154]. Хотя большая часть его трудов с годами была утеряна, в нескольких сохранившихся фрагментах он говорит о бесконечности как об апейроне. Слово апейрон (ἄπειρον) буквально переводится как «бесконечное, беспредельное». Анаксимандр пытался понять происхождение всех вещей. Он представлял себе апейрон бесконечным и неистощимым супом, из которого все рождается и куда возвращается после окончательного разрушения. Для древних греков это казалось не красотой, а хаосом. Это были не небеса, а бездна.

Бесконечность и ее бесконечно малый родственник лежат в основе парадоксов Зенона Элейского. Возможно, вы помните Зенона — философа, организовавшего заговор против тиранического правления Неарха. Его схватили и убили, но он успел откусить часть тирана, которого отчаянно пытался свергнуть. В главе «Ноль» мы обсуждали парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе, когда быстроногий воин не может обогнать медленно двигающуюся рептилию. В другом парадоксе, так называемой дихотомии, Зенон задает очень простой вопрос: как вы вообще пересекаете комнату? На первый взгляд вопрос кажется абсурдным, но философ предложил рассуждение, бросающее вызов нашим повседневным иллюзиям. Представьте то место, где вы сидите и читаете эту книгу. Чтобы выйти из комнаты, вы должны сначала достичь середины пути от вас до двери. Но чтобы пройти половину пути, вы должны сначала пройти четверть пути; чтобы добраться до четверти, вам нужно сначала преодолеть одну восьмую часть пути. Вы можете продолжать эту последовательность до бесконечности, пока, подобно Зенону, не начнете верить, что движение невозможно.

Этот парадокс демонстрирует тонкое различие между бесконечно малым числом и нулем. Трюк Зенона породил последовательность рациональных чисел: ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ¹/₁₆…

Возьмите любое сколь угодно малое положительное число. Если мы достаточно далеко продвинемся по последовательности Зенона, то за конечное число шагов сможем добраться до еще меньшего числа. Однако на самом деле мы никогда не достигнем нуля, как уверяет нас Зенон. Ноль — это предел этой последовательности, но не ее часть. Как размышлял Аристотель столетие спустя, мы можем осознать потенциальную возможность для реализации бесконечного количества шагов, но никогда не сможем реализовать их на самом деле. Он считал, что бесконечность можно держать в уме, но не в руке. Согласно Аристотелю и его последователям, потенциальная бесконечность была реальной, а актуальная — нет.

Так получилось, что древние греки не питали особого интереса к апейрону. Когда Платон описывал наивысшую идею Блага, он объявил его конечным и определенным, не запятнанным хаосом бесконечности. Но по мере того, как греки начали терять свое интеллектуальное превосходство, бесконечность стала развиваться. В начале III века античный философ Плотин связал бесконечность с высшей сущностью, которую он назвал Единым. Единое понималось как нечто, находящееся за пределами деления и умножения, как божественная бесконечность, существующая без предела. Спустя два века эта идея резонировала с мыслями святого Августина о христианском Боге. К тому времени мощь Рима рухнула, и многие винили в этом обращение к новой религии. Августину поручили написать несколько книг, пропагандирующих христианство и доказывающих его превосходство над старой римской идеологией. Именно в этих книгах он коснулся бесконечности, сделав вывод о ее существовании в разуме Бога. Августин осознавал, что у чисел не может быть предела, ведь если бы мы объявили, что существует какое-то наибольшее число, то к нему всегда можно добавить единицу. Поскольку не может существовать число, о котором Бог бы не знал, он должен знать все числа. Он способен мыслить о бесконечности.

Связь между Богом и бесконечностью можно найти во многих других религиозных контекстах. Например, в еврейском мистицизме каббалисты говорили о десяти сфирот и лежащем в их основе Эйн Соф. Все сфирот представляли отдельные аспекты божественного тела, а Эйн Соф было чем-то большим, бесконечным Богом, не поддающимся описанию и пониманию. Точно так же в индуизме бога Вишну иногда называют Ананта: это санскритское слово означает «бескрайний» или «беспредельный». Также это слово может означать бесконечность.

К XIII веку в западном мире начали возрождаться древние идеи Аристотеля, включая отрицание актуальной бесконечности. В результате большинство средневековых мыслителей не хотело заходить так далеко, как Августин, и признавать способность Бога создавать бесконечности за пределами его собственного существования. Самым известным из них был Фома Аквинский, который утверждал, что эти пределы не накладывают ограничений на силу Бога. Он полагал, что дополнительные бесконечности не могут существовать в реальности, как и утверждал Аристотель, поэтому их создание Богом было бы логически несостоятельным действием. Несмотря на свою неограниченную силу, Бог не мог сделать что-то бесконечным, как не мог сделать что-то несотворенным. Это рассуждение внешне выглядит элегантно, но при ближайшем рассмотрении мы видим, что оно зациклено. Оно начинается и заканчивается одной и той же идеей: существовать могут только конечные вещи.

Теология постепенно уступала место современным научным идеям, но мало кто имел желание бросить вызов бесконечности. Многие математики эпохи Возрождения пытались использовать потенциал бесконечности в духе Аристотеля, но не осмеливались прикасаться к ней. Они довольствовались тем, что приближались к бесконечности, рассматривая всё большие числа, но никогда не спрашивали о самой бесконечности.

Но Галилей был другим.

Он уже расстроил власть раньше. В своем «Диалоге о двух главнейших системах мира» Галилей выступил против католической церкви, приводя доводы в пользу коперниканского мировоззрения — с Солнцем в центре и Землей на периферии. Его книга организована в форме разговоров между тремя людьми: это ученый Сальвиати, пытающийся убедить друзей в гелиоцентрической модели; отсталый простак Симпличио, которого многие считали изображением папы; и нейтральный обыватель Сагредо. Инквизиция во главе с племянником понтифика, кардиналом Франческо Барберини, быстро отреагировала на оскорбление. Галилею приказали явиться в Рим и предстать перед судом за ересь.

К счастью, у великого ученого имелись влиятельные друзья. В защиту Галилея хотел выступить великий герцог Тосканы, и ему даже предложили убежище в Венецианской республике. Возможно, из-за самонадеянности или наивности Галилей отклонил все эти предложения и решил защищаться перед инквизицией. Он полагал, что покойный кардинал Беллармин дал ему разрешение опубликовать эти идеи, и даже имел подтверждающее письмо. К сожалению, детали не совсем соответствовали копии письма, хранившейся в Ватикане. Вскоре инквизиция признала его виновным и потребовала, чтобы ученый отказался от своей работы под угрозой пыток и смерти. Говорят, когда Галилей преклонил колени, отвергая коперниканскую точку зрения, он с вызовом пробормотал: «E pur si muove. А все-таки она вертится»[155].

Галилей провел остаток жизни под домашним арестом, написав в это время свой последний шедевр — трактат «Беседы и математические доказательства двух новых отраслей науки». В этой работе он развил свои идеи о движении, создав фундамент, на котором другие ученые — от Ньютона до Эйнштейна — в конце концов возвели башню современной физики. Именно в этой последней книге Галилей отважился прикоснуться к бесконечности. Как и ранее, его труд имел вид беседы между теми же персонажами, хотя на этот раз, после судебного процесса, Симпличио оказался несколько умнее, чем раньше.

В тексте Галилея Сальвиати предлагает двум друзьям подумать о бесконечном семействе квадратных чисел. Симпличио, связанный узлами Аристотеля, недоволен безрассудным отношением Сальвиати к бесконечности. Однако Сагредо побуждает его продолжать, и вскоре Сальвиати приходит к парадоксу. Если вы возьмете все целые числа от 0 до 15, то увидите, что только четыре из них — квадраты: 0, 1, 4 и 9. А если вы возьмете целые числа от 0 до 99, вы обнаружите, что только десять из них — квадраты. Если мы экстраполируем эту ситуацию на бесконечность, возникает соблазн сказать, что целых чисел гораздо больше, чем квадратов. В конце концов, каждое квадратное число — одновременно и целое, а вот обратное неверно.

Вот только сейчас мы имеем дело с бесконечностью, а бесконечность кусается.

Сальвиати понимает, что каждый квадрат можно сопоставить с квадратным корнем из него. Например, 0 → 0, 1 → 1, 4 → 2, 9 → 3 и т. д. При таком методе мы можем превратить семейство квадратных чисел в семейство натуральных: 0, 1, 2, 3 и т. д. Дело в том, что соответствие между двумя этими семействами взаимно однозначно: каждому квадрату соответствует натуральное число, определяемое квадратным корнем из него, и каждому натуральному числу соответствует квадрат. Это должно означать, что семейства имеют одинаковый размер! Это верно, но Сальвиати не хочет поспешно делать такой вывод и предпочитает говорить о двусмысленности: он решает, что к бесконечным количествам неприменимо любое сравнение — больше, меньше или равно. Но на самом деле такие сравнения вполне можно проводить, если придерживаться определенного набора правил. Мы говорим о равенстве всякий раз, когда существует взаимно однозначное соответствие между семействами, или множествами, как позже станут их называть. Может показаться нелогичным, когда бесконечное семейство сопоставляется только с какой-то частью себя, а не со всем семейством, но это не приводит к математическим авариям. Вот почему мы можем сказать, что натуральных чисел ровно столько же, сколько и четных, или квадратов, или степеней числа TREE(3).

Только через двести лет после этих галилеевских оккультных занятий бесконечностью стали появляться люди, обладавшие достаточной смелостью или глупостью, чтобы идти по этому пути. Предупреждения держаться подальше от таких оккультных практик исходили от самого высокого авторитета — Карла Фридриха Гаусса, прозванного королем математиков, Princeps Mathematicorum. В своем письме соотечественнику Генриху Шумахеру в 1831 году Гаусс предупреждал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто законченное. Бесконечность — всего лишь façon de parler[156], когда на самом деле говорят о пределах, к которым одни соотношения подходят сколь угодно близко, а другие могут расти без ограничений». Однако один католический священник из Праги, лишенный всех своих постов, думал иначе. Его звали Бернард Больцано.

Больцано был сыном итальянского торговца произведениями искусства, набожного католика, тоже носившего имя Бернард. Отец использовал свое состояние, чтобы помогать бедным; он основал сиротский приют в Праге, куда приехал жить. Эти поступки оказали огромное влияние на Больцано, который значительную часть своей взрослой жизни боролся за справедливость и равенство. А еще он боролся с бесконечностью.

По собственному признанию, Больцано был угрюмым больным ребенком, с нарушениями зрения и сильными головными болями. В школе он не выделялся в учебе и не имел популярности у сверстников. У других людей такая изоляция могла бы привести к замкнутости, но ему она, похоже, дала независимость мышления и редкую способность бросать вызов устоявшимся представлениям. В юности Больцано получил степень доктора богословия и вскоре после этого был рукоположен в католические священники. Он быстро заработал репутацию свободомыслящего христианского философа и в двадцать четыре года получил должность заведующего кафедрой истории и философии религии в Карловом университете в Праге. Больцано никогда не разделял христианский мистицизм, а свою веру оправдывал моральными соображениями, помогая прийти к добру в обществе, испорченном жестокостью и лишениями. В то время Прага находилась под сильным влиянием религиозного консерватизма, и в последующие годы он, подобно Галилею, перестал устраивать власть. Больцано проповедовал своим ученикам пацифизм и своеобразную форму социализма. Это в основном оставалось незамеченным, пока видный богослов Якоб Фринт, духовник императора в Вене, не предложил Больцано использовать в преподавании свою новую книгу. Больцано отказался: на его взгляд, книга была неполной и слишком дорогой для студентов. Обиженный Фринт начал настраивать людей против Больцано, указывая на радикализм проповедей и отказ принять консервативные христианские ценности. Больцано пользовался поддержкой друга, архиепископа Праги, но кампания против него продолжалась. Он придерживался своих убеждений и по-прежнему выступал против войны, частной собственности и богемских властей, и в конце концов произошло неизбежное: его уволили и попросили покинуть университет. Тогда Больцано было чуть за сорок. Уехав из Праги в деревню, он отвернулся от религии и обратился к математике — к бесконечности.

Он задал себе простой вопрос: если бы он держал в руке бесконечность, что бы это было? Гаусс и другие объявляли ее изменчивой сущностью, переменной величиной, которая растет и растет, никогда не останавливаясь, не достигая своего предела. Больцано отверг это: переменное количество — вовсе не истинное, а только идея количества. Этого недостаточно, это все равно что сказать, что у вас x яиц в корзине даже после того, как вы их уже пересчитали!

Больцано осознал, что семейство натуральных чисел — подлинный объект, актуальная бесконечность, которую он мог использовать для количественной оценки других бесконечностей. Он понял: всё, что можно взаимно однозначно сопоставить с этим семейством, тоже должно быть актуальной бесконечностью. Чтобы выразить это строже, он начал развивать идею множества. Множество — просто совокупность каких-то объектов, например «четыре всадника Апокалипсиса» или «команды, которые играют в Премьер-лиге». Это примеры конечных множеств: в Библии описано четыре всадника Апокалипсиса, а в Премьер-лиге играют двадцать команд. Но Больцано был готов рассматривать и бесконечные множества, например множество натуральных чисел или действительных чисел от нуля до единицы. Он был убежден, что эти объекты реально существуют. Не имело значения, что вы не могли разделить их и вообразить себе все их отдельные части. Как замечал Больцано, разумно говорить о множестве людей, живущих в Праге, не имея мысленного представления о каждом отдельном человеке. Аналогичную логику он применил и к своим бесконечным множествам.

Больцано начал играть на своей бесконечной игровой площадке. Двумя веками ранее Галилей открыл парадокс, продемонстрировав взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством квадратов. Но Больцано пошел дальше. Он обратился к континууму и обнаружил собственный парадокс: чешский математик показал, что между 0 и 1 находится столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2. Он сделал это примерно так. Математик начал с меньшего интервала от 0 до 1 и удвоил каждое число. Например, 0 → 0, 0,25 → 0,5, 0,75 → 1,5, 1 → 2 и т. д. Это дало ему новое множество чисел, которое заполнило все пространство между 0 и 2. Он также понял, что может обратить эту процедуру: перейти от большего интервала к меньшему путем деления каждого числа пополам. Все это может показаться очевидным, однако Больцано создал простое взаимно однозначное соответствие между двумя континуальными множествами — точно так же, как это сделал Галилей со множеством натуральных чисел и квадратов. Используя логику взаимно однозначного соответствия, мы можем утверждать, что между 0 и 1 имеется столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2, или 0 и числом TREE(3), или даже между гуголом и числом Грэма.

Галилей не стал говорить, что его бесконечные множества одинаково велики, хотя это и верно. Больцано был настолько же осторожен со своими континуумами. Хотя взаимно однозначное соответствие заставляло предположить, что между 0 и 1 находится столько же чисел, сколько между 0 и 2, он не мог в это поверить. Именно эти сомнения и помешали ему пойти дальше. Больцано умер до того, как на его работу всерьез обратили внимание. Тем временем в схватку за бесконечность вступили другие видные математики, и к середине XIX века почва была уже подготовлена. Галилей и Больцано рискнули прикоснуться к бесконечности, но небес достиг Георг Кантор. Он поднялся и пошел посреди бесконечного так, как никто и представить себе не мог.

«Посему не судите никак прежде времени, пока не придет Господь, который и осветит скрытое во мраке»[157].

Эта фраза стоит в начале одной из последних публикаций Кантора, вышедшей в 1895 году. Она взята из Первого послания к Коринфянам, включенного в Новый Завет, и выдает веру Кантора в божественность своей задачи. Кантор полагал, что именно Бог привел его в этот бесконечный рай, в этот бесконечный ад. Именно Бог общался с ним, подарив ему алеф и омегу. Здесь есть даже отголоски Откровения: «Я есмь Альфа и Омега, начало и конец, первый и последний»[158].

Легко отмахнуться от этого как от религиозного бреда. Возможно, так и бывало, однако Кантор вдохновлялся своими религиозными поисками. Когда окружающие нападали на него за безрассудное отношение к бесконечности, называя шарлатаном и развратителем молодежи, Кантор стоял на своем, ободряемый верой. У него хватило мужества бросить вызов бесконечности, и он победил. Но он и проиграл. Размах собственных исканий измучил ученого, и он погрузился в глубокую депрессию, из которой потом уже не выбрался.

Кантор начал с того, что согласился с утверждением, которое так и не приняли полностью Галилей и Больцано: если у двух множеств есть взаимно однозначное соответствие, то они одинаковы по величине. В случае конечных множеств это не вызывает никаких споров. Возьмем, например, четырех всадников Апокалипсиса:

и другое множество, известное как Beatles:

Эти два множества легко сопоставить взаимно однозначно: например, Смерть соответствует Джону, Голод — Полу, Чума — Джорджу, а Война — Ринго. В таком способе сопоставления нет ничего особенного — с равным успехом мы могли бы сопоставить Смерть и Пола, Голод и Джона. Важно то, что каждому всаднику соответствует отдельный участник группы и наоборот: никто не остается без пары. Все это прекрасно работает, потому что Beatles и четыре всадника Апокалипсиса — явно множества одного размера. Как мы уже видели, в случае бесконечных множеств все несколько сложнее. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством квадратных чисел и множеством целых, хотя первое выглядит меньше. Однако Кантор понимал, что видимость иногда обманчива, особенно когда речь идет о бесконечности.

Математика — игра, в которой вы устанавливаете собственные правила, и, пока они не сталкиваются с какими-либо логическими несоответствиями, вы всегда можете действовать. Кантор определил размер множества через его мощность, или кардинальное число. Beatles и всадники Апокалипсиса — это множества, имеющие мощность 4, потому что мы можем взаимно однозначно сопоставить их элементы и первые четыре натуральных числа {0, 1, 2, 3} (помните: большинство математиков предпочитают начинать отсчет с нуля).

Множество команд Премьер-лиги имеет мощность 20, потому что мы можем сопоставить их с первыми двадцатью натуральными числами {0, 1, 2, 3, …, 18, 19}. А как насчет наших бесконечных множеств? Из-за наличия взаимно однозначного соответствия Кантор понял, что множество всех квадратов {0, 1, 4, 9…} должно иметь такую же мощность, что и множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3…}.

Но сколько там чисел? Какова мощность этого множества?

Это не 4, не 20 и даже не TREE(3). Это должно быть нечто большее, нечто более бесконечное. Кантор решил назвать его алеф ноль — , взяв первую букву еврейского алфавита. Ноль в индексе намекает, что это только первая наша бесконечность — дальше их будет еще много. Пока же наберитесь терпения. Если эту первую бесконечность определить как мощность множества натуральных чисел, то благодаря взаимно однозначному соответствию она также будет мощностью множества всех квадратов, четных чисел, чисел, кратных числу Грэма, степеней числа TREE(3). С помощью замечательного математического трюка Кантор показал, что такова же и мощность множества рациональных чисел — тех, которые можно записать в виде отношения двух целых чисел.

Посмотрим, как он это сделал.

Кантор начал свое доказательство, выписав все дроби в определенном порядке.

Если продолжить эту таблицу во всех направлениях, она будет включать все рациональные числа. Конечно, в ней окажется много повторов, но мы с этим справимся. Вопрос в том, можем ли мы взаимно однозначно сопоставить все различные числа в этой таблице со множеством целых чисел? Для начала вы можете попробовать сделать это для одной строки, сопоставляя последовательно дроби и целые числа. Например, если вы возьмете вторую строку, то напишете следующее:

Но эта стратегия не работает: вы не сможете перейти к другой строке, поскольку все целые числа уйдут на эту. Кантор придумал гораздо более удачную идею. Он решил идти по таблице змейкой, постепенно продвигаясь вдоль диагонали и пропуская при этом повторяющиеся числа (выделены серым).

Это действительно удивительно умная идея. Стратегия Кантора никогда не подведет, и по мере движения по таблице каждая дробь сопоставляется с каким-то натуральным числом. Итак, доказано, что мощность рациональных чисел равна .

Понятие мощности множеств дает нам возможность говорить о числах. На самом деле мы говорим о кардинальных числах — вскоре мы встретимся с другим типом чисел. Кардинальные числа — способ сказать, сколько вещей у вас есть. Они включают в себя все конечные числа, например 0, 1, 2, 3, и, конечно, нашу первую бесконечность . Но можем ли мы пойти дальше? Можем ли получить число, которое больше, чем ?

Как насчет + 1?

Чтобы понять, что это, возьмем бесконечное множество резиновых уточек с бесконечным числом рисунков на них, по одной для каждого натурального числа:

Ясно, что их . Чтобы получить + 1, мы добавляем еще одну уточку, предположим белую. Неважно, куда мы ее поместим, — например, поставим в начало и сдвинем всех остальных на 1:

Сколько у нас сейчас уток? Каждой соответствует какое-то целое число, так что их должно быть . Иными словами, получается, что + 1 = . Странно. Как насчет + ? Для этого мы возьмем два бесконечных множества уток, каждое размером , но на этот раз пометим одно из них четными номерами:

а другое — нечетными:

Объединим два множества:

и получим, что + = . Все это немного странно. Мы видим то, чего не бывает с конечными числами. Но почему так? Потому что мы сейчас находимся в царстве бесконечности.

Я обещал вам больше бесконечностей, но, похоже, мы никак не можем пробиться через . Чтобы шагнуть дальше, нам сначала нужно определить некоторый порядок. До сих пор наши множества были организованы свободным образом. Например, мы говорили, что Beatles задаются множеством {Джон, Пол, Джордж, Ринго}; однако можно предположить, что их задает также и {Джон, Джордж, Пол, Ринго}. Никакой разницы, верно? Не обязательно. Все зависит от того, вводим ли мы какой-то порядок, придаем ли значение тому месту, где в множестве появляется каждый музыкант. В следующей версии множества — {Джон, Джордж, Пол, Ринго} — музыканты расположены в алфавитном порядке. Вы можете даже сказать, что и в первом варианте они были упорядочены — по таланту, хотя этот вопрос очень спорный (особенно для моей жены, которая утверждает, что Ринго — лучший, потому что он озвучивал мультфильм «Паровозик Томас»).

В тот момент, когда мы начинаем думать о порядке, мы меняем правила игры и числа могут приобретать дополнительный смысл. Рассмотрим число 4. Мы знаем, что можем думать о нем как о кардинальном числе, сообщающем нам, например, сколько было битлов. Однако мы также можем думать о нем как о ярлыке для четвертого места. В случае с Beatles мы могли бы напрямую связать его с Ринго, потому что он стоит четвертым по алфавиту. Когда мы делаем это, мы думаем о 4 как о порядковом числе (ординальном числе, или ординале): в этом случае нас заботит его положение на конвейерной ленте натуральных чисел. Разница между ординальными и кардинальными числами не особо важна, пока вы не выйдете за пределы царства конечности и не начнете играть с бесконечностью.

Удобный способ определить ординальное число — использовать множества. Мы касались этого в главе «Ноль». Мы начинаем с того, что под нулем подразумеваем пустое множество, единица — это множество, содержащее 0, двойка — множество, содержащее 0 и 1, тройка — {0, 1, 2} и т. д. На самом деле каждый ординал определяется как множество предшествующих ординалов, то есть n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}. Все это здорово, но как это приведет нас к бесконечности и дальше? Чтобы достичь бесконечности, нам нужно определить ординальное число, которое находится на один шаг дальше всех конечных ординалов. Для этого Кантору понадобились новое название и новый символ. Он черпал вдохновение в божественности своего поиска: «Я есмь Альфа и Омега».

Кардинальную бесконечность он обозначал алефом, а первой из его ординальных бесконечностей стала омега — ω. Если каждый конечный ординал определяется по правилу n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}, то естественно определить ω как бесконечный предел:

Иными словами, первая из наших ординальных бесконечностей есть не что иное, как множество натуральных чисел!

Берем еще выше.

Что идет после ω? Конечно, ω + 1. Если мы последуем выбранному правилу, это число, как и выше, определяется как множество ординалов, — иными словами, это множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху:

Мы использовали точку с запятой, чтобы указать границу между бесконечным списком конечных вкладов 0, 1, 2, 3… и трансфинитным вкладом от ω. Но это всего лишь обозначения, которые не особо важны. Важно то, что ω + 1 — не то же самое, что ω. Причина в том, что для ординалов важен порядок. Чтобы лучше понять это, вернемся к нашим уточкам, только теперь представим, что это настоящие утки и они соревнуются:

Черная уточка финиширует первой и немного раздражена тем, что ее наградили нулем. Впрочем, ноль — первое из натуральных чисел, так что особо жаловаться ей не стоит. Клетчатая уточка заканчивает гонку второй и получает второе натуральное число (1), полосатая занимает третье место и получает третье натуральное число (2) и т. д. Многоточия указывают на то, что в гонке участвует бесконечное количество уток и каждой из них присваивают какое-то натуральное число. Теперь предположим, что проводится другая гонка, в которой на одного участника больше: добавляется белая утка. Она довольно медлительна и пересекает финишную черту, когда все остальные уже закончили гонку. Картина выглядит примерно так:

Когда мы добавляли белую утку в нашем предыдущем рассуждении, нас не заботил порядок, поэтому мы просто посадили ее рядом с черной и передвинули всех остальных на единицу. В итоге мы показали, что + 1 = . Но теперь нам важен порядок, ведь это соревнование! Белая утка финишировала последней, позади всех остальных, так что ее нельзя просто поставить впереди. Какое число мы должны ей присвоить? Это не может быть ни одно из натуральных чисел, потому что все они израсходованы; следовательно, это должно быть следующее число из списка, то есть ω. Поскольку порядок имеет значение, ясно, что две наши гонки весьма различаются. Множество натуральных чисел — не то же самое, что множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху, иными словами, ω + 1 — не то же самое, что ω.

Мы можем продолжить восхождение. После ω + 1 идет ω + 2, снова определяемое в терминах порядковых номеров, которые были раньше:

Кажется, что мы дотянулись до небес, добравшись до новой лестницы: от ω + 2 к ω + 3 и т. д., пока не найдем новый уровень неба в ω + + ω. Обычно это записывают как ω × 2 и определяют как множество

Мы можем продолжать подъем ко все более высоким небесам, вплоть до ω × 3 и ω × 4 и т. д., пока не дойдем до предела ω × ω, который наиболее здравомыслящие люди называют попросту ω². Теперь мы достигли бесконечного количества уровней бесконечных небес. Но мы можем продолжать. Двигаясь так же, как и раньше, мы достигаем ω³, затем ω⁴ и в конце концов доходим до очередного предела — экспоненциально высокого неба, которое мы запишем как ω^ω.

Теперь включим ускорители.

После ω^ω мы можем представить восхождение все выше, и выше, и выше — к башне из степеней ω, которая имеет ω этажей высоты:

Как мы видели в главе «Число Грэма», такие башни удобнее записывать с помощью наших двойных стрелок, и мы получаем ω ↑ ↑ ω. Отсюда мы переходим к числу

затем к ω ↑⁴ ω и т. д., пока мы не достигнем еще одного исполинского предела, ω ↑^ω ω — небесного левиафана, подобно Богу возвышающегося над всем, что было прежде.

А помните, как вы думали, что число Грэма — это очень большое число?

Но мы еще не закончили.

Самое забавное, что ω + 1 на самом деле не больше ω; оно просто идет следующим. Мощность соответствующего множества ω + 1 = = {0, 1, 2, 3, …; ω} по-прежнему равна . Чтобы доказать это, вам просто нужно сопоставить элементы ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} с натуральными числами. Это просто: вы сопоставляете ω и 0; 0 и 1; 1 и 2; 2 и 3 и т. д. Точно так же подъем до ω + 1 или даже до ω ↑^ω ω приводит нас ко все более высоким бесконечностям, стоящим выше в списке, но не к большим бесконечностям. Все они имеют ту же мощность — алеф ноль, .

А потом это происходит.

На поистине невообразимой высоте Кантор показал, что должен существовать новый тип ординала, отличный от всего, что было прежде. Не очевидно, что он вообще должен существовать, но он существует. Кантор обнаружил, что большие бесконечности скрыты в континууме, во множестве всех действительных чисел, включающем рациональные, которые можно записать в виде дробей, и иррациональные числа, такие как √2, которые записать таким образом нельзя[159]. Математик продемонстрировал, что континуум находится за пределами нашего умения считать — один, два, три, четыре… Его мощность больше, чем алеф ноль.

Давайте спросим, сколько действительных чисел находится в континууме между 0 и 1. Понятно, что бесконечно много, но это алеф ноль или действительно что-то большее? Вот как это выяснял Кантор. Предположим, что континуум счетен и, следовательно, можно установить взаимно однозначное соответствие между числами из него и натуральными числами. Это значит, что мы можем записать все числа континуума в бесконечный список размера . Порядок не имеет значения, так что мы просто начинаем перечислять все числа от нуля до единицы в случайном порядке:

Чтобы доказать, что континуум больше , Кантор продемонстрировал, что этот список не может охватить все числа. Он выделил цифры, стоящие на диагонали:

Эти диагональные элементы образуют число 0,14585… Затем Кантор написал новое число, все цифры которого отличаются от этого числа на единицу. В нашем примере 0,14585… преобразуется в новое число 0,25696… Оно отличается от первого числа в списке, ведь у них разные первые цифры после запятой (по определению у нового числа первая цифра больше на 1). Оно отличается и от второго числа в нашем списке: у них разные вторые цифры после запятой. Оно отличается и от третьего числа — третьей цифрой после запятой. Фактически оно отличается от всех чисел из списка! Следовательно, невозможно уложить все числа континуума в список размера , поэтому за континуумом скрывается какая-то большая бесконечность, как и представлял себе Кантор.

Существует ли способ систематически конструировать эти большие бесконечности, чтобы пройти путь за пределы ? Ответ — «да». Мы уже построили огромную башню бесконечных ординалов, имеющих размер , от ω = {0, 1, 2, 3…} и ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} до ω ↑^ω ω и даже выше. Их иногда называют счетными бесконечностями, потому что каждая из них на самом деле представляет собой множество чисел, для которого можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел — тех, которые мы используем для счета. Но что находится за пределами этой башни? Какой ординал находится в одном шаге за пределами счетных бесконечностей? Это омега один, ω₁. По определению он не может быть счетным — для него нельзя установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Такой небесный гигант должен иметь новую мощность, новый размер: алеф один, . Эта бесконечность не просто выше. Она больше.

Как обычно, ω₁ определяется как множество предшествующих ему ординалов. Иными словами, это полное множество счетных величин — от конечных крохотулек до наибольшей из счетных бесконечностей. Но от ω₁ мы можем продолжить восхождение — к ω₁ + 1 и даже выше. И снова они не обязаны быть больше, чем ω₁, — они просто идут следом. Вдобавок ω₁ + 1 также имеет мощность , потому что можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством счетных величин. А затем появится очередной уровень — ординал, выходящий за рамки мощности . Это ω₂ — еще большее число с новой великолепной мощностью .

Полагаю, вам сейчас стало бесконечно тревожно из-за всего этого. В конце концов, даже бесконечность было трудно осознать, а теперь мы имеем дело с бесконечностями за пределами бесконечного, с чудовищными алефами и могучими омегами. Вот небольшая таблица, которая поможет вам собраться с мыслями.

Итак, Кантор вышел за пределы к более высоким уровням бесконечности, новым небесам и новым богам. Но в то время мало кто верил в его небесные искания. Наоборот, он был в аду, — по крайней мере, так считал математик Леопольд Кронекер. В середине XIX века Берлин стал центром математического мира, а Кронекер был одним из самых влиятельных университетских профессоров. Он был блестящим, но консервативным ученым. Кронекер говорил: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человеческих». Его ужасали иррациональные числа. Конечно, он понимал стоящую за ними математику, но не видел им места в мире природы. Они были «делом рук человеческих», фантазией нетребовательных шарлатанов вроде Кантора. Кронекер был наставником Кантора, его учителем и другом. Но когда Кантор переехал из Берлина на юг, в университет Галле, он избавился от консерватизма своего учителя. Он вышел за пределы целых чисел, в сторону континуума и новых уровней бесконечности, которые таятся в нем. Кронекеру это не нравилось.

Математики стали воевать друг с другом, и вскоре вражда стала личной. Кронекер регулярно оскорблял Кантора и мешал публикации его работ в серьезных журналах. Неважно, что идеи Кантора были обоснованными и замечательными, — у Кронекера имелось преимущество в положении: он работал в Берлине, а Кантор был профессором второстепенного университета. Больше всего Кантора терзало чувство несправедливости. Он понимал, что заслуживает большего, что его способности дают право на профессорскую должность в Берлине, но он также осознавал, что из-за пагубного влияния Кронекера этого никогда не произойдет.

По мере того как атаки продолжались, Кантор отчаивался все сильнее. В несуразной попытке нанести ответный удар он подал заявление на профессуру в Берлине. Хотя ученый знал, что у него нет шансов на успех, он был уверен, что обидит Кронекера, и этого было достаточно. Он сказал шведскому математику Гесте Миттаг-Леффлеру: «Я точно знал, что Кронекер вспыхнет, как ужаленный скорпионом, и со своими резервными войсками поднимет такой вой, что Берлин решит, будто его перетащили в африканские песчаные пустыни с их львами, тиграми и гиенами».

Друзей у Кантора было немного из-за угрюмого и взрывного характера, Миттаг-Леффлер стал одним из них. Годом ранее, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica, предоставив Кантору безопасное место для публикации его работ — вдали от интриг Кронекера. Когда Кронекер узнал об этом, он нашел способ отомстить бывшему ученику. Он написал шведу, спрашивая, может ли тот опубликовать в новом журнале статью Кронекера. Прослышавший об этом Кантор почувствовал очередную атаку: раз Кронекер надеется публиковаться в Acta, то только для того, чтобы дискредитировать его труды. Кантор отреагировал характерной вспышкой, написав Миттаг-Леффлеру гневное письмо, где грозил больше не посылать ему свои статьи. Отношения между Кантором и его другом испортились. Возможно, именно на это и рассчитывал Кронекер: он вовсе не собирался посылать свою статью в журнал Миттаг-Леффлера[160].

После этого у Кантора случился первый нервный срыв. Проблемы с психикой были неизбежны даже в обычной спокойной жизни. А ведь она была не такой. Его жизнь полнилась напряженной работой и сражениями с Кронекером. Позже математика постигла еще и личная трагедия: его младший сын Рудольф внезапно умер в 1899 году, когда Кантор уехал читать лекцию в Лейпциг.

Кантор достиг небес, бесконечности и ходил среди алефов и омег. Будучи глубоко религиозным человеком, он верил, что им руководит Бог. Его определенно вели числа, все числа, — континуум. Именно здесь, в этом небесном царстве, Кантор впервые заглянул за пределы . Он понимал, что континуум дает большую бесконечность — больше, чем , но что это за бесконечность? Это или нечто еще большее?

Всякий раз, когда у нас есть какое-то множество, будь то четыре всадника Апокалипсиса или множество натуральных чисел, мы можем говорить о том, что называется степенью множества, или булеаном. Это просто множество всех подмножеств для исходного множества. Например, рассмотрим множество из трех мушкетеров {Атос, Портос, Арамис}. У него в общей сложности восемь различных подмножеств. Это пустое множество

подмножества из одного мушкетера:

подмножества из двух мушкетеров:

и, конечно, подмножество из всех трех мушкетеров:

Вместе эти восемь различных подмножеств образуют множество всех подмножеств для множества из трех мушкетеров. Возможно, вы заметили, что размер множества мушкетеров равен 3, а множество всех его подмножеств имеет гораздо больший размер, 8 = 2³. Это не случайное совпадение. Каждое подмножество либо включает Атоса, либо нет; либо включает Портоса, либо нет; либо включает Арамиса, либо нет. Получаем 2 × 2 × 2 = 8 вариантов. Та же логика говорит, что для 20 команд английской Премьер-лиги во множестве всех подмножеств будет 2²⁰ элементов.

То же правило применяется и к бесконечным множествам. Мы знаем, что мощность множества натуральных чисел равна . Какую мощность имеет его булеан? Это просто множество его подмножеств, то есть пустое множество

подмножества из одного числа:

подмножества из двух чисел:

И так далее. Мощность этого множества равна Это невообразимо много. Как доказал Кантор, это определенно больше, чем , и так уж получилось, что это мощность континуума. Чтобы увидеть это, запишем какое-нибудь вещественное число в двоичном виде. Это просто набор нулей и единиц в определенном порядке. Например,

будет записано в виде 0,101. Если мы хотим пробежать по всем различным способам, то у нас есть два варианта для первой цифры, два для второй, два для третьей и так далее до бесконечности. В конце мы получим такое общее количество различных способов:

Кантор предположил, что континуум должен быть следующим алефом в списке. Другими словами, он счел, что Это утверждение известно как континуум-гипотеза; возможно, вы помните, что это первая из двадцати трех нерешенных проблем Гильберта, предложенных в 1900 году. По сути, она утверждает, что континуум расположен на один алеф выше множества натуральных чисел, хотя вовсе не очевидно, что это должно быть верно. С таким же успехом континуум может иметь размер какого-то более высокого алефа, а возможно, он вообще не имеет ничего общего с алефами. Кантор был одержим своей гипотезой. В его письмах Миттаг-Леффлеру прослеживается история все более отчаивающегося человека. Он то торжествующе сообщает шведскому математику, что доказал гипотезу, то в отчаянии признается, что обнаружил в своей работе роковую ошибку. Он метался между доказательством и опровержением, между иллюзией успеха и реальностью неудачи.

По сей день континуум-гипотеза не доказана и не опровергнута. Однако в 1963 году американский математик Пол Коэн сделал важное открытие. Вдохновляясь работами великого логика Курта Геделя, Коэн показал, что континуум-гипотеза не зависит от основных строительных блоков математики, то есть аксиом, входящих в систему аксиом Цермело — Френкеля, дополненную аксиомой выбора (такая система называется ZFC, буквы обозначают математиков Эрнста Цермело (Zermelo) и Абрахама Френкеля (Fraenkel), а также слово choice — выбор)[161]. Это означает, что вы можете считать континуум-гипотезу хоть истинной, хоть ложной, и ни одно из этих утверждений никогда не приведет к противоречию. Чтобы понять это, представьте, что фаната «Ливерпуля» спрашивают, болеет ли он также за «Манчестер Юнайтед» — самого принципиального соперника «Ливерпуля». Вы сразу понимаете, что это невозможно, поскольку это взаимоисключающие вещи. Но что произойдет, если спросить, болеет ли он также за «Бостон Ред Сокс»? Если учесть, что это команда из совсем другого вида спорта (бейсбольный клуб из США), никакого противоречия нет: фанат «Ливерпуля» вполне может за нее болеть или не болеть. Коэн показал, что математикам следует так же спокойно относиться к континуум-гипотезе. Через восемьдесят лет после того, как Кантор сошел с ума, Коэн получил за свою работу Филдсовскую премию — математический эквивалент Нобелевской премии.

Со временем Кантор станет воспринимать континуум-гипотезу как догму, нечто, выходящее за рамки математики. Гипотеза принадлежала Богу, и, по мнению Кантора, Бог защищает ее. Во второй половине своей жизни Кантор все больше времени проводил в больнице. Его срывы обычно начинались взрывом, когда он разглагольствовал о несправедливости мира, а затем наступала депрессия. Как позже вспоминала его дочь Эльза, он замыкался и не мог общаться. Во время своих длительных ремиссий Кантор часто предавался другой страсти, не имевшей отношения к его битве с континуумом. Он сражался с Шекспиром.

Кантор считал Шекспира самозванцем и полагал, что его пьесы принадлежали ученому XVII века сэру Фрэнсису Бэкону. Родным языком Кантора был немецкий, он также говорил по-датски и по-русски, и, хотя английский стал его четвертым языком, он считал, что знает его достаточно хорошо, чтобы публиковать брошюры в поддержку своей радикальной шекспировской гипотезы[162]. В 1899 году, после очередного срыва, Кантор получил от университета отпуск по состоянию здоровья. За этим последовал странный эпизод, который позволяет заглянуть в тревожное состояние разума Кантора. Он отправил письмо в Министерство просвещения, где просил освободить его от профессорской должности и дать спокойно работать в библиотеке на службе у кайзера. Он сообщал, что обладает обширными познаниями в истории и литературе, предлагая в качестве доказательства свои брошюры, и даже утверждал, что у него есть новая информация об английской монархии и личности ее первого короля. Кантор заверял, что если министерство своевременно не отреагирует на его просьбу, то он предложит свои услуги русскому царю. Но министерство проигнорировало его письмо, и Кантор так и не установил контакта с русскими.

Когда в Европе разразилась Первая мировая война, важность математических работ Кантора уже признали, в отличие от его работ по английской литературе. Военные условия в Германии привели к тому, что последние дни он провел в нищете. Когда британский ученый Бертран Рассел опубликовал в 1951 году его письма, он воздал должное Кантору как «одному из величайших умов XIX века», чьи «промежутки просветления были посвящены созданию теории бесконечных чисел». Но он также добавлял: «После чтения его письма никто не удивится, узнав, что он провел большую часть своей жизни в сумасшедшем доме».

Кантор отважился исследовать небеса бесконечности. Изучая его наследие, другие осмелились заглянуть еще дальше. Оказывается, есть уровень бесконечности, лежащий за пределами даже бесконечно бесконечного; эти числа известны как недостижимые. Чтобы понять идею недостижимости, нам сначала нужно вернуться в царство конечности — к натуральным числам. Есть ли способ добраться до алефов с помощью правил арифметики? Ответ — решительное «нет». В царстве конечности у нас есть исключительно конечные числа и нам доступно только конечное число операций сложения, умножения или даже возведения в степень. В результате доступ к алефам закрыт. В этом смысле алеф — недостижимое кардинальное число, потому что мы не можем добраться до него, играя в арифметические игры с конечными кардинальными числами, находящимися ниже.

Теперь прыгнем в небеса.

Получив в свои руки , мы можем перейти к еще большим количественным числам с помощью образования множества всех подмножеств. Если континуум-гипотеза верна, то немедленно приведет нас к , а дальше правила арифметики позволяют нам выйти к , и т. д. По мере того как мы достигаем всё больших кардинальных чисел, мы начинаем задаваться вопросом: есть ли что-то, до чего мы не сможем добраться? На самом деле мы этого не знаем. Первый вариант ответа на этот вопрос — отрицательный; в этом случае — единственное кардинальное число, которое недоступно снизу. Но такое заключение выглядит довольно скучно. Гораздо интереснее вообразить себе более высокие алефы, которые настолько велики, что недостижимы для всех предшествующих. Именно к этому варианту склонны математики, — в конце концов, они сами создают свои правила и смотрят, что из этого получится. Давайте примем такую точку зрения и рассмотрим первое из наших новых недостижимых чисел. Находясь в царстве низших алефов, мы можем только смотреть, но не прикасаться. Как бы часто мы ни возводили в степень, мы никогда не сможем достичь его, как не могли достичь из царства конечности. Это новый уровень числа, небесный левиафан, ускользнувший от бесконечности бесконечностей. У него нет названия, поэтому я попросил своих детей придумать его, подобно Эдварду Казнеру, племянник которого сочинил слово «гугол». В итоге они остановились на йети. Думаю, это идеальный вариант, ведь йети живет высоко в недоступных местах и никто не знает, существует ли он на самом деле.

Существуют ли на самом деле какие-либо алефы? Являются ли они частью физического мира? Кантор, ограниченный только своим воображением, мог гулять с бесконечностью, обнимать ее и понимать. Но это было в математическом мире чисел и множеств. В физическом мире бесконечность часто считается недугом, болезнью, сигнализирующей о непонимании, вычислительном параличе. Тем не менее существуют места, где мы научились преодолевать этот паралич, где бесконечность покорена, а наши физические теории процветают. Это справедливо для бесконечностей, с которыми мы сталкиваемся в электромагнетизме и ядерной физике. Но это не относится к гравитации. В гравитации существует бесконечность бесконечностей. Как мы увидим далее, паралич бесконечен.

Остерегайтесь гравитационных приливов. Остерегайтесь сингулярности в центре черной дыры, где пространство-время прикасается к бесконечности. Остерегайтесь гравитационного напряжения, которое растет и растет, разрывает вас на части, разделяя руки, ноги, атомы и кварки. Остерегайтесь своего последнего мгновения, когда перестает существовать само время, а все, чем вы являетесь, поглощается микроскопической тканью нашей Вселенной.

Это ужас Повехи — колоссальной черной дыры, с которой мы столкнулись в начале книги. Мы видели ее издалека, но как насчет этого ужаса внутри? Реальна ли сингулярность? Можно ли прикоснуться к бесконечности хотя бы на последний миг времени? В 1965 году английский математик Роджер Пенроуз открыл нечто замечательное. Если Эйнштейн прав насчет гравитации, каждая черная дыра оказывается концом, покровом для некой сингулярности, фасадом для бесконечности. Он показал, что сингулярность всегда есть там, где имеется поверхность, подобная горизонту событий, из-за которого ничто не может удрать. Пятьдесят пять лет спустя пожилой Пенроуз, к тому времени уже рыцарь-бакалавр[163], получил за это Нобелевскую премию. Но, несмотря на одобрение шведского комитета, это не означает, что сингулярности Пенроуза действительно существуют в природе. Работа Пенроуза показала, что если черные дыры существуют в том виде, как мы думаем, то теория Эйнштейна нарушается[164]. Давая приют такой бесконечности, эта теория прячет то, с чем не может справиться. В физике бесконечность — это болезнь, которую нужно лечить.

Мы уже видели подобное раньше.

Не так уж давно были времена, когда наши болезни бесконечности оказывались куда менее экзотическими. Они скрывались не только внутри черных дыр, но и в сиянии лампочки или в гуле радиопередачи. Эти обыденные явления — сцены в балете квантовой электродинамики, когда фотоны танцуют с электронами, а электроны с фотонами. Взаимодействие между фотоном и электроном — основное во всей физике, однако в преддверии Второй мировой войны оно также оказалось нарушенным. Пляску электронов поразила болезнь бесконечности.

Эта история началась с Поля Дирака, моего «научного предка», связанного со мной прямой линией научных руководителей[165]. Дирак — сын швейцарского иммигранта, который переехал в Бристоль на западе Англии, чтобы преподавать французский язык. Он был молчаливым мальчиком и еще более молчаливым взрослым. Коллеги из Кембриджа ввели единицу речи «дирак» — одно слово в час. Сам Дирак не видел особой нужды в словах. Он насмехался над интересом Роберта Оппенгеймера к поэзии и утверждал, что в школе его научили не начинать предложение, если не знаешь, как оно закончится. Кстати, в той же бристольской школе учился другой мальчик, гораздо более словоохотливый: голливудский актер Кэри Грант.

В 1927 году Дирак предложил теорию, которая соединила старые идеи Бора о квантованных орбитах электронов в атоме с эйнштейновскими идеями об относительности. Это была первая квантовая теория поля и крупный прорыв в понимании толкотни и суматохи микроскопического мира. Он показал, как электроны в атоме могут взаимодействовать с фотонами, испускаемыми им в виде излучения. И электрон, и фотон можно понимать как квантовые колебания полей: электрон — колебания в электронном поле, а фотон — в электромагнитном. Каждое колебание инициирует другие колебания, которые инициируют еще какие-то колебания, и т. д. Это была настолько красивая работа, что Дирак боялся изучать ее следствия, опасаясь, что природа могла оказаться достаточно глупа и выбрала что-то гораздо менее элегантное.

Поначалу их ждал большой успех. Мощные умы приступили к преобразованию этой идеи в новую область физики, названную квантовой электродинамикой, или КЭД. Среди них был квартет будущих нобелевских лауреатов: Паули, Гейзенберг, Ферми и венгр Юджин Вигнер, сестра которого Манси впоследствии вышла замуж за Дирака. Вместе с Дираком они начали открывать новые и интересные явления — от рождения и исчезновения частиц в магнитном поле до существования античастиц.

Первоначальный успех КЭД натолкнул на мысль, что вскоре ученые смогут делать прогнозы для всех физических явлений, связанных с электромагнитным излучением и заряженными частицами. Однако первые успехи были достигнуты благодаря методу, названному теорией возмущений. Это один из самых важных инструментов в кладовке физика. Чтобы понять, как он работает, ненадолго отложим в сторону КЭД и рассмотрим более знакомый сценарий — гравитационное поле Земли. Чтобы облегчить решение уравнений, мы обычно считаем Землю идеальной сферой. Но это не так. Из-за вращения она сплюснута, и это приводит к тому, что форма планеты меняется на 1 процент. Влияние этого изменения на гравитационное притяжение трудно вычислить точно, поэтому мы пользуемся приближениями. Мы вычисляем изменение гравитации с той же точностью в 1 процент (0,01), используя некоторые вычурные математические теоремы. Если мы хотим улучшить результат, то работаем немного усерднее и вычисляем следующий порядок влияния на гравитационное поле: берем точность в 1 процент в квадрате, или, иными словами, 0,0001. Мы могли бы перейти к точности в 1 процент в кубе или даже к более высоким степеням. Именно так работает теория возмущений: вы выявляете какое-то маленькое возмущение (в данном случае однопроцентное отклонение формы Земли) и постепенно улучшаете свои результаты, двигаясь по степеням этого малого параметра[166].

В КЭД тоже есть нечто маленькое. Это так называемая постоянная тонкой структуры, хотя большинство из нас называет ее просто альфа (α). Она не имеет ничего общего с алефами и омегами из предыдущего раздела. Это просто некое число, которое измеряет силу взаимодействия между фотонами и электронами: оно говорит нам, насколько сильно они хотят танцевать. Значение альфы контролирует все, что мы видим, и многое из того, что мы не видим. Оно устанавливает размер атомов, силу магнитов, цвета природы. Согласно измерениям, α ≈ ¹/₁₃₇, и этот факт пытались понять многие физики прошлого и настоящего. Возможно, самым одержимым был Паули. «Когда я умру, — шутил он, — я прежде всего спрошу дьявола: каково значение постоянной тонкой структуры?» Паули часто снились числовые соотношения, связывающие α с числом π или другими важными числами. Он даже разыскал психоаналитика Карла Юнга, который проанализировал его сны и пришел к выводу, что Паули постигает «какой-то великий космический порядок». По странному совпадению, Паули умер от рака поджелудочной железы в палате 137 больницы Красного Креста в Цюрихе.

Малая величина α позволила строить ранние модели КЭД с использованием теории возмущений. Физики начали вычислять вероятности для различных процессов, заряженных частиц, рассеивающихся повсюду, прыгающих вокруг фотонов, толкающих и притягивающих в разных направлениях. Точность их результатов составляла примерно α — иными словами, ¹/₁₃₇, то есть меньше 1 процента. Чтобы получить более точные результаты — с погрешностью менее 1 процента от 1 процента, — требовалось перейти к следующему порядку в теории возмущений, то есть α² или даже выше. Это был всего лишь вопрос математических вычислений: фактически не было ничего, что могло пойти не так.

Однако пошло.

Все началось с Паули. Он понял, что одиночный электрон не так уж и одинок: он запускает электромагнитное поле. Всякий раз, когда мы концентрируем распределение заряда в какой-то маленькой области пространства, из-за этого электромагнитного поля мы должны совершать работу против сил отталкивания. Это означает, что мы должны подавать энергию в систему, и чем меньше область, тем больше работы придется проделать. Эта дополнительная энергия известна как собственная, и в случае электрона вы можете считать ее вкладом в массу электрона (вспомните: энергия и масса эквивалентны). Паули расстроила мысль, что электрон — точечная частица, втискивающая весь свой заряд в бесконечно малую область. Это увеличивало собственную энергию электрона и, соответственно, его массу до бесконечно больших значений.

Конечно, Паули понимал, что это не совсем так. Требовалось учесть квантовые эффекты, и у него была КЭД — правильная теория, позволяющая понять, что происходит на самом деле. Физик поручил эту задачу своему новому помощнику, высокому говорливому американцу, который выкуривал слишком много сигарет. Его звали Роберт Оппенгеймер.

Впоследствии во время Второй мировой войны Оппенгеймер стал главой лаборатории в Лос-Аламосе в штате Нью-Мексико. Под его руководством 16 июля 1945 года группа в Лос-Аламосе успешно взорвала первую атомную бомбу в пустыне Нью-Мексико. Позже Оппенгеймер заметил, что ему тогда пришли в голову слова из древнеиндийской священной книги «Бхагавадгита»: «Я — смерть, разрушитель миров». Менее чем через месяц ВВС США сбросили две такие бомбы на японские города Хиросиму и Нагасаки, где погибло более 200 000 человек.

В молодости Оппенгеймер работал под руководством Паули и был известен и своими способностями, и своей небрежностью. Паули как-то сказал: «Физика Оппенгеймера всегда интересна, но расчеты всегда ошибочны». Когда швейцарский ученый предложил своему ученику посмотреть на собственную энергию электрона, тот решил исследовать проблему в конкретных условиях: он начал с помощью КЭД рассчитывать спектр света, излучаемого атомами водорода. Как обычно, ему пришлось прибегнуть к теории возмущений. Поначалу это была относительно простая задача. Когда порядок составлял α, ему приходилось беспокоиться только о том, что протон в ядре обменивается виртуальным фотоном с вращающимся по орбите электроном. Однако когда он попытался вычислить поправки порядка α², все стало сложнее. Оппенгеймер понял: есть вероятность, что электрон и фотон могут трансформироваться. В частности, ему приходилось беспокоиться об эффекте, когда электрон испускает фотон, а через мгновение поглощает его обратно. К своему ужасу, Оппенгеймер увидел, что этот эффект бесконечен! И это вовсе не было ляпом в вычислениях, на сей раз физик считал правильно. Проблема возникла из-за того, что такой кратковременный фотон мог нести любое количество энергии вплоть до бесконечности. Это означало, что нужно суммировать все такие варианты. Он надеялся, что суммирование как-то приведет к конечному ответу, но этого не произошло. Квантовую электродинамику поразил недуг бесконечности. Из-за Второй мировой войны недуг не могли вылечить почти два десятилетия.

^{Протон в атоме водорода взаимодействует со своим электроном. Левый рисунок показывает физические эффекты порядка α, соответствующие обмену виртуальным фотоном. На правом рисунке показана корректировка порядка α2, когда электрон испускает и сразу поглощает еще один виртуальный фотон}

Хотя детали оказались другими, проблема снова заключалась в бесконечной собственной энергии, когда электрон приобретает бесконечную массу из-за того, что взаимодействует с собственным электромагнитным полем. Паули был подавлен. Он говорил, что у него появилось искушение бросить физику и сбежать в деревню, чтобы писать утопические романы. Его меланхолия явно произвела впечатление на Оппенгеймера. Вместо того чтобы признать эту бесконечность болезнью, которую в принципе можно вылечить, Оппенгеймер увидел в ней знак, что физика сильно сбилась с курса. Обладай американский ученый более широкими взглядами, он, как и другие, понял бы, как эту бесконечность можно укротить. Однако указанная честь досталась Швингеру, Фейнману и японскому физику Синъитиро Томонаге.

Чтобы понять, как эти люди в конце концов покорили бесконечность, вернемся к не такому уж одинокому электрону Паули. Кроме своего электромагнитного поля, он окружен морем частиц, появляющихся и исчезающих в вакууме, и эти электроны, позитроны и фотоны вместе образуют бурлящий, пузырящийся виртуальный суп. Нет сомнений, что этот суп влияет на свойства электрона, в том числе на его массу. Чтобы понять почему, представьте, что вы держите под водой мяч для настольного тенниса и отпускаете его. Какое ускорение ощущается? Мяч для настольного тенниса примерно в двенадцать раз легче воды, которую он вытесняет, поэтому выталкивающая сила в двенадцать раз больше, чем вес мяча. Если бы дело заключалось только в этом, мяч испытывал бы ускорение 12g в направлении вверх и обычное ускорение силы тяжести 1g в направлении вниз, что давало бы суммарное ускорение 11g, направленное вверх к поверхности воды. Однако ускорение, которое вы ощутите, явно меньше этой величины. Нам стоит помнить, что мяч должен расталкивать на своем пути какое-то количество воды. Наши силы ускоряют не только мяч, они также должны ускорять окружающую жидкость, из-за чего кажется, что мячу труднее двигаться. В итоге мяч ведет себя так, словно у него больше инерции, или, иными словами, больше массы. Физики говорят, что масса мяча эффективно переконфигурируется, или «перенормируется», до гораздо большего значения — настолько большого, что ускорение вверх составляет менее 2g. Такая перенормировка массы — следствие того, что жидкость действует на мяч, взаимодействуя с ним. То же происходит и с виртуальным супом, который окружает электрон. Этот суп взаимодействует с ним, «перенормируя» его массу. Разница между электроном и мячиком для настольного тенниса заключается в том, что мячик в итоге может вырваться из воды, а вот электрон никогда не выберется из своего супа.

Для своих расчетов Оппенгеймер использовал теорию возмущений. Это означало, что в первом приближении никакого квантового супа нет, а электрон обладает массой, которую он имел бы в бессуповом классическом мире. Когда физик вычислял первую поправку, он словно добавил суп. К своему ужасу, он обнаружил, что такая поправка бесконечна. Иными словами, новая скорректированная суповая масса электрона отличалась от голой бессуповой на бесконечную величину. Но в реальном мире электрон не имеет бесконечной массы, поэтому казалось, что произошла катастрофа.

Но это не так.

Оппенгеймер не понял, что, хотя его расчеты включали две разные массы — суповую и бессуповую, — только одна из них имела физический смысл. Дело в том, что вы можете измерить только суповую массу, поскольку электрон никогда не сможет выбраться из этого квантового супа. Оппенгеймер считал: чтобы теория имела смысл, обе массы должны быть конечными. Но это не так: конечной должна быть только физическая, суповая масса. Нефизическую, бессуповую в принципе нельзя измерить, так что она вполне может быть бесконечной. На деле оказывается, что она и должна быть бесконечной, — по крайней мере, такой же бесконечной, как бесконечная квантовая поправка Оппенгеймера, но с противоположным знаком.

Давайте еще раз посмотрим на формулу: бессуповая масса + квантовая поправка = суповая масса. Если в квантовую поправку Оппенгеймера входит бесконечность, то для получения суммарного конечного ответа в бессуповой массе должна быть минус бесконечность. Сами по себе эти бесконечности не имеют физического смысла, поэтому мы не особо из-за них огорчаемся. Конечно, ни в одном из наших вычислений мы не используем бесконечные значения, потому что не можем держать их под контролем. Вместо этого мы работаем с произвольно большими, но конечными заменителями, поэтому математика по-прежнему имеет смысл. Предполагается, что эти заменители — заместители бесконечности — компенсируют друг друга. У нас остается конечное значение для физической суповой массы, которое соответствует экспериментальным измерениям.

Вероятно, можно использовать такую аналогию. Представим, что вы открываете бизнес по покупке и продаже леденцов на палочке. Леденцы обходятся вам в 1 фунт стерлингов каждый, но вы знаете, что в первый день торговли сможете продавать их вдвое дороже, хотя после этого вам придется продавать их по себестоимости. Чтобы запустить свой бизнес, вы занимаете у друга бесконечную сумму денег и покупаете бесконечное количество леденцов. В первый день торговли вы продали сто леденцов. Сколько вы реально стоите в этот момент в денежном выражении? Если бы мы смотрели только на чистую стоимость ваших активов, мы могли бы решить, что вы бесконечно богаты. В конце концов, у вас все еще есть бесконечное количество леденцов, которые вы можете продать по себестоимости, плюс 200 фунтов стерлингов от продаж первого дня. Но это только половина истории. Ведь вы все еще должны своему другу взятые деньги. Если вычесть этот долг, становится ясно, что у вас есть только прибыль, которую вы получили в первый день: 100 фунтов стерлингов. Это ваша истинная стоимость.

Бесконечная стоимость ваших активов аналогична бесконечной величине массы электрона в бессуповом, классическом мире; бесконечный долг аналогичен бесконечной квантовой поправке Оппенгеймера; истинная величина вашего благосостояния (в данном случае 100 фунтов стерлингов) подобна истинному физическому значению массы электрона, окруженного квантовым супом.

Прежде чем объявить теорию вылеченной, нам следует поискать другие бесконечности. В КЭД оказывается, что заряд электрона тоже использует бесконечно большую квантовую поправку. Неважно. Как и раньше, мы просто объявляем чистый бессуповой заряд бесконечным, но не поддающимся измерению. Бесконечная квантовая поправка снова имеет противоположный знак, две бесконечности сокращаются, и мы приходим к конечному суповому заряду, согласующемуся с вашими экспериментами.

Если это кажется ловкостью рук, давайте теперь посмотрим на настоящую магию.

Вы можете использовать теорию возмущений для расчета любого желаемого процесса; электроны и фотоны случайным образом двигаются, но все это остается конечным, пока вы стоите на своем и объявляете суповую массу и суповой заряд конечными. Это кажется чудом. Квантовые поправки к какому-нибудь сложному процессу могут включать множество бесконечных сумм, но в итоге это не имеет значения. Эти бесконечности на самом деле — просто остатки тех, что мы видели для массы и заряда электрона. Как только суповая масса и суповой заряд установлены экспериментально, все остальное становится на свои места. Больше нет бесконечностей, о которых нужно беспокоиться.

Болезнь бесконечности излечена.

В январе 1948 года Швингер, которому еще не исполнилось тридцати, изложил эти идеи перед переполненным залом на собрании Американского физического общества в Нью-Йорке. Несмотря на свои годы, он уже был известен. Джулиан поступил в колледж в пятнадцать лет, к девятнадцати у него имелось семь опубликованных работ, и он привлек внимание таких интеллектуальных гигантов, как Паули и Ферми. Спустя десять лет в Нью-Йорке он покорил аудиторию. Конечно, его работа была технически сложной, но все красиво работало. В тот момент, когда он зафиксировал конечность суповой массы и супового заряда и измерил их в экспериментах, он смог рассчитать влияние на другие процессы и показать, что они также соответствуют имеющимся данным. В частности, это было воздействие квантовых эффектов на расщепление энергетических уровней в атомах водорода — то, что годом ранее, в 1947 году, измерил Уиллис Лэмб. Внешне могло показаться, что он чересчур безответственно играет с бесконечностью, но это не имело значения: мастерство Швингера давало правильные ответы.

В тот день Фейнман оконфузился. Он работал над близкими идеями и, когда презентация Швингера подошла к концу, сообщил аудитории, что получил те же результаты. Никто не прислушался. Три месяца спустя новая конференция проходила в пенсильванском Поконо. Туда Фейнман приехал с новым, более наглядным способом представления КЭД. Все было переведено в картинки, где электроны изображались прямыми линиями, а фотоны — волнистыми. Именно такие рисунки мы использовали при описании оппенгеймеровского расчета для спектра водорода. Мы этого не показывали, но для каждой линии и каждой вершины имеется также математический код, который позволяет нам выполнить такой сложный расчет вдвое быстрее. Однако в 1948 году этот код знал только Фейнман: никто больше не имел ни малейшего представления о том, что на самом деле означают его рисунки. Методы Швингера были долгими и трудоемкими, но, по крайней мере, его язык физики понимали. Фейнман утверждал, что получил такие же результаты, но никто не был уверен, что это правда.

Фейнману было трудно, но, возможно, Синъитиро Томонаге было еще труднее. Он разработал свои идеи в одиночку в 1943 году, оказавшись в изоляции в Японии: мир все еще находился в состоянии войны. Четыре года спустя Лэмб провел свои измерения энергетических уровней водорода, но Томонага узнал об этом только из статьи в японской газете. Понимая, что его теория тоже может давать именно такие результаты, он написал Оппенгеймеру, который быстро пригласил его в Принстон.

Трое очень разных ученых, казалось, делали совершенно разные вещи, но получили одни и те же ответы. Все воедино сшил уроженец Великобритании Фримен Дайсон. Совершив поездку с Фейнманом и терпеливо посещая лекции Швингера, он понял, что все придерживались одинаковых взглядов: делали одно и то же, но по-разному. Прозрение пришло в автобусе, ехавшем по Небраске. «Это ворвалось в мое сознание, как взрыв, — вспоминал он. — У меня не нашлось карандаша и бумаги, но все было так ясно, что мне не нужно было ничего записывать». В конце концов возобладали методы Фейнмана — как только все привыкли к его диаграммам. Болезнь бесконечности вылечили, или, как сказал Фейнман, получая Нобелевскую премию в 1965 году, «бесконечности замели под ковер»[167].

Швингер, Фейнман и Томонага никогда не ходили по бесконечным небесам, как Кантор. Как мы намекали ранее, их бесконечная гимнастика всегда производилась исключительно в конечном мире. Если у них оказывалась бесконечная сумма, они рассматривали не всю сумму, а ее усеченную версию, которую они могли держать под контролем. Например, если им требовалось суммировать по бесконечному диапазону энергии, они могли остановить суммирование на произвольно большом, но конечном значении. Если в другом месте в другом контексте появлялась другая бесконечная сумма, они могли таким же образом обрезать ее и радостно сравнить величины. Была надежда, что эти сравнения могут даже иметь смысл при обращении к бесконечному пределу. Верно то, что трое физиков относились к бесконечности не как к числу в том божественном смысле, что предлагал Кантор, а как к контролируемому пределу. Они не добирались до бесконечных небес — они уклонялись от бесконечного ада.

Этот прагматичный подход можно также распространить на электрослабую теорию и физику сильного взаимодействия. Болезни бесконечности там посложнее, но их все равно можно вылечить примерно таким же образом. Ни одно из этих лекарств не требует, чтобы мы думали о бесконечности как о чем-то большем, чем какой-нибудь предел, и для этого есть веская причина: сами эти теории неполны. Например, мы знаем, что КЭД может точно описать танец фотона и электрона, если их бальный зал имеет размер с атом. Но применима ли КЭД, если зал будет в гугол раз меньше? Однозначно нет. По мере того как размер бального зала уменьшается, а танец частиц производится на все меньших расстояниях со все более высокими энергиями, мы ожидаем, что КЭД уступит место электрослабой теории, а затем чему-то еще. Сейчас мы знаем, что бесконечности в КЭД возникли, поскольку мы вообразили, что эта теория будет верна всегда, однако это не так. Никто точно не знает, что заменяет КЭД на крайне малых расстояниях, но на самом деле это не имеет значения. Швингер и его коллеги нашли способ находить контролируемые пределы, прокладывая путь мимо бесконечно малых и бесконечности, не вдаваясь в подробности того, что происходит на самом деле.

Теперь, когда эти конкретные бесконечности понимаются как пределы, мы сталкиваемся с вопросом: а как насчет Кантора? Применима ли его математика к природе или она сверхъестественна? Если дух Кантора и можно найти где-нибудь в природе, то он, несомненно, обнаружится в физике квантовой гравитации. В конце концов, в классической модели Эйнштейна гравитация — теория пространственно-временного континуума, того самого математического континуума, который дразнил Кантора большую часть его жизни. Что происходит с ним, когда мы вплотную приближаемся к сингулярности, где начинают проявляться квантовые эффекты? Становится ли он чем-то совершенно другим — тем, что Кантор мог увидеть также в бесконечных небесах?

Мы могли бы попытаться построить квантовую версию теории Эйнштейна с помощью теории возмущений, двигаясь снизу вверх, но вскоре столкнулись бы с серьезной проблемой. Здесь не просто существуют бесконечности, как в случае других сил, — здесь их бесконечно много! С этой проблемой вам не справиться. В квантовой электродинамике надо было беспокоиться только о двух бесконечностях: заряде электрона и массе электрона. Как только для них зафиксировали конечные значения, измеренные в экспериментах, все остальное встало на свои места. Когда вы пытаетесь подобным же образом квантовать гравитацию, чтобы взять все под контроль, вы вскоре осознаёте, что вам нужно реконфигурировать бесконечное количество различных величин. Для этого требуется бесконечное количество входных данных, полученных с помощью бесконечного количества измерений. По любым меркам это не рабочая теория.

Чтобы по-настоящему квантовать гравитацию, вам придется сделать что-то более радикальное. В петлевой квантовой гравитации пространство-время измельчается, разбивается на бесчисленное количество строительных блоков — так называемых спиновых сетей. Проблема в том, что собрать все воедино не так-то просто, а если вы не в силах этого сделать, то не сможете установить контакт с базовой эмпирической теорией гравитации, изложенной четыреста лет назад сэром Исааком Ньютоном. Вот почему большинство физиков, включая меня, склоняются к альтернативной идее, хотя и не менее радикальной. По Вселенной разносится не грохот частицы, а симфония струны.

Теория струн — больше чем теория квантовой гравитации. Это теория всего, партитура для вселенского вальса, направляющая танец электронов, фотонов, глюонов, нейтрино, гравитонов и всего, что существует в физическом мире. И если наши ожидания верны, теория струн также оказывается финитной теорией, самым надежным лекарством от болезни бесконечности. Бесконечности больше не заметают под ковер, как в квантовой электродинамике. Они побеждены. Их совсем нет. Кантор мог ходить по бесконечным небесам, но специалисту по теории струн это просто не нужно.

Все началось с правильного неправильного ответа.

Летом 1968 года в мире царил хаос: во Вьетнаме бушевала война, в Париже бунтовали студенты, а США только что потрясли убийства Мартина Лютера Кинга и Роберта Кеннеди. Габриеле Венециано, молодой флорентийский физик с парадоксальной венецианской фамилией, занимался в ЦЕРН хаосом микроскопического мира. Он хотел выяснить, что происходит, когда вы берете два адрона и сталкиваете их вместе.

Сейчас мы знаем, что адроны (например, протон или нейтрон) состоят из кварков, удерживаемых вместе неразрывными глюонными связями. Хотя Марри Гелл-Манн выдвинул идею кварков еще в начале 1960-х, в конце десятилетия ни у кого не было уверенности в их реальном существовании, а физика адронов все еще оставалась непонятной. Всякий раз, когда вы в мире элементарных частиц сталкиваете одну частицу с другой и смотрите, что происходит, вы изучаете величину, известную как амплитуда рассеяния. Это всего лишь комплексное число, величина которого говорит вам о вероятности возникновения определенного процесса. Венециано интересовался столкновениями двух пионов, в которых образуются один пион и адрон, который называется омега-гипероном (и который, разумеется, не имеет ничего общего с канторовской омегой). Физик хотел предположить математическую формулу для соответствующей амплитуды рассеяния, которая соответствовала бы экспериментальным данным того времени и математически согласовывалась как с квантовой механикой, так и с теорией относительности.

Венециано понимал, что ему нужна математическая функция с некоторыми заданными свойствами, — но что это за функция? Простых полиномов или тригонометрических функций было недостаточно — требовалось что-то посложнее. В конце концов он нашел то, что искал, в работах великого швейцарского математика Леонарда Эйлера, жившего за два столетия до этого. Отдав работу в печать, Венециано отправился в отпуск в Италию, а после возвращения через четыре недели увидел, какое волнение вызвали его результаты. Вскоре подобные формулы были предложены и для других процессов с участием адронов. На каком-то уровне это была просто математическая игра, но, когда три изобретательных физика — Йоитиро Намбу, Хольгер Бек Нильсен и Леонард Сасскинд — присмотрелись к этим уравнениям повнимательнее, они увидели: что-то колеблется.

Струны. Чуть-чуть, но вечно.

Эти трое были весьма несхожи: скромный японец Намбу, неортодоксальный датчанин Нильсен, харизматичный житель Нью-Йорка Сасскинд. Но у всех была общая творческая искра, которая позволила им разглядеть, что на самом деле происходит внутри формулы Венециано. Каждый из них независимо от других понял, что амплитуда Венециано может возникать, если считать адроны не точечными частицами, а крошечными резиновыми лентами. Сейчас мы представляем эти ленты как фундаментальные струны, вытянутые в одном направлении, вибрирующие и колеблющиеся бесконечным количеством различных способов. У Венециано такого представления не было, но он случайно наткнулся на теорию струн. Он нашел правильный неправильный ответ.

Струны настолько малы, что обычно выглядят как частицы. Только при увеличении масштаба вы замечаете, что они имеют протяженность. Они могут быть открытыми или закрытыми, идущими между двумя разными точками пространства или свернутыми в петлю. И когда вы дергаете какую-нибудь струну, она вибрирует. Тогда начинается музыка. Точно так же, как различные колебания гитарной струны могут давать разные музыкальные ноты, колебания фундаментальной струны способны имитировать эффекты различных частиц. Например, чем лихорадочнее вибрации, тем больше энергии хранится в струне. Поскольку масса и энергия эквивалентны, наиболее сильно вибрирующие струны соответствуют самым тяжелым частицам.

На заре теории струн внимание физиков стал привлекать тот спектр струн и частиц, которые они должны представлять. Проблема была с самыми легкими струнами. Самая легкая из всех — та, которую не дергали. Вы можете подумать, что у нее нулевая масса, но это не так. В предыдущей главе мы узнали об энергиях нулевой точки — энергиях, которые вы получаете от неизбежных квантовых колебаний. Для струны они оказываются отрицательными. Если вычислять последствия для самой легкой струны, получается, что масса соответствующей частицы должна быть мнимым числом, пропорциональным квадратному корню из минус одного. Частица получила название тахион — предупреждающий сигнал о нестабильности. Вызвать его к жизни — словно подтолкнуть карандаш, стоящий на конце: происходит падение. Что касается зарождающейся теории струн, то тахион нужно было изгонять.

На один уровень выше тахиона теория струн столкнулась с проблемами экспериментальных данных. Выяснилось, что струны, за которые дергают аккуратно, должны иметь нулевую массу, если требуется совмещать их с теорией относительности. Они также должны обладать спином. Это представляло проблему, поскольку теория струн создавалась как модель для адронов, а, как показывали эксперименты, адронов с такими свойствами не существовало. Все стало еще хуже, когда физик британского происхождения Клод Лавлейс, начавший изучать общую теорию относительности и квантовую механику в возрасте всего лишь пятнадцати лет, сделал тревожное открытие.

В теории струн не предполагается изначальное существование каких-либо размерностей пространства и времени: они фактически возникают из лежащей в основе теории. Вы начинаете с фундаментальной струны, растянутой только в одном пространственном измерении, и воображаете, что она заполнена несколькими полями, которые принимают разные значения в каждой точке этой струны. Затем эти поля могут кодировать координаты струны в полном пространстве-времени; таким образом, чем больше у вас полей, тем больше будет в целом размерность пространства-времени. Лавлейс понял, что струны будут совместимы с квантовой механикой только при наличии двадцати шести таких полей. Иными словами, пространство-время должно иметь размерность 26. Одно временное измерение и двадцать пять пространственных — это несколько больше, чем тот трехмерный мир, к которому вы почти наверняка привыкли. Позже Лавлейс заметит: «Нужно обладать смелостью, чтобы предположить, что пространство-время имеет двадцать шесть измерений».

Это было в 1971 году, и примерно в то же время струны стали суперструнами. Это вовсе не какая-то примитивная маркетинговая стратегия. Теорию струн дополнила причудливая новая симметрия — суперсимметрия. Впервые мы столкнулись с ней в главе «0,0000000000000001», когда пытались контролировать массу бозона Хиггса. Детали другие, но принцип тот же: каждый фермион — партнер бозона, а каждый бозон — партнер фермиона. В теории струн такое партнерство принесло некоторое улучшение: размерность пространства-времени уменьшилась с двадцати шести до жалких десяти измерений, а тахион был успешно изгнан. Но этого оказалось явно недостаточно. Струны начали терять свою привлекательность. В качестве модели адронов их место заняла квантовая хромодинамика. Данные экспериментов стали показывать, что протоны, нейтрино, пионы и все остальные частицы состоят из кварков и глюонов калейдоскопических цветов. В конце концов, амплитуда Венециано не давала правильных ответов для сталкивающихся адронов при все более высоких энергиях. Теория струн была хороша, но при этом практически бесполезна.

Или нет?

Ее красота очаровала молодого американского физика Джона Шварца. В Калифорнийском технологическом институте он наткнулся на родственную душу — блестящего молодого француза Жоэля Шерка. Два дарования еще раз взглянули на самые легкие струны. Запрещенный суперсимметрией тахион исчез, но что должно происходить с безмассовыми струнами? У Шерка и Шварца случилось замечательное прозрение, то же произошло с японским физиком Тамиаки Ёнэя по другую сторону Тихого океана. Трое ученых заметили, что безмассовые струны ужасно похожи на глюоны физики элементарных частиц и гравитоны общей теории относительности. Какие там адроны — теория струн могла быть теорией квантовой гравитации. Да она могла бы стать даже теорией всего.

Возможно, вы сейчас подумали, что в этот момент мир остановился и все физики бросились к струнам, как золотоискатели, жаждущие найти какое-нибудь месторождение. Но этого не произошло. Теория струн оставалась на периферии науки еще десяток лет. В 1970-х и начале 1980-х интеллектуальные тяжеловесы больше занимались физикой элементарных частиц, успешно продвигаясь как в теории, так и в экспериментах. Теория струн оказалась на обочине. Его репутация не улучшилась, когда дальнейшие исследования выявили потенциальное противоречие с квантовой механикой даже в случае десяти измерений. К сожалению, Жоэль Шерк так и не увидел триумф теории струн. К концу 1970-х у него случился нервный срыв. Иногда он ползал по улицам Парижа, а иногда отправлял странные телеграммы знаменитым физикам — например, Фейнману, которого знал по Калифорнийскому технологическому институту. В возрасте всего тридцати трех лет Шерк покончил с собой.

Первая струнная революция произошла в 1984 году. Шварц снова оказался в деле: на этот раз он сотрудничал с британским физиком Майклом Грином (который впоследствии будет преподавать квантовую теорию поля автору этой книги!). Грин и Шварц взялись за конфликт между струнами и квантовой механикой и показали, что его нет. Теория струн вернулась как квантовая теория гравитации, и на этот раз мир физики обратил на нее внимание. Для многих ученых теория струн быстро стала «единственной игрой в городе»[168].

Вскоре стало ясно, что есть не одна, а пять непротиворечивых систем теории струн. Цель состояла в том, чтобы выбрать правильную версию, пощекотать ее правильным образом — и бинго! У вас появилась бы теория, описывающая все, что есть в нашей Вселенной. Теория всего должна объяснять происхождение электронов, протонов, нейтронов и всех остальных известных частиц в точности с правильными массами, причем четыре фундаментальные силы природы толкают и притягивают эти частицы правильным образом. Однако на заре теории струн так никогда не получалось. В конце концов, с уравнениями всегда было слишком сложно обращаться. Физики строили разные приближения, видели намеки на Вселенную, подобную нашей, но этого было недостаточно. Единственная игра в городе оказалась не такой уж и веселой. Теория струн зашла в тупик.

Требовалась еще одна революция.

Вторая струнная революция началась в день числа пи, 14 марта[169] 1995 года. Эд Виттен делал первый утренний доклад на конференции по теории струн в Южной Калифорнии. Когда он обратился к аудитории, его голос был спокоен, чуть выше среднего тона, но слова несли в себе интеллектуальную глубину. Он был готов штурмовать Бастилию. Виттен показал, что пять различных версий теории струн описывают одну и ту же физику на пяти разных языках. Он продемонстрировал, что, когда уравнения становились слишком сложными на одном языке, они часто оказывались проще в другом. Благодаря этой глубокой идее теория струн освободилась из тюрьмы вычислений.

Но Виттен, как всегда, пошел дальше.

Он предложил новую теорию — материнскую, и пять различных теорий струн, о которых мы сказали, были ее «дочерями». Он утверждал, что эту материнскую теорию лучше всего понимать в одиннадцати измерениях пространства и времени, где фундаментальными объектами становятся уже не струны, а мембраны, имеющие несколько измерений. Это М-теория — таинственная одиннадцатимерная теория, объединяющая пять различных версий теории струн. Виттен всегда подразумевал, что М означает мембрану[170]. Другие могут сказать, что буква означает мать (mother), волшебство (magic) или даже тайну (mystery). Истина в том, что мы до сих пор не знаем, что такое М-теория. Во всяком случае, пока.

В комнате есть многомерный слон[171].

Суперструны имеют смысл только в десяти измерениях пространства и времени. М-теорию лучше всего понимать в одиннадцати измерениях. Погодите. О чем мы говорим? Забудьте о квантовой гравитации, оглядитесь вокруг. Измерений не десять и не одиннадцать, а четыре: три пространственных и одно временное. Если предполагается, что существует еще шесть или семь измерений, то где они?

Прячутся за спинкой дивана. Сидят на кончике вашего носа. Вы можете найти их даже в сэндвиче с огурцами, приготовленном по рецепту королевы. Они повсюду — отсюда и до туманности Андромеды или галактики Черный Глаз. Но они крошечные, свернутые и незаметные — молчаливый вечный партнер, живущий рядом с нашим макроскопическим миром.

Измерение — просто еще одно направление движения. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, мы имеем в виду три независимых направления движения: вперед и назад, влево и вправо, вверх и вниз. Шесть дополнительных измерений теории струн — это всего лишь шесть новых направлений движения. Но они свернуты, как крошечные окружности, и вы не сможете продвинуться далеко в этих новых направлениях — вы просто вернетесь туда, откуда начали. Вот почему вы их не замечаете. Чтобы лучше понять это, представим, что вы — муравей. Чудовищный муравей-пуля, великан из низинных лесов Южной Америки. Пробегая по земле, вы замечаете тонкий прутик, лежащий в грязи. Будучи хорошим экспериментатором, вы решаете проползти по поверхности прутика, чтобы выяснить, сколько у него измерений. Вы, конечно, заметите, что можете двигаться по нему вперед и назад, но не увидите, что способны двигаться и вокруг его оси. Поэтому вы триумфально заявляете: «Поверхность прутика имеет одно измерение!» Но вы ошибаетесь. Вы просто слишком велики, слишком чудовищны, чтобы заметить направление движения по окружности. Черный садовый муравей из Англии преуспел бы больше. Будучи гораздо мельче[172], он заметил бы оба измерения прутика — и по длине, и вокруг его оси. Теория струн утверждает, что шесть дополнительных пространственных измерений свернуты точно так же, как измерение прутика по кругу. Как и муравьи-пули, мы просто слишком велики, чтобы их увидеть. Мы не видим их даже на Большом адронном коллайдере, хотя заглядываем в мир, который в миллиард раз меньше атома. Если дополнительные измерения и существуют, их просто затмевает все, что мы видим в природе.

Но при этом скрытые дополнительные измерения наделяют теорию струн огромным потенциалом. Оказывается, существуют гуголы способов их свернуть. Дополнительные измерения могут иметь форму бубликов или более экзотических геометрических объектов, известных как поверхности Калаби — Яу, кручения и изгибы которых почти невозможно вообразить. Вы можете заполнить эти измерения магнитным потоком или связать их струнами и мембранами. То, как вы выполняете это свертывание, влияет на физику оставшихся макроскопических измерений. Наверните шесть измерений на бублик определенного размера — и вы обнаружите четырехмерный мир, наполненный определенными частицами, на которые действует совершенно определенный набор сил. Наверните дополнительные измерения на что-то более экзотическое — и мир станет выглядеть совсем иначе. Специалисты по теории струн любят работать с этими причудливыми поверхностями Калаби — Яу, потому что они не разрушают базовой суперсимметрии: немного оставляют для нашего четырехмерного мира. Мы уже видели, как суперсимметрия может быть полезной для понимания того, почему бозон Хиггса имеет неожиданно малую массу, или для объединения некоторых фундаментальных взаимодействий. Но когда мы сворачиваем дополнительные измерения в теории струн, они играют еще одну важную роль: помогают держать математику под контролем. Без них настройка ненадежна, и предсказаниям теории не всегда можно доверять. Современная точка зрения состоит в том, что теория струн представляет нам мультивселенную — целый ландшафт различных возможных Вселенных, выстроенных вдоль разных поверхностей Калаби — Яу, где есть разные частицы, силы, энергии вакуума и даже разное количество измерений. Кажется, что наша конкретная Вселенная — лишь одна из многих возможностей.

Но как насчет болезней бесконечности, которые мотивировали наше нелегкое восхождение?

В теории струн бесконечность побеждена. Предполагается, что это конечная теория, невосприимчивая к проклятию бесконечности, пагубно действовавшему на физику элементарных частиц с 1930-х. Хотя нет убедительных доказательств этого утверждения, есть веские основания полагать, что это правда. В физике элементарных частиц бесконечности возникают из-за того, что частицы могут целоваться — касаться друг друга. Такие поцелуи позволяют парам частиц появляться и исчезать за бесконечно малые времена и на бесконечно малых расстояниях. Это похоже на безумную форму взрывной карамели, запускающую физику в царство бесконечных энергий и бесконечного импульса. Со струнами ничего такого происходить не может, поскольку они не умеют целоваться. Струны простираются в пространстве — чуть-чуть, но достаточно, чтобы уже не целоваться в одной точке пространства и времени, как это делают частицы. Когда струны сходятся, все сглаживается. Взрывная карамель уже не такая бешеная, и бесконечности побеждены.

Сейчас вы должны чувствовать себя хорошо. Теория струн — это вакцина, покончившая с бесконечной чумой. Расскажите это своим друзьям, своей семье, тому типу в пабе, который трепался о петлевой квантовой гравитации. К теории струн неизбежно вела непрерывная цепочка идей, которая началась в конце XX века с двух столпов: теории относительности и квантовой механики. Она привела нас к правильным неправильным ответам. Венециано и его современники не интересовались крошечными резиновыми ленточками. Их интересовали амплитуды, математические формулы, которые соблюдали правила игры и не противоречили столпам физики. Они не искали струны, но обнаружили их, изгибаясь в правильном неправильном ответе. Они также обнаружили квантовую гравитацию.

Именно эта тесная связь с теорией относительности и квантовой механикой одновременно делает теорию струн уязвимой. Но это хорошо. Люди часто критикуют теорию струн за то, что она выходит за рамки эксперимента, что в принципе невозможно доказать ее несостоятельность. Однако это неверно. Сейчас в экспериментах проверяются принципы, лежащие в основе теории относительности и квантовой механики. Если эти столпы рухнут, рухнет и теория струн.

Если бесконечность побеждена, что может рассказать нам теория струн об истинной судьбе астронавта, разорванного на части гравитационными приливами во время рокового путешествия к сингулярности черной дыры? Истина в том, что мы до сих пор не знаем. Вычисления пока слишком сложны, чтобы выяснить это, — по крайней мере, для тех черных дыр, которые вы ожидаете увидеть в природе. Чтобы идти дальше, нам, вероятно, нужна еще одна революция: понимание М-теории — то, что позволит играть со струнами в самых жестких условиях. Эта революция обещает стать самым глубоким открытием в истории человечества, и не без оснований. Сингулярность внутри черной дыры, обращающая в ничто континуум пространства и времени, не так уж отличается от сингулярности бесконечного Большого взрыва. Если следующая революция даст нам понимание того, что на самом деле происходит глубоко внутри черной дыры, она может также помочь разобраться, как возникла Вселенная. Это могло бы рассказать нам о самом нашем происхождении — об уникальности[173] нашего собственного творения.

И вот теперь, когда мы размышляем о начале времен, наша история подходит к концу. Мы ездили на фантастических числах — больших, малых и уходящих до бесконечности в небеса — и путешествовали по ткани физического мира. Мы любовались частицами и струнами, танцующими в микроскопическом бальном зале, боролись с левиафанами; нас унижали крохотные числа, мы видели себя голограммами на краю космоса и путешествовали в самые далекие уголки этого неожиданного мира.

Но что мы при этом действительно видели? Мы видели симбиотические отношения математики и физики, процветание каждой из них в присутствии другой. Синергия между математикой и физикой как никогда актуальна для понимания того, как устроена Вселенная. Наши знания сейчас настолько глубоки, что заглянуть еще дальше с помощью эксперимента — дело технологически сложное и невероятно дорогое. Например, коллайдер, который в десять раз мощнее Большого адронного коллайдера в ЦЕРН, по оценкам специалистов, будет стоить более 20 млрд долларов. Но чтобы раздвинуть границы физики, мы также можем использовать математику. Прямо сейчас некоторые ученые пытаются математически доказать, что теория струн — это уникальная теория квантовой гравитации. Если они добьются успеха, нам больше не понадобится проверять теорию струн непосредственно в эксперименте — достаточно просто проверить предположения, которые легли в основу соответствующей математики.

Имея математику, физик может танцевать; при наличии физики математик может петь. Когда мы столкнулись с левиафанами, самыми большими и величественными числами во Вселенной, мы не просто восхищались их размерами и красотой лежащей в их основе математики. Мы пытались осмыслить их в нашем физическом мире. Они дали нам возможность взглянуть на мир в его экстремальных проявлениях. Именно там, на переднем крае физики, начала петь математика. Она исполняла сладкую мелодию теории относительности и квантовой механики. Она пела об ужасе Повехи. И о голографической истине. Когда маленькие числа дразнили нас тайнами неожиданного мира, физики танцевали танец симметрии. Или, по крайней мере, пытались. Они до сих пор не разобрались со всеми па.

Подумайте о фантастических числах и позвольте им петь в фантастическом мире фундаментальной физики. Подумайте о числе 1,000000000000000858 и представьте, что вы бежите вместе с Усэйном Болтом, замедляя время, как волшебник-релятивист. Подумайте о гуголе и гуголплексе и вообразите гуголплексианскую Вселенную, наполненную двойниками: вашими и моими копиями, копиями Дональда Трампа и Джастина Бибера. Подумайте о числе Грэма и ощутите смерть от превращения головы в черную дыру. Подумайте о числе TREE(3) и представьте, что вы играете в Игру деревьев далеко в будущем нашей Вселенной, но вас останавливает космическая перезагрузка, своевременное напоминание о голографической истине.

Подумайте о нуле. Думайте не о его греховности, а о его красоте и волшебстве симметрии в природе. Подумайте о числах 0,0000000000000001 и 10^–120 — и вы увидите тайны нашей Вселенной, шанс понять неожиданную природу бозона Хиггса и энергию космического вакуума. Подумайте о бесконечности и вспомните встречи Кантора с раем и адом. Восхититесь симфонией физики и тем, как вибрации струн победили бесконечность.

Подумайте о любом нравящемся вам числе, в нем обязательно найдется что-то чудесное, фантастическое. Если после чтения этой книги вы все еще не верите мне, расскажу вам историю столетней давности о двух великих математиках: легендарном специалисте по теории чисел Годфри Харолде Харди и его индийском протеже Сринивасе Рамануджане. У них было мало общего: Харди преподавал в Кембридже, а Рамануджан вырос в колониальном Мадрасе и не получил математического образования. Однако Рамануджан был также гением — человеком, который понимал бесконечность, чувствовал математику инстинктивно. В 1913 году, когда он работал бухгалтером в Мадрасском порту, Рамануджан отправил Харди свои работы и просил в сопроводительном письме опубликовать их, поскольку сам слишком беден для этого. Харди сразу же осознал гениальность индийца и начал с ним переписываться. В следующем году Рамануджан отправился в Англию и стал сотрудничать с Харди. Он прожил там пять лет.

К концу своего пребывания в Англии на Рамануджана обрушились туберкулез и авитаминоз. Решив навестить индийца в больнице, Харди пожаловался, что приехал на такси с номером 1729. Тот показался ему каким-то скучным, и Харди беспокоился, что это плохой знак. Однако Рамануджан ответил: «Нет, это очень интересное число: наименьшее, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя разными способами». Действительно,

Эта история не просто дает представление о замечательном уме Рамануджана. Добавьте к этому немного физики XXI века — и мы также увидим фундаментальную структуру физического мира.

Все начинается с Пифагора и его прямоугольных треугольников. Если стороны такого треугольника имеют длину a, b и c, то все мы знаем, что они удовлетворяют уравнению

Целочисленные решения этого уравнения найти несложно. Например, a = 3, b = 4, c = 5, или a = 5, b = 12, c = 13. Но что произойдет, если мы увеличим показатель степени и получим уравнения типа a³ + b³ = c³, или a⁴ + b⁴ = c⁴, или с более высокими степенями? Найдем ли мы по-прежнему целочисленные решения? В 1637 году французский математик Пьер де Ферма уверенно заявил, что ответ отрицательный. На полях экземпляра «Арифметики» Диофанта он написал:

Это утверждение, конечно, верно. Однако, как известно, его не могли доказать до середины 1990-х, когда в этом преуспел английский математик Эндрю Уайлс. Почти восемьдесят лет назад Рамануджан занялся опровержением этого утверждения и наткнулся при этом на номер такси Харди — 1729. Идея Рамануджана состояла в том, чтобы найти контрпример к утверждению Ферма. Сегодня мы знаем, что это невозможно, и это объясняет, почему ему пришлось столкнуться с целым семейством случаев, когда равенство почти достигалось. Как видите, 9³ + 10³ дает 1729, что почти совпадает с 12³, разница — всего 1. Он также заметил, что 11 161³ + 11 468³ всего на единицу больше, чем 14 258³, и что 65 601³ + 67 402³ на единицу больше, чем 83 802³. Фактически он нашел бесконечное количество подобных примеров, когда всего лишь единица не дает добиться нужного равенства.

Однако эта история не заканчивается неудачной атакой на последнюю теорему Ферма. Так уж случилось, что метод Рамануджана дал ему решения некоторых уравнений, содержащих кубические степени и рациональные числа. Математик Кен Оно был одним из тех, кто обнаружил эту работу в знаменитой забытой записной книжке Рамануджана, которая более полувека хранилась в библиотеке Рена в Тринити-колледже в Кембридже. Когда Оно и его аспирантка Сара Требат-Ледер начали изучать эти уравнения более внимательно, то поняли, что Рамануджан занимался особым семейством геометрических структур, известных как K3-поверхности. Интерес к этим странным и чудесным многомерным структурам взлетел спустя много лет после смерти Рамануджана — в конце 1950-х, когда его работа еще оставалась неизвестной. Название K3 дано в честь трех других математиков — Куммера, Келера и Кодайры, — которые работали над близкими темами, а также в честь смертоносной горы К2 в Гималаях. Альпинист Джордж Белл однажды назвал К2 «дикой горой, которая пытается убить вас». K3-поверхности могут быть такими же враждебными — по крайней мере, в глазах тех математиков, которые достаточно смелы, чтобы их изучать.

Но какое отношение все это имеет к физическому миру?

Оказывается, есть очень веская причина браться за эту дикую область математики: K3-поверхности являются прототипом поверхностей Калаби — Яу, о которых мы упоминали ранее (крошечных экзотических форм, которые большинство специалистов по теории струн используют для того, чтобы скрыть наши дополнительные измерения). Это формы, управляющие физикой нашего макроскопического мира. Харди жаловался, что число 1729 — скучное, но он очень сильно ошибался. Оно тесно связано с дополнительными измерениями, которые безмолвно прячутся рядом с каждым из нас, определяют, почему Вселенная такова, какова она есть, а мы такие, какие мы есть.

Нет, 1729 — не скучное число. Оно чертовски замечательное. Как и любое другое число.