Удивительные числа Вселенной

Примечания

1

В оригинале Gilderoy. Писатель Gilderoy Lockhart — персонаж книг о Гарри Поттере, имя которого в переводе издательства «Росмэн» звучит как Златопуст Локонс. Прим. ред.

2

Во времена президентства Трампа в США активно обсуждали вопрос, почему кажется, что лицо его имеет оранжевый оттенок (одна из гипотез — плохой крем для автозагара). Прим. пер.

3

В действительности голографическая гипотеза пока еще совсем не истина. Прим. науч. ред.

4

Франшиза телевизионных конкурсов талантов. Шоу проводится в ряде стран, включая бывшие республики СССР. В России выходило под названием «Фактор А» с 2011 по 2013 год. Прим. пер.

5

Слова hói и hoí отличаются только тоном. Эксперименты XXI века показывают, что числительных в языке пирахан нет вообще: указанные в тексте три слова означают нечто вроде «маленькое количество», «количество побольше» и «количество еще больше», не имея конкретных числовых значений. Прим. пер.

6

Строго говоря, 299 792 458 метров в секунду — это скорость света в вакууме. В какой-нибудь среде (например, воздухе или стекле) свет двигается несколько медленнее, хотя это не имеет ничего общего с теорией относительности. Только кажется, что свет в плотной среде двигается медленнее: просто атомы и молекулы материала постоянно поглощают и повторно излучают кванты света.

7

Если эта относительная скорость равна v, то оказывается, что время замедляется с коэффициентом где c — скорость света, то есть 299 792 458 метров в секунду. Если v близка к скорости света, время замедляется очень сильно, почти останавливаясь. Для Усэйна Болта, бегущего относительно берлинского стадиона со скоростью 12,42 метра в секунду, время замедлялось с коэффициентом 1,000000000000000858.

8

Эта величина также учитывает отрицательное влияние его большой высоты и слабой гравитации. Такие эффекты будут обсуждаться в этой главе далее. Прим. авт.

9

При этом жизнь мюона увеличивается по отношению к стороннему наблюдателю. Прим. науч. ред.

10

Откуда взялось c² в формуле E = mc²? Размерность массы и энергии отличаются на скорость в квадрате, так что дополнительный коэффициент c² помогает обеспечить совпадение размерностей в обеих частях равенства. Немного похоже на то, как вы обмениваете доллары на фунты. Но почему c², а не 3c² и не 0,5c²? Когда Болт начинает движение, он начинает набирать какую-то кинетическую энергию, поэтому но, как обычно, это просто аппроксимация недостающего коэффициента из специальной теории относительности — правильное выражение Все сойдется только в том случае, если член высшего порядка будет именно mc².

11

Поскольку x / t = c, мы можем подставить x = ct в формулу для расстояния в пространстве-времени. Это дает d² = c²t² — c²t² = 0.

12

Знаменитый батискаф «Триест», опустившийся в Бездну Челленджера 23 января 1960 года, принадлежал ВМС США, и вместе с океанологом Жаком Пиккаром в спуске участвовал лейтенант Дон Уолш. Прим. пер.

13

Большинство ученых полагают, что этот эксперимент Галилея был только мысленным, хотя канадский историк Стиллман Дрейк утверждал, что сообщение Вивиани в целом точное. Прим. авт.

14

Это описание взято из книги: Goldsmith M. Albert Einstein and His Inflatable Universe. Scholastic, 2001.

15

Экипаж «Аполлона-17» двигался на высокой скорости значительную часть пути, что замедляло их время, но в течение большей части миссии влияние значительной высоты преобладало над этим эффектом специальной теории относительности. Прим. пер.

16

Если быть точнее, просто по часам «Аполлона-17» прошел на одну миллисекунду меньше времени. Прим. науч. ред.

17

Uggerhøj U. I., Mikkelsen R. E., Faye J. The Young Centre of the Earth // European Journal of Physics. 2016. May. Vol. 37, № 3.

18

Родившийся в Корнуолле математик и астроном Джон Кауч Адамс независимо пришел к такому же выводу. Однако он отправил свои результаты в Королевскую обсерваторию в Гринвиче через два дня после того, как Леверье объявил о предсказанном им местонахождении новой планеты во Французской академии. В соответствии со своим корнуолльским происхождением Адамс не особо торопился, начав вычисления до Леверье, но закончив их несколько позже. Прим. авт.

19

Для наглядности: угловой диаметр Луны составляет 0,5 градуса, так что Нептун отстоял от вычисленного положения примерно на два диаметра Луны. Прим. пер.

20

Примерно через десять лет к аналогичным выводам о возможности существования таких массивных объектов пришел блестящий французский математик Пьер-Симон Лаплас. Неясно, насколько он был знаком с трудами Мичелла. Францию в то время охватила революция, так что общение ученых разных стран было нелегким делом. Прим. авт.

21

Если черная дыра не вращается вокруг своей оси, самая близкая стабильная круговая орбита для планеты или звезды имеет радиус, в полтора раза превышающий таковой для горизонта событий. Однако для вращающихся черных дыр существуют стабильные круговые орбиты вокруг их экватора, которые могут подходить все ближе к горизонту по мере увеличения скорости вращения черной дыры. У любой черной дыры есть максимальный возможный вращательный момент (который определяется массой дыры), и для дыр с максимальным возможным вращением внешние стабильные орбиты могут подходить к самому горизонту событий.

22

Эту рекурсивную последовательность названий предложил прославленный гуголог Джонатан Боуэрс, известный также под именем Hedrondude.

23

Тегмарк М. Наша математическая Вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности. М.: Corpus, 2017.

24

Джеймс Корден — английский актер, ведущий собственного телешоу на американском канале CBS, Late Late Show with James Corden. Прим. пер.

25

Abuelita (исп.) — бабушка. Прим. пер.

26

Автор дает ошибочную информацию. В психиатрических больницах Геппингена, Кенненбурга и Винненталя Майер провел около трех лет (1850–1853), а после лечения продолжил врачебную деятельность. Более того, в последующие годы его заслуги отчасти оценили: в 1859 году он получил почетную докторскую степень от Тюбингенского университета, в 1869 году Французская академия наук присудила ему премию Понселе, а в 1871 году Лондонское Королевское общество наградило медалью Копли. Умер Майер от туберкулеза только в 1878 году. Прим. пер.

27

Современный вариант формулы Клаузиуса таков: , где ∆E — изменение энергии, ∆S — изменение энтропии, T — температура, а k — так называемая постоянная Больцмана. Она очень мала: 1,38 × 10^–23 Дж/К (джоулей на кельвин). Сам Клаузиус в свою формулу постоянную Больцмана не включил: для него она входила в определение энтропии скрытым образом.

28

В русской традиции эта формула просто является определением энтропии. Прим. науч. ред.

29

Джоуль — стандартная единица измерения энергии и теплоты. Возможно, вам лучше знакомы килокалории — 1 килокалория равна 4184 джоулям. Прим. авт. [Точнее, 4184 джоуля — это термохимическая килокалория. Международная килокалория — 4168 джоулей. Существуют и другие килокалории. Прим. пер.]

30

Принц и аристократы в переносном смысле: дед Даниила Николай был фармацевтом. Всего в семействе Бернулли известно несколько десятков выдающихся людей, включая великих математиков и физиков. Прим. пер.

31

Точнее было бы перевести «имеет значение», но здесь — каламбур. В оригинале автор использовал слово counts, что значит еще и «считать». Прим. пер.

32

Спин — характеристика вращения, момент импульса элементарных частиц и атомов. Прим. пер.

33

В 1905 году в течение своего annus mirabilis (От лат. «год чудес» — так называют год, отмеченный несколькими важными событиями; Эйнштейн в тот год опубликовал несколько первоклассных работ, заложивших основы теории относительности, квантовой механики и статистической физики. Прим. пер.) Эйнштейн показал, что случайные столкновения молекул в модели Бернулли могут объяснить броуновское движение — изломанное движение крохотных частиц, взвешенных в жидкости.

34

Достаточно точное для физики значение планковской длины — 1,6 × 10^–35 метра. Прим. авт.

35

В середине 1990-х Эндрю Строминджеру и Камрану Вафе из Гарвардского университета с помощью теории струн удалось определить микросостояния для одного узкоспециализированного и несколько искусственного семейства черных дыр. Подсчитав их, они смогли получить формулу Бекенштейна и Хокинга для энтропии.

36

Для такой черной дыры A_H ~ 1 квадратный метр, и при l_p ~ 10^–35 метра получаем, что энтропия равна 1 / (4 × (1,6 × 10^–35 метра)²) ~ 10⁶⁹.

37

Гуголог — человек, который изучает большие числа и дает им названия. Прим. авт.

38

Эта аналогия взята из книги: Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории. М.: Либроком, 2017.

39

Зептоджоуль — миллиардная часть от триллионной доли джоуля, 10^–21 джоуля. Прим. авт.

40

При температуре T каждая пара змей в среднем несет kT энергии. Духовка нагрета до 180 °C, то есть до 453 K. Поскольку k = 1,38 × 10^–23 Дж/К, получаем, что средняя энергия kT = 1,38 × 10^–23 × 453 кельвина = 6,25 × 10^–21 джоулей. Иными словами, около 6 зептоджоулей.

41

Отсылка к фразе из Декларации независимости США, что все люди рождаются равными. Прим. пер.

42

Примечательные эксперименты по измерению энергии, излучаемой горячими объектами, провели в конце XIX века немецкие физики Люммер, Курльбаум и Прингсгейм. Конечно, Люммер и его сотрудники измеряли излучение не в духовке, а использовали другие источники аналогичного излучения, включая платиновый цилиндр с электрическим подогревом.

43

Значение постоянной Планка ħ ≈ 1,05 × 10^–34 Дж ∙ с. Прим. авт. [Величину, которую автор называет постоянной Планка ħ, именуют приведенной постоянной Планка или постоянной Дирака. Обычную постоянную Планка обозначают h, и h = 2πħ ≈ 6,626 × 10^–34 Дж ∙ с. Прим. пер.]

44

Уместно заметить, что и Нобелевскую премию Эйнштейн получил в первую очередь «за открытие закона фотоэлектрического эффекта», как было сформулировано при вручении. Прим. пер.

45

И выиграл серебро на Олимпийских играх 1908 года. Впоследствии Харальд Бор защитил докторскую диссертацию и стал известным математиком. Прим. пер.

46

Де Бройль утверждал, что частице с импульсом p соответствует волна, имеющая длину λ = 2πħ / p. Для фотона с угловой частотой ω и энергией E справедливо соотношение E = ħω, но, поскольку фотон двигается со скоростью света, его импульс p = E / c, а длина волны λ = 2πc / ω. Объединяя эти равенства, получаем λ = 2πħ / p. Луи де Бройль просто распространил эту формулу на все частицы.

47

Обычно считается, что это замечание принадлежало нидерландскому физику Петеру Дебаю. Прим. авт.

48

Нужно отметить, что отношения между Эрвином и его женой Аннемари были весьма свободными: у Аннемари хватало любовников, как у Эрвина — любовниц. Прим. пер.

49

Чуть более строго: квадрат модуля волновой функции |ψ|² интерпретируется как плотность распределения вероятности нахождения электрона в данной точке пространства. Прим. пер.

50

Идиома up to eleven (буквально «до одиннадцати») означает «до предела». Выражение возникло после фильма Роба Райнера «Это Spinal Tap!», где гитарист устанавливает рукоятки громкости усилителя на 11, хотя обычная шкала — от 0 до 10. Прим. пер.

51

Обычный повседневный мир дает интуитивное представление о спине как о вращении — это импульс, который вы связываете с орбитальным движением вращающегося объекта. Однако в квантовой механике на самом деле есть два типа спина. Существует квантовая версия орбитального вращения, но есть и новый внутренний вид спина. Он подобен своему орбитальному родственнику, но не имеет аналога в обычном мире. Для электрона мы можем определить собственный спин в виде значений «вверх» или «вниз». Это делают с помощью переменного магнитного поля, как в опыте Штерна — Герлаха, впервые проведенном Отто Штерном и Вальтером Герлахом в 1922 году. Прим. авт.

52

Победа «Лестера» стала грандиозной сенсацией. Клуб впервые в своей истории стал чемпионом, а перед началом сезона букмекеры принимали ставки на его победу с коэффициентом 5000. Прим. пер.

53

Отсылка к романам Джорджа Мартина из серии «Песнь льда и огня» и сериалу «Игра престолов». Одичалые — люди, которые живут за Стеной. Прим. пер.

54

Это утверждение прямо следует из того факта, что наблюдаемая нами часть Вселенной является плоской. Сегодняшняя точность этого утверждения такова, что, если Вселенная где-то на больших масштабах все же искривляется, ее диаметр должен быть как минимум в 250 раз больше той части, которую мы наблюдаем. Ситуация здесь схожа с тем, как, не видя искривления Земли до самого горизонта, мы не можем сказать, что планета плоская, но можем смело утверждать, что ее радиус достаточно велик. Прим. науч. ред.

55

Гипотетическая частица, ответственная за процесс быстрого расширения Вселенной вскоре после Большого взрыва. Прим. пер.

56

Под пеплом остались в лучшем случае кости. Изображения людей, которые вы могли видеть, — это гипсовые слепки, которыми ученые заливают пустоты в пепле, оставшиеся от испарившихся со временем тел. Полученные статуи показывают позы, в которых умерли люди (в основном от проблем с дыханием и от температуры). Прим. пер.

57

«Кембриджские апостолы» — группа, занимавшаяся интеллектуальными дискуссиями и состоявшая в основном из студентов Кембриджского университета. Она приобрела некоторую известность в 1950-х и 1960-х, когда стало известно, что два ее бывших участника, Гай Берджесс и Энтони Блант, оказались частью кембриджской шпионской сети, передавшей британские секреты Советскому Союзу. Рамсей был «апостолом» в 1920-х, за десять лет до избрания Берджесса и Бланта, и, несмотря на его левые взгляды, нет никаких оснований предполагать, что он был замешан в шпионаже. Прим. авт. [Особенно если учесть, что Рамсей умер в 1930 году, когда до контактов Берджесса и Бланта с советской разведкой оставалось еще несколько лет. Прим. пер.]

58

Объяснение взято из книги: Freiberger M., Thomas R. Numericon. Quercus, 2015.

59

Лига плюща — группа из восьми частных престижных университетов в северо-восточном регионе США (Йельский, Колумбийский, Принстонский, Корнелльский, Гарвардский, Пенсильванский, Брауновский университеты и Дартмутский колледж). Прим. пер.

60

В общем случае кликой в теории графов называется полный подграф. Это некоторое подмножество вершин исходного графа, причем все вершины в этом подмножестве соединены ребрами между собой. Прим. пер.

61

Автор не совсем ясно выразился. Справедливо утверждение (задача Рамсея): в любой группе из шести человек всегда найдется либо трое знакомых между собой, либо трое не знакомых между собой. Обе тройки одновременно найтись могут, но не обязательно — в качестве контрпримера можно рассмотреть группы, где все шестеро знают друг друга или, наоборот, никто не знает друг друга. В терминах клик-задача Рамсея звучит так: если полный граф с шестью вершинами выкрашен в два цвета, то существует либо клика на трех вершинах цвета 1, либо клика на трех вершинах цвета 2. Прим. пер.

62

Математики обычно определяют число Рамсея с помощью двух целых чисел n и m. Число Рамсея R(m, n) — наименьшее количество гостей, которых необходимо пригласить на вечеринку, чтобы получить клику из m знакомых или клику из n незнакомых. Но для простоты я всегда буду называть число R(n, n) просто n-м числом Рамсея.

63

Вот рекуррентный метод определения числа Эрдеша. Сам Эрдеш имеет число Эрдеша, равное нулю. Любой соавтор Эрдеша (ученый, написавший с ним хотя бы одну совместную статью), имеет число Эрдеша, равное 1. Соавторы людей, имеющих число Эрдеша 1, получают число Эрдеша 2 (если только уже не имеют число 1). И так далее: соавторы людей с числом Эрдеша n получают число n+1 (если только у них уже не определено число Эрдеша, меньшее или равное n). Например, и автор, и переводчик этой книги на данный момент имеют число Эрдеша 4. Свое число Эрдеша вы можете узнать, скажем, на сайте mathscinet.ams.org/mathscinet/freeTools.html (если у вас есть какие-то научные работы, попавшие в эту базу). Если же никакой цепочки из совместных работ от вас до Пала Эрдеша не найдется, то ваше число Эрдеша по определению равно бесконечности. Прим. пер.

64

Более строгая формулировка задачи. Возьмем n-мерный гиперкуб, у которого все вершины соединены между собой (иными словами, полный граф с 2n вершинами). Раскрасим каждое ребро в один из двух цветов. При каком наименьшем значении n при любой такой раскраске обязательно найдется одноцветный полный подграф с четырьмя вершинами, лежащими в одной плоскости? Прим. пер.

65

Сейчас эта величина называется малым числом Грэма (Little Graham). Прим. пер.

66

Он выбрал эту сумму, потому что «256 центов — это один шестнадцатеричный доллар». Прим. авт.

67

Число 3,32 возникает, поскольку 2^3,32 ≈ 10. Любители логарифмов заметят, что log₂10 ≈ 3,32. Прим. авт.

68

Число 4,7 возникает, поскольку 2^4,7 ≈ 26. На этот раз любители логарифмов заметят, что log₂26 ≈ 4,7. Прим. авт.

69

В английском языке большинство слов с буквой q имеет латинское происхождение, а в этом случае следом идет u (пример автора — тоже прямое заимствование из латыни). Однако есть также несколько десятков слов, заимствованных из других языков (иврит, арабский, китайский и т. д.), где q не связана с u. Прим. пер.

70

Типичная крупинка домашней пыли имеет массу около одного микрограмма (10^–3 миллиграмма). Чтобы накопить такую же массу данных, потребуется набрать 10^–3 / 10^–26 = 10²³ бит. Поскольку в байте 8 бит, то получаем примерно 10²² байт, или 10¹³ гигабайт.

71

Мой айфон содержит 31 грамм алюминия (это примерно четверть его массы). Чтобы прикинуть общую тепловую энтропию, вычислим энтропию, которая содержится в алюминии. Стандартная молярная энтропия алюминия (в единицах постоянной Планка) составляет 28,3 джоуля на моль на кельвин. В безразмерных единицах энтропии, которые мы используем, это равно 2 × 10²⁴ нат на моль. Молярная масса алюминия — 26,98 грамма на моль, поэтому 31 грамм этого металла несут 31 × 2 × 10²⁴ / 26,98 = 2,3 × 10²⁴ нат. Общая масса телефона вчетверо больше, поэтому получаем оценку 10²⁵ нат, то есть около 10¹⁵ гигабайт.

72

Площадь поверхности моего айфона примерно 19 000 квадратных миллиметров. Черная дыра с горизонтом такого же размера в соответствии с формулой Хокинга имеет энтропию около 2 × 10⁶⁷ нат. Это примерно соответствует 10⁵⁷ гигабайтам.

73

Необходимо уточнить, что все вышесказанное — всего лишь предположения. Хотя радиус планеты установлен относительно надежно (примерно в 1,4 раза больше земного), оценки ее массы отличаются в десяток раз. Прим. пер.

74

Сасскиндовский предел для энтропии не идеален. Его можно применить к космическому кораблю или яйцу, однако существуют экзотические ситуации, когда он не работает, — например, коллапсирующая звезда или сферическая Вселенная. Более сложный предел для энтропии разработал физик из Беркли Рафаэль Буссо; похоже, он работает всегда, включая указанные экзотические случаи.

75

К этому решению организаторов подтолкнул второй по продолжительности матч в истории Уимблдона, состоявшийся в 2018 году: тот же Изнер проиграл в полуфинале Кевину Андерсону со счетом 7–6, 6–7, 6–7, 6–4, 26–24. Прим. пер.

76

Мейфэр — район в Центральном Лондоне. В стандартном британском варианте игры «Монополия» это самая дорогая собственность на поле. Прим. пер.

77

В отечественной системе это уровень ниже доцента — примерно соответствует ассистенту, старшему преподавателю. Прим. пер.

78

Автор ошибается: Геделя следует считать австрийцем. Да, он родился в Австро-Венгрии в Брно (территория современной Чехии), а в возрасте 12 лет после распада Австро-Венгрии автоматически получил гражданство Чехословакии. Однако его семья была немецкоговорящей, сам он считал себя австрийцем и через несколько лет получил гражданство Австрии, отказавшись от чехословацкого. Прим. пер.

79

Филдсовскую премию (и соответствующую медаль) дают математикам до 40 лет. Прим. пер.

80

Нифльхейм (буквально «обитель туманов») — царство холода и льда в скандинавской мифологии. Однако аналог ада — Хельхейм; в разных источниках он либо примыкает к Нифльхейму, либо оказывается его частью. Прим. пер.

81

Pound-for-pound — термин в боксе и других единоборствах, который применяют при выборе лучшего бойца вне зависимости от весовых категорий. Прим. пер.

82

Надо отметить, что устоявшегося русского названия для суперконформных теорий поля пока нет. Мы пользуемся аналогией с конформными теориями поля. Прим. науч. ред.

83

«Коп» — тип трибуны с террасами. Конструкция названа в честь крутого холма Спион-Коп в Южной Африке, где британцы воевали с бурами. Трибуна «Коп» есть на многих британских стадионах, но на ливерпульском стадионе «Энфилд» находится едва ли не самая знаменитая из них. Прим. пер.

84

Трансляция (перенос) соответствует сдвигу всех частей изображения на одно и то же расстояние в одном и том же направлении — подобно тому, что мы видим на кукурузном поле или в блестящей россыпи рыбьей чешуи. Скользящая симметрия более экзотична. Вы можете считать ее сдвигом, за которым следует разворот. Например, отпечатки наших следов — это последовательность скользящих симметрий. Чтобы увидеть это, пройдитесь по мокрому песку. Обратите внимание, что отпечаток левой ступни совпадает с отпечатком правой, если его немного сдвинуть вперед, а потом перевернуть.

85

Изучите главу 3 в книге: Conway J. H., Burgiel H., Goodman-Strauss C. The Symmetries of Things. A. K. Peters / CRC Press, 2008.

86

Не идеально строгое утверждение. Любому комплексному числу соответствует точка на плоскости, и аргумент ненулевого комплексного числа — это угол между положительной полуосью и радиус-вектором такой точки. Для нуля аргумент просто не определен, так что аргумент у него не изменить. Прим. пер.

87

Боэций. Утешение философией. Кн. III / пер. В. И. Уколовой и М. Н. Цейтлина. Прим. пер.

88

Во-первых, у майя это не дата творения, а просто дата начала нынешнего календарного цикла. Во-вторых, существуют и другие гипотезы о юлианской дате, соответствующей началу цикла майя. Прим. пер.

89

1, 2 и 100 записывались соответственно как ᾱ, и ; число 101 выглядело как , а 102 — как . Черта сверху ставилась для того, чтобы отличать числа от слов.

90

Сейфе Ч. Ноль: биография опасной идеи. М.: АСТ, 2014.

91

Черепаха появилась в этой истории значительно позже. Мы знаем идеи Зенона по изложению Аристотеля, а тот в описании этого парадокса использовал двух бегунов — быстрого и медленного. Прим. пер.

92

На самом деле все наши знания об этом эпизоде опираются на следующий отрывок из труда Диогена Лаэртского. «Мало того, он задумывал низвергнуть тирана Неарха (а иные говорят, Диомедонта) и был схвачен, как о том рассказывает Гераклид в “Сокращении” по Сатиру; но, когда его допрашивали о сообщниках и об оружии, которое он вез в Липару, он в ответ оговорил всех друзей тирана, чтобы тот остался одинок, а потом, попросившись сказать ему на ухо кое о ком, вцепился в ухо зубами и не отпускал, пока его не закололи; так подвергся он той же участи, что и тираноубийца Аристогитон. Деметрий в “Соименниках” говорит, будто он откусил тирану нос, а Антисфен в “Преемствах” — будто после того, как он оговорил друзей тирана, тот его спросил, не было ли кого-нибудь еще, а он ответил: “Только ты, пагуба нашего города!” — а потом обратился к окружающим: “Дивлюсь я вашей трусости: чтобы не пострадать, как я, вы ползаете перед тираном!” — и наконец отгрыз себе язык и выплюнул его тирану в лицо; и граждан это так взволновало, что они тут же насмерть побили тирана каменьями» (Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречения знаменитых философов / пер. М. Л. Гаспарова). Прим. пер.

93

Это можно доказать так. Пусть x = 1,111…, то есть после запятой идет бесконечная последовательность единиц. Умножим обе части равенства на 10 и получим 10x = 11,111…, где справа снова бесконечное количество единиц. Вычтем первое равенство из второго: 10x — x = 11,111… — 1,111… Поскольку единицы после запятой исчезают, получаем 9x = 10, откуда x = ¹⁰/₉ = 1 + ¹/₉.

94

При такой неопределенности в датировании рукописи Бакхшали самый ранний ноль, возможно, следует искать в Камбодже. Его можно увидеть в виде точки на древней кхмерской надписи, вырезанной на каменной табличке, которая датируется 683 годом нашей эры. Эта дата считается достоверной. Кхмеры имели тесные культурные связи с Индийским субконтинентом, поэтому данный конкретный ноль сохраняет связь с индийской математикой. Старинную табличку первоначально обнаружили в конце XIX века, однако она надолго пропала после кровавого правления красных кхмеров. Повторно ее открыли в 2013 году, когда математик и писатель Амир Дан Аксель обнаружил, что она пылится в одном из камбоджийских комплексов.

95

Аль-Андалус — территория Пиренейского полуострова, находившаяся под властью мусульман, «мусульманская Испания». Прим. пер.

96

Так Фибоначчи передавал латиницей арабское «сифр». От zephirum произошло слово zero — название нуля в различных европейских языках. Прим. пер.

97

Хотя в русских переводах этой знаменитой фразы чаще используют слово «цифры», оригинальный текст на латыни содержит слово figura («форма, фигура»): «Nouem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus». Прим. пер.

98

Равенство активов и пассивов (уравнение баланса) вытекает из принципа двойной записи. Каждое перемещение средств фиксируется дважды: в дебете одного счета и в кредите другого. В результате увеличение дебета (или кредита) одного счета равно уменьшению кредита (или дебета) на другом. Прим. пер.

99

В отечественной традиции ноль не принято включать в множество натуральных чисел. Прим. пер.

100

Строго говоря, в своем письме 1902 года Рассел указал на проблему в более ранней работе Фреге «Исчисление понятий», опубликованной еще в 1879 году. Впрочем, немецкий математик на нее в любом случае опирался, поэтому вынужденно сделал приложение ко второму тому «Оснований арифметики» с анализом этого парадокса, где, в частности, отмечал: «Вряд ли с ученым может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена». Прим. пер.

101

На самом деле ситуации очень разные. Знаменитый парадокс брадобрея решается очень просто: такого парикмахера не может существовать. В этом нет ничего удивительного, поскольку мы некорректно указали свойство, определяющее множество искомых клиентов. Если мы предположим, что Джузеппе бреет только брюнетов, одновременно являющихся блондинами, то некорректность свойства, определяющего круг клиентов, заметна лучше. В случае с расселовским множеством (множеством всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента) ситуация несколько сложнее, и сам Рассел в книге «Философия логического атомизма» объяснял, что эти парадоксы не эквивалентны. Прим. пер.

102

На что последовал знаменитый ответ Гильберта, что университет — не баня. Прим. пер.

103

В 1919 году она стала приват-доцентом, а в 1923-м университет расщедрился лишь на звание внештатного профессора. Прим. пер.

104

Специалисты по физике элементарных частиц предпочитают выражать энергию в эВ (электронвольтах). 1 эВ — кинетическая энергия, которую приобретает электрон, когда проходит через разницу потенциалов в 1 вольт. В соответствии со знаменитой формулой Эйнштейна E = mc² мы получаем, что эта энергия примерно эквивалентна массе 1,78 × 10^–38 килограммов. Электронвольты удобны для измерения крошечных масс и энергий элементарных частиц. Для обычных объектов, например людей, они не очень подходят. Никому не понравится слышать, что его масса — примерно 40 триллионов триллионов триллионов электронвольт. Одиннадцать стоунов звучит намного лучше (Стоун — британская единица массы, равная 14 фунтам или примерно 6,35 килограмма. Традиционно используется для указания массы человека. Прим. пер.).

105

В реальности планеты двигаются по эллипсам, поэтому теория расходится с наблюдениями. Чтобы остаться в рамках круговых движений, древние астрономы вводили комбинации кругов. Например, планета равномерно движется по небольшому кругу (эпициклу), который двигается по большому кругу (деференту). При этом движение планеты выглядит равномерным, если смотреть не из центра деферента, а из некоторой другой точки, которая называется эквантом. Прим. пер.

106

Идея не была принципиально новой. Гелиоцентрическую систему разработал еще Аристарх Самосский в III веке нашей эры, но позже она была забыта. Прим. пер.

107

Теоретически их масса равна нулю, экспериментально на данный момент ограничена сверху величиной 1,3 МэВ/c². Прим. пер.

108

К сожалению, сейчас физики в целях упрощения почти перестали называть кварки с использованием эпитетов (странный, очарованный и т. д.), приняты просто буквенные обозначения. Но для расширения кругозора в книгу добавлены их изначальные названия. Прим. науч. ред.

109

От др. — греч. ἄτομος — «неразрезаемый, неделимый». Прим. пер.

110

Конечно, по-настоящему выворачиваться наизнанку эти моллюски не умеют. Их щупальца соединены перепонками, и кальмары умеют только выворачивать этот конус, чтобы закрыть тело в случае опасности. Прим. пер.

111

Очень проницательный читатель может удивиться, как это согласуется с поиском двойника в главах «Гугол» и «Гуголплекс». Там мы описывали вашего двойника как точную копию в точно таком же квантовом состоянии. Поскольку мы состоим из фермионов, это может показаться противоречащим принципу Паули. Но на самом деле ваш двойник очень далеко — так далеко, что его нельзя относить к той же квантовой системе, поэтому противоречия нет.

112

Подразумевается, что даже ошибочные утверждения для науки важны, поскольку показывают тупик для будущих исследователей. Фраза «Это не только не верно, но даже не ошибочно» подчеркивает бессмысленность, спекулятивность, голословность псевдонаучной работы. Прим. пер.

113

Иначе: u-кварк, d-кварк, s-кварк, c-кварк, t-кварк (или топ-кварк), b-кварк (боттом-кварк) соответственно. Цвейг выбрал название «тузы», поскольку полагал, будто существует всего четыре кварка, что соответствовало четырем известным на тот момент лептонам. Прим. пер.

114

Конфайнмент (англ. confinement, «удержание») — явление, заключающееся в невозможности получить свободные кварки; они существуют только внутри мезона, бариона или иных кварковых комплексов. Прим. пер.

115

Внимательный читатель может удивиться, почему премию за физическую задачу предлагает математический институт. На самом деле предлагается решить обобщенную математическую задачу из теории групп, следствием которой, в частности, станет и конфайнмент безмассовых глюонов. В настоящий момент теория групп является одним из самых востребованных физиками разделов математики. Прим. науч. ред.

116

В данном случае речь идет о сравнении констант этих взаимодействий. В целом сложно сравнивать фундаментальные взаимодействия между собой, ведь им подвержены совершенно разные объекты, как, например, глюоны в случае сильного взаимодействия и лептоны в случае слабого. Сила же гравитационного взаимодействия вообще определяется лишь массой участвующих тел. Прим. науч. ред.

117

Тогда считалось, что радиоактивное излучение улучшает здоровье, так что активно рекламировались и продавались напитки, соли для ванной, зубная паста и другие продукты, содержащие соединения радия и тория. Прим. пер.

118

Буквально «нейтрончик». Прим. пер.

119

Если быть предельно корректным, зеркало не меняет местами лево и право, а изменяет знак глубины (координаты z) на противоположный. Иначе можно было бы задать резонный вопрос, почему меняется право и лево, а не верх и низ? Прим. науч. ред.

120

Отсылка к популярной фразе «Невозможно избежать только смерти и налогов», часто приписываемой Бенджамину Франклину (1789), но имеющейся уже в комедии Кристофера Баллока 1716 года. Прим. пер.

121

Чтобы понять жаргон, связанный с левосторонними и правосторонними частицами, полезно представить себе закручивание винта. Моя жена (которая намного лучше меня разбирается в домашнем труде) как-то рассказала мне мнемонику: righty tighty, lefty loosey (Аналогичная по смыслу русскоязычная мнемоника выглядит примерно так: право — плотно, лево — легко. Прим. пер.). Иными словами, если вы поворачиваете винт по часовой стрелке, он двигается вперед, а если против, то назад. В случае электрона мы говорим, что он правосторонний, если его спин ведет винт вперед, в том же направлении, в котором движется сама частица, и левосторонний, если спин перемещает винт назад, в противоположном направлении.

122

Американский физик Джек Стейнбергер назвал это решение самым несправедливым в истории Нобелевского комитета. Значительно позже, в 1978 году, Ву получила только что учрежденную премию Вольфа. Прим. пер.

123

V и A в названии теории означают соответственно векторный и аксиальный. Эти названия продиктованы различным поведением при пространственном отражении. Прим. науч. ред.

124

Позже Фейнман как-то сказал, что V-A теорию придумали Сударшан и Маршак, а опубликовали Гелл-Манн и Фейнман. Прим. пер.

125

Английская идиома fill shoes (буквально «заполнить туфли») означает «заменить, занять место предшественника». Прим. пер.

126

Гаргамелла — великанша, мать Гаргантюа в романе Франсуа Рабле. Прим. пер.

127

Вайнберг и Глэшоу разделили премию 1979 года с Абдусом Саламом, известным пакистанским физиком, который независимо развил аналогичные идеи Глэшоу, работая в соавторстве с англичанином Джоном Уордом. Поскольку Нобелевскую премию могут получить максимум три человека, Уорду награды не досталось. В ответ на такое пренебрежение он отправил Саламу телеграмму, в которой говорилось: «Warmly Admired, Richly Deserved» («Горячо восхищен, абсолютно заслуженно»). Проверьте первые буквы четырех слов (Первые буквы образуют фамилию Уорд. Следует добавить, что этим решением Нобелевского комитета был недоволен и упоминавшийся выше Джордж Сударшан. Он прокомментировал его так: «Стивен Вайнберг, Шелдон Глэшоу и Абдус Салам основывались на работе, которую я выполнил еще 26-летним студентом. Если вы даете премию за какое-то здание, то не следует ли сперва дать ее тому, кто построил первый этаж, а уже потом тем, кто построил второй?» Прим. пер.).

128

В оригинале каламбур. Выражение give mass можно перевести как «служить мессу» и «придать массу». Прим. пер.

129

Идиома пришла из мира бокса. «Выбросить полотенце на ринг» значит отказаться от дальнейшего участия в поединке. Прим. ред.

130

Точнее, Роберт Браут — американец, получивший со временем бельгийское гражданство. Прим. пер.

131

Помимо Нобелевской премии 2013 года, присужденной Хиггсу и Энглеру, Киббл также внес значительный вклад в премию 1979 года, которую получили Глэшоу, Салам и Вайнберг. Работа Киббла по пониманию спонтанного нарушения симметрии в более сложных условиях стала важной составляющей в развитии электрослабой теории.

132

Сэвиль-Роу — улица в Лондоне со множеством домов моды. Прим. пер.

133

От чрезмерных крайностей в энергии можно избавиться, ограничив неопределенность. Для интервала длительностью в планковское время t_p1 ≈ 10^–44 секунд мы можем получить энергию Это составляет примерно миллиард джоулей, если считать ħ ≈ 10^–34 дж∙с. Преобразуем эту энергию в массу по формуле Эйнштейна E = mc² и получим примерно 11 микрограммов — массу квантовой черной дыры! Это действительно очень хорошая оценка для массы, которая поступает к бозону Хиггса. Как обычно бывает, если провести более точный подсчет по учебникам, то результат будет чуть меньше: 11 микрограммов ≈ 2,5 микрограмма, что близко к массе мимариды.

134

Отсюда и «Алый Первоцвет» в названии главы. Так называется роман Эммы Орци о сэре Перси Блейкни, который под псевдонимом Алый Первоцвет во время революции спасает французских аристократов от гильотины. По сути, он был первым героем-мстителем, за которым последовали Зорро, Тень, Супермен, Бэтмен и т. д. Прим. пер.

135

В теориях суперсимметрии суперпартнеры фермионов используют в названиях префикс с-: сфермионы, скварки, слептоны, снейтрино и т. д. Суперпартнеры бозонов используют в названиях суффикс — ино: фотино, глюино, гравитино и т. д. Прим. пер.

136

Фрэнсис Астон (1877–1945) — английский физик, создавший масс-спектрограф и обнаруживший с его помощью изотопы нерадиоактивных химических элементов. Прим. пер.

137

Репербан (Рипербан) — район в Гамбурге, центр его ночной жизни. Прим. пер.

138

Enz C. P., Thellung A. Nullpunktsenergie und Anordnung nicht vertauschbarer Faktoren im Hamiltonoperator // Helvetica Physica Acta. 1960. Vol. 33, № 839.

139

Точнее, энергии вакуума соответствует лямбда-член в уравнениях теории относительности, в состав которых входит эта константа. Прим. пер.

140

Чтобы вычислить энергию в каждом ящичке, мы использовали принцип неопределенности: если наименьшее время t_min ≈ 10^–23 секунд. Паули не обладал нынешним пониманием и проводил расчеты несколько иначе. Хотя они никогда не были опубликованы, похоже, его оценка базировалась на уникальном варианте квантовой теории, который Планк предложил примерно десятью годами ранее.

141

Автор формулирует достаточно вольно. Космологическая постоянная — некая характеристика вакуума в уравнениях теории относительности, константа, имеющая размерность обратного квадрата длины. Энергия вакуума связана с этой константой, но сама все же ею не является. И является ли лямбда-член в уравнениях Эйнштейна энергией вакуума — до сих пор дискуссионный вопрос. Прим. науч. ред. и пер.

142

Жена Эренфеста Татьяна Афанасьева родилась в Российской империи, отсюда и имена детей в семье: Татьяна, Галинка, Пауль-младший (Павлик) и Василий (Васик). Прим. пер.

143

Не следует путать его с другим лауреатом Нобелевской премии по физике Робертом Милликеном, который измерил заряд электрона. Прим. пер.

144

Гейзенберг сумел описать квантовую механику с очень небольшим количеством рабочих частей, хотя и в сложной математической структуре. А вот Шрёдингер, введя волновую функцию, добавил дополнительный компонент, который упростил механизм, но принес проблему интерпретации. Волновую функцию часто считают физически реальной — такой же реальной, как классическое электромагнитное поле; однако это неверно. Это просто средство для достижения цели — способ кодирования вероятностей и возможных результатов экспериментов. Это не то, что можно измерить непосредственно в эксперименте.

145

Гейзенберг утверждал, что хотел поговорить о моральной стороне появления нового оружия, но не мог обсуждать этот вопрос открыто, и Бор его не понял. Бор трактовал беседу иначе: датчанин решил, будто Гейзенберг хотел узнать, что известно Бору о разработке урановой бомбы, и даже воспринял разговор как предложение работать на нацистов. Прим. пер.

146

Не совсем так. В июне 1942 года прошла конференция с участием Шпеера. Военный потенциал ядерной энергии был подтвержден, но экономическое положение Германии не позволяло создать оружие в течение ближайшего года, так что основной целью уранового проекта стал реактор. Прим. пер.

147

Существует два антропных принципа. Слабый таков: мы живем не в произвольной области Вселенной, а в той, которая пригодна для возникновения жизни. Сильный: свойства Вселенной должны быть такими, чтобы в ней возникла жизнь. Прим. пер.

148

При верификации гипотезы исследователь ищет подтверждающие ее примеры, при фальсифицируемости — примеры, опровергающие ее. Прим. ред.

149

Martel H., Shapiro P. R., Weinberg S. Likely Values of the Cosmological Constant // Astrophysical Journal. Vol. 492, № 1.

150

Кварта — британская мера объема, примерно 1,14 литра. Прим. пер.

151

У этой теории пока нет общепринятого русского названия. Прим. науч. ред.

152

В русской терминологии этот символ лемнискатой не называют. Лемниската — плоская кривая, которая имеет форму, напоминающую восьмерку или значок бесконечности. Название дано от лат. lēmniscātus («украшенный лентами»), которое восходит к греч. λημνίσκος («ленты»). Прим. пер.

153

До бесконечности (лат.). Прим. пер.

154

Этому нет никаких реальных подтверждений. Прим. пер.

155

В действительности впервые эти слова приписали Галилею спустя более чем сто лет. Прим. пер.

156

Способ выражаться (фр.). Прим. пер.

157

Первое послание к Коринфянам 4:5. Прим. пер.

158

Откровение 22:13. Прим. пер.

159

Иррациональные числа вроде √2 иногда называют алгебраическими, поскольку они являются решениями простых алгебраических уравнений с целыми степенями x и целыми коэффициентами (например, число √2 — решение простого уравнения x² — 2 = 0). Такие иррациональные числа, как π или e, даже не алгебраические — это так называемые трансцендентные числа. Прим. авт.

160

Похоже, причина ссоры была в другом. Миттаг-Леффлер, обеспокоенный философией и терминологией очередной статьи Кантора, попросил ученого отозвать ее, сказав, что она «опередила время на сто лет». Кантор послушался, но обиделся и порвал отношения и переписку со шведом. Он заметил: «При подходе Миттаг-Леффлера мне пришлось бы ждать до 1984 года, а это показалось мне чересчур большим требованием!.. Но, конечно, я больше не хочу ничего знать об Acta Mathematica». Прим. пер.

161

Это не единственно возможная система аксиом. Прим. науч. ред.

162

Гипотеза о принадлежности пьес Шекспира Фрэнсису Бэкону была высказана не Кантором, Уильям Генри Смит предложил ее еще в 1856 году. Прим. пер.

163

В Великобритании почетный титул человека, который посвящен в рыцари, но не принадлежит к конкретному ордену. Прим. пер.

164

Если быть точнее, Пенроуз показал, что теория Эйнштейна с необходимостью приводит к сингулярности. Это не означает, что теория нарушается, а просто показывает предел ее применимости. Прим. науч. ред.

165

Автор подразумевает следующее: его научным руководителем была Рут Грегори, научным руководителем которой был Джон Стюарт, научным руководителем которого был Деннис Уильям Сиама, научным руководителем которого был Поль Дирак. Прим. пер.

166

Подразумевается следующее. Предположим, что в невозмущенном случае задача имеет точное решение X₀. Если в задачу вводится малый параметр ε, то решение постепенно строится в виде X = X₀ + ε X₁ + ε²X₂ + …, где коэффициенты X_i вычисляются последовательными приближениями. Прим. пер.

167

Премию в 1965 году поделили все три физика — Швингер, Фейнман и Томонага. Прим. пер.

168

Идиома, означающая единственную имеющуюся возможность или доступную деятельность. Прим. пер.

169

14 марта выбрано днем числа пи, поскольку в американской системе записи (месяц перед днем) эта дата записывается как ³/₁₄. Прим. пер.

170

Во всяком случае, известна фраза Виттена: «“М” обозначает волшебство (magic), тайну (mystery) или мембрану (membrane) по вкусу». Прим. пер.

171

Английская идиома «слон в комнате» означает очевидную серьезную проблему, которую предпочитают не замечать, игнорировать. Прим. пер.

172

Черный садовый муравей имеет длину 3–4 миллиметра, а муравей-пуля может достигать 25 миллиметров. Прим. пер.

173

В английском языке singularity — это и уникальность, и сингулярность. Прим. пер.

174

Двенадцатиугольные числа названы так, поскольку соответствующее количество точек можно расположить в виде двенадцатиугольника. Их последовательность: 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217… Формула для n-го двенадцатиугольного числа: D_n = 5n² — 4n. Прим. пер.

175

Автор имеет в виду жертв давки на стадионе «Хиллсборо» в Шеффилде во время матча между клубами «Ливерпуль» и «Ноттингем Форест» 15 апреля 1989 года, когда погибло 97 болельщиков «Ливерпуля» (последней жертвой считается человек, получивший повреждения мозга и умерший в 2021 году). Полиция подтасовала документы и обвинила в трагедии болельщиков, но после многолетней борьбы за справедливость в 2016 году состоялся суд, который решил, что давка произошла по вине полиции. Прим. пер.