Знак Вопроса 1997 № 04

К ЧИТАТЕЛЯМ

Милые и любознательные читательницы и читатели журнала «Знак вопроса», хочу привлечь ваше внимание к проблеме времени, над которой также в течение многих веков упорно витает большой и жирный знак вопроса —? В заставке представлен малый табель-календарь XX века. Эту таблицу можно рассматривать и как английскую головоломку — CrossWord (кроссворд).

Приведите английские эквиваленты русских слов:

По горизонтали: 37 — основной, 85 — потомства.

По вертикали: 37 — быки, 41 — змея, 45 — петухи.

Решение этого кроссворда (которое приводится ниже) представляет собой ключ к рассматриваемой проблеме, в чем вы сможете убедиться, дочитав предлагаемую статью до конца. Идея стереовремени основана на эффекте Моруа.

Древнейшей операцией является счет. Он позволяет делать заключение о числе предметов, не перебирая их. Обычно не обращают внимания на то, что процедура счета является ритмическим процессом. Ритмические членения сложения

(10 + 1, 10 + 2, 10 + 3… одиннадцать, двенадцать, тринадцать) дают повторы с одинаковыми заглавными словами, а ритмические членения умножения

(1 × 10, 2 × 10, 3 × 10… десять, двадцать, тридцать), изменяют сами заглавные слова. Это циклы с ритмом, равным степени десяти:

десять, одиннадцать, двенадцать, тринадцать… двадцать… тридцать…

Например, числительное тридцать два имеет вид 3 x 10 + 2. Заметим, что русское числительное сорок является любопытным исключением, которое отмечал Лобачевский в своих лекциях по логике. Оно обозначало мешок собольих шкурок, потребных для изготовления одной шубы. Это была важная единица счета.

Календарное время имеет семидневный ритм, визуализируемый в табель-календаре. В качестве примера рассмотрим июнь 1941 года.

Многие помнят субботу 21 июня — последний мирный день, про который можно сказать — «завтра была война». По отношению к этой переходной неделе (с 16 по 22 июня) прошлая неделя полностью относится к довоенному времени, а будущая неделя — полностью к военному времени. Табель-календарь является простейшим примером двухмерного времени. Горизонтали в табель-календаре образуют дни текущей недели. Недельный цикл воскресении выстраивается в воскресный столбец, идущий поперек течения чисел.

Если месяц делится на недели и дни, то сутки — на часы и минуты. Круглый циферблат и прямоугольный табель-календарь как будто не имеют ничего общего. Однако и периодическая таблица календаря и часы с двумя стрелками имеют два измерения. Двухмерное представление времени может быть обобщено и на весь XX век, фрагмент которого приводится в заставке статьи.

Отличие вечности от времени состоит в том, что в ней все времена сосуществуют сразу. В грамматике неопределенная форма разворачивается в таблицу времен глагола. Действительно, грамматическое время (tense) также является двухмерным представлением в отличие от одномерного физического времени (time). Особенно наглядно это видно в таблице девяти основных грамматических времен английского глагола. В качестве примера приведены формы глагола take (брать):

В таблице грамматических времен уровни прошедшего, настоящего и будущего располагаются параллельно, а не вытягиваются в одну линию. Если воспользоваться компьютерной терминологией, то продольное текущее время («прокручивание в уме») можно назвать оперативной памятью, а поперечное время («глубинная память души») долговременной памятью.

Представление в двухмерном времени позволяет визуализировать скрытые периодичности, выявляя характерные циклы. Вечность — это единый массив прошлого, настоящего и будущего, в котором времена надстраиваются как в этажерке друг над другом. Доказательством истинности этой концепции Зенон считал свои знаменитые апории. Рейхенбах описывает кинозрителя, который кричит: «Остановись!» экранному Ромео, поднимающему кубок с ядом. Мы сопереживаем героям, хотя все события фильма предопределены их записью на видеокассете. Ее можно держать в руках. Она вся здесь — начало, середина и конец. Фильм существует вне времени, которое он фиксирует. С точки зрения классической логики такой объект просто не может существовать!

Вспомним знаменитые антиномии Канта, с которыми каждый студент знакомится в институте на лекциях по философии. Тезис о том, что мир имеет начало во времени, Кант доказывает от противного. Пусть мир не имеет начала во времени. Тогда до любого мига протекла бесконечная последовательность момента. Это — истекший бесконечный ряд. Мы приходим к понятию «завершенная бесконечность». По мнению Канта, она невозможна, и полученное противоречие доказывает тезис. «Но главнейшее, что можно возразить Канту, — это неприятие им во внимание идеи актуальной бесконечности», — подчеркивал П. Флоренский еще в 1908 г. в своей лекции «Космологические антиномии Иммануила Канта» (П. Флоренский. Соч., т 2. М., 1996). Математики пользуются этим парадоксальным понятием, начиная с Больцано и Кантора.

ЦИКЛЫ ВРЕМЕНИ. Циклический характер мировой истории был подмечен Д. Вико в «Основаниях новой науки об общей природе наций». А. Тоинби считал традиционные китайские символы Инь и Ян наиболее подходящими для выражения чередования статики и динамики в ритме Вселенной. Символ имеет вид круга, разделенного на две половины синусоидальной кривой. На черной половине имеется белый кружок («свой среди чужих»), а на белой половине — черный кружок («чужой среди своих»).

Переход от статики Инь к динамике Ян позволяет сдвинуть дело с мертвой точки. Завершается цикл обратным переходом от Ян к Инь, который возвращает в состояние покоя. Двухтактный ход туда — обратно описывает единый цикл «Тик-так» делает Мир-маятник[1].

Галилей открыл законы математического маятника, наблюдая за качаниями люстры во время службы в соборе. Новая парадигма[2], возникла, когда он увидел целостный объект — маятник вместо отдельных груза и нити.

Создавая классическую механику, Галилей характеризовал ее как «совершенно новую науку о предмете совершенно старом, о котором философы написали томов немало и немалых». Он изучал не только попеременное движение (периодические колебания, но и просто переменное движение: равномерное движение (с постоянной скоростью) и равномерно ускоренное движение (с постоянным ускорением).

Расстояние х, время t и мгновенную скорость v показывают три прибора на приборной доске автомобиля — цифровой счетчик пройденного пути, часы (стрелочные или цифровые) и спидометр (обычно стрелочный). Как правило, мало кого интересует средняя скорость v_ср= (ΔS/ Δt), ибо она чем-то напоминает «среднюю температуру по больнице». Инспектор ГАИ штрафует за производную v = ds/dt.

Только статика является непарадоксальной. Даже равномерное движение логически противоречиво, ибо означает постоянное изменение («неизменное изменение»). Этот качественный скачок был сделан Галилеем. Но особенно хорошо мы начинаем разбираться в этой диалектике, когда она начинает затрагивает наш кошелек. В период инфляции мы уже не надеялись на постоянство курса рубля и требовали, чтобы хотя бы изменение было стабильным. «Такого подвоха не ждали. Не курс валют сам по себе важен, важно новое ускорение роста потребительских цен, который за неделю «черного вторника» был больше, чем летом за целый месяц», — писал О. Лацис осенью 1994 года, Непостоянное (резкое) изменение курса непарадоксально, но хуже постоянного (стабильного изменения, которое логически противоречиво.

Равномерное изменение описывается арифметической прогрессией, а ускоренное — геометрической прогрессией. Интересно отметить, что если принять расстояние от Солнца до Земли за 10 единиц, то расстояния между Землей, Марсом, астероидами, Юпитером и Сатурном будут соответственно равны 6, 12, 24, 48. Это — геометрическая прогрессия. Расстояние от Солнца до Марса равно 10 + 6 = 16, до астероидов: 16+12 = 28, до Юпитера 28 + 24 = 52, до Сатурна: 52 + 48 = 100. Закон Тициуса — Боде позволяет описать это единой формулой: 4 + 3 × 2².

Классическую логику можно сравнить с элементарной математикой, которая является математикой постоянных величин. Логика слишком пристально вглядывается в стоп-кадр — констатирует. Отсюда логическая недостаточность и аритмия.

В этом стихотворении Пушкина «Движение» верно отражена ситуация, возникшая с появлением апорий изменения, сформулированных Зеноном.

(стихи даны в виде параллельных текстов, чтобы создать «стереоэффект»).

Вышеприведенные стихотворные строки П. Валери о Зеноне Элейском из его знаменитого сборника «Charmes» (Чары) могут служить образцом синтеза. Очаровательна также его критическая статья о творчестве Леонардо да Винчи. Отражая доводы позитивистов, он едко заметил: «Не лучше ль заняться нервной системой Джоконды или печенью Венеры Милосской?»

В логике следует учесть опыт математического анализа, который рассматривает разности различных порядков (приводящие к понятию скорости и ускорения). Создание математического анализа было чудом, к которому мы слишком привыкли. А ведь творческий взлет Лейбница поздней парижской осенью 1675 года был поразителен! Его метод возник из рассмотрения ряда нечетных чисел: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… в котором частичные суммы приводят к последовательности квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25… Это переход от разностного к сумматорному ряду.

В истории мы пользуемся циклической хронологией, а не линейкой. О. Шпенглер в «Закате Запада» рассмотрел смену фазисов: восход — зенит — закат — ночь, которые циклически повторяются в культурах ВОСТОКА, ЮГА, ЗАПАДА, СЕВЕРА Европы, что обычно сопровождалось сменой основного языка (греческий — итальянский — французский — …). Смена ориентации наглядно показана на карте Европы (см. рис.).

Принцип квантования истории — как отмечал Л,Н. Гумилев — был впервые сформулирован китайским историком I в. до н. э. Сыма Цянем. Вертикальные прорывы в дискретных озарениях знаменуют собой поворотные вехи, которые порождают прерывный характер генеральной линии развития. Этот процесс можно рассматривать как цепь циклов. Используя два циклических параметра: культуру — Т и фазис — t можно построить периодическую классификацию стилей:

В первом столбце периодической таблицы стилей представлены различные исторические аналоги, характеризующиеся имперскими (♠ — меч воина), романтическими (♥ — сердце поэта), классическими (♦ — бриллиант купца) и барочными (♣ — жезл мудреца) тенденциями.

Шпенглер тонко подметил, что башенные часы эпохи романтизма превратились в карманные часы эпохи барокко.

Развитие внутри цикла непрерывно, а число циклов — дискретно. Дискретная непрерывность означает квантование времени. Образно говоря, движение можно сравнить с восхождением, в котором долгие горизонтальные продвижения вперед перемежаются с кратковременными скачками вверх. Это — кусочно непрерывная функция («рваная непрерывность»). Доказательством истинности этой концепции являются знаменитые апории элеатской школы. Апории Зенона показывают, что если движение непрерывно, то оно дискретно («Дихотомия»), а если движение дискретно, то оно непрерывно («Стрела»). Квант движения подобен квантовой частице-волне. Качественное развитие характеризуется многостадийностью процесса, который состоит из стадии, отделяемых друг от друга дискретными скачками.

МОДЕЛЬ ВЕЧНОСТИ. Мысль о Вечности мы встречаем у Платона, Плотина и св. Августина. Как могла возникнуть эта мысль? Св. Августин не дает ответа, но в качестве модели в знаменитой 11-й книге «Исповеди» приводит процесс воспоминания песни. Когда данная строка произносится, то следующая строка предвосхищается, а предыдущая строка возвращается в память. Единство стихотворения обеспечивается периодами строк (подкрепленными рифмами), которые создают вертикальные связи. Фактически им была предложена модель Вечности, в которой принимается табличное, а не линейное прочтение. Именно так это принято при записи стихотворения. В этом «ковре жизни» далеко отстоящие, но «рифмующиеся времена» образуют вертикали, позволяя увидеть скрытые периодичности.

Применительно к масштабам человеческой жизни давно был подмечен 12-летний цикл, нашедший свое отражение в циклах восточного календаря. Двенадцатиричная система счисления применялась на заре цивилизации в Древнем Вавилоне. Г. Уэллс считал, что она снова будет введена в будущем. Когда герой его романа «Спящий пробуждается» попадает в будущее, то ему говорят, что он проспал гросс, то есть дюжину дюжин лет (144 года).

Не следует думать, что 12-летний цикл был взят произвольно, ибо зачем брать с потолка, когда можно взять с неба. Юпитер является причиной приливов на Солнце, повторяющих двенадцатилетний цикл планеты-гиганта, «стоящего во главе небесных влияний». Обсуждение его связи с «таинственным одиннадцатилетним периодом солнечных пятен» было полностью исключено из единственного советского издания книги Фламмариона, вышедшего в 1941 году[3].

В 1905 году А. Белый уловил 12-летний цикл в русской истории XX века, предсказав 1917 год. Построчное разложение на циклы позволяет визуализировать скрытые периодичности, выявляя судьбоносные годы. Узловые точки истории характеризуются периодом в 24 года (и полупериодом в 12 лет для менее значимых событий), ибо два 12-летних цикла соответствуют одной генерации в волне поколений. Если принять за «нулевую точку» 1965 год, то получим большой табель-календарь века. Предреволюционный 14-й год можно рассматривать как пред-17-й, а 20-й — как пост-17-й. Итак, 14 = пред-17, 20 = пост-17, что характеризуется малым циклом в 3 года. Предвоенный 37 = пред-41 и послевоенный 45 = пост-41 имеют малый цикл 4 года. В нулевом цикле отсутствуют малые циклы. В плюс-первом цикле: 85 = пред-89, 93 = пост-89 (с малым циклом в 4 года); в плюс-втором цикле: 2010, 2013, 2016 — антианалоги 1914, 1917, 1920 годов. Грядет 2001 год — антианалог 1929 (года великого перелома).

В этом табель-календаре любознательные читатели могут усмотреть и более тонкие нюансы. Год 1996 является антианалогом 1924 года — снова Горки, но с противоположным исходом. Год 2006 будет антианалогом 1934 года.

Автор с помощью этого метода вскрыл периодичности своей жизни. Узловые точки биографии характеризуются периодом в 24 года (и полупериодом в 12 лет для менее значимых событий). Годы жизни: 1966–1978 — 1990 (кандидат наук — доцент — доктор наук) образуют вертикаль в поле двухмерного Времени. Кроме того, имеется диагональ с периодом 13 лет: 1958–1971 — 1984 (начала научной, педагогической деятельности и докторантуры). Следующий в этом ряду 1997 год — начало нового вида деятельности и ее увенчание в 2002 году.

В XX веке жизнь оказалась в клеточку, поэтому из тетрадки по математике надо вырвать листок, чтобы показать «теоремы» истории. На листке в клеточку будет проще «запеленговать» события, для которых нужны две координаты. Фактически это означает применение для поля Вечности прямоугольной системы координат, получившей свое имя в честь Декарта, создавшего аналитическую геометрию. В Ульмскую ночь 10 ноября 1619 года он записал, что «был полон восторга и открыл основы изумительной науки». Построчное разложение на циклы позволяет визуализировать скрытые периодичности, выявляя судьбоносные годы («вехи») в поле двухмерного времени. При этом далекое становится близким, превращаясь в «далекое-близкое» нашей памяти. Малый табель-календарь века, представляющий собой центральный фрагмент («ядро») большого табель-календаря, приводится как ответ на приведенный в заставке кроссворд (или «крестословицу», как называл его В. Набоков). Образно говоря кроме номеров «домов», удобно еще знать названия поперечных «улиц» по вертикали: bulls (быки), snake (змея), cocks (петухи).

Предвоенный 1937 год — это анти-1985 год, 1945 и 1993 — это годы штурма. Осью симметрии служат 1941 и 1989 годы. Замечу, что с помощью этой таблицы был предсказан 1993 год. Годы 1936–1941 — 1945 прошли под знаком войны — ♠, центр таблицы 1965 год — под знаком романтизма шестидесятников — ♥, 1985–1989 — 1993 годы — под знаком торговли — ♦, а не включенные в малую таблицу 2010–2013 — 2016 годы пройдут под знаком духовности — ♣.

А. Тойнби в книге «Цивилизация перед судом истории» подчеркивает аналогию параллельных пластов истории: «И внезапно на меня нашло озарение… мой мир и мир Фукидида оказались в философском аспекте современниками… Вверх-вниз, вперед-назад, круг за кругом — таков, как сформулировал император-философ Марк Аврелий, монотонный и бессмысленный ритм Вселенной. Обыкновенный средний человек, дожив до сорока лет, успевает испытать все, что было, есть и будет». Это несколько вольный пересказ фрагмента 11-й книги «Наедине с собой», начинающегося со слов: «Разумная душа… постигает периодическое возрождение целого…»

Набоковым была подмечена периодичность своей жизни. Это годы: 1899–1919 — 1940–1959 — 1977, соответствующие периодам жизни в России, Европе, США и Швейцарии. Он усматривал здесь сходство с гегелевской триадой и с сонетом:

Образно говоря, Вечность — это не нить Ариадны, а сеть Мойры. Яркий образ дал Г. Мелвилл в романе «Моби Дик»:

Ткацкий станок Мелвилла с его сетью Судьбы хотя и является плодом живого воображения, но верно отражает суть за-конов Времени. На это справедливо указывал Д. Мастерс в романе «Несчастный случай».

Горизонтальные строки табель-календаря века напоминают геологические пласты с осадками и останками поколений, ибо два 12-летних цикла соответствуют одной генерации в волне поколений. Такой подход позволяет не только читать книгу Вечности по строкам (горизонтально) — жить, но и по колонкам (вертикально) — вспоминать о прошлом и будущем. Когда мы редуцируем (сводим) двухмерную таблицу к одномерной последовательности, то вертикальные связи разрушаются.

Даты можно выстраивать в последовательный ряд, но лучше сформировать в виде таблицы. Весь табель-календарь века отпечатан с помощью одной матрицы, которая передает всю информацию целиком и сразу. При линейном прочтении ткань Вечности распускается в нить времени — разрушаются «неравные узлы» структурной сети (из-за разрыва естественных вертикальных связей). Характерно, что «годы змеи» образуют вертикаль, играющую роль оси симметрии. Здесь просматривается аналогия с передачей изображения по телефаксу, где вертикаль развертывается в ритмическое чередование сигнала, а при приеме фототелеграммы пунктир ритма снова свертывается в вертикаль, перпендикулярную строкам растра[4]. Телевизионный сигнал, поступающий из эфира в виде линейной последовательности импульсов, также формируется в телевизионный растр.

СТЕРЕОВРЕМЯ И БЛЕСК ОЗАРЕНИЯ. Переход от одномерного времени (1-время) к двухмерному (2-время) проще всего проиллюстрировать на примере перехода от недельного календаря к месячному табель-календарю. Годовая книжка-календарь — это уже трехмерное время (3-время). Такое «свернутое время» позволяет из привычной колеи текущего времени выйти поперек борозд времени.

Следует сделать качественный скачок в новое измерение, ибо рожденный ползать как Логос — летать не может как Эйдос. Образно говоря, в понимании истории надо перейти от игры в балду к кроссворду. Крылатый Пегас образного, эйдетического мышления подсказывает аналог, параллель. Стереовремя, создавая историческую перспективу, позволяет предсказывать будущее. Инсайт — это находка, а не поиск (search) и не исследование (research). Озарение является как-бы помощью из параллельного мира.

А. Майков в поэме «Сны» предсказывал:

Такой он видел Россию XX века, которая «встала с левой ноги» и явилась эпицентром социальных волн, сотрясавших весь мир. История России нашего века потрясает до глубины души. А кстати, как все-таки получить дальномер, измеряющий глубину души?

Вехами глубины в стереовремени являются зубцы пилы времени, которые можно показать буквально на пальцах:

Костяшки пальцев одного кулака — это 17, 41, 64, 89 годы от Советов до парламента (впадины — 29, 53, 76 годы великого перелома, смерти Сталина и инсульта Брежнева).

Эффект стереовремени сродни блеску остроумия. З. Фрейд сравнивает юмор с творческим озарением. Приведем одну шутку в духе его книги об остроумии. «На даче редактора были овчарки, волкодавы и горлохваты.» Юмористический эффект от этих якобы однородных членов предложения вызывают «горлохваты», которые оказываются из ряда вон выходящими.

Введем дефиницию. Горлохватом называется цензор, который не пропускает информацию, но зато продвигает дезинформацию. Это можно записать в две колонки:

В теории ошибок ОИ называют ошибкой первого рода, а ПЛ — ошибкой второго рода. Две составляющие X и Y позволяют запеленговать эти векторы. Итак, имеем стереосистему из левой (left) и правой (right) колонок[5]. Образно говоря, базис образуют два кривых пирата:

Те, кто отрицает существование парадоксальных объектов, уподобляются верующим в одноглазых циклопов, но отрицающих существование двухглазых монстров. Вектор — это волшебная палочка позволяющая представить парадоксы и софизмы (о парадоксах см. мою статью в № 2 «Знаку вопроса»).

В заключение дадим анекдот, приводимый самим Фрейдом и хорошо иллюстрирующий логическую многомерность. «Сводня спросила: Чего вы хотите от невесты? — Она должна быть красивой, богатой и образованной. — Отлично, — сказала сводня, — но это три брака». Сваха назвала базисные векторы, но суммарный вектор у нее просто в голову не вмещается. Короче говоря: «Гнать этого дракона в три шеи!» Но именно равнодействующая «трех в одно соединяет» (Данте. Божественная комедия. Рай).

МНОГОУРОВНЕВОСТЬ. Многоуровневое познание является очень древней человеческой чертой. Новогодняя ель символизирует священное дерево, по ярусам которого можно попасть на третье и даже… на седьмое небо. «Бой барабана магически переносит шамана к дереву, то есть к Центру Мира… где можно перейти с одного космического уровня на другой», — пишет М. Элиаде в книге «Мифы, сновидения, мистерии». Обряд человеческого жертвоприношения, который имел целью умилостивить духов земли или превратить души жертв в демонов-покровителей, долго удерживался в европейской истории. Об этом можно прочесть в обстоятельной книге Э. Тайлора «Первобытная культура». Наполеон, напротив, не любил казней, но не из соображений гуманизма, а потому, что они «создают врагам ореол мученичества», — как сообщает М. Алданов в философской книге «Ульмская ночь». Ореол находит зримое выражение на иконах в виде светящегося нимба вокруг голов людей, причисленных к лику святых. «Красоту составляет не только сама пропорциональность, сколько тот особый блеск, который ее освещает и оживляет и в котором заключена вся тайна истинной красоты», — писал Плотин в «Эннеадах».

ИСКУССТВО. Воспоминания о будущем во многом аналогичны воспоминаниям о прошлом. В том и другом случае это взгляд не вдоль, а поперек Темпорального поля. Иллюзию ощущения глубины этого поля А. Моруа подметил у М. Пруста, назвав ее «временным стереоэффектом»:

Можно также получить временной стереоэффект с базой 144 ± 1 год, если усмотреть параллелизм следующих событий:

Потомки будут вспоминать Екатерину II как императрицу времен генералиссимуса Суворова, а Сталина как генералиссимуса времен Жукова. Наколай I — царь времен Герцена, а Брежнев и Горбачев — правители времен Сахарова. Это — уже трехмерное время!

Пара «Ощущение — Воспоминание» поражает иллюзию временной выпуклости. В 2000-м году нам предстоит в полной мере ощутить стереовремя, читая книгу С. Татищева «Император Александр II»: «Мне хотелось, приняв на себя все тяжкое, оставить тебе царство мирное, устроенное и счастливое, проведение сулило иначе», — говорил сыну Николай I, умирая от паралича сердца.

Подобно тому как стереограммы можно рассматривать без стереоскопа, сводя стереопары усилием воли; так возможен временной стереоэффект без машины времени и хроноскопа. Медитация используется для путешествия во времени в романе Дж. Финнея «Time and Again» (Меж двух времен» в русском переводе) и в повестях М. Элиаде. В повести «Загадка доктора Хонигбергера» даже описана методика медитации: «Созерцая огонь, я думал о нем, причащался к нему, проникая мыслью в собственное тело, рассматривая в себе все виды горения». Герой другой его повести «Без юности юность» говорит: «А может, я избран, потому что с юности тяготел к универсальному знанию…»

Набоков в IV части «Ада», представляющей собой трактат о Времени, пишет об «образах, вплетенных в текстуру времени» и о «стратиграфии своего прошлого». Он вводит также образ «башни времени». Тогда горизонталь повести превращается в вертикаль романа. У Азимова в романе «Конец Вечности» рассказано, как передать сообщение из прошлого. Но ведь и полученное нами изображение в растре двухмерного времени можно рассматривать как послание из будущего.

Идея второго измерения времени была впервые намечена русским математиком и философом П. Д. Успенским, который преподавал математику в Петроградском институте путей сообщения в начале XX века. В своей книге «Четвертое измерение» (Берлин, 1931) он так описывает идею «параллельных миров»: «Первым шагом к правильному пониманию мироздания у плоского существа будет появление у него смутной идеи о другой параллельной плоскости… Плоское существо поймет третье измерение тогда, как оно увидит, что то, что оно считало параллельным своей плоскости, может находиться на различном расстоянии от нее. Тогда у него явится идея перспективы и рельефа…» Эта книга долгие годы находилась в спецхране Ленинской библиотеки и только недавно стала доступна широкому читателю. Если общая идея преодоления одномерного подхода путем наложения отрезков (вместо их продолжения) была сформулирована еще Аристотелем, который умер в -322 году, то Успенский выпустил свою книгу в +1931 году. Следовательно, +1931 — (-322) = =1931 + 322 = 2253. Итак, потребовалось 22 с половиной века, чтобы приложить ее к понятию времени. В своей следующей книге «Универсальная модель Вселенной» Успенский представил человеческую жизнь в виде отрезка от рождения к смерти, а повторные существования (реинкарнации) надстраивал этаж над этажом.

С. Кржижановский в книге «Воспоминания о будущем» писал: «Мы держим путь по времени, по ветру секунд, но ведь можно же плыть и… поперек». Первый конкретный шаг к двухмерному времени был сделан В. Хлебниковым, по мнению которого есть боковая ось жизни, идущая в направлении мнимой оси комплексной плоскости. Интересный опыт нового истолкования мнимостей был проделан Павлом Флоренским в книге «Мнимости в геометрии», где он усматривает родство с моделью вселенной Данте: «Так, разрывая время, «Божественная комедия» неожиданно оказывается не позади, а впереди нам современной науки».

Недаром американский математик Д. Пойа взял эти строки эпиграфом в книге «Математическое открытие», в которой рассматриваются приемы творческого мышления, связанного с «прорывом» в новое измерение. Впрочем, каждый сам может проделать маленький опыт. Попробуйте построить 4 треугольника из 6 спичек!

Из 6 спичек легко построить 2 треугольника.

Объединим их в ромб с одной диагональю.

Сэкономленной спичкой соединим две другие вершины, образовав треугольную пирамиду.

Дж. Пристли делает «пересказ» проблемы времени, ее перевод в художественные образы. «Время ничего не может уничтожить. Оно только передвигает нас — в этой жизни — от одной смотровой щели (peep-hole) к другой» в пьесе «Время и семья «Конвей» действие прерывается вторым актом, который переносит зрителя на 18 лет вперед. Третий акт возвращает действие назад к концу первого акта. Знание будущего освобождает от романтизации героев, подводя к мысли об одновременном существовании всех времен.

«Лик святых — в прежние времена художники изображали его на золотом небосводе, лучезарном, прекрасном, исполненном мира — он и есть то, что я раньше называла «вечностью». Это царство по ту сторону времени и видимости. Там наше место, там наша родина…» — писал Г. Гессе в романе «Степной волк».

Сознание должно охватывать различные стили мышления. Эволюция стилей мышления происходит и в жизни одного человека, когда гиперболические тени, устремленные в бесконечность сменяются жесткие контуром эллипсиса:

Поэт как бы переселился из гиперболического мира в эллиптический мир. Это была смена романтизма, тяготеющего к художественному (правополушарному) мышлению, скептицизмом, тяготеющим к логическому (левополушарному) мышлению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Для предсказания темпов эволюции мозга Р. К. Баландин в статье «Что такое время?» (Знак вопроса, 1996, № 4) предостерегает от линейной экстраполяции и предлагает использовать математический аппарат гиперболической геометрии. По нашему мнению, проще всего это сделать с помощью модели К. Дьюрелла. Релятивистские эффекты сокращения при этом передаются как оптические продольные сокращения, легко представимые с помощью школьной формулы линзы.

Веянием времени является гуманитаризация среднего и высшего образования. Но было бы неправильно проводить ее в жизнь путем замены часов по математике и информатике изучением древних языков и истории (что иногда происходит в лицеях гуманитарной направленности). Позитивной альтернативой такому одностороннему подходу является синтез гуманитарного и математического мышления, при котором материал подается так, чтобы он служил многоаспектному развитию учащихся.

Многие явления, которые не могут быть объяснены в рамках догмы одновременного времени (time-One dogma) приводит в своей книге «Man and Time» (Человек и Время) Дж. Пристли, испытавший большое влияние идей Успенского. Пристли описывает вещий сон жены генерала Тучков, приключившийся за три месяца до вторжения Наполеона в Россию: «За ночь ей трижды привиделся один и тот же сон: как она находится в незнакомой маленькой гостинице, в незнакомом городе, как к ней входит ее отец с маленьким внуком и сообщает упавшим голосом, что ее муж пал под Бородиным. Проснувшись в сильном расстройстве, она спросила мужа: где находится Бородино? Они пытались найти на карте Бородино, но безуспешно. Позднее все произошло так, как привиделось в трех снах…» На необходимость преодоления ограниченности позитивистского подхода указывал еще К. Фламмарион в книге «Неведомое (L’inconnu)». Известный французский астроном коллекционировал таинственные случаи видений, явлений умирающих или умерших, предчувствий. Русское издание этой книги вышло в 1901 г., а следующее — в 1991.

Параллельные уровни сознания у человека связаны метафорой. Без нее не существовало бы лексики «невидимых миров» (внутренней жизни человека). Действительно, почему бы нам вообще не употреблять слова только «грубо, зримо» — в прямом смысле? Если бы «глубина души» так же ясно воспринималась нашим взором, как, например, красный цвет, мы несомненно пользовались бы для ее обозначения прямым и только ему принадлежащим наименованием. Но все дело в том, что интересующий нас психический объект не только трудно назвать, о нем даже трудно помыслить. Одной из важнейших является проблема освоения компьютером метафорического мышления. Перефразируя известное высказывание Поля де Крюи, можно сказать: «Сооружались чудесные компьютеры, но не было человека, который достоин был в них смотреть».

«Идея Федора Константиновича составить его жизнеописание в виде кольца… сначала казалась ей невоплотимой на плоской и прямой бумаге — и тем более она обрадовалась, когда заметила, что все-таки получается круг», — писал В. В. Набоков в романе «Дар».

Приложение
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ К. ДЬЮРЕЛЛА НА КОМПЬЮТЕРЕ

Замечательная популярная книжка, цитата из которой помещена в эпиграф, начинается тем, что скромный служащий солидного городского банка мистер Томпкинс прочитал объяснение местного университета о лекции по теории относительности Эйнштейна. «Вот это стоящее дело! Мистеру Томпкинсу частенько приходилось слышать, что во всем мире едва ли дюжина людей по-настоящему понимают теорию Эйнштейна! А что, если он, мистер Томпкинс, станет тринадцатым? Ясное дело: он непременно отправится на лекцию. Это как раз то, что нужно!» Однако нам, чтобы попасть на эту лекцию, потребовалось свыше пятидесяти лет — ведь русское издание вышло в памятном 93-м году (а американское издание в 39-м). «Небольшая» перестановка цифр! В детстве я зачитывался чудным очерком «Занимательная прогулка в страну Эйнштейна» ленинградского математика О. А. Вольберга. Его герой мистер Барней падает замертво от пули бандита Клио, который только собирался в него выстрелить. С подробностями этой удивительной истории можно ознакомиться по довоенным изданиям «Занимательной механики» Я. И. Перельмана (в послевоенных изданиях его нет по неизвестным причинам).

Многие авторы пытались дать популярное изложение теории относительности, но мало кому удавалось совместить наглядность с адекватным математическим языком. В наиболее полной мере это удалось Клементу Дьюреллу в книге «Азбука теории относительности», в которой он предложил красивую модель релятивистского мира, основанную на аналогии его законов со свойствами отражения в Зазеркалье. Физик-теоретик Ф. Дайсон, учившийся у него еще в школьные годы, считает, что «это наиболее изящный из его трудов и, безусловно, лучшее популярное введение в теорию относительности.»

Релятивистские эффекты сокращения хорошо моделируются как оптические продольные сокращения, которые легко объяснимы с помощью формулы линзы. Если принять фокусное расстояние за единицу, то школьная формула линзы сводится просто к закону обратной пропорциональности: × = 1/Х, где × и X- расстояния от фокуса до объекта и до изображения. Искажения связаны с тем, что равномерным шагам к бесконечности будут соответствовать в изображении сокращающиеся шаги к Фокусу. Дьюрелл пишет, что шаги Алисы в Зазеркалье становятся все короче и короче, ибо она никогда не сможет продвинуться за точку F. Фокус является конечным образом бесконечности. Парадоксально, но факт!

В модели Дьюрелла можно пользоваться поворотом на действительный угол а. Действительно, если точка m (cos a. sin а), принадлежит окружности, то точка M(l/cos a, tga) — гиперболе. Итак, гиперболе V-изображения будет соответствовать окружность в Н-проекции.　

Вычисления, основанные на использовании тригонометрических функций, позволили написать программу Durell. bas:

SCREEN 8 

PI = 3.141593 

COLOR 15, 1 

M = 640: N = 200

LINE (.047 × M, 75 × N) — (.67 × M, 75 × N) 

LINE (.414 × M, 10 × N) — (.42 × M, 0) 

PRINT SPC(25); «у»; SPC(15); «Y» 

PRINT

FOR k = TO PI / 3 STEP PI / 6 

FOR i = 0 TO PI / 6 STEP PI / 150 

t = 1 / 2 — (k + i) 

x = (.234 +.19 × COS(t)) × M 

у = (.75 —.3 × SIN(t)) × N 

u = (234 +.19 / COS(t)) × M 

v = (.075 — /3 × TAN(t)) × N 

PSET (x, y)

PSET (u, v)

FOR w = 1 TO 1000 

NEXT w 

NEXT i

PRINT USING «it##.###»-,SPC(22); SIN(T); 

PRINT USING «###.###»; SPC(9); TAN(t); 

PRINT

LINE (.047 × M, 75 × N) — (u, v)

CIRCLE (x, y), 5 

CIRCLE (u, v), 5

NEXT k

PRINT

END

Гиперболу можно рассматривать как изображение окружности в плоскости, где в качестве базиса берутся единичный вектор а, и мнимоединичный вектор b. «По существу, дело обстоит здесь совершенно так же, как и с картой земных полушарий, т. е. с изображением полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно содержит искажения… Совершенно так же обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псевдоевклидова плоскость, а ее условным изображением — собственно евклидова плоскость чертежа», — пишет П. К. Рашевский в книге «Риманова геометрия и тензорный анализ».

В первой работе Эйнштейна (1905), в которой был сформулирован принцип относительности, еще не было языка неевклидовой геометрии. Это было сделано Минковским за несколько месяцев до смерти (наступившей в январе 1909 г.) в докладе, опубликованном посмертно. Его основной темой была геометрия, названная позже псевдоевклидовой геометрии, или геометрией Минковского, значение которой для теории относительности всегда подчеркивалось, Эйнштейном.

Формула линзы наглядно показывает относительность конечного и бесконечного. Романтики посвящали бесконечности и стихи. В начале романа «Отверженные» В. Гюго определил его как «драму, в которой главное действующее лицо бесконечность. Человек в ней — лицо второстепенное».

Повышенное внимание к «краевому мышлению» характерно не только для поэтов, но и для математиков. Математик Ж. Адамар в эссе «Исследование психологии процесса изображения в области математики», призывая «думать около», усматривает аналогии между краевым сознанием и расплывчатыми идеями, находящимися в «прихожей сознания» и время от времени выступающими на передний план, в поле ясного сознания. Вспомним историю отторжения векторного исчисления и неевклидовой геометрии. Очень показательно в этом отношении неприятие Вейерштрассом на его семинаре (в феврале 1870 г) системы неклассических геометрии Кэли-Клейна. «Я отнесся к этой отрицательной позиции с уважением и отложил в сторону уже созревшую идею. Я всегда робел перед критикой логиков, которая была далека от моих интересов. Только гораздо позже я понял, что суть дела заключается в различии наших подходов и что психология математического творчества таит в себе огромные проблемы. Очевидно, Вейерштрасс по натуре своей был склонен к тщательной, постепенной работе, шаг за шагом пролагающей путь к вершине; ему менее свойственно было издали распознавать не достигнутые еще высоты», — отмечал Ф. Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии».

Система неевклидовых геометрий была впервые построена Феликсом Клейном, который опирался на алгебраическую работу Артура Кэли «On quantics». На прямой возникают три различные метрики: эллиптическая, гиперболическая и параболическая. Аналогично можно ввести метрику углов (в пучке прямых): эллиптическую, гиперболическую и параболическую, комбинируя все возможные типы мероопределения расстояния и углов, получаем 3 x 3 = 9 геометрий на плоскости:

Геометрия Евклида, Галилея, Лобачевского и Минковского входят в систему Кэли-Клейна, что позволяет взглянуть на них с более общих позиций. Каждую геометрию можно охарактеризовать выражением для скалярного произведения векторов. В результате более чем столетней давности работ Кэли и Грассмана в геометрии открылся «королевский путь». Начиная с «Эрлангенской программы» Клейна, стало очевидным единство геометрии и алгебры. Действительно в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и преобразований в нем. Осознание того, что это установившийся процесс переосмысления, позволяет предположить, что «открытия, которые стоили стольких усилий…рискуют превратиться в дальнейшем в игрушки для школьников будущих поколений», — заключает Ж. Дьедонне, один из лидеров группы французских математиков, писавших под псевдонимом Н. Бурбаки.

Дьюрелл моделирует лоренцево сокращение как оптическое сокращение. Действительно каждого, кто смотрел в бинокль на электричку, поражало, что ее вагоны выглядят смешными обрубками (которые чем дальше — тем короче). Место кажущегося схода параллельных рельсов (на горизонте) является с данной точки зрения бесконечно удаленной точкой. Расстояния между шпалами тоже укорачиваются в перспективе, которая формируется хрусталиком глаза (подобно линзе фотокамеры).

Процесс построения перспективного изображения состоит в том, что между глазом зрителя и объектом проводится луч, проходящий через прозрачную картинную плоскость, на которую проектируются точки предметной плоскости. Линия горизонта на картине находится на уровне глаз наблюдателя, На горизонте сходятся параллельные линии. Но они пересекаются между собой лишь в бесконечности.

Это — удивительный факт и вместе с тем, первое, что узнает ученик художественной школы — это как изображать параллельные прямые!

Способ рисования изображен на известной гравюре Дюрера:

Точка пересечения с плоскостью рамки фиксировалась с помощью скрещения нитей, закреплявшихся на ней воском. Затем откидная дверка с бумагой закрывалась и на нее наносилась «пойманная» точка. Позже для этой же цели была придумана камера-обскура (camera obscura — лат. «темная комната»). Изображение создавалось в закрытом ящике на матовом стекле оптическим путем с помощью маленького отверстия (выполнявшего роль объектива). Первое описание этого устройства принадлежит Леонардо да Винчи, бывшему универсальным гением эпохи Возрождения, в которую теория перспективы и оптика не считались разными науками.

Модель Дьюрелла можно рассматривать как преобразование метрики, а каждая метрика «на свой аршин меряет». Это выражение, будучи воспринято буквально, приводит к следующей наглядной аналогии. Утраченный буквальный смысл многих русских поговорок можно восстановить, сделав перевод в метрическую систему мер. Например: «Сидит словно 71,2 см (аршин) проглотил» и «От горшка — 88,9 мм (два вершка)». Но при этом пропадает переносный смысл. Образно говоря, при «переводе» как в модели преломления получается либо одна, либо другая проекция (по принципу: «жизнь или кошелек»). Поэтому следующим шагом будет синтез — переход от отдельных проекций (располагаемых в одной плоскости) к объемному образу. Как известно из математической картографии (смотри, например, «Математическую картографию» Соловьева), гипербола и окружность являются различными проекциями одной и той же окружности (параллели) у находящейся на сфере. При центральном проектировании только горизонтальная (полярная проекция параллелей будет иметь «настоящий» вид окружностей, а их вертикальная (экваториальная) проекция — «искаженный» вид гипербол. Действительно, горизонтальные сечения светового конуса (из центра глобуса) дают окружности, а вертикальные сечения — гиперболы.

Любой боковой ракурс приводит к гиперболизации. На меркаторской карте Гренландия вдвое больше Австралии, тогда как на глобусе — все наоборот.

В этой проекции плюс растянулся на всю ширину карты, поэтому приполярные области («высокие» широты — более 80°) срезаются. Но лучше искаженное видение, чем полная ненаблюдаемость, Заметим, что при проектировании не из центра, а полюса получаются стереографические проекции. Например, в центральной проекции южного полушария экватор и более удаленные точки будут за пределами карты, а в стереографической проекции только северный полюс будет в бесконечности. Геометрический смысл универсальной подстановки tg(a/2) раскрывает тайну ее эффективности при вычислении интегралов.

Поучительна история становления теории оптических инструментов. Она была создана Галилеем. Только на ее основе удалось усовершенствовать подзорную трубу, ибо дело было не в технической невыполнимости, а в отсутствии идеи («в начале был логос»). Направив трубу на небо, Галилей открыл горы на Луне и пятна на Солнце. Сегодня кажутся смешными нападки противников, объявивших эти открытия дефектами в подзорной трубе.

Великий Лейбниц мечтал о том времени, когда будут изобретены очки для разума: «Если изобретение телескопов и микроскопов принесло столько пользы познанию природы, можно легко представить, насколько полезнее должен быть этот новый органон, которым, насколько это в человеческой власти, будет вооружено само умственное зрение.»

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ СУПЕРКРОССВОРД

Уникальным примером является роман-кроссворд М. Павича «Пейзаж, нарисованный чаем. Роман для любителей кроссвордов». Его можно читать «по горизонтали сюжета» или «по вертикалям судеб» в зависимости от намерений. Примером двухмерного учебника, который можно читать «по строкам» или «по столбцам», явилась книга Ч. Линдси и С. ван дер Мюйлена «Неформальное введение в Алгол-68», вышедшая более 20 лет назад Ю. И. Манин назвал это «великим предприятием».

Писатель А. Битов составил оглавление книги «Преподаватель симметрии» в виде таблицы времени английского глагола. Я последую его примеру, чтобы составить каталог своих статей в журнале «Знак вопроса»:

Парадоксы — это интеллект прошлого. Им можно противопоставить вечность — интеллект будущего, либо логическую игру — искусственный интеллект прошлого. Система координации удобнее систем субординации. Ведь недаром система прямого доступа (запись на магнитный диск в компьютере) полностью вытеснила систему последовательного доступа (запись на магнитную ленту). Вечность является системой прямого доступа в отличие от физического времени как системы последовательного доступа.