Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Глава 2 «Золотой» прямоугольник

Из предыдущей главы мы узнали, как традиционно определяется золотое сечение: отрезок прямой линии делится в крайнем и среднем отношении, если длина всего отрезка относится к большей части так, как большая часть — к меньшей. Другими словами, целое относится к большей части как большая часть к меньшей. Теперь давайте посмотрим, как можно использовать крайнее и среднее отношение для деления на части различных фигур.

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Имеется отрезок АВ длины а. Мы хотим найти точку X, которая делит отрезок на две части в отношении Ф. Это деление выполняется в три этапа:

а) построим прямоугольный треугольник с катетами а и а/2 (половина длины а);

б) проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СВ (равным а/2). Эта дуга пересекает сторону АС в точке S;

в) затем проведем еще одну дугу окружности с центром в точке А и радиусом AS, которая пересекает сторону АВ в точке X. Эта точка X удовлетворяет условию АХ = х = АС — (а/2) и, следовательно, является искомой точкой. Также мы можем проверить, что выполняется условие АХ/ХВ = Ф.

Этот подход называется методом построения. Почему он дает нам золотое сечение? Точка X будет искомой точкой, если она удовлетворяет условию:

АВ/АХ = АХ/ХВ

а/х = х/(а — х)

х∙х = а∙(а — х)

х² — а² — ах

х² + ах = а²

x² + ax + a²/4 = a² + a²/4

(1)

Используя формулу для квадрата суммы (s + t)² = s² + 2st + t², перепишем формулу (1) в виде:

(x + (a/2))² = a² + (a/2)². (2)

Применяя теорему Пифагора к выражению (2), мы видим, что у прямоугольного треугольника с катетами а и а/2 длина гипотенузы равна (х + а/2).

Именно такова длина гипотенузы АС, равная (х + а/2), так как CS = СВ = а/2, а AS = х = AХ.

Прямоугольники и золотое сечение

В наши дни большинство людей носит в кошельках и сумочках множество карточек: кредитные карты, визитные карточки, пропуски в библиотеку и в спортзал, а также водительские права и удостоверение личности. Мы пользуемся ими ежедневно, не обращая внимания на тот факт — вовсе не случайный и немаловажный — что большинство карточек имеет одинаковый размер и форму, по крайней мере, те же пропорции.

Чтобы убедиться в этом, достаточно измерить и сравнить стороны карточек-прямоугольников. Отношение большей стороны к меньшей в большинстве случаев является числом, очень близким к 1,618, числу Ф. Поэтому не случайно, что это отношение у большинства карт является одним и тем же, это стандартные размеры.

Мы используем отношение сторон для определения типов прямоугольников. Если у двух прямоугольников это число одинаково, мы говорим, что они одного типа. В математических терминах прямоугольники с таким свойством являются подобными прямоугольниками. Таким образом, два прямоугольника со сторонами m, n и р, q (где m < n и р < q) будут подобными, если:

m/n = p/q. (3)

Существует очень простой и эффективный способ определить, удовлетворяют ли два прямоугольника этому свойству, без измерения сторон и вычисления отношений, даже без использования карандаша и бумаги. Надо только совместить один угол меньшего прямоугольника с углом большего и продолжить его диагональ. Если продолжение диагонали меньшего прямоугольника является также диагональю большего прямоугольника, то эти прямоугольники подобны.

Прямоугольник характеризуется отношением m/n. Мы назовем это отношение форматным отношением k, так что m/n равно k. Чем меньше отношение m/n, тем более вытянут прямоугольник. С другой стороны, если тип равны, то мы получим знакомую фигуру — квадрат. Квадрат — это особый тип прямоугольника с форматным отношением 1. Таким образом, не все прямоугольники подобны карточкам в наших кошельках. Еще один пример прямоугольников, не являющихся «золотыми», — это теле- и киноэкраны. Раньше стороны телеэкранов имели отношение 4:3. Постепенное изменение формата в настоящее время привело к новому стандарту: современные широкоэкранные цифровые телевизоры имеют отношение сторон 16:9. В обоих случаях отношение показывает соотношение между длинами сторон. Если смотреть фильм на экранах двух разных типов, можно увидеть, как соотношение между длинами сторон влияет на изображение. На старых телевизорах, например, человеческие фигуры более тонкие, более вытянутые по вертикали, в то время как на широкоэкранных телевизорах герои старых фильмов выглядят более приземистыми. Чем объясняется эта разница, и какое из двух изображений искажено? Простой расчет показывает, что экраны телевизоров не являются подобными прямоугольниками. С математической точки зрения очевидно, что 9/16 не равно 3/4. Давайте посчитаем: 3/4 = 0,75, а 9/16 = 0,5625. Форматное отношение прямоугольника классического телевизора больше. Широкоэкранные телевизоры искажают изображения старых фильмов по горизонтали, чтобы заполнить вытянутый экран, из-за чего вещи кажутся шире, чем на самом деле.

Противоположный эффект возникает, когда широкоэкранный фильм показывается на экране формата 4:3. Поэтому, как правило, изображение обрезается по краям, чтобы поместиться на такой экран, так что мы теряем не только часть изображения, но и большую часть панорамного эффекта.

Распознавание и построение «золотого» прямоугольника

Как мы уже говорили, «золотой» прямоугольник имеет соотношение сторон, равное Ф, то есть его форматное отношение равно Ф. Далее мы расскажем, как можно легко строить и распознавать «золотые» прямоугольники.

Мы начнем с некоторых свойств «золотых» прямоугольников, которые помогут нам в дальнейшем. Как мы видели, чтобы разделить отрезок А В на две части в отношении Ф, мы должны найти на отрезке точку X, удовлетворяющую условию:

Обозначим за М длину отрезка АХ, а длину отрезка ХВ — m. Так как длина отрезка АВ равна М + m, эти значения удовлетворяют следующему условию:

(М + m)/М = М/m = Ф. (4)

Допустим, у нас есть «золотой» прямоугольник, как на следующем рисунке слева. Если мы достроим на его большей стороне равносторонний прямоугольник (т. е. квадрат), мы получим новый прямоугольник со сторонами М и (m + М), как на рисунке справа. Согласно соотношению (М + m)/М = М/m, если исходный прямоугольник являлся «золотым» (то есть с условием М/m = Ф), то только что построенный большой прямоугольник также будет «золотым», потому что (М + m)/М = М/m. Этот метод позволяет строить «золотые» прямоугольники большего размера.

Тот же самый результат мы получим, если от «золотого» прямоугольника отрежем квадрат со стороной, равной меньшей стороне исходного прямоугольника, как на рисунке ниже. Тогда у нас получится прямоугольник со сторонами m и М — m. Он, очевидно, меньше, но также будет являться «золотым», если

m/(M — m) = Ф <-> (M — m)/m = 1/Ф.

Так как М/m = Ф (см. (4)), то отсюда следует, что (M — m)/m = (M/m) — 1 = Ф -1 = 1/Ф

Что и требовалось доказать.

Как и в случае подобных прямоугольников, существует простой и быстрый способ узнать, является ли прямоугольник «золотым», без измерения его сторон. Возьмем два одинаковых прямоугольника и поместим их рядом друг с другом, один горизонтально, другой вертикально, как на следующем рисунке слева. Затем мы проведем линию через вершины А и В, как показано на рисунке справа. Если эта прямая проходит точно через вершину С, то мы имеем два «золотых» прямоугольника одинакового размера.

Как можно объяснить этот факт? По теореме Фалеса, если две параллельные прямые пересекают две стороны треугольника, то они отсекают пропорциональные отрезки. На втором рисунке мы видим, что АВ будет проходить через С, когда

AD/DB = АЕ/ЕС.

Однако если мы подставим значения для каждой из этих сторон, то получим: (М + m)/М = М/m.

И снова мы видим уравнение (4), определяющее Ф.

Если у нас имеется «золотой» циркуль (см. ниже), достаточно раздвинуть короткие ножки циркуля на расстояние, равное ширине прямоугольника, а затем проверить, совпадает ли расстояние между длинными ножками циркуля с длиной прямоугольника. Если это так, то прямоугольник является «золотым».

Построение «золотого» прямоугольника

Теперь наша задача будет гораздо проще. Для построения «золотого» прямоугольника мы используем все свойства, о которых говорилось выше.

Начнем с квадрата АВCD, чья сторона будет шириной «золотого» прямоугольника, который мы будем строить. Отметим точку М — середину стороны АВ. Проведем дугу окружности с центром в точке М и радиусом МС (расстояние от М до одной из противоположных вершин). Эта дуга пересекается с продолжением отрезка АВ. Обозначим это пересечение точкой Е. Тогда длина отрезка АЕ является длиной искомого «золотого» прямоугольника. Нам осталось только провести перпендикуляр из точки E, который пересекает продолжение отрезка DC в точке F. Таким образом, мы построили «золотой» прямоугольник AEFD.

Давайте найдем длины сторон «золотого» прямоугольника, который мы построили, чтобы проверить «золотое» сечение. Предположим, что АВ = AD = 1, тогда АЕ = AM + ME = 1/2 + ME. Так как ME равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника MBС, по теореме Пифагора мы имеем:

ME² = МС² = MB² + ВС² = (1/2)² + 1² = 1/4 + 1 = 5/4.

Откуда

ME = √(5/4) = (√5)/2.

Следовательно:

AE = (1/2) + (√5)/2 = (1 + √5)/2 = Ф.

Это значит, что стороны прямоугольника AEFD равны 1 и Ф.То есть наш прямоугольник действительно является «золотым».

Свойства «золотого» прямоугольника

Если отрезать от нашего «золотого» прямоугольника квадрат, то останется прямоугольник BEFC, который также является «золотым». Проведя диагонали в двух «золотых» прямоугольниках, мы увидим, что они всегда пересекаются под прямым углом. Это справедливо как для пары AF и СE, так и для пары DE и BF (диагонали в каждой паре перпендикулярны друг к другу).

Мы видим это на следующих рисунках:

Если мы продолжим отрезать квадраты от каждого следующего «золотого» прямоугольника и каждый раз будем проводить диагонали, как на рисунке выше, мы увидим, что все получившиеся диагонали будут лежать на одной из пересекающихся под прямым углом диагоналей. Таким образом, они всегда будут перпендикулярны, а точка их пересечения всегда будет одной и той же точкой О.

Если бы мы могли использовать микроскоп, чтобы увидеть все прямоугольники, которые могут быть образованы путем удаления квадратов, мы бы заметили, что точка пересечения их диагоналей всегда одна и та же, хотя мы уменьшаем размер прямоугольника в Ф раз. Это невероятное свойство характерно для «золотого» прямоугольника. Точка О является своего рода геометрической черной дырой, точкой притяжения, куда уходит бесконечная последовательность «золотых» прямоугольников.

Если мы впишем в окружность правильный десятиугольник (многоугольник с десятью равными сторонами, углы которого также равны), отношение между радиусом и стороной многоугольника будет точно Ф.

Следовательно, мы можем сказать, что длина «золотого» прямоугольника является радиусом окружности, а ширина равна стороне правильного десятиугольника, вписанного в эту окружность. В третьей главе мы подробно рассмотрим это соотношение.

Другие замечательные прямоугольники

Как мы видели на странице 51, прямоугольники телеэкранов (4:3 и 16:9) замечательны тем, что часто встречаются в нашей повседневной жизни. Теперь рассмотрим другие прямоугольники, с которыми мы сталкиваемся каждый день, и сравним их с «золотыми» прямоугольниками, чтобы еще раз подчеркнуть уникальность прямоугольников с форматным отношением Ф.

Прямоугольник с отношением √2

Построим квадрат ABCD со стороной 1. Затем проведем дугу окружности с центром в одной из вершин квадрата (в этом примере в точке А) и радиусом, равным расстоянию между этой вершиной и противоположной (АС). Дуга пересекает продолжение отрезка АВ в точке Е. Длина отрезка АЕ, будучи равной длине диагонали квадрата 1x1, равна √2, и, следовательно, прямоугольник, который мы построили, имеет стороны 1 и √2. Далее мы будем называть прямоугольники этого типа прямоугольниками с отношением √2 (так как отношение между сторонами √2 и 1 равно √2).

Характерным свойством прямоугольников с отношением √2 является следующий факт. Если мы разделим большую сторону прямоугольника пополам, мы получим еще один прямоугольник с отношением √2, по площади в два раза меньший. Стороны нового прямоугольника имеют длины 1 и √2/2, и отношение этих длин снова равно √2.

В самом деле, 1/(√2/2) = 2/√2 = √2. Гномоном прямоугольника с отношением √2 является тоже прямоугольник с отношением √2.

Этот процесс можно повторять бесчисленное количество раз, получая новые прямоугольники с отношением √2. Тот же самый итог выходит в результате удвоения меньшей стороны прямоугольника с отношением √2: мы снова получим прямоугольник с отношением √2. На следующем рисунке показан результат различных итераций.

Это свойство прямоугольника с отношением √2 используется при выборе размеров бумаги для европейских канцелярских принадлежностей: так называемый стандарт DIN. Это аббревиатура от Deutsches Institut fur Normung (Германский институт стандартизации), который в 1922 г. ввел этот стандарт, разработанный инженером Вальтером Порстманом.

Размеры начинаются с самого крупного АО, представляющего собой прямоугольник с отношением √2 площадью один квадратный метр. Каждый следующий размер обозначается номерами (A1, А2, А3, А4…) и имеет форму прямоугольника с отношением √2. Лист бумаги каждого следующего размера получается простым делением пополам.

В терминах вписанных многоугольников ширина прямоугольника с отношением √2 является радиусом окружности, а длина — стороной квадрата, вписанного в нее. Например, если радиус равен единице, то длина стороны вписанного квадрата равна √2. Фундаменты зданий часто имеют форму прямоугольника с отношением √2.

Серебряный прямоугольник

Серебряный прямоугольник, или серебряное сечение, получается при добавлении к прямоугольнику с отношением √2 квадрата со стороной 1. Такой прямоугольник имеет форматное отношение (1 + √2), которое, как мы видели в предыдущей главе, является решением уравнения х² - 2х - 1 = 0 и называется серебряным сечением. Прямоугольник, полученный таким способом, более вытянут, чем исходный, так что объекты, в которых он используется, такие как врата храмов и поэтажные планы зданий, выглядят более изящными.

Прямоугольник Кордовы

Одним из главных памятников мавританской архитектуры в испанском городе Кордова (Cordoba) является знаменитая мечеть Мескита с восьмиугольным михрабом (молитвенной нишей). Испанский архитектор Рафаэль де Ла-Ос (1924–2000), изучая ее пропорции, обнаружил особый прямоугольник, который объясняет красоту ее формы. Де Ла-Ос описал эту пропорцию как отношение сторон прямоугольника, длина которого равна радиусу окружности, а ширина — длине стороны правильного восьмиугольника, вписанного в эту окружность. Он получил название прямоугольника Кордовы и выглядит более низкорослым, чем «золотой» прямоугольник.

Чтобы вычислить форматное отношение этого прямоугольника, мы должны выразить длину стороны L правильного восьмиугольника через радиус R описанной вокруг него окружности. Тогда мы получим:

R/L = 1/√(2 — √2) =~ 1,307

Это так называемое сечение Кордовы, или число Кордовы.

Спирали и золотое сечение

Но самым удивительным образом Ф проявляется в спиралях. Предположим, у нас есть «золотой» прямоугольник, от которого мы отсекаем квадраты, получая все меньшие «золотые» прямоугольники по уже знакомой нам процедуре.

Затем мы проведем четверть дуги окружности в каждом из отсекаемых квадратов. Радиус каждой из окружностей равен длине стороны квадрата, а центром является вершина, общая со следующим «золотым» прямоугольником. Это будут точки 1, 2, 3, 4, 5…

Таким образом мы получим линию, называемую логарифмической спиралью.

Спираль является такой кривой линией, форма которой не меняется при изменении размера. Это свойство называется самоподобием.

Другим важным свойством спирали является равноугольность: если провести прямую линию от центра спирали, точки ее возникновения, к любой другой точке, углы пересечений с кривой всегда будут одинаковыми. Поэтому, если мы хотим наблюдать точку под постоянным углом, мы должны двигаться вокруг нее по траектории, которая является логарифмической спиралью. Она также известна как геометрическая спираль, так как длина радиус-вектора — отрезка, соединяющего центр с точкой на спирали — увеличивается в геометрической прогрессии, в то время как угол, образованный радиус-вектором, увеличивается в арифметической прогрессии.

Строго говоря, кривая, которую мы только что построили в наших «золотых» прямоугольниках, не является спиралью, так как она образована дугами разных окружностей, соединенных между собой искусственно, но она приближена к логарифмической спирали. Спираль не касается четвертинок окружностей, а пересекает их, пусть и под очень малым углом. Настоящая логарифмическая спираль выглядит следующим образом:

Если мы будем выполнять те же построения, но добавим изменения по высоте, то получим трехмерную спираль, как показано на следующем рисунке:

Свойства спирали привлекали не только ученых, но и художников.

Работа нидерландского художника Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972), известного своими нереальными мирами, изображенными на картинах и мозаиках. Многие его работы основаны на математике. Эшер часто рисовал спираль, как это можно видеть на гравюре 1953 г., озаглавленной просто: «Спирали».

Мы еще не исчерпали все возможности спирали. По правде говоря, мы только начали знакомство с ней. Позже мы найдем ее в «золотых» треугольниках, а также во многих красивых природных объектах.