Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Глава 4 Красота и поиск совершенства в искусстве

В 1876 г. немецкий экспериментальный психолог Густав Теодор Фехнер (1801–1887) провел исследование с людьми, которые не являлись экспертами в искусстве. Он попросил их из нескольких прямоугольников, включая квадрат, выбрать тот, который больше всего приятен глазу. Подавляющее большинство выбрали прямоугольники с «золотым» отношением сторон или другие близкие варианты.

Эксперимент Фехнера очень просто воспроизвести. Надо лишь показать группе людей различные виды прямоугольников. Спросив их, какой они предпочитают, вы получите удивительный результат. Однако специалисты говорят, что и вы тоже должны пройти этот эксперимент. Посмотрите на прямоугольники на этой странице: который из них вам больше всего нравится?

Фехнер также провел тщательные исследования пропорций человеческого тела и пришел к выводу, что «объект считается красивым в отношении формы, если имеет такое же соотношение между меньшей и большей частью, как между большей частью и целым». Это и есть описание золотого сечения. Наука, наконец, подтвердила идею о том, что божественная пропорция обладает внутренней гармонией и красотой.

Однако задолго до этого художники и архитекторы пришли к аналогичному выводу. Золотое сечение уже использовалось в Древней Греции, но его связь с искусством берет начало с эпохи Возрождения и развития направления научной мысли, изучающего творчество.

Несколько прямоугольников из эксперимента Фехнера. Какой вам больше всего нравится? На следующем рисунке вы можете увидеть пропорции каждого из них.

«О божественной пропорции»

Лука Пачоли вырос в Италии XV века. Именно он и Леонардо да Винчи связали золотое сечение с искусством и представлениями о красоте. Пачоли сделал это в книге De Divina Proportione («О божественной пропорции»), написанной в конце 1498 г. Эта работа была опубликована в Венеции спустя несколько лет, в 1509 г., после того как автор подготовил три рукописи. В окончательном варианте появились особенно интересные для нас главы, в том числе глава De Architectura («Об архитектуре»), которую Пачоли написал, вдохновленный работами римского архитектора Витрувия.

Иллюстрации многогранников, сделанные Леонардо да Винчи (по часовой стрелке начиная с верхнего левого рисунка): сплошной икосаэдр, полый икосаэдр, полый и сплошной додекаэдры.

Книга «О божественной пропорции» установила соотношения, которые должны быть соблюдены для достижения красоты как отражения геометрии. Книга содержала знаменитые рисунки 60 многогранников, сделанные рукой мастера Леонардо да Винчи, и рисунок «Витрувианский человек», иллюстрирующий Ф, который с тех пор цитировался бесчисленное количество раз. Таким образом, в книге имелись теоретические основы для самых влиятельных искусств западной культуры. В Италии наступил Ренессанс, главными двигателями прогресса были свободные мыслители-творцы — художники, архитекторы, математики и философы, которые и положили начало европейской истории искусства.

Портрет Луки Пачоли, приписываемый Якопо де Барбари.

Леонардо: золотое совершенство

Леонардо да Винчи (1452–1519) является одним из гениальнейших людей в истории. Его достижения не ограничиваются одной сферой деятельности, а охватывают широкий круг дисциплин: математику, физику, химию, машиностроение, военную технику, живопись, архитектуру и так далее. Уникальность Леонардо состоит в том, что он преуспел во всем, чем занимался, и хотя некоторые его открытия не были оценены при его жизни, рано или поздно все его достижения оказались полезными. Леонардо да Винчи — типичный человек эпохи Возрождения, с разносторонними интересами и умениями. Его слава объясняется не только мощью его интеллекта, но и чертами характера. Другими словами, его образ вышел далеко за пределы той эпохи.

Леонардо да Винчи. Автопортрет, ок. 1513 г.

* * *

Его личность была довольно необычной, особенно для того времени. Вегетарианец, левша, якобы гомосексуалист, Леонардо был так поглощен идеей непрерывного прогресса, что нисколько не колебался, когда во время экспериментов приходилось нарушать закон. Он был окружен тайной: писал с использованием шифра, его рукописи можно прочитать лишь в зеркальном отражении, его работы полны загадок. Например, знаменитая «Мона Лиза» до сих пор ставит в тупик многих экспертов.

Рисунки и рукописи Леонардо собраны в десяти компиляциях, хранящихся в различных европейских музеях. Одна из них находится в частной коллекции американского предпринимателя Билла Гейтса, который заплатил за нее несколько миллионов долларов. Если ввести имя Леонардо да Винчи в любой поисковой системе в интернете, будут найдены миллионы упоминаний о нем.

Леонардо был также теоретиком живописи и твердым сторонником ее единства с математикой. Его работа «Трактат о живописи» начинается с фразы: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Этот трактат был написан около 1498 г., но опубликован лишь полстолетия спустя.

Леонардо лишь делал иллюстрации к работе «О божественной пропорции», но сам Пачоли упоминал о важности вклада в науку своего гениального друга: «Пирамиды в этой книге, как и другие фигуры, сделаны рукой моего вышеупомянутого соотечественника Леонардо да Винчи из Флоренции, которого еще ни один человек не превзошел в искусстве рисования». Эти рисунки вместе с «Витрувианским человеком» в настоящее время являются характерным символом того образа мышления, который соединяет художественный и научный подход: гуманистического идеала.

Обложка «Трактата о живописи», в котором Леонардо изложил взаимосвязи между художественными дисциплинами и математикой.

Леонардо применил научные знания о пропорциях человеческого тела к теориям Пачоли и Витрувия о красоте. На рисунке «Витрувианский человек» мужская фигура, вписанная в круг и в квадрат, помещена в центре Вселенной. Изображение соответствует рекомендациям Витрувия (Марк Витрувий Поллион), архитектора при Юлии Цезаре, жившем в I в. до н. э. Римский архитектор, инженер и писатель снова стал популярен в эпоху Возрождения в связи с переводом его работ в 1486 г. В последующие десятилетия многие труды Витрувия были опубликованы во всех крупных итальянских городах. Идеи Витрувия использовались в архитектуре Ренессанса в качестве новейших тенденций, и Леонардо часто признавался, что Рим был его главным вдохновением.

Витрувий вывел пропорции человеческой фигуры из простых наблюдений. Он утверждал, что рост человека равен размаху рук, и если мужчина, лежащий на спине, разведет в стороны руки и ноги, то его фигура будет вписана в окружность. Многие художники пытались изобразить на одной иллюстрации эти формы человеческой фигуры, вписанной в квадрат и в круг. Леонардо нашел оригинальное и изящное решение, основанное на том, что квадрат и круг имеют разные центры. Гениталии человека являются центром квадрата, а пупок — центром круга. Идеальные пропорции человеческого тела на таком изображении соответствуют отношению между стороной квадрата и радиусом круга: золотому сечению. Так благодаря золотому сечению геометрия соединила искусство и красоту.

Рисунок «Витрувианский человек», в настоящее время хранящийся в коллекции галереи Академии в Венеции, показывает идеальные пропорции человеческого тела, связанные геометрическими пропорциями квадрата и круга. Отношение между стороной квадрата и радиусом окружности является «золотым».

Идеальные пропорции

«Витрувианский человек» представляет собой приблизительные пропорции тела обычного взрослого человека, которые со времен Древней Греции использовались в качестве художественного канона для изображения человека. Пропорции сформулированы следующим образом:

Наконец-то мы добрались до соотношения 1,618, что является приблизительным значением Ф. При проверке этих пропорций на наших телах мы, несомненно, весьма расстроимся. Оказывается, трудно соответствовать идеалу. В конце концов, это пропорции идеальной красоты.

Существует еще один способ подтвердить идеальный канон красоты: с помощью статистики. Если сравнить пропорции значительного количества людей с идеальными пропорциями, то окажется, что средние значения всех измерений довольно близки к канонам красоты: человек идеален только при подсчете среднего арифметического. Бельгийский математик Ламбер Адольф Кетле (1796–1874) является одним из отцов современной статистики. В 1871 г. его исследования пропорций тел жителей Европы полностью подтвердили идеальные пропорции.

В этой связи возникает ряд интересных вопросов. Какие пропорции используются в качестве канонов красоты в неевропейских культурах, таких как индийская, африканская и китайская?

Конечно, красота является идеалом во всех культурах, но одинаков ли он? Исследования пропорций человеческого тела в различных странах и культурах показали, что этот идеал один и тот же.

Золотое сечение в живописи

В эпоху Возрождения использование перспективы и поиск идеальных пропорций свели художников и ученых вместе. Подобно тому, как математики изучали соотношения перспективы, художники использовали проективную геометрию, чтобы изображать реалистичные трехмерные сцены. В этих нововведениях наряду с Рафаэлем и Дюрером ключевую роль играл Леонардо да Винчи.

В 1435 г. появился «Трактат о живописи» Леона Баттисты Альберти, его важнейшая работа о перспективе, где он изложил методы изображения реальных объектов. Идеи ученого оказались поворотными, как видно из следующих крылатых фраз: «Первое требование для художника — это знание геометрии» и «Картина является открытым окном, через которое мы видим изображаемый объект».

Альберти был поглощен поиском теоретических и практических правил, определяющих работу художников, поэтому его трактаты наполнены конкретными темами. Трактат «О скульптуре» он посвятил пропорциям человеческого тела, в трактате «О живописи» он сформулировал первое научное определение перспективы, а в «Десяти книгах о зодчестве» описал свою концепцию современной архитектуры, основанную на золотой пропорции.

Вверху: на знаменитой фреске в капелле Бранкаччи Мазаччо изобразил (слева направо) Мазолино, себя (смотрящего на нас), Леона Баттисту Альберти и Брунеллески. Внизу: страница из первой книги «Трактата о живописи» Леона Баттисты Альберти (издание 1733 г. с гравюрами Франческо Сесони).

Леонардо да Винчи продолжил изучение перспективы; эта тема при его жизни была очень популярна. Великий гений говорил: «Перспектива есть руль живописи». Влияние Леонардо легко прослеживается в работах многих его последователей, в частности, Альбрехта Дюрера, который также интересовался научными основами живописи. Хотя у нас нет прямых свидетельств того, что Леонардо использовал золотое сечение, композиции его работ, таких как «Тайная Вечеря», содержат поразительное множество золотых пропорций, особенно «золотые» прямоугольники.

В «Тайной Вечере» «золотые» прямоугольники определяют как размеры картины, так и положение Христа и Его учеников. Также можно заметить, что стены комнаты и окна на заднем плане следуют правилу золотого сечения.

Композиционные элементы картины Леонардо «Тайная вечеря» содержат золотые пропорции.

Даже портрет Моны Лизы построен на золотом сечении. Исследования показали, что ее лицо и в целом, и в деталях обрамлено элегантной последовательностью «золотых» прямоугольников разных размеров.

«Золотые» прямоугольники, обрамляющие лицо Моны Лизы.

Пятиконечная звезда явно лежит в основе композиции «Святого семейства» Микеланджело.

Другими словами, художники Ренессанса пусть неосознанно, но находились под влиянием золотого сечения, используя в своих композициях «золотые» прямоугольники. Символ пентаграммы помогал им в определении пространства картины, например, в расположении человеческих фигур. «Золотая» спираль применялась для тех же целей. «Святое семейство» Микеланджело (см. выше) является примером того, как для этой цели служила пятиконечная звезда. Присутствие Ф в «Бичевании Христа» Пьеро делла Франчески и в «Рождении Венеры» Сандро Боттичелли — один из секретов этих необычайно красивых картин. Открытие тайной геометрии в этих работах лишь усиливает удовольствие от их просмотра.

Горизонтальные линии отмечают золотые пропорции, используемые Сандро Боттичелли в «Рождении Венеры» (Ф, Ф, Ф², Ф³, Ф⁴, Ф⁵).

Самым выдающимся последователем идей Леонардо был Альбрехт Дюрер. В 1525 г. он опубликовал на немецком языке первую книгу по математике «Руководство к измерению циркулем и линейкой», более известную под названием «Об измерениях». В ней художник и математик изложил свою философию красоты: «Красота заключается в гармонии частей друг с другом и с целым… Подобно тому, как каждая часть сама по себе должна быть изображена правильным образом, так же композиция частей должна создавать гармонию целого… потому что гармоничные элементы считаются красивыми».

В книге «Об измерениях» описывается построение многих кривых, таких как конхоида, архимедова спираль и спираль на основе золотого сечения, известная в то время как спираль Дюрера. В книге предлагаются некоторые точные (и приближенные) методы построения правильных многоугольников. Дюрер также рассматривает пирамиды, цилиндры и другие тела, описывает пять Платоновых тел и полуправильные архимедовы тела. Он не забыл о построениях конических сечений, таких как парабола. В целом его работа может рассматриваться как начала начертательной геометрии.

Построение конического сечения и параболы из книги «Об измерениях».

Наконец, книга содержит введение в теорию перспективы. Дюрер создал много гравюр, на которых продемонстрировал методы построения модели в перспективе.

Две гравюры Дюрера, демонстрирующие его методы построения перспективы.

* * *

Среди гравюр художника самой известной, возможно, является «Меланхолия I» (внизу слева). На ней особенно видно мастерство Дюрера при изображении различных объектов в перспективе, в частности, ромбоэдра в левой части гравюры. В правой части изображен магический квадрат, состоящий из чисел, сумма которых в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях всегда постоянна. Квадрат также содержит дату работы — 1514.

«Меланхолия I» и ее фрагмент, магический квадрат, показывающие тесную связь работ Дюрера и его математических знаний.

Пройдет несколько веков, прежде чем связь искусства и математики проявится с той же силой. Это произойдет в начале XX века во время расцвета абстрактного искусства. Искусствоведы Люси Адельман и Майкл Комптон так писали об этом периоде: «Прежде всего, был особый интерес к неевклидовой и многомерной геометрии… этот период означал поражение перспективы и ее замещение другими менее систематическими канонами. Художники использовали координатные сетки, как при изображении геометрических фигур, что было связано с идеей сведения живописи к отдельным элементам. Фигуры, извлеченные из математических текстов, нередко появлялись в картинах… Наконец, простые геометрические фигуры часто представлялись машинами и их продукцией и символизировали таким образом прогресс и современность».

Это был момент бурного творческого роста обеих дисциплин. В 1912 г. швейцарский художник и скульптор Макс Билл произнес революционные слова: «Новая концепция возникла, вероятно, благодаря Кандинскому, который в книге Uber das Geistige in der Kunst («О духовном в искусстве») выдвинул идею того, что в искусстве воображение художника будет постепенно заменено математическими представлениями».

* * *

«Супрематическая композиция» 1915 г. Казимира Малевича. Художники-абстракционисты также начали с геометрии, и золотое сечение встречается во многих композициях.

Пит Мондриан определил изменения следующим образом: «Неопластицизм имеет свои корни в кубизме. Он также может быть назван «живописью реальной абстракции», потому что абстрактное (как, например, математика, но без достижения абсолюта) может быть выражено через пластическую реальность в живописи. Именно сочетание цветных прямоугольных плоскостей выражает более глубокую реальность, которая доходит до нас через пластические связи, а не через естественный внешний вид… Неопластицизм придает этим отношениям эстетический баланс и таким образом выражает новую гармонию».

Макс Билл определил этот новый способ понимания искусства так: «Математические концепции искусства не являются математикой в строгом смысле этого слова. Можно даже сказать, что было бы трудно в этом методе применить то, что мы понимаем под точной математикой. Это, скорее, сочетание ритмов и связей, законов, имеющих личную природу, в том же смысле, что и математика имеет свои инновационные элементы, рожденные умами ее первопроходцев».

Многие известные художники XX века имели сильные связи с математикой: она являлась основой многих их фундаментальных работ или использовалась как источник вдохновения. Тут нельзя не вспомнить вездесущего Эшера, одного из самых популярных художников прошлого века, а также целые движения, такие как супрематизм и кубизм. Ответвлением кубизма стало «Золотое сечение» — направление, основанное на идее поиска универсальных форм. Свой вклад в «Золотое сечение» внес Марсель Дюшан, а также его знаменитые последователи Ле Корбюзье, Хуан Грис и Фернан Леже.

Золотое сечение и архитектура

Золотое сечение встречается в архитектуре со времен древних египтян, хотя мы не можем с уверенностью сказать, что такие пропорции использовались умышленно. Например, высота и основание Великой Пирамиды имеют непосредственное отношение к Ф.

Триумфальные арки Древнего Рима также содержат золотое сечение, как иликийские гробницы, и храмы древнего города Миры (ныне город Демре в Турции). Другие цивилизации, далекие от классической культуры, похоже, тоже ценили золотые пропорции. Рядом с озером Титикака, недалеко от Ла-Паса, столицы Боливии, находятся Врата Солнца — каменная арка доинковской эпохи с пропорциями, которые полностью диктуются золотым сечением.

Врата Солнца в Боливии в настоящее время в значительной степени разрушены. Размеры сооружения, похоже, основаны на «золотых» прямоугольниках. Время постройки датируется примерно 1500 г. до н. э.

Как уже говорилось в первой главе, из всех архитектурных творений древнего мира лучше других эффект золотого сечения иллюстрирует именно Парфенон. Современное название золотого сечения, фи, происходит от имени Фидия, творца этого древнего чуда.

Парфенон в Афинах традиционно считается ярким примером использования золотого сечения в архитектуре, хотя точные измерения не подтверждают эту теорию.

Конечно, крайнее и среднее отношение часто использовалось в греческой культуре, но точные измерения выявили на удивление много неточностей, вызвавших подозрение многих экспертов. Может быть, людям лишь хотелось увидеть золотое сечение в пропорциях Парфенона, в то время как его строители использовали совсем другие соотношения? Мы всегда можем насчитать 666 шагов по лестнице или 666 дюймов между какими-то двумя точками и тут же объявить это знаком дьявола. Точно так же, проделав соответствующие измерения в любом здании, мы почти всегда можем найти Ф как отношение каких-то размеров, хотя архитектор даже не думал об этом.

Мы можем, однако, подтвердить преднамеренное использование золотого сечения в средние века, потому что эти случаи часто были задокументированы. Правильный пятиугольник или пятиугольная звезда часто встречаются в этот период. Классическими примерами являются впечатляющие оконные розы готических соборов.

Благодаря переводам работ Витрувия архитекторы-теоретики эпохи Возрождения в стремлении к красоте снова обратились к идеям гармоничных пропорций. В отдельной главе трактата «О божественной пропорции» Лука Пачоли ставит человека в центр всего сущего: «Мы будем говорить в первую очередь о пропорциях человеческого тела, так как все измерения так или иначе диктуются человеческим телом, и рука Всемогущего указывает все виды пропорций, открывающие нам самые сокровенные тайны природы», чтобы затем использовать человека в качестве эталона пропорций. «По этой причине древние, учитывая правильные пропорции человеческого тела, создавали все свои работы, и особенно священные храмы, в соответствии с пропорциями тела человека, потому что в нем они обнаружили две основные фигуры, без которых невозможно ничего сотворить, а именно круг… и квадрат».

В «Десяти книгах о зодчестве» эрудит Леон Баттиста Альберти (1404–1472) утверждал, что красота заключается в гармонии частей друг с другом и с целым. Альберти говорил, что красота «является абсолютным значением эстетического организма, которое посредством математических расчетов и взаимосвязи пропорций или, как писал Платон в трактате «Тимей», с помощью пифагорейских средних вызывает в душе человека внутреннюю радость, рождая гармонию между человеком и Вселенной».

Тесная связь между пропорциями и гармонией в области музыки вдохновила на поиск подобных связей в структурных элементах зданий. Возможно, эта идея впервые появилась у Андреа Палладио (1508–1580), венецианского архитектора, работавшего в стиле маньеризма и оказавшего большое влияние на неоклассицизм. В работе «Десять книг о зодчестве» Альберти писал, что пропорции звуков являются гармонией для ушей, а пропорции размеров — гармонией для глаз: «Такие гармонии производят очень приятное впечатление, хотя никто не знает, почему, за исключением тех, кто изучает причины вещей».

Италия эпохи Возрождения была не единственным местом, где золотое сечение использовалось при строительстве зданий. Университет Саламанки — первое учебное заведение в Европе, известное под названием «университет» — является самым старым университетом в Испании (основан в 1218 г.). Его фасад был перестроен в XV веке в стиле платереско, который был характерен для эпохи испанского Возрождения и является смешением мавританского стиля и фламандской готики. Золотое сечение лежит в основе пропорций этого здания.

Фасад Университета Саламанки содержит большой «золотой» прямоугольник.

Современная архитектура

Достижения в области строительной техники и разработки новых материалов открыли новые возможности для архитекторов XX века. Американец Фрэнк Ллойд Райт (1867–1959) был одним из главных сторонников органической архитектуры.

Незадолго до смерти он спроектировал музей Соломона Гуггенхайма в Нью-Йорке, представляющий собой опрокинутую спираль, а интерьер музея напоминает раковину наутилуса.

Польско-израильский архитектор Цви Хекер (р. 1931) также использовал спиральные конструкции в проекте школы им. Хайнца Галински в Берлине, построенной в 1995 г. Хекер начал с идеи подсолнечника с центральным кругом, откуда расходятся все архитектурные элементы.

Вид снаружи и изнутри на «золотую» спираль в музее Гуггенхайма в Нью-Йорке. Проект являлся революционным решением в архитектуре того времени.

Здание представляет собой сочетание ортогональных и концентрических спиралей, символизируя взаимодействие ограниченных человеческих знаний и управляемого хаоса природы. Его архитектура имитирует растение, которое следует за движением Солнца, а потому классные комнаты освещены в течение всего дня.

Вид сверху на школу им. Хайнца Галински, спроектированную Цви Хекером. Идея навеяна расположением лепестков подсолнечника. В то время как архитектор подражает природе, расположение лепестков тесно связано с Ф.

* * *

В Куинси-парке, расположенном в Кембридже, штат Массачусетс (США), «золотую» спираль можно встретить часто. Парк был спроектирован в 1997 г. художником Дэвидом Филлипсом и находится недалеко от Математического института Клэя. Это заведение является известным центром математических исследований. Кроме прочего, институт выдает многомиллионные награды за решение семи проблем тысячелетия, выбранных крупнейшими специалистами в каждой области. В Куинси-парке можно прогуливаться среди «золотых» спиралей и металлических кривых, рельефов из двух раковин и скалы с символом квадратного корня. На табличке написана информация о золотой пропорции. Даже парковка для велосипедов использует символ Ф.

Ле Корбюзье

Радикальный новатор Ле Корбюзье является современным Лукой Пачоли. В эпоху метрической системы Ле Корбюзье попытался внести свой вклад в знаменитую историю золотого сечения. Он сожалел, что метрическая система деперсонализировала единицы измерения, и поэтому идеи измерений, связанных с человеческими пропорциями, были утеряны.

Здание ООН в Нью-Йорке представляет собой три «золотых» прямоугольника.

* * *

Чтобы вернуть человека в архитектуру, Ле Корбюзье изобрел собственную систему мер на основе золотого сечения, но с современным содержанием. По аналогии с «Витрувианским человеком», он придумал «Модулора». «Метр, сантиметр, дециметр — эти единицы не отражают человеческие пропорции, а Модулор отражает. Я измерил расстояния от солнечного сплетения к голове и руке и нашел золотое сечение, и я создал систему мер, которая отвечает пропорциям человеческого тела. Я открыл это, не осознавая всего. Я не преувеличиваю, но это важно, и это открывает огромные возможности для промышленности; это полезно и современно, это сенсационное нововведение».

Матила Гика высоко оценил вклад Ле Корбюзье, он писал во втором томе книги «Золотое сечение», что «золотой» прямоугольник «торжественно вступил в архитектуру благодаря последним проектам самых известных представителей нового движения». Далее он описывает планы архитектора музея «Мунданеум» в Женеве. Ле Корбюзье рассказывал, что он задумал «Мунданеум» в виде прямоугольного города, где соотношение между длиной и шириной составляет Ф: «Золотое сечение определяет обе оси координат, а также периметр. Ритм диктуется золотой пропорцией, что определяло гармонию большого количества работ на протяжении всей истории».

В годы Второй мировой войны строительство приостановилось. Ле Корбюзье посвятил это время теории. Между 1942 и 1948 годами он разработал «Модулора», систему мер для строительства и дизайна на основе золотого сечения и пропорций саксонского (Северная Европа) антропологического типа (рост 1,82 метра). Книга «Модулор» была опубликована в 1950 г. и имела мгновенный успех. В 1955 г. у нее вышло продолжение, «Модулор 2», где система мер была обобщена на латинский тип (Южная Европа) (рост 1,72 метра). Система «Модулор» вновь использовала классические идеи о связи пропорций зданий с людьми, которые в них живут.

Статуя Модулора, основанная на идеальных пропорциях, предложенных Ле Корбюзье. Центральная точка фигуры с поднятой рукой, общей высотой 226 см, находится на уровне пупка (113 см). Оба числа, умноженные или разделенные на Ф, дают в результате числа Фибоначчи.

Вилла Савой в настоящее время является музеем и французским национальным памятником архитектуры. На фото можно видеть вид сзади (слева) и гостиную (справа) с доступом к центральной террасе.

Внешний вид и интерьер Марсельской жилой единицы. Все пространства внутри здания основаны на пропорциях системы Модулора.

Золотое сечение в дизайне

Типографское дело началось с изобретением печатного станка, и конечно же, знакомые нам имена, а именно Луки Пачоли, Леонардо да Винчи и Дюрера, встречаются и в истории дизайна различных печатных изданий. Главным вкладом этих гениев было прежде всего применение принципов пропорциональности. При работе над «Молитвенником Максимилиана I» Дюрер использовал золотое сечение и в тексте, и в иллюстрациях.

Тем не менее еще до Гутенберга формат книг был очень близок к золотому сечению. Наиболее гармоничным для книг считается соотношение 1:1,6 (которое может быть записано как 5:8), но такая пропорция, как правило, используется для коллекционных изданий, потому что при этом неэкономно расходуется бумага. Более распространенный формат 1:1,4 (или 5:7).

Для нынешнего поколения все эти детали могут выглядеть преданиями давно минувших дней, но их не стоит так быстро забывать. Даже сегодня мы используем Ф в веб-дизайне. Кроме того, классическая форма «иконы» современного дизайна, устройства iPod фирмы Apple, представляет собой «золотой» прямоугольник.

Пачки сигарет также представляют собой «золотые» прямоугольники с тех пор, как один известный бренд в 1955 г. изменил размеры пачки во время кампании по смене имиджа. Это было сделано по практическим соображениям, а не по эстетическим. Часть современной упаковки сигарет одновременно является откидывающейся крышкой. Получилась коробка в виде параллелепипеда размером 8,5 на 5 см с отношением Ф. Этот дизайн вскоре скопировали все бренды мира.

В дизайне одежды золотое сечение также используется, но несколько необычным образом. Одна американская фирма по производству джинсов применила Ф в покрое переднего кармана, в пропорциях заднего кармана, в отношении между боковым швом и шаговым швом брюк.

Еще одно проявление золотого сечения относится к сфере спорта. Большинство футбольных полей являются прямоугольниками с форматным отношением, приближающимся к 1,52, но не все. Одним из ярких примеров является стадион клуба «Реал Мадрид». Форма стадиона представляет собой «золотой» прямоугольник с форматным отношением 1,606. (Его размеры составляют 106 на 66 м.)

Оказывается, художники комиксов, хотя и неумышленно, но также используют Ф для определения фокусной точки на рисунке. Возьмем лист бумаги размером 5 на 3 см. Применяя Ф, мы получим следующие расстояния для фокусной точки: 5/1,618 = 3,09 см и 3/1,618 = 1,85 см. Таким образом, точка может быть расположена в прямоугольнике четырьмя различными способами.

Такое размещение образов можно увидеть в комиксах многих художников-мультипликаторов.

Дизайн в сфере музыки также не избежал влияния золотого сечения. Выдающийся мастер струнных инструментов Антонио Страдивари (1644–1737) размещал отверстия в скрипках в соответствии с золотой пропорцией. Несмотря на тщательные старания итальянца, не существует точных доказательств того, что такое расположение как-либо влияет на качество звука. Что касается композиторов, то по крайней мере Дебюсси и Барток знали и использовали золотое сечение в своих произведениях.