Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

О подходящем названии для настоящего трактата или обзора

Мне кажется, Светлейший герцог [Милана], что для нашего трактата подойдет название «О божественной пропорции» из-за многих соответствий и связей с существованием Бога, которые я нахожу в нашей пропорции и которым посвящается этот наш весьма полезный обзор. Для наших целей будет достаточно выбрать из них четыре.

Во-первых, она является единственной, и к ней невозможно добавить никакие другие виды или разновидности. Это единство является высшим атрибутом самого Бога согласно всем богословским и философским учениям.

Во-вторых, ее связь со Святой Троицей: как и божественное имеет три ипостаси Отца, Сына и Святого Духа, так же и наша пропорция всегда заключена между тремя членами, ни больше, ни меньше, как мы далее увидим.

Третье соответствие состоит в том, что как сам Бог не может быть определен или открыт нам через слова, так и наша пропорция не может быть ни обозначена понятным числом, ни выражена каким-либо рациональным количеством, но всегда остается скрытой и тайной, и называется математиками иррациональной.

Четвертое соответствие состоит в том, что как сам Бог не изменяется и пребывает весь во всем и весь в каждой части, так и наша пропорция всегда и во всех количествах, непрерывных и дискретных, больших и малых, является той же самой и всегда неизменной, и никоим образом не может ни измениться, ни быть понятой по-другому, как мы покажем ниже.

Пятое соответствие, которое не без оснований может быть добавлено к предыдущим четырем, состоит в том, что как Бог сопоставляется с Небесной Силой, иначе называемой Пятой Сущностью, а через нее с другими простыми телами, то есть с четырьмя элементами — землей, водой, воздухом и огнем — а через эти сущности дает жизнь всему другому в природе, так и наша божественная пропорция в качестве формальной сущности придает, согласно древнему Платону и его «Тимею», самому небу форму додекаэдра, или тела из 12 пятиугольников, которое, как мы покажем ниже, невозможно построить без нашей пропорции. И точно так сообщает особую форму каждому из остальных элементов: огню — пирамидальную, называемую тетраэдром, земле — кубическую, называемую гексаэдром, воздуху — фигуру, называемую октаэдром, и воде — ту, что называется икосаэдром. И как говорят ученые, все правильные тела исчерпываются этими формами и фигурами, как мы покажем ниже для каждой из них в отдельности. А через них наша пропорция придает форму бесконечному числу других тел, называемых зависимыми. И эти пять правильных тел без нашей пропорции невозможно ни сравнить друг с другом, ни вписать в сферу. И хотя можно было бы добавить и другие соответствия к этим пяти, мы для данного краткого изложения будет достаточно.

О первом следствии относительно линии, разделенной в соответствии с нашей пропорцией

Пусть прямая линия разделена в крайнем и среднем отношении, потому что именно так ученые называли нашу изысканную пропорцию. Тогда, если к большей части прибавить половину всей пропорционально разделенной линии, обязательно окажется, что квадрат суммы всегда будет пятикратным, то есть в пять раз больше, чем квадрат половины от общей суммы.

Прежде чем продолжить, мы должны сказать, как надлежит понимать и строить названную пропорцию между количествами, и как ученые называли ее в своих книгах. Я утверждаю, что название proportio habens medium et duo extrema означает, что пропорция имеет середину и два края, то есть имеет отношение ко всему трехчастному, ведь каким бы ни было это трехчастное, оно всегда будет иметь середину и два края, ибо без них не представить и середины.

Как понимать середину и края

После того как мы дали нашей пропорции особенное название, остается объяснить, как следует понимать середину и края в любом количестве и какие условия должны быть выполнены для них для получения божественной пропорции. Для этого мы должны знать, что между тремя членами одного и того же типа обязательно имеются две основных связи или пропорции, а именно: одна — между первым и вторым членами, и другая — между вторым и третьим. Например, пусть имеются три количества одного и того же типа, и мы не видим никаких соотношений между ними. Пусть первое будет а, в числах равное 9, второе — Ь, равное 6, третье — с, равное 4.

Я утверждаю, что между ними имеются две пропорции: одна от а до Ь, то есть от 9 до 6, которую мы в нашей работе называем полуторной, когда больший член содержит меньший и его половину, так как 9 содержит 6 и еще 3, половину от 6, поэтому мы называем ее полуторной. Существует также пропорция от второго, Ь, до третьего, с, то есть от 6 до 4, еще одна полуторная пропорция. Подобны они или нет, нас в данный момент не интересует, потому что мы намерены только показать, что между тремя членами одного и того же рода обязательно имеются две пропорции. Я утверждаю также, что наша божественная пропорция соблюдает одни и те же условия, а именно: между тремя ее членами — средним и двумя крайними — всегда содержатся две пропорции и всегда одного и того же обозначения. И в других пропорциях, будь они непрерывными или обособленными, это происходит бесконечно разными способами, потому что иногда между тремя членами она будет двойной, иногда тройной, и так далее для всех общих типов. Но между серединой и краями нашей пропорции не может быть никаких вариаций, как мы далее увидим (…).

Поэтому мы должны знать, чтобы уметь распознать ее среди различных количеств, что между тремя ее членами обязательно имеется непрерывная пропорциональность, а именно: произведение меньшего члена на сумму меньшего и среднего равно квадрату среднего, и, следовательно, данная сумма обязательно будет ее большим членом. И когда мы находим три количества любого типа, упорядоченных таким образом, мы утверждаем, что они находятся в крайнем и среднем отношении, их больший член всегда равен сумме меньшего и среднего, так что можно сказать, что больший член является целым, разделенным на две части, то есть на меньший и средний члены этой группы. Следует заметить, что эта пропорция не может быть рациональной, ибо нельзя меньший член по отношению к среднему выразить каким-либо числом, даже если больший член рационален, поэтому они всегда будут иррациональны, как будет ясно из дальнейшего.

Как мы понимаем количество, разделенное согласно пропорции, имеющей середину и два края

Мы должны хорошо знать, что для того, чтобы разделить количество согласно пропорции, имеющей середину и два края, надо образовать две такие неравные части, чтобы произведение меньшей на всю неразделенную величину было равно квадрату большей части. И хотя иногда вместо деления данного количества согласно пропорции, имеющей середину и два края, мы хотим лишь образовать две части с таким условием, чтобы произведение одной части на всю данную величину было равно квадрату другой части, тот, кто хорошо это понимает и является экспертом в данной области, должен свести предложение к нашей пропорции, потому что это никаким другим способом не может быть истолковано. Например, когда говорят: «Разделим 10 на две части так, что, умножая одну часть на 10, мы получим столько, сколько умножая другую часть на саму себя» и рассматривают этот случай и ему подобные в соответствии с предписаниями спекулятивной практики алгебры, или альмукабалы, и с правилом, которое мы по этому вопросу поместили в нашей работе, то получают следующее решение: меньшая часть равна 15 без корня из 125, а большая часть равна корню из 125 без 5. Части, описанные таким образом, иррациональны, и в искусстве они называются вычетами, коих насчитывается 6 видов. Обычно эти части выражаются следующим образом: меньшая равна 15 за вычетом корня из 125. Это означает, что, принимая корень из 125 за число немного большее, чем 11, и вычитая его из 15, мы получим чуть более 3, или чушь меньше 4. А большая часть выражается так: корень из 125 за вычетом 5, и это означает, что, принимая корень из 125 за число немного большее, чем как уже было сказано, и вычитая из него 5, мы получим разность чуть более 6, или чуть меньше 7. Но подобные действия умножения, сложения, вычитания и деления вычетов, двучленов, биномов, корней и прочих рациональных и иррациональных количеств, сложенных и разложенных разными способами, уже были рассмотрены в нашем предыдущем сочинении, и я не стану их повторять в этом трактате, так как мы намереваемся говорить лишь о новых предметах и не возвращаться к уже сказанному.

Для любого количества, разделенного таким образом, всегда имеются три члена, упорядоченные по непрерывной пропорциональности, так что один член будет общим разделенным количеством, то есть большим краем, которым в нашем случае является 10, а другой член будет большей частью, то есть средним, в нашем случае корень из 125 за вычетом 5, а третий — меньшим, то есть 15 за вычетом корня из 125. Между ними получится та же самая пропорция, в которой первый член так относится ко второму, как второй к третьему, и обратно: третий ко второму как второй к первому. И если мы умножим меньший член, 15 за вычетом корня из 125, на больший, 10, будет то же самое, как если мы умножим средний член, то есть корень из 125 за вычетом 5, сам на себя, так как каждое умножение дает нам 150 за вычетом корня из 12500, как и утверждает наша пропорция. Поэтому мы говорим, что 10 разделено в пропорции, имеющей середину и два края, с большей частью, равной корню из 125 за вычетом 5 и с меньшей — 15 за вычетом корня из 125, и обе части иррациональны. И это все, что можно сказать о количестве, разделенном таким образом.

Определения

3. Говорится, что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если целое относится к большему отрезку как больший отрезок к меньшему.

Предложения

Предложение 30. Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем и среднем отношении.

Пусть данная ограниченная прямая будет АВ.

Тогда требуется рассечь прямую АВ в крайнем и среднем отношении. Построим на АВ квадрат ВС и приложим к АС равный ВС параллелограмм CD с избытком — фигурой AD, подобной ВС.

ВС же есть квадрат; значит, и AD квадрат. И поскольку ВС равен CD, то отнимем от обоих общее СЕ; значит, оставшийся параллелограмм BF равен оставшемуся параллелограмму AD. И оба равноугольны; значит, в BF и AD стороны при равных углах обратно пропорциональны; следовательно, как и FE к ED, то и АЕ к ЕВ. Но FE равна АВ, и ED равна АЕ. Значит, как и ВА к АЕ, так и АЕ к ЕВ. Но АВ больше АЕ; значит, и АЕ больше ЕВ.

Значит, прямая АВ рассечена в Е в крайнем и среднем отношении, и больший ее отрезок АЕ.

Предложение 11. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Пусть данная прямая будет АВ.

Следовательно, требуется АВ рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Надстроим на АВ квадрат ABDC и рассечем АС пополам в точке Е и проведем BE. Продолжим СА до F, отложим EF, равную BE. Надстроим на AF квадрат FH и продолжим СН до К.

Поскольку АС рассечена пополам в Е и к ней прикладывается FA, то значит, прямоугольник, заключенный между CF, FA вместе с квадратом на АЕ, равен квадрату на EF. EF же равна ЕВ; значит, прямоугольник между CF, FA, вместе с квадратом на АЕ, равен квадрату на ЕВ. Но квадрату на ЕВ равны квадраты на ВА и АЕ, ибо угол при А прямой; значит, прямоугольник между CF, FA вместе с квадратом на АЕ равен квадратам на ВА и на АЕ. Отнимем общий квадрат на АЕ; остающийся прямоугольник, заключенный между CF, FA равен квадрату на АВ. И прямоугольник между CF, FA есть FK, ибо AF равна FC; квадрат же на АВ есть AD; значит, FK равно AD. Отнимем общий АК, значит, остаток FH равен НА. И НА есть прямоугольник между АВ, ВН, ибо АВ равна BD; FH же есть квадрат на АН; значит, прямоугольник, заключенный между АВ и ВН, равен квадрату на НА.

Значит, данная прямая АВ рассечена в Н так, что прямоугольник, заключенный между АВ и ВН, она делает равным квадрату на НА.

Девять индийских чисел: 9 8 7 6 5 4 3 2 1.

С помощью этих девяти чисел и со знаком нуля, который арабы называют зефиром, любое другое число может быть записано, как мы покажем ниже. Число является суммой единиц, и при их добавлении число может увеличиваться без конца. Сначала получаются эти числа, от одного до десяти. Потом из десятков мы строим числа от десяти до ста. Затем из сотен мы строим числа от ста до тысячи… И таким образом, в бесконечной последовательности шагов, любое число может быть построено объединением предыдущих чисел. Первая цифра пишется с правой стороны. Вторая цифра следует за первой слева.

Начало, 1

У одного человека была пара кроликов в загоне, окруженном со всех сторон стеной, и он захотел узнать, сколько кроликов может родиться от этой пары в течение года, учитывая, что по своей природе кролики могут производить на свет пару кроликов каждый месяц и каждая новая пара готова родить в следующем месяце.

Когда первая пара рожает в первый месяц, количество кроликов удваивается, у человека будет

Первый месяц, 2

2 пары через один месяц.

Одна из пар, та, что была первой, производит на свет пару во второй месяц, а значит, во второй месяц имеется

Второй, 3

3 пары; из них через месяц две беременны, так что в третьем месяце рождается две пары кроликов, а значит, в этот месяц имеется

Третий, 5

5 пар; три пары беременны в четвертый месяц, так что имеется

Четвертый, 8

8 пар в четвертый месяц, из которых пять пар производят на свет пять других пар; они добавляются к предыдущим восьми и получается

Пятый, 13

13 пар в пятом месяце; эти пять пар, которые родились в этом месяце, не спариваются, но другие восемь пар беременны, так что имеется

Шестой, 21

21 пара в шестой месяц; к ним мы должны добавить тринадцать пар, которые рождаются в седьмом месяце, так что будет

Седьмой, 34

34 пары в этом месяце; к ним мы должны добавить двадцать одну пару, которые родились в восьмом месяце, что дало

Восьмой, 55

55 пар в этот месяц; нам придется добавить тридцать четыре пары, которые родились в девятом месяце, и теперь в этот месяц имеется

Девятый, 89

89 пар; к ним мы снова добавим пятьдесят пять пар, родившихся в десятом месяце, и получится

Десятый, 144

144 пары в этом месяце; мы снова добавим восемьдесят девять пар, родившихся в одиннадцатом месяце, так что у нас будет

Одиннадцатый, 233

233 пары в этом месяце. К ним мы добавим сто сорок четыре пары, родившихся в последнем месяце. К концу года пара, с которой мы начали, произведет на свет

Двенадцатый, 377

377 пар кроликов.

Как видно из пометок на полях, метод, который мы использовали, заключается в следующем: мы добавляли первое число ко второму, то есть 1 к 2, а второе к третьему, третье к четвертому, четвертое к пятому и так далее, одно за другим, наконец, мы добавили десятое к одиннадцатому, то есть 144 к 233, и получили количество кроликов, указанное выше, то есть 377, которое может продолжать увеличиваться для бесконечного числа месяцев.