Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Глава 3 Золотое сечение и пятиугольник

Ассирийцы рисовали пятиугольники самым обычным образом: раздвинув пальцы кисти руки и оставляя отпечатки пальцев на глине. Затем эти точки соединялись отрезками. Такие изображения часто встречаются на глиняных табличках. Однако построение пятиугольников было серьезной задачей для древних греков. По их мнению, единственным точным методом построения геометрических фигур было использование циркуля и линейки, но этих инструментов оказалось недостаточно, чтобы начертить правильный пятиугольник.

Правильный пятиугольник

Использование циркуля и линейки для геометрических построений, как это делали еще древние греки, является очень ограниченным методом. И некоторые ограничения представляются довольно причудливыми. Метод включает в себя рисование точек, прямых (или их отрезков) и частей окружности (или дуг) с использованием лишь циркуля и линейки неопределенной длины, без делений на ней. С помощью этих инструментов можно разделить отрезок пополам (провести перпендикуляр через его середину), построить биссектрису угла, найти точку, симметричную данной относительно другой, провести параллельную прямую или перпендикуляр в данной точке, а также найти проекцию точки на прямую линию. Также можно разделить любой отрезок на заданное число равных частей.

Однако существует ряд классических задач, известных тем, что они не могут быть решены лишь с помощью линейки и циркуля. Например, квадратура круга (построение квадрата с той же площадью, что и у данного круга), удвоение куба (построение куба, который имеет в два раза больший объем, чем данный куб с известной стороной) или деление угла на три равные части. Кроме того, невозможно построить некоторые правильные многоугольники, используя только циркуль и линейку, например, семиугольник и пятиугольник.

Тем не менее, правильный пятиугольник может быть построен с помощью линейки и циркуля с использованием Ф. Таким образом, число Ф внесло свой вклад в решение классических задач эпохи.

* * *

Рассмотрим правильный пятиугольник, в котором проведены диагонали.

Остановимся на треугольнике BED, одном из трех равнобедренных треугольников. Длина его равных сторон BE = BD равна е, длине диагонали пятиугольника (стороне пятиконечной звезды). Кроме того, сторона ED является стороной пятиугольника р, которую мы возьмем равной единице: р = 1. Теперь проверим, что выполняется соотношение EB/ED = е/р = е/1= Ф и, следовательно, мы имеем золотое сечение. Другими словами, е = Ф.

* * *

Деля угол D пополам, мы получим треугольник DEF. Он имеет такие же углы, что и BED, следовательно, эти треугольники подобны. Отсюда следует, что

EB/ED = ED/EF. (1)

Так как ED = FD = FB = 1 и EF = ЕВ — 1, подставляя в (1), получим:

ЕВ/1 = 1/(ЕВ-1)

ЕВ² — ЕВ = 1

ЕВ² — ЕВ -1 = 0

ЕВ = (1 + √5)/2 = Ф

Равносторонний треугольник FED является треугольником Морли.

* * *

Таким образом, мы доказали, что отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно Ф.

Но у звезды пятиугольника имеются и другие связи с золотым сечением. Давайте посмотрим на пятиугольник и на треугольники, которые появляются, когда мы проводим диагонали. Мы видим только три разных угла: 36°, 72° и 108°. Кроме того, так как 72 — это два раза по 36, а 108 — это три раза по 36, то все углы являются кратными 36°.

Мы видим много равнобедренных треугольников, но среди них только три разных типа: треугольники ABE, АВР и AFC. Все остальные подобны одному из них. Кроме того, мы видим только четыре отрезка различной длины. Назовем их BE = а, АВ = АЕ = b, AF = BF = AG = с и GF = d, так что a > b > с > d.

К каждому из этих треугольников мы применим теорему синусов, которая утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная. В треугольнике АВЕ:

a/sin 108° = b/sin 36°; a/b = sin 108/sin 36°

В треугольнике ABF:

b/sin 108° = c/sin 36°; b/c = sin 108/sin 36°

И, наконец, в треугольнике AFC:

c/sin 72° = d/sin 36°; c/d = sin 72°/sin 36°= sin 108°/sin 36°

Так как 72° = 180° — 108°, и синусы дополнительных углов равны, мы имеем, что sin 72° = sin 108°.

Таким образом, мы установили следующее соотношение:

a/b = b/c = c/d =1,618033988…

С помощью тригонометрии мы доказали, что для четырех отрезков, расположенных от большего к меньшему, отношение длины каждого из них к длине следующего за ним постоянно и равно золотому сечению.

Мы можем получить это соотношение по-другому, начиная с первого из равенств, используя то, что с = а — Ь, и учитывая, что стороны пятиугольника одинаковы, т. е. b = 1.

a/b = b/c — > a/b = b/(a — b) — > a/1 = 1/(a — 1) — > a² — a -1 = 0 — > a = (1 + √5)/2

Таким образом, мы видим, что отношение длин двух последовательных отрезков равно золотому сечению.

«Золотой» треугольник

Как мы только что видели, пятиугольник и его диагонали образуют два типа равнобедренных треугольников. Первый имеет углы 36°, 36° и 108°, а второй — 36°, 72° и 72°. В обоих случаях отношение длины большей стороны к меньшей равно Ф. Поэтому их называют «золотыми» треугольниками. Иногда название дается по типу: треугольник с углами 36°, 72° и 72° называется «золотым» треугольником, а треугольник с углами 36°, 36° и 108° называется «золотым» гномоном. Мы не будем выделять это различие.

При проведении диагоналей в правильном пятиугольнике получается еще один правильный пятиугольник в центре, окруженный «золотыми» треугольниками. Кроме того, лучи звезды также являются «золотыми» треугольниками.

С помощью «золотого» треугольника можно построить правильный пятиугольник, используя только циркуль и линейку. Возьмем отрезок длиной 1, который разделим в золотой пропорции (как в предыдущей главе), выделив часть длиной х. Затем мы построим «золотой» треугольник со сторонами х и 1. Проведем окружность радиуса 1 с центром в вершине угла 36° (который лежит напротив стороны х). Десятиугольник, вписанный в окружность, имеет стороны длины х. После того как мы построили десятиугольник, мы соединим его вершины через одну. Таким образом, мы построим правильный пятиугольник.

Тот же метод может быть использован для построения правильного десятиугольника. Геометры Древней Греции таким образом упражнялись, демонстрируя математические возможности золотого сечения.

При таком построении стороны «золотого» треугольника равны стороне правильного десятиугольника, вписанного в круг, и радиусу этого круга.

В предыдущей главе мы выяснили, что с помощью «золотого» прямоугольника можно получить логарифмическую спираль, но ее можно также построить, взяв «золотой» треугольник ABC с углами 36°, 72° и 72° (в котором АВ/ВС = Ф). Если разделить угол В пополам, мы получим два треугольника: DAB и BCD. Первый имеет углы 36°, 36° и 108°, поэтому является «золотым» треугольником.

Второй, BCD, подобен исходному, так что тоже является «золотым» треугольником. Если мы продолжим процесс, разделив угол С пополам, то получим еще один треугольник CDE, который, в свою очередь, подобен предыдущим двум.

Теперь вспомним, как мы получали меньшие «золотые» прямоугольники, удаляя в данном «золотом» прямоугольнике квадраты. Если в «золотом» треугольнике мы будем продолжать делить углы пополам, то будем получать все меньшие «золотые» треугольники. Этот процесс эквивалентен удалению «золотого» гномона. Таким образом мы получим спираль последовательных «золотых» треугольников, сходящуюся, как и в случае «золотых» прямоугольников, к одной точке.

Символика пятиконечной звезды

Почему те звезды, которые мы наблюдаем на небе, испокон веков изображаются в виде пятиконечной звезды? Одно из объяснений: из-за их мерцания. Этот визуальный эффект вызван прохождением звездного света через верхние слои атмосферы разной плотности. Как бы то ни было, мало что изменилось с тех пор, когда наши предки изучали небо, пытаясь разгадать его скрытый смысл. Изображение звезд в виде пятиконечной звезды встречается с древних времен, еще на глиняных табличках Месопотамии, а также в египетских иероглифах.

Символ пятиконечной звезды, известный как пентаграмма, служил тайным знаком пифагорейцев. Для них пентада, то есть число 5, олицетворяла здоровье и красоту, поскольку она была гармоничным сочетанием числа 2, первого четного числа, или диады, и числа 3, первого нечетного числа, или триады.

Пентаграмма — это геометрическая фигура, имеющая долгую историю в качестве символа тайных обществ. Она использовалась рыцарями ордена розенкрейцеров и часто встречается в эмблемах масонских лож.

Изображение пятиконечной звезды часто встречается в нашей повседневной жизни. Например, звезды на Голливудской «Аллее славы» в Лос-Анджелесе, а также эмблемы многих революционных групп.

Звезда — важный элемент на разных флагах и не только знак революционной идеологии. Она встречается на флагах некоторых мусульманских стран, таких как Марокко, символизируя пять заповедей ислама. Кроме того, звезды, обозначающие штаты на флаге США, также пятиконечные.

Периодические и апериодические плитки

В нашей беспокойной жизни нам часто не хватает времени, чтобы обратить внимание на окружающий мир, в том числе на то, что у нас под ногами. Поэтому мы не замечаем геометрии на тротуаре (если, конечно, обо что-нибудь случайно не споткнемся). В этом параграфе мы займемся формами кирпичей, керамической плитки и мозаики — всего того, что нас окружает.

Все мы знаем, что такое мозаика. Однако было бы неплохо получить ее точное определение. Мозаика, таким образом, будет определяться как такое покрытие поверхности кусочками, которые мы называем мозаичной плиткой (или просто плитками), когда между этими плитками не остается зазоров, и никакие плитки не перекрывают друг друга.

Для математиков наиболее интересны такие мозаики, в которых покрытие состоит из многоугольников, потому что многоугольники могут иметь общие стороны и вершины и поэтому представляют собой отличное поле для геометрических экспериментов. Это может показаться сложной задачей, однако нас окружает множество реальных примеров: плитка на полу, на стенах домов, в служебных помещениях и даже на улице.

* * *

Главной задачей, связанной с мозаикой, является нахождение наименьшего узора, который, повторяясь, позволяет заполнить данную поверхность. Этот минимальный узор может быть одной плиткой, которая заполняет поверхность, просто повторяясь, без поворотов и симметрии. Такой процесс дает нам так называемую периодическую мозаику. Апериодические мозаики не имеют минимального узора для покрытия поверхности, но заполняют все пространство, используя золотое сечение.

Предположим, что мы должны покрыть пол (или любую другую ровную поверхность) плиткой, имеющей форму правильного многоугольника. Какую форму предпочесть? Можно подумать, что любой правильный многоугольник подойдет, но это не так. Например, мы не сможем сделать покрытие из правильных пятиугольников. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать и вырезать несколько равных правильных пятиугольников, положить их на ровную поверхность и попытаться покрыть площадь, равную сумме площадей пятиугольников. Прежде всего, попытаемся разложить их так, чтобы их вершины касались друг друга. С первыми двумя никаких проблем не возникнет, но когда мы добавим третий, то увидим, что осталось немного места, которое не может быть заполнено другим пятиугольником.

Угол правильного пятиугольника равен 108°. Соединяя три пятиугольника, мы получим общий угол 3∙108° = 324°. Пространство было бы заполнено, если общий угол был бы равен 360°, величине полного оборота. Нам не хватает 36°. Если мы добавим еще один пятиугольник, у нас будет слишком много градусов для полного оборота.

Мы нашли необходимое условие для покрытия равными многоугольниками: сумма углов должна быть 360°. Другими словами, угол правильного многоугольника должен быть делителем 360°. У каких многоугольников есть такие углы? Только у правильного шестиугольника, правильного треугольника и квадрата. Это единственные правильные многоугольники, которые можно использовать в качестве плитки. Так как шестиугольник делится на шесть равносторонних треугольников, можно сказать, что существует только две возможности заполнить поверхность правильными многоугольниками: квадратные и треугольные плитки. Именно они и используются чаще всего, мы видим их вокруг — на полу и на стенах.

Однако пятиугольники не совсем бесполезны для наших целей. По правде говоря, плитка может быть и в форме пятиугольников, если только они не являются правильными. Например, пятиугольник, образованный квадратом и равносторонним треугольником, лучше всего можно представить в виде открытого конверта. Этот многоугольник является равносторонним — все его стороны одной и той же длины — но углы его не равны. Существует еще 13 видов других неправильных многоугольников, которые также могут быть использованы в качестве плитки. Причина, по которой они редко используются на практике, кроется, вероятно, в их не эстетичности. Хотя форма их геометрически корректна.

Альгамбра — дворец времен династии Насридов, правившей Гранадским эмиратом в южной Испании до его завоевания христианами в 1492 г. Это впечатляющий памятник архитектуры и одна из самых посещаемых достопримечательностей в мире. Если внимательно изучить архитектуру дворца, мы увидим, что в ее основе лежат простые правила.

Покажем это на трех типах мозаики. Именно мозаичная плитка и ее повторяющиеся узоры приводят к удивительным результатам. Искусство мавританских художников породило сложные мозаики, которые мы видим вокруг нас.

Первый тип мозаики в Альгамбре называется «кость» или «насридская кость». На рисунке ниже можно увидеть, как она выполняется и какие узоры получаются.

В данном квадрате проведем диагонали, затем разделим основание квадрата на четыре равные части и через эти точки проведем вертикальные линии. Наконец, извлечем полученные трапеции и поместим их над верхней и под нижней сторонами квадрата.

Второй тип — «птичка» — получается из треугольных узоров и часто используется во многих современных мозаиках.

Возьмем равносторонний треугольник и проведем дуги от вершины до середины каждой стороны. Вынем эти сегменты и поместим их на внешней стороне исходного треугольника.

Третий тип мозаики довольно необычен. За основу берутся квадратные плитки, и получается узор в виде «гвоздей».

Внутри квадрата построим два прямоугольных треугольника, гипотенузы которых являются сторонами квадрата. Затем извлечем треугольники и поместим их с внешней стороны смежных сторон.

Другие замечательные примеры математических мозаик в искусстве в изобилии встречаются в творчестве нидерландского художника Эшера. Он родился на рубеже XIX и XX веков и уже в юности использовал математику в своих работах. Однако его интерес к мозаике проявился после поездки в Альгамбру в 1936 г.

Эта мозаика Эшера использует два узора в виде птиц, которые хотя и не являются геометрическими фигурами, тем не менее заполняют поверхность не оставляя зазоров.

До сих пор мы видели мозаичные узоры (треугольные и квадратные), использующие только один вид плитки, но можно также построить полуправильные мозаики, в которых узором является пара правильных многоугольников, отличающихся друг от друга. Как и прежде, единственное условие — чтобы углы в сумме давали 360°.

Многие дизайны используют повторяющиеся узоры, чтобы покрыть поверхность не оставляя зазоров. Такие узоры встречаются на рисунках на керамике, на решетках окон, на тротуарах и тканях. Они часто используются при вязании, плетении и вышивке.

Узоры на перилах, тканях и в мозаике, как правило, используют повторяющиеся мотивы, чтобы заполнить поверхность. Такие узоры обычно имеют геометрические формы.

Мозаика Пенроуза

Апериодические мозаики содержат более одного узора, которыми заполняется вся поверхность. Казалось бы, разработка дизайна апериодической мозаики является очень сложной задачей или, по крайней мере, потребует использования многих форм плитки. До 1970-х гг. эта задача была своего рода математической головоломкой.

Первый подход заключается в создании радиальных мозаик. Например, возьмем мозаику из равнобедренных треугольников. Разрезав ее пополам и сдвинув верхнюю половину влево, мы получим апериодическую спираль.

Еще одна проблема заключается в нахождении мозаичных плиток для апериодической мозаики. В течение очень долгого времени математики пытались решить эту проблему, но в результате были найдены лишь узоры, содержащие огромное количество составных элементов. В 1971 г. американский математик Рафаэль Митчел Робинсон разработал дизайн, в котором используются плитки только шести видов, полученных путем добавления выемок и выступов к квадрату.

В 1973 г. физику и математику сэру Роджеру Пенроузу (род. в 1931 г.) удалось уменьшить количество плиток до четырех. Год спустя он свел количество к двум. С плитками двух простых типов Пенроуз смог построить апериодическую мозаику. Эти два типа получили названия «воздушный змей» и «дротик». На рисунке это фигуры ABED и BCDE. Вместе они образуют ромб со стороной 1 и углами 72° и 108°. Присутствие Ф вполне закономерно, как и можно было бы ожидать с такими величинами углов.

«Воздушный змей» (заштрихованный) состоит из двух «золотых» треугольников, совмещенных по одной из их равных сторон. Таким образом, длины двух больших сторон равны 1, а двух меньших — Ф — 1 = 1/Ф. Три угла по 72°, а четвертый — 144°. «Дротик» образован двумя «золотыми» гномонами, совмещенными по их меньшей стороне. Это четырехсторонняя вогнутая фигура с формой, дополняющей форму «воздушного змея». Она имеет два угла по 36°, один в 72° и один в 216° (который больше, чем развернутый угол в 180°).

Очевидно, что мы можем построить периодические мозаики с помощью этих двух плиток, если образуем из них ромб. Если мы не хотим повторяющихся узоров, существует другой способ. Обозначим каждую из вершин (например, буквой) и примем условие, что только вершины с одной и той же буквой могут совпадать, когда плитки касаются друг друга.

В каждой «мозаике Пенроуза» отношение числа плиток двух типов стремится к золотому сечению. Казалось бы, нам потребуется больше «дротиков», чем «воздушных змеев», но на самом деле наоборот. «Воздушных змеев» потребуется в Ф раз больше, чем «дротиков».

Пенроуз разработал еще один набор плиток, состоящий из двух ромбов, где первый образован двумя «золотыми» треугольниками, а второй — двумя «золотыми» гномонами.

Для построения апериодической мозаики мы должны как-то пометить стороны или вершины этих двух ромбов. В готовой мозаике каждый тип ромбов встречается в соотношении Ф, широкие плитки чаще, чем узкие.

Игры с использованием пятиконечной звезды и золотого сечения

Большинство азартных игр имеют математическую основу, так что не трудно найти игры, связанные с золотым сечением. Кроме того, с древних времен многие игровые доски имеют форму пятиконечной звезды. Так было в Древнем Египте: доска в форме пятиконечной звезды использовалась в одной из старейших настольных игр. В египетском храме Курна были найдены гравюры 1700 г. до н. э. с изображением игры, в которой используется звездообразная доска. Эта игра Пентальфа, вариант которой до сих пор популярен в Греции на Крите.

В математическом смысле интересен вариант другой древней игры, Ним, в которой золотое сечение используется в виде последовательности Фибоначчи. Поэтому эта игра также известна под названием «Ним Фибоначчи». Мы начнем с некоторого количества фишек N.

Два игрока по очереди берут фишки из одной кучки. Побеждает игрок, который берет последнюю фишку.

* * *

Конечно, за первый ход первый игрок не может взять всю кучку. Во время каждого следующего хода игроки могут брать, сколько захотят, соблюдая следующие правила игры:

• за каждый ход игрок должен брать по крайней мере одну фишку;

• каждый игрок не может брать более, чем удвоенное количество фишек, взятых его противником в предыдущем ходу. (Если один берет четыре фишки, другой в свою очередь может взять максимум восемь.)

Математический аспект игры заключается в том, что если число N представляет собой число из последовательности Фибоначчи, то второй игрок должен всегда побеждать, если следует правильной стратегии, а если N — любое другое число, то победить должен первый игрок.

Многогранники и золотое сечение

Многогранники — это геометрические тела, каждая грань которых представляет собой многоугольник. Далее подразумевается, что мы всегда рассматриваем выпуклый многогранник — то есть такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Для выпуклого многогранника с числом граней F, числом ребер Е и числом вершин V всегда справедливо соотношение, известное как теорема Эйлера:

F + V = E + 2.

Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками и из каждой вершины выходит одинаковое количество ребер. Без второго условия мы можем получить многогранник с вершинами с тремя и четырьмя ребрами, как на следующем рисунке:

Кристаллы пирита часто имеют форму правильных двенадцатигранников. Опять же, как мы видим, правильные многогранники в изобилии встречаются в природе.

Как ни удивительно, но уже древние греки знали, что хотя существует бесконечное число правильных многоугольников — они могут иметь любое количество сторон — бывает только пять правильных многогранников, так называемых Платоновых тел. Гранями трех из них являются равносторонние треугольники: тетраэдр (четыре грани), октаэдр (восемь граней) и икосаэдр (20 граней). Еще один имеет шесть квадратных граней: куб (или гексаэдр), а пятый, додекаэдр, имеет 12 граней в виде правильных пятиугольников. Все они могут быть вписаны в сферу, касаясь ее всеми вершинами.

В Древней Греции каждое из этих тел связывали с одной из природных стихий. Куб представляет землю, тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — воду, а додекаэдр был символом космоса, всей Вселенной. Платон писал: «Боги использовали [додекаэдр], чтобы вплести созвездия в небо».

Большой интерес древних греков, особенно пифагорейцев, к многогранникам, без сомнения, объясняется изучением кристаллических минералов, широко распространенных в Средиземноморье, в том числе эффектных кристаллов пирита, часто имеющих форму додекаэдра.

Количества граней, ребер и вершин пяти правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Если мы опишем многогранник вокруг додекаэдра, используя центры его граней в качестве новых вершин, то мы получим икосаэдр.

* * *

Если мы проделаем то же самое с икосаэдром, то получим додекаэдр. Из-за такого свойства эти многогранники называют двойственными.

Не все многогранники имеют связь с Ф. Ближайшими к золотому сечению являются додекаэдр (как и следовало ожидать, потому что он образован пятиугольниками) и двойственный ему икосаэдр. Число Ф появляется в выражениях для объема и площади поверхности (суммы площадей граней) этих двух многогранников. С длиной ребра, равной 1, эти выражения имеют вид:

Площадь поверхности додекаэдра = 15Ф/√(3 — Ф) = 3∙√(25 + 10∙√5) =~ 20,65.

Объем додекаэдра 5Ф²/(6 — 2Ф) = (1/4)∙(15 + 7∙√5) =~ 7,66.

Объем икосаэдра 5Ф²/6 = (5/12)∙(3 + √5) =~ 2,18.

Если икосаэдр и додекаэдр вписаны один в другой как двойственные тела, соотношение между длинами их ребер задается формулой:

Ф²/√5.

С другой стороны, 12 вершин икосаэдра можно разделить на три группы по четыре вершины, которые являются вершинами «золотых» прямоугольников, вписанных в многогранник, каждый из которых перпендикулярен двум другим.

Поэтому если мы возьмем три равных «золотых» прямоугольника и поместим их перпендикулярно друг к другу так, чтобы они пересекались в их центрах, 12 выступающих вершин образуют икосаэдр с ребром, равным меньшей стороне «золотого» прямоугольника. Если мы примем точку пересечения в «золотых» прямоугольниках за начало координат, то координаты 12 вершин икосаэдра будут выражены следующим образом:

(0,±1,±Ф), (±1,±Ф,0), (±Ф,0,±1).