Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Глава 2 Бесконечная незначительность и трансцендентность числа π

Мы подробно, знак за знаком, проследили путь числа π в поисках трансцендентности. Линдеман завершил поиски и расставил все по местам. Теперь мы знаем, что π трансцендентно, его нельзя построить с помощью циркуля и линейки, поэтому задача о квадратуре круга не имеет решения.

Чтобы лучше понять значимость и важность π в мире математики, совершим небольшую экскурсию в неспокойный мир бесконечности. Это отдельная вселенная, очень обширная и запутанная, полная вопросов, лежащих между философией и реальным миром. Этот мир настолько необычен, что некоторыми его аспектами занимается высшая математика, в которой действия с бесконечностью предельно упрощаются. Мы рассмотрим эту область лишь поверхностно, особенно не углубляясь. Тем не менее обзор бесконечности в математике нетривиален, требует определенных усилий, а иногда просто скучен и повергает в уныние.

Предупредив читателя, мы начинаем нашу экскурсию в мир бесконечности с почти что абсурдного вопроса: «Что такое число?» Чтобы ответить на него, начнем с рассмотрения самого представления о числах.

В основе практически всех основных понятий лежат множества — простые совокупности объектов, которые мы будем перечислять в фигурных скобках, разделяя запятыми. Например,

А = {а, Ь, с, d}

обозначает множество А, образованное символами а, Ь, с и d. Вместо букв могут использоваться животные, люди, музыкальные инструменты и так далее. Это не принципиально. Будем использовать наиболее простое определение, которое эксперты называют «наивным»: будем считать множество совокупностью объектов, называемых «элементами множества».

Множества могут соответствовать друг другу — так обычно говорят о множествах, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие. Например, множества

{а, Ь, с} и {Наполеон, , автор этой книги}

соответствуют друг другу, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие и при этом не останется лишних элементов. Напротив, множества

{а, Ь} и {Наполеон, , автор этой книги}

не могут соответствовать друг другу, поскольку в правом множестве всегда будет оставаться один элемент, которому не будет соответствовать никакой элемент левого множества. Из этого следует, что определение числа имеет отношение к множествам. Современное рекурсивное определение числа может выглядеть так:

1 = {0}

2 = {0, 1}

3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}

5 = {0, 1, 2, 3, 4}

…

n = {0, 1, 2, 3, 4…. n — 1}

Говорят, что множество А имеет n элементов, если А соответствует n, иными словами, если между А и n имеется взаимно однозначное соответствие. Так, множество игроков футбольной команды на поле содержит 11 элементов, множество апостолов содержит 12 элементов. Согласно вышеприведенному перечню, множество 11 выглядит так:

11 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Нет никаких сомнений в том, что между этим множеством и любым множеством футболистов на поле можно установить взаимно однозначное соответствие.

Как же мы определим ноль? Когда говорят, что множество содержит 0 элементов? В «наивной» теории множеств множество является совокупностью объектов. Поэтому логично, что среди таких совокупностей встречаются пустые, которые не содержат ничего — как пустые коробки.

Не стоит путать пустое множество и ничто — метафизический объект, больше подходящий для философских споров. Пустое множество — это как раз то, внутри чего находится ничто. Это множество, которое не содержит элементов, но это не «ничто».

Для обозначения подобного множества (оно единственно, так как все пустые множества равны), французский математик Андре Вейль (1906–1998) предложил использовать датскую букву . Вайль был прекрасно знаком с алфавитами скандинавских языков, поскольку во время Второй мировой войны находился в заключении в Финляндии.

Будем обозначать символом пустое множество, которое не содержит элементов. Его можно определить многими способами, от забавных до вовсе абсурдных, например

= {летающие коровы}.

Обозначим ноль так:

0 =

и будем говорить, что множество содержит 0 элементов, если между ним и множеством можно установить взаимно однозначное соответствие.

Для обозначения числа элементов множества А используется следующее выражение: |А|. Также число элементов множества называется его кардинальным числом. Таким образом,

число элементов А = кардинальное число А = |А|.

В целом различают конечные и бесконечные множества, и понятие «число элементов» используется для конечных множеств. Так, конечное множество может иметь 6241 или 123456789012 элементов.

Конечные множества имеют одну особенность: их кардинальное число больше, чем кардинальное число любой из частей множества. Например, если А содержит 7 элементов, любая часть А имеет меньше 7 элементов. Если

А = {гномы из сказки про Белоснежку},

то |A| = 7. Любое подмножество или подгруппа гномов В будет удовлетворять условию |B| < |A| и будет содержать меньше 7 гномов. Эта особенность, которая может показаться тривиальной, на самом деле отличает конечные и бесконечные множества: часть бесконечного множества и само множество целиком могут иметь одинаковые кардинальные числа. Как бы удивительно это ни было, существуют объекты, часть которых содержит столько же элементов, что и целое.

* * *

Рассмотрим простейший пример бесконечности, образуемой всеми целыми положительными числами, так называемыми натуральными:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой .

Мы с удивлением обнаружим, что часть N, множество четных чисел, соответствует самому :

Поэтому

|{четные числа}| = ||.

Часть чего-либо бесконечного также может быть бесконечной и иметь то же кардинальное число.

Люди много веков жили, повернувшись спиной к бесконечности. С подобным безразличием покончил немецкий математик высшего класса и непревзойденного ума, хоть и несколько эксцентричный. Его звали Георг Кантор.

Кардинальными числами конечных множеств являются натуральные числа. Кардинальные числа бесконечных множеств намного больше. Специалисты называют их трансфинитными, что дословно означает «находящиеся за пределами конечного». Наименьшее из трансфинитных чисел — это ||, которое Кантор обозначил как . Оно соответствует кардинальному числу множества натуральных чисел, иначе говоря,

|{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11,}| = || = .

Происхождение этого необычного знака таково: (читается «алеф») — первая буква еврейского алфавита. Ноль, указанный как индекс, означает, что речь идет о наименьшем из всех алеф (алеф-нуле). Существует много кардинальных чисел, каждое имеет свой индекс:

Число отражает множества, которые соответствуют . Например, это могут быть четные числа, нечетные числа, числа, кратные 3, кратные 5, и многие другие. Множества, соответствующие , называются счетными, поскольку их элементы можно пронумеровать или подсчитать, как показано ниже:

* * *

* * *

Но здесь нас подстерегает множество сюрпризов: бесконечное множество

= {…, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….}

математики называют множеством целых чисел, и является частью . Очевидно, что всякое натуральное число является целым. Но что можно сказать о кардинальных числах этих множеств? Чему равно кардинальное число ? Если мы посмотрим на рисунок ниже, демонстрирующий процесс пересчета целых чисел,

то увидим, что || = || = , поэтому множество также является счетным.

Сделаем еще один шаг вперед: рассмотрим множество дробей, или так называемых дробных чисел. Дробь определяется числителем и знаменателем и записывается в виде а/Ь. Если а кратно Ь, то а/Ь обозначают целым числом с, которое равно делению а на Ь без остатка:

а/Ь = с.

Фактически одним и тем же числом могут обозначаться разные дроби:

756/378 = 524/262 = 6/3 = 2.

Однако очевидно, что существуют и другие дроби, которые нельзя выразить целым числом, например 1/2 или 5/3. Существует больше дробных чисел, чем целых, так как всякое целое число можно представить в виде дроби. Имеем

Символ означает «строгое включение подмножества». Это своеобразная разновидность знака < для множеств.

Множество дробных чисел обозначается буквой . Можно убедиться, что является частью . Или же, если так будет удобнее читателю,

Можно было бы ожидать, что кардинальное число больше, чем кардинальное число , но вы уже видели, что здравый смысл не всегда применим к бесконечности.

Кантор «пронумеровал» дроби с помощью извилистой линии, изобразив нечто похожее на этот рисунок:

Нет никаких сомнений, что на рисунке помещаются все дроби, так как в каждом ряду содержатся все возможные числители, а в каждом столбце — все возможные знаменатели. Если мы хотим найти число а/Ь, то это очень просто сделать, перейдя к строке а и столбцу Ь. Также не вызывает сомнений, что каждой дроби (иными словами, каждому рациональному числу) соответствует последовательность стрелок, идущая к нему. Поэтому достаточно пронумеровать стрелки (1, 2, 3, 4, 5…), чтобы прийти к результату:

Сделаем еще один шаг. Говорят, что число является алгебраическим, когда оно является корнем многочлена

а_nхⁿ + а_n-1х^n-1 +… + а₁х + а₀,

все коэффициенты которого (а_n, а_n-1…, а₁, а₀) являются рациональными числами.

Существует великое множество алгебраических чисел. По сути, любое рациональное число является алгебраическим. Если мы рассмотрим произвольное рациональное число а/Ь, уравнение

х — а/Ь = 0

имеет решение х = а/Ь, а его коэффициенты являются рациональными числами: a₁ = 1 и а₀ = — а/Ь.

Существует множество других алгебраических чисел: так, число √2 является иррациональным и является корнем уравнения х² — 2 = 0, то есть удовлетворяет всем необходимым условиям. Алгебраическим также является такое известное число, как золотое число Ф — оно является корнем уравнения х² — х — 1 = 0.

В 1874 году Кантор был еще молод и не страдал от психических расстройств. В одной из своих работ он доказал, что множество алгебраических чисел (будем обозначать его ), включающее все рациональные числа, является счетным множеством. Следовательно,

При этом каждое из этих множеств строго больше последующего:

Мир чисел огромен. Пока что мы видели лишь его часть, которая является счетной.

Возможно, лучший способ рассказать о числах — это рассмотреть подробно их десятичную запись. Исследуем подробно множество всех десятичных чисел. Вообще говоря, десятичное число вида

34658,124796

является лишь формой записи следующего выражения

3∙10⁴ + 4∙10³ + 6∙10² + 5∙10¹ + 8∙10⁰ + 1∙10^-1 + 2∙10^-2 + 4∙10^-3 + 7∙10^-4 + 9∙10^-5 + 6∙10^-6

Цифры слева от запятой соответствуют положительным степеням 10, справа от запятой — отрицательным степеням. Вспомним, что

a∙10^-n = a/10ⁿ

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления по основанию 10. Это лишь способ записи чисел, но сколь удобный способ! Это поистине великое достижение человечества.

Страница книги De Thiende, на которой приведен пример десятичной записи Стевина, не слишком удобной для повседневного использования. Единицы обозначаются кружком, обведенным вокруг 0, десятки — другим кружком вокруг 1, сотни — кружком вокруг 2 и так далее.

* * *

Десятичная дробь может быть конечной или бесконечной. Ниже приведен пример для обоих случаев:

1,234567890101112131415161718192021223242526…

127,789564.

Первое число — бесконечная десятичная дробь. Вторая дробь также содержит бесконечное количество знаков после запятой, но в ином виде:

127,789564 = 127,789564000000000000000000…

Фактически мы можем записать число 127,789564 более «сложным» способом:

= 127,789563999999999999999999…

Тем не менее в этих случаях речь идет о конечной десятичной дроби. Простейшие десятичные числа — это натуральные числа (): они являются положительными и не имеют знаков после запятой. За ними следуют целые числа (), которые могут быть отрицательными, но также не имеют знаков после запятой. Рациональные числа () включают в себя эти множества и имеют любопытную десятичную запись: цифры рационального числа имеют период, то есть некая группа цифр с определенного момента начинает повторяться. Вспомним, что рациональные числа являются дробями, или дробными числами, которые записываются в виде а/Ь, где а — целое, a Ь — натуральное число. Чтобы перейти от этой формы к десятичной записи, нужно разделить а на Ь, и каков же будет результат? Остаток не может превышать Ь, и после деления, выполненного Ь раз, числа начнут повторяться снова и снова. Это прекрасно видно на примере простейших дробей, в частности

11/7 = 1,571428571428571428…,

где период, или множество повторяющихся цифр, всегда равен 571428. Иногда период имеет гигантские размеры, но это не означает, что десятичное число будет иметь бесконечное количество знаков — они будут повторяться бесконечное число раз.

В этот момент неизбежно возникает вопрос: если периодические дроби соответствуют рациональным числам, то как быть с непериодическими десятичными дробями? Все очень просто: они являются не рациональными, а иррациональными.

* * *

Существует множество иррациональных чисел, начиная с √2 и всевозможных комбинаций корней, например , и заканчивая универсальными константами, например π. Будет логичным спросить: «Сколько всего иррациональных чисел?»

Обозначим множество всех десятичных дробей , иными словами, объединение рациональных и иррациональных чисел:

Мы знаем, что первое из этих множеств = {рациональные числа} счетно. Кантор доказал, что множество не является счетным. Следовательно, множество в правой части равенства также не может быть счетным. В противном случае было бы образовано двумя счетными множествами, следовательно, оно также должно было быть счетным.

Наконец-то мы нашли нечто неисчислимое — множество , элементы которого нельзя сосчитать. Следовательно, это бесконечное множество, бесспорно, больше всех бесконечных множеств, о которых мы говорили до этого.

Множество известно как множество вещественных чисел.

В простейшей теории множеств, которую сегодня изучают в школах, вышеизложенное обычно изображают с помощью диаграмм:

Множества , и , содержащиеся в , являются счетными, в то время как таковым не является. Можно сказать, пусть и немного неточно, что почти все числа являются иррациональными, за исключением рациональных, образующих меньшую бесконечность, которая является счетной. Число π является иррациональным, что доказал Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) в 1760-е годы. Следовательно, оно принадлежит к несчетному большинству, куда также входят почти все десятичные дроби. С этой точки зрения π не является каким-то необычным. Кроме того, что оно иррационально, оно также является вещественным, как почти все остальные числа.

Ранее мы говорили об алгебраических числах. Вспомним, что

1) алгебраическими числами называются числа, которые являются корнями уравнения

а_nхⁿ + а_n-1х^n-1 +… + а₁х + а₀ = 0,

где а_n, а_n-1…., а₁, a₀ — рациональные числа;

2) алгебраические числа образуют счетное бесконечное множество.

Почему мы снова вспомнили о них? Причина в том, что во всех геометрических построениях используются лишь циркуль и линейка, причем конечное число раз.

Таковы своеобразные «правила игры», и таким достаточно простым способом строятся ничем не примечательные отрезки.

Тот факт, что древние греки использовали для построений только циркуль и линейку, привел к появлению особых отрезков (и, как следствие, чисел), которые, в отличие от остальных, можно построить (иногда их называют построимыми числами). Возьмем в качестве примера обычное число √2. Это число можно построить с помощью циркуля и линейки, как показано на рисунке:

Это первое иррациональное число, с которым встретились древние греки. Именно это число дало название иррациональным числам. Это число также является алгебраическим и его можно построить. Как мы уже говорили, √2 является корнем уравнения второй степени х² — 2 = 0.

Все числа, которые можно построить, являются алгебраическими. Рассмотрим, почему это так. Если говорить о построениях с помощью циркуля и линейки, то максимум, что мы можем построить, — это числа вида

x₁ = a₀ + b₀√x₀,

где a₀, b₀ и x₀ — рациональные. Опустим доказательство этого утверждения: оно несложное, но очень громоздкое. Число является алгебраическим, так как является решением квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, а именно

х² — 2а₀х + а₀² — Ь₀²х₀ = 0.

Это уравнение с рациональными коэффициентами: числа 1, -2a₀ и -Ь²х₀ принадлежат . Все числа, подобные x₀, образуют так называемое поле, обозначаемое К₀ и удовлетворяющее условию

Иными словами, является подмножеством K₀. и K₀ образованы построимыми числами, но содержат только алгебраические числа. K₀ больше, чем , и включает его. Все числа K₀ являются алгебраическими, некоторые из них рациональные (те, что принадлежат ), другие — нет (те, что принадлежат K₀ и не принадлежат ).

Выберем для построения

x₂ = a₁ + b₁√x₁,

где a₁, b₁ и x₁ принадлежат K₀, и тем самым образуем еще большее поле:

также образованное алгебраическими числами, которые можно построить. Очевидно, что можно сформировать любое количество полей К_n:

В целом геометрические фигуры, в которых содержатся эти числа, описываются уравнениями второй степени (квадратными уравнениями). Они могут существенно различаться, но результатом построений все равно будут алгебраические числа.

Благодаря так называемой аналитической геометрии, изобретенной Рене Декартом в XVII веке, любое геометрическое построение можно описать уравнением второй степени. Сложное построение может описываться цепочкой уравнений второй степени, вложенных друг в друга.

Но сколь бы велика ни была эта цепочка, результатом всегда будет число, которое можно построить. Это число будет являться решением уравнения второй степени с коэффициентами, которые также можно построить, и, следовательно, будет являться алгебраическим. Используя геометрические построения, мы никогда не сможем выйти за пределы множества алгебраических чисел. Любое число, которое можно построить, является алгебраическим.

Мы не будем приводить подробное доказательство этого утверждения, поскольку для этого потребуется использовать методы из теории Галуа, относящиеся к высшей математике. Вышесказанное можно представить в виде следующей диаграммы:

В царстве чисел все числа вплоть до алгебраических принадлежат к счетной бесконечности. Но мы уже знаем, что множество не является счетным и намного больше этих множеств. без алгебраических чисел, то есть «почти все» множество , также имеет трансфинитное, несчетное число элементов.

Математики называют неалгебраические числа (вспомним, что это все вещественные числа за исключением алгебраических, то есть множество за вычетом ) трансцендентными числами, поскольку Эйлер писал, что эти числа «превосходят мощь алгебраических методов» (название «трансцендентные» происходит от латинского transcendere — «превосходить»). Следующее определение не содержит никаких философских подсмыслов, но является точным и однозначным: трансцендентным называется число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Все трансцендентные числа являются иррациональными, множество трансцендентных чисел не является счетным. Его кардинальное число больше, чем .

Какое отношение все это имеет к числу π? π является не только иррациональным, но и трансцендентным, что доказал Линдеман в 1882 году. Так как π является трансцендентным, оно не является алгебраическим и его нельзя построить с помощью циркуля и линейки за конечное число действий. Таким образом, поиски классического решения задачи о квадратуре круга оказались завершены. Однако и в наши дни некоторые известные математики все еще получают «решения» задачи о квадратуре круга. Но тем, кто якобы решил нерешаемую задачу, уже готовы ответы.

Так, один известный математик передавал полученные решения задачи о квадратуре круга наиболее одаренным ученикам. Когда ошибка была найдена (иначе и быть не могло), автору возвращался заполненный формуляр: «Любезный друг! Благодарим за предоставленное решение задачи о квадратуре круга. Возвращаем ваше доказательство и указываем на первую обнаруженную нами ошибку. Она находится на странице… в строке… Искренне ваш, и проч.». Столь остроумным способом этот математик отвечал упрямцам, не желавшим признать очевидное.

Итак, число π принадлежит к трансцендентным числам, составляющим большую часть царства чисел. На первый взгляд, в нем нет ничего необычного — это всего лишь заурядное трансцендентное число. Оно столь обыденно и незначительно, что никто до сих пор не нашел среди его знаков никакой закономерности.

После анализа природы числа π и подтверждения его трансцендентности очевидно, что любые попытки решения задачи о квадратуре круга бесполезны. Несмотря на это, до Линдемана многие добросовестно прилагали все усилия в поисках решения с разумной степенью точности. Большинство охотников за числом π в действительности охотились за мимолетной квадратурой круга. Подобную одержимость в шутку называли болезнью morbus cyclometricus. Некто описывал искателей квадратуры круга как зрелых и благородных мужей, которым неведомо слово «невозможно», но которые обладают недостаточными знаниями математики и убеждены, что эта задача крайне важна и решившему ее полагается большая награда; как лишенных логики отшельников и вдобавок крайне плодовитых писателей. Эта мрачная картина тем не менее очень близка к реальности.

* * *

Римский философ Боэций (ок. 480–524), в латинизированной форме Anicius Boethius, впоследствии казненный королем Теодорихом Великим по обвинению в измене, в своей книге Liber Circuli подтвердил, что задача о квадратуре круга имеет решение, но доказательство слишком объемно, чтобы привести его полностью.

Это выражение стало еще популярнее, когда его использовал Ферма в отношении своей знаменитой теоремы. Вкупе с тем неоспоримым фактом, что задача о квадратуре круга не имеет решения, предполагаемое доказательство Боэция более чем сомнительно.

Намного позднее Боэция жил знаменитый немецкий кардинал Николай Кузанский (1401–1464). Благодаря своему уму он заслужил лестные отзывы Кеплера и Кантора, так как высказывал передовые идеи о бесконечности. Он был выдающимся полиглотом, юристом, философом, астрономом, но больше нумерологом, чем математиком. Он пытался решить задачу о квадратуре круга и, по его собственным словам, преуспел в этом. Но его современник Иоганн Мюллер (1436–1476), взявший себе латинизированный псевдоним Региомонтан, был лучшим математиком, чем кардинал, и вдобавок большим почитателем Архимеда. В своем труде De cuadratura circuli он опроверг доказательство кардинала и показал, что задача о квадратуре круга не имеет решений. Тем не менее следует отметить, что Николай Кузанский вычислил приближенное значение π (сам он считал это значение окончательным и точным) с очень хорошей точностью: 3,1423… Стоит заметить, что Региомонтан использовал значение π = 3,14243.

Кардинал Николай Кузанский утверждал, что решил задачу о квадратуре круга.

В 1525 году великий художник Альбрехт Дюрер (1471–1528) также попытался решить эту задачу, но отметил, что выполненное им построение является лишь приближенным.

Страница книги Дюрера «Правила измерения линий, плоскостей и целых тел при помощи циркуля и угольника», где приведено приближенное построение квадратуры круга.

Немного позднее, в 1585 году, Адриан Антониш (ок. 1543–1620), отец Адриана Метиуса (15π–1635), рассчитал, что значение π лежит между 377/120 и 333/106. Его сын пробовал решить задачу о квадратуре круга; он вычислил нечто подобное среднему числителей и знаменателей и получил

Это очень точное значение, но его одного явно недостаточно для решения задачи.

Возможно, самая известная история, связанная с квадратурой круга, произошла со знаменитым философом и главой школы эмпиризма Томасом Гоббсом (1588–1679) и со знаменитым английским математиком Джоном Валлисом (1616–1703). Гоббс, вне сомнения, очень умный человек, но не получивший математическое образование, в 1655 году в труде «О теле» заявил, что решил задачу о квадратуре круга наряду с другими задачами, в частности о выпрямлении различных кривых. Понятно, что он ошибался, и Валлис в кратком труде Elenchus geometriae hobbianae описал различные ошибки и в язвительном тоне, но правдиво, отозвался о геометрических способностях Гоббса. Следует заметить, что Валлис исповедовал пресвитерианское учение, что было еще более ненавистно Гоббсу, который был противником всякой религии. Математическая подготовка Гоббса была недостаточной, ведь он познакомился с учением Евклида лишь в 40 лет, но, в конце концов, другие философы были столь же посредственными математиками, и в этом не было ничего особенного. Упомянем лишь один пример: уже в XIX веке Маркс утверждал, что диалектический материализм выводится логическими рассуждениями из уравнения второй степени. Гоббсу повредило то, что он не хотел признать своих ошибок, перевел спор на личности и возвращался к дискуссии снова и снова. В частности, его перу принадлежит книга «Замечания об абсурдной геометрии, деревенском языке, церковной политике в Шотландии и невежестве Джона Валлиса». Спор изобиловал придирками, к сожалению небеспочвенными. Так, Валлис обвинил Гоббса в плагиате работ его современников: «…Если в его изложении попадется нечто правдивое, то оно принадлежит не ему, а взято у кого-либо еще».

Томас Гоббс (слева) и Джон Валлис вели длинный спор, в котором оскорбления и клевета были в порядке вещей. Причиной ссоры была задача о квадратуре круга.

* * *

Бельгийскому иезуиту Грегуару де Сен-Венсану (1584–1667) мы обязаны, помимо прочего, созданием полярных координат, открытием новой системы, близкой к понятию интеграла, и точным расчетом площади под гиперболой. Он также утверждал, что решил задачу о квадратуре круга. Его современники восприняли это с изрядным скептицизмом, и в конце концов Гюйгенс нашел неизбежную ошибку в его рассуждениях. Он упомянут в этой книге за выдающиеся труды и в связи с тем, что ему принадлежит множество корректных и интересных математических доказательств.

Классический пример квадратуры круга представил производитель мыла Якоб Марцелис (1636 — ок. 1714), который утверждал, что

Огастес де Морган в своем сборнике математических ужасов A budget of paradoxes («Запас парадоксов») не слишком благосклонно заметил: «Как и следовало ожидать, в мыловарении он добился больших успехов, чем в вычислении знаков π».

Со временем нелепостей становилось все больше: в 1728 году некий Малтулон заявил, что разгадал тайну вечного движения и квадратуры круга одновременно. Кроме этого, он предложил вознаграждение тому, кто смог бы опровергнуть хотя бы один шаг доказательства, что свидетельствовало о недюжинной уверенности в себе. Итог оказался предсказуем: было показано, что его доказательство ошибочно, и Малтулону не оставалось другого выбора, кроме как выплатить обещанное. Неудивительно, что в 1753 году Французская академия наук постановила не рассматривать присылаемые решения задачи о квадратуре круга. Возможно, академиков испугало все большее число присылаемых решений и связанные с этим неизбежные издержки. Быть может, они решили таким способом избавиться от определенных личностей, подобных некоему Восенвиллю, который потребовал от Академии премию, полагавшуюся первому, кто решит эту задачу.

Даже после выхода доказательства Линдемана поток энтузиастов не иссякал, однако благодаря этому доказательству стала точно известна заведомая ошибочность всех подобных решений. Особо следует выделить тех, кто, подобно Сриниваса Рамануджану (1887–1920), знал, что задача не имеет решения, и находил приближенные построения с удивительной точностью. Так, с помощью одного из построений Рамануджана можно получить значение

Построение квадратуры круга (приближенное) за авторством Рамануджана. Погрешность составила лишь 0,0000000010072!