Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Глава 5 Пи-мания

Число π особенное. Мы уже говорили, что оно самое известное, самое изученное, самое знаменитое и самое упоминаемое. Энтузиазм, страсть и настоящую одержимость этим числом называют «пи-манией». Она одновременно академична и экстравагантна, интересна и занимательна. Читатель может удивиться, что мы уделяем столько внимания этому вопросу, слабо связанному с математикой. Такова реальность: π — это намного больше, чем просто число.

Число π не обошли вниманием даже маркетологи. Изображение π можно встретить на футболках (даже для домашних животных!), пуговицах, запонках, чашках, чайниках, часах, ковриках для компьютерной мыши, фартуках, плюшевых мишках, подушках, шкатулках, кафельной плитке, кепках, плакатах, автомобильных аксессуарах и многом, многом другом.

Эти футболка и кружка с изображением числа π — одни из многих товаров с изображением греческой буквы π.

Плакат для математиков и фанатов числа π.

Круги, которые якобы рисуют инопланетяне на полях, стали очень известными еще в 70—80-х годах прошлого века. Было обнаружено, что круги на фотографии слева вычерчены на основе знаков π. Фигуру на фотографии справа сложно истолковать как-то иначе.

Mazda 3 с изображенным на ней числом π.

День числа π – 14 марта. Этот праздник придумал американец Ларри Шоу, который заметил, что дата 14 марта в американском формате записывается как 3/14, что соответствует приближенному значению числа π. Это может показаться абсурдным, но праздник получил широкую известность и мгновенно распространился в университетских кругах.

Фирменное блюдо этого праздника — круглая пицца, так как она хранит в себе секреты числа π. Торжества поражают своим размахом, и участники не скупятся на выдумки.

Плакат с приглашением на празднование Дня числа к 14 марта.

День числа π совпадает с днем рождения Альберта Эйнштейна, что в немалой степени способствует популярности праздника. Число π можно встретить на бутылках вина, кругах сыра и даже на упаковках парфюмерии.

Праздничный "Пи-торт" в день числа π можно подать в такой тарелке.

Знак π приобрел популярность достаточно давно: еще в 1915 году 22-я эскадрилья королевских ВВС использовала его в качестве эмблемы. При первоначальном размещении акций Google номер последней акции был равен 14159265 (вспомним, что π = 3,14159265…). Благодаря математическому образованию владельцев Google число π проникло и на Уолл-Стрит.

В 1982 году, когда о консолях еще не было известно, а в мире видеоигр безраздельно властвовали ZX Spectrum и Dragon 32, компания Automata UK выпустила игру «Пи-мания», главного героя которой звали, естественно, Пи-мэн. Эта игра уже устарела, и в ближайшее время какая-нибудь компания наверняка создаст ее ремейк.

Возможно, самым удивительным проявлением пи-мании можно назвать компьютерный поисковик, позволяющий найти желаемую последовательность цифр среди, например, первых восьми миллионов знаков π. Если вам интересно, начиная с какой позиции в записи π встречается день, месяц и год вашего рождения, посетите интернет-сайт The Pi Searcher. Введите желаемое число, и если заданная последовательность встречается среди первых нескольких миллионов знаков (в первой версии сайта было доступно восемь миллионов, позднее — 200 миллионов, и это число продолжает расти), поисковый механизм выдаст ответ с номером позиции. Если нужные цифры не встречаются среди знаков π, вы увидите оповещение об этом.

Конечно, вероятность найти среди знаков π дату своего рождения в сокращенном виде (то есть 181 146 для даты 18.11.46) составляет почти 100 %. Если вы ищете всего четыре цифры (например, дату 1.3.56, то есть 1 марта 1956 года), то поисковый механизм гарантированно даст ответ, поскольку к 60872-му знаку π встречаются все возможные комбинации из четырех цифр. Если же вы укажете более полную форму записи (например, представив дату 18.11.46 как 18 111 946), вероятность снизится до 63 %. Чем длиннее последовательность, тем меньше вероятность, что ее удастся найти.

Можно попробовать найти среди знаков π номер телефона, номер автомобиля или любое другое число.

Кроме того, с помощью этого поискового механизма можно найти любопытные циклы. Например, начнем цикл с числа 40, которое впервые обнаруживается на 70-й позиции, затем найдем, на какой позиции находится число 70 и так далее. Кажется, что этот цикл бесконечен. Но на самом деле он имеет завершение. Дэн Сикорски обнаружил следующую последовательность: 40, 70, 96,180, 3664, 24 π7,15 492, 84 198, 65 489, 3725,16 974, 41 702, 3788, 5757,1958,14 609, 62 892, 44 745, 9385,169, 40. Как видим, после множества этапов этот цикл возвращается к началу. Вероятность появления подобных циклов еще не изучена.

Почти все авторы, которые хотят привести стихотворение о числе π, обращаются к одному и тому же источнику. Вислава Шимборская, польская поэтесса, удостоенная в 1996 году Нобелевской премии по литературе, написала удивительное стихотворение, известное во многих переводах. Вот один из вариантов:

(Перевод Т. Бонч-Осмоловской)

Существуют «оды числу пи» и многие подобные произведения, но стоит отметить, что стихотворение Шимборской великолепно.

Многие фанаты π рассматривают поэзию как инструмент. Так, появилось множество стихотворений, которые помогают запомнить первые знаки π. Обычно цифры зашифрованы количеством букв в словах. Например, в слове «знаю» 4 буквы, оно соответствует цифре 4. «Прекрасно» соответствует цифре 9, так как в нем 9 букв. Фраза «это я знаю и помню прекрасно» — не просто ответ самоуверенного ученика. В ней зашифрована последовательность цифр 314 159.

С помощью этой техники можно запоминать любые случайные последовательности чисел, в том числе и знаки числа π. Хотите знать первые знаки π наизусть? Найдите стихотворения или фразы, которые легко запомнить. Кажется, что это сложно, но на самом деле запомнить слова проще, чем цифры. Главное — знать, что каждое слово соответствует числу букв в нем, нужно просто внимательно считать буквы.

Так поэзия превращается в инструмент для запоминания, и самыми лучшими стихотворениями становятся не самые красивые, а самые длинные, потому что они помогают запомнить больше цифр. Приведем несколько примеров.

Это четверостишие соответствует 18 цифрам:

3,14159265358979323.

Вот другое стихотворение, первую строку которого мы уже приводили:

Существуют стихотворения, позволяющие запомнить почти 80 знаков. В 1986 году на английском языке было написано стихотворение для запоминания более 400 знаков.

Есть и короткие фразы, построенные по тому же принципу. Их очень легко запомнить, например:

Последняя цифра (7) — приближенное значение, соответствующее правилам округления. В действительности на этом месте должна находиться цифра 6.

Подобные фразы были написаны и на других языках. Например, сэр Джеймс Хопвуд Джинс (1877–1946) придумал ставшую очень популярной фразу для запоминания первых 14 цифр π:

Эту фразу можно продолжить, не нарушая мнемонических правил:

На 32-м слове фраза заканчивается, хотя ничто не мешает продолжать ее и дальше. Многие мнемонические стихотворения и фразы заканчиваются именно на 32-м слове, потому что 32-м знаком π после запятой является ноль, и выразить это словами не так-то просто. На французском языке есть следующее стихотворение:

В этом стихотворении зашифровано 126 знаков π. Заметьте, что французское слово mysterieux состоит из 10 букв, но читается как 09, чтобы таким способом представить 0. Похожим способом ноль обозначается и в других подобных примерах.

Если читателя интересуют произведения на других языках, он с легкостью найдет их в Интернете. Последний совет: главное при запоминании подобных стихов — не сбиваться со счета. Одного из пионеров применения ядерной физики к вопросам эволюции звезд, физика Георгия Гамова, известного также под именем Джордж Гамов, как-то упрекнули в журнале Scientific American, что он ошибочно привел значение π = 3,14158 вместо 3,14159. Оказалось, что Гамов, американский физик русского происхождения и полиглот, неверно запомнил французскую фразу Que j’aime a faire apprendre для запоминания π, забыв одну букву «р» в слове apprendre.

Особое место среди стихов занимают японские трехстишия хайку. Сейчас они написаны на многих языках и на многие темы, не стало исключением и число π. Хотя существуют хайку о числе π, высшим мастерством считается умение написать пику — математический вариант хайку. Классические хайку — трехстишия со структурой слогов 5-7-5 (первая строка состоит из 5 слогов, вторая — из 7, третья — снова из 5). Пику также является трехстишием, но в нем есть дополнительное условие: число букв в словах должно совпадать с соответствующим знаком π.

Предлагаем читателю пример пику на английском языке:

Некоторые авторы используют уже известные стихотворения и специальную систему кодов. Среди них особо выделяется Майк Кейт, фанат числа π, который создал единственную в своем роде версию стихотворения «Ворон» Эдгара Аллана По. Она носит название Near a raven («Около ворона»). Но и это еще не все: тот же Майк Кейт написал рассказ Cadaeic cadenza, в который включил свое же стихотворение, а также фрагменты произведений Льюиса Кэррола, Омара Хайяма, Уильяма Шекспира и других авторов. В Cadaeic cadenza зашифрованы 3834 знака π, что кажется феноменальным, если не сказать невозможным. В самом названии также зашифрованы знаки π (обратите внимание на порядковые номера букв в английском алфавите):

С a d а е i с

3, 1 4 1 5 9 3

Интерес также вызывает способность некоторых людей запоминать бесчисленное множество знаков π, используя для этого подобные стихотворения или другие приемы. Неудивительно, что многие любители таких упражнений, настоящие спортсмены, обладающие безграничной памятью, попали на страницы Книги рекордов Гиннесса.

Рекорды по запоминанию π быстро сменяют друг друга, каждый участник стремится во что бы то ни стало побить прошлое достижение. Иногда также учитывается не только количество верно названных знаков, но и скорость, с которой рекордсмен может их воспроизвести. Но не будем углубляться в тонкости. Если говорить об абсолютном рекорде по числу запомненных знаков, то он принадлежит украинцу Андрею Слюсарчуку, который запомнил 30 миллионов цифр. Это достижение выглядит столь невероятным, что даже в Книге рекордов Гиннеса оно не было отмечено как мировой рекорд.

Официально утвержденный рекорд был установлен в 2006 г. и принадлежит японцу Акире Харагучи, который запомнил сто тысяч знаков. Не следует полагать, что эти рекорды устанавливают лишь фанатики числа π: в списке рекордсменов фигурируют и всемирно известные ученые, например американец Александр Айкен или канадец Саймон Плуфф.

В музыке число π встречается не столь широко, несмотря на традиционную близость музыки и математики. Вспомним, что в повсеместно применяемом равномерно темперированном строе каждая октава делится на математически равные интервалы с соотношением частот ¹²√2. Диатоническая гамма, сформулированная еще в древности, представляется в виде так называемых квинт с соотношением частот 3:2. Мы приводим эти технические моменты в качестве введения к последующим объяснениям.

Современный музыкальный строй берет начало еще во времена Пифагора. В его основе лежат ноты так называемой диатонической системы (до, ре, ми, фа, соль, ля, си). В пифагорейском строе ноты соответствовали частоте вибрации струны. Грубо говоря, разным частотам соответствовали разные ноты. Различие между вибрациями (нотами) измерялось в интервалах. Интервалы получаются не вычитанием одной частоты из другой, как можно было бы думать, а их делением. Результат деления двух частот выражался в виде простой дроби. Например, квинта — интервал шириной в пять ступеней — означает результат деления частоты данной ноты на частоту ноты, отстоящей от нее на пять ступеней, и равен 3/2. Интервал октавы охватывает восемь ступеней диатонического ряда, например от «ре» до следующего «ре». Соотношение частот между звуками равно 2/1 = 2.

Рассмотрим пример. Если нажать на центральную клавишу пианино, мы услышим ноту «ля» частотой в 440 герц (колебаний в секунду). Если нажать на следующую «ля», расположенную на семь белых клавиш правее, новый звук будет иметь частоту в 880 герц. Разница между этими нотами (то есть интервал между ними) в музыке выражается дробью 880/440 = 2.

Этот интервал и является так называемой октавой. Две ноты, разделенные между собой интервалом в одну октаву (в нашем примере это нота «ля»), звучат одинаково, но явно различаются по высоте. Пифагор, во времена которого пианино еще не существовало, обнаружил этот факт, играя на одной струне: если зажать струну точно посередине, то полученная нота будет той же, что и для всей струны.

Этот строй идеально подходил для струнных инструментов, но с его помощью нельзя было качественно измерить небольшие различия между нотами, например диезы и бемоли. Это привело к появлению так называемого равномерно темперированного строя: в него наряду с обычными нотами включены диезы и бемоли. Это делается с помощью равных интервалов. Соотношение частот между соседними интервалами равно ¹²√2. Полученный таким образом строй получил название темперированного.

Значение ¹²√2 получается следующим образом. Нам нужно разделить на 12 равных частей интервал длиной 2 (2 — это отношение частот в начале и конце интервала) так, чтобы отношение частот между соседними частями интервала было неизменным. Полученные частоты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ¹²√2.

Ноты равномерно темперированного строя, слева направо: до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, си-диез, си, до. Ноты диатонического строя: до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до.

Последовательность из 12 интервалов, по одному на каждую ноту, выглядит так:

¹²√2, (¹²√2)², (¹²√2)³, (¹²√2)⁴, (¹²√2)⁵, (¹²√2)⁶, (¹²√2)⁷, (¹²√2)⁸, (¹²√2)⁹, (¹²√2)¹⁰, (¹²√2)¹¹, (¹²√2)¹² = 2

В XVIII веке появилась новая система интервалов, в которой значение квинты было равно 600 + 300/π. Новый музыкальный строй относительно недавно был предложен Чарльзом Люси (род. в 1946) и носит его имя. Необходимо пояснить, что это отдельная, уже запатентованная система.

Другое музыкальное проявление числа π — возможность «услышать» его знаки: в Интернете можно найти программы, которые позволяют «сыграть число π». Для этого всем десяти цифрам присваиваются определенные ноты. Для каждой следующей цифры программа воспроизводит соответствующую ей ноту. Поскольку знаки π являются (или кажутся) случайными, то полученная композиция также будет случайной. Вероятнее всего, слушателю станет скучно слушать бесконечные цифры, но нельзя отрицать, что очень, очень длинная случайная композиция может звучать даже приятно. В диатоническом строе существует 7¹⁰ различных способов образовать мелодию из семи нот (в этом строе нет ни диезов, ни бемолей). В комбинаторике говорят, что существует 7¹⁰ сочетаний с повторениями. Из этого числа нужно вычесть последовательности из одной повторяющейся ноты, поскольку результат окажется особенно скучным. В зависимости от выбора ноты для каждой цифры существует семь вариантов генерации непрерывного шума.

Число π использовалось в кино тысячи раз, но, как правило, с его помощью лишь создают ореол таинственности в простых ситуациях, как, например, в фильме «Разорванный занавес» (Torn Curtain) Альфреда Хичкока, где π используется как кодовое слово в организации перебежчиков. Математическая природа π раскрывается редко, либо же это делается излишне эффектно и поверхностно, как в фильме «Пи» американского режиссера Даррена Аронофски, вышедшем на экраны в 1998 году. В основе фильма лежат приключения гениального математика Макса Коэна, который постепенно сходит с ума, одержимый числами. В этом фильме обыграно оккультное значение чисел, но математическая строгость неизменно уступает место драматическим эффектам.

Число π могло сыграть главную роль в научно-фантастическом фильме «Контакт» (1997) режиссера Роберта Земекиса с Джоди Фостер в роли астронома Элеонор Эрроу эй. К сожалению, все упоминания о π были исключены из финального варианта сценария. В оригинальном романе «Контакт» (1985) известного космолога Карла Сагана, на основе которого и снят фильм, число π настолько важно, что этот эпизод романа спровоцировал дискуссию в научном мире. Но не будем забегать вперед.

Плакат фильма «Пи» (вверху). В 1997 году Роберт Земекис экранизировал роман Карла Сагана «Контакт», в котором инопланетяне утверждают, что в знаках к спрятано таинственное сообщение.

«Контакт» — это фильм о возможности общения с внеземными цивилизациями и о проблемах, в том числе религиозных, которые могут возникнуть вследствие такого контакта. В фильме рассказывается история доктора Эрроуэй, которая с помощью радиотелескопа улавливает сигнал из космоса, строит генератор «кротовых нор» для путешествия по Вселенной и встречается с инопланетянами. Инопланетяне сообщают Элеонор, что среди знаков π, возможно, скрыто некое послание. Расшифровать это таинственное сообщение не под силу даже им, потому что шифр знает лишь Бог, создатель Вселенной.

Инопланетяне предполагают, что сообщение зашифровано с помощью знаков π: начиная с определенной позиции, знаки π перестают изменяться случайно и образуют последовательность из нулей и единиц. Если расположить эти цифры в форме квадрата, единицы и нули образуют идеальную окружность, вписанную в этот квадрат. Этот шифр — часть π, часть самой природы. Значит ли это, что он помещен туда Богом? В последней главе мы вернемся к этому фильму и обсудим возможность существования подобного квадрата и круга, образованного знаками π.

В романе британского автора Дугласа Адамса «Автостопом по галактике», классике современной юмористической литературы, огромный компьютер сообщает людям ответ на главный вопрос жизни и Вселенной. Удивительно, но ответ на этот вопрос — «42». Некоторые фанаты числа π восприняли ответ компьютера слишком серьезно и начали поиски. Они отвергли число 42 как слишком простое и начали искать среди знаков π последовательности вида 424 242 с помощью поискового механизма The Pi Searcher. Эта последовательность встречается в записи π, начиная с 242 423-й позиции. Нет никаких сомнений, что энтузиасты продолжат свои поиски.

Немного странно упоминать здесь о столь далекой от π области знаний, как право и законодательство, но это число встречается и здесь. В 1836 году в послереволюционной Франции жил некий ученый Лакомм, который не только считал π равным 3,25, но, что удивительно, был награжден многими авторитетными учреждениями за свои открытия, связанные с этим числом. Напомним, что на тот момент было точно вычислено уже более сотни знаков π.

Наиболее известный законодательный курьез, связанный с π, произошел в Индиане, США. В 1897 году некий Эдвард Гудвин, весьма искушенный в геометрии, опубликовал в серьезном журнале American Mathematical Monthly короткую статью и убедил законодательные органы штата обсудить текст нового закона (билль № 246), который затем должен был поступить на рассмотрение в палату представителей. Казалось бы, в этом нет ничего необычного. Но в случае принятия этого закона значение числа π считалось бы равным

π = 16∙√2/7 = 3,232

что подтверждали сложные и объемные расчеты. Закон также требовал включить это значение π в официальные учебники, а в случаях использования «истинного» значения π (иными словами, прежнего, общеизвестного значения) необходимо было уплатить Гудвину авторские отчисления. Гудвин и законодательные органы не приняли во внимание, что за 30 лет до этих событий Линдеман доказал трансцендентность числа π и невозможность решения задачи о квадратуре круга. Они также проигнорировали все прочие расчеты и известные на тот момент более 100 точных знаков π. Высокопоставленных лиц Индианы это ничуть не интересовало.

Проект закона был одобрен несколькими комиссиями нижней палаты парламента и был передан в сенат с положительной рекомендацией. К счастью, пусть и по воле случая, этот закон так и не был принят. Кто-то показал текст закона специалисту, который случайно проходил мимо, — профессору математики Кларенсу Авиафару Уолдо (1852-1926), чтобы тот написал предисловие к тексту закона. Тот вежливо отказался, сказав, что его несколько утомили искатели квадратуры круга.

Внимательно прочитав текст закона, он пришел в ужас и незамедлительно рассказал сенаторам об истинном положении вещей. В итоге благодаря усилиям Кларенса Уолдо члены сената поняли всю абсурдность закона, и знаменитый билль № 246 не был утвержден.

Профессор математики Кларенс Авиафар Уолдо.

Он помешал тому, чтобы впервые в истории полная бессмыслица с точки зрения науки была возведена в ранг закона.

Число π увековечено на фризе Дворца открытий в Париже, что как нельзя лучше соответствует духу этого места. На фризе высечено более 600 знаков, рассчитанных Уильямом Шэнксом в 1873 году. На самом деле этот английский математик вычислил 707 знаков, но Дэниел Фергюсон в 1944 году обнаружил в его расчетах ошибку, начиная с 528 знака. По этому случаю Николас Роуз написал такие стихи:

Фриз Дворца открытий, на котором изображены первые 600 знаков π.

Настоящее произведение искусства, основанное на π и его знаках, находится в Торонто. Канадская художница Арлин Стамп создала гигантскую мозаику, которая находится в вестибюле станции метро Даунсвью. Мозаику образуют прямо угольники разной ширины, которые накладываются друг на друга. Если не знать заранее, то сложно заметить, что ширина наложения прямоугольников друг на друга не случайна. Каждый прямоугольник накладывается на следующий по определенному правилу: ширина прямоугольника принята за 1, а видимая часть каждого следующего прямоугольника пропорциональна соответствующему знаку π. Мозаика начинается с 1 — первого знака после запятой в записи 3,1415926535… — и продолжается в точном соответствии с последующими знаками.

Так как эти цифры случайны (или кажутся случайными), непосвященный зритель не может догадаться, что расположение частей мозаики подчиняется какому-то правилу. Однако, как в свое время обнаружил математик Иварс Петерсон, кажущаяся случайность распределения цифр подчиняется определенному закону.

Цветные прямоугольники имеют одинаковые размеры, но расположены так, что их видимая часть пропорциональна соответствующему знаку π. Каждый следующий прямоугольник частично накладывается на предыдущий.

На входе в Техническую школу Генри Эббота в Данбери, штат Коннектикут, США, установлена скульптура в форме π высотой почти 20 метров авторства Барбары Грайгатис. Скульптура освещается ночью и напоминает будущим инженерам о том, что им еще не раз предстоит встретиться с этой константой во время учебы.

Скульптура Барбары Грайгатис в Коннектикуте, изображающая π.

В американском городе Сиэтле скульптура в виде π установлена на парадной лестнице у входа в Музей искусств. Вход в Берлинский технический университет украшен мозаикой в виде π.

Существует чисто математическое произведение искусства — формула

е^πi + 1 = 0,

которая связывает пять самых значимых констант (е, π, i, 1 и 0). Считается, что это самая красивая формула во всей науке. Ее открыл Леонард Эйлер, он же доказал ее корректность.

Людольф ван Цейлен (1540–1610) считал иначе. Используя многоугольники с 2⁶² сторон, этот немецкий геометр вычислил приближенное значение π с точностью до 20-го, а затем — до 35-го знака. Он работал столь усердно, а его энтузиазм был столь велик, что он завещал высечь найденное им значение π на своем надгробии в память потомкам. Это не шедевр искусства, но ван Цейлен высоко оценил бы его.

Марка СССР, выпущенная в 1957 году к 250-летию со дня рождения Эйлера.

Могила Людольфа ван Цейлена в Лейдене. На надгробии высечены 35 знаков π, которые он рассчитал.

Математик и автор научно-популярных книг Клиффорд Пиковер считал формулу Стирлинга (1692–1770)

очень красивой и полагал, что ею можно любоваться как произведением искусства. Не знаем, разделит ли читатель подобную точку зрения, но формула действительно примечательна: она объединяет экспоненту от n, число n, возведенное в степень n, его же факториал (n! = n∙(n — 1)∙(n — 2)∙… ∙2∙1) и корень из этого числа.