Большая Советская Энциклопедия (НА)

Наилучшее приближение

Наилу'чшее приближе'ние, важное понятие теории приближения функций. Пусть f (x ) — произвольная непрерывная функция, заданная на некотором отрезке [а, b ], a j₁ (x ), j₂ (x ),..., j_n (x ) — фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения:

|f (x ) — a₁ j₁ (x ) - a₂ j₂ (x ) -... - a_n j_n (x )| (*)

на отрезке [а, b ] называется уклонением функции f (x ) от полинома

P_n (x ) = a₁ j₁ (x ) + a₂ j₂ (x ) +... + a_n j_n (x ),

а минимум уклонения для всевозможных полиномов P_n (x ) (т. е. при всевозможных наборах коэффициентов a ₁ , a ₂ ,..., a_n ) — наилучшим приближением функции f (x ) посредством системы j₁ (x ), j₂ (x ),..., j_n (x ); Н. п. обозначают через E_n (f , j). Таким образом, Н. п. является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином P*_n (x , f ), для которого уклонение от функции f (x ) равно Н. п. (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f (x ) (на отрезке [а , b ]).

Понятия Н. п. и полинома, наименее уклоняющегося от функции f (x ), были впервые введены П. Л. Чебышевым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Можно также рассматривать Н. п., когда под уклонением функции f (x ) от полинома P_n (x ) понимается не максимум выражения (*), а, например,

См. Приближение и интерполирование функций .