Числа: от арифметики до высшей математики

Глава 10 БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Каждый, кто начинает думать о числах, неизбежно приходит к выводу, что существует огромное количество чисел, и совершенно непонятно, как можно его выразить. На помощь приходит поэзия. Мы можем сказать, что чисел так же много, как песчинок в пустыне, как капель воды в океане или как мерцающих звезд на небе. Но для математика такие сравнения бесполезны. С точки зрения математика, мы можем к любому числу прибавить единицу и получить следующее число, затем к полученному числу прибавить единицу и так далее. Поскольку в математике нет никаких ограничений для операций сложения, можно сложить любые два числа, и, следовательно, этот процесс бесконечен. Таким образом, мы можем взять сколь угодно большое число, прибавить

к нему единицу и получить еще большее. Мы можем представить себе число, протяженность которого равна расстоянию до дальней звезды, но и к нему можно прибавить единицу и получить еще большее число.

Последовательность целых чисел, записанных в порядке 1, 2, 3…, представляет собой бесконечность, то есть нечто, не имеющее конца. То есть, когда мы пишем 1, 2, 3…, это означает «1, 2, 3 и далее бесконечно».

Точно таким же образом мы можем записать ряд целых отрицательных чисел: -1, -2, -3…, что будет означать «-1, -2, -3 и далее бесконечно» или ряд положительных или отрицательных мнимых чисел: +1i, +2i, +3i… или -1i, -2i, -3i…

А теперь давайте запишем другой ряд чисел, ряд четных чисел: 2, 4, 6, 8 и так далее. Сколько существует четных чисел?

С точки зрения обычного здравого смысла можно было бы сказать, что четных чисел вдвое меньше, чем всех целых чисел, вместе взятых, поскольку целые числа делятся на четные и нечетные. Скажем, из первых десяти чисел пять — четные, а пять — нечетные.

Но это не так. Ведь количество целых чисел бесконечно, и мы не можем говорить о «половине бесконечности».

Рассмотрим ряд четных чисел с другой точки зрения. Какое бы сколь угодно большое число мы ни выберем, к нему всегда можно прибавить 2 и получить число еще большее. Даже если мы представим себе гигантское четное число, цифры которого протянулись до самой дальней звезды, мы и к нему сможем прибавить 2 и получить еще большее число.

То же самое можно сказать о ряде нечетных чисел 1, 3, 5, 7… и о ряде чисел, кратных 5, то есть 5, 10, 15, 20, 25…, и о ряде чисел, кратных миллиону, то есть 1 000 000, 2 000 000, 3 000 000… Все эти ряды бесконечны, и, представляя себе такие ряды, вы составляете представление о понятии «бесконечность».

Тем не менее мое объяснение может вас не удовлетворить. Ведь кажется настолько очевидным, что четных чисел должно быть вдвое меньше, чем целых чисел вообще, пусть даже их число будет бесконечно, а чисел, кратных миллиону, должно быть в миллион раз меньше, чем всех целых чисел.

Но далеко не всегда то, что кажется очевидным, соответствует истине. Казалось бы, очевидно, что, если человек стоит лицом к северу, его спина обращена к югу. Кто же станет возражать против этого? Но если он стоит на Южном полюсе, то это не соответствует истине. И его лицо, и его спина будут обращены на север.

Давайте все-таки разберемся с числами. Давайте выясним, какое соотношение существует между четными числами и всем количеством целых чисел. Как же это сделать, ведь целых чисел бесконечное количество? Тем не менее метод для такого подсчета существует.

Как мы обычно считаем объекты? Мы приписываем каждому объекту определенное число из возрастающей последовательности целых чисел. Первый объект — объект номер один, второй — номер два и так далее. Если последний объект оказывается объектом номер десять, значит, у нас всего десять объектов.

А можно ли считать, не пользуясь числами? Это почти то же самое, что спросить: «А можно ли считать, не считая?» Как ни странно, это возможно.

Представим себе, что вокруг нас стоит толпа кричащих детишек, которым мы должны раздать леденцы. Мы не знаем ни сколько детей требует леденцов, ни сколько леденцов у нас в коробке. Но делать нечего, и мы начинаем раздавать леденцы — по одному каждому малышу. Если к тому моменту, когда коробка опустеет, каждый малыш будет сосать вкусный леденец, значит, количество леденцов равнялось количеству детей. Если к тому моменту, когда мы одарим всех малышей леденцами, у нас в коробке еще останутся леденцы, значит, количество леденцов больше количества детей. Если же, напротив, у нас не хватит леденцов на всех, это будет означать, что детей больше, чем леденцов.

Такой метод подсчета, заключающийся в сравнении последовательных рядов (один леденец против одного ребенка, или одно четное число против одного целого числа), поможет выяснить, равны ли два ряда чисел, и если они не равны, то какой ряд больше.

Напишем ряд целых чисел, а под ним ряд четных чисел:

Мы видим, что для каждого целого числа нашлось четное число, причем его можно получить, умножив соответствующее целое число на 2.

Мы видим, что, как бы много чисел мы ни написали, каждому целому числу соответствует определенное четное число и, наоборот, каждому четному числу соответствует определенное целое число (то есть каждому ребенку достается по одному леденцу).

Что же это означает? Можем ли мы утверждать, что количество четных чисел равно количеству целых чисел? Не совсем так. Дело в том, что, когда речь идет о бесконечности, мы не можем сказать, что одна бесконечность равна другой бесконечности. Но мы можем утверждать, что имеется соответствие один в один между последовательностью целых чисел и последовательностью четных чисел, то есть последовательность четных чисел является взаимно однозначной с последовательностью целых чисел. Это означает, что если мы сопоставим последовательность целых чисел с последовательностью четных чисел, то для каждого целого числа найдется свое четное число и наоборот.

Точно так же мы можем сравнить последовательности целых чисел и чисел, кратных миллиону. Для каждого целого числа можно написать соответствующее число, кратное миллиону, которое мы получим умножением данного целого числа на миллион. Для 1 это будет 1 000 000, для 6 это будет 6 000 000, а для 234 — 234 000 000. То есть можно сказать, что каждому целому числу соответствует число, кратное миллиону, или что эти две последовательности соответствуют друг другу «один в один» или являются взаимно однозначными. Любая последовательность чисел, взаимно однозначная с последовательностью целых чисел, называется счетной. Последовательность целых чисел также называется счетной.

Когда речь заходит о бесконечном, в нашем воображении возникает нечто огромное и вечное, непонятное и, пожалуй, бесполезное.

Однако, даже если мы имеем дело с малыми числами, совершенно неожиданно в нашем поле зрения вновь возникает понятие «бесконечность». Предположим, нам надо разделить 1 на 1/10.Мы помним правило обратных величин и знаем, что разделить число на 1/10 это все равно что умножить его на 10. Таким образом, 1 : 1/10 = 10, 1 : 1/100 = 100, 1 : 1/1000 = 1000.

То есть чем меньше делитель при одном и том же делимом, тем больше частное от деления.

И действительно, если делить единицу или любое другое число на ряд чисел, последовательно убывающих, то есть становящихся все меньше и меньше, мы получим ряд чисел (частных от деления), которые становятся все больше и больше. А когда делитель становится бесконечно малой величиной, то частное от деления превращается в бесконечно большую величину.

Вы можете спросить: что же это такое «бесконечно малая величина»? Конечно, самой малой величиной является ноль. Но малая величина может представлять собой

дробь. Скажем, 1/10 — это малая величина, 1/100 — еще меньше, 1/1000 — еще меньше, а 1/10000 — еще меньше. Не существует предела, до которого можно уменьшать величины. Но как бы вы ни увеличивали количество нулей в знаменателе, вы никогда не достигнете нуля. Таким образом, когда вы делите единицу или какое либо другое число на последовательность бесконечно возрастающих чисел, вы получаете последовательность бесконечно убывающих чисел. Когда делитель становится бесконечно большим числом, частное становится бесконечно малым.

Обратите внимание, что мы не можем делить числа на ноль. Эта операция в математике не рассматривается, и причина очень проста. Скажем, какое частное мы получим от деления 6 на 0? Другими словами, на какое число надо умножить 0, чтобы получить 6? Такого числа нет, значит, операция 6 : 0 невозможна. Любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Это означает, что мы не можем ни одно число разделить на ноль.

Промежуток между двумя числами, скажем, между единицей и двойкой, можно разделить на любое количество долей, на миллион, триллион и так далее, бесконечно. То же самое можно проделать и с меньшим интервалом, скажем, с интервалом между ¼ и ½ или между 0,0000001 и 0,00000001.

Математики доказали, что все возможные дроби (то есть все рациональные числа) можно расположить таким образом, чтобы получить взаимно однозначную последовательность по отношению к последовательности целых чисел.

Для каждого целого числа будет существовать соответствующая дробь, и, наоборот, не может быть дроби без соответствующего целого числа. Таким образом, последовательности всех возможных дробей являются счетными последовательностями. 

Рассмотрим бесконечную последовательность дробей:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512...

Обратите внимание на то, что каждая следующая дробь равна половине предыдущей, поскольку знаменатель каждый раз удваивается. (Если взять любую дробь и разделить ее на 2, например 1/128 : 2, то это то же самое, что умножить ее на 1/2, то есть 1/128 : 2 = 1/128 × 1/2, а это значит, что знаменатель удваивается.)

Хотя дроби постоянно уменьшаются, эта последовательность также является бесконечной, ведь любую сколь угодно малую дробь из этой последовательности можно разделить на два и получить еще меньшую. Знаменатель дроби увеличивается бесконечно, но сама дробь никогда не достигнет нуля, поскольку для этого надо, чтобы знаменатель достиг бесконечности, а это невозможно.

А теперь давайте выясним, чему равна сумма этой бесконечной последовательности. С точки зрения простого здравого смысла может показаться, что сумма такой последовательности должна быть бесконечно большой величиной. Но мы уже знаем, насколько обманчив бывает так называемый «здравый смысл».

Сначала к 1/2 прибавляем 1/4, получаем 3/4, затем к 3/4 прибавляем 1/8, получаем 7/8, затем к 7/8 прибавляем 1/16, получаем 15/16, прибавляем 1/32, получаем 31/32 и так далее. Обратите внимание, что чем больше членов последовательности мы добавляем, тем ближе сумма последовательности приближается к 1. Когда мы складываем первые два члена ряда, до единицы остается 1/4, прибавляем следующий член, и до единицы остается 1/8, и так далее можно дойти до одной миллионной или до одной триллионной, но единица так никогда и не будет достигнута.

Математики так формулируют это положение: «Сумма бесконечной последовательности дробей 1/2, 1/4, 1/8… приближается к единице, которая является пределом суммы данной последовательности».

Это пример сходящейся последовательности, то есть последовательности, состоящей из бесконечного числа членов, сумма которых приближается к какому-либо конечному числу как к пределу.

Еще в Древней Греции математики обнаружили сходящиеся бесконечные последовательности, но они были столь поражены тем, что количество членов последовательности бесконечно, что даже не могли предположить, что сумма таких последовательностей может быть не бесконечной величиной. Греческий математик и философ Зенон поставил ряд задач, называемых парадоксами, которые, казалось бы, опровергают совершенно очевидные постулаты. Один из его парадоксов служил доказательством того, что движение в принципе невозможно. Эти парадоксы считались неразрешимыми на протяжении столетий, до тех пор, пока не выяснилась правда о сходящихся бесконечных последовательностях.

Самый знаменитый парадокс Зенона называется «Ахилл и черепаха». Древнегреческий герой Ахилл славился как прекрасный бегун, а черепаха известна тем, что передвигается чрезвычайно медленно. Тем не менее Зенон продемонстрировал, что Ахилл никогда не сможет догнать черепаху в соревновании по бегу, если изначально у черепахи будет преимущество.

Предположим, что Ахилл бегает в десять раз быстрее черепахи, но к началу соревнований у черепахи будет преимущество в 100 ярдов. В несколько прыжков Ахилл преодолеет расстояние в 100 ярдов, но за это время черепаха, которая двигается в десять раз медленнее Ахилла (что очень неплохо для черепахи), пройдет 10 ярдов. Ахилл пробегает и эти 10 ярдов, но черепаха удаляется от него на 1 ярд. Тогда Ахилл пробегает один ярд, но черепаха удаляется от него на 1/10 ярда, и так далее до бесконечности.

Вот видите, что происходит. Ахилл продолжает движение, но и черепаха движется, и Ахилл не может ее догнать. И более того, повторяя это рассуждение для другого первоначального разрыва между черепахой и Ахиллом, мы можем сказать, что, каким бы малым ни было изначальное преимущество черепахи, будь это один фут или один дюйм, ничего не изменится. Ахилл никогда не сможет добиться никакого преимущества, а это, в свою очередь, означает невозможность движения вообще.

Конечно, вы прекрасно знаете, что Ахилл может догнать черепаху и движение возможно, следовательно, доказательство Зенона несет в себе противоречие, то есть является парадоксом.

А теперь рассмотрим подробно задачу Зенона. Где ошибка в его рассуждениях? Предположим, Ахилл бежит со скоростью 10 ярдов в секунду, а черепаха движется со скоростью 1 ярд в секунду. Ахилл пробегает первые 100 ярдов за 10 секунд. За это время черепаха проходит 10 ярдов. Ахилл преодолевает 10 ярдов за одну секунду, а черепаха за это время проходит 1 ярд. Ахилл преодолеет этот ярд за 0,1 секунды, а черепаха удалится от него на 0,1 ярда.

Иными словами, время, которое нужно Ахиллу для того, чтобы догнать черепаху, представляет собой убывающую последовательность 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, 0,00001…

Сколько времени понадобится Ахиллу для того, чтобы преодолеть бесконечную последовательность уменьшающихся расстояний? Зенон считал, что раз число членов в последовательности бесконечно, то и сумма должна быть бесконечной. Он не мог себе представить, что последовательность бесконечного количества чисел может быть сходящейся и иметь конечную сумму.

Например, если мы сложим первые два члена последовательности Зенона, мы получим 11, сумма первых трех членов равна 11,1, первых четырех — 11,11, первых пяти — 11,111, первых шести 11,1111. А если представить себе сумму всего бесконечного ряда, то мы получим 11,11111111111111111… И так до бесконечности.

А что такое 11,111111111…? Это десятичный эквивалент числа 11¹/₉. Если перевести 11¹/₉ в десятичную дробь, мы получим как раз 11,11111111111111111…

Таким образом, сумма последовательности в задаче Зенона составляет 11¹/₉ секунды. Это то самое время, которое понадобится Ахиллу, чтобы преодолеть все последовательно убывающие расстояния, на которые удаляется от него черепаха. А это значит, во-первых, что Ахилл в конце концов догонит черепаху, во-вторых, что движение возможно, ну а в-третьих, что и мы можем наконец расслабиться.

Последовательности могут стремиться к пределу, который является бесконечной десятичной дробью, причем не повторяющейся. Такие последовательности можно составлять для отображения иррациональных чисел. Прибавляя все новые и новые члены к такой последовательности, мы все ближе подходим к величине иррационального числа, хотя никогда не сможем ее достичь. Такие же сходящиеся последовательности используют для определения иррациональных чисел, например таких, как логарифмы.

Но все ли бесконечности бесконечны одинаково? Можно ли представить себе бесконечную последовательность, которая не была бы счетной бесконечной последовательности целых чисел?

Да, в общем, возможно. Представьте себе линию с делениями через равные интервалы, обозначающими числа, к такой линии мы обращались несколько раз по мере изложения материала в нашей книге. А теперь представьте себе, что все интервалы между числами разбиты на все возможные дроби. То есть интервалы между целыми числами плотно наполнены третьими долями, седьмыми долями, тысячными, миллионными и так далее. Тем не менее на прямой останутся точки, которым не будет соответствовать какая-либо дробь, даже в том случае, если дробей будет бесконечное количество. Вспомните иррациональные числа.

Например, корень квадратный из 2 не имеет точки на линии дробей, потому что его невозможно представить в виде дроби. Тем менее на линии он существует. Представьте себе квадрат со стороной от одного целого числа до другого (как на рисунке).

Диагональ этого квадрата равна корню квадратному из 2, и если отрезок, равный длине этой диагонали отложить на линии от нулевой точки, то он закончится на точке, равной корню квадратному из 2, которой не соответствует ни одна дробь. На этой точке ни одна дробь просто не может находиться. На линии также можно отметить любое другое иррациональное число, и опять-таки этой точке не будет соответствовать ни одна дробь.

Какой же вывод можно сделать из всего сказанного? Если на линии отмечены точками все рациональные числа, останется тем не менее бесконечное число точек, соответствующих иррациональным числам. Более того, две точки, соответствующие рациональным числам, никогда не будут находиться рядом. Математики доказали, что между ними всегда будет по крайней мере точка, соответствующая иррациональному числу. И наоборот, между двумя иррациональными числами всегда будет по крайней мере одно рациональное число. Если же на линии будут нанесены все рациональные и иррациональные числа, это означает, что использованы все точки. Последовательность действительных чисел, куда входят как рациональные, так и иррациональные числа, образует «континуум».

А как обстоит дело с действительными числами? Является ли последовательность действительных чисел счетной с последовательностью целых чисел, как и последовательность всех рациональных чисел? Нет, не является. Было показано, что, как бы мы ни старались расположить действительные числа таким образом, чтобы одному действительному числу соответствовало одно целое, все равно останется бесконечное количество свободных действительных чисел.

Бесконечность действительных чисел обозначают С (от латинского «continuum»). С — это бесконечность более обширная, нежели счетная бесконечность, так как бесконечной последовательности целых чисел недостаточно, чтобы сосчитать бесконечную последовательность действительных чисел.

Можно проверить, являются ли другие виды бесконечных последовательностей счетными по отношению к бесконечной последовательности действительных чисел. Например, последовательность всех комплексных чисел (то есть все точки на плоскости, а не только точки на прямой) является счетной по отношению к последовательности всех действительных чисел. Точно так же и бесконечная последовательность гиперкомплексных чисел (то есть все точки в пространстве Вселенной, которую мы тоже считаем в данном случае бесконечной) является счетной по отношению к последовательности всех действительных чисел.

В 1896 году математик Джордж Кантор выдвинул теорию «трансфинитных чисел», согласно которой существует бесконечное количество бесконечностей разного рода. Эти бесконечности он обозначил буквой «алеф» древнееврейского алфавита. Каждую такую бесконечность обозначали при помощи правого нижнего индекса при букве «алеф»:

Первая бесконечность называется «алеф-ноль» и соответствует бесконечной последовательности целых чисел. Это означает, что бесконечность, с описания которой я начал эту главу, может быть самой малой из существующих бесконечностей. Другими словами, до сих пор не открыта такая бесконечная последовательность чего бы то ни было, которая не была бы счетной с последовательностью целых чисел по той причине, что остались бы лишние целые числа.

Считается, что следующая по порядку последовательность, «алеф-один» (₁), представляет собой С, или бесконечность континуума, но это положение еще не было доказано. Никому не удалось обнаружить бесконечной последовательности чего бы то ни было в промежутке между «алеф-ноль» (₀) и С, но никто также и не доказал, что существование такой бесконечности невозможно.

Бесконечность количества разнообразных кривых, которые можно нарисовать на плоскости, может быть бесконечностью «алеф-два» (₂).

Что же касается следующих по порядку бесконечностей, то для них пока не было найдено соответствия.

Тем не менее уже существует концепция бесконечного разнообразия бесконечностей, которое начинается с обычной бесконечной последовательности целых чисел, наименьшей из возможных бесконечностей.

Таким образом, человек, на заре развития научившийся различать 1 и 2, путем проб и ошибок двигался к вершинам познания и в наши дни может бесстрашно оперировать такими понятиями, как многообразие бесконечностей.

В любой книге, посвященной достижениям человечества, не следует писать слово «конец», ибо конца не существует, а процесс познания бесконечен. Нужно ставить знак