Числа: от арифметики до высшей математики

Глава 2 НИЧТО — И НЕЧТО, ЕЩЕ МЕНЬШЕЕ, или Как важно иметь свободный ряд

В основе индийской системы счета — цифры от одного до девяти. Они видоизменялись во времени, но уже к XVI веку приобрели в Европе современный привычный вид: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Казалось бы, здесь нет ничего нового. И древние греки, и древние иудеи использовали для чисел различные символы. И у тех и у других первые девять букв алфавита использовались для обозначения чисел от 1 до 9. Следующие девять букв обозначали числа десять, двадцать, тридцать и так далее до девяноста. Следующие девять букв обозначали сотни: сто, двести, триста и так далее до девятисот. Двадцать восьмая буква обозначала тысячу. Таким образом, двадцати восьми букв было достаточно для обозначения числового ряда от единицы до тысячи. Когда букв алфавита было недостаточно, добавляли специальные символы или измененное написание букв.

Однако использование буквенных обозначений приводит к путанице понятий. Например, число 15 в древнееврейском написании представляет собой первые две буквы в слове «бог», то же самое относится и к сочетаниям некоторых других букв.

С другой стороны, при такой системе каждому слову можно было приписать определенное числовое значение, что и было сделано для многих слов в Библии. Такая процедура называется «гематрией». Таким образом, многие слова, включая имена собственные, получали особое мистическое и оккультное толкование.

Наиболее известный пример такого толкования слов — это использование слова «зверь» в Откровении Иоанна Богослова (то есть в Апокалипсисе), которое соответствовало числу 666. Скорее всего, имя какого-то властителя, которое в те времена опасно было даже произносить, также составляло число 666, если его изобразить буквами древнегреческого или древнееврейского алфавита. Возможно, этим властителем был император Нерон. С тех давних пор люди часто зашифровывали имена своих врагов в виде чисел.

В индийской системе, в отличие от древнееврейской и древнегреческой, для обозначения всех возможных чисел использовалось всего девять цифр, так же, как и на счетах, где на каждом ряду одно и то же количество костяшек. Это было необходимо, чтобы придать цифрам определенную значимость в зависимости от положения, которое они занимали.

Например, если мы хотим выложить число двадцать три на счетах, то в нижнем ряду, в ряду единиц, мы откладываем три костяшки, а в следующем ряду, в ряду десятков, мы откладываем две костяшки. В индийской системе это число записывается как 23, и, когда мы его видим, мы сразу понимаем, что данное число состоит из двух десятков и трех единиц.

Соответственно число тридцать два будет записано как 32, где 3 — это количество десятков, а 2 — количество единиц. Поскольку значимость цифры зависит от положения, то числа 32 и 23 — это совершенно разные числа.

Маловероятно, что хитроумные древние греки не могли разработать подобной системы, ведь удалось же им сделать множество чрезвычайно важных открытий в самых разных областях. Настоящим препятствием для них, а также для всех остальных, помимо индийцев, на пути развития методов счета явилась проблема свободного ряда на счетах.

Предположим, вам надо вместо двадцати трех изобразить число двести три. На счетах вы отложите три костяшки в нижнем ряду, не отложите ни одной в следующем ряду, в ряду десятков, и, наконец, в ряду сотен отложите две костяшки.

А как записать это число в индийской системе? Двадцать три мы записываем как 23, а число двести три, казалось бы, будет выглядеть точно так же, 23, только теперь 2 будет обозначать число сотен.

А теперь перейдем к тысячам. Как отложить на счетах число две тысячи три?

Три костяшки откладываем в нижнем ряду, ни одной в следующем ряду, в ряду десятков, ни одной в следующем ряду, в ряду сотен, и, наконец, в ряду тысяч отложим две костяшки.

А как записать это число в индийской системе? Опять 23? Только теперь двойка означала бы количество тысяч. Так что же, три разных числа записываются одинаковым образом? Нет, записываются они по-разному, и это стало возможным именно благодаря главному усовершенствованию, введенному в систему счета индийцами.

Как можно было бы изобразить эти три числа, чтобы они различались? Можно было бы, скажем, ставить над каждой цифрой определенное количество точек, которое обозначало бы, к какому разряду относится данная цифра, к сотням, тысячам или десяткам. Например, одна точка — единицы, две — десятки, три — сотни, четыре — тысячи:

Но такая система записи громоздка и неудобна, и индийская система основана совсем на другом принципе.

Величайшим достижением древних индийцев стало введение специального символа для отсутствующего разряда, то есть для того ряда на счетах, на котором не передвинуто направо ни одной костяшки. Арабы называли этот символ «сифр», то есть пустой, в английском языке название трансформировалось в «зеро» в русском языке этот символ получил название «ноль». Но слово «сифр» также прижилось в русском языке. От него произошли слова «цифра», «шифр», «шифровать».

Ноль обозначается как «О». Теперь двести три можно записать как 203, а две тысячи три — как 2003, двести тридцать — как 230, а две тысячи тридцать — как 2030. В каждом случае мы обозначаем нолем тот ряд на счетах, на котором не передвинуты костяшки.

(Двадцать три можно записать также как 0023 или 00023 или даже 000000023, но так никогда не делают. Принято записывать только первый по величине значащий разряд, а на счетах все ряды выше первого значащего приравнены к нулю).

Именно изобретение такой цифры, как ноль, и сделало так называемые арабские цифры удобными и практичными. Это изобретение стало поистине революционным. (Странно, что изобретение «нуля», то есть «ничего», оказалось столь важным для дальнейшего развития человечества. Но еще более странно то, что многие великие математики древности так и не додумались до этого «ничего».)

Когда мы считаем, используя арабские цифры, то первое, что следует сделать, — это запомнить суммы чисел от нуля до девяти. Как мы учимся считать? Сначала запоминаем, что 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 4 + 5 = 9, 6 + 7= 13 и так далее. Очень важно также усвоить, что 0 + 0 = 0.

Когда мы считаем на счетах, запоминать ничего не надо. Необходимо только научиться считать от одного до десяти. На этом этапе преимущества расчетов при помощи чисел, записанных на бумаге, еще незаметны. Кажется, что счеты удобнее.

А теперь попробуем сложить два больших числа, например 5894 и 2578. Все, что для этого нужно, — это уметь складывать числа в пределах десяти. Сначала разобьем числа на единицы, десятки, сотни и тысячи, то есть на разряды.

Теперь разобьем число 1300 на 1000 и 300, 160 на 100 и 60, а 12 на 10 и 2. Теперь надо просто прибавить тысячи к тысячам, сотни к сотням, десятки к десяткам. В результате получаем: 8000 и 400 и 70 и 2, то есть 8472.

Упрощенно процесс сложения можно изобразить так:

Упрощение заключается в том, что мы не записываем «нули» и переносим «единицы» в следующий разряд, то есть десятки переносим в колонку десятков и так далее.

Вычитание — это процесс, обратный сложению. Предположим, надо из 531 вычесть 298. Мы также разбиваем числа на разряды:

Вначале может показаться, что нам придется вычитать 8 из 1, и 90 из 30. Но это не так, мы ведь можем занять один десяток и одну сотню из следующих разрядов. Перепишем таблицу в новом виде:

Таким образом, получаем ответ: 233.

Когда мы производим вычитание в столбик, то следуем именно этому принципу, хотя форма записи более упрощенная.

Человек, привыкший считать на счетах, сможет произвести эту операцию гораздо быстрее, чем средний ученик, вычисляющий разность этих двух чисел на бумаге. Однако счеты требуют, кроме всего прочего, наработки чисто механических навыков.

В то же время, когда мы считаем в столбик, мы записываем все этапы, и легко проверить правильность расчетов. Используя счеты, этого сделать нельзя. Метод подсчета в столбик настолько же эффективнее подсчета на счетах, насколько изображение чисел на счетах эффективнее, чем показывать числа на пальцах.

Каждый первоклассник, изучающий арифметику, знает, что сложить можно любые два числа. Он также знает, что к вычитанию это правило не относится.

Можно вычесть 5 из 7 и получить 2. Можно вычесть 7 из 7 и получить 0. А можно ли вычесть 8 из 7?

В Древней Греции на этот вопрос отвечали отрицательно. Как можно произвести действие, в результате которого получается меньше, чем ничего? Ведь «ничего» — это последний предел, дальше идти некуда.

Эта точка зрения торжествовала вплоть до 1500-х годов. А в наши дни кажется совершенно очевидным, что могут существовать числа, меньшие, чем ничего, то есть меньшие ноля.

Предположим, у вас есть семь долларов, а тут к вам подходит ваш приятель и напоминает о вашем долге в восемь долларов. Будучи честным человеком, вы тут же возвращаете ему семь долларов и говорите приятелю, что вернете ему остаток в один доллар, как только получите эту сумму.

Теперь у вас осталось меньше, чем ничего, ведь денег у вас нет, а, напротив, есть долг в один доллар. Другими словами, если из семи вычесть восемь, мы получаем число, на единицу меньшее, чем ноль. Что же тут трудного или непонятного?

Предположим, вы собираетесь дойти до города, который находится в семи километрах к югу от того места, где вы находитесь. Итак, вы идете на юг. Проходите один километр, и вам остается пройти еще шесть, проходите два километра, и вам остается еще пять. Проходите семь километров — и вот вы на месте. До города осталось пройти ноль километров.

Но вы настолько рассеянны (или настолько упрямы), что продолжаете двигаться дальше и проходите еще один километр к югу. Итак, вы прошли восемь километров и оказались на расстоянии в один километр к югу от города. Итак, до города было семь километров, вы прошли восемь. Значит, вы получаете число меньше нуля. Конечно, вы можете сказать, что расстояние начало увеличиваться снова. Но ведь теперь вы двигаетесь в противоположном направлении. Разве это одно и то же?

Для того чтобы прояснить ситуацию, нарисуем вертикальную линию и отметим на ней точкой положение города. Эту точку мы будем считать точкой отсчета или нулем. Теперь нанесем на прямую по несколько равных делений выше и ниже нулевой точки. Пусть каждое деление соответствует одному километру.

Числа выше точки отсчета (то есть к северу от города) будем называть обычными (или положительными), а числа ниже точки отсчета (то есть к югу от города) будем называть числами, меньшими нуля, или отрицательными.

Теперь нам понадобится специальный символ, который поможет различить положительные и отрицательные числа. Обычно для этого используют систему обозначений, основанную на способе, которым можно получить это число. Любое положительное число получается в результате сложения других положительных чисел. Символом сложения является знак «+», поэтому положительные числа обозначаются +1, +2, +3 и так далее. Само название «положительное число» говорит о том, что это число реально существует.

Отрицательные числа получаются как результат вычитания, скажем, при вычитании (2 - 3) мы получаем число на единицу меньше нуля. Его обозначают -1. Таким образом, отрицательные числа обозначают -1, -2, -3, и так далее.[1]

То, что числа, меньшие нуля, получили название отрицательных, не случайно. Даже когда математики освоили операции с числами, меньшими нуля, надо было подчеркнуть, что эти числа не существуют в действительности.

Символ (+) перед положительным числом появился где-то в 1500-х годах. В те времена операцию сложения обозначали как &, например «2 плюс 3» записывали как «2&3». В скорописи значок «&» постепенно трансформировался в «φ», а потом в «+». Что же касается происхождения знака «-», то на этот счет существует множество различных теорий, но ни одна из них не кажется достаточно убедительной.

Обратите внимание, ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Теперь у нас вертикальная размеченная линия, то есть шкала, и мы можем использовать ее для операций сложения и вычитания. Поскольку положительные числа увеличиваются вверх по шкале, а операции сложения положительных чисел приводят к увеличению чисел, будем считать, что сложение — это движение вверх по шкале. Вычитание — это операция, противоположная сложению, поэтому вычитание — это движение вниз по шкале.

Предположим, надо сложить +2 и +5. Записать это выражение можно следующим образом: (+2) + (+5). Скобки нам понадобились по той причине, что необходимо отделить плюс как знак операции сложения от плюсов, обозначающих положительные числа. Но поскольку мы привыкли к тому, что обычно имеем дело с положительными числами, то часто знаки « + » перед положительными числами просто опускают. Тогда получаем: 2 + 5. Необходимо ставить знаки «+» перед положительными числами только в тех случаях, когда надо привлечь особое внимание к знаку числа.

Теперь отложим на нашей шкале два деления вверх. Это число 2. Прибавим еще 5 делений и остановимся на делении 7, то есть 2 + 5 = 7. Мы можем начать с 5 и прибавить два деления. Мы опять получим 7. Тут я еще раз хочу обратить ваше внимание на тот факт, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Теперь займемся вычитанием. Предположим, надо вычесть 2 из 5. От точки 5 на шкале мы откладываем вниз два деления и оказываемся в точке 3. Таким образом, получаем 5-2 = 3.

Теперь нам надо выяснить, как обращаться с отрицательными числами. Можно ли производить с ними такие же действия, как и с положительными числами? Если да, то они окажутся очень полезными, несмотря на то что не являются «настоящими» числами. И действительно, отрицательные числа нашли широчайшее применение не только в науке и инженерной практике, но и в повседневной деятельности. Они применяются, например, в бухгалтерии, где запасы и доходы обозначаются положительными числами, а расходы — отрицательными.

Начнем с простого примера. Определим, чему равно выражение 2 - 5. От точки +2 отложим вниз пять делений, два до нуля и три ниже нуля. Остановимся на точке -3. То есть 2 - 5 = -3. А теперь обратите внимание, что 2-5 совсем не равно 5-2. Если в случае сложения чисел их порядок не имеет значения, то в случае вычитания все обстоит по-другому. Порядок чисел имеет значение.

Теперь перейдем в отрицательную область шкалы. Предположим, надо к -2 прибавить +5. (С этого момента и до конца этой главы мы будем ставить знаки « + » перед положительными числами и заключать в скобки как положительные, так и отрицательные числа, чтобы не путать знаки перед числами со знаками сложения и вычитания.) Теперь нашу задачу можно записать как (-2) + (+5). Чтобы ее решить, от точки -2 вверх поднимемся на пять делений и окажемся на точке +3.

Есть ли в этой задаче какой-то практический смысл? Конечно есть. Предположим, у вас есть долг 2 доллара, а вы заработали 5 долларов. Таким образом, после того, как вы отдадите долг, у вас останется 3 доллара.

Можно также двигаться вниз по отрицательной области шкалы. Предположим, нужно из -2 вычесть 5, или (-2) - (+5). От точки -2 на шкале отложим вниз пять делений и окажемся в точке -7. Какой практический смысл у этой задачи? Предположим, у вас был долг 2 доллара и вам пришлось занять еще 5. Теперь ваш долг равен 7 долларам.

Мы видим, что с отрицательными числами можно проводить такие же операции сложения и вычитания, как и с положительными.

Правда, мы еще освоили не все операции. К отрицательным числам мы прибавляли только положительные числа и вычитали из отрицательных чисел только положительные. А как действовать, если надо складывать отрицательные числа или из отрицательных чисел вычитать отрицательные?

На практике это похоже на операции с долгами. Предположим, с вас списали долг 5 долларов, это означает то же самое, как если бы вы получили 5 долларов. С другой стороны, если я каким-то образом заставлю вас принять ответственность за чей- то долг в 5 долларов, это то же самое, что забрать у вас эти 5 долларов. То есть вычесть -5 — это то же самое, что прибавить +5. А прибавить -5 — это то же самое, что вычесть +5.

Это позволяет нам избавиться от операции вычитания. Действительно, «5 - 2» — это то же самое, что (+5) - (+2) или согласно нашему правилу (+5) + (-2). И в том и в другом случае мы получаем один и тот же результат. От точки +5 на шкале нам нужно спуститься вниз на два деления, и мы получим +3. В случае 5 - 2 это очевидно, ведь вычитание — это движение вниз.

В случае (+5) + (-2) это менее очевидно. Мы прибавляем число, а это означает движение вверх по шкале, но мы прибавляем отрицательное число, то есть совершаем обратное действие, и эти два фактора, взятые вместе, означают, что нам надо двигаться не вверх по шкале, а в обратном направлении, то есть вниз.

Таким образом, мы опять получаем ответ +3.

Почему, собственно, нужно заменять вычитание сложением? Зачем двигаться вверх «в обратном смысле»? Не проще ли просто двигаться вниз? Причина заключается в том, что в случае сложения порядок слагаемых не имеет значения, в то же время в случае вычитания он очень важен.

Мы уже выяснили раньше, что (+5) - (+2) — это совсем не то же самое, что (+2) - (+5). В первом случае ответ +3, а во втором -3. С другой стороны, (-2) + (+5) и (+5) + (-2) в результате дают +3. Таким образом, переходя на сложение и отказываясь от операций вычитания, мы можем избежать случайных ошибок, связанных с перестановкой слагаемых.

Аналогично можно действовать при вычитании отрицательного числа. (+5) - (-2) — это то же самое, что (+5) + (+2). И в том и в другом случае мы получаем ответ +7. Мы начинаем с точки +5 и двигаемся «вниз в обратном направлении», то есть вверх. Точно так же мы бы действовали, решая выражение (+5) + (+2).

Замену вычитания сложением ученики активно используют, когда начинают изучать алгебру, и поэтому эта операция называется «алгебраическим сложением». На самом деле это не совсем справедливо, поскольку такая операция, очевидно, является арифметической, а совсем не алгебраической.