Числа: от арифметики до высшей математики

Глава 3 В ОБХОД «СЛОЖЕНИЯ»

Предположим, мы нарисовали квадрат со стороной в 1 дюйм. Такой квадрат можно назвать квадратным дюймом и использовать его как единицу площади.

Теперь нарисуем квадрат со стороной 2 дюйма, затем разделим каждую сторону пополам и разделим квадрат на четыре части. Каждая часть будет представлять собой 1 квадратный дюйм. Проделаем такую же операцию с квадратом со стороной 3 дюйма, но на этот раз каждую сторону разделим на три части. В результате мы получим 9 квадратов площадью 1 квадратный дюйм каждый.

Затем такую же операцию произведем с прямоугольником длиной 9 дюймов и шириной 6 дюймов. После деления мы получим 54 квадрата площадью по 1 квадратному дюйму. Все эти действия показаны на рисунке.

В каждом случае квадраты по 1 квадратному дюйму расположены в горизонтальных рядах и вертикальных столбцах.

Количество квадратов в столбце соответствует длине квадрата или прямоугольника в дюймах, а количество квадратов в ряду — ширине квадрата или прямоугольника в дюймах.

В квадрате площадью 2 квадратных дюйма в каждом из двух столбцов — по два однодюймовых квадрата, 2 + 2 = 4. В трехдюймовом квадрате три столбика, содержащие по три однодюймовых квадрата, 3 + 3 + 3 = 9. В прямоугольнике 6 × 9 мм в каждом из 6 столбцов содержится по 9 однодюймовых квадратов, 9 + 9 + 9 + 9 + + 9 + 9 = 54. Можно просчитать прямоугольник по строкам. В каждой из 9 строк содержится по 6 однодюймовых квадратов, 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 54.

В общем виде процедура вычисления площадей геометрических фигур заключается в повторном сложении. В случае квадратов и прямоугольников такие вы- числения предельно просты. В случае треугольников и кругов — несколько сложнее. В случае площадей неправильной формы это уже достаточно сложная процедура. Однако площади умели вычислять еще в древних сельскохозяйственных цивилизациях (не будем сейчас обсуждать нашу высокотехнологичную цивилизацию). Уже в глубокой древности производили обмеры земельных участков и вычисляли их площади, как минимум, для того, чтобы определить сумму налога с участка. (У меня вообще есть подозрение, что в древности именно необходимость расчета налогообложения, а не что-либо другое, способствовала интенсивному развитию арифметики.)

Если необходимость повторного счета способствовала созданию операции сложения, то необходимость повторного сложения привела к возникновению нового вида операций с числами.

Начнем с того, что примем новое обозначение и запишем выражение «шесть раз по девять» как 6x9. Значок «х» называется знаком умножения. Такая запись означает, что складывают девять раз по шесть или шесть раз по девять. Как я уже показал на предыдущем примере и как вы можете убедиться самостоятельно, просчитав свой собственный пример, неважно, какую из двух операций вы сделаете: 6 × 9 = 9 × 6.

Используя это новое наблюдение, мы можем сформулировать общее правило для вычисления площади квадрата или прямоугольника. Площадь этих фигур равна произведению длины на ширину. Следующий необходимый шаг — найти простой способ осуществления операций умножения. Конечно, мы всегда можем воспользоваться повторным сложением, но такой способ неудобен и в случае больших чисел неэффективен.

Скажем, надо вычислить площадь прямоугольного участка размером 129 футов на 54 фута. Нам понадобится перемножить 129 на 54 или 54 на 129, чтобы получить ответ (в данном случае уже в квадратных футах, а не в квадратных дюймах). Это означает, что нам либо надо просуммировать сто двадцать девять раз число 54, либо, наоборот, пятьдесят четыре раза просуммировать число 129. И то и другое достаточно утомительно.

Или другой пример: на этот раз торговая сделка. Предположим, нам надо оплатить 254 дюжины каких-то предметов, которые стоят по 72 цента за дюжину. В этом случае нам придется умножить 254 на 72, то есть двести пятьдесят четыре раза просуммировать число 72. Такие задачи приходится постоянно решать в повседневной жизни, поэтому нам необходима простая и эффективная процедура умножения.

Здесь мы снова сталкиваемся с необходимостью заучивать что-то наизусть. Необходимо твердо знать таблицу умножения, куда входят все возможные комбинации чисел от 1 и до 9 × 9 включительно. Школьники затверживают выражения из таблицы, например 5 × 2 = 10, 7 × 8 = 56 и другие до тех пор, пока цифры не полезут у них из ушей. Но зато, как только этот барьер взят, ребенок понимает, что теперь он знает все, что необходимо для того, чтобы перемножать любые сколь угодно большие числа.

Очень также важно усвоить, что при умножении любого числа на ноль мы всегда получаем ноль. 5 × 0 = 0, 155 × 0 = 0, 14 856 734 × 0 = 0. И конечно, 0 × 0 = 0. Это утверждение легко проверить путем сложения. Если мы складываем пять нулей, мы получаем ноль, если мы складываем 155 нулей, мы опять получаем ноль, и, сколько бы нулей мы ни складывали, в результате мы всегда получим ноль.

Это значит, что если вы запомнили, что 7 × 3 = 21, то вы легко перемножите 70 на 3 или 7 на 30. 70 × 3 = 210, 7 × 30 = 210. Операции умножения не влияют на нули: если вы производите умножение 70 × 30, то оба нуля сохраняются: 70 × 30 = 2100.

Идем дальше. Нам надо перемножить числа, состоящие из разных цифр, отличных от нуля. Для этого мы разобьем число по разрядам, как мы это уже делали при операции сложения. Например, нам надо найти произведение от умножения 3965 × 7. (Произведение — это результат перемножения чисел, так же как сумма — это результат сложения.)

Число 3965 можно представить как 3000 + 900 + 60 + 5.

Теперь легко произвести умножение, поскольку каждое из чисел содержит только по одной значащей цифре, а остальные — нули.

Теперь легко произвести умножение, поскольку каждое из чисел содержит только по одной значащей цифре, а остальные — нули.

Неважно, в каком порядке производить перемножение. Это можно делать справа налево, слева направо и вразбивку. Я делаю это так, как меня научили в школе, то есть справа налево. Кроме того, в школе нас учат не разбивать числа на разряды и не обращать внимания на нули. Тогда запись предыдущего примера будет проще:

Преимущества такой записи при обучении очевидны: ученик быстро и легко осваивает умножение и может быстро перемножать большие числа. Недостаток данной формы записи при обучении состоит в том, что ученик выполняет операции умножения чисто механически и часто не представляет себе, почему он так сделал.

Помимо использования этой сокращенной формы записи, мы также учимся перемножать некоторые числа в уме. Но это все вопросы техники умножения, принцип при этом остается неизменным.

Когда надо перемножить два числа, каждое из которых больше десяти, возникают небольшие дополнительные сложности. При этом мы разбиваем оба числа на разряды и перемножаем каждую часть одного числа на каждую часть другого числа. Таким образом, если надо перемножить 35 и 28, мы делаем это по следующей схеме (стрелки на рисунке показывают порядок умножения, из такой схемы, по-видимому, появился знак умножения «×»).

При перемножении больших чисел мы используем ту же методику, но даже упрощенная схема умножения, которой нас учат в школе, требует значительного внимания, иначе можно запутаться в расчетах. Вы можете убедиться в этом на приведенном ниже примере:

Конечно, и такой метод не очень прост, но он все же гораздо практичнее, чем повторное сложение. Представьте себе, в последнем случае нам пришлось бы складывать 3965 + 3965 + 3965 + 3965 + 3965 + … и так 2197 раз.

В случае сложения противоположным действием является вычитание, для умножения также есть противоположное действие, которое называется деление. Если умножение — это последовательное многократное сложение, то деление — это последовательное многократное вычитание.

Предположим, вы хотите разделить 15 на 3, это действие записывается как 15 : 3, где знак «:» обозначает деление. Один способ выполнить это действие — последовательно вычитать 3 из 15. Так, 15 - 3 = 12, 12 - 3 = 9, 9 - 3 = 6, 6 - 3 = 3, 3 - 3 = 0. Мы добрались до нуля за пять действий вычитания, то есть 15 : 3 = 5.

Но так, конечно, никто никогда не делает. Вместо этого используют ту же методику, что и в случае умножения. Если мы поделим 15 на 3, мы получим какое-то число, после перемножения которого на 3 мы опять получим 15. Мы прошли вперед, вернулись назад и оказались на первоначальном месте. (С этим мы уже сталкивались при сложении и вычитании, которые также являются обратными процессами. Если 7 - 4 = 3, то 3 + 4 = 7).

Таким образом, нашу задачу можно сформулировать следующим образом. На какое число нужно умножить 3, чтобы получить 15? Не сомневаюсь, что вы прекрасно помните таблицу умножения, которую прочно вбивают в голову школьников с младших классов, и поэтому вы автоматически вспоминаете, что для того, чтобы получить 15, надо 3 умножить на 5.

Поскольку 5 × 3 = 15, следовательно, 15 : 3 = 5 и 15 : 5 = 3. Одна и та же строчка в таблице умножения дает ответ на две задачи деления.

Обратите внимание, при делении, так же как и при вычитании, порядок членов в выражении имеет значение. 5 × 3 равно 3 × 5, но 15 : 5 не равно 5 : 15. Число, находящееся слева от знака деления, называется делимым; число, находящееся справа от знака деления, называется делителем; результат деления называется частным. Таким образом, в выражении 15 : 5 = 3, 15 — это делимое, 5 — это делитель, а 3 — это частное.

То, что деление — это обратный процесс, а значит, наиболее сложная арифметическая операция, знает каждый школьник.

Предположим, вам нужно разделить 7715 на 5. Представляете, сколько раз придется последовательно вычитать 5 из 7715, чтобы добраться до 0 и получить ответ? Таблица умножения не дает ответа на этот вопрос. Что же делать?

В этом случае нам опять поможет умножение на 0. Вы знаете, что 1 × 5 = 5, следовательно, 1000 × 5 = 5000. Это число уже достаточно близко к 7715, но остается еще 2715. Разделим это число на 5. Из таблицы умножения вы знаете, что 5 × 5 = 25, значит, 500 × 5 = 2500, и теперь остается только 215. Пойдем дальше. Поскольку 4 × 5 = 20, следовательно, 40 × 5 = 200.

У нас остается только 15. Это число легко делится на 5, и мы знаем, что ответ — это 3.

Вначале мы умножили 5 на 1000, затем на 500, затем на 40 и, наконец, на 3. Сложим все результаты и получим 1543. Поскольку 1543 × 5 = 7715, следовательно, 7715 : 5 = 1543, это и есть ответ, то есть частное.

Задача деления на числа, большие 10, значительно сложнее, поскольку в таблице умножения максимальный множитель равен 10. Но принцип остается тем же самым, хотя нам приходится сначала «угадывать» ответ, а потом проверять, насколько он правильный.

(Тем не менее наши школьники сталкиваются с гораздо более простой задачей, чем математики древности, ведь у нас — арабские цифры. В те времена, когда арабских цифр еще не применяли, деление больших чисел, или «длинное деление», было настоящим искусством, доступным лишь очень опытным математикам.)

В начале этой главы я уже рассказал вам, как складывать и вычитать отрицательные числа.

Теперь давайте разберемся с умножением и делением.

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3 × 4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3 × (-4) = -12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4) × (-3) = -12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4) × (+3) = -12 и (+4) × (-3) = -12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом. Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4) × (+3) = +12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения, сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3) × (-4) = +12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

положительное число × положительное число = положительное число;

отрицательное число × положительное число = отрицательное число;

положительное число × отрицательное число = отрицательное число;

отрицательное число × отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число. Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению — для деления.

(+12) : (+3) = +4;

(+12) : (-3) = -4;

(-12) : (+3) = -4;

(-12) : (-3) = +4.

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения. Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3) × (-4) = (+12).

Поскольку мы определили деление как последовательное многократное вычитание, в результате которого получают ноль, оказывается, что оно не всегда возможно. Попробуем разделить 7 на 2.

В результате повторного вычитания мы получим 7 - 2 - 2 - 2 = 1, и здесь нам придется остановиться. Если мы вычтем еще одну двойку, мы окажемся в области отрицательных чисел. Даже если мы признаем существование отрицательных чисел, а древние о них не знали, мы не можем проводить вычитание в области отрицательных чисел. Предположим, мы делаем еще несколько шагов: 1 - 2 = -1, следующий шаг: -1 - 2 = -3, затем -3 - 2 = -5, и так до бесконечности. Где же нам остановиться? Похоже, наша система дала сбой.

Попробуем пойти другим путем. Вспомним о таблице умножения. Конечно, мы не найдем там числа, которое при перемножении на 2 даст 7, но 2 × 3 = 6, а 2 × 4 = 8.

Следовательно, если мы определяем деление как последовательное вычитание, то в каких-то случаях деление возможно, а в каких-то нет.

Древних греков изумляло это свойство чисел, и они дали ему своеобразное толкование.

Какие числа делятся на 2, а какие не делятся? 1 не делится, 2 делится, 3 не делится, 4 делится, 5 не делится, 6 делится…

Еще в древние времена числа разделили на те, которые делятся на 2, и на те, которые на 2 не делятся. Математики Древней Греции считали, что числа заключают в себе мистический смысл. По их представлениям, те числа, которые делятся на 2, имеют женское начало и являются несчастливыми. Те числа, которые не делятся на 2, греки считали мужскими и счастливыми. (Учтите, греческие математики были исключительно мужчинами и, конечно, все счастье присвоили себе.)

В обыденной жизни делимость числа на 2 имела большое значение, поскольку часто приходилось делить определенное количество предметов между двумя людьми. Делить по справедливости — это лучший способ избежать ссоры.

Самый простой способ справедливого дележа в те далекие времена, когда люди плохо разбирались в арифметике, — это разложить предметы в две кучки так, чтобы каждому предмету в одной стопке соответствовал один предмет в другой. Представим себе эти предметы в виде фишек, которые можно складывать в столбики (как показано на рисунке). Если общее число предметов делится на 2, то мы получим два столбика и в каждом — одинаковое количество фишек. Если вначале у нас было 16 фишек, то мы получим два столбика одинаковой высоты по 8 фишек, поскольку число 16 делится на 2, то есть является четным числом.

Если же вначале у нас было 17 фишек, то мы получим два столбика неравной высоты, в одном будет 8 фишек, а в другом на одну фишку больше, поскольку число 17 не делится на 2, то есть является нечетным числом. Делимость или неделимость на другие числа также подчиняется определенным зависимостям, но гораздо более сложным, чем разделение чет — нечет.

В области деления было сделано еще одно открытие: некоторые числа делятся нацело более чем на одно меньшее число. Например, 60 делится нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Все эти числа называются делителями числа 60. Следовательно, у числа 60 есть десять различных множителей.

Кроме того, есть еще два множителя, о которых я говорил вам раньше. Это единица и само число 60. В конце концов, 60 : 60 = 1, поскольку любое число, поделенное на самое себя, дает единицу. Другой множитель — это 1. Действительно, 60 : 1 = 60. Любое число, поделенное на 1, остается неизменным, то есть 1 — это универсальный множитель.

Поскольку каждое число делится без остатка на единицу и на себя самое, греки, которые с удовольствием решали всякие головоломки, связанные с множителями, просто отбрасывали эти два множителя. Что же может быть в них интересного, если такие множители есть у всех чисел? (Кроме того, теперь мы можем сказать, что у каждого числа есть отрицательные множители. Например, у числа 60 — это -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20 и -30. Но грекам отрицательные числа не были известны, и, кроме того, эти отрицательные сомножители фактически не дают нам никакой новой информации, поэтому эти сомножители мы также не будем рассматривать.)

Если у числа 60 10 сомножителей, то его соседям по числовой оси не так повезло. Например, у числа 58 только 2 сомножителя, 2 и 29, у числа 62 — 2 и 31. Независимо от того, сколько сомножителей имеет данное число, если такие сомножители существуют, такое число называется составным, поскольку его можно составить из других, меньших чисел, перемноженных между собой. Так, число 58 — это 2 × 29, а число 62 — это 2 × 31.

Число 60 более сложное, поскольку у него несколько сомножителей. Его можно представить как 2 × 30, но и число 30 является составным, и его можно представить как 2 × 15, причем 15 также составное число, равное 3 × 5. Таким образом, мы имеем 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Мы не делали никаких попыток разбить на множители числа 2, 3 и 5. Да это и невозможно. Таким же числом, у которого нет других сомножителей, кроме единицы и себя самого, является 29 и 31. Другими словами, мы с вами убедились, что существуют числа, которые невозможно разделить без остатка на другие сомножители, кроме единицы и самого числа.

Числа, которые невозможно разбить на сомножители, называются простыми числами, в отличие от составных чисел, которые на множители разбить можно. Люди часто видят в числах какой-то мистический смысл, и с этой точки зрения могло бы показаться, что именно простые числа появились первыми, ведь любые составные числа получаются при перемножении простых чисел. Скажем, после того, как появились числа 2, 3 и 5, можно составить число 60, равное 2 × 2 × 3 × 5.

Может показаться, что если мы пойдем вверх по числовой оси, то возможность найти следующее простое число уменьшается и в конце концов какое-то простое число станет самым большим возможным простым числом. Но это не соответствует действительности. Еще 2200 лет тому назад греческий математик Эвклид доказал, что не существует такого сколь угодно большого простого числа, для которого нельзя было бы найти еще большее. То есть самого большого простого числа в принципе не существует.

Как я уже говорил, греки любили разгадывать разные числовые головоломки и выискивать закономерности. Например, они вычисляли суммы сомножителей, на этот раз включая единицу, для разных чисел и смотрели, что же получается. Они выяснили, что суммы сомножителей могут быть меньше, Или больше самого числа, или равны самому числу. Например, сумма сомножителей 10 (1, 2 и 5) равна только 8. Число 10 называется неполным числом. Сумма сомножителей числа 12 (1, 2, 3, 4 и 6) равна 16, то есть она больше самого числа. Такие числа, как 12, называются избыточными.

Сумма сомножителей числа 6 (1, 2 и 3) равна самому числу, то же самое относится и к числу 28 (1, 2, 4, и 7). Такие числа греки называли совершенными.

Есть еще одна забавная закономерность. Сумма сомножителей числа 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110) равна 284, и в то же время сумма сомножителей числа 284 (1, 2, 4, 71, 142) равна 220. Такие числа греки называли содружественными числами.

Разделение чисел на простые, совершенные, содружественные и так далее не имеет большой практической ценности, но в течение тысячелетий числовые закономерности вызывали восторг и любопытство математиков. Интерес к ним не угас и в наши дни.

До сих пор мы с вами имели дело с обычными числами, при помощи которых можно пересчитывать различные объекты: 1, 2, 3… Очень часто нам и не требуются другие числа.

Например, подобным числом может быть определено количество мальчиков в классной комнате. В комнате может быть 4 мальчика, 5 мальчиков или другое число мальчиков. В любом случае это будет вполне определенное число. Но вы никак не можете заявить: «Ну, я все тщательно подсчитал, и выяснилось, что в комнате больше чем 4 мальчика, но меньше чем 5. Я думаю, их какое-то промежуточное число, между 4 и 5».

Если вы считаете какие-то объекты, то между 4 и 5 для вас нет никаких других чисел. В комнате либо 4 мальчика, либо 5, но нет никакого промежуточного числа. Если в комнату, где уже находится 5 мальчиков, войдет еще 1, то в комнате окажется б мальчиков, причем ровно 6, а не около б или чуточку больше 6.

Однако если вы поинтересуетесь, сколько времени мальчики посвятили занятиям, вы можете получить приблизительный ответ: «Они занимались больше одного часа, я не уверен, но, по-моему, меньше двух часов».

В данном случае ответ не лишен смысла, поскольку существует отрезок времени, больший одного часа, но меньший двух часов. Время — это то, что измеряют, а не пересчитывают.

Пересчет и измерение — это разные процессы. При пересчете вы имеете дело с отдельными, или дискретными объектами. Те числа, которые мы с вами изучали в начале книжки, также являются отдельными, или дискретными, и они хорошо соответствуют дискретным объектам. При рассмотрении дискретных объектов нам и не нужны никакие другие числа.

Если же нам приходится измерять что- либо, что не состоит из отдельных объектов, задача сразу же усложняется. Теперь мы имеем дело с протяженностью, или с континуумом, то есть с продолжительностью времени какого-то процесса или длиной какой-нибудь линии.

Обычные дискретные числа не соответствуют протяженным величинам, и их нельзя использовать для измерения таких величин, не рискуя допустить неточность.

Для того чтобы избежать такого несоответствия, следует вставить в ряд дискретных чисел какие-то промежуточные числа. Когда мы это сделаем, числа 1, 2, 3, 4… становятся только малой частью бесконечной системы, которая соответствует таким понятиям, как время, длина, или любому другому континууму.

Со следующей главы мы начнем изучать такие числа, выясним их происхождение и освоим правила расчетов при помощи таких чисел.