Числа: от арифметики до высшей математики

Глава 5 РАЗБИВАЕМ НА ДЕСЯТКИ

Продолжаем разбираться с дробями. Мы уже выяснили, как умножать и делить дроби на целые числа. А как умножить дробь на дробь или разделить дробь на дробь?

Предположим, нам надо разделить- на 2

части. Все три третьих части вместе составят единицу. Если каждую из этих частей разделить пополам, получим частей, которые вместе также составляют 1. Поскольку каждая из этих меньших частей составляет одну шестую, мы можем утверждать, что одна вторая от одной третьей равна одной шестой. Рассуждая таким же образом, мы можем показать, что одна вторая от одной четвертой равна одной восьмой, а одна третья от одной четвертой — соответственно одной двенадцатой.

Действия с дробями удобно записывать в такой форме:

1/3 × 1/2 = 1/6; 1/4 × 1/2 = 1/8; 1/3 × 1/4 = 1/12.

Мы используем знак «×», поскольку правильный ответ мы получаем при перемножении знаменателей. А как обстоит дело с числителями? На первый взгляд кажется, что числитель не изменяется, но ведь 1 × 1 = 1. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, надо выяснить, как обстоит дело с дробями, числитель которых отличается от 1. Предположим, нам надо разделить 10 на пять равных частей. Каждая часть будет равна одной пятой от 10. Поскольку 10 : 5 = 2, следовательно, одна пятая часть от десяти составляет 2. Выражение «одна пятая от десяти» записывается как 1/5 × 10. Теперь попробуем представить это выражение в виде дроби. Во первых, 1/5 может быть преобразована в 2/10, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. Затем 10 можно представить как 10/1, умножить числитель и знаменатель на 3 и получить 30/3.

Теперь мы можем сказать, что 1/5 × 10 — это то же самое, что 2/10 × 30/3. Теперь, если мы перемножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, то получим 2 × 30/10 × 3, то есть 60/30, или 2, а это именно тот ответ, который мы ожидали получить.

Рассмотрим другой пример. Предположим, при перемножении 1/3 × 1/2 мы перевели дроби в 4/12 и 6/12, умножив числитель и знаменатель соответственно на 4 и на 6. Теперь мы имеем: 4/12 × 6/12 равно 24/144, если при перемножении мы следуем схеме «числитель × числитель», «знаменатель × знаменатель». Теперь разделим числитель и знаменатель ответа, 24/144, на 24 и получим 1/6, то есть тот ответ, который мы считаем верным результатом при перемножении 1/3 × 1/2.

Точно так же проводят операции деления. Числитель делимого делят на числитель делителя, а знаменатель делимого — на знаменатель делителя. 10/21 : 5/7 = (10 : 5) : (21 : 7), или 2/3, но здесь могут возникнуть осложнения. Что делать в одном или обоих случаях, если деление нацело невозможно? Тогда может оказаться, что и числитель, и знаменатель будут представлять собой дроби, то есть мы получим дроби внутри дробей.

К счастью, такого деления можно избежать.

Давайте вернемся к нашей предыдущей задаче, когда мы делили 10 на 5 равных частей. Мы получили ответ 2 в обоих случаях, то есть 10 : 5 и 10 × 1/5. Число 5 можно представить в виде дроби 5/1, а эту дробь можно рассматривать как перевернутую дробь 1/5. Такие дроби, то есть две дроби, у которых числитель первой равен знаменателю второй и, наоборот, знаменатель первой дроби равен числителю второй, называют обратными. Очевидно, 5/1 — это перевернутая дробь 1/5, то есть дроби 1/5 и 5/1 являются обратными, точно так же обратными являются дроби 2/3 и 3/2; дроби 55/26 и 26/55 и так далее. Далее, если мы утверждаем, что при делении 10 : 5 мы получаем тот же результат, что и при умножении 10 × 1/5, это означает, в свою очередь, что при делении на данное число мы получаем такой же результат, как и при умножении на число, обратное данному. (Обратите внимание, что только делитель можно заменять на обратное число, к делимому это не относится.) Раньше мы с вами уже убедились, что 10/21 : 5/7 = 2/3. Предположим, вместо деления мы провели умножение на обратную дробь: 10/21 × 7/5 = 70/105. Теперь разделим числитель и знаменатель этой дроби на 35. Мы получим 2/3, то есть именно тот результат, который и ожидали получить.

Теперь мы можем поделить 5/7 на 2/3, не опасаясь получить дроби внутри дробей, поскольку вместо деления мы проведем умножение на обратную дробь.

5/7 : 2/3 = 5/7 × 3/2 и получим ответ 15/14.

При перемножении дробей следует помнить, что порядок, в котором перемножаются дроби, не имеет значения. Например, 10/21 × 7/5 — это то же самое, что 10/5 × 7/21. В первом случае мы получаем ответ 10 × 7/21 × 5, а во втором — 10 × 7/5 × 21, наконец, в обоих случаях мы получаем результат 70/105, или (после деления на 35) 2/3.

Следует отметить, что второй вариант удобнее. В первом варианте дроби 10/21 и 7/5 невозможно сократить, во втором варианте дроби 10/5 и 7/21 легко сокращаются. 10/5 — это 2/1, а 7/21 — это 1/3, таким образом, выражение 10/5 × 7/21 преобразовалось в 2/1 × 2/3.

Удобнее работать с меньшими числами, поэтому обычно числитель и знаменатель дроби делят на одно и то же число, не делая никаких перестановок.

Например, в примере 7/10 × 17/49 можно разделить числитель одной дроби и знаменатель другой на одно и то же число (7). Тогда выражение упрощается и приобретает вид: 1/10 × 17/7. Такой пример решается гораздо легче, ответ 17/70, причем, разумеется, каким бы методом мы его ни решали, он не изменяется. Но второй способ, с привлечением сокращения дробей, значительно легче. Прием «сокращения» дробей при перемножении настолько удобен, что многие ученики пытаются внедрить его и при сложении. Но в этом случае прием не работает.

Сумма дробей 7/10 + 17/49 — это совсем не то же самое, что 1/10 + 17/7.

Сумма первого выражения равна 513/490, а второго — 1239/490.

Трудность заключается в том, что при сложении необходимо привести дроби к общему знаменателю. В данном случае это можно сделать, умножив числитель и знаменатель первой дроби на 49, а числитель и знаменатель второй дроби — на 10. Тогда мы получим 343/490 + 170/490.

Как только вы привели дроби к общему знаменателю, сокращение дроби теряет всякий смысл, потому что оно приведет к тому, что знаменатели дробей опять будут различаться, то есть сложение становится невозможным. Так что при сложении дробей советую вам забыть о сокращении.

Надо сказать, что с дробями не всегда удобно работать. Как бы ни записали дробь, 1 1/2, или 1¹/₂, она нарушает стройность и логичность позиционной записи чисел.

Скажем, число 3143³/₄ можно расписать при помощи позиционных величин. Это три тысячи плюс одна сотня плюс четыре десятка плюс три единицы и плюс три четвертых. Пока мы не добрались до этой злополучной дроби, все было логично. При переходе слева направо каждая следующая позиция равна одной десятой предыдущей. Другими словами, 1000 × 1/10 = 100; 100 × 1/10 = 10; 10 × 1/10 =1.

Все прекрасно, но почему нужно останавливаться на единице? Почему бы не продолжить этот ряд дальше направо, в область, меньшую единицы?

Он будет выглядеть вот так: 1 × 1/10 =1/10; 1/10 × 1/10 = 1/100; 1/100 × 1/10 = 1/1000 и так далее. Таким образом, если продлим позиционный ряд в область чисел, меньших единицы, мы получим десятые, сотые, тысячные и так далее.

Теперь рассмотрим дробь 1/2. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае на 5, величина дроби при этом не изменится. В результате получим 1/2 = 5/10. Это означает, что число, подобное 55¹/₂, можно представить в виде 55⁵/₁₀, или 55,5, или пятьдесят пять целых и пять десятых. Мы опять получили позиционное число, но теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,5 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс пять десятых.

Рассмотрим еще одну дробь, 3/4. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае уже на 25, и при этом величина дроби не изменится. В результате получим 3/4 = 75/100, или 70/100 + 5/100, или 7/10 + 5/100. Это означает, что число подобное 55³/₄, можно представить в виде 55⁷⁵/₁₀₀, или 55,75, или пятьдесят пять целых и семьдесят пять сотых. Мы опять получили позиционное число, и теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,75 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс семь десятых плюс пять сотых.

Дроби, представленные в виде определенного количества десятых, или сотых, или тысячных и так далее, то есть в виде позиционного числа, называются десятичными. Запятая, отделяющая целую часть от дробной, называется десятичной запятой.

Десятичную дробь, меньшую единицы, можно было бы записать как 7. Но существует реальная возможность того, что в процессе вычислений знак запятой потеряется и дробь превратится в целое число. Поэтому выбрали такую форму записи, когда отсутствующая целая часть заменяется нулем, и наша дробь приобретает вид 0,7 (то есть ноль единиц плюс семь десятых, но можно сказать просто семь десятых). Кроме того, 7/10 можно записать как 0,70, или 0,700, или 0,7000, или 0,700000000000. Добавление сотого, тысячного, десятитысячного и так далее знаков после последнего значащего числа в десятичной дроби не изменяет ее величины.

Основное преимущество десятичных дробей заключается в том, что сложение и вычитание можно производить, не думая о дробной части, и оперировать с дробным числом как с целым. Можно воспользоваться и счетами. Для этого ряд единиц надо расположить посередине счетов, вверх идут ряды десятков, сотен, тысяч и так далее, а вниз десятые, сотые, тысячные и так далее. На таких счетах можно складывать и вычитать и сотни, и сотые, и тысячи, и тысячные и так далее.

Те же правила справедливы при подсчетах на бумаге. Предположим, надо сложить 1¹/₂ + 1³/₄, сохраняя выражение в обычных дробях. Сначала надо привести дроби к виду 3/2 + 7/4, затем приводим их к общему знаменателю 6/4 + 7/4, что равно 13/4, или 31/4.

А теперь проведем сложение в десятичных дробях.

1¹/₂ = 1,5, а 1³/₄ = 1,75.

Проведем сложение в столбик:

Обратите внимание, мы записали число 1,5 в виде 1,50 потому, что у второго числа есть значащая цифра в разряде сотых. Если мы этого не сделаем, то возникает опасность ошибки из за неправильной записи:

В десятичных дробях мы получили ответ 3,25, или 3 плюс 2/10 плюс 5/100. Если теперь провести сложение, мы получим 3¹/₄, то есть тот ответ, который мы признали правильным.

На практике нет никакой необходимости перескакивать от десятичных дробей к обычным дробям. Освоив однажды действия с десятичными дробями, вы сможете с их помощью проводить все расчеты быстро и относительно легко.

Примером того, насколько удобна и эффективна десятеричная система, является американская денежная система. Она является десятеричной по своей природе. Рассмотрим ее, начиная с самых мелких монет, давно вышедших из обращения. 10 милей равны 1 центу, 10 центов равны 1 дайму, 10 даймов равны 1 доллару, 10 долларов равны одному иглу. (На самом деле ни мили, ни иглы практически не используются, но нам сейчас важен принцип.) Иглом (или орлом) раньше называли золотую монету номиналом в 10 долларов, которую чеканили в Соединенных Штатах. Название монета получила благодаря орлу, символу страны, изображенному на реверсе. В Великобритании золотая монета называлась совереном, поскольку на ней было изображение монарха, суверена. Сейчас золотые монеты вышли из обращения, и названия «игл» и «соверен» также постепенно забываются. А раньше имели хождение не только иглы, но и двойные иглы (20 долларов золотом), половинки иглов (5 долларов золотом) и четвертинки иглов (2,5 доллара золотом).

Десятеричная система распространяется на большие суммы. Так, единица С-ноут — это 100 долларов, а гранд — 1000 долларов.

Благодаря такой системе все денежные суммы можно всегда расписать в виде десятичных дробей. Если у вас в кармане 13,26 доллара, значит, вы имеете 1 десятидолларовый банкнот, 3 банкнота по 1 доллару, 2 десятых доллара, то есть 2 дайма, и 6 сотых доллара, то есть 6 центов.

Но, возможно, у вас другие купюры и монеты. Например, 1 пятидолларовая купюра, 1 купюра в 2 доллара, одна однодолларовая купюра, 5 полудолларов, 9 монет по четверти доллара, 4 дайма, 2 никеля и 1 пенни. Однако номиналы всех этих странных монет всегда записываются в виде десятичных дробей. Полдоллара никогда не записывается как $1/2, а только как $0,5. Четверть доллара всегда записывается как $0,25; дайм как $0,10, никель как $0,05 и, наконец, пенни как $0,01.

(Можно записывать номиналы не в долларах, а в центах, но и в этом случае десятеричная система сохраняется.)

Мы все так привыкли к удобству десятеричной системы при денежных операциях, что уже не задумываемся об этом. Однако такая система существовала не всегда. Старая британская денежная система была основана на других принципах. Самой мелкой монетой был фартинг, 4 фартинга составляли 1 пенни, 12 пенсов составляли 1 шиллинг, а 20 шиллингов — 1 фунт. Англичанам приходилось нелегко, когда надо было заниматься денежными подсчетами. Как сложить 4 фунта, 8 шиллингов, 2 пенса и 15 фунтов, 19 шиллингов и 11 пенсов? (Ответ составит 20 фунтов, 8 шиллингов, 1 пенни, но я не собираюсь объяснять, как я подсчитал эту сумму). В свое время британским школьникам приходилось тратить уйму времени для того, чтобы научиться оперировать с денежными единицами. В то же время американские школьники начинали легко осваивать арифметику, как только к ним в руки попадали первые монетки.

Однако и в Америке достаточно бессмыслицы в том, что касается единиц измерения, правда, не денежных, а единиц измерения длины, веса и объема. Большинство стран мира, за исключением Соединенных Штатов и еще нескольких государств, уже давно перешло на метрическую систему мер и весов, принятую еще в 1791 году во Франции.

Метрическая система является десятеричной. Рассмотрим для примера единицы длины. Основная единица длины в метрической системе — это метр (который равен 39,37 дюйма). От этой единицы и получила название вся система. (Слово «метр» пришло к нам из латыни (metrum), где оно означает «измерять». Приставки для различных единиц длины, о которых я расскажу ниже, также пришли из латыни и греческого. Греческие приставки используют для обозначения единиц, больших метра (дека — десять, гекто — сто и кило — тысяча), а латинские — для единиц, меньше метра (деци, санти и милли — это соответственно десять, сто и тысяча).

Десять метров составляют декаметр, десять декаметров — один гектометр, а десять гектометров — один километр. Можно пойти в сторону уменьшения. Одна десятая часть метра — это один дециметр, одна десятая часть дециметра — это один сантиметр, а одна десятая часть сантиметра — это один миллиметр.

Это означает, что если какое-то расстояние равно 2 километрам, 5 гектометрам, 1 декаметру, 7 метрам, 8 дециметрам, 2 сантиметрам и 9 миллиметрам, значит, это расстояние равно 2517,829 метра. С такими мерами просто проводить любые вычисления. Скажем, если у вас есть два объекта, один длиной 2 метра, 8 дециметров и 9 сантиметров, а другой длиной 5 метров, 5 дециметров и 5 сантиметров, то общая длина двух объектов составит 2,89 + 5,55 или 8,44 метра, или, что то же самое, 8 метров, 4 дециметра и 4 сантиметра.

А теперь давайте сравним эту систему с английской и американской системой измерения длины. Основная единица в этой системе — дюйм. 12 дюймов составляют 1 фут. 3 фута составляют 1 ярд. 51½ ярда составляет один род, 40 родов равны 1 ферлонгу, а 8 ферлонгов — это 1 миля. Это, разумеется, слишком сложно, и роды и ферлонги в наши дни практически не используются. Было принято, что 1760 ярдов (5½ × 40 × 8) составляют 1 милю. Попробуйте ка теперь подсчитать, чему будет равняться сумма 1 мили и 1632 ярдов плюс 2 мили и 854 ярда. Ответ: 4 мили и 762 ярда. Интересно, догадаетесь ли вы, как я получил эту сумму и сможете ли повторить мои расчеты.

Теперь перейдем к более мелким единицам. Попробуем сложить 3 ярда 2 фута 8 дюймов и 5 ярдов 2 фута и 7 дюймов. Ответ: 9 ярдов 2 фута и 3 дюйма. Как я это сосчитал?

Американским школьникам приходится тратить уйму времени на то, чтобы научиться обращаться с этим разнообразием единиц измерения. А ведь, помимо единиц длины, есть еще единицы объема, веса, площади, и каждая из этих систем измерения включает массу сложных и бессмысленных элементов. Разумеется, школьники никогда толком и не знают всех этих единиц и соотношений между ними.

Детям в России гораздо легче. У нас принята метрическая система, с которой нет никаких хлопот.

Почему же в Соединенных Штатах и Великобритании не переходят на удобную метрическую систему мер? Во-первых, в наши дни это потребует значительных капиталовложений, поскольку все станки, инструменты и системы конструирования придется переводить на новую систему измерений. Но основное препятствие — это приверженность традициям. Люди неохотно отказываются от привычных стереотипов, и для того, чтобы склонить их на сторону новой системы, потребовались бы принудительные меры со стороны правительства. А британцы и американцы не привыкли к принуждению. Это тоже традиция.

В то же время и британские, и американские ученые уже давно перешли на метрическую систему. Причем в Америке ее иногда применяют самым неожиданным образом. Например, когда экономистам и банковским работникам приходится проводить операции с большими суммами денег, они шутливо называют их «килобаксами» (слово «бакс», обозначающее доллар, пришло в разговорную речь из сленга игроков в покер). Миллионы баксов аналогично называют «мегабаксами». (Греческое слово «мега» означает «большой». В метрической системе это слово обозначает миллион.)

Я думаю, вы согласитесь со мной в том, что система десятичных дробей подобна раю на земле, особенно если ее сравнить с системой обычных дробей. Но как у любого рая на земле есть оборотная сторона, так и у системы десятичных дробей есть свои недостатки. Например, необходимо очень тщательно следить за положением десятичной запятой.

Например, рассмотрим пример умножения: 0,2 × 0,2.

Вы можете попробовать решить этот пример по аналогии со сложением: 2 + 2 = 4, также 2 × 2 = 4, тогда, поскольку 0,2 + 0,2 = 0,4. Возможно, и 0,2 × 0,2 = 0,4?

Нет, этого не может быть, и я сейчас докажу вам это.

Перейдем обратно к обыкновенным дробям, с которыми мы научились так хорошо обращаться. 0,2 = 2/10. Теперь перемножим дроби по старой методике: 2/10 × 2/10 = 4/100 (числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель). А 4/100 в десятичных дробях — это 0,04. Следовательно, 0,2 × 0,2 отнюдь не равно 0,4. 0,2 × 0,2 = = 0,04. Мы можем решить еще несколько примеров на умножение десятичных дробей, заменяя их на эквиваленты в обычных дробях. Например: 0,82 × 0,21 = 0,1772, а 0,82 × 2,1 = 1,772. (Это можно проверить следующим образом:

82/100 × 21/100 = 1722/10000, а 82/100 × 21/10 = 1722/1000.)

Теперь мы можем сформулировать общее правило: при перемножении десятичных дробей количество цифр справа от десятичной запятой в ответе равно общему количеству цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах.

Так, при умножении 0,2 × 0,2 общее количество цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах равно 2, и это означает, что 0,2 × 0,2 = 0,04 (ноль справа от десятичной запятой также является значащей цифрой).

Естественно, что если один из сомножителей является целым числом, то он не влияет на положение десятичной запятой. Положение десятичной запятой в произведении будет таким же, как и в том сомножителе, который является десятичной дробью.

То есть 0,2 × 2 = 0,4; 1,5 × 5 = 7,5; а 1,1 × 154 = 169,4.

Эти результаты соответствуют правилу умножения, и в любом случае количество цифр справа от десятичной запятой в ответе равно общему количеству цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах.

Определить положение десятичной запятой в случае деления можно по аналогичной методике, действуя в обратном порядке. Но обычно при делении процедуру стараются упростить и приводят делитель или знаменатель (если деление проводят с помощью обычных дробей) к виду целого числа, не содержащего значащих чисел справа после запятой.

Предположим, нам надо 1,82 разделить на 0,2. Это выражение можно записать как 1,82/0,2. Не изменяя величины дроби, умножаем числитель и знаменатель на 10. Тогда 1,82 × 10 (в соответствии с правилом определения положения десятичного знака) равно 18,20, или 18,2, поскольку ноль, стоящий справа после последней значащей цифры, не изменяет величины числа и, следовательно, его можно опустить. Точно так же 0,2 × 10 = 2,0, или просто 2 (поскольку 2 плюс ноль десятых равно 2).

Следовательно, дробь можно записать как 18,2/2, и теперь знаменатель является целым числом, следовательно, при делении положение десятичного знака после запятой не меняется, так же как и в случае деления. Раз в числителе одна значащая цифра справа после запятой, то и результат должен иметь одну значащую цифру справа после запятой, то есть 18,2/2 =9,1.

Освоив деление десятичных дробей, мы сможем переводить обычные дроби в десятичные. Предположим, нам нужно найти десятичный эквивалент для 1/40. Мы можем представить эту дробь в виде 1,000/40, а затем произвести деление. Поскольку мы делим на целое число, то положение десятичной запятой не меняется. Проведем деление:

Таким образом, мы показали, что десятичный эквивалент 1/40 равен 0,025. Это можно проверить, переведя 0,025 в обычную дробь.

0,025 = 2/100 + 5/1000, или 20/1000 + 5/1000, или 25/1000, или если произвести деление, то получим 1/40, как мы и предполагали.

Вернемся к примерам умножения на 10. В предыдущих параграфах мы умножали 1,82 на 10 и получили 18,2. Обратите внимание, что умножение на 10 фактически просто сводится к тому, что мы перемещаем знак десятичной запятой на единицу вправо. Точно так же умножение на 100 сводится к перемещению знака десятичной запятой на две единицы вправо, а умножение на 1000 — соответственно на три единицы. В этом вы легко сможете убедиться самостоятельно.

Деление на 10 сводится к действию, обратному умножению, в данном случае к перемещению знака десятичной запятой на одну единицу влево, деление на 100 — на две единицы влево, а деление на 1000 — соответственно на три единицы влево.

Поскольку 1,82 : 10 согласно правилу обратных дробей равно также 1,82 × 0,1, что, в свою очередь, равно 0,182. Такой же ответ мы бы получили, если бы согласно правилу перемещения десятичной запятой передвинули запятую на один знак влево.

Поскольку умножение или деление на 10 приводит просто к сдвигу положения десятичной запятой, удобно перейти к процентам.

Давно стало привычным, что люди или организации, которые предоставляют деньги в долг, получают обратно помимо одолженной суммы определенную добавочную сумму в оплату за предоставление кредита. Эта сумма получила название «процент».

Эта сумма предоставляется в качестве компенсации за то, что кредитор остается на какое то время без своих денег, кроме того, она является компенсацией риска не получить своих денег назад. Например, частное лицо или организация могут попросить 6 долларов годовых процентов за каждые одолженные 100 долларов.

Поскольку очень часто эти «проценты» вычисляются из расчета на каждые 100 долларов (слово «процент» пришло к нам из латинского языка, где «per cent» означает «на сотню»).

Обычно при подсчете доходов, наценок и комиссионных, а также многих других параметров используют проценты.

Один процент — это фактически 1 доллар на каждые 100, то есть 1/100. Чтобы найти один процент от любого числа, нужно передвинуть положение десятичной запятой на две единицы влево. Так, 1 процент от 1350 долларов равен 13,50 доллара. Сумма, составляющая 6 процентов от 1350, должна равняться 6 × (1/100) × 1350 = 6 × 13,50, или 81,00.

Десять процентов комиссионных составляют 10/100 от исходного числа, то есть 1/10. В этом случае десятичная запятая передвигается на один знак влево. А 10 процентов комиссионных составят 135 долларов.

Иногда при подсчетах процентов возникают некоторые проблемы. Например, 1 процент комиссионных от суммы 675,37 доллара составит 6,7537 доллара. Для практических целей не нужно больше двух знаков после десятичной запятой, и остальные цифры округляются. После округления комиссионные равны 6,75. Все эти соотношения хорошо работают при десятичной денежной системе. Для старой британской денежной системы процентные исчисления не очень удобны. Не очень просто найти 10 процентов от 135 фунтов 10 шиллингов. По моим подсчетам, это 13 фунтов 11 шиллингов, попробуйте сосчитать и вы.

Десятичные дроби без конца

В десятичной системе возникает много серьезных проблем и помимо определения положения десятичного знака. Дело в том, что некоторые дроби невозможно представить в виде обычных десятичных эквивалентов.

Рассмотрим, например, 1/3. Попробуем представить ее в виде десятичной дроби. Для того чтобы вычислить соответствующую десятичную дробь, надо записать 1/3 как 1,000000000/3 и провести деление следующим образом:

Нет смысла продолжать деление дальше, вы уже убедились, что его можно продолжать бесконечно.

Десятичный эквивалент для 1/3 — это 0,3333333333… и так далее.

В качестве следующего примера возьмем дробь 1/7. Представим ее в виде 1,00000000/7 и проведем деление. (Эту операцию я полностью доверяю читателю.) Получаем следующий десятичный эквивалент:

1/7 = 0,142857142857142857142857… и так далее. Обращаю ваше внимание на то, что десятичным эквивалентом 1/7 является бесконечная периодическая десятичная дробь. Десятичный эквивалент является бесконечной дробью как в случае 1/3, так и в случае 1/7, но в случае 1/3 мы имеем бесконечное повторение цифры 3, а в случае 1/7 — бесконечное повторение последовательности цифр 142857.

Это примеры периодических десятичных дробей.

По существу, все десятичные дроби можно рассматривать как бесконечные периодические, поскольку в конце любой конечной десятичной дроби можно поставить бесконечное количество нулей и ее значение при этом не изменится. Например, десятичный эквивалент ½ равен 0,5.

Но это число можно представить в виде 0,5000000000000 с бесконечно повторяющимся нулем.

Иногда бесконечно повторяющуюся цифру в периодической десятичной дроби обозначают точкой, поставленной сверху. Так, 1/3 можно обозначить как , а у как . Если периодически повторяется группа чисел, ее заключают в скобки и точку ставят над одной из цифр этой группы. Так,

1/7 = 0,(142857).

Действительно, любую дробь можно представить в виде бесконечного десятичного эквивалента (даже если этой бесконечно повторяющейся цифрой будет 0), и, наоборот, любая бесконечная периодическая дробь может быть представлена в виде конечной недесятичной дроби, то есть в виде соотношения целых чисел.

У вас, конечно, возник вопрос: а как оперировать с бесконечными периодическими десятичными дробями при арифметических действиях. Можно, например, использовать недесятичный эквивалент, скажем, вместо 0,333333… использовать 1/3. Но при решении сложных научных и инженерных задач, как ни странно, бесконечные периодические десятичные дроби не создают никаких затруднений. Однако существуют другие сложные в обращении, но необходимые при решении серьезных проблем числа, и о них я вам расскажу в следующих главах.