Ферма. Великая теорема Ферма

ГЛАВА 1 Теорема, которую доказывали 350 лет

Несмотря на свою кажущуюся простоту, Последняя теорема Ферма мучила самых лучших математиков в мире не больше и не меньше, чем 350 лет. Раз за разом они пытались доказать ее и всегда терпели неудачу, пока в конце XX века одному британскому математику не удалось сделать то, что до тех пор казалось невозможным.

Представим себе на мгновение: человек с длинными волосами, ссутулившийся, склоняется при свете свечи над экземпляром «Арифметики» греческого математика Диофанта Александрийского (ок. 214 — ок. 298). Прочитав одну из его теорем, он немного размышляет, улыбается, смачивает перо и на полях книги пишет фразу на латыни. Делает паузу, снова берет перо и добавляет: «[...] cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hone margnis exiguitas non caperet». To есть: «[...] я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы записать его».

Очевидно, вскоре этот человек пошел спать. На следующий день его ждали срочные дела в парламенте. Мы не знаем, сколько раз он вспоминал об этой маленькой записи. Возможно, он так и не вернулся к мысли о ней. Мог ли он подумать, что его немногочисленные слова породят одну из самых страстных одиссей в истории математики и что в течение веков они будут мучить самые блистательные умы в мире? Маловероятно. Пьер де Ферма — главное действующее лицо описанной нами сцены — увлекался играми и головоломками, но вряд ли той ночью он предвидел, что создал самую знаменитую математическую загадку всех времен.

Действительно, потомки узнали о ней, можно сказать, чудом. В виде личной заметки на полях книги она могла просто исчезнуть наряду с другими более или менее многочисленными тривиальными мелочами в жизни. Но эта пометка пережила своего автора, ее открыли и напечатали, и она превратилась в царицу задач, которые, казалось, невозможно решить. Мир продолжал вращаться. В эпоху Ферма Францией правил кардинал Ришелье, что описано Александром Дюма в бессмертных "Трех мушкетерах", в то время как король предавался развлечениям. Ришелье умер; Франция прошла через ряд восстаний, известных как Фронда; был Король-Солнце, а затем Просвещение, Революция, бурный XIX век и еще более драматичный XX век. И пока текла история, теорема, которую Ферма, по его словам, доказал, оставалась по-прежнему недоказанной, выдерживая все атаки, все попытки раскрыть ее тайну: это доказательство, которое не помещалось на полях, также не находило места и в умах самых великих математиков.

Ускорим наше повествование. Сейчас мы в 1993 году, в мире компьютеров. Распался СССР. Еще не существует социальных сетей, но есть их предок под названием юзнет, на который были подписаны только люди, связанные с академическим миром, — их абсурдно мало по сравнению с современными пользователями различных социальных сетей. Вдруг эта первоначальная сеть, обычно сонная, начала кипеть от возбуждения. Сообщения следовали друг за другом как молнии, сопровождаемые терминами, которые неспециалист не мог бы понять: модулярные функции, эллиптические кривые, группы Галуа, теория Ивасавы, гипотеза Таниямы-Симуры.

Постепенно в сети складывалась картина того, что произошло. Эндрю Уайлс, британский математик, специалист в области эллиптических кривых, прочитал в Институте Исаака Ньютона в Кембридже три лекции, в течение которых он постепенно, терпеливо, применив драматическое искусство, достойное Лоуренса Оливье, подводил слушателей к неизбежному результату.

В течение нескольких лет Уайлс работал секретно, как алхимик, не делясь ни с кем не то что результатами, но даже темой своего проекта. Он не хотел, чтобы кто-нибудь забрал его славу решения одной из самых сложных проблем в мире математики.

Хотя и ходили какие-то слухи в виде электронных писем, когда какой-нибудь коллега спрашивал его о содержании лекций, он ограничивался тем, что улыбался и отвечал: "Приходи на лекции и увидишь".

Такая таинственность подстегивала любопытство. Итак, аудитория из 200 человек, состоящая из опытных специалистов и некоторых докторантов, кипела с каждой проходящей минутой. Когда Уайлс объявил о лекциях, он хорошо постарался спрятать проект под внешне безобидным названием. Однако по мере того как он продвигался в изложении, ученые начинали понимать, о чем идет речь. Они писали электронные письма в паузах между лекциями, находясь в ожидании того, что, как они себе представляли, должно было произойти. В гробовом молчании аудитории докладчик заполнял доску за доской сложнейшей математикой. Наконец, Уайлс написал еще несколько строчек, дополняющих доказательство, сделал драматическую паузу и нацарапал то, что утверждается в Последней теореме Ферма. Улыбаясь, он повернулся к публике и сказал: "Думаю, что остановлюсь здесь".

Защелкали фотоаппараты, начались овации, аплодисменты. Одна из самых сложных проблем в мире (она же — одна из самых старых нерешенных задач) в конце концов пала под натиском систематической атаки блестящего математика, который более десятилетия работал один. Но как это возможно? Неужели Уайлс открыл доказательство Ферма? Нет, история намного сложнее. На самом деле аплодисменты были преждевременными: в доказательстве Уайлса содержалась роковая ошибка. Самоизоляция сыграла с ним плохую шутку: поскольку ученый не делился своими достижениями, никто не смог указать ему на это. А в математике только одна ошибка, только один ложный шаг делает непригодным все доказательство: оно разваливается, как карточный домик, из которого убрали лишь одну из карт. Так что сокрушенному Уайлсу пришлось вернуться в кабинет и продолжить работу, чтобы получить неопровержимое доказательство, которое ему наконец удалось опубликовать в 1994 году. Но оставим на некоторое время Уайлса в момент его наивысшей славы.

Пора вернуться к Ферма и ознакомиться с его последней теоремой. Вывод, который математик записал на латыни на небольших полях книги, был следующим:

"Невозможно записать куб в виде суммы двух кубов или четвертую степень в виде суммы двух четвертых степеней, и в целом любое число, являющееся степенью больше двух, не может быть записано в виде суммы двух степеней того же уровня".

В современной алгебраической записи эта теорема утверждает, что уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ при n > 2 не имеет натуральных решений; то есть не существует натуральных чисел и которые соответствуют заданному условию: иметь кубическую (или большую) степень, которая была бы суммой двух кубических степеней (или больших того же уровня).

Теорема Ферма применяется исключительно к натуральным числам (тем, с помощью которых мы считаем предметы: 1, 2,3,... и так до бесконечности); хотя в оригинальном высказывании автор не сформулировал данного условия открыто, это понятно из контекста.

Геометрическое представление теоремы Пифагора.

Стоит спросить, почему Ферма говорит только о показателях степени больше двух. Ответ прост. Для случая n = 1 мы имеем тривиальное высказывание: действительно, любое натуральное число, большее единицы, может быть выражено в виде суммы двух других чисел (необязательно различающихся между собой). Если n = 2, мы сталкиваемся с известнейшей теоремой Пифагора (см. рисунок), выраженной в алгебраической форме: x² + у² = z².

У этого уравнения не существует решений для любых натуральных чисел; но все-таки какие-то решения найти можно. Первое из них — это x = 3, у = 4 и z = 5:

3² + 4² = 9 + 16 - 25 = 5².

Другой пример — это х = 5, у = 12 и z = 13; еще один: х = 65, у = 72 и z = 97. Можно доказать, что существует бесконечное количество множеств из трех натуральных чисел, выполняющих данное требование; такие множества известны как пифагоровы тройки.

Итак, Ферма утверждал, что если заменить показатель степени, равный двум, на больший, то не существует тройки натуральных чисел, при которых такое уравнение было бы истинным и которую мы могли бы назвать "тройкой Ферма". При таком определении Последняя теорема Ферма равносильна утверждению, что не существует троек Ферма.

Несложно представить себе, как математик получил этот результат. Он некоторое время анализировал пифагоровы тройки и их свойства. Речь идет о записи квадрата в виде суммы двух квадратов так, чтобы все используемые числа были натуральными. Разумно предположить: поставив перед собой эту проблему, Ферма также задался вопросом, что произойдет, если вместо квадратов использовать кубы, четвертые степени и так далее. В конце концов, одной из самых естественных тенденций для математика является поиск обобщенного результата или, по крайней мере, исследование возможных обобщений.

Понять поставленную задачу довольно просто, и хотя уже половина ее решения заключается в этом понимании, вторая половина, в случае теоремы Ферма, сформулированной в 1637 году, чрезвычайно сложна. Почему? Чтобы попытаться ответить на данный вопрос, нужно совершить "небольшое" путешествие в прошлое, примерно за 2100 лет до Ферма, во времена Пифагора, — не только из-за связей, которые имеются у Великой теоремы с пифагоровыми тройками.

Вернемся к началу времени математики для понимания природы математического доказательства. Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 495 до н.э.) — полулегендарный персонаж. Почти все документы, касающиеся этого ученого, которые дошли до нас, были созданы через несколько веков после его смерти, и поскольку последователи разве что не обожествляли Пифагора, значительная часть сведений о нем — это коллекция мифов. Так же как легенда по имени Гомер положила начало западной литературе, легенда по имени Пифагор основала математику.

Одно известно точно: Пифагор не формулировал теорему, которая носит его имя. Египтяне и вавилоняне знали и применяли ее, но они пользовались ею как инструкцией. Они неоднократно проверили ее на практике и убедились в ее истинности. Говоря современным языком, египтяне и вавилоняне использовали математику эмпирически: если они систематически убеждались, что результат верен, они обобщали его и думали, что он верен всегда. Это известно как индуктивное рассуждение. Когда мы находим действующую инструкцию, мы применяем ее, даже если и не понимаем, почему она работает.

Однако то, что сделал Пифагор, было действительно революционно: он пришел к убеждению, что эмпирических инструкций недостаточно и что требуется строгое доказательство их правоты. Фалес Милетский (ок. 630-545 до н. э.), отец философии, уже занимался выведениями доказательств, но Пифагор превратил поиск математического доказательства в систематическую программу. Он сделал нечто удивительное: пришел к выводу, что инструкция может быть доказана для всех случаев дедуктивно, с помощью правил логики, чтобы стать вечной, безупречной истиной, которую невозможно оспорить. Эмпиризму он противопоставил разум. Так, доказательство, основанное на логических правилах и образованное рядом шагов, которые любой может рассмотреть и понять, лучше, чем миллион экспериментов.

Насколько известно, Пифагор был первым, кто подумал о том, что такие доказательства не только возможны, но и достижимы систематически.

Возьмем два квадрата одинаковой площади со стороной а + b и разделим их, как показано на рисунке. Очевидно, что площадь каждого из квадратов равна (а + b)², но ее можно выразить и другим способом. В квадрате слева общая площадь равна сумме площадей двух квадратов со сторонами b и а и площадей четырех треугольников со сторонами а и b, то есть

1/2 · ab

для каждого из них. Следовательно, общая площадь первого квадрата равна

A₁ = a² + b² + 4(1/2 · ab)

Площадь второго квадрата равна сумме площади вписанного квадрата со стороной с и площадей четырех треугольников со сторонами а и b:

A₂ = c² + 4(1/2 · ab).

Так как А₁ и А₂ равны, то

a² + b² + 4(1/2 · ab) = c² + 4(1/2 · ab).

И, после сокращения уравнения:

а²+b²=с².

Это типичный пример геометрического доказательства, поскольку для него необходимо построить различные геометрические фигуры внутри квадратов.

Поэтому он заслуживает титула отца математики. Все амбиции математической науки, одной из самых плодотворных в интеллектуальной истории человечества, выразил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своем "Wir mussen wissen. Wir werden wissen" ("Мы должны знать. Мы будем знать!") во втором десятилетии XX века.

Пифагор или кто-то из его школы доказал теорему, носящую его имя, так что уже невозможно сомневаться в ее истинности. Данная теорема дает нам неизменное правило. В случае с прямоугольным треугольником это отношение всегда будет выполняться. Пифагор очень высоко поднял планку для последующих поколений: уже недостаточно было найти правило, проверить его на практике много раз и признать его истинным. Теперь в математике требовалось его доказывать. И хотя в некоторых случаях это чрезвычайно сложно, подход Пифагора оказался таким плодотворным, что математики, несмотря на все трудности, не готовы отказываться от него.

В течение нескольких веков греки следовали принципам Пифагора и стремились к строгому доказательству своих результатов. Но геометр, который жил при Птолемее I (367-283 до н. э.), военачальнике Александра Великого и царе Египта, пошел еще дальше. Речь идет о Евклиде (ок. 325-265 до н. э.), который не довольствовался тем, чтобы доказывать отдельные результаты, а амбициозно захотел собрать все математическое знание своего времени в одну систему.

Евклид понял, что любое доказательство основывается на предыдущих результатах, которые, в свою очередь, были доказаны ранее. Но данный процесс не может длиться до бесконечности — нужно исходить из некоторых истин, которые считаются очевидными. Их Евклид называл аксиомами. Также должны существовать четкие определения используемых элементов; в геометрии, например, это точки, линии, треугольники, круги и так далее. На этой основе Евклид создал единую систему, в которой доказанные и предполагаемые результаты (в последнем случае — аксиомы) служат основой для доказательства других результатов. В отличие от аксиом, эти новые результаты, требующие доказательства, получили название теорем.

Повторяя эту операцию снова и снова, мы можем построить математическую теорию, похожую на дерево, на котором с помощью небольшого количества корней можно породить потенциально бесконечное количество веток и листьев. Какие- то из них более важны (более крепкие и плодородные в своем потенциале создания новых ветвей), чем другие, но все они одинаково истинные.

Рассказывают, что Птолемей I потребовал у Евклида обучить его математике, при этом не желая тратить много сил и времени. Он хотел, чтобы ученый упростил свои объяснения, на что тот ответил:

"Ваше Величество, то, о чем Вы меня просите, невозможно; необходимо пережить и пройти через все необходимые шаги, чтобы понять науку. Не существует царской дороги в математику".

Невозможно преувеличить важность евклидовой геометрии. Практически все последующие поколения математиков использовали ее в качестве отправной точки. Сегодня любой математик, предлагающий новую теорию (или пытающийся переформулировать существующую), пользуется системой Евклида. До самого XX века его книга — знаменитые "Начала" — была самой популярной после Библии и считалась отправной точкой и необходимым объектом изучения в университетах.

Но несмотря на невероятные результаты, некоторые нюансы деятельности Пифагора и школы, которую он основал, сегодня могут показаться неприемлемыми. Пифагорейцы представляли собой что-то вроде тайной религии или секты и, возможно, не сильно отличались от других секретных древнегреческих обществ, например элевсинских или орфических мистерий. Так же как и посвященные элевсинцы, пифагорейцы не могли открывать природу своей деятельности.

Пифагорейский мистицизм был тесно связан с идеей того, что число — это сущность природы. Но под числом пифагорейцы понимали не совсем то же, что и мы. Для них числа были только натуральными и теми, что могут быть выражены в виде частного натуральных (3/4,5/8 и так далее): множество рациональных положительных чисел.

Конечно, пифагорейцы умели измерять геометрические длины. Верные своей мистической вере в числовую сущность природы, они были уверены, что любую длину можно выразить рациональным положительным числом. Они ожидали, что геометрия будет открывать природу, подобно любой естественной науке или музыкальной гармонии, также открытой ими.

И тут произошла катастрофа. Согласно легенде, один из учеников Пифагора доказал, что гипотенуза прямоугольного треугольника не является числом в том смысле, который назначали этому понятию пифагорейцы. Как ни удивительно, речь шла о самым простом прямоугольном треугольнике, у которого два катета имеют длину, равную единице, — о треугольнике не только прямоугольном, но и равнобедренном. Действительно, в данном случае гипотенуза, согласно собственно теореме Пифагора, равна √2.

Но √2 нельзя выразить в виде рационального положительного числа! Это то, что мы сегодня называем иррациональным числом, так как его нельзя выразить в виде отношения между двумя натуральными числами. Именно это, как говорит легенда, доказал Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), строптивый ученик, за что его (или за то, что он открыл миру свое доказательство), как говорят, утопили в море рядом с Кротоной. Здесь мы видим типичный случай доказательства от противного, в котором предполагается противоположное тому, что нужно доказать, и, в свою очередь, доказывается, что это предположение приводит к неразрешимому противоречию с уже доказанной истиной. Это один из самых мощных способов доказательства в математике, при котором, как говорил британский ученый Годфри Харди (1877-1947), математик рискует сильнее, чем любой шахматист с его гамбитом: он рискует всей игрой.

Интеллектуальная гордость пифагорейцев перенесла тяжелейший удар: мир, по-видимому, не был основан на числе как основной сущности. Пифагорейцам не пришло в голову, что достаточно пересмотреть их ограниченное понятие числа, чтобы решить дилемму. Но это объяснимо; на заре математики для пифагорейцев было невозможно принять то, что им казалось невыразимым. В конце концов, они были вынуждены провести различие между величиной и числом, между длинами, измеряемыми в геометрии, и числами, выражаемыми арифметически. Так, обе дисциплины начали отдаляться друг от друга, и только работы ученых XVI и XVII веков Франсуа Виета, Ферма и Рене Декарта смогли воссоединить их.

Представим, что число √2 рационально. Тогда его можно выразить в виде отношения двух целых чисел: √2 =p/q. Мы можем предположить, что предыдущее отношение несократимо, то есть его нельзя упростить еще больше, или, что то же самое, р и q не имеют общих делителей. Итак, из предыдущего выражения следует, что 2 = p²/q². Следовательно, p² — четное. Но если целое число в квадрате четное, то и само число, p, тоже четное (поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный). Следовательно, мы можем записать p = 2k и 4k² = 2q², или 2k² = q². То есть q² также четное, и q тоже. Но это противоречит гипотезе о том, что у p и q нет общих делителей! Следовательно, одна из наших гипотез ложная. Это не может быть гипотеза о том, что отношение несократимо; то есть ложно предположение о том, что √2 — рациональное число.

Эпоха Возрождения привела к настоящему пробуждению интеллектуальной математической деятельности. В течение же всего Средневековья сложно найти выдающиеся математические достижения в Европе; они встречались только в мусульманском мире. Но постепенное знакомство с греческими текстами, которые были сохранены арабами, в сочетании с оригинальным вкладом исламских ученых, вызвали у первых математиков XVI века беспрецедентную активность.

Никколо Фонтана (1499-1557), по прозвищу Тарталья, и Джироламо Кардано (1501-1576) были одними из самых знаменитых ренетов. Детство Тартальи нельзя назвать безоблачным: у него не было отца, он рос в нищете, а при завоевании Брешии французский солдат нанес ему рану, затронувшую челюсть и нёбо, из-за чего он не мог нормально разговаривать. Отсюда его прозвище, означающее "заика". Кардано, знаменитый врач, алгебраист и великий инженер, потерял сына, поскольку не смог заплатить компенсацию, которая требовалась, чтобы того не казнили. Случилось так, что итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526) нашел решение кубических уравнений, которое держал в секрете ото всех, кроме своих самых близких учеников. Один из них, А.М. Фиоре, вызвал Тарталью в 1535 году на математическое соревнование. Работая в усиленном темпе, Тарталья нашел собственное решение, более общее, чем у дель Ферро. Это позволило ему застать Фиоре врасплох, решить все задачи с кубическими уравнениями, которые тот ему предлагал, и, в свою очередь, выиграть у него, предложив ему задачи, которые Фиоре не смог решить. Кардано узнал об этом состязании и постарался расположить к себе Тарталью, который в итоге показал ему решение, потребовав хранить его в секрете. Но Кардано узнал также решение дель Ферро и, думая, что это освобождает его от необходимости хранить секрет, опубликовал результат Тартальи в "Великом искусстве", большом трактате по алгебре.

Никколо Фонтана Тарталья.

Джироламо Кардано.

Очень рано произошло разделение этой науки. С одной стороны были геометры, которые пытались понять и дополнить результаты греков. Следует иметь в виду, что хотя и сохранилось несколько книг, многие из них погибли при различных исторических обстоятельствах, произошедших между эпохой эллинизма и Возрождения — в период, охватывающий около 2000 лет. Среди этих событий примечательно разрушение (или несколько разрушений) Александрийской библиотеки. Итак, математики эпохи Возрождения, убежденные в том, что потеряли огромную массу знаний, пытались заполнить бреши, которые история проделала в трудах Евклида, Архимеда, Диофанта, Птолемея и Аполлония. Они исповедовали греческий метод: строгие и красивые геометрические доказательства.

Однако в то же время другие математики, называемые ренетами, занимались решением более или менее практических задач. Их нанимали торговцы, хотя часто они также участвовали в состязаниях, на которых задавали друг другу задачи, требующие решения. Эти математики были первыми алгебраистами и исповедовали прагматический подход: строгость, совершенство и красота доказательства интересовали их меньше, чем эффективность их методов. В какой-то степени они были наследниками египтян и вавилонян. С одной стороны, благодаря деятельности ренетов уменьшилась значимость идеи доказательства, а с другой стороны, они культивировали традицию засекречивания знаний, в отличие от греков-постпифагорейцев, публиковавших свои результаты подобно тому, как это делается сегодня.

Итак, мы провели краткий обзор истории математики, чтобы исследовать природу доказательства согласно различным математическим традициям, от Пифагора до Возрождения. Данные традиции колеблются между секретностью и открытостью, строгостью и прагматизмом. Именно в этой питательной среде противоположных тенденций Ферма занимался своей работой. Французский математик и юрист жил в эпоху, когда закладывались основы современной математики: она во многом базировалась на древних традициях, но в то же время представляла нечто абсолютно новое, и Ферма сыграл немалую роль в зарождении этой науки.

Следует указать, что вся научная деятельность, как со стороны новых наследников греческой математики, так и со стороны ренетов, происходила практически полностью за пределами устаревших университетских заведений того времени, погруженных в тяжелую средневековую традицию. В этих университетах даже не существовало, собственно, кафедр математики. Не было ни профессоров, ни четкого списка дисциплин, которые должен был посещать каждый студент.

Сегодня для того чтобы стать математиком, нужно пройти несколько курсов и дисциплин, а также заниматься научной деятельностью под контролем компетентного руководителя. Ничего подобного не существовало в XVI и XVII веках. Один из самых великих историков математики, шотландец Эрик Темпл Белл (1883-1960), назвал Ферма "принцем любителей", но дело в том, что в то время все были в той или иной степени любителями. Немногие математики добивались финансирования своих исследований меценатами: большинство занимались другим делом и посвящали науке свое свободное время.

Так мы дошли до первого года XVII века. Пьер де Ферма родился 20 августа 1601 года. Его отец Доминик был процветающим торговцем, кожевником из Бомон-де-Ломани, поселка недалеко от Тулузы. Ферма чувствовал себя немного иностранцем, потому что в то время исторический центр Франции находился на севере и существовало недоверие к "гасконцам" — южным людям, таким как знаменитый д’Артаньян. Француз Рене Декарт (1596-1650), родившийся тоже во Франции, в Турени, использовал южное происхождение Ферма в качестве оскорбления своего соперника в математике. Ферма же, наоборот, озвучивал его с гордостью.

Его мать, Клер, относилась к тем, кого в дореволюционной Франции называли "дворянством мантии". Очень примечателен тот факт, что Ферма посвятил себя судейской должности: деньги отца-буржуа и связи семьи матери прочили молодому Пьеру карьеру адвоката.

Очень мало известно о его личной жизни в целом и еще меньше — о его детстве и отрочестве. У него был брат, Клеман, который также посвятил себя адвокатской деятельности, и две сестры, Луиза и Мария. Все указывает на то, что детство и юношеские годы Ферма спокойно протекали в Бомоне, где, возможно, он получил образование у монахов-кордельеров из монастыря Грансельв.

Пьер начал изучать право в университете Тулузы до переезда в Бордо во второй половине 1620-х. Очень вероятно, что его математическое образование началось в Бордо, хотя не осталось никаких свидетельств того, предшествовал ли его интерес к этой дисциплине переезду в новый город, причины которого неясны. Есть мнение, будто Ферма выбрал Бордо именно для того, чтобы изучать математику, воспользовавшись чем-то вроде академического отпуска: он отошел от права для занятий тем, что было его страстью в течение всей жизни. Поскольку в этом городе было намного больше возможностей для изучения данной науки, чем в Тулузе, такое объяснение нельзя отбрасывать.

В Бордо занимался математическими исследованиями Франсуа Виет (1540-1603), также известный под своим латинизированным именем Францискус Виета. У нас будет возможность более глубоко исследовать его работу, но пока достаточно сказать, что он стал основателем символической алгебры. Его труды имели огромную важность, но, возможно, по географическим причинам, из-за отдаленности провинциального города от центра Франции, а также из-за отсутствия средств обмена научной информацией в то время, когда Ферма жил в Бордо, революционная работа Виета была практически неизвестна вне кружка его прямых учеников.

Ферма не встречался с Виетом, ушедшим из жизни, когда ему исполнилось два года, но познакомился с одним из его

учеников, Жаном де Бограном (ок. 1584-1640), который был его другом и коллегой до самой смерти. Дело в том, что уже в 1629 году, в возрасте 28 лет, Ферма впервые продемонстрировал свой математический талант, послав Бограну экземпляр своей реконструкции потерянной работы греческого геометра Аполлония Пергского (ок. 262-190 до н. э.) De locis plants, то есть "0 плоских геометрических местах". Значительная часть деятельности математиков XVI и XVII веков заключалась в попытках восстановить потерянные античные работы, основываясь на упоминаниях других математиков. Одним из главных источников были труды Палпа Александрийского (290-350), жившего через несколько веков после большинства математиков, о которых он писал. Действительно, Папп опубликовал около 400 теорем, взятых из работ классиков, которые он еще мог прочесть. И хотя не все их работы дожили до Возрождения, потерянные при поджоге Александрийской библиотеки и других подобных обстоятельствах, по крайней мере оставались эти небольшие обломки, отдельные камни, оставленные Паппом, способные в некоторой степени дать представление обо всей славе математических зданий античности.

После обучения в Бордо Ферма поступил в университет Орлеана. Там он в 1631 году получил степень лиценциата гражданского права, после чего, как было принято в то время, выкупил пост советника парламента Тулузы у вдовы предыдущего владельца этой должности, Пьера де Каррьера. Как следствие, благодаря своей мантии Ферма получил дворянство, которое позволило ему добавлять частицу "де" к своему имени: Пьер де Ферма. Кстати, то, что Ферма смог внести значительную сумму за должность (43500 фунтов), доказывает: его финансовое положение было весьма неплохим, каковым оно и оставалось в течение всей его жизни.

В дореволюционной Франции парламенты играли значительную политическую роль в качестве противовесов королю, который пытался насадить абсолютную власть. В частности, парламент Тулузы был королевской привилегией населению, которое жаловалось на удаленность от Парижа и на то, что особенности местного права в Лангедоке игнорируются в столице.

Пьер де Ферма начал изучать право в университете Тулузы и, проведя шесть лет в Бордо, во второй половине 1620-х годов, окончил изучение права в университете Орлеана в 1631 году.

Знаменитая фраза, записанная Ферма на полях страницы экземпляра •Арифметики· Диофанта, в которой после изложения теоремы греческого математика можно было прочесть: ·[...] я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы записать его·. Речь шла о Великой теореме Ферма.

Следует вспомнить бурную эпоху, в которой жил Ферма. Это были времена Людовика XIII, слабого и своенравного, и его властного министра, кардинала Ришелье. Не так много времени прошло с тех пор, как был убит король Генрих IV, гугенот, который обратился в католичество, потому что, по его словам, "Париж стоил мессы"; тогда Пьер был восьмилетним ребенком. Суровые религиозные войны между католиками и протестантами, закончившиеся вскоре после принятия Нантского эдикта (1598), провозгласившего терпимость к обоим вероисповеданиям, также были недавним прошлым. На самом деле Ришелье все еще воевал с протестантами в Ла-Рошели, не очень далеко от Бордо (данный эпизод описан Дюма в "Трех мушкетерах"). Кстати, в этой осаде участвовал и Рене Декарт. Кроме того, на жизнь Ферма пришлись Тридцатилетняя война (один из самых драматичных эпизодов в истории Европы, который по жестокости и страданиям гражданского населения может сравниться только с двумя мировыми войнами) и Фронда (восстания против Мазарини, когда деспотизм регентши Людовика XIV столкнул ее с парламентами и с частью провинциального дворянства).

Однако жизнь Ферма можно назвать спокойной. Он жил в эпоху великих событий, но политически не участвовал ни в одном из них. Нам даже не известны его политические взгляды. Через несколько месяцев после окончания университета Ферма женился на троюродной сестре со стороны матери, Луизе де Лонг. У четы было пятеро детей: Клеман-Самюэль, Жан, Клер, Катрин и Луиза. Первенец унаследовал должность отца и затем передал ее по наследству своему сыну. Жан стал архидьяконом, Клер вышла замуж и родила двух дочерей, ставших монахинями. Больше почти ничего не известно, но эти наброски позволяют нам представить размеренную буржуазную жизнь, без чрезмерных беспокойств, что удивительно с учетом бурной политической истории эпохи. Похоже, общественные потрясения почти не коснулись Ферма, несмотря на то что в течение своей судебной карьеры он занимал очень важные должности, которые, благодаря исторической оппозиции парламента Тулузы центральной власти, почти обязательно должны были поместить его в центр сложных политических конфликтов.

Парламенты были судебными, а не законодательными органами. Их отменили во время Французской революции, но в свое время они были большим противовесом королевскому абсолютизму. Следовательно, в течение всей своей профессиональной карьеры Ферма не только занимался правосудием, но также выступал посредником между противоположными политическими интересами. В частности, в Нантском эдикте было распоряжение об основании палат, в которых были бы представлены и защищаемы права обеих конфессий — католической и гугенотской.

В Кастре, городе недалеко от Тулузы, бастионе протестантов, Ферма был членом одной из этих палат с 1632 года, когда ему исполнился 31 год. Можно предположить существование здесь значительных конфликтов, но ничего подобного не видно по переписке Ферма, а она является практически единственным источником информации о его жизни. Некоторые биографы усматривают в этом неприятие им полемик и столкновений, а также, возможно, причину его увлечения математикой, которое отнимало у него много времени: наука помогала Ферма избегать конфликтов и противоречий его профессиональной жизни.

Действительно, мало в каких областях знания может быть столько уверенности и так невелико пространство для сомнений, как в математике. Есть глубокая ирония в том, что Ферма как раз жил в ту эпоху, когда из-за молодости этой дисциплины дебаты по ее поводу происходили на каждом шагу, а поскольку он был одним из самых ярких мыслителей века, то был неизбежно втянут в них, что было ему крайне неприятно.

Возвращаясь к описанию фактов из жизни ученого, отметим, что он всю жизнь поддерживал тесную связь со своим родным городом, Бомоном, в котором Ферма несколько раз был председателем Генерального совета. Однако представляется очевидным, что он мало путешествовал, проводя время между Тулузой, Кастром и Бомоном с редкими поездками в Бордо.

Кроме своих знакомых в Бордо, некоторых математиков из Тулузы и англичанина Кенельма Дигби, Ферма лично не был знаком почти ни с кем из своих коллег: практически все его общение с ними осуществлялось по переписке. Его жизнь в сравнении с бурной жизнью его соперника Декарта, который участвовал в Тридцатилетней войне, объехал пол-Европы и побывал при различных дворах, казалась мирной, буржуазной и провинциальной. Математика была для него секретным убежищем, когда, уставший от политических конфронтаций и грустных приговоров, Ферма скрывался у себя дома, чтобы почитать, поразмышлять, создавая новые миры и иногда сообщая о них своим корреспондентам.

Действительно, ученый писал сотни писем, в которых детально раскрывал свои открытия, бросал вызов противникам или ввязывался в полемику. Главным его корреспондентом был монах ордена минимов Марен Мерсенн (1588-1648), страстный поклонник математики: благодаря ей он переписывался с большинством мыслителей того времени.

Тогда еще не было научных журналов, и их заменял Мерсенн, который был чем-то вроде эпистолярного центра, получавшего результаты от одних ученых и сообщавшего их другим. Хотя личный математический талант Мерсенна никогда не был выдающимся, его огромная заслуга состояла в способности понять, кто из его современников является великим ученым и какова важность его результатов. Кроме того, безусловно, очень ценными были созданные им "мосты", связывающие более или менее изолированных друг от друга любителей. Без Мерсенна Ферма остался бы никому не известной личностью, находившей отдых в математике в одиночестве своего кабинета. Однако именно благодаря монаху, который поделился его открытиями, математическая слава Ферма распространилась по всей Европе. Мерсенн жил в Париже и тесно общался с группой парижских математиков, среди которых выделялся Этьен Паскаль, отец Блеза. Участники этой группы сначала собирались в доме у кого-нибудь из них, а затем в келье самого Мерсенна, имевшего к тому времени уже 180 корреспондентов, живущих по всей Европе.

Мерсенн обожал полемику и наслаждался, сталкивая своих корреспондентов и участников группы между собой. Он твердо верил в то, что с помощью данного метода выявляется истина. Часто монах даже без разрешения делился с другими корреспондентами письмами, которые ему присылали конфиденциально, что вызывало немало недовольства. Для Мерсенна важнее верности и доверия своих корреспондентов было то, чтобы математические идеи распространялись публично и пылко отстаивались. Это убеждение стоило ему дружбы с Декартом. Впоследствии Французская академия наук была создана на основе данной группы ученых, объединившихся вокруг Мерсенна.

Марен Мерсенн познакомился с Ферма через друга последнего, Пьера де Каркави. Об этом сообщает сам Каркави в первом послании, которое он отправил Мерсенну 26 апреля 1636 года, начав тем самым плодотворную переписку. Каркави тоже был математиком-любителем. Он переехал в Париж из Тулузы в качестве королевского библиотекаря и не упустил возможности поговорить с деятельным монахом о математическом гении Ферма. В любом случае Ферма виделся с Мерсенном лично только один раз — в Бордо в 1654 году, когда тот возвращался в Париж после долгой поездки по Европе. Похоже, так протекала вся жизнь Ферма — между судейской должностью, позволявшей ему зарабатывать на хлеб своей семье, и тайной страстью к науке, которая сжигала его, когда ему не нужно было носить мантию. Можно сказать, что ученый обеспечивал свою жизнь с помощью права и зарабатывал бессмертие с помощью математики.

Насколько известно, Ферма серьезно болел только во время чумы 1652-1653 годов. Его положение было настолько критичным, что один из друзей ученого, Бернар Медон, объявил о его смерти своему голландскому корреспонденту Николасу Хейнсиусу. Через некоторое время Медон опроверг сам себя и сообщил Хейнсиусу счастливую новость о том, что Ферма все еще пребывает в числе живых. Любопытно, но чума даже помогла его карьере. Поскольку рост в судебной системе определялся строгой шкалой должностей, смерть многих юристов в эти мрачные годы быстро подняла Ферма в списке, так что он стал судьей высшего суда парламента, который рассматривал уголовные дела. В этой должности ему однажды пришлось приговорить к сожжению изгнанного священника, "злоупотреблявшего своими полномочиями", что привело его к сильнейшей депрессии, которая несколько недель мешала ему заниматься математикой.

Другой стороной деятельности Ферма, связанной с его профессией, был прием ходатайств подданных Короны, не имевших право действовать напрямую; они должны были проходить через такого советника, как Ферма, которого им нужно было убедить в целесообразности своего ходатайства. Согласно некоторым источникам, ученый выполнял эту функцию с сочувствием и добротой.

У нас есть достоверное свидетельство того, что ученый являлся представителем парламента Тулузы по связям с могущественным канцлером Пьером Сегье. Пост канцлера был одним из самых значимых во Франции, сегодня он соответствует посту министра юстиции. В частной петиции Ферма просил Сегье, чтобы жителей Аквитании освободили от уплаты некоего налога, поскольку, согласно аргументам ученого, любая попытка собрать его силой неизбежно приведет к нежелательным гражданским волнениям.

Как бы то ни было, создается впечатление, что карьера парламентария никогда не представляла для Ферма большого интереса. Сам он при случае признавался Мерсенну в своих опасениях, что особого назначения, запрошенного им у Сегье, не будет из-за провала его "деятельности в Кастре", о которой нет других сведений. Несколькими годами позже управляющий Лангедоком написал отчет знаменитому министру Жану-Батисту Кольберу, высказывая свое мнение о президенте парламента, прямом руководителе Ферма, и о его советниках. Он отозвался о главном герое этой книги как о судье не очень лестно:

"Ферма, человек большой эрудиции, имеет контакты с учеными по всему миру. Но он обычно очень занят [своей эрудицией]; он нехорошо ведет свои дела и часто путается. Он не входит в число друзей президента".

Таким образом, Ферма предстает перед нами как сдержанный, почти застенчивый человек. Он был склонен к компромиссам до такой степени, что, с одной стороны, находился на высочайшей должности в учреждении, открыто противостоявшем Короне, а с другой — имел хорошие отношения с королевским двором.

Черты замкнутого характера Ферма решительно повлияли на его научную карьеру. Как рассказывает один из главных его биографов, Майкл Шон Махони, его математическая переписка лишена самовлюбленности, которая характеризует Рене Декарта или Джона Уоллиса. Мерсенну он признавался, что не ищет славы и "лишен амбиций". Возможно, это было не совсем так. Ясно, что Ферма гордился своей карьерой в судебном деле и высокими постами, до которых он дослужился; точно так же он ожидал признания и за свой вклад в математику. Тем не менее его амбиции были в каком-то смысле скромными. Ферма было достаточно признания своих коллег, а не славы среди широкой публики: когда он не получил этого признания, то отреагировал довольно болезненно, разочарованный безразличием и враждебностью некоторых своих современников.

Данная особенность его личности ("самый ленивый из людей" — говорит он Мерсенну о себе), возможно, объясняет, почему Ферма никогда в жизни не публиковался под своим именем и почему он, насколько это было возможно, избегал того, чтобы приводить доказательства результатов, о которых объявлял в своей переписке.

Традиция секретности в математике зародилась еще в пифагорейской школе; но если у подобной закрытости в античности имелись мистические корни, то реисты продолжили ее из прагматических соображений. Это был эквивалент современной защиты авторских прав.

Со своей стороны Мерсенн боролся именно против такой секретности, пересылая письма, которые были адресованы ему. Твердо убежденный в том, что только дебаты вызовут прогресс в математике, монах ордена минимов в Париже заложил эту новую традицию, пытаясь убедить своих корреспондентов в необходимости открывать свои тайны. Но несмотря на дар убеждения, ему так и не удалось уговорить Ферма опубликовать официальную работу. Мерсенна и членов его кружка Ферма, должно быть, сводил с ума: блестящий математик, он выдавал результаты по капле, не приводя в большинстве случаев доказательств своих теорем.

Несколько раз Ферма пользовался этой секретностью, которой так дорожили реисты, и бросал вызов соперникам, предлагая им решить задачу, которую он сам уже решил. Подобный вид игр и загадок, казалось, доставлял ему большое удовольствие, особенно когда, как случалось не единожды, соперничество превращалось в откровенную вражду. Итак, Ферма ограничивался тем, что частично объяснял свои идеи в письмах, которые посылал главным образом Мерсенну, и иногда делился докладами и маленькими рукописными трактатами. При жизни была опубликована только одна его книга, в качестве приложения к другой и под псевдонимом. Скрытность математика разочаровывала многих его друзей. Медон просил Хейнсиуса воспользоваться своим положением и убедить саму королеву Швеции Кристину повлиять на Ферма, чтобы тот опубликовался. Однако Мерсенн, Жиль де Роберваль, Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс потерпели в этом поражение.

Отказ ученого, возможно, также был вызван огромным количеством работы, которую потребовало бы строгое формулирование результатов. Ферма был человеком с огромной математической интуицией, и часто собственные небольшие заметки убеждали его в том, что он прав. Превращение этих заметок в формальное доказательство, согласно стандартам греческой геометрии, предполагало больший труд, отнимающий много времени, которым Ферма не хотел жертвовать. Он работал для себя; его доказательства, частичные или полные, предназначались для личного пользования. Подобно шахматисту, угадывающему, как сделать мат в пять ходов, Ферма в доказательстве доходил только до того места, которое считал необходимым.

Его заметки были просто напоминаниями для самого себя, ключами, благодаря которым перед ним снова представала идея, возникшая как раз перед тем, как он ее вкратце записал.

Но есть и другая причина, о которой мы поговорим позже, когда расскажем о том, как Ферма развил наследие Виета.

Как бы то ни было, убеждение остальных в правильности своих результатов не входило в круг его интересов. Ученый думал, что другие смогут воспроизвести его рассуждения, а если не смогут — тем хуже для них. В любом случае попытки убеждать были бы, судя по всему, потерей его ограниченного времени: Ферма предпочитал посвятить его поиску новых результатов, а не доказательству того, что и так выглядело очевидным.

[Если возникнет] любая часть моей работы, которая будет достойна публикации, я отказываюсь от того, чтобы в ней появлялось мое имя.

Ферма в письме Робервллю, 1637 год

Его собственная профессиональная карьера способствовала такому отношению, поскольку не давала ему достаточно досуга для занятий математикой. Так, вся научная жизнь Ферма характеризуется результатами, о которых он объявлял очень осторожно, едва намеченными идеями, никогда не доведенными до завершения, презрением к заполнению пробелов и деталям, а также отсутствием доказательств. Вкратце его методы можно назвать полнейшей противоположностью тому, чем занимался Евклид с его систематическим и строгим подходом и выверенными доказательствами, которые имели огромное значение для поколений математиков. В этом смысле Ферма был намного ближе к реистской традиции, чем к античной строгости.

Все эти записки, наброски и беспорядочные бумаги привел в порядок, систематизировал и опубликовал (по крайней мере все, что смог найти и осмыслить) его наследник, первенец Клеман-Самюэль. Он унаследовал не только должности отца, но и, по крайней мере частично, страсть к математике.

Помимо прочего, в 1670 году сын опубликовал комментарии к Диофанту, собрав все пометки отца на полях. Именно так до нас дошла знаменитая теорема, которая явно была просто пометкой, сделанной Ферма для себя самого. Он никогда ни с кем не делился ею целиком; единственное оставшееся свидетельство о ней — заметка на полях, которую Клеман-Самюэль, верный памяти отца, расшифровал и посмертно опубликовал.

Ферма обсуждал частные результаты теоремы; но общая формулировка, в том виде, в каком она появляется в его случайной записи, почти точно затерялась бы.

Судьба научной работы иногда зависит от воли некоего человека, который сочтет, что она важна. И таким волоском в случае Ферма стала любовь Клемана-Самюэля к своему отцу и к памяти о нем.

Итак, мы, наконец, пришли к этому полю, на котором Ферма записал свою дьявольскую теорему. "Я нашел, — утверждает он, — этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы записать его".

Любопытно, что в течение веков всегда говорили о Великой теореме Ферма. В математике любой недоказанный результат известен как предположение, или гипотеза. Так, у нас есть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха и до недавнего времени у нас была гипотеза Пуанкаре, которая, после того как была доказана, превратилась в теорему Пуанкаре — Перельмана. Дело в том, что только доказанные результаты заслуживают звания теоремы.

Но по какой-то причине утверждение Ферма всегда было известно как теорема; возможно, потому что другие утверждения ученого были постепенно доказаны и оставалось только последнее. Следовательно, теореме Ферма понадобилось 350 лет, чтобы оправдать свое название.