Ферма. Великая теорема Ферма

ГЛАВА 6 Вероятность и принцип Ферма

Вклад Ферма в математику не исчерпывается большими областями, о которых мы говорили до этого момента, — теорией чисел, а также аналитической геометрией и анализом. Наряду с Паскалем он также стоял у истоков теории вероятностей. Свои же последние годы ученый посвятил полемике с Декартом вокруг оптики.

Говорить о "законах случая", на первый взгляд, нелепо. Как случай, который по определению непредсказуем, может иметь законы? Если сегодня, в разгаре XXI века, это понятие кажется нам удивительным, то во времена Ферма оно было невообразимым. Но такие законы существуют, и Ферма сыграл важную роль в их изучении по инициативе Блеза Паскаля.

Как обычно, все началось с одной задачи. Блез Паскаль, отец которого был одним из парижских корреспондентов Ферма, членом кружка Мерсенна, обратился к Ферма в 1654 году. Он напомнил тому о дружбе с его покойным родителем и поставил перед ним задачу. К тому времени Ферма в течение нескольких лет ни с кем не переписывался. Но в 1650-х годах он взялся за науку с новыми силами. Ясно, что этого не могло произойти, если бы он не работал скрыто все это время, хотя смерть Бограна, Декарта, Этьена Паскаля и особенно Мерсенна, а также его профессиональные обязанности, не говоря о чуме и бурном политическом климате Фронды, держали Ферма в глубокой изоляции, которую, наконец, пробило письмо Паскаля.

Паскаль познакомился с неким Антуаном Гомбо, шевалье де Мере, настоящим шулером. На основе эмпирических наблюдений тот вывел некоторые правила того, когда следует и не следует делать ставки. Шевалье поставил перед Паскалем задачу, основанную на так называемой игре очков, в которой человек ставит на то, что сможет получить определенный результат: например, число шесть при бросках игральных костей за N попыток, скажем за восемь, как это было в примере Гомбо.

Блез Паскаль (1623-1662), родившийся в Клермоне, во Франции, был гением. В 12 лет юноша представил своему отцу Этьену доказательство того, что сумма углов любого треугольника равна 180°. То есть он доказал одну из основных теорем •Начал· Евклида — книги, о которой мальчик не знал... Впечатленный Этьен лично занялся его образованием. В юношеском возрасте Блез создал механическую вычислительную машину с целью помочь своему отцу в утомительных расчетах, связанных со службой. Когда Этьен получил травму, Блез нанял для ухода за ним двух молодых людей, исповедовавших янсенизм — течение в католической церкви, которому противостояли иезуиты. Ученый обратился в янсенизм, отдавшись крайне суровой религиозной практике, но через некоторое время вернулся к своим исследованиям. Блез Паскаль осуществил важные исследования в области гидростатики и конических сечений, но тем не менее продолжал уделять внимание религии. Его самым известным открытием является треугольник, носящий его имя.

Суть в том, что делается ставка определенного размера, а затем бросают кости либо до тех пор, пока не будут использованы все восемь бросков, а шестерка не выпадет (что означает проигрыш), либо пока не выпадет шестерка, в случае чего бросающий кости выигрывает. Вопрос, который Гомбо задал Паскалю, был следующим: что произойдет, если прервать игру до окончания, скажем после трех бросков? Как разделить ставки между игроками? Каким образом справедливо разрешить спор? Паскаль изложил эту задачу и другие подобные ей в письме, которое не сохранилось. Однако мы знаем ответ Ферма.

Как Ферма, так и Паскалю было ясно, что нужно вычислить количество возможных случаев, с одной стороны, и количество благоприятных случаев для одного игрока, с другой (остальные случаи благоприятны для второго игрока). Затем надо разделить второе число на первое — сегодня это известно как вероятность, хотя тогда никто не пользовался таким термином. Наконец, данную вероятность требуется умножить на сумму ставки. Полученный результат сегодня называется ожидаемым значением.

Основной принцип, который сразу же приняли оба ученых, — события независимы друг от друга. Вероятность получения шестерки при пятой попытке независима от того, что произошло до этого момента. Их вывод кажется тривиальным, если знать теорию вероятностей, но вспомним, что существуют миллионы людей в мире, полагающие, что выигрышный номер рождественской лотереи будет заканчиваться на цифру 4, потому что она давно не выпадала и "уже пора".

Паскаль нашел значение для четвертой попытки: то, каким должен быть справедливый способ распределения выигрыша после трех неудачных попыток, предполагая, что оба игрока рассматривают альтернативу остановить игру или бросить кости в четвертый раз. Следует отметить, что здесь речь идет не об оригинальной задаче Гомбо; она ограничивается только одним броском после трех неудачных. Паскаль нашел, что если не осуществлять бросок, то игрок, который бросает кости, должен получить 125/1296 от исходной ставки (около 10%) — результат сложения всех вероятностей того, что он мог выиграть при первом броске, при втором и при третьем, то есть в прошлом. В соответствии с этим игрок, который бросает кости, имеет право примерно на 10% ставки.

Но Ферма заявил, что он неправ: "Если мой оппонент предложит мне 10%, чтобы я больше не бросал кости, было бы ошибкой соглашаться на них". Вероятность получения шестерки за еще один бросок та же самая, что и при любом другом броске: 1/6, около 17%. Паскаль увидел свою ошибку и согласился с решением Ферма: прошлое не важно. Единственное, что имеет значение для вычисления вероятности,— это будущее.

Но далее Паскаль озвучил несколько сомнений. Во-первых, он попытался упростить проблему, сведя ее к игре с монетами (орел или решка) так, чтобы шансы были равны для обоих игроков. На основе этого, воспользовавшись рекурсивным методом, алгебра которого довольно сложна, он предложил решение полной проблемы. Здесь он рассматривал уже не только четвертый бросок, но также и оставшиеся возможности: выигрыш участника на пятом, шестом, седьмом или восьмом броске или проигрыш после всех них.

Ферма ответил, что анализ Паскаля верен, но предложил намного более простой метод. Вместо сложного алгебраического ответа Паскаля тулузец просто осуществил пересчет возможных случаев и выбрал среди них благоприятные. Однако на основе невероятной догадки (поскольку ни он, ни Паскаль не делали никаких эмпирических усилий для подтверждения своих результатов) он сделал нечто очень любопытное: Ферма не остановился на ситуации выигрыша бросающего, а рассмотрел случаи, когда он выиграет на бросках с пятого по седьмой, если партия продолжится.

Согласно Ферма, нужно было рассмотреть все эти случаи, чтобы правильно вычислить вероятность. Только таким образом можно быть уверенным в том, что правильно вычислены все возможные и все благоприятные случаи. Он был прав, но ни Паскаль, ни многие из тех, кому стало известно это рассуждение (в частности, Роберваль), сначала не понимал его. Почему нужно продолжать игру, когда один из игроков уже выиграл? Было абсурдным рассматривать данные случаи, поскольку в настоящей игре действие останавливается, как только кто-то выигрывает, так же как останавливается партия в теннис, когда один из спортсменов выигрывает три из пяти сетов. "Это правда,— комментировал Паскаль в своем ответе,— что два человека могут продолжать игру после того, как один из них выиграл, и что, по логике, остальные броски не изменят результат. Но что произойдет, если их будет три или больше?"

Представим себе, что есть три человека, у которых равная вероятность выигрыша. Если один из них выиграл, скажем, с четвертой попытки, ему невыгодно продолжать игру, поскольку другой сможет сыграть с ним вничью. Такого не происходит с двумя игроками, но может произойти с тремя или более. Паскаль спросил у Ферма: "Как же тогда можно утверждать, что нужно учитывать все случаи до завершения всех восьми бросков?" Не рассматривал ли Ферма не очень реалистичный пример?

Хотя Паскаль и не открыл этот треугольник, зато он был первым на Западе, кто глубоко исследовал его. До него индийские, персидские, китайские и западные математики изучали некоторые аспекты этой любопытной структуры. Самое элементарное свойство треугольника в том, что каждое составляющее его число равно сумме двух чисел, расположенных над ним. Из такого простого свойства вытекает огромное количество результатов.

Например, двучлен, возведенный в степень η - 1, будет иметь для каждого из его членов коэффициенты, соответствующие ряду треугольника, определяемого п. Так:

(a + b)⁰ = 1

(a + b)¹ = 1 · а + 1 · b

(a + b)² = 1 · а² + 2ab + 1 · b²

(a + b)³ = 1 · а³ + 3a²b + 3ab² + 1 · b²

(a + b)⁴ = 1 · а⁴ + 4а³b + 6а²b² + 4аb³ + 1 · b³.

Другое непосредственное применение треугольника — вычисление сочетаний. Клетка k в ряду n (при нумерации с 0) соответствует всем способам выбрать k элементов из n, если порядок не имеет значения.

Например, если у нас есть четыре элемента и мы хотим выбрать два из них, при этом порядок не имеет значения, мы можем сделать это шестью способами:

Именно эту формулу использовал Паскаль для вычисления вероятностей в игре.

Любопытно, что Паскаль использовал теорию вероятностей в одной из своих самых важных теологических работ. Французский математик был католическим мыслителем, испытавшим влияние янсенизма. В знаменитых "Мыслях"— книге, которую он начал писать вскоре после смерти своего отца, но так и не закончил,— Паскаль говорит о вере в Бога в утилитарной форме, как о споре. Если не верить в Него, но Он на самом деле существует, мы будем вечно прокляты: следовательно, рационально верить. Даже если мы не уверены, ожидаемое значение (вечное спасение) в бесконечное число раз больше, если мы будем верить, чем если мы не будем верить (в таком случае — вечное проклятие). Этот аргумент критиковали несколько философов, но здесь важно оценить, как математическая мысль проникла в философию Паскаля.

Паскаль не только поставил этот вопрос. Он ответил самому себе, пользуясь своим треугольником для вычисления всех возможных сочетаний. Полученный им ответ, как ему показалось, не был правильным, и он решил найти парадокс в методе Ферма. На его письмо, самое сложное из написанных Паскалем, датированное 24 августа 1654 году, Ферма ответил очень кратко.

Ошибка Паскаля была очевидной для тулузского судьи: он забыл, что даже если учесть все сочетания, поскольку предполагается, что игра будет продолжаться до конца, то целью является только рассмотрение всех возможных случаев. Благоприятными случаями, например для игрока А, можно назвать только те, в которых А выигрывает, даже если В и С сыграют с ним потом вничью. Ничья не имеет значения, так как А уже выиграл. Как будто футбольный матч закончился 2:1, но игроки договорились, чтобы развлечься, продолжить играть еще немного. Официальный результат, независимо от того, будет ли потом ничья, останется 2:1. Другими словами, следует учитывать порядок, в котором встречаются благоприятные случаи. Если вычислить благоприятные случаи, учитывая порядок, парадокс исчезает.

Паскаль принял объяснение Ферма и счел проблему решенной. Ни Паскаль, ни Ферма больше не возвращались к теории вероятностей. В любом случае, из этой короткой переписки возникли важнейшие основополагающие идеи для последующего развития теории вероятностей, которое продолжили сначала Христиан Гюйгенс, а затем гениальная семья Бернулли.

Поправку Ферма, касающуюся пространства элементарных событий, сложно представить себе интуитивно и понять. Рассмотрим это на примере. Представим себе: некий человек говорит, что у него двое детей, из которых один мальчик. Какова вероятность того, что его другой ребенок тоже мальчик? Большая часть людей ответит: 50 %. Но это неверно. Существует четыре возможности в пространстве элементарных событий, которые мы можем записать в следующем виде: МД, ММ, ДМ, ДД. Ясно, что четвертая возможность исключается из-за предоставленной нам информации. Но остаются три, а не две равновероятные возможности. Следовательно, вероятность того, что другой ребенок окажется мальчиком, равна 1/3.

Паскаль и Ферма установили способ рассуждения о будущем. Оно непредсказуемо полностью от события к событию, зато предсказуемо в целом, когда подобные события повторяются достаточное число раз. Это стало удивительным откровением, будущую судьбу которого едва ли можно было тогда предвидеть.

В обращении к Академии Мерсенна Паскаль говорил о своих математических работах, закончив перепиской, которую он поддерживал с Ферма. Он уверял, что они оба получили нечто парадоксальное:

"Так, соединив строгость доказательств науки с неопределенностью случая и примирив между собой эти две внешне противоположные вещи, можно справедливо объединить их названия в удивительный заголовок: "геометрия случая".

Итак, на тот момент Паскаль уже полностью осознавал это достижение: оказалось, что случай, как правило, распределяется "справедливо" (выражаясь его несколько теологическими словами) и это распределение можно выразить "математически". А когда Паскаль говорит о геометрии, на самом деле он имеет в виду математику в целом. К сожалению, Паскаль был уже серьезно болен в то время, когда развивалась его переписка с Ферма. В одном из писем он сообщал тулузцу, что лежит в постели и что он получил его письмо, но не смог прочесть. Почти точно известно, что у Блеза Паскаля был рак желудка, который и убил его. Паскаль был нездоров уже с 20 лет, страдал от ужасных головных болей и медленно угасал.

Через шесть лет после их краткой переписки, в 1660 году, зная, что Паскаль уехал из Парижа в родной город Клермон на лечение, Ферма предложил ему личную встречу. К тому времени у тулузца тоже не было сил предпринять путешествие, и он предложил Паскалю промежуточное место. Но Паскаль ответил, что это невозможно. Он также сказал Ферма, что ему было бы очень приятно познакомиться с ним лично, не из-за математики (геометрии, как он говорил), ради которой он уже не сделал бы и пары шагов, а из-за удовольствия побеседовать с человеком, которым так восхищался. Называя Ферма "главным геометром Европы", он в то же время выражал безразличие к этому занятию, убеждая героя нашей книги в том, что качества его души ценнее всего его математического знания. Теолог выиграл партию у ученого в сердце больного Паскаля.

Как бы то ни было, Паскаль сообщил Ферма, что его целью было вернуться в Париж как можно более комфортным способом: по каналам. Можно догадаться, что из-за болей он не мог даже представить себе, как залезть в дилижанс. Паскаль умер в 39 лет настоящим аскетом, каким он был всю свою жизнь. Религиозность убедила его в том, что страдания являются естественным состоянием человека, и он принял свой крест с мужеством и стоицизмом. Паскаль видел, как янсенизм, который он так защищал, был объявлен ересью и, следовательно, начал подавляться королем. Он написал последнюю работу в защиту своих идей и скончался 18 августа 1662 года. Ферма остался один. Теоретически его учеником мог стать Христиан Гюйгенс, но голландец, хотя и признавал гений тулузского ученого, был неспособен понять его. Великому математику XVII века так и не удалось создать школу.

Вспомним, что полемика с Декартом началась с замечаний Ферма о "Диоптрике", одном из приложений к "Рассуждению о методе". В предыдущей главе мы не очень глубоко рассматривали аргументы Ферма, поскольку именно на эту тему они практически не спорили. Их полемика быстро перешла на методы максимумов и минимумов и построения касательных.

Но ближе к концу жизни, когда Декарт уже восемь лет как был мертв, Ферма снова вернулся к этому разговору.

Мне бы очень хотелось знать, что он [Ферма] ответит как на письмо, которое я прилагаю к этому, так и на предыдущее, в котором я ответил на его выпад против моей "Диоптрики". Я написал оба эти письма для того, чтобы он их прочитал, если Вы окажете мне эту любезность".

Декарт в письме Мерсенну 18 января 1638 года

Пьер де Ферма был, в первую очередь, математиком. Ученый проявлял лишь незначительный интерес к физике, к тому, что тогда называлось "натурфилософией". Он ограничился некоторыми комментариями в защиту идей по геостатике его друга Бограна и знаменитой полемикой с Декартом по оптике. Ферма не сам вступил в эту полемику. Он подумал, будто Мерсенн и Богран просят его прокомментировать работу Декарта, и сделал это с наилучшими намерениями, не осознавая, что его поступок приведет к вражде с философом.

Возражения Ферма в 1637 году, когда его переписка с Мерсенном только начиналась, носили в основном философский характер. Математик был убежденным сторонником эмпиризма, с которым он ознакомился благодаря Фрэнсису Бэкону.

Он считал, что истину в физических науках можно найти только посредством эксперимента, как это делал Галилео Галилей. Декарт же, согласно Ферма, отступал на шаг назад, пользуясь рациональным, полностью аристотелевским методом для того, чтобы попытаться дойти до истин, связанных с природой.

На первую критику Ферма "Диоптрики" повлиял и еще один момент. Декарт не стал публиковать одно из приложений к своей работе, "Трактат о свете", в котором он объяснял свои физические воззрения, из-за страха перед инквизицией. Не так давно был осужден Галилей, а Декарт так же, как и Галилей, был сторонником гелиоцентрической системы. Поэтому Декарт воздержался от публикации и лишил "Диоптрику" физического обоснования, оставив ее простым математическим трактатом. Следовательно, Ферма не мог узнать о физических идеях Декарта. Он был знаком только с его общей рациональной методикой. И математические принципы "Диоптрики" представились ему произвольными, не имеющими никаких оснований.

Далее посмотрим на то, чего Ферма не знал. Свет для Декарта — это импульс, который передается посредством столкновения между очень легкими частицами, такими как бильярдные шарики (практически вся декартова физика основывается на столкновениях). В качестве сравнения Декарт говорил о трости слепого, которая, сталкиваясь с чем-нибудь, передает импульс от этого удара руке слепого. Свет поступает с глазом подобным образом, а трость — это последовательность частиц, сталкивающихся друг с другом. Кроме того, их перемещение мгновенно.

Зеркальное отражение (рисунок 1) происходит, когда свет полностью или частично отражается отражающей поверхностью, такой как металл или лужа воды. Как мы сегодня знаем (хотя это считалось спорным в XVII веке), в законе отражения света говорится следующее.

1. Падающий луч РО, отраженный луч OQ и нормаль находятся в одной и той же плоскости, и эта плоскость перпендикулярна поверхности.

2. θ_i =θ_r.

З. РО и OQ находятся с противоположных сторон от нормали.

Преломление (рисунок 2) наблюдается, когда свет переходит из прозрачной среды некоторой плотности в среду с другой плотностью. Все мы сталкивались с ситуацией, когда ложка, частично опущенная в воду, кажется "сломанной". В законе преломления, известном как закон Снелла, говорится, что синус угла между падающим лучом и нормалью так относится к синусу угла между нормалью и преломленным лучом, как соответствующие скорости и обратные показатели преломления друг к другу:

sinθ₁/sinθ₂ = v₁/v₂ = n₁/n₂

РИС. 1

РИС . 2

Декарт продолжал рассуждать о том, что импульс, поскольку это "сила" (декартова сила — не то же самое, что ньютоновская, к которой мы привыкли), может быть разложен на векторы. На основе этого он выводил законы отражения: для него они были подобны удару бильярдного шарика о неподвижную стену (как можно заметить, такой удар имеет сходство с отражением света: угол, под которым шар ударяется о стену, равен углу, под которым он отскакивает от нее). В очень спорном виде Декарт вывел закон преломления (то, что мы сегодня знаем как закон Снелла) из гипотезы о том, что при изменении среды на более плотную свету нужно затрачивать больше усилий для перемещения.

У модели Декарта была одна проблема: во вселенной бильярдных шаров при изменении среды, например при проникновении через очень тонкую ткань, угол между траекторией шара и нормалью к границе сред увеличивается. В оптике же, наоборот, наблюдается уменьшение угла. Для устранения данного противоречия Декарт придумал физическую уловку: объяснение специально для этого случая, не имеющее никакой основы. Оно имеет смысл, только если известны принципы декартовой физики. Обоснование теории света Декарта находится в его физике, а не в его математике.

Ферма был не в курсе, что ему нужно знать декартову физику для понимания "Диоптрики". В свою очередь ни Декарт, ни его последователи не знали, что Ферма не знаком с декартовой физикой. Они думали, что Ферма просто не понимает ее. Тулузский ученый, в свою очередь, считал неоправданными выводы Декарта. Он снова погрузился в бессмысленный спор, один из тех споров, в которых Ферма часто участвовал в течение своей жизни. Возможно, декартова физика вызвала бы у Ферма протест, поскольку Декарт ошибался, когда сводил все к столкновениям между частицами.

Полемика в тот раз завершилась достаточно быстро. Но в 1658 году Клод Клерселье связался с Ферма, чтобы проконсультироваться у него по поводу этого спора, поскольку он готовился издавать письма Декарта. Клерселье только поинтересовался, были ли еще письма Ферма, кроме тех двух, что он нашел, но тот ответил длинным письмом, в котором, к возражениям, выдвинутым в 1637 году, добавил новые. К своему удивлению Клерселье увидел, что Ферма хочет возобновить полемику.

Памятная марка, посвященная Великой теореме Ферма.

Нидерландский математик Христиан Гюйгенс был одним из пионеров в разработке теории вероятностей.

Монастырь августинцев в Тулузе, где Ферма перезахоронили через десять лет после его смерти.

В то время Декарт уже умер, но неприятие Ферма человека, который презрел его и попытался запятнать его репутацию, не прошло. Также возможно, что в этот период Ферма, огорченный многочисленными неудачными попытками заинтересовать современников теорией чисел, считал, что атаки Декарта способствуют формированию такого отношения к его работам. Его характер, сначала уступчивый в споре, испортился. Как бы то ни было, Клерселье и другой французский математик, Жакоб Ро, ответили, защищая Декарта. Ферма не сдался и настаивал на своем, и эта новая полемика длилась четыре года. Отсутствие интереса, которое ученый продемонстрировал в 1637 году из-за того, что спор был связан с вопросами физики, полностью исчезло: он был готов к битве.

Так сложилось, что Ферма в силу своей профессии был в постоянном контакте с Мареном Кюро де ла Шамбром, секретарем канцлера Сегье. С ним ученый, который в то время был представителем парламента, должен был вести официальные дела. У Кюро де ла Шамбра также были научные интересы, и он на тот момент недавно, а именно в 1657 году, опубликовал книгу по оптике под названием "Свет", посвященную кардиналу Мазарини. Кюро послал экземпляр Ферма, ученый прочитал его и ответил, выразив свое согласие с Кюро и радость от того, что его работа "заставит месье Декарта и всех его друзей перейти от наступления к обороне".

Кюро постулировал физический принцип, известный со времен античности: "Природа всегда выбирает самый короткий путь". Данный принцип был сформулирован отдельно для случаев отражения Героном Александрийским (ок. 10-70). Кюро, согласный с Героном, ограничивал этот принцип отражением. Ферма, наоборот, обобщал его до преломления, добавив гипотезу того, что отношение между сопротивлением при переходе света от одной среды к другой определяет самую короткую траекторию. Как и обычно, он не доказал то, что утверждал.

Детальный анализ рассуждений Ферма показывает, что он не вычислял самый короткий путь. На самом деле он вычислял самое короткое время. Ферма изменил принцип Герона: он измерял не расстояния, а время. Тогда почему тулузский ученый попытался замаскировать свое рассуждение, основывая его на авторитете греческого математика? С одной стороны, он изменил своему эмпирическому убеждению. Принцип Ферма, как его называют сейчас, был в то время в большей степени аксиоматическим постулатом, чем эмпирическим результатом. Ферма для борьбы с Декартом принял его понятия: математизация природы и отказ от эмпиризма, рассуждения на основе постулатов, как будто физика — это ветвь математики.

Но, что самое важное, Ферма прибегнул к авторитетному принципу и замаскировал свой настоящий метод. Ясно почему: как Кюро, так и Декарт думали, что свет распространяется мгновенно, то есть, выражаясь иначе, что его скорость бесконечна. Но для того чтобы говорить о времени, которое затрачивает свет на пересечение заданной среды, нужно предположить, что скорость света конечна. Без сомнения, Ферма хотел избежать этой полемики, в которой у него не было прочных аргументов, и он пообещал прислать Кюро доказательство закона преломления, основанное на этом принципе. Четыре года спустя он все еще не выполнил своего обещания. Кюро умолял его взяться за работу, но Ферма отвечал, что у него нет времени осуществлять необходимые сложные вычисления. Однако в конце концов тулузский математик согласился и вывел закон преломления из принципа, носящего его имя, пользуясь методом максимумов и минимумов.

Удивительно, как у Ферма темы повторяются снова и снова. С другой стороны, это логично: принцип Ферма является примером того, что в физике известно как экстремальные принципы, которые требуют вычисления максимума или минимума, в данном случае минимального времени. Формулирование механики или оптики в терминах этих принципов имеет огромное значение. В механике, например, экстремальные принципы более существенны, чем законы Ньютона, и имеют более широкое применение: принцип наименьшего действия справедлив как для ньютоновской механики, так и для релятивизма или квантовой механики; меняется только детальное определение того, что нужно минимизировать. Следовательно, Ферма снова применил подход, имевший огромное будущее.

В любом случае, герою нашей книги удалось вывести закон преломления на основе своего принципа, который на этот раз действительно был постулатом в открытом виде. И к его огромному удивлению это оказался тот же самый закон, который получил Декарт! Конечно же, вывод Ферма был намного лучше. Во-первых, он основывался на очень элегантном и простом принципе, который, как мы сейчас знаем, имеет всеобщее применение в оптике, и при этом нет необходимости строить гипотезы о природе света (только о конечности его скорости). Во-вторых, не нужно строить гипотезы специально для этого случая. Он естественным образом выводится из самого принципа.

Ферма был счастлив. Он надеялся, что теперь картезианцы увидят подтверждение закона преломления, который, в свою очередь, был выведен гораздо более убедительно, чем у Декарта. Однако снова находчивость нашего героя обманула его ожидания. Строгие картезианцы, такие как Клерселье, не могли уступить и бросить своего учителя. Полемика продолжилась, на этот раз сосредоточившись на выводе Ферма.

Есть некая ирония в том, что последнее известное письмо Ферма на научную тему, увидевшее свет в 1662 году, было создано им для защиты своего вывода. И это при том, что он выказывал так мало интереса в течение всей карьеры к математической физике. Мы знаем, по его последнему письму Паскалю, что уже с 1660 года Ферма чувствовал себя больным и не был в силах совершить поездку в Клермон. В следующем году он сделал распоряжения о том, чтобы его сын Клеман-Самюэль унаследовал его должности. Ученый чувствовал, что приближается конец.

Начиная с 1662 года о жизни Ферма, его последних годах, известно немного, и то благодаря его профессиональной деятельности. В 1663 году губернатор Лангедока, Везен де Безон, написал Кольберу письмо, в котором характеризовал советников парламента Тулузы, называя Ферма большим эрудитом, политически безобидным и даже несколько неуклюжим в профессиональных вопросах. Ни Сегье до этого, ни Кольберу не стоило бояться наивного судьи, ученого, который отдыхал среди математических истин, убегая от политики.

Но судья продолжал работать. Его чувство долга было исключительным. Как уже было сказано, оно часто мешало герою этой книги следовать своему желанию и посвящать математике больше времени. Он продиктовал свой последний судебный акт 9 января 1665 года. Всего лишь через три дня Пьер де Ферма умер в Кастре — городе, с которым так тесно была связана его профессиональная карьера, — и был похоронен без почестей на местном кладбище. Хвалебная речь в честь него была опубликована, вероятно, Пьером де Каркави в "Журналь дэ саван" (Journal des Savants) 9 февраля 1665 года. В ней он выражал озабоченность тем, чтобы разрозненные труды Ферма были изданы в одном произведении и мир увидел бы его гениальность:

"С большой грустью мы узнали о смерти месье де Ферма, советника парламента Тулузы. Это был один из самых блестящих умов этого века, универсальный гений такого высокого уровня, что если бы ученые не были свидетелями его необычайного таланта, мы едва поверили бы всему, что он сделал, и могли бы преуменьшить его похвалу".

Любовь сына Клемана-Самюэля, который терпеливо собирал труды отца, была первым шагом к сохранению его наследия. Также Жак де Билли и Джон Уоллис, каждый по отдельности, опубликовали фрагменты из работы Ферма. Однако этого было недостаточно; важные письма, находившиеся у Каркави (которые он по необъяснимым причинам не предоставил наследнику) и у многих других корреспондентов, были опубликованы очень поздно. Письма Ферма неизбежно терялись по мере того, как умирали адресаты. Только в XIX веке один библиофил объявил, что купил значительную часть рукописей Ферма в Меце. Из-за революционных событий 1848 года коллекция снова затерялась. Но между 1879 и 1891 годами Шарль Анри и Поль Таннери провели титаническую работу по восстановлению работ ученого на основе опубликованных сочинений и частных коллекций. Благодаря им его наследие дошло до нас.

Ферма был перезахоронен в знаменитой и прекрасной церкви августинцев в Тулузе через десять лет после смерти. Там один из самых блестящих умов всех времен покоился в течение более 100 лет — до тех пор, пока в период Французской революции его останки не были утеряны.

Alsina Barnes, С., La secta de los numeros: el teorema de Pitdgoras, Barcelona, RBA, 2010.

Bell, E.T., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Du Sautoy, M., La musica de los numeros primes, Barcelona, El Acantilado, 2007.

Fermat, P.; Pascal, B., La geometria del azar (la correspondencia entre Pierre de Fermat у Blaise Pascal), Basulto Santos, Jesus; Camunez Ruiz, Jose Antonio (ed.), Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2007.

Gonzalez Urbaneja, P.M., Fermat у los origenes del cdlculo diferencial, Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2008.

Gracian, E.: Los mimeros primes: un largo camino al infinite, Barcelona, RBA, 2010.

Mahoney, M.S., The Mathematical Career of Pierre de Fermat 1601- 65, Princeton, Nueva Jersey, Princeton University Press, 1973.

Navarro, J., Al otro lado delespejo: la simetria en matemdticos, Barcelona, RBA, 2010.

Singh, S., El enigma de Fermat, Barcelona, Planeta, 2006.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.

AKS (см. также тест простоты, AKS) 78, 79

Isagoge 11, 104, 108, 109, 110, 124

Methodus 11, 116, 119-121, 123-127

RSA (шифровальный алгоритм) 76-79

Абель, Нильс Хенрик 58, 59

аль-Хорезми, Мухаммед ибн Муса 96

анализ (алгебра) 72, 97, 98, 102, 140, 150

аналитическая геометрия 10, 93, 103-111, 115, 121, 123-125, 130, 134

аналитическое исследование 11, 116, 119, 121, 123, 127

Аполлоний Пергский 9, 27, 30, 40, 95, 103-105, 107, 108, 110, 120- 122, 125, 130

арифметика 25, 84, 88, 99

"Арифметика" (Диофант) 15, 31, 46, 63, 71, 81, 85, 87

Архимед Сиракузский 8, 9, 27, 65, 128-131

Баше де Мезириак, Клод Гаспар 81, 83

Белл, Эрик Темпл 28

Бернулли (семья) 110, 143

бесконечность простых чисел 69

Богран, Жан де 11, 30, 100, 115, 124-125, 137, 146

Бойер, Карл 108

Бордо 11, 29, 30-32, 34, 35, 99, 103, 115

Браункер, Уильям 11, 87-90

Брюлар де Сен-Мартен, Пьер 11, 82-84, 116

вероятность 10, 11, 84, 139, 140, 142, 143, 149

Виет, Франсуа (Францискус Виета) 25, 29, 30, 39, 45, 82, 91, 96-106, 111, 115-117, 119, 122, 124, 128

Вольфскель, Пауль 52

Галилей, Галилео 108, 129, 145, 146

Галуа, Эварист 16, 58, 59

Гаусс, Карл Фридрих 8, 48, 49, 65, 86

Генрих IV 32

геометрическое место точек 105, 106, 108-110

"Геометрия" (Декарт) 107, 122-125, 127, 128

"Геостатика" (Богран) 124

Гедель, Курт 8

гипербола 107, 110, 130, 131

Гиппас из Метапонта 24

Гольдбах, Христиан 40, 47, 48

Гюйгенс, Христиан 11, 38, 90, 91, 130, 143, 145, 149

"Данные" (Евклид) 110

Дедекинд, Рихард 51

Дезарг, Жерар 128

Декарт, Рене 8, 11, 25, 28, 32, 34, 35, 37, 70, 91, 97, 99-102, 104-108, 111, 115, 116, 123, 132, 134, 135, 137, 145, 146-148, 150-152

Дигби, Кенельм 34, 86, 89-90

"Диоптрика" 124-126, 145, 146, 148

Диофант Александрийский 7, 9, 15, 27, 31, 39, 40, 43, 46, 63, 71, 72, 81-83, 86, 95, 96, 117, 130, 153

Дирихле, Густав Лежён 49

Евклид Александрийский 8, 9, 22, 23, 27, 39, 40, 67, 68, 70, 71, 75, 81, 95, 99, 111, 116, 133

Жермен, Софи 46, 48, 49

интегрирование 53, 131

иррациональность у/2 25

Каркави, Пьер де 35, 80, 91, 152, 153

касательная 10, 11, 116, 119, 120- 123, 126-128, 131-133, 145

Катц, Ник 62 квадратура 10, 128-133

Коммандино, Федерико 116

"Конические сечения" (Аполлоний) 111

коническое сечение 106-109, 120, 129, 138

Коши, Огюстен Луи 50, 51, 60, 62, 86, 119

круг 22, 54, 103, 104, 108, 111, 120, 122

Куммер, Эрнст Эдуард 50, 51, 59-63

Лагранж, Жозеф Луи 48, 86, 119

Лалувер, Антуан де 132

Ламе, Габриель 50, 51, 62

Лейбниц, Готфрид Вильгельм 8, 79, 110, 119, 134

Лорандьер, Клод Мартен де 88, 89

Мере, Антуан Гомбо, шевалье де 137, 138, 139

метод касательных 126, 127

квадратуры 128

максимумов и минимумов 11, 103, 116, 118, 120, 126, 133, 151

Мияока, Иоичи 60, 62, 63

Мерсенн, Марен 11, 34-38, 68-72, 74, 75, 76, 80, 82, 84, 87, 104, 115, 124-126, 129, 137, 143, 145, 152

Медон, Бернар 11, 35, 38

модулярные функции 16, 54, 55, 56

Нантский эдикт 32, 33

"Начала" (Евклид) 9, 23, 67, 71, 138

Ньютон, Исаак 8, 9, 16, 110, 119, 133, 134, 146, 152

оптика 135, 145, 148, 150, 151

ординаты 108, 109

ось координат 108, 109, 123, 129

отражение 146, 147, 150

Папп Александрийский 30, 97, 104, 107, 116, 119

парабола 105, 107, 109, 110, 111, 120, 121, 126, 127, 130, 133, 134

кубическая, или обобщенная 129, 132

Паскаль, Блез 11, 35, 38, 86-88, 91, 137, 138, 139, 140, 142, 143, 144, 152

Паскаль, Этьен 34, 70, 87, 127, 137

Пелль, Джон 11, 86-88, 90

Пифагор Самосский 18, 19, 20, 22, 23, 24, 27, 81

подкасательная 121

преломление 147, 150, 151, 152

приравнивание 117, 118, 121, 122, 127, 128, 131-133

прямоугольный треугольник 22, 24

разложение на множители 50, 51, 71, 76-78, 83

единственное 50, 51

"Рассуждения о философии" 101

Рибет, Кен 57, 63

Риман, Бернхард 8, 78

Римана гипотеза 40, 44, 78

Роберваль, Жиль де 38, 39, 104, 123, 124, 125, 127, 130, 131, 140

Симура, Горо 16, 54-58, 60, 63, 134

синкризис 117, 118

синтез (доказательство) 11, 96, 97, 98, 103, 110, 134

сочетания 70, 141, 142

спрямление 10, 11, 131-133

Танияма, Ютака 55, 60, 134

Таниямы — Симуры гипотеза 16, 53, 56-58, 63

Тарталья (Никколо Фонтана) 26

Тейлор, Ричард 62

теория вероятностей 10, 11, 84, 139, 142, 143, 149

групп 51, 57-59

Ивасавы 16, 60, 63

идеалов 50, 63

тест простоты

Миллера — Рабина 77, 78

Соловея — Штрассена 78

Ферма 76

AKS 78

тройки

пифагоровы 19, 80

Ферма 19

Тулуза 8, 11, 29-36, 72, 104, 115, 125, 149, 152, 153

Тьюринг, Алан 8

Уайлс, Эндрю 16, 17, 43, 56-63, 134

угловой коэффициент 123, 134

уравнение Пелля И, 86-91

Ферма 49-53, 90, 97

Уоллис, Джон 11, 37, 86-90, 131, 153

Фалес Милетский 20

Фальтингс, Герд 52, 53, 60, 63

Ферма, Клеман-Самюэль 32, 39, 40, 130, 152, 153

Ферма, Пьер де биография личности 28

малая теорема 11, 71, 75-80, 98

математический подход 37

Великая (Последняя) теорема 7, 8, 17-19, 40, 43, 44, 46, 48-53, 56-58, 63, 75, 80, 81, 89, 97

принцип 150, 151

судья в Тулузе 30, 137, 150, 152

уравнение 49, 52, 90, 97

Фрай, Герхард 56, 57, 63

Френикль де Бесси, Бернар 11, 72, 74, 75, 76, 83, 86, 88, 89, 90

Харди, Годфри Харолд 24, 53, 76

Хейнсиус, Николас 35, 38

числа k-совершенные, или мультисовершенные 70, 71

дружественные 69, 70

комплексные 50, 51, 54

Мерсенна 68, 74, 75, 79

натуральные 18, 19, 24, 43, 46, 51, 52, 72, 76, 81, 84

простые 43, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 61, 67-72, 74-80, 82, 83, 86, 90

вида 4к + 183, 90

Мерсенна 68 Ферма 79

рациональные 24, 71, 72, 78, 80, 81, 128, 129

совершенные 67-70, 80 составные 72, 77, 78

целые 25, 51, 54, 130

Эйлер, Леонард 7, 8, 44, 46, 47, 49, 52, 63, 68, 75, 79, 80, 89., 90

эллипс 54, 107, 111, 126, 127

эллиптические кривые 16, 54, 55, 57

эффективность вычислений 73

Пьер де Ферма - исключительная личность в истории науки: будучи адвокатом по профессии, он посвящал математике только свободные часы. Его научное наследие по большей части сохранилось в виде писем, которыми он обменивался с другими светилами своего времени, такими как Марен Мерсенн, Блез Паскаль или Рене Декарт. Гениальность этого французского ученого, несмотря на его дилетантизм, проявилась в разнообразных областях: в теории вероятностей, математическом анализе и особенно в теории чисел, в рамках которой он выдвинул гипотезу, озадачившую самых значительных математиков на более чем три века. Историю решения задачи, известной как Великая теорема Ферма, можно назвать одной из самых красивых легенд научного мира.