Ферма. Великая теорема Ферма

ГЛАВА 2 Попытки доказательства Великой теоремы

В течение 350 лет историки математики безуспешно задавались вопросом: действительно Ферма доказал свою теорему или нет? А может, на самом деле он ошибочно верил в то, что ему это удалось? Стиль работы французского математика позволяет предположить все что угодно, хотя одни версии более вероятны, чем другие.

Математические методы эпохи Ферма были очень похожи на те, которыми пользуется прилежный ученик в школе. Другими словами, человечеству понадобилось около 2500 лет на то, чтобы приобрести знания, доступные сейчас выпускнику школы. И наоборот, с тех пор научные понятия усложнились настолько, что неспециалисты уже не в состоянии их понять.

Математики, которой пользовался Уайлс для доказательства Последней теоремы Ферма, не существовало во времена французского ученого. На самом деле большая ее часть была создана только в XX веке. Поэтому чрезвычайно сложно поверить в то, что у Ферма было доказательство его теоремы, которое не смогли получить самые лучшие мировые математические умы в течение 350 лет.

Наиболее вероятно, что Ферма доказал некоторые частные случаи. В замечании 45 к трактату Диофанта отмечается, что он доказал ее для случая n - 4. То есть не существует таких натуральных чисел х, у и z, что х⁴ + у⁴ - z⁴.

Возможно, Ферма также доказал случай n = 3. По крайней мере, он ссылался на это в своей переписке как на доказанный результат, точно так же, как и n = 4. Вероятно, на основе этих двух случаев математик решил, что обобщение сделать очень просто.

Ферма ошибался уже не в первый раз. Он также утверждал, что 2²^p +1 — всегда простое число (делится только на само себя и на единицу), если р — простое. Великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) доказал, что это не так: при р - 5 утверждение Ферма ложно, поскольку полученное число делится на 641.

Так что Ферма иногда делал неправильные выводы, слишком доверяя интуиции и своим неполным доказательствам. Есть основания думать, что его предполагаемое доказательство Последней теоремы существовало только в его воображении и что отсутствие строгости привело его к очень смелому утверждению на основе пары отдельных случаев... к утверждению, которым, с другой стороны, насколько известно, он не собирался делиться со всеми.

В любом случае, следует отметить, что Великая теорема — это просто любопытное явление, практически мелочь, а не одна из основ математической революции. По сравнению с другими результатами, которые на сегодняшний день так и не доказаны, такими как гипотеза Римана, математическое значение теоремы ослабевает; после ее доказательства не было создано нового и плодородного поля математических исследований. Математики измеряют значимость результата с учетом новой математики, которую этот результат порождает после его доказательства. Дело в том, что Последняя теорема сама по себе ни к чему особенному не ведет.

Однако усилия, потраченные на ее доказательство в течение 350 лет, способствовали развитию важнейших математических теорий. В этом и заключается парадокс данной теоремы: в некотором смысле она представляет собой незначительный результат, замечание, подходящее для поля книги, где она была записана; но огромная сложность доказательства и интерес, который оно вызывало в течение веков, привели к созданию сложных теорий, применение и развитие которых оказались крайне значимыми.

Преподаватели, упомянутые нами ранее, очевидно, говорили своим ученикам: "Хоть бы она никогда не была доказана". Потому что математические методы и теории, которые были порождены попытками доказательства, оказались важнее самой теоремы, и мы надеемся, что благодаря этим попыткам появятся новые теории.

Конечно, вероятна и другая версия истории, согласно которой Ферма, как он это иногда делал, играл со своими современниками, бросая им вызов и провоцируя на поиск доказательства того, в чем сам не был уверен; однако свой результат он не опубликовал, и этот факт выступает против данной гипотезы. Кроме того, как уже было сказано, очень трудно себе представить, что Ферма действительно обладал общим доказательством теоремы. Либо самые блестящие математики последних 350 лет были слепцами, либо необходимого математического аппарата для доказательства во времена Ферма просто не существовало. Второе намного более вероятно.

Нерешенная проблема — как стена. Математики, которые подступаются к ней, должны обладать соответствующим арсеналом, чтобы снести ее. Некоторые задачи просто нельзя разбить с помощью примитивного "оружия". Точно так же, как римская катапульта была бы абсолютно бесполезна против современного авианосца, некоторые математические инструменты не годятся для решения определенных проблем, и ученым приходится ломать себе голову, изобретая новые стратегии атаки и новое вооружение. Современная история математики — это в значительной мере история изобретения более совершенного арсенала.

У Ферма было такое оружие, о котором одно или два предыдущих поколения даже не мечтали; но его было недостаточно, чтобы решить его задачу. С другой стороны, вполне вероятно, что он этого не знал. Возможно, тулузский юрист был ослеплен блеском стали того арсенала, который изобрел его выдающийся предшественник Виет, а также он сам, и не подозревал, что не все стены разрушаются под его ударами. Девизом Виета была фраза: Nullum problema solver ("Нет проблем без решений"). Сегодня оптимизм ученого можно назвать чрезмерным, но тогда никто этого не знал.

Математики используют в своих доказательствах не меньшее количество стратегий, чем полководцы в битве, а возможно, даже и большее. Во времена Ферма число стратегий значительно увеличилось с изобретением символической алгебры; одну из тех, что использовал Ферма, изобрел он сам: метод бесконечного спуска, который происходит из доказательства от противного. В общих словах данный метод заключается в том, чтобы принять за гипотезу тезис, противоречащий теореме, которую мы хотим доказать, и искать свойство, справедливое для заданного числа п. Затем доказывается, что если данное свойство справедливо для числа n, оно также справедливо для числа меньше n, как правило n - 1.

Но здесь возникает проблема! Если это так, то существует бесконечная последовательность натуральных чисел, каждый раз все меньших, а мы знаем, что это не так. Самое маленькое натуральное число равно 1. Таким образом, у нас есть противоречие, из которого следует, что наша гипотеза ошибочна.

Так Ферма доказал, что его знаменитая теорема истинна по крайней мере для частного случая, при n = 4, в записи, которая почти поместилась на другом поле той же самой "Арифметики" Диофанта. И мы говорим "почти", потому что Ферма опустил, как обычно, некоторые этапы доказательства.

Мало что еще можно сказать о работе Ферма над доказательством его легендарной теоремы, поскольку он практически больше ничего не оставил на эту тему; зато мы можем проследить ее судьбу в течение тех 350 лет, которые Ферма не мог увидеть.

Как уже было сказано, Великая теорема Ферма стала известна после его смерти. С другой стороны, теория чисел, над которой работал математик, не имела большого успеха среди его современников, так как они больше интересовались другими математическими проблемами того времени. Поэтому публикация комментариев Ферма к "Арифметике" Диофанта не имела большого резонанса. Ученые того времени не понимали его увлеченности этими "бессмысленными" задачками, которые казались больше похожими на загадки и головоломки, чем на важные математические проблемы.

Швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) был знаковой фигурой в математике XVIII века. Его работы посвящены практически всем областям математики, существовавшим в тот момент, а также разнообразным проблемам физики и ряда других наук.

Эйлер занимал выдающиеся должности в академиях наук России и Пруссии во время правления Екатерины Великой и Фридриха II, где он общался на равных с королями и мыслителями уровня Вольтера. Ученый был одноглазым и в конце концов полностью потерял зрение, но это не помешало ему каждую неделю писать по статье.

У него была чудесная память, которая позволяла ему доказывать теоремы в уме, а также без проблем читать наизусть"Энеиду" от начала и до конца. Рассказывают, что когда Екатерине надоели атеистические рассуждения Дидро, она попросила Эйлера унизить его публично. Тот подошел к философу и выпалил:

"(a+bⁿ)/n = х, следовательно, Бог существует. Отвечайте!"

Дидро не знал, что ответить. Однако некоторые историки сомневаются в истинности этой истории. Также Эйлеру принадлежит одна из самых красивых формул в математике: еⁿ + 1 = 0.

Однако прусский математик Христиан Гольдбах (1690- 1764; что любопытно, он знаменит благодаря своей до сих пор не доказанной гипотезе, не сильно отличающейся от задач, которыми занимался Ферма) начал изучать работы Ферма и привлек к ним внимание самого великого математика своего времени. Этим математиком, родившимся примерно через 40 лет после смерти Ферма, был Леонард Эйлер.

Как и все женщины-ученые, жившие до XX века, парижский математик Софи Жермен (1776-1831) столкнулась со множеством проблем в своей научной карьере. Она не получила официального образования и пользовалась для учебы записками Политехнической школы. Софи также переписывалась с великими математиками своего времени, такими как Жозеф Луи Лагранж, Адриен Мари Лежандр и Гаусс, выдавая себя за некоего "господина Леблана". Гаусс узнал правду о ее личности при самых любопытных обстоятельствах, которые только можно себе представить. Когда наполеоновские войска заняли территорию Германии, где жил Гаусс,

Жермен испугалась за жизнь своего корреспондента, вспомнив пример Архимеда, и написала генералу Пернети, другу ее семьи, попросив его защитить гения. Пернети послал отряд, от которого Гаусс узнал о хлопотах Софи. Тронутый и удивленный, Гаусс написал Жермен, заметив, что из-за глупых предрассудков эпохи женщина вынуждена действительно быть человеком, обладающим "благородной смелостью, необычайным талантом и наивысшей гениальностью", чтобы победить все препятствия.

Итак, любопытство Эйлера было разбужено комментариями Гольдбаха, и швейцарец начал анализировать работы Ферма. Среди прочего он доказал: тот ошибся, утверждая, что числа, известные как "числа Ферма", всегда простые. Также Эйлер изучал Великую теорему Ферма. И хотя он не смог доказать ее для общего случая, ему удалось доказать ее для n = 3. Так что на тот момент, когда Эйлер оставил данную тему, было доказано два случая... или на самом деле бесконечное их число, поскольку если доказать теорему для n = 3, результат также справедлив для всех чисел, кратных 3, то есть для последовательности 6, 9, 12, 15... Так происходит потому, что любая степень, кратная трем, может быть записана в виде числа в кубе. Например, 4⁶ = 16³. Кстати, доказательство самого Ферма для n = 4 справедливо также для чисел, кратных 4.

Если бы мы могли доказать теорему для простых чисел, поскольку любое число кратно простым числам, мы бы доказали ее в целом. Однако, к сожалению, доказательство для п - 5 оказалось гораздо сложнее, чем представлял себе Ферма. В любом случае, тот факт, что Эйлер заинтересовался работами Ферма, вызвал интерес к теории чисел. Благодаря Эйлеру и Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855) данная дисциплина превратилась в уважаемую математическую теорию, как этого и хотел Ферма.

Гаусс отзывался о Великой теореме Ферма достаточно презрительно и считал работу над ней потерей времени. Возможно, он и сам пытался решить когда-то эту задачу, но, потерпев неудачу и разочаровавшись, повел себя подобно лисе из басни про лису и виноград. Но другие математики его времени подошли к задаче очень серьезно. Например, Софи Жермен открыла, что для простых чисел, теперь носящих ее имя (числа р, где р — простое число, и Р = 2р + 1 также простое), с учетом некоторых требований, которым должны соответствовать Р и р (в частности, что р не является делителем произведения трех неизвестных — х, y, z — из уравнения Ферма), теорема Ферма верна для n = p. С помощью этого подхода Жермен удалось доказать теорему Ферма для всех простых чисел, меньших 100. К сожалению, ее работа не была опубликована при жизни.

Адриену Мари Лежандру и Густаву Лежёну Дирихле удалось доказать теорему для n = 5. При этом они использовали математические инструменты, которых не существовало в XVII веке, такие как теория квадратичных форм. Доказательство теоремы является относительно простым для n = 3 и n = 4, но оно становится гораздо сложнее начиная с n = 5 и недоступно обычным методам начиная с n = 23.

В любом случае, Софи Жермен была первой, кто попытался найти решение для целого класса чисел, а не для частных случаев; также она открыла новые подходы к решению задачи, которыми продолжали пользоваться в последующие годы.

В следующие десятилетия были предприняты попытки Габриеля Ламе (1795-1870) и Огюстена Луи Коши (1789-1857) доказать теорему. Ламе удалось найти решение для n = 7, и на бурном заседании Французской академии наук он объявил, что вот-вот докажет ее для общего случая. Он в общих чертах обрисовал свою стратегию, которая основывалась на алгебре комплексных чисел. Но настоящая сенсация произошла, когда Коши, который был одним из самых значительных математиков своего времени, встал и объявил, что он тоже вот-вот получит доказательство и его подход очень похож на метод Ламе.

Так началась гонка между этими двумя учеными, которая была драматично прервана немцем Эрнстом Куммером (181 ΟΙ 893), публично заявившим, что подход Коши и Ламе неверен. Куммер справедливо утверждал, что они оба совершили роковую ошибку, когда предположили, будто комплексные числа, которыми они пользовались, имеют единственное разложение на множители.

После этого попытки Коши и Ламе провалились, в то время как Куммер продолжил исследования и в итоге создал новую математическую теорию, чтобы попытаться доказать Великую теорему Ферма. Данное исследование подтолкнуло его к изучению разложения на множители, на которое опирались французы, и это, в свою очередь, привело его к формулировке принципов того, что сегодня известно как теория идеалов. Инструменты для доказательства становились все более сложными...

Однако Куммер пошел еще дальше. Пользуясь еще более продвинутыми математическими методами, он нашел условия, которые делали возможным единственное разложение на множители. На основе этого он доказал, что существуют некие простые числа, называемые регулярными, для которых Последняя теорема Ферма выполняется. Куммеру удалось доказать теорему для огромного числа случаев (возможно, бесконечного, хотя не было доказано, что число регулярных простых чисел бесконечно). На самом деле ему удалось доказать ее для всех случаев меньше 100, кроме 37,59 и 67, являющихся иррегулярными простыми числами.

Подход Габриеля Ламе и Огюстена Луи Коши заключался в том, чтобы попытаться разложить на множители левый член уравнения Ферма в следующем виде: xⁿ + yⁿ = (x+y)(x+ςy)...(x+ς^n-1y), где х и у — обычные целые числа, а ς — числа, которые известны как алгебраические целые числа. Последние, несмотря на свое название,— комплексные числа (числа вида а + bi, где i равен √-1), появляющиеся в виде корней некоторого типа многочленов. Важно то, что если это разложение на множители является единственным, можно доказать, что нет решений для уравнения Ферма, то есть Последняя теорема истинна. Ламе и Коши открыли новый фронт: использование комплексных чисел в степени. Но Куммер доказал, что такое разложение на множители в целом невозможно. На основе этого он пытался найти условия, при которых можно было бы его осуществить, что привело его к изучению так называемых циклотомических полей. Они являются продолжением рациональных, полученных прибавлением одного из чисел ζ^k из предыдущего уравнения. Куммер впервые применил теорию групп к теории чисел. На основе этого немецкому математику удалось доказать, что существуют некие простые числа, которые не являются делителем числа, называемого числом класса идеалов, что служит характеристикой вышеупомянутого продолжения. Такие простые числа называются регулярными простыми числами.

Работа Куммера также была основополагающей для последующего обобщения его понятия идеальных чисел немецким математиком Рихардом Дедекиндом (1831-1916) при создании теории идеалов. Идеал, например, — это множество четных чисел, или кратных трем, однако существуют идеалы, не являющиеся числами, несмотря на то что к ним применимы близкие им понятия, такие как разложение на простые множители.

После смерти Куммера в 1893 году серьезные исследователи перестали заниматься поисками доказательства теоремы Ферма. В течение десятилетий эти поиски были уделом математиков-любителей, которые искали Грааль, обещающий славу и некое материальное вознаграждение (в начале XX века Пауль Вольфскель установил премию в 100 тыс. марок тому, кто докажет или опровергнет Великую теорему Ферма). Но методы, используемые этими любителями, были настолько же примитивны, как и методы самого Ферма, что снова и снова обрекало их на поражение. Изобретение компьютеров позволило начать поиски контрпримеров. Как известно, достаточно только одного контрпримера (в случае Ферма — найти по крайней мере одну тройку х,у и z натуральных чисел, для которых выполнялось бы равенство при n > 2), чтобы доказать, что теорема ложная. Наоборот, если нужно доказать ее истинность, не хватит и миллиона примеров.

Компьютеры, каждый раз все более мощные, позволили доказать в начале 1980-х годов, что Великая теорема истинна для всех значений п до четырех миллионов. Но этого было недостаточно. Хотя большинство математиков было убеждено в том, что теорема истинна, нельзя утверждать какой-то результат, сколько бы положительных случаев его ни подкрепляло. Ярким примером этого может служить гипотеза, которую сформулировал Эйлер в XVIII веке. В ней утверждалось, что равенство х⁴ + у⁴ + z⁴ = w⁴ не имеет натуральных решений. Только в 1988 году, примерно через 200 лет после смерти Эйлера, с помощью найденного контрпримера было доказано, что его гипотеза ложна. У уравнения существует следующее решение: x = 2682 440, у = 15365 639, z = 18 796 760, a w = 20 615 673.

Есть некая справедливость в том, что человек, который опроверг Ферма с его простыми числами, сам был, в свою очередь, опровергнут.

Но в 1983 году немецкий исследователь по имени Герд Фальтингс совершил гигантский прорыв, доказав, что если и существуют натуральные решения уравнения Ферма, то их число конечно. Это не доказывало теоремы, в которой говорится, что число решений равно нулю, но это был значительный прогресс. Будем осторожны и проясним, что конечное число решении может быть равно ₁₀10^{10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000} , так называемому "числу Скьюза", связанному с распределением простых чисел. Речь идет о невообразимо большом числе, намного большем, чем количество частиц во Вселенной, или даже большем, чем число возможных взаимодействий между этими частицами. Годфри Харди назвал его "самым большим числом, которое когда-либо имело применение в математике".

Метод Фальтингса основывался на дифференциальной геометрии. Она изучает, в общих чертах, обобщенные кривые и геометрические поверхности, используя для этого такие инструменты исчисления, как дифференцирование и интегрирование. Группа советских исследователей в 1970-х годах поняла, что можно связать некоторые проблемы теории чисел, то есть теории, к которой принадлежит теорема Ферма, с некоторыми проблемами дифференциальной геометрии. Эти исследователи построили мост между двумя островами, очень далекими друг от друга, соединяя специалистов, ранее не взаимодействовавших между собой.

Фальтингс связал уравнение Ферма (xn + yn = zn) с различными поверхностями в области дифференциальной геометрии, по одной для каждого значения n. Такие поверхности похожи на бублики, только вместо одной дырки в центре у них много дыр. Чем больше п, тем больше дыр. Фальтингс связал возможность существования более чем одной дыры с тем фактом, что у соответствующего уравнения Ферма есть конечное число решений. Это был большой шаг, но все еще недостаточный.

Возвращаясь к Великой теореме, никто не представлял себе, какие сюрпризы она может преподнести. Если математик эпохи Ферма работал с близкими нам элементами, такими как круги или простые числа, то исследователи последующих эпох стали создавать каждый раз все более любопытные элементы и пытались понять законы, которые регулируют их поведение.

Эллиптические кривые для с = 0 и различных значений a и b.

В этом месте повествования важно не расстраиваться, если не удастся понять сложных математических теорий, которые используются для того, чтобы "снести стену". Никакой неспециалист не может точно понять их. На самом деле только профессиональный ученый способен детально рассмотреть эти аргументы. Как бы то ни было, математики создали теорию, устанавливающую определенное соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными функциями.

Эллиптические кривые того типа, который нас здесь интересует (см. рисунок), — это просто уравнения вида: у² = х³ + ax² + bх + с; где а, b и с — целые числа. На самом деле они не эллипсы; своим названием кривые обязаны тому, что в прошлом их использовали для изучения траекторий планет. А модулярные функции, наоборот, несколько более странные "существа". Они обитают в том, что называется гиперболическим пространством, в котором у нас есть две оси, но они обе образованы комплексными числами. Вследствие этого, поскольку любое комплексное число имеет действительную и мнимую части, гиперболическое пространство на самом деле имеет четыре координаты. Поскольку наше несовершенное зрение ограничивается тремя пространственными координатами, мы не можем представить наглядно модулярную функцию. Итак, скажем, что модулярная функция является математическим объектом, существующим в гиперболическом пространстве и имеющим некоторые свойства. Одно из них — то, что их мнимая часть положительна, поэтому наши объекты находятся в верхней части пространства. Другие свойства не так просто описать, и мы опустим их в нашем изложении.

Итак, у каждой модулярной функции есть, по образному выражению Симона Сингха, ДНК — ряд чисел, которые полностью ее описывают и которые мы назовем М₁, М₂ ... М_n. Аналогично, у каждой эллиптической кривой есть, в свою очередь, другое ДНК, которое мы назовем E₁, Е₂, ... E_n.

Еще в первой половине XX века обе области (изучение эллиптических кривых и модулярных функций) были подобны изолированным отсекам, не имеющим между собой ни малейшей связи. Следуя традиции специализации в математике, которая начиная с XIX века стала еще более ярко выраженной, те, кто занимался одной ее областью, не имели ни малейшего понятия о другой.

Но японские математики Ютака Танияма (1927-1958) и его друг Горо Симура вывели удивительный результат: каждой эллиптической кривой соответствует модулярная функция, и наоборот. ДНК полностью взаимозаменяемые. Последовательность М модулярной функции равна последовательности Е эллиптической кривой, и наоборот.

Они не могли доказать эту гипотезу, когда сформулировали ее в послевоенной Японии, но были убеждены в ее истинности. На вопрос своего коллеги, утверждает ли он, что некоторые эллиптические кривые имеют соответствующую модулярную функцию, Симура ответил: "Нет, я утверждаю, что она есть у них у всех".

Гипотеза была красивой, поскольку она, словно мост между двумя мирами, соединяла две внешне чуждые области. Если гипотеза верна, это означало, что любая теорема, истинная для модулярных функций, верна и для эллиптических кривых, и наоборот. Красота гипотезы состоит не только в том, что экономится половина усилий, но и в том, что иногда доказательство намного более достижимо в одном из миров, чем в другом. Гипотеза завораживала математиков в течение десятилетий... Но, как это произошло и с Великой теоремой Ферма, она сопротивлялась всем попыткам доказать ее.

Верно, что исследователи рассмотрели огромное число частных случаев и во всех из них гипотеза выполнялась; но этого было не достаточно для доказательства. Однако исследователи начали изучать следствия из нее, как если бы она была верной, и получили огромное количество фантастических результатов. Гипотеза была очень плодотворной. Если бы она только была истинной... Все эти результаты можно сравнить с ветками, отделенными от дерева математики, так как они основывались на недоказанной гипотезе. Однако мир, частица которого была видна из-за представшей перед учеными стены, представлялся фантастическим.

Через несколько лет, в середине 1980-х годов, немецкий математик Герхард Фрай заявил, что Великая теорема Ферма может быть записана в виде эллиптической кривой. Но это была бы очень особенная эллиптическая кривая. Если бы она существовала на самом деле, ее последовательность Е была бы такой странной, чтобы было бы невозможно существование модулярной функции с такой же последовательностью А/. Действительно, если бы существовала эллиптическая кривая Фрая, то для гипотезы Таниямы — Симуры нашелся бы контрпример и, следовательно, она являлась бы ложной. Ложность Великой теоремы предполагает ложность гипотезы Таниямы — Симуры, следовательно, истинность гипотезы Таниямы — Симуры предполагает истинность теоремы Ферма. Фраю не удалось доказать свою гипотезу, однако позднее это сделал американский математик Кен Рибет.

Результат Фрая и Рибета делал возможной совершенно новую стратегию атаки Великой теоремы, попытки покорить которую зашли в тупик и пребывали в таком состоянии десятилетиями. И вдруг открылся новый, абсолютно инновационный фронт: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет и теорему Ферма.

Именно здесь на сцену выходит математик Эндрю Уайлс.

По невероятной случайности он был увлечен теоремой Ферма с десяти лет. Но когда Уайлс начал изучать математику, она завела его, казалось бы, очень далеко от детской увлеченности: он стал специализироваться на эллиптических кривых. Должно быть, он был очень удивлен, когда узнал о результате Фрая и Рибета в обычной беседе в 1986 году. Премия была перед ним!

Однажды я ходил по местной публичной библиотеке и нашел книгу по математике, в которой немного говорилось об истории этой задачи, и я, в возрасте десяти лет, смог понять ее. С тех пор я пытался решить ее сам [...]. Этой задачей была Последняя теорема Ферма.

Эндрю Уайлс о своей первой встрече с теоремой Ферма

Не сомневаясь в своем успехе, Уайлс закрылся у себя в комнате и, не посвящая никого в свои проекты, решил доказать гипотезу Таниямы — Симуры, которая доказала бы автоматически и Последнюю теорему Ферма. Между этим моментом и циклом лекций в Кембридже прошло семь лет, во время которых Уайлс не публиковал почти ничего и занимался, казалось, исключительно преподавательской деятельностью.

Такая ситуация несколько необычна, поскольку карьера исследователя, который не публикуется, подвергается серьезному риску. В академическом сообществе существует присказка: публиковаться или погибнуть. Успех измеряется числом цитат, взятых из публикуемых статей в престижных журналах.

Эварист Галуа (1811-1832) и Нильс Хенрик Абель (1802-1829) развили, независимо друг от друга, теорию групп для решения вопроса, имеет ли уравнение пятой степени обобщенное решение, как это было у всех уравнений меньшей степени. Теория француза Галуа была гораздо более развита, чем теория норвежца Абеля, поскольку он первым использовал термин "группа". Обоих математиков ждала трагическая судьба, они оба умерли молодыми. Абель скончался от болезни и лишений. Галуа же был не только гениальным математиком, но и ярым республиканцем: он прожил короткую жизнь, которая закончилась абсурдной дуэлью из-за женщины. В ней многие увидели политическую ловушку полиции Луи Филиппа Орлеанского. Ни один из этих ученых не был признан при жизни. Известно, что Галуа лихорадочно записывал свои идеи накануне дуэли, явно убежденный в том, что умрет на следующий день. Иногда он писал: "У меня нет времени". На следующий день, действительно, Галуа был смертельно ранен и покинут своим противником. Ученый прожил еще несколько дней. Когда он увидел, как плачет его брат, то сказал ему: "Не плачь, мне нужна вся моя смелость, чтобы умереть в 21 год".

Группа — это просто множество А с операцией Θ, которая имеет некоторые свойства: она закрытая (результат операции находится в А), ассоциативная, имеет нейтральный и обратный элементы. Например, множество (a, b, c) и операция, которая состоит в расположении всех трех элементов в различном порядке (abc), (acb), (bca) и так далее, образуют группу. Сегодня группы вездесущи в математике. Мало что было таким плодотворным, как теория групп. Но, кроме того, изучение теории групп ведет к исследованию других алгебраических структур, таких как кольца, поля и идеалы. Значительная часть современной алгебры — это изучение множества и некоторых операций с элементами этого множества.

Эварист Галуа.

Нильс Хенрик Абель.

Но Уайлс держался практически в полном молчании, периодически все-таки публикуясь по вопросам, очень отдаленным от его реального исследования. Ученый быстро продвигался в своей работе, и некоторые его результаты по теории групп были достойны того, чтобы принести ему известность; однако он боялся, что кто-нибудь узнает, чем он на самом деле занимается, и вынудил себя молчать. Вскоре коллеги начали думать, что карьера Уайлса закончена и его математический гений исчерпан. Ничего удивительного в их выводах не было, поскольку большинство математиков вносят свой вклад в науку еще в молодости.

Молчание Уайлса привело к тому, что ему пришлось проглотить обиду, когда, едва лишь через два года после начала его работы, другой исследователь по имени Иоичи Мияока объявил, что доказал Последнюю теорему Ферма. Мияока основывался на стратегии (наследнице стратегии Фальтингса), вроде бы отличной от стратегии Уайлса, однако в глубине аналогичной тому, что он пытался сделать. Таким образом была сформулирована гипотеза Мияоки, которая, так же как и гипотеза Таниямы — Симуры, была связана с Великой теоремой; если гипотеза Мияоки истинна, то истинна и теорема Ферма. К счастью для Уайлса, сам Фальтингс быстро нашел ошибку в доказательстве Мияоки, и, несмотря на все усилия по ее устранению, доказательство провалилось всего лишь через два месяца. Уайлс вздохнул с облегчением и продолжил работать.

История того, как Уайлс нашел доказательство, очень сложна: в нем более ста страниц. Стоит выделить некоторые аспекты этого доказательства. Уайлс так же, как и Куммер, воспользовался теорией групп.

Изначальный подход Уайлса основывался на теории Ивасавы, от которой он отказался, поскольку она не давала результатов, заменив ее так называемым методом Колывагина — Флаха. Интересно отметить, что теория Ивасавы возникла как обобщение работы Куммера. В математике есть связи, которые постоянны в истории.

Как мы уже говорили, математик, пытающийся доказать сложную теорему, пользуется различными стратегиями, пока в момент озарения не находит нужную — ту, что способна снести стену. Сам Уайлс сравнивал свою работу с входом в темную комнату, где он постепенно узнает о мебели и вещах, которые в ней существуют, пока, наконец, не находит выключатель и не заполняет комнату светом.

Дело в том, что доказательство, изложенное Уайлсом в знаменитой серии лекций, прочитанных 23 июня 1993 года в Кембридже, было основано на его второй стратегии, Колывагина — Флаха, поскольку он отбросил за бесполезностью изначальный метод. Однако это доказательство было опровергнуто, поскольку в нем содержалась роковая ошибка.

Французский математик Огюстен Лум Кошм доказал теорему Ферма о прямоугольных числах в 1812 году.

В 1843 году Эрнст Куммер утверждал, будто доказал Последнюю теорему Ферма и выяснил, что она выполняется для регулярных простых чисел.

Эндрю Уайлс опубликовал в 1994 году окончательное доказательство Последней теоремы Ферма.

Уайлс натолкнулся на ту же самую стену, что и Коши, Ламе, Куммер и Мияока. Все они были убеждены в своем успехе, однако были разбиты в самый последний миг. Этот последний шаг, эта последняя карта не давалась ни одному из математиков. И теперь, казалось, она не далась и Уайлсу. Так же как и предыдущим исследователям, Уайлсу было предназначено стать очередным именем в длинном ряду провалов, который длился 350 лет.

Но это не было очевидно в начале, когда математику устроили овацию в конце лекции. Ошибка всплыла при подготовке к публикации, во время очень серьезного процесса, известного как "рецензирование". Как правило, во время рецензирования формулируются вопросы и сомнения, на которые автор должен ответить. На одно из таких сомнений Уайлс ответить не смог. Его ошибку, которую нашел американский математик Ник Катц, невозможно объяснить неспециалисту. Согласно самому Уайлсу, даже профессиональному математику потребовалось бы два или три месяца, чтобы понять ее. В конце концов ученый был вынужден признать правоту Катца: он ошибся в такой тонкости, что ее было практически не видно.

Это и была цена самоизоляции Уайлса. Открытое обсуждение с коллегами хода исследования является одним из неписаных правил в математической практике. Подобное обсуждение позволяет обнаружить возможные ошибки, обсудить методы, сопоставить идеи. Но есть и обратная сторона: если кто-то тебе что-то подсказывает, в публикуемой статье ты должен вынести ему благодарность или даже включить в число соавторов. Вот почему такие статьи часто подписаны десятками авторов.

Проблема работы с Ферма — в том, что ты можешь провести годы, ничего не получив [...].

Эндрю Уайлс

Уайлс знал о риске, которому подвергался, но премия была слишком важна для него, и он не хотел с кем-то ею делиться. Так что математик решил рискнуть... и совершил ошибку. В любом случае, в доказательстве Уайлса было столько новаторства, что оно само по себе обладало ценностью. Так же как в случае с Коши или Куммером, его попытки уничтожить стену открыли дверь в новые миры. Но Уайлс не был готов сдаться. Поскольку секретничать уже не было смысла, он начал работать со своим коллегой Ричардом Тейлором, чтобы попытаться исправить ошибку. В конце концов он нашел решение. Хитрость заключалась в том, чтобы совместить метод Ивасавы, от которого он отказался, с методом Колывагина — Флаха. Уайлс решил задачу в день своего рождения. Вдруг все стало ясно, выключатель нашелся, и комната наполнилась светом. Через некоторое время, в мае 1995 года, состоялась публикация двух статей в журнале Annals of Mathematics, одна была подписана Уайлсом и Тейлором, а другая — только Уайлсом. Им обоим наконец-то удалось доказать одну из самых сложных задач всех времен. Небольшого книжного поля, действительно, было недостаточно для ста страниц доказательства, которое нашел Уайлс, основываясь, в свою очередь, на невероятных идеях Таниямы, Симуры, Фрая и Рибета. Стена наконец-то пала. Одна из самых долгих и сложных осад в истории математики закончилась победой осаждающих.

Из теоремы самой по себе нельзя было вывести никаких революционных результатов, но попытки ее доказательства дали огромное количество новых и плодотворных путей исследования. Возможно, если бы Эйлер не заинтересовался этой теоремой, теория чисел была бы разработана намного позже; теория идеалов была изначально задумана Куммером как инструмент доказательства теоремы, хотя сегодня она применяется во многих других областях. Фальтингс и Мияока исследовали связи между дифференциальной геометрией и теорией чисел благодаря Последней теореме Ферма. И наконец, Уайлс, возможно, не занялся бы доказательством гипотезы Таниямы — Симуры с таким пылом, если бы не знал о связи между этой гипотезой и любимой задачей его детства.

Всем этим мы обязаны скромному утверждению, или, даже можно сказать, всего лишь любопытному замечанию — теореме, которую однажды Ферма написал на полях "Арифметики" Диофанта.