Ферма. Великая теорема Ферма

ГЛАВА 5 Вклад Ферма в дифференциальное и интегральное исчисление

Аналитическая геометрия стала основой, с помощью которой были созданы другие революционные методы, в частности математический анализ. Ферма понял, что если можно использовать уравнение для полного описания кривой, то можно применить алгебраические действия для изучения свойств этой кривой. Но чтобы прийти к этому выводу, ученому пришлось преодолеть извилистый путь.

Еще в Бордо (где он установил связь с кружком последователей Виета и получал частные уроки математики от Жана Бограна), в молодости, Ферма работал над методом нахождения максимальных и минимальных значений, который, поскольку возник раньше, чем он изобрел аналитическую геометрию, не был основан на ней. Однако в течение примерно 15 лет математик возвращался к данной теме снова и снова, сочиняя небольшие трактаты, посвященные ей, и обсуждая ее в своей переписке. Эти записи наглядно показывают, как менялись мысли Ферма о его методе. В одном из писем Мерсенну он пообещал, что когда у него будет время, он напишет о нем большой трактат, чего так и не сделал. Речь идет о колоссальной потерянной возможности: если бы тулузский математик сдержал свое обещание, не исключено, что сегодня автором дифференциального исчисления мы считали бы Ферма.

Для ученого была характерна несколько хаотичная манера работы. Однажды Декарт с презрением сказал, что Ферма просто решает задачи (как реисты), а не систематизирует. Возможно, в чем-то он был прав. Гению из Тулузы было достаточно убедиться в том, что метод работает, чтобы увериться в его обобщенности, и он забывал про его доказательство. Исследование максимумов и минимумов не стало исключением.

В 1636 году в Париже начала распространяться рукопись Ферма под названием "Метод определения максимумов и минимумов и касательных к кривым линиям" (которую мы будем далее именовать Methodus, по ее латинскому названию). Methodus, написанная, вероятно, в 1629 году, состояла едва лишь из 600 слов. Она представляла собой пару инструкций, алгоритмов. Не было ни одного намека на то, как Ферма пришел к описанному результату, и ни одного доказательства. Как мы увидим, отсутствие ясности в Methodus вызовет у ученого немало проблем. Из-за своеобразной манеры изложения сочинение выглядело абсурдно. Практически сразу же, благодаря вмешательству Декарта, вокруг Methodus развязалась огромная полемика, и Ферма пришлось впервые и практически единственный раз в своей жизни дать детальное объяснение своего метода. Целых пять рукописей, включая письмо Брюлару, написал наш герой на эту тему. Самая важная из них — "Аналитическое исследование метода максимумов и минимумов" (далее "Аналитическое исследование"), в котором он объединяет два подхода, с одной стороны, исходя из работ Виета, а с другой — опираясь на труды Евклида и Паппа.

Действительно, Папп столкнулся с задачей, в которой ему потребовалось получить максимум. Такие задачи привычны для нас сегодня: например, найти геометрическую фигуру, обладающую наибольшим объемом с наименьшей площадью поверхности (сфера). Или, в качестве обратной задачи, определить, являются ли пчелиные соты оптимальной формой покрытия плоскости. Как видно, у данного типа задач много общего с задачами на оптимизацию. В любом случае, внимание Ферма привлекло то, что максимум, который искал Папп, был "единственным и исключительным". Пользуясь своими гуманитарными способностями, Ферма смог понять автора, что считал невозможным сам переводчик Паппа на латынь, Федерико Коммандино. Папп говорил о том, что экстремум является единственным. На основе этого, а также опираясь на работы Виета, Ферма придумал, как составить квадратное уравнение, отвечающее условиям задачи Паппа, у которого было бы только одно решение.

Вспомним, что у квадратного уравнения обычно два корня (мы говорим "обычно", поскольку во времена Ферма некоторые корни — от иррациональных до комплексных, не говоря уже об отрицательных — не допускались). Дело в том, что Виет изобрел метод выражения коэффициентов уравнения через два его корня, который он назвал синкризис.

Синкризис состоит в том, чтобы скомбинировать похожие уравнения с целью получить выражения, в которых корни связаны с их коэффициентами. Например, из уравнения bx - x² = c, корнем которого является х, можно получить уравнение by - у² = с, где у — другой корень. Виет приравнивал оба уравнения: bx - х² = by - у², откуда

b(x - y) = x² - y² <-> b = (x² - y²)/(x - y) = x + y;

и после замены с = (х + у) х - х² = х² + ху - х² = ху. Таким образом, как b, так и с выражаются через х и у.

Проиллюстрируем метод примером: разделим отрезок АE точкой Е так, чтобы АЕ ∙ ЕВ было максимумом.

Пусть АВ = b.

1. Тогда если АЕ = а,ЕВ = b - а.

2. Следовательно, произведение, максимум которого нужно найти, равно ab - а².

3. Теперь заменим изначальную неизвестную а на а + е, то есть на другой корень. Следовательно, отрезок АЕ теперь равен а + е, а отрезок ЕВ равен b - а - е, в связи с чем произведение их обоих равно ab - а² + be - 2ае - е².

4. Приравниваем (2) и (3), так что ab - а² + be - 2ае - е² ≡ ab - а². Упрощаем: be - 2ae - e² ≡ 0 <-> be ≡ 2ae + e². Эта операция подобна синкризису: осуществляется приравнивание вместо обычного равенства.

5. Осуществляется деление на е до тех пор, пока в одном из членов не останется ни одного е: b ≡ 2а + е.

6. Устанавливается, что е равно нулю: b = 2а.

7. Следовательно, а = b/2

Очевидно, что речь идет о середине отрезка.

Ферма воспользовался данным методом для выполнения действий со своим квадратным уравнением в инновационной форме. Он утверждал, что существует один корень х, а другой корень он назвал x + h, где h, как он пояснял, может быть любым значением. Далее следовал решительный и странный шаг. Ферма "приравнял" уравнение со значением х к уравнению со значением х + h: ƒ(х) = ƒ(x + h). Он назвал эту операцию "приравнять", воспользовавшись термином, взятым у Диофанта. Однако на самом деле во всей теории уравнений Виета не существует формального математического обоснования для осуществления этой странной операции.

Далее, в довершение всего, Ферма занялся тем, чтобы исключить некоторые члены, содержащие h, с помощью деления на h:

ƒ(x)/h = ƒ(x + h)/h

Наконец, он постановил, что h равно нулю и, следовательно, оба корня — это один-единственный корень. Это способ зафиксировать один корень и сделать так, чтобы второй корень равнялся ему. Но на самом деле казалось, что Ферма в данном случае просто разделил на ноль без какого-либо теоретического обоснования.

Это очень похоже на то, что делают сегодня, когда вычисляют производную, определение которой дал Коши только в XIX веке, и, приравнивая ее к нулю, находят максимумы и минимумы. Такое сходство привело к тому, что некоторые математики (Лагранж, Пьер-Симон Лаплас) и историки науки считали дифференциальное исчисление изобретением Ферма. К сожалению, они ошибались.

Верно, что Ферма приближался к методам современного дифференциального исчисления. Эта h, по мысли Готфрида Лейбница и Исаака Ньютона, — бесконечно малая величина, которая, говоря проще, не равна нулю, но может считаться при некоторых обстоятельствах за ноль. Только когда Коши удалось сформулировать понятие предела, эти идеи получили строгое математическое выражение.

Ферма не делал различия между конечными и бесконечно малыми величинами, по крайней мере в своих работах о максимумах и минимумах и касательных, которые появились в относительно раннее время его математической жизни. А это различие является основополагающим. Ферма считал, что А, расстояние от исходного корня, полностью произвольно: оно может быть большим или малым, по желанию. Очевидно, что эта мысль сильно отличается от понятия бесконечно малых, небольшая величина которых должна быть произвольной. На самом деле Ферма никогда не думал, что его максимумы и минимумы могут быть локальными, а не глобальными. Локальный максимум может быть найден только с помощью методов анализа бесконечно малых. В любом случае, справедливо заметить, что с помощью метода Ферма можно было даже определить, является решение максимумом или минимумом.

Предыдущее воспроизведение мысли Ферма основано на "Аналитическом исследовании". Достоверно известно, что тулузец начал с задачи, упомянутой Паппом, а историкам удалось восстановить на основе многочисленных записей его рассуждения. В любом случае, по своей неискоренимой привычке Ферма, даже когда формулировал шаги доказательства в "Аналитическом исследовании", был краток в своих объяснениях. Он опускал некоторые шаги, веря, что читатель сможет заполнить пробелы. Читатель должен был быть эрудитом, знающим наизусть, что такой-то шаг подтверждается теоремой Аполлония, другой шаг — теоремой Паппа, а третий верен, поскольку это уже доказал Виет. Более того — в изначальном варианте Methodus, как мы уже сказали, не было даже таких набросков доказательства, как в "Аполитическом исследовании"·, ни малейшего обоснования странных действий, которые предпринимал наш герой: Ферма ограничивался тем, что давал алгоритм. Очевидно, что инструкция без малейших объяснений, с делением на нуль, шокировала современников ученого, и те из них, кто приятельствовал с Ферма, попросили у него объяснений, а остальные безжалостно напали на него. Кроме того, Methodus ограничивался решением двух уже решенных задач, в которых находятся касательные к параболам. В сочинении, по крайней мере внешне, не было ничего нового, но содержалось много проблематичного.

Собственно, в Methodus Ферма сформулировал способ нахождения касательной к любой заданной кривой. Он с гордостью говорил, что этот метод абсолютно общий и работает всегда, но не обосновывал своего утверждения. Упомянутый им метод нахождения касательных, естественно, исходил из его же метода максимумов и минимумов. Действительно, Ферма понял, что, так как классические греческие кривые (конические сечения, окружности и прямые линии) были определены через пропорции, решить задачу касательной равносильно тому, чтобы найти минимум некоей пропорции между двумя величинами. Его метод максимумов и минимумов также работал для максимизации или минимизации некоторой величины или пропорции. Следовательно, нахождение касательной было его естественным применением.

Рассмотрим метод Ферма детально. Возьмем параболу, показанную на рисунке. Мы ищем касательную в точке В, прямую ВE. Ферма рассматривал произвольную точку О, внешнюю по отношению к параболе. Здесь ясно видно, что он был еще далек от понятия бесконечно малых; в анализе бесконечно малых точка О должна была находиться произвольно близко к точке В. Затем он рассмотрел свойство параболы, определенное Аполлонием в виде пропорции:

BC²/ZI² - CD/DI,так как OI >ZI, CD/DI > BC²/OI.

По подобию треугольников ВСЕ и OIE получается, что

ВС/OI = СЕ/TE, поэтому CD/DI > CE²/IE².

Пусть CD = d, CI = е и СЕ = а. Этот последний отрезок — подкасательная. Тогда

d/(d - e) > а²/(a - e)2

и d(a - е)² > a² (d - е), откуда da² - 2dae + de² > da² - a²e.

Затем приравниваются оба члена неравенства: da² - 2dae + de² ≡ da²-a²e, и после сокращения и перестановки членов: de² + a²e ≡ 2dae. При делении на е: de + a^{2 ≡} 2da. Наконец, Ферма игнорировал член, содержащий е: а² = 2da, из чего а = 2d. Таким образом можно найти точку Е, определив подкасательную к параболе ( СE ).

В своей "Геометрии· Декарт сделал различие между геометрическими и механическими кривыми. Первые имели выражение в алгебраических уравнениях, то есть многочленах. Механические кривые, наоборот, не имели такого выражения; они представляли собой траекторию перемещения некоей точки, которая двигалась в соответствии с определенными правилами. В "Геометрии" Декарт счел невозможным анализ механических кривых. Зато Ферма в своей безымянной рукописи 1640 года изучал три геометрические кривые: циссоиду, конхоиду и декартов лист, а также циклоиду — механическую кривую. Циклоида — это ответ на кажущийся парадокс Аристотеля о расстоянии, которое проходят две точки, расположенные в двух концентрических окружностях, катящихся по линии. Циклоида образуется движением определенной точки колеса, катящегося без скольжения по прямой. При анализе этой проблемы Ферма был вынужден, "чтобы избежать иррациональности", приравнять отрезок RB касательной к отрезку RN кривой.

Methodus был написан до того, как Ферма изобрел аналитическую геометрию. Единственное представление о классических кривых все еще принадлежало Аполлонию. Именно поэтому Ферма продолжал применять геометрические определения грека вместо своего более позднего алгебраического представления. Но в "Аналитическом исследовании" Ферма уже был способен использовать огромную силу своих алгебраических уравнений для подхода как к проблеме максимумов и минимумов, так и к проблеме касательных. Действительно, в его записях было каждый раз все меньше диаграмм. Ему было достаточно уравнения, которое полностью определяло кривую, для глубокого анализа ее свойств. С помощью такого уравнения он мог искать максимумы и минимумы, с одной стороны, и касательные, с другой. Алгебраический метод вновь показывал свою эффективность. В последующие годы он пошел еще дальше, практически дойдя до понятия произвольно малого расстояния в работе о касательной к циклоиде, то есть находясь на самом пороге дифференциального исчисления.

Но Ферма лишь наполовину осознавал огромную силу своих методов. Увлеченный — как и все его современники, а также его учитель Виет — восстановлением великого труда греков, он не обратил внимания на то, что его мысль пошла по пути, открывающему новые возможности перед математикой. Захваченный прошлым, он не смог справедливо оценить важность своих достижений.

Действительно, вспомним, что производная в заданной точке кривой определяется как угловой коэффициент касательной к данной точке. Ферма этого не видел... поскольку на самом деле ему не пришло в голову рассматривать угловой коэффициент как уравнение. Действительно, он вычислял не угловые коэффициенты, а подкасательные, то есть проекции касательной на ось абсцисс, и делал справедливый вывод о том, что как только вычислена данная проекция, нарисовать касательную тривиально просто. Очевидно, именно по этой причине он так и не заметил, что угловой коэффициент может быть также выражен в виде кривой, определенной уравнением. Ферма был неспособен увидеть, что существует отношение между двумя уравнениями с двумя переменными, в котором дифференцирование — это способ превратить одно в другое. Как бы то ни было, нам нужно вернуться в то время, когда Methodus только начал распространяться: аналитическая геометрия и обоснования "Аналитического исследования" были в будущем. В Methodus есть только инструкции. Чтобы поверить Ферма, требовалась благосклонность к автору, а в то время жил человек, который очень недружелюбно относился к Пьеру де Ферма и совсем не собирался проявлять к нему подобных чувств. Этим человеком был не кто иной, как Декарт.

До определенного момента уже занимавшийся научной деятельностью Декарт не знал о существовании Ферма. В 1637 году, когда едва начиналась переписка Ферма с Парижем, он заканчивал свой знаменитый труд "Рассуждение о методе", куда в качестве приложений были включены три работы. В них Декарт пытался проиллюстрировать мощь своей философии. Одной из них была "Диоптрика", другой — "Геометрия", в которой ученый впервые излагал свое понимание теории уравнений и аналитической геометрии. Он был уверен, что никто не сделал ничего подобного. Декарт полагал, что заново создал философию, сформулировав правила корректного мышления и проиллюстрировав, как их применять в математике и физике.

К тому времени он уже вступил в полемику с некоторыми математиками. Судьба распорядилась так, что этими математиками были Роберваль и учитель Ферма, Богран, — друзья Ферма, на которых он рассчитывал в период своей известности в кружках Парижа. Декарт сурово раскритиковал "Геостатику" Бограна. В свою очередь, Богран обвинил Декарта в том, что тот совершил плагиат теории уравнений Виета, его учителя. Кроме того, похоже, что Богран воспользовался своей должностью королевского секретаря (которая давала впечатляющую власть), чтобы получить экземпляр "Диоптрики" Декарта. Сочинение оказалось в руках Ферма до публикации, в связи с чем на Мерсенна обрушился гаев Декарта.

Обеспокоенный Мерсенн попросил Ферма не комментировать трактат публично, а направлять всю переписку через него. Ферма, не знавший всего, что произошло, воспринял это как просьбу прокомментировать труд Декарта. В своем письме он говорил, что "Диоптрика" кажется ему попыткой исследователя вслепую изучать что-то в темноте и результаты его — плод круговой аргументации: автор доказывает свои тезисы с помощью аргументов, истинность которых основывается на его же тезисах. Мерсенн, поколебавшись, переслал это письмо Декарту. Примерно в то же самое время Декарт получил экземпляр первого трактата Ферма, посвященного восстановлению работы Аполлония. Поскольку это была ранняя работа, Декарт отнесся к ней с презрением.

Ученый решил, что Ферма не понял его "Диоптрику", поэтому через Мерсенна порекомендовал ему хорошо ее прочитать, добавив, что если он также проштудирует его "Геометрию", то сможет стать успешным учеником. Очевидно, что Декарт недооценивал своего оппонента. Через некоторое время он получил экземпляры Methodus и Isagoge, присланные Ферма, гордость которого, возможно, была уязвлена, и он хотел доказать свою значимость. В этот момент Декарт явно понял свою ошибку: Ферма был математиком высшего уровня. Действительно, он тоже открыл аналитическую геометрию, которой так гордился сам Декарт!

Вместо того чтобы признать талант своего соперника, Декарт решил, что Ферма — участник заговора (в котором также замешаны ненавидимые им Роберваль и Богран), направленного на то, чтобы разрушить работу всей его жизни, его сокровище, "Рассуждение о методе". Действительно, в письме Мерсенну в январе 1638 года Декарт жаловался на то, что его интеллектуальное детище пытаются задушить еще в колыбели. И хотя ученый и не говорил этого открыто, возможно, он также думал, что из-за бестактности Бограна и Мерсенна Ферма совершил плагиат его аналитической геометрии. Далее мы приводим фрагменты ответов Декарта Мерсенну.

Май 1637 года

"[...] Вы посылали мне предложение математика, советника из Тулузы, очень красивое, и оно мне очень понравилось. Поскольку оно во многом может с легкостью быть решено тем, что я написал в своей "Геометрии", (...) я надеюсь, что этот советник, если он открытый и честный человек, окажется одним из тех, кто извлек наибольшую выгоду из моей работы [...]".

18 января 1638 года

"[...] я даже не хочу называть его имени, чтобы он не чувствовал себя настолько пристыженным ошибками, которые я у него нашел, а также потому что мои намерения не в том, чтобы оскорбить кого-либо, а лишь чтобы защититься. И так как я чувствую, что он не упустит возможности чваниться за мой счет во многих работах, я думаю, что лучше пусть многие увидят мою защиту. [...) И если, несмотря на это, он скажет Вам, что хочет послать мне другие работы, прошу Вас попросить его, чтобы он лучше обдумал предыдущие; если он этого не сделает, прошу Вас не посылать их мне".

Как бы то ни было, Декарт нашел слабое место своего соперника: это была не аналитическая геометрия, a Methodus. Действительно, в отсутствии у Ферма метода, обоснования или доказательства Декарт увидел идеальную возможность нападения на него. В ядовитой форме он вернул ученому комплимент "вслепую". Согласно Декарту, в работе Ферма не было никакого оригинального результата. Он пришел к выводам, известным и ранее, случайно и не прилагая усилий. A tatons ("на ощупь"), аналогично тому выражению, которое Ферма применил к нему. Ферма показал, как получить касательную к параболе. Однако его метод был одинаковым для любой другой кривой без каких-либо изменений, что явно было абсурдно, поскольку касательная к параболе — это не то же самое, что касательная к эллипсу. Декарт отрицал, что метод касательных вытекает из метода максимумов и минимумов.

Как мы видели, ответ Декарта (всегда через Мерсенна) был разгромным. Он открыто выражал презрение к математику, даже не упоминая его имени и говоря, что если Ферма не пересмотрит свои работы, то он не снизойдет до чтения других его результатов, которые тот обещал ему послать. В то же время он обвинял Ферма в том, что тот систематично нападает на него, хотя в действительности тулузский ученый всего лишь один раз выступил против его "Диоптрики".

"[Я бы предпочел] ничего не говорить о статье, которую Вы мне прислали [Methodus], поскольку я не могу сказать ничего в пользу того, кто ее написал [...]".

Декарт в письме, посланном Мерсенну 18 января 1638 года, о работе Methodus Ферма

Мерсенн в этой полемике проявил редкий талант к провоцированию скандала. Вместо того чтобы послать ответ Декарта напрямую Ферма, он, в свою очередь, направил его парижским врагам Декарта, Этьену Паскалю и Робервалю, которые не мешкая вступили в полемику, действуя как слон в посудной лавке, часто неправильно истолковывая работу своего подзащитного. Это подтвердило худшие страхи Декарта: против него организовали заговор, и Ферма являлся только пешкой в руках парижан.

В любом случае, Декарт перешел некоторые границы. Если его второе возражение, направленное на то, что метод касательных не вытекает из метода максимумов и минимумов, понятно с учетом неясности изложения Methodus, то первое было просто абсурдным. Декарт утверждал, что метод Ферма дает одну и ту же касательную для любой известной кривой, но это была неправда, поскольку замена слова "парабола" на слово "эллипс" требует и замены математического определения параболы на определение эллипса, и в этом случае метод Ферма работал бы безукоризненно.

Декарт закончил свое письмо в очень снисходительном тоне, снова рекомендуя Ферма прочитать внимательно "Геометрию", в которой, как он утверждал, было все, что Ферма открыл. Только с помощью его книги, заключал Декарт, можно прийти к истине. Таким образом, столкнувшись с математическим гением того же уровня, Декарт не мог этого признать: он лишь уверил себя в том, что монополия на истину была у него.

Чтобы доказать свою точку зрения, Декарт бросил вызов: попросил Ферма найти касательную к заданной кривой, которую затем назвали "декартов лист". Ферма ответил правильным решением. Тулузский ученый получил результат двумя способами. Второй из них был основан на идеях самого Декарта, где он использовал нормаль для вычисления касательной; так он хотел доказать своему сопернику, что его метод дает те же самые результаты, но проще. Однако Ферма не смог добиться того, чтобы его метод приравнивания был полностью принят его соперниками. Тем не менее в своей обычной манере он думал, что если метод работает, то он должен быть истинным. В любом случае, к счастью для историков, полемика длилась какое-то время, из-за чего Ферма был вынужден в первый раз обосновать свои результаты несколько подробнее.

По сути все это было недоразумением. В "Аналитическом исследовании" уже было ясно, что возражение Декарта о том, что метод касательных не основан на методе максимумов и минимумов, ложное. В конце концов посредник, работавший в стиле Декарта, французский математик Жерар Дезарг (1591 — 1661), принял соломоново решение в данной полемике: Декарт был прав в том, что выразил недоверие, поскольку изложение Ферма, представленное в Methodus, было недостаточно ясным. Но по сути Ферма был прав: его метод касательных был абсолютно универсальным. Оба гиганта столкнулись с проблемой оценки их личности. Точнее, проблема была в личности философа, поскольку Ферма в целом вел себя довольно корректно. Декарт нехотя согласился с этим вердиктом и даже извинился перед Ферма за свои оскорбления, но не упустил возможности в будущем оправдаться, пытаясь омрачить репутацию Ферма. Последний же продолжил свою полемику с Декартом и его последователями еще через 20 лет, когда его соперник уже умер. Из его дальнейших записей очевидно восхищение, которое он испытывал к Декарту, несмотря на критику. В некотором смысле, хотя Ферма так и не оставил идей Виета, он все же обратил внимание на Декарта и частично принял его "Геометрию". Но раны, вызванные этой полемикой и тем, как презрительно относился к нему Декарт, пытаясь понизить его авторитет в математическом сообществе, так никогда и не затянулись.

В ходе исследований о касательных, максимумах и минимумах Ферма постепенно ушел от своего приравнивания к намного более современному понятию квази-равенства, настолько произвольно близкого к точке, что разница практически равна нулю. Но именно в своем методе квадратур он сделал последний шаг к анализу бесконечно малых, к произвольно малым величинам. К тому времени Ферма уже оставил позади свои методы касательных, максимумов и минимумов и никогда не пересматривал их в свете своих новых идей.

Проблема квадратур существовала уже в античности, ими занимались даже Евдокс и Архимед. В целом она состоит в том, чтобы найти площадь, ограниченную некоей кривой и прямой (обычно осью), или, когда кривая полностью окружает точку, как в случае со спиралями, — площадь, ограниченную кривой. Как это делали древние, данная площадь выражается построением прямоугольника, площадь которого равна искомой площади, то есть нахождением произведения двух рациональных чисел а и b, образующих стороны прямоугольника. Действительно, во многих случаях они получали несколько прямоугольников, площади которых в сумме давали искомую площадь.

Вскоре греки столкнулись с очень сложной задачей. Речь шла о нахождении квадратуры самой элементарной фигуры — круга. И сколько бы усилий ни прилагали греки, им не удалось построить прямоугольник с рациональными сторонами, который имел бы такую же площадь. Причина их неудачи была найдена только в XIX веке: число π, с помощью которого обязательно выражается площадь круга, не может быть выражено не только в рациональном виде, но даже в качестве результата алгебраического уравнения. Сегодня такие числа называются трансцендентными, и они относятся к иррациональным числам.

Сложность квадрирования некоторых кривых не ускользнула от Ферма, но, как мы уже сказали, его аналитическая геометрия порождала бесконечное число кривых. В частности, кривые конических сечений степени больше квадрата внезапно стали отлично доступными в виде уравнений. Итак, вместо того чтобы увлекаться неквадратными кривыми, такими как круг, Ферма применил свой метод к кривым высшей степени. Убежденность ученого в том, что эти кривые идеально определяются его уравнением, постепенно привела Ферма к тому, чтобы не беспокоиться об их геометрическом представлении. В письмах и трактатах он каждый раз все более демонстративно забывал о графике кривой и сосредотачивался на алгебраических действиях. Как всегда, Ферма начал свою работу на основе трудов греческого ученого. В этот раз это был не Аполлоний и не Диофант, а Архимед. Окончательные работы Ферма на эту тему были опубликованы его сыном Клеманом-Самюэлем после его смерти, и хотя они не были поняты людьми уровня Гюйгенса, автора уже не было в живых, чтобы, как это было в случае с Декартом, прояснить то, что он хотел сказать.

Иллюстрация метода исчерпывания, при котором площадь под кривой находится между большей и меньшей площадями.

Возвращаясь к раннему времени его переписки с Мерсенном и Робервалем, в 1636 году, мы видим, что Ферма был занят трактатом Архимеда о спиралях, в котором тот нашел квадратуру спирали, носящей его имя. Ферма распространил этот метод на другие спирали, например на ту, которую он нашел при решении задачи Галилея, упомянутой нами ранее. Ферма бросил вызов Робервалю, предлагая ему найти квадратуру кубической параболы, графика кубической функции: у³ - kx, которую он рассматривал впервые и которая была очень похожа на параболу. Роберваль ответил сразу же. У него уже был метод, подобный методу Ферма, основанный на теореме о сумме степеней целых чисел, найденной тулузцем в ходе исследований по теории чисел, и старом "методе исчерпывания", изобретенном Евдоксом и примененном Архимедом. Он состоит в том, чтобы определить искомую площадь между двумя суммами (см. рисунок). Одна из этих сумм — сумма прямоугольников, подобных DEFG (описанных), большая, чем реальная площадь под кривой, другая — сумма площадей прямоугольников, подобных HIFG (вписанных), меньшая, чем искомая площадь. Очевидно, что реальная площадь находится между этими двумя суммами. Метод исчерпывания состоял в том, чтобы предложить площадь и обосновать методом двойного доказательства от противного, что она является единственной площадью, величина которой находится между этими двумя суммами; это может быть только реальная площадь.

Метод Ферма и Роберваля не работал для некоторых кривых, как они оба быстро убедились. Казалось, Ферма перестал интересоваться данной темой. Но в 1658 году он практически сразу же ответил на недавнюю работу Уоллиса о квадратурах, распространив собственный трактат, который он явно вынашивал в течение многих лет.

В "Трактате о квадратурах" Ферма показывал, как далеко он зашел. Теперь его метод был применим ко всем гиперболам степени больше двух, которые не поддались ему за 20 лет до этого. Он произвел радикальные изменения. Там, где Архимед (и что присутствовало в ранних методах самого Ферма и Роберваля) искал конечные суммы, Ферма теперь допускал возможность бесконечной суммы прямоугольников на оси абсцисс. Это был единственный способ проанализировать площадь под гиперболой, поскольку альтернатива заключалась не в бесконечном числе прямоугольников, а в конечном числе прямоугольников с бесконечной площадью. Прямоугольник с бесконечной площадью при сложении с другими прямоугольниками дает бесконечную площадь. Наоборот, бесконечное число прямоугольников может в некоторых условиях дать конечную площадь. Но, кроме того, метод Ферма отличался от метода исчерпывания тем существенным обстоятельством, что уже больше не было необходимости определять площадь между двумя суммами. Математик приравнивал верхнюю сторону каждого прямоугольника к очень маленькому отрезку гиперболы. Чем меньше был отрезок, тем точнее было это равенство и, следовательно, площадь под отрезком кривой была ближе к площади соответствующего прямоугольника. Разница тончайшая, но основополагающая.

Она была такой тонкой, что Ферма даже не осознал, насколько важным было изменение. Его понятие приравнивания изменилось: речь уже шла не о том, чтобы приравнять любые конечные величины. Ферма открыл бесконечно малые. Однако он был уверен, что продолжает традицию Архимеда. Ученый не понял, насколько большой концептуальный скачок он сделал, и теперь его греческие учителя, вызывавшие у него восхищение, уже не могли идти за ним по этой неисследованной дороге. Снова, не осознавая этого, Ферма хоронил традицию, которую так уважал. Действительно, квадратура кривых — это операция, которую мы сегодня называем интегрированием, хотя, как и в случае с касательными, Ферма не смог увидеть, что площадь под кривой тоже выражена уравнением.

Иллюстрация метода спрямления кривых Ферма.

Если "квадрировать" означает найти площадь прямоугольника, равную площади другой фигуры, образованной кривой, то "спрямить" означает найти прямую линию, по длине равную длине кривой линии. Задача опять восходит к грекам.

Аристотель утверждал, что невозможно найти прямую линию, равную по длине кривой линии. Его авторитет был так велик, что даже в XVII веке большинство математиков были согласны с ним, несмотря на то что уже удалось сделать некоторые спрямления, в частности Архимеду. Следуя за этим выдающимся математиком, Ферма был убежден в возможности спрямления кривых. Его работа на данную тему — единственный случай, когда трактат Ферма был опубликован в печатном виде при жизни автора, в качестве приложения к работе его друга, тулузского иезуита Антуана де Лалувера (1600-1664), в 1660 году. Однако ее опубликовали анонимно. Ее автора можно было определить только по инициалам, которые не соответствовали инициалам Ферма. Последователи Декарта, подражая учителю, пребывали в уверенности, что Аристотель был прав. Ферма в своем трактате решил доказать, что картезианцы ошибаются.

В ·Трактате о квадратурах" используется значительная часть прежних открытий Ферма: его метод максимумов и минимумов, который помогает разделить кривую на отрезки, монотонно возрастающие или убывающие; аналитическая геометрия, позволяющая осуществлять действия с этими отрезками; и, конечно же, прием приравнивания. Как и можно было ожидать, у него получился аналитический трактат. Наоборот, ‘Трактат о спрямлении" методически очень отличается от всего, что Ферма написал к тому времени. Действительно, тулузец отдалился от своего аналитического метода и применил греческий синтетический метод, которым пользовались такие классики, как Евклид. При этом его аналитическое рассуждение оказалось скрыто. Почему он так сделал — загадка, но, возможно, это было связано с традициями. Трудоемкость, которую предполагало написание подобной работы, сравнимая с работой Ньютона в ‘Началах", в свою очередь, могла бы объяснить, почему он не пользовался этим подходом ни в каком другом своем труде.

В "Трактате о спрямлении" Ферма в ясном виде приравнивает заданный касательный к кривой отрезок DE к дуге FE (см. рисунок). Для приравнивания данный отрезок обязательно должен быть произвольно малым. Говоря в общих чертах, Ферма думал о кривой как о линии, образованной огромным числом очень маленьких прямолинейных отрезков, каждый из которых является касательным к кривой. Сумма длин этих бесконечно малых отрезков дает длину кривой (спрямление).

Следующим шагом было нахождение суммы длин таких отрезков, и здесь Ферма использовал прием, именуемый сегодня "изменением переменной". Это был гениальный скачок: изменение переменной определяло обычную параболу (второй степени), квадратура которой равна значению разыскиваемой нами суммы. Другими словами, Ферма превратил проблему спрямления в проблему квадратуры, уже известную и решенную им самим. Не довольствуясь достигнутым, он определил бесконечное семейство кривых, основанных на обобщенной параболе, и доказал, что если она спрямляема, то и все остальные тоже. Он сделал это, доказав, что всегда можно построить обычную параболу, которую мы только что упомянули. Ему не только удалось спрямить кривую; он доказал, что число спрямляемых кривых бесконечно.

Но именно этот шаг сведения спрямления к квадратуре снова помешал Ферма увидеть, что результат его спрямления является еще одним уравнением. Он даже не осознал, что почти дотрагивается до основных принципов анализа. Ему удалось начать думать о бесконечно малых, что было важным шагом в открытии анализа, но это не только не привело Ферма к пересмотру своей работы о касательных и максимумах, но он также не смог истолковать свои результаты как уравнения: он думал о подкасательных и площадях.

Годами позже (и частично благодаря работам Ферма) Лейбниц и Ньютон независимо пришли к основным идеям анализа: использованию бесконечно малых и основополагающей идее того, что операция вычисления углового коэффициента касательной к кривой, заданной уравнением А, дает в результате уравнение В, а операция нахождения квадратуры кривой В дает в результате уравнение А. Другими словами, нахождение угловых коэффициентов и квадратур, дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями, как сложение и вычитание. Это основная теорема анализа.

Как стало возможным, что Ферма не понял, насколько важное открытие находится рядом? Это ужасно досадно. Так же как и рыцарь Персеваль, Ферма увидел Святой Грааль, но не смог узнать его, что лишило его лавров первооткрывателя. В любом случае, великое открытие, которое удалось сделать Лейбницу и Ньютону, — еще один пример чудесных мостов между внешне непохожими проблемами. С подобным, как мы видели, столкнулись Ферма и Декарт при создании аналитической геометрии, а также Танияма, Симура и Уайлс при работе над гипотезой, которая носит имя первых двух.

И здесь мы почти закончили нашу историю.