Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №1

Задачи с решениями

Ведет Данила Мастер

1. Положим, что мы хотим приблизить вещественное число α € £(0,1) с точностью ε т. е. подобрать с помощью некоторого изображающего аппарата рациональное число — так чтобы p/q

| α — (p/q)|< ε

Воспользуемся для этого двумя изображающими аппаратами, именно систематическими (двоичными) дробями с одной стороны и цепными (непрерывными) дробями — с другой, и оценим потребные для хранения числа а количества информации при каждом из способов представления.

Случай систематических дробей хорошо известен. При разложении числа в двоичную дробь длины m, т. е. при использовании m значащих бит для мантиссы погрешность приближения числа α составит — (1/2)∙2^-m = 2-^m-1. Поэтому для достижения потребной точности ε мы должны иметь

2^-m-1 < ε => -m - 1 < log₂ ε => m > -log₂ ε - 1 = log₂(1/ε) - 1.

Таким образом для достижения точности ε мы должны затратить по меньшей мере

I₂(ε) = log₂ (1/ε) — 1 (1)

бит информации.

2. Разложим теперь наше число α в цепную дробь:

и возьмем в качестве представления числа α последовательность {а₁, а₂…., а_n}, обрезая цепную дробь на n-м члене, т. е. беря n-ю подходящую дробь (поскольку α € (0,1), то, очевидно, а₀ = 0).

Известно, что для записи числа α_i, — требуется в среднем log₂ α_i — бит, и значит для хранения последовательности {а₁, а₂…., а_n} этих бит потребуется по меньшей мере

I_с = Σⁿ_i=1 log₂ a_i = log₂ Пⁿ_i=1a_i

(2)

Остается связать данное количество информации с потребной точностью представления числа α. Этим мы и займемся.

Известно (см. [1], стр. 40, формула (30)), что подходящая дробь

построенная по числу а, приближает его с точностью 1/q²_n:

|α — (p_n/q_n)| < 1/q²_n

Поэтому для приближения α с точностью ε достаточно соблюдения условия

1/q²_n < ε => q_n > 1/√ε

Остается получить оценку сверху для q_n, причем требуется оценить q_n величиной, связанной с I_c. Сделаем это.

Для знаменателей q_n подходящих дробей справедливо рекуррентное соотношение (см. [1], стр. 11, формула (7))

q_к = a_кq_к-1 + a_кq_к-2,

причем по определению полагается q_-1 = 0, q₀ = 1. Тогда q₁ = а₁, q₂ = a₂a₁ + 1, q₃ = a₃a₂a₁ + a₃ + a₁ и т. д.

Лемма. Для знаменателей q_n верна оценка q_n <= 2^n-1π_n, где π_n= Пⁿ _i=1= a_i.

Доказательство (методом мат. индукции). Для n = 1 утверждение верно, ибо q₁ = а₁. Предположим, что оценка верна для всех k и n. Тогда

поскольку выражение в круглых скобках не превосходит единицы ибо а_n >= 1, а_n+1 >= 1. Лемма доказана.

Опираясь теперь на лемму, заключаем, что для аппроксимации числа α с точностью ε должно быть:

1/√ε < q_n =< 2^n-1Пⁿ_i-1 a_i

Следовательно, используя (2), находим:

Таким образом, учитывая (1), получаем соотношение:

I_c(ε) >= (1/2)∙I₂(ε) - n + 3/2

Впрочем, данная оценка довольно груба. Ее можно немного усилить.

С другой стороны, очевидно, q_n >= Пⁿ _i=1 a_i (доказывается тоже индукцией), поэтому если

1/q²_n < ε < 1/q²_n-1

то

q_n-1 < 1/√ε < q_n

(5)

и, значит

Поэтому,

I_c(ε) <= 1/2∙I₂(ε) + 1/2 + log₂ a_n

Если принять, что 1/q²_n < ε, то оценка упрощается:

I_c(ε) <= 1/2∙I₂(ε) + 1/2

Таким образом видим, что теоретическая нижняя граница для I_c(ε) — объема данных, потребных для хранения вещественного числа а, оценена нами как сверху (формулы (6) и (6’)), так и снизу (формула (4)). Поэтому в случае больших объемов информации (I_c(ε) —> оо) представление числа в виде цепной дроби требует примерно вдвое меньшего количества бит, т. е. достигаемое сжатие — порядка 50 %.

3. Оценку (6) можно несколько улучшить. Для этого достаточно вместо (3) использовать более точную оценку приближения произвольного числа а подходящими дробями. Именно, ([1]. стр. 30) имеют место неравенства:

(7)

Поэтому если дробь p_n/q_n — первая из последовательности подходящих дробей, которая приближает число а с точностью ε, то, очевидно, имеют место неравенства:

и в тоже время

Из последнего неравенства вытекает

q_n-1q_n <= 1/ε (8)

Но

q_n-1q_n = q_n-1(a_nq_n-1 + q_n-2) >= a_nq²_n-1

Поэтому (8) превращается в неравенство

каковая оценка является просто уточнением первого из неравенств (5). Поэтому точно так же, как и раньше получаем уточненную оценку для I_c(ε):

_{Список литературы}

_{[1] А. Я. Хинчин. Цепные дроби. Государственное изд-во физ. — мат. лит-ры. М., 1961.}

Из книги "Физики продолжают шутить".

На самом деле решение Дирака, хоть и остроумно, но, строго говоря, неверно, и во всяком случае неполно. Приведем полное, "математическое" решение, т. е. найдем ВСЕ решения.

Решение.

Пусть в начале рыб было n₀ (количество, после того, как уехало 0 рыбаков). Первый рыбак выбросил одну (лишнюю) рыбину (n₀ — > n₀ — 1), после чего количество рыбин стало делиться на 3, и взял 1/3 оставшегося улова, и после себя он оставил n₁ = (2/3)∙(n₀ — 1) рыбин. Аналогичным образом действовали и остальные рыбаки, так что после отъезда 2-го рыбака рыб осталось n₂ = (2/3)∙(n₁ — 1), а после отъезда 3-го — n₃ = (2/3)∙(n₂ — 1). Подставляя в последнее равенство выражения для n₂ и n₁, получаем:

В итоге получаем уравнение, требующее разрешения в целых числах:

8n₀ — 27n₃ = 38.

Для упрощения расчетов имеет смысл уменьшить входящие в уравнение числа перейдя к новым переменным n₀ = n₀ + k, n₃ = n₃. Если взять k = 5, то уравнение превратится в

27n₃ — 8n₀ = 2. (1)

Это уравнение имеет вид

ах — by = с (1')

т. е. является диофантовым уравнением, и нужно найти все решения данного уравнения. Как это сделать?

Взглянем на уравнение (1') с точки зрения теории сравнений. В самом деле, требуется найти такое число х, что ах отличается от заданного числа с на слагаемое, кратное Ь. Иными словами, разность ах — с делится на Ь, т. е. (ах — с) = ()(mod b) или

ах = c(mod Ь). (1")

То же самое можно выразить словами: "ах сравнимо с с по модулю b" или "ах принадлежит тому же классу вычетов по модулю Ь, что и с". Т. е. мы свели уравнение с двумя неизвестными (х и у) к уравнению с одним неизвестным, поскольку ясно, что из (1'), зная х, сразу же можно найти у. Однако х все же не произволен, а именно — удовлетворяет (1").

Кроме того, можно усмотреть следующее. Уравнение (1') (или (1")) — это неоднородное сравнение первой степени (т. е. линейное сравнение). Согласно общей теории, общее решение неоднородного сравнения есть сумма частного решения неоднородного сравнения и общего решения однородного сравнения ах = ()(mod b). Таким образом, задача разбилась на две.

Займемся сначала неоднородным сравнением (1") — Рассматривая эквивалентное уравнение (1'), замечаем (стандартное рассуждение — см. [1]), что если числа а и b делятся на число k, то на это же число должно делиться и с. Поскольку это верно для любого общего делителя а и Ь, то это верно и для их наибольшего общего делителя (а, Ь) =< 1. Таким образом, делимость с на <1 — необходимое условие разрешимости сравнения (1").

В нашем случае а = 27, b = 8, (а, Ь) = 1, т. е. числа а и b взаимно просты, поэтому сравнение (1") разрешимо при любом с.

Из приведенного рассуждения следует и способ решения сравнения (1") — Если мы умеем решить уравнение ах₀ — by₀ =< d, то умножив его на целое число c/d (поскольку необходимо с делится на d), мы получим решение уравнения (1').

В нашем случае d = 1, и кратчайший способ решения уравнения ах₀ — by₀ = 1 дается в [2]. Именно, надо разложить число a/b в цепную дробь, и если а = р_n, b = q_n то положить х = (-1)^n-1q_n-1, y = (-1)^n-1p_n-1.Это следует просто из того, что q_{n_1}p_n — q_np_n-1 = (-1)^n-1.

В нашем случае

Поэтому

И в самом деле: 27∙3–8∙10 = 81–80 = 1, поэтому берем x₀ = 3, у₀ = 10. Значит частным решением уравнения аx₁ — by₁ = с будет х₁ =3∙2, y₁ = 10∙2.

Что касается однородного уравнения ах — by = 0, то очевидным семейством решений его будет х = b∙k, у = a∙k, k — произвольное целое число. То, что это общее решение однородного уравнения следует из того, что данное уравнение эквивалентно сравнению ах = ()(mod b) и в силу взаимной простоты а и b это сравнение можно поделить на а (см. [3]), после чего сравнение превращается в х = ()(mod b), т. е. х должно делиться на Ь.

В итоге, получаем решение

уравнения (1). Поэтому в исходных переменных получаем:

Если здесь положить k = —1, то получаем дираковское решение: n₀ = n₃ = —2. Однако видно, что оно вовсе не наименьшее, и существует множество других, еще меньше. Впрочем, в каком-то смысле дираковский ответ действительно наименьший из возможных: именно, если искать наименьшее по абсолютной величине возможное количество рыб, то таким в самом деле окажется (-2).

_{Список литературы}

_{[1] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 285.}

_{[2] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 303.}

_{[3] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 275–276.}

Рассмотрим вопрос о количестве решений уравнения

a^x = log_ax (1)

на полуоси х > 0 при 0 < a < 1. Именно, нас интересует вопрос о том, при каких a количество решений равно трем.

Если ψ(х) = а^х, то log_a х = ψ^-1(х), и наше уравнение (1) принимает вид ψ(х) = v^-1(х), что равносильно ψ(ψ(х)) = x или

(2)

Для удобства дальнейшего введем новую переменную t = х∙In а и функцию

Тогда

(3)

и уравнение (2) превращается в

(4)

Найдем количество решений данного уравнения. Для этого прежде всего исследуем функцию F(t).

Поскольку исходная функция ψ(х) определена на интервале х > 0 и 0 < а < 1, то In а < 0 и t = х In а < 0, т. е. функция F(t) определена на интервале t € (—оо,0).

Асимптотики в предельных точках: lim_t->-ooF(t) = 0–0, lim_t->0–0F(t) = —oo. Т. е. функция F имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Далее,

Рис. 1: График функции F(t)

Для нахождения экстремумов функции F рассмотрим функцию φ(t) = te^t и найдем корни уравнения φ(t) = 1/ln a. Видно, что на интервале t € (—оо,0) имеют место соотношения: lim_t->oo φ(t) = 0–0, φ(0) = 0. Далее, φ'(t) = e^t(t + 1), φ"(t) = e^t(t + 2) и вообще φ⁽ⁿ⁾(t) = e^t(t + n). Поэтому minimum функции φ находится в точке t_min — 1 и равен φ_min = — e^-1

Рис. 2: График функции φ(t) и определение положения точек t₁, и t₂.

Значит:

1) При 1/ln a <= — e^-1 <=> a >= e^-e экстремумов у функции F нет.

2) При а < е^-e функция F имеет один minimum в точке t₁, равный F_min = a^et1/t₁ и один maximum в точке t₂ > t₁, равный F_max = a^et2/t₂; при этом t₁ < = t_min= -1 и t₂ > t_min = -1.

Таким образом уравнение (4) имеет три решения только в случае 2) и лишь в том случае если

F_min > 1/ln a < F_max. (5)

При этом в случае 2) условие (5) является не только необходимым, но и достаточным для наличия у уравнения (4) трех решений. Точки t₁ и t₂ определяются условиями φ(t₁) = t₁e^t1 = φ(t₂) = t₂e^t2 = 1/ln a. Т. е. необходимое и достаточное условие наличия трех решений принимает вид

Левые части уравнений в условиях (6) не зависят от а, и потому эти уравнения имеют вид f(t) = g(a), в то время как неравенства (6) данным свойством не обладают (обе их части зависят от а), что неудобно. Выразим из первого уравнения e^t1= 1/t₁lna и подставим это в соответствующее неравенство. Тогда получим

Аналогично, F_max = e^1/t2/t2. Тогда условия (6) превращаются в

Вспоминая определение функции φ, перепишем условия в форме:

Данные условия удобны тем, что левые части их не зависят уже от а (т. к. функция φ не зависит от а) и имеют вид f(t) = g(а) (т. е. переменные t и а разделены).

Рис. 3: Графики функций φ(t) (красный) и φ(1/t) (синий) и определение точек t1 и t2 (зеленая прямая — на уровне 1/ln a).

Проверку условий (9) проведем в два этапа: сначала докажем выполнение усиленного варианта второго из условий (9), а затем увидим, что первое условие (9) следует отсюда уже автоматически.

Поскольку точки t₁ и t₂ определяются как точки пересечения графика функции φ(t) с горизонтальной прямой на высоте 1/ln a, функция φ(t) имеет единственный minimum в точке t_min = —1, то ясно, что t₁ < —1 < t₂.

Покажем, что Vt € (—1,0) φ(1/t) > φ(t). Для этого рассмотрим функцию ξ(t) = φ(t)/φ(1/t) = t²е^{t — 1/t}'. Ясно, что ξ(-1) = 1, а поскольку

Дальше все просто. Т. к. φ(t) < φ(1/t) Vt € (—1,0), то (обозначив 1/t через τ):

Поскольку t₁ < —1 < t₂, то соединяя (11) и (12), мы получим оба условия (9). Что и требовалось.

Коль скоро при a < е^-e оба условия (9) выполнены, то действительно функция F имеет 1 minimum и 1 maximum, выполняется условие (5), и уравнение (4) в самом деле имеет три решения. Значит, и эквивалентное ему исходное уравнение (1) имеет три решения. Указанное положение дел иллюстрируется Рис. 4.

Рис. 4: Графики функций у = a^x (красный), у = log_a х (синий) и у = х (зеленый) — случай трех точек пересечения.

Одна из точек пересечения графиков функций у = a^x (красный) и у = log_a x; (синий) лежит на прямой у = х, т. е. является еще и решением уравнений а^x = х и log_a х = х, а остальные две симметричны относительно этой прямой. При а —> е^-e данные точки «слипаются» на прямой у = х, при а = е~^е имеет место касание графиков функций у = а^х и у = log_a х, а в дальнейшем, т. е. при a > е^-e точка пересечения будет уже одна, и находиться она будет, конечно же, снова на прямой у = х (Рис. 5).

Рис. 5: Графики функций у = а^х (красный), у = log_a х (синий) и у = х (зеленый) — случай одной точки пересечения.

Рассмотрим уравнение линейного одномерного классического осциллятора с трением (уравнение затухающих колебаний):

х^∙∙ + 2δх^∙ + w²₀х = 0. (1)

Соответствующее характеристическое уравнение

λ² + 2δλ + w²₀ = 0 имеет корни

λ_1,2 = — δ ± √(δ² — w²₀) — δ ± ip,

где

p = √(w²₀ — δ²)

Поэтому общее решение уравнения (1) есть:

x(t) = e^-δt(Ae^-ipt + Be^ipt). (2)

Уравнение второго порядка — две произвольные постоянные для того, чтобы удовлетворить любым начальным условиям.

Однако, здесь возникает трудность. Вот что говорит по этому поводу Л. И. Мандельштам («Лекции по теории колебаний», стр. 138):

«Рассмотрим последний случай, когда

δ = w₀, λ₁ =λ₂

При этом решение (2) принимает вид:

х = Ае^-λt. (3)

Если мы захотим приспособить такое решение к начальным условиям, то нам не хватит одной постоянной интегрирования. Нетрудно, однако, показать, что в этом специальном случае наряду с решением вида (3) имеет решение вида tе^-λt и общее решение таково:

х = Ае^-λt + Btе^-λt. (4)

В нем опять имеются две независимые константы, и его можно приспособить к любым начальным условиям.

Случай, когда λ₁ и λ₂ почти равны друг другу, и случай, когда они в точности равны, физически близки друг другу. Замечу, что этот случай важен в теории измерительных приборов. Часто требуется, чтобы измерительный прибор как можно быстрее приходил в положение равновесия. Оказывается, это требование выполняется как раз тогда, когда характеристическое уравнение имеет равные корни.»

В самом деле, физически ситуацию λ₁ и λ₂ от ситуации λ₁ ~= λ₂ мы отличить не можем из-за конечной точности измерения любых величин и, в частности, коэффициентов уравнения (1) (в какой-то момент δ станет неотличимым от w₀, не будучи равным ему в точности), в то время как решения (2) и (4) уравнения (1), отвечающие этим различным ситуациям, различаются весьма существенно. Перепишем решение (4) в виде, схожем с видом решения (2):

x(t) = e^-δt(A + Bt). (5)

Таким образом видно, что асимптотики решений (2) и (5) существенно различны: в первом случае затухающая экспонента, умноженная на осциллирующие (и, стало быть, ограниченные) синус и косинус, а во втором — такая же экспонента (δ уже неотличимо), умноженная на растущую линейную функцию, и никаких осцилляций. Получается как бы парадокс: физически неразличимые ситуации можно различить…

Разрешение этого «парадокса» на следующей странице.

Возникновение данного «парадокса» заключается в неправильном понимании того, что именно должно быть неразличимо при λ₁ ~= λ₂. На деле физическое требование неразличимости ситуаций λ₁ ~= λ₂ и λ₁ = λ₂ заключается в том, что при δ —> w₀ переходить друг в друга должны не общие решения (2) и (5) уравнения (1), а решения физической задачи, каковой является задача Коши о колебаниях осциллятора с данными начальными условиями х₀ и х^∙₀. А последнее свойство как раз имеет место. Убедимся в этом.

При δ = w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(6)

При δ —> w₀ общее решение должно переходить именно в него.

В общем случае δ /= w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(7)

При δ —> w₀ частота осцилляций р —> 0, дробь > sin pt/p — > t, cos pt —> 1, и решение (7) переходит в (6). Видно, что хотя формально осцилляции (т. е. члены с синусом и косинусом) в решении (7) сохраняются всегда, но частота их (именно, р) становится столь малой, что на не слишком больших временах (много меньших, чем период колебаний τ = 2π/p >>1) они незаметны. Т. е. отличие δ от w₀о можно заметить лишь через очень большое время, и тем большее, чем меньше эта разность, что физически разумно.

Задача: "Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы M, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы m (m < M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скоростью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Доказать что при M/m > оо, N/√(M/m) = —> π где N — число соударений малого шара с большим и стенкой."

Утверждается что при:

M/m = 1, N = 3 (всем ежам ясно);

M/m = 100, N = 31;

M/m = 10000, N = 314;

M/m = 1000000, N = 3141,

ну и т. д.

Решение.

Рассмотрим процесс упругого соударения двух шаров. Введем некоторые обозначения. Скорость большего шара обозначим через V₁ малого — через v₂. Эти скорости — алгебраические величины, т. е. они могут быть любого знака, смотря по тому, в какую сторону движется шар. Так, в начальный момент времени (до соударений) V₁⁽⁰⁾ < 0, v₂⁽⁰⁾ = 0. Отношение масс шаров M/m обозначим через x.

Известно, что в системе центра масс (Ц.М.) системы двух шаров столкновение заключается в том, что шары меняют свои скорости на противоположные. Поэтому обозначая скорости шаров в системе Ц.М. до столкновения через, соответственно, V^~₁^- и v^~₂^-, после столкновения — соответственно, V^~₁⁺ и v^~₂⁺, а скорость самого Ц.М. — через v_c, получаем:

Т.е., подставляя (1) в (2), для скоростей шаров после соударения получаем:

После столкновения шаров легкий шар (второй) еще сталкивается со стенкой. При этом скорость тяжелого шара не меняется, а скорость легкого меняется на противоположную: v₂⁺ |-> v₂⁺. Таким образом, если до k-го столкновения шары имели скорости, соответственно, V₁^(k) и, v₂^(k), то перед следующим, (л + 1) — м столкновением скорости их будут:

Перепишем эти соотношения в терминах параметра х = M/m:

Станем теперь в каждый момент времени характеризовать состояние системы вектором

Получаем дин. систему:

с начальным состоянием

Значит, вообще

Обозначим матрицу через Т и займемся ее спектральным анализом.

Собственные числа Т находятся из секулярного уравнения

Корни его суть λ± = х — 1 ± 2i√x, а собственные векторы, им отвечающие — суть векторы

Поэтому матрица Т диагонализуется в базисе {e^->±}, т. е.

Значит, эволюция нашей системы описывается соотношением:

Перемножая матрицы, получим:

Рассмотрим первую компоненту этого вектора, т. е. скорость тяжелого шара на n-м шаге:

Т.к. λ_ = λ^-₊, то и λⁿ_= а значит,

Далее, имеем: λⁿ₊ = (х — 1 + 2i√x)ⁿ = (х + 1)ⁿe^inφ, где φ = arctg (2√x/(x-1)). Поэтому

V₁⁽ⁿ⁾ = V₁cos (n∙arctg (2√x/(x-1))).

Теперь мы в состоянии решить поставленную изначально физическую задачу. В самом деле, нам необходимо определить асимптотику числа соударений N легкого шара о тяжелый и стенку при условии х —> оо. Чем определяется это число N для любого конечного значения параметра х? Взаимодействие шаров можно представлять себе следующим образом: в начальный момент времени тяжелый шар движется к стенке со скоростью V₁. При этом он сначала замедляется по мере того, как легкий шар отбирает у него энергию, затем тяжелый шар останавливается, и наконец, процесс идет в обратном направлении, т. е. легкий шар начинает отдавать обратно запасенную энергию, разгоняя таким образом тяжелый шар до его начальной скорости (поскольку потери энергии отсутствуют). Значит, если мы определим номер шага n, на котором выполняется условие

V₁⁽ⁿ⁾ = — V₁

то число соударений N будет равно 2n (поскольку учитываются и соударения легкого шара со стенкой тоже, а соударения легкого шара с тяжелым шаром и со стенкой чередуются). Но условие (3) означает

При х —> оо дробь

поэтому, раскладывая арктангенс в окрестности нуля в ряд Тейлора, получаем:

Заменяя в последнем асимптотическом равенстве 2n на N и устремляя х к бесконечности, получаем:

N ~ π√x, х —> оо

что и требовалось.

Прибавление. На самом деле в решении есть лакуна. Конечное состояние системы, после последнего столкновения отвечает не обязательно нулевой скорости меньшего шара и скорости — V₁ у большего. Такое конечное состояние соответствует случаю, когда последнее столкновение легкого шара происходит с тяжелым шаром, а не со стенкой, и необходимым условием выполнения условия (4) является кратность π числу arctg (2√x/(x-1)). Последнее же условие выполняется далеко не при любом х. В тех случаях, когда условие (4) не выполняется последнее столкновение легкий шар претерпевает со стенкой и катится затем в сторону тяжелого шара, но уже больше не догоняет его из-за того, что скорость его стала меньшей, чем у тяжелого шара. Таким образом максимально строгое условие, налагаемое на n будет:

|V₁⁽ⁿ⁾| > |v₂⁽ⁿ⁾|. (5)

Из выражения для V^{-> (n)} найдем v₂⁽ⁿ⁾

Поэтому условие (5) превращается в:

Первый вариант соответствует началу процесса, второй — его завершению. Поскольку arctg (1/√x) — бесконечно малая величина при x —> оо, то последнее условие переходит в (4), так что решение с этого места не меняется.

Попробуем разобраться в вопросе о происхождении приливных сил на Земле. Рассмотрим систему двух тел: Земля — Луна (Рис. 1).

Рис. 1

Обычно говорят, что приливные силы на Земле возникают в точках А и В и обусловлены неоднородностью гравитационного поля Луны на расстояниях порядка земного диаметра (примерно 12 000 км), и это верно. В самом деле, гравитационное ускорение, испытываемое единичной массой воды в точке А из-за силы притяжения Луны составляет f_A = Gm/(r + R)², где G — гравитационная постоянная, m — масса Луны, r — расстояние между центрами Земли и Луны, R — радиус Земли. Аналогичное ускорение, испытываемое водой в точке В, составит f_B = Gm/(r — R)²_’ а ускорение самой Земли (которую мы полагаем твердым телом) будет между этими значениями: Gm/r². Таким образом, разность гравитационных сил притяжения Луны, действующих на воду в точках А и В, как бы растягивает водную массу (как, впрочем, пытается растянуть и Землю) в стороны и отодрать ее от Земли, причем эта разность составляет

Сила же, отрывающая единичную массу воды в точках А и В от поверхности Земли, одинакова и по абсолютной величине составляет |f_A — f_B| = 2GRm/r³_’

Однако наряду с гравитационным эффектом есть еще и центробежный. Именно, известно, что система Земля — Луна в соответствии с законами Кеплера вращается вокруг центра масс (обозначенного нами точкой С), расположенного на расстоянии р_E от центра Земли и р_M — от центра Луны, причем р_E = (m/(m + M))∙r, р_M = (M/(m + M))∙r, а M/m = 81. При этом единичные массы воды, расположенные в точках А и В, имеют центростремительные ускорения а_A = w²(p_E + R), а_B = w²(p_E — R), в то время как Земля имеет среднее ускорение а_O = w²p_E. Значит, в неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на эти массы воды будут действовать центробежные силы, также стремящиеся отодрать воду от Земли, растянуть всю систему, и их разность составит Δа_AB = 2w²R. Остается найти w² и сравнить эффекты.

Т.к. тело массы M вращается по круговой орбите радиуса р_E вокруг точки С под действием силы гравитационного притяжения GMm/r², то

откуда

Таким образом получается, что

Т.е.

Мы видим таким образом, что если все вышеизложенное верно, то центробежный эффект не только присутствует, но и вносит основной вклад в поднятие воды при приливах, поскольку на порядок (вроде, в 40 раз!) сильнее.

В то же время представляется, что оба эффекта независимы, и обсуждать их надо по отдельности, поскольку порождены они различными физическими явлениями. Обосновывается данная мысль тем, что мы можем в принципе выделить эффекты по отдельности и рассматривать их изолированно один от другого. Для иллюстрации сказанного представим себе две группы ситуаций, в которых каждый раз действует лишь один эффект:

1. Никакого вращения нет, сила притяжения между Землей и Луной действует как обычно, но сами эти небесные тела прибиты к своим неподвижным местам гвоздями. Тогда, разумеется, никакой центробежной силы нет, Δа_AB = 0, а неоднородность гравитационного поля Луны сохраняется, и потому приливы все-таки есть, но они чисто гравитационные. Т. е. воду от поверхности Земли отрывает лишь гравитация. Правда, поскольку вращение системы Земля-Луна вокруг их общего центра масс мы здесь выключили, то не только Δа_AB = 0, но и вообще центробежной силы нет, сила притяжения воды Луной ничем не компенсируется, и потому вода (в той или иной степени) соберется в точке В и будет свисать там каплей. Таким образом, в данной ситуации в точке В будет наблюдаться мега-прилив, а в точке А — мега-отлив.

1’. То же, что и в пункте 1, но Земля не прибита гвоздями к своему месту, а поступательно падает на Луну под влиянием закона Всемирного Тяготения. Опять Δа_AB = 0 (поскольку никакого вращения нет и в помине).

В неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, сила притяжения Луны компенсируется силой инерции, но происходит это лишь в центре Земли, а в точках А и В компенсация неполная, так что мега-приливов не будет, а будут симметричные приливы (гравитационные) в точках А и В. В инерциальной системе отсчета, связанной с системой отсчета центра масс системы Земля-Луна ситуация выглядит так: Земля падает на Луну с ускорением, равным местному ускорению свободного падения Луны в точке О, а массы воды в точках А и В падают со своими ускорениями, отличающимися от ускорения Земли — за счет этого происходит растяжение системы Земля-вода. Чисто гравитационное растяжение…

2. Никакой Луны нет, а мы просто берем Землю и вращаем ее на веревке с угловой скоростью си вокруг точки С. Тогда нет никакой неоднородности гравитационного поля Луны (за отсутствием самой Луны), Δа_AB = 0, зато есть центробежные силы, и притом ровно такие, как вычислено. Опять наблюдаются мега-прилив и мега-отлив, но теперь они меняются местами: мега-прилив — в точке А, мега-отлив — в точке В. Ясно, что данные явления чисто центробежные, и из наших рассмотрений явствует, что по величине, они больше, чем чисто гравитационные в случае 1.

2’. Для получения чисто центробежного прилива, и притом не мега-прилива, а обычного (в частности — симметричного) представим себе систему, состоящую из обычной Земли и Луны, каковая представляет собой бесконечную гравитирующую плоскость, не проходящую через центр Земли. Известно, что гравитационное поле такой плоскости однородно, и потребуем, чтобы напряженность его была равна реальной напряженности гравитационного поля реальной Луны в точке О. Ясно, что данная модель является предельным случаем большой по размеру Луны — много большей Земли. Пусть, кроме того, вся эта система вращается вокруг общего центра масс с угловой скоростью w. Тогда опять, Δа_AB = 0 — потому что гравитационное поле Луны однородно, но центробежная сила сохраняется и дается тем же выражением, что и раньше, что вызывает центробежные приливы, и притом симметричные, поскольку здесь в точке О опять происходит компенсация силы притяжения Луны силой инерции, только на сей раз не поступательной — как в случае 1’ — а центробежной. В точках же А и В компенсации не полные и отличаются лишь знаком, в результате чего там и образуются центробежные горбы, и притом большие, чем в случае 1’.

Разница случаев 2 и 2’ состоит в том, что гравитация — такая хитрая штука, которая тянет к себе все — и Землю и воду, и экранироваться от нее нельзя, в то время как веревка (на которой мы собирались вращать Землю), будучи прикрепленной к Земле, тянет лишь ее.

Таким образом мы предъявили модели, в которых эффекты (центробежный и гравитационный) разделены, и потому могут трактоваться независимо. В силу же большего влияния центробежного эффекта (в 41 раз!) представляется, что правильнее будет говорить, что эффекты приливов объясняются в основном им.

Почему в литературе не упоминаются центробежные эффекты как независимые — непонятно.