Кеплер. Движение планет

ГЛАВА 2 Астроном

Астрономия имеет две точки опоры: наблюдение и теорию. Судьба свела вместе двух астрономов – лучшего наблюдателя и лучшего теоретика, Браге и Кеплера. Однако их взаимное научное притяжение наткнулось поначалу на такую же сильную личную неприязнь. Впрочем, ученые смогли пересилить себя, и результат оказался грандиозным: три закона Кеплера о движении планет, первые шаги к созданию теории тяготения Ньютона. Тихо Браге хотел, чтобы Кеплер оставил Землю в центре мира. Однако коперниканец Кеплер ослушался Браге и поставил в центр мира Солнце.

Сотрудничество Тихо Браге (1546-1601) и Кеплера стало решающим для развития астрономии. Великий наблюдатель нуждался в великом теоретике, а великий теоретик не меньше нуждался в великом наблюдателе. Их встреча произошла в Праге – здесь оба нашли пристанище в результате изгнания из родных стран. После того как умер монарх – покровитель Тихо Браге, астроном был выселен со своего острова-обсерватории Вен в Дании. Его обвиняли в том, что он не принял за 18 лет ни одного причастия, однако главной причиной были расточительство Браге и деспотизм по отношению к местным жителям и слугам. Наблюдатель сменил несколько стран, пока наконец не получил в Праге должность математика при дворе императора Рудольфа И, серьезно увлекавшегося астрологией и астрономией.

Он обосновался в Бенатеке, городке неподалеку от Праги, и руководил строительством новой обсерватории. Воодушевленный император оказывал Браге всяческую помощь (впрочем, не всегда регулярную) для того, чтобы тот смог построить обсерваторию, ничем не уступающую Ураниборгу в Дании, где астроном работал раньше. Здесь Браге прочитал работу Кеплера «Тайна мира», которую тот отправил ему для комментариев и критики. Выдающийся астроном был восхищен прочитанным и пригласил молодого математика погостить. Кеплер воспользовался возможностью познакомиться с Тихо Браге и получить от него самые точные данные о планетах. Браге же надеялся, что математик приведет результаты его наблюдений в соответствие с моделью, согласно которой Меркурий и Венера вращались вокруг Солнца, а Солнце и другие планеты – вокруг Земли, которую Тихо Браге продолжал считать центром мира.

На рисунке 1 воспроизведена модель Птолемея, основанная на интуитивном понимании Вселенной в соответствии с принципом «динамической демократии». Мы видим множество неподвижных объектов в нашем окружении и некоторые движущиеся звезды. Подсознательно мы считаем, что большинство объектов неподвижны, и на этом основании заключаем, что Земля также неподвижна. Система Тихо Браге изображена на рисунке 2. Эта модель считается переходной и немного усложненной. В действительности она не лишена зерна истины, потому что Меркурий и Венера никогда сильно не отдаляются от Солнца. Наконец, на рисунке 3 представлена система Коперника. На моделях не отмечены эпициклы. Модель Кеплера соответствовала модели Коперника, но отличалась эллиптическими орбитами.

РИС. 1 Птолемеева модель.

РИС. 2 Модель Тихо Браге.

РИС.З Коперниканская модель.

Кроме этого, существовала модель Леверье – Эйнштейна с незамкнутыми из-за прецессии перигелиев орбитами, о которой мы поговорим чуть позже.

Именно из-за этого желания сотрудничество имело такое неудачное начало. Визит состоялся в 1599 году, Браге было на тот момент 53 года, а Кеплеру – всего 28. Но гораздо важнее была разница не в возрасте, а в характерах. Дворянин Браге был энергичным, авторитарным и экстравагантным. На острове Вен в его распоряжении были уникальные инструменты, множество слуг и ассистентов, коллекция технических изобретений, приборов, собственная типография и даже ручной лось. Во время дуэли астроном потерял нос и носил золотой протез, и это вкупе с другими необычными чертами сделало из него героя легенд. Помощников, которые ошибались в расчетах, Браге запирал в подземной тюрьме, и хотя с Кеплером он так поступать не собирался, изначально он посчитал юношу еще одним своим ассистентом, а не равным партнером. Кеплеру приходилось терпеть от властного хозяина дома насмешки, переменчивое настроение и любовь к выпивке, хотя при этом Браге все же проявлял определенную доброту и понимание.

Кеплер, напротив, происходил из низших слоев. Его тетя была сожжена как колдунья, а отец – искатель неприятностей – чудом избежал виселицы. Кеплер привык жить скромно и самостоятельно работать над интересующими его темами. Но в Праге он оказался в подчинении и вынужден был терпеть не только Браге и его родственников, но и зависть помощников астронома, которые ревниво наблюдали за тем, как молодой математик взял в работу часть их тем.

Как и следовало ожидать, вскоре между исследователями произошла ссора. Кеплер вернулся в Грац и написал Браге резкое письмо, за которым, впрочем, последовало еще одно письмо, теперь с извинениями. Кеплер обвинял себя в том, что не сумел оценить великодушие Браге, однако отмечал, что не претендовал на какие-то особые личные отношения и хотел всего лишь получать определенное жалованье и рассчитывал на уважение, соответствующее его работе и достижениям. После бури наступило затишье, и через три недели Кеплер вернулся в Прагу: ученые нуждались друг в друге и поэтому решили продолжить сотрудничество.

Условия работы были такими: Кеплер должен получать свое жалованье в 200 флоринов в Граце, а Браге в дополнение к этому постарается получить от императора еще 100 флоринов надбавки. (Самому ему за работу полагались 3000 флоринов.) Кроме этого, Браге брал на себя обязательство получить у Рудольфа II разрешение на то, чтобы Кеплер остался работать в Богемии в течение двух лет.

Однако в это время в Граце развернулись непредвиденные события. Папистская нетерпимость усилилась, и перед Кеплером был поставлен ультиматум: изгнание или переход в католичество. Ученый не пожелал отказаться от своей веры и выбрал изгнание.

Гравюра, на которой изображен Тихо Браге (слева), беседующий с Иоганном Кеплером.

Иллюстрация к одной из работ Браге, Historia coelestis («История неба», 1666), на которой изображен Ураниборг.

Планисфера, включенная в Рудольфовы таблицы, содержащие ценные астрономические данные, собранные Тихо Браге.

Кеплер всегда защищал идею примирения католиков, протестантов и кальвинистов, за что испытывал гонения со стороны всех участников противостояния: убежденные лютеране считали его отступником и при этом были солидарны с папистами, которые заявляли, что теория Коперника является еретической.

Итак, Кеплер был изгнан из Граца. Хотя Грац не был его родиной, в этом городе родилась его жена, здесь жили многочисленные друзья и почитатели ученого. Кеплер оказался практически на улице. Он не знал, может ли вернуться в Прагу, ведь предложенные Браге условия подразумевали, что он сохранит свое жалованье в Граце, а теперь это стало невозможным. Кроме того, Кеплер не был уверен, что сработается со своенравным датчанином. Что и говорить, на сердце у него было нелегко.

Однако Браге проявил щедрость: он пообещал позаботиться о том, чтобы Кеплер получал достаточное жалованье. Все еще сомневающийся Кеплер обратился к Мёстлину с просьбой помочь ему получить пост в одном из немецких университетов. Он был бы рад работать в Тюбингене или Линце, который находился неподалеку от Граца и позволял не обрывать родственные связи его жены и дружеские связи самого Кеплера. Ученый разослал прошения повсюду, но, так и не дождавшись ответов на свои письма, все же отправился в Прагу. Как оказалось позже, он ничего не потерял: ответ из Линца так и не пришел, а в письме Мёстлина, которое Кеплер получил уже в Праге, тоже не было ничего утешительного. Учитель не смог найти место для своего талантливого ученика.

К счастью, во второй раз сотрудничество Браге и Кеплера оказалось удачным. Ученые поняли друг друга и даже сблизились. На щедрость Браге Кеплер ответил благодарностью и признательностью, которые сохранил на протяжении всей жизни. Браге предчувствовал скорую кончину и знал, что только Кеплеру может поручить завершение работы всей своей жизни – составление таблиц с данными, точность которых не имела аналогов в истории.

На смену геоцентрической птолемеевой системе пришла гелиоцентрическая система Коперника. Не стоит забывать, что она также была не совсем правильной, поскольку предполагала, что Солнце – это центр Вселенной. Кеплер усовершенствовал модель, но продолжал придерживаться исходного предположения, противоречащего современной науке. Однако смещение Земли с ее центрального места было шагом в верном направлении, и в результате следующих шагов Солнце также утратило привилегированное место во Вселенной. Об этом говорил еще Николай Кузанский. Итальянец Джордано Бруно, современник Кузанского, Кеплера и Галилея, защищал более современную космологическую систему: он говорил о том, что Солнце не является центром, а многие так называемые неподвижные звезды могут быть такими же светилами, как наше Солнце, и удерживать в своих системах такие планеты, как Земля. В концепции Бруно Солнечная система была одной из многих планетарных систем. Мы и сами сегодня утверждаем, что, помимо нашего мира, может существовать бесконечное количество других обитаемых миров. Однако шаги в этом направлении сделал Бруно в XVI веке. Речь шла не только о выборе между геоцентризмом или гелиоцентризмом. Существовала и третья, более интересная возможность: центром не являются ни Земля, ни Солнце. За свои воззрения Бруно в 1600 году был сожжен заживо на костре инквизиции.

Бронзовый барельеф работы итальянского скульптора Этторе Феррари, который изобразил Джордано Бруно перед судом инквизиции. Составляет часть статуи, воздвигнутой на площади Кампо деи Фиори в Риме, на том месте, где Бруно был сожжен.

Эти таблицы будут позднее названы Рудольфовыми. Браге и Кеплер отправились на прием к императору, который с воодушевлением встретил ученых. Кеплеру было назначено жалованье от империи, и начался самый интересный с научной точки зрения период жизни прославленного математика.

Семья Кеплера все еще оставалась в Граце. Кеплер и сам отправился туда для решения вопросов о наследстве умершего тестя. Приняли ученого в городе очень хорошо, однако само дело с наследством ничем не закончилось, и путешествие в этом смысле оказалось бесполезным. Кеплер вернулся в Прагу с женой Барбарой и Региной, ее дочерью от предыдущего брака, к которой ученый испытывал искреннюю отеческую любовь. Были у него с собой также расчеты размера Марса.

Кеплер должен был полностью подчиняться Тихо Браге, очень требовательному во всем, что касалось его главного сокровища – данных наблюдений. Кеплер мог изучать их, работать с ними, но не перекладывать и тем более копировать либо использовать с какой-нибудь другой целью, помимо подтверждения теории Браге об устройстве Вселенной. Эта теория занимала промежуточное положение между птолемеевой и коперниканской, и сам Кеплер в нее не верил.

24 октября 1601 года Тихо Браге умер от поражения мочевого пузыря. Кеплер глубоко переживал смерть коллеги. К тому же после того как тело Браге было отправлено на родину, в Данию, над математиком вновь нависла угроза оказаться на улице. К счастью, этого не произошло. Император назначил его на освободившийся пост придворного математика и оставил в распоряжении Кеплера все инструменты и данные его предшественника и уважаемого друга. Единственным условием было составление Рудольфовых таблиц.

Таким образом Кеплер стал единственным владельцем сокровища, которым он страстно желал обладать. Его жалованье составило 500 флоринов в год – сумму, гораздо меньшую, чем получал Браге, но гораздо большую, чем когда-либо зарабатывал сам ученый. Впрочем, бывало, что эти выплаты довольно сильно запаздывали.

Без всякого сомнения, это был самый продуктивный период в жизни Кеплера как астронома и астрофизика.

Смерть Тихо Браге окружена тайной. Чаще всего утверждается, что он умер от задержки мочи, спровоцированной тем, что ученый вовремя не воспользовался туалетом во время королевского приема. Болезненная агония продолжалась 11 дней. В последнее время появилась гипотеза, что Браге умер от отравления, потому что в его волосах было обнаружена высокая концентрация ртути. Когда начали искать причастных к убийству, подозрение пало на Кеплера. Некоторые даже утверждают, что он отравил своего коллегу, чтобы завладеть всеми данными наблюдений. Однако, зная характер Кеплера, эту нелепую гипотезу невозможно принять.

Кеплер был честным и порядочным человеком. Хотя его разногласия с Тихо Браге были довольно серьезными, особенно в его первый приезд в Прагу, позднее Кеплер испытывал глубокую благодарность к соратнику – единственному, кто помог ему после изгнания из Граца и кто всегда отдавал должное трудам Кеплера и его добросердечности. Большую часть своей жизни он посвятил завершению работы великого и экстравагантного исследователя и организовал публикацию Рудольфовых таблиц. Эту задачу Кеплеру поручил сам император Рудольф II. Он передал в распоряжение ученого все данные наблюдений Браге и самые совершенные в то время измерительные инструменты – предшественники телескопов. Кеплер завершил составление таблиц, считая эту миссию священной для сохранения памяти о своем почитаемом коллеге.

Приведем современную формулировку этих законов, а потом вспомним, как они появились. Итак, три знаменитых закона Кеплера:

– первый: каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;

– второй: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади;

– третий: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Площади Солнце-A-В, Солнце-С-D и Солнце-E-F, проходимые за одинаковые промежутки времени, равны.

Главная ось – это линия апсид, которая проходит от перигелия (самая близкая к Солнцу точка орбиты) к афелию (самая дальняя точка).

Первые два закона иллюстрирует рисунок. Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов эллипса) постоянна. Это определение было предложено самим Кеплером, и согласно ему Джеймс Клерк Максвелл предложил для построения эллипса метод садовника. Для этого в точки фокусов эллипса втыкаются две булавки, к ним привязываются концы нити, затем с помощью третьей булавки нить между иголками оттягивается в сторону. Булавка, оттягивающая нить, скользит, описывая эллипс. В фильме «Агора» режиссер Алехандро Аменабар рассказывает легенду о том, что этот метод изобрела женщина-астроном Гипатия.

Максимальное расстояние от центра эллипса до его границы называется большой полуосью (обозначим ее как а). Минимальное расстояние от центра до его границы называется малой полуосью (b). Эксцентриситет орбиты, е, определяется с помощью формулы:

b=a(1-e2)½

Когда эксцентриситет е равен нулю, b = а, эллипс является окружностью, а его фокусы совпадают в центре окружности. Когда е приближается к 1, эллипс становится все более вытянутым, приближаясь к отрезку при е = 1.

Второй закон подразумевает, что чем ближе планета к перигелию, тем больше ее скорость по сравнению со скоростью в афелии. Перигелий – это самая близкая к Солнцу точка орбиты, афелий – самая дальняя. При круговой орбите нет ни афелия, ни перигелия, и в этом случае скорость движения планеты постоянна.

Рассмотрим третий закон Кеплера для круговой орбиты с нулевым эксцентриситетом. В этом случае сила гравитационного притяжения, действующая на планету, равна ее массе под действием центробежной силы (V²/d):

где G является константой всемирного притяжения, М – массой Солнца, d – расстоянием планеты до Солнца и V – ее скоростью. G и М постоянны независимо от рассматриваемой планеты:

V²d= константа. [1]

Принимая во внимание формулу, которая соотносит линейную скорость V с угловой скоростью Ω,

V = Ωd, [2]

и что период обращения Т связан с угловой скоростью:

Ω=2π/T

подставив [3] в [2] и затем [2] в [1], получаем:

d³/T² = константа. [4]

То есть куб средних расстояний между планетами пропорционален квадрату периода обращения.

Как видите, чтобы сделать такой вывод, нам хватило половины страницы. Почему же Кеплеру не хватило целой книги? Стоит учитывать, что для выведения третьего закона Кеплера мы использовали закон тяготения Ньютона, в то время еще неизвестный. Более того, на самом деле все было с точностью до наоборот: это Ньютон, изучив законы Кеплера, сформулировал закон всемирного тяготения таким образом, чтобы эти законы исполнялись. Приведенные рассуждения, справедливые только при круговой орбите, – лишь способ запомнить третий закон Кеплера.

Приведем таблицу расстояний планет до Солнца. В первой колонке указаны названия планет, во второй – расстояния от них до Солнца в миллионах километров, в третьей – те же расстояния, но с использованием астрономической единицы, которая равна расстоянию от Земли до Солнца. В четвертой эти величины округлены, чтобы их легче было запомнить, и, наконец, в пятом столбце указано время, необходимое лучу света для преодоления этих расстояний.

В примере [4] описан третий закон Кеплера: куб расстояний пропорционален квадрату периодов, коэффициент пропорциональности зависит от G и массы Солнца. Однако представим, что нам неизвестны эти константы и мы хотим использовать третий закон Кеплера для того, чтобы узнать периоды планет на основе приблизительных расстояний из таблицы. Все окажется очень простым, если измерять расстояние в астрономических единицах (а.е.). Мы можем преобразовать в этих единицах предыдущую формулу: Т = d^3/2 то есть если мы хотим узнать период обращения (сидерический период) планеты, нам нужно возвести расстояние в куб и извлечь квадратный корень.

Рассмотрим в качестве примера Венеру. При расстоянии до Солнца, равном 3/4 а.е., ее период составит 0,65 земного года. Для Марса при расстоянии 3/2 а.е. после использования приведенной формулы получим 1,8 земного года. Для Юпитера при d = 5 а.е. получим, что один год на Юпитере равен приблизительно 11 земным. Естественно, точность расчетов можно повысить, использовав неокругленные значения.

Можно считать, что этот труд Кеплера – первая современная книга по астрономии. В ней приведены два из трех законов великого ученого, причем любопытно, что второй закон идет перед первым. Третий закон, как мы писали, появился только в Harmonices mundi, следующей книге. Astronomia nova была написана в 1605 году и опубликована в 1609-м. Ее полное название звучит так: Astronomia nova seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis («Новая астрономия, или Физика небес, изложенная в комментариях о движениях звезды Марс»).

Хотя в названии говорится о планете Марс, законы Кеплера справедливы для всех планет. Марс оказался в названии потому, что Браге поручил Кеплеру вычислить орбиту именно Марса. Возможно, датчанин таким образом хотел просто проверить способности своего коллеги, ведь наблюдения за четвертой планетой Солнечной системы сложнее всего поддаются интерпретации. Можно считать большой удачей, что перед Кеплером была поставлена именно эта задача, потому что Марс с его большим эксцентриситетом наилучшим образом подходил для проверки догадок ученого.

Чтобы сформулировать первые два закона, Кеплеру пришлось прибегнуть к математически сложным методам, предвосхищающим дифференциальный анализ. Формируя оригинальные гипотезы, он часто использовал как религиозные соображения, так и результаты наблюдений, однако в этом случае победило уважение Кеплера к научным данным. Эта книга – образец строгого и объективного исследования, результат упорства и точности. Конечно, читать ее довольно сложно – как и многие другие работы ученого, – поскольку Кеплер тщательно развивает как свои ошибочные посылки, предшествующие решению, так и правильные итоговые умозаключения.

Иоганн Кеплер, портрет 1610 года, автор неизвестен.

Страница из Astronomia nova (1609) на которой изображена работа Кеплера по расчету орбиты Марса. Этот рисунок иллюстрирует два его первых закона.

Страница из Harmonices mundi (1618) с музыкой, которую Кеплер считал свойственной звездам.

Итак, идеи Коперника и данные Тихо Браге наконец-то соединились. Казалось, теперь задача поддастся, однако это было не так. Погрешности при расчетах составили около 8' и хотя этот результат устроил бы любого другого астронома, Кеплер, используя данные Тихо Браге с погрешностью менее 2' требовал от себя такой же точности.

Открытие двух первых законов далось Кеплеру довольно трудно. Их сложность очевидна даже сегодня, даже если опираться на ньютоновские законы небесной механики и знать, каким должен быть результат. Кеплер использовал все более и более точные измерения, и наконец ему пришла в голову идея, что орбиты могут иметь овальную форму.

Задолго до этого западноарабский астроном Аз-Заркали (1029-1087) предположил, что орбита Меркурия имеет эллиптическую форму. Вероятно, его работу видел и Кеплер, ведь он добросовестно изучал труды астрономов других эпох, а работы Аз-Заркали цитировали в то время довольно часто. Однако точных данных об этом нет, а сам Кеплер об Аз-Заркали не упоминает.

Также Кеплер считал, что Солнце вряд ли находится в центре всех орбит (и действительно, это довольно сложно себе представить). Идея ученого была близка древнему понятию экванта – точки, не совпадающей с геометрическим центром траектории планеты, из которой ее движение выглядит равномерным. И действительно, если Солнце не занимает центр круговой орбиты, то при равномерной скорости движения по ней мы бы наблюдали с Земли переменную скорость светила.

Другая идея ученого состояла в том, что Земля должна вести себя так же, как и другие планеты, а центр ее орбиты также смещен по отношению к Солнцу.

Для каждой планеты, включая Землю, существует линия апсид, соединяющая афелий и перигелий. Получалось, что соотношение скоростей в афелии и перигелии обратно соотношению расстояний от этих точек до Солнца. Кеплер ошибочно предположил, что это свойство справедливо для всех точек орбиты, то есть что скорость планеты обратно пропорциональна расстоянию до Солнца.

Эллипс с нулевым эксцентриситетом и его частный случай, окружность, являются кривыми и видом конических сечений, то есть сечений конуса плоскостью. В зависимости от взаимного расположения плоскости и конуса мы получаем эллипс, гиперболу и параболу. Эти названия были предложены Аполлонием Пергским (262-190 до н.э.), первым известным автором, изучавшим конические сечения.

Орбиты планет являются эллипсами, однако при гравитационном искривлении они могут иметь вид и других конических сечений. Когда объект приближается с большого расстояния на большой скорости, из-за воздействия гравитации его траектория искривляется. В большинстве случаев объект продолжает свое движение и удаляется в бесконечность, следуя по гиперболической траектории. Кометы длинного периода имеют такой большой эксцентриситет, что их траектория практически параболическая, то есть занимает промежуточное место между эллиптической и гиперболической. При открытых гиперболических траекториях объект и точечная масса не формируют бинарную (двойную) систему в точном значении этого слова. Звезды в галактике настолько малы по сравнению с обычным межзвездным расстоянием (7 х 108 метров по сравнению с 1017 метров), что гравитационные взаимодействия между ними крайне низки. Столкновения происходят настолько редко или они так слабы, что две сливающиеся галактики могут сохранять свои уникальные характеристики в течение значительных периодов времени. Малое количество столкновений звезда-звезда ослабило теорию о том, что Солнечная система возникла в результате столкновения двух звезд (гипотеза о катаклизме). Сегодня считается, что Солнце и планеты являются ровесниками, рожденными независимо друг от друга от одной протосолнечной туманности. Изучая гравитационное взаимодействие между двумя звездами, следует учитывать, что речь идет о траекториях, соответствующих коническим сечениям, в то время как двойные звезды двигаются по эллиптическим орбитам.

Конические сечения, полученные при сечении конуса плоскостью.

Также Кеплеру пришло в голову мысленно переместиться на Марс и, соответствующим образом трансформировав данные, получить детальное описание движения Земли.

В конце концов ученый увидел, что самая подходящая орбита – это эллипс, и сформулировал первый из своих законов: «Орбита планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце». Этот закон подверг испытанию математический талант Иоганна Кеплера, однако результат достоин всякого восхищения.

Следующая удачная идея, которая привела к появлению второго закона, рассказана самим Кеплером:

«Таким образом, существует бесконечное количество точек на орбите и, соответственно, бесконечное количество расстояний, и тогда мне пришла в голову мысль, что сумма этих расстояний заключена в площади орбиты. Я вспомнил, что Архимед разделил таким же образом площадь круга на бесконечное количество треугольников».

Мы видим здесь идею, предшествующую дифференциальному анализу. Второй закон, о линейных скоростях, также сложно вывести даже сегодня. Его формулировка очень витиевата, однако не лишена изящества и, что самое главное, точности: «площади, которые могут быть пройдены за одинаковые промежутки времени, одинаковы» независимо от положения орбиты, на которой находится планета. Этот закон позволяет определить, как планета ускоряется от афелия к перигелию и замедляется от перигелия к афелию. Его практическое применение довольно сложно, и для того чтобы узнать положение планеты на орбите в каждый момент времени, сегодня применяется принцип сохранения кинетического момента.

Harmonices mundi, произведение, в котором Кеплер сформулировал третий закон планетарного движения, имеет более средневековый характер, чем Astronomia nova. Этот труд вдохновлен важной мистико-религиозной концепцией, согласно которой Солнце, представляющее Отца, вращается вокруг себя самого. Позже, благодаря движению солнечных пятен, Кеплер убедился, что это действительно так. Сила вращения исходит от Солнца, но ослабляется по мере отдаления от него, поэтому планеты, более близкие к светилу, перемещаются по своей орбите быстрее. Следовательно, должна существовать связь между отдаленностью планеты от Солнца и периодом ее обращения.

Надо сказать, что совершенно все равно, каким путем Кеплер пришел к своей идее, которая предвосхитила ньютоновскую теорию тяготения. С другой стороны, пылающий ум Кеплера сохранял все уважение к данным наблюдений. Бог создал человека по своему образу и подобию для того, чтобы тот мог оценить божественную геометрию. Ученый мог и должен был найти связь между отдаленностью планеты от Солнца и периодом ее обращения, но не придумать ее. И найдя эту связь, Кеплер достиг своих высот, предложив простую и идеально точную формулировку: «Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит».

На рисунке 1 расстояние представлено абсциссами, а периоды – ординатами. Посмотрим на четыре первые точки, соответствующие внутренним планетам (Меркурий, Венера, Земля и Марс). Рисунок 2 изображает искомую связь: на нем представлен логарифм периода в зависимости от логарифма расстояния. Угол наклона равен 3/2: период пропорционален степени 3/2 расстояния. Точки представляют планеты, за исключением Плутона. Чтобы получить период, надо умножить коэффициент пропорциональности на квадратный корень куба расстояния.

Можно подумать, что в те времена были неизвестны построения с абсциссами и ординатами, а тем более логарифмы, но это не так. Такие изображения уже более ста лет как были известны, хотя абсциссы называли субъектом, а ординаты – качеством. При помощи этого графика Доминго де Сото (1494-1570) открыл закон о свободном падении тел. Были известны логарифмы, введенные Джоном Непером (1550-1617). Кеплер не только знал труды последнего, но и посвятил ему одну из своих книг, а также ввел свои собственные логарифмы, кеплеровы. Как бы там ни было, ученый нашел важную формулу, которая управляет движением планет и обеспечивает недостижимую для многих физических формул точность.

РИС.1

РИС. 2

Находясь в Линце, Кеплер опубликовал монументальный труд Epitome astronomiae Copemicanae – восьмитомник, в котором ученый подводил итоги своей работы, предлагал новые методы для расчета положений планет, добавлял новые аргументы и представлял в общих чертах свою концепцию строения Вселенной. Работа публиковалась с1617по1621 год.

Слово «эпитомия», что значит «краткое изложение», кажется не очень подходящим для книги в восьми томах, даже несмотря на ее маленький формат. Также нельзя сказать, что она была посвящена астрономии Коперника, – скорее речь шла об астрономии Кеплера, который значительно усовершенствовал гелиоцентрические идеи.

Опубликовать книгу с таким названием было довольно смелым шагом в годы, когда конфликт Галилея с церковью уже достиг своего пика. Кроме того, в 1616 году работа Коперника была запрещена, и синодальный отдел внес в список крамольных книг первую часть Epitome, опубликованную в 1617 году. Однако Кеплер не остановился и продолжил работу над следующими томами, и это несмотря на то, что совсем недавно по приговору инквизиции был казнен Джордано Бруно.

После включения Epitome в список запрещенных книг Кеплер даже подумывал покинуть Линц, но ученого, вероятно, успокоил его друг Винченцо Бианчи, отметивший, что книги, включенные в такой перечень, читают больше всего! И действительно, хотя труд Кеплера распространялся подпольно, он вызывал огромный интерес.

Epitome включает аргументы в пользу вращения Земли, которые предшествуют принципу относительности Галилея, освещает законы планетарного движения и другие вопросы большей или меньшей важности. Книга написана в форме катехизиса, то есть вопросов и ответов. Стоит иметь в виду, что к тому времени уже был опубликован катехизис отца Астете (1537- 1601), который распространился по всему югу Европы и, выражая идеи Контрреформации, преподавался в школах до середины XX века.

Epitome – это очень характерная для Кеплера книга, одновременно блестящая с точки зрения физики и беспорядочная со стилистической точки зрения.

После публикации Mysterium cosmographicum Кеплер отправил экземпляр книги Галилею и стал ждать ответа с отзывом. Для молодого ученого было очень важно мнение именитого коллеги о предложенной модели мира, основанной на идее правильных многогранников. Однако его постигло разочарование: Галилей ответил короткой любезной запиской, в которой сказал, что прочитает книгу позже. Кеплер снова написал ученому с просьбой высказать свое мнение, пусть даже и самое язвительное. Но в этот раз Галилей просто ничего не ответил. Возможно, он решил, что метод, предложенный Кеплером, неприемлем.

Когда Галилей в 1610 году опубликовал свою знаменитую работу «Звездный вестник» (Sidereus Nuncius), в которой были описаны блестящие открытия, сделанные с помощью телескопа, он попросил тосканского посланника в Праге, чтобы тот отвез экземпляр работы Кеплеру. Иоганн оказался любезнее своего итальянского коллеги и ответил Галилею чуть ли не сразу, и не короткой запиской, а настолько подробно, что ответ вылился в целую книгу – «Разговор со Звездным вестником» (Dissertatio cum Nuncio Sidereo). Так работы Галилея и Кеплера вошли в историю наравне друг с другом. Они обе имеют высокую научную ценность, и мы поговорим о них в следующей главе. С помощью телескопа Галилей раскрыл физические свойства звезд, они перестали быть точками или правильными сферами. У астрономии, дочери астрологии, появилась своя собственная дочь, астрофизика. Но отложим разговор о ней до следующей главы.

Кеплер и Галилей мыслили совершенно по-разному, поэтому им сложно было понять друг друга. Галилей, в отличие от Кеплера, не смешивал религию и науку и скептически относился к астрологии, а Кеплер предполагал наличие души у планет.

Я всегда считал, что у Кеплера проницательный и свободный ум (возможно, слишком свободный) и совсем не схожий с моим способ мышления.

Галилео Галилей

Очень интересны письма, в которых Галилей рассказывал Кеплеру о своих открытиях. Идея была в том, чтобы коротко сообщить о сделанном прорыве в зашифрованном сообщении и, таким образом, отсрочить его обнародование до того момента, пока не появится полная уверенность в своей правоте, а с другой стороны, эти письма являлись свидетельством об открытии, пусть и зашифрованным. Кеплер никогда так не поступал, ведь он верил, что его открытия прославляют Бога и предназначены для людей, а не для достижения личной славы. Очевидно, что он хотел расшифровать послания Галилея, осознавая их важность, поскольку в письмах были изложены результаты наблюдений через телескоп с тридцатикратным увеличением, который позволял увидеть объекты, недоступные невооруженному глазу, а уж тем более невооруженному глазу Кеплера, который с юности отличался слабым зрением.

Когда Галилей увидел, что Венера имеет фазы, он написал: «Наес inmatura а те jam frustra leguntur, о у», что можно перевести примерно так: «Эти несозревшие мысли, которые пытаются без всякого успеха понять другие, давно уже понял я». На самом деле эта нескромная фраза представляла собой переставленное: «Cynthie figuras emulatur mater amorum»y то есть: «Мать любви (Венера) повторяет фазы Кинфии (Дианы, или Луны)».

Это означает, что Венера, как и Луна, имеет фазы. Кеплер же интерпретировал эти «варварские латинские строки» следующим образом: «Macula ruta in Jove est gyratur mathem, etc.»f что означает: «На Юпитере есть красное пятно, которое вращается математически». С точки зрения наших сегодняшних знаний об этой планете догадка кажется невероятной. Когда Галилей наблюдал кольца Сатурна, которые в его телескопе казались выступами на планете, он написал Кеплеру записку: «Smaisrmilmepoetalevmibvnenvgttaviras». Галилей хотел сказать: «Altissimum planetam tergeminum observavi», то есть: «Я увидел, что самая отдаленная планета существует в трех формах».

Кеплер же расшифровал послание так: «Salve unbistineum geminatum Martia proles», что означает: «Здравствуйте, пламенные близнецы, потомки Марса». Эта интерпретация тем более удивительна, что Марс действительно имеет два спутника, Фобос и Деймос, которые были обнаружены Асафом Холлом (1859-1892) в 1877 году

Меркурий и Венера, две из четырех внутренних планет, имеют фазы, как показывает рисунок внизу, на котором можно наблюдать относительные положения Венеры и Марса. Для названия положений планет используется старая, но все еще действующая терминология. Речь идет о «соединении», когда планета и Солнце находятся приблизительно на одной линии. В случае если речь идет о «нижнем соединении», происходит парад планет за солнечным диском. Галилей отметил, что фазы Венеры и фазы Меркурия случаются в положениях максимальной «элонгации на восток» (вечерняя звезда) и максимальной «элонгации на запад» (утренняя звезда). Элонгацией называется угол «планета – Земля – Солнце», видимый с Земли. Рисунок показывает, что Венера не может находиться в квадратуре (элонгация на 90°) и что лучшее время для наблюдения за Марсом – когда он находится в оппозиции.

Относительные положения Венеры и Марса.

Кеплер проводил важные исследования в области оптики, итоги которых были подведены в двух фундаментальных произведениях. Одно из них, опубликованное в 1604 году, называлось Astronomiae pars optica: «Оптика в астрономии», или просто «Оптика». Полное название работы – Ad vitellionem paralipomena, quipus astronomiae pars optica traditur («Дополнения к Витело, рассказывающие об оптической стороне астрономии»). Эта книга коренным образом повлияла на развитие современной оптики. Витело (ок. 1230 – ок. 1280) написал трактат об оптике, основанный на работе Ибн ал-Хайсама (965-1040), ученого, очень известного в Европе. Другая работа Кеплера – «Диоптрика» (Dioptrice), была опубликована в 1610 году, когда Кеплер занимал пост придворного математика в Праге.

На занятия оптикой Кеплера натолкнуло явление атмосферного преломления. Атмосфера преломляет свет, и этот эффект становится более заметным, когда звезда или планета находятся вблизи горизонта. Так как свет следует по криволинейной траектории, можно наблюдать уже зашедшую звезду, которая в действительности находится ниже линии горизонта. Этот эффект не имеет большого практического значения, но его необходимо учитывать, если требуется точность наблюдений.

Например, при заходе Солнца из-за преломления мы видим не его реальное положение, а угловое смещение на расстояние, равное диаметру светила. Таким образом, из-за преломления звезду, находящуюся рядом с горизонтом, мы видим с погрешностью примерно 30'. Это заметил еще Тихо Браге и разработал корректирующие таблицы. Он думал, что такие таблицы должны отличаться для Солнца, Луны и других небесных тел. В частности, из-за преломления очень сильно деформируется орбита Меркурия, поскольку эту планету можно наблюдать только вблизи линии горизонта.

Признавая важность преломления, Кеплер заинтересовался оптикой и вскоре написал книгу о геометрической оптике, которая с небольшими изменениями может использоваться даже в наши дни. Так, изображения в современных изданиях о траектории лучей сегодня являются репродукциями кеплеровских рисунков.

Еще более серьезные погрешности в определение положения планет может вносить деформация орбит. Солнце, например, находится от нас в восьми световых минутах, поэтому на самом деле мы видим его там, где оно находилось 8 минут назад, и это равно погрешности в 2°. Для Солнца это не столь важно, но для такой планеты, как Марс, считал Кеплер, погрешность может достигать от 4 до 20 а. е., а это довольно много (в то время еще не знали, что свет имеет конечную скорость).

Кеплер заинтересовался эффектом проекции изображений через камеру с перфорированной стороной и искривлениями, продуцируемыми разными типами линз, плоскими и искривленными зеркалами (двояковыпуклыми или двояковогнутыми). Им были введены концепции реального изображения, виртуального, прямого и перевернутого, увеличения, фокальной плоскости и так далее.

Также ученый занимался очками для близоруких и дальнозорких людей и установил механизм инстинктивного параллакса, который использует наш мозг для определения относительно малых расстояний.

Кеплер не был знаком с законом Снеллиуса – Декарта о преломлении, но использовал коэффициент пропорциональности между второстепенным и преломленным углами, полученный экспериментально. Одна из главных заслуг исследователя состоит в том, что он изучал работу человеческого глаза, основываясь на перевернутом изображении, которое формируется в сетчатке.

Обе книги Кеплера уникальны, они в основном посвящены астрономии. Однако они не лишены метанаучных рассуждений, которые постоянно кипели в голове их автора. Ученый хотел сформулировать свойства света, пытаясь понять замысел Бога, который создал свет для того, чтобы люди пользовались им и наслаждались всеми его цветами. При этом основываясь на соображениях, малоприемлемых сегодня и практически неприемлемых для его современников, Кеплер пришел к правильному выводу, что свет рассеивается пропорционально обратному квадрату расстояния.

В 1601 году перед Кеплером была поставлена задача разработать Рудольфовы таблицы (Tabulae rudolphinae), которые были опубликованы в 1627 году. Работе над этой книгой сам Кеплер придавал огромную важность, кроме того, составление таблиц было личным поручением императора Рудольфа II. Работе над изданием ученый посвятил 26 лет.

В истории изобретения телескопа часто не отмечается, что именно Кеплеру принадлежат теоретические основы создания этого инструмента. Неизвестно, кто первым воплотил его методику, но пальма первенства в применении телескопа как инструмента для астрономических наблюдений принадлежит Галилею. Этот ученый и сам предпринял множество попыток построить телескоп, однако он не был знаком с принципом работы инструмента. Комбинация фокусирующей линзы как объектива и рассеивающей у глаз была реализована Кеплером, и он имеет полное право войти в историю если не как изобретатель телескопа, то как один из тех, кто сделал свой вклад в создание этого инструмента. Принцип работы устройства был изложен в книге Dioptrice. Обидно, что Галилей так и не признал за Кеплером этого изобретения.

Один из телескопов, построенных Галилеем.

В чем состояла идея этих таблиц? Они представляли собой журнал, в котором указывались положения планет на длительный период времени, якобы на тысячи лет, а также многие другие данные – положение многочисленных звезд, лунные и солнечные затмения, восходы и заходы Солнца и Луны, координаты многих городов и так далее. Очевидно, что больше всего труда потребовали таблицы, позволяющие рассчитать положения планет.

Разработка подобных таблиц была важной задачей для великих астрономов и великих монархов. В свое время приобрели известность Толедские таблицы, разработанные астрономом Аз-Заркали (их использовал Коперник), Альфонсовы таблицы кастильского короля Альфонса X Мудрого (1221-1284), которые применялись вплоть до Возрождения и которые использовал Колумб для предсказания затмения, таблицы Региомонтана (1436-1476), которые применялись до публикации Рудольфовых.

Эти данные имели огромную ценность для астрономов, астрологов, моряков. Ни одни из таблиц не были совершенными, но лучших инструментов на тот момент не существовало. А Рудольфовых таблиц все ждали с нетерпением, так как они опирались на максимально точные данные Тихо Браге и систему Коперника, улучшенную Иоганном Кеплером, и предоставляли недостижимую прежде точность прогнозирования (хотя, конечно, и они были несовершенны).

Созданию таблиц Кеплер посвятил практически всю профессиональную жизнь, а их публикация состоялась незадолго до смерти ученого. Работа затянулась по многим причинам. Большую сложность представляли утомительные арифметические расчеты, которые Кеплеру приходилось делать самостоятельно, без чьей бы то ни было помощи. Также для издания необходимо было найти хорошую типографию и деньги: публикация оплачивалась заранее, а Кеплер никогда не был богат. Кроме того, параллельно ученый занимался и собственными исследованиями, связанными с его теорией движения планет. Неизвестно, осознавал ли Кеплер, что даже самые точные таблицы рано или поздно устареют, а открытые им законы планетарного движения станут вечным достоянием человечества.

В любом случае Кеплер должен был выполнить эту миссию, которая была не только поручением императора Рудольфа II, но предсмертной просьбой самого Тихо Браге. Для завершения работы над таблицами Рудольф II передал Кеплеру все инструменты и данные Тихо Браге, однако ученого ждали проблемы с наследниками покойного. Собственно, после смерти Браге эти данные были их собственностью, и император обязался выкупить их. Но в это время у Рудольфа не было денег – ни для того, чтобы выкупить данные, ни для того, чтобы платить Кеплеру предложенное жалованье, ни вообще для управления империей. Рудольф был человеком увлекающимся: алхимия и химия, астрология и астрономия, коллекции художественных произведений и инженерных новинок, драгоценности – все это требовало больших расходов…

Поэтому Кеплер, несмотря на назначенное неплохое жалованье, часто сталкивался с материальными проблемами и был вынужден постоянно напоминать императору о выплате просроченного вознаграждения.

Также наследники не хотели, чтобы Кеплеру доставалась вся слава, причитающаяся, как они заявляли, самому Тихо Браге, поэтому они не признавали, что расчеты в таблицах были сделаны по модели Кеплера, вмешивались в процесс издания таблиц, требовали, чтобы журнал предваряло вступление от их лица, и претендовали на большую часть прибыли.

Наиболее сложными отношения Кеплера были с Тенгнагелом, зятем Тихо Браге, который невзлюбил Кеплера со дня знакомства. Именно Тенгнагел встречал математика, когда тот приехал в Прагу в первый раз. Но вместо того, чтобы сразу привезти Кеплера в замок Бенатек, Тенгнагел решил задержаться в Праге, не обращая внимания на нетерпение Иоганна.

Позже, ничего не понимая в работе ученого, он испытывал жгучую зависть и злобу, хотя и старался не проявлять эти чувства при жизни своего влиятельного тестя. Но после смерти Браге именно отношение Тенгнагела к Кеплеру стало важной причиной задержки публикации таблиц. Возможно, он был именно таким злодеем, над которым должен одержать победу настоящий герой.

Неизвестно, на чем строились притязания Тенгнагела, ведь его единственная заслуга перед астрономией заключалась в том, что от него забеременела дочь великого астронома. Однако он начал мешать Кеплеру еще при публикации труда своего тестя Astronomiae Instauratae Progymnasmata («Приготовление к обновленной астрономии»): Тенгнагел считал, что к работе необходимо добавить вступление и внести в нее некоторые исправления.

Иоганн Кеплер с императором Рудольфом II в Праге в 1600 году. Гравюра Ф. Бюло (1862).

Типография времен Кеплера, рукопись Рудольфовых таблиц и «Оптики».

В конце концов Кеплеру пришлось пойти на компромисс и не публиковать ничего, что имело отношение к использованию данных Тихо Браге, без позволения Тенгнагела. Складывалась странная ситуация: с одной стороны, наследники хотели скорейшей публикации таблиц, так как это должно было принести им доход, но с другой – именно они своими действиями больше всего этой публикации мешали.

Рудольфовы таблицы, которые задумал Тихо Браге как свое детище, я нес и растил внутри себя на протяжении двадцати двух лет, так же, как эмбрион растет в чреве матери. Теперь я переживаю родовые муки.

Кеплер в одном из писем к своему другу Бернеггеру

Когда Кеплер собрался переезжать в Линц, император, помимо завершения Рудольфовых таблиц, дал ученому новое поручение – составить карту региона. Из-за этого Кеплер вынужден был совершить множество путешествий и лично испытать недоверие и подозрительность со стороны крестьян и местных жителей.

В Линце не нашлось издателя, которому ученый смог бы доверить публикацию таблиц, поэтому ему пришлось искать другой город. В это время в стране вновь осложнилась обстановка, и Кеплер никак не мог решить, где он сможет завершить работу. Страсбург? Ульм? Нюрнберг? Новый император, Фердинанд II, потребовал, чтобы работа была сделана в Австрии. Упорству Кеплера можно только позавидовать. В Линце не было своей типографии, и он убедил одного издателя перевезти свою типографию в этот город, однако вскоре ученый по религиозным мотивам был изгнан и отсюда и отправился для публикации таблиц в Ульм. Власти Ульма посчитали честью публикацию книги, однако решили воспользоваться присутствием великого математика и поручили ему отрегулировать инструменты в городской палате мер и весов.

Перед Кеплером встала новая задача – найти хорошую бумагу для издания, и он отправился в путешествие через замерзший Дунай. В те времена достать качественную бумагу было невероятно сложно, в итоге Кеплер за собственные средства приобрел ее в Кемптене и отправил на хранение в Ульм, к своему другу Гебенстрайту.

В конце концов в сентябре 1627 года Рудольфовы таблицы были напечатаны в Ульме. Эту работу сам Кеплер считал самым великим своим достижением, хотя на самом деле у него есть и гораздо более важные заслуги, которые навсегда остались в истории науки.

Первые средства, полученные от продажи, Кеплер направил на возмещение расходов, а последующие доходы должны были делиться поровну между ним и наследниками Браге. Ученый сам придумал для книги обложку, на которой были изображены великие астрономы всех времен: Халдей (вероятно, это был великий Кидинну, IV век до н.э.), Гиппарх, Птолемей, Коперник и Тихо Браге. Изобразил Кеплер и себя – с краю, скромно работающим при горящей свече.