Механика от античности до наших дней

Начальный этап разложения феодально-крепостнических форм сельского хозяйства, рост городов и существенное увеличение роли городского производства, как следствие этого — бурное развитие техники, расширение международной торговли, бывшее одним из стимулов великих географических открытий, — вот причины тех глубоких социальных сдвигов, которые определяли историю Западной Европы в XV—XVI вв. и породили движение, называемое Возрождением.

Эти социальные сдвиги обусловили и радикальное изменение основного направления науки вообще и естественных наук в частности.

Естественные науки получили обширный материал, нуждавшийся в объяснении и систематизации.

Необходимость решения многочисленных новых технических проблем требовала преодоления существующего разрыва между наукой и практикой. Этому способствовало и приобщение к науке людей, непосредственно связанных с производством, — инженеров, архитекторов, ремесленников, которых не могли удовлетворить абстрактные схоластические рассуждения и теоретические спекуляции.

С другой стороны, в технике наступает такой момент, когда ее дальнейшее развитие становится невозможным без создания некоего теоретического базиса, т. е. техника потребовала широких и интенсивных научных исследований.

Механика оказалась одной из тех наук, которые испытали наиболее сильное влияние этих новых веяний. В исследованиях в области механики нуждались и астрономия, и военное дело (особенно артиллерия), и гидротехника, и строительство, и архитектура.

Но при этом механики эпохи Возрождения опирались в своем творчестве на результаты деятельности своих предшественников — ученых Востока и Западной Европы как в смысле критического освоения античного научного наследия, так и в смысле творческой разработки некоторых проблем механики.

Одним из итогов развития античной цивилизации было разобщение тех двух традиций, которые теперь в истории науки принято считать ремесленной и теоретической. Это в полной мере относится и к характеру античной механики, которая (в нашем современном понимании) объединяла три достаточно разнородные части античного научного наследия[7]. Это, во-первых, учение о пространстве, времени, материи, о движении и его источнике, принадлежащее теоретической (философской) традиции (античная «динамика»). Во-вторых, античная «кинематика»; это главным: образом математические методы, которые разрабатывались в астрономии, а именно кинематико-геометрическое моделирование движения небесных тел. Третье направление — античная статика и гидростатика — объединяет теоретические исследования Архимеда, проведенные со всей строгостью аксиоматического метода, и практические правила, объясняющие действие различных механических приспособлений («простых машин»), т. е. «техническую механику» своего времени. Статика и гидростатика Архимеда, естественно, принадлежат теоретической традиции, «техническая механика» древних — ремесленной традиции, традиции архитекторов, строителей и военных инженеров.

Столь же разобщенными продолжали оставаться три направления механических исследований и в средние века. Это в равной мере относится к развитию механических представлений как на средневековом Востоке, так и позднее в Западной Европе.

Начальным этапом развития механики на средневековом Востоке принято считать перевод и комментирование сочинений античных авторов.

Комментирование Аристотеля лежит в основе цикла трактатов о сущности движения и его источнике («движущей силе», «первом двигателе» и т. д.). Это комментирование послужило тем фундаментом, на который опиралась созданная впоследствии в Западной Европе теория «импетуса». Существенное влияние на формирование представлений о сущности и источнике движения оказала также продолжительная дискуссия в первой половине XII в. между Ибн-Рошдом и Ибн-Баджжей.

На средневековом Востоке интенсивно развивалось и кинематическое направление античной механики. Это было обусловлено необходимостью обработки результатов астрономических наблюдений, которые проводились в многочисленных обсерваториях. В зиджах IX—XV вв. и в большом количестве специальных трактатов разрабатывались принципы кинематико-геометрического моделирования видимого движения небесных тел. Однако, отправляясь от античной традиции, восточные астрономы сделали существенный шаг вперед в разработке представлений о кинематической сущности движения тел, а некоторые из них близко подошли к таким фундаментальным понятиям, как скорость неравномерного движения точки по окружности и мгновенная скорость в точке.

С переводом и комментированием трудов Архимеда связано развитие геометрической статики в странах Ближнего и Среднего Востока. Целый ряд трактатов посвящен теории весомого рычага и теории взвешивания. Значительное развитие получило и кинематическое направление античной статики, восходящее к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля. В частности, влияние «Механических проблем» сказалось на получившем широкое распространение в средневековой Европе трактате «О корастуне» Сабита ибн-Корры.

В то же время большое значение на средневековом Востоке имела и ремесленная традиция. Содержанием многих специальных трактатов и специальных разделов восточных энциклопедий являются правила действия «простых машин», устройств для поднятия тяжестей, воды для поливки полей и т. д.

Характерной особенностью средневековой европейской механики является то, что большинство ее проблем рассматривалось не столько в механическом, сколько в общефилософском плане. Университетская наука, которая занималась этими проблемами, была, как правило, совершенно оторвана от технической практики.

Теоретические исследования в области статики преимущественно представляли собой дальнейшее развитие кинематического направления, восходящего к «Механическим проблемам» (трактаты «О тяжестях» Иордана Неморария и его школы).

Что касается традиции, связанной с геометрической статикой и гидростатикой Архимеда, то она не получила почти никакого развития и возродилась по-настоящему лишь в XVI в.

Астрономическое направление кинематических исследований в средневековой Европе почти не разрабатывалось.

Исследования в области кинематики, наиболее крупные из которых принадлежат Герарду Брюссельскому и родоначальнику Мертонской школы в Кембридже Томасу Брадвардину, были чисто умозрительными. Зачатки представлений о фундаментальных понятиях кинематики, таких, как скорость и ускорение неравномерного движения, появляются в XIV в. Их развитие связано с учением о «широтах форм», или «конфигурации качеств», истоки которого восходят к логико-философским спорам о понятии формы. Это учение, будучи вполне средневековым по своему духу и методам, оказалось практически бесплодным, несмотря на то что содержало ряд моментов, получивших развитие в математике переменных величин и на ранних этапах классической механики.

В поисках ответа на вопрос о сущности и источнике движения, причине его продолжения и механизме его передачи ученые средневековой Европы пришли к теории «импетуса», наиболее четко сформулированной Жаном Буриданом и применявшейся при изучении падения тела, его движения в пустоте и движения брошенного тела.

Для средневековой механики характерно дальнейшее углубление пропасти между теоретической и ремесленной традициями. Все, что в какой-то мере связано с ремесленной традицией, становится достоянием техники, к которой представители университетской науки относились с пренебрежением.

Таковы те результаты, с которыми механика вступила в эпоху Возрождения.

Наступление нового периода ознаменовано прежде всего новым отношением к механике[8], которая рассматривается как «благороднейшее из искусств, сочетающее с «благородством» величайшую пользу в житейских делах»^{66}

Тенденция к возвышению прикладной механики заметна в посвящении Анри Монантейля к изданию «Механических проблем». Обращаясь к королю Генриху IV, он просит не презирать механику как нечто «неблагородное», ибо «наш мир есть машина, и притом машина величайшая, эффективнейшая, прочнейшая, прекраснейшая»^{67}.

Когда Леонардо да Винчи говорит, что «механика — рай математических наук, ибо посредством нее достигают математического плода»^{68}, то он имеет в виду техническую деятельность, которая реализует на практике теоретические положения «математических наук», под которыми он понимает и собственно математику, и физику, и астрономию.

Рассмотрим основные достижения механики Возрождения (в современном ее понимании), в формирование которой внесли свой вклад такие крупнейшие ученые, как Николай Кузанский, Леонардо да Винчи, Стевин, Коперник, Тарталья, Бенедетти, Кардано, Кеплер и др.

СТАТИКА

Существуют две точки зрения, в соответствии с которыми трактуется вопрос о путях формирования статики эпохи Возрождения.

Согласно одной из них, которой придерживался П. Дюэм, можно говорить о прямой преемственности между средневековой школой Иордана, разрабатывавшей кинематический вариант статики, восходящей к «Механическим проблемам», и статикой таких представителей Возрождения, как Леонардо да Винчи и Джироламо Кардано.

Сторонники другой точки зрения считают, что о такой преемственности говорить нельзя и что трактаты «О тяжестях» уже к XIV в. полностью потеряли свое значение. Однако вряд ли можно согласиться с последней точкой зрения. Известно, что в XV—XVI вв. эти трактаты продолжали переписывать и комментировать, а в XVI в. были дважды изданы трактаты самого Иордана.

Влияние школы Иордана, в частности работ итальянского ее представителя XVI в. Блазиуса из Пармы, можно проследить в опубликованных посмертно работах Леонардо да Винчи: «Трактате о живописи», «О движении и измерении воды» и целом ряде заметок.

Прежде всего Леонардо, как и его предшественники, обращается к закону равновесия рычага, который формулирует следующим образом: «Ту же пропорцию, которая существует между длиной рычага и противорычага, найдешь между величиной их весов и медленностью движения и в величине пути, проходимого каждым из их концов, когда они достигнут постоянной высоты своей точки опоры»^{69}.

Этот закон формулируется на основании целой серии экспериментов, которые рассматриваются как промежуточная стадия работы, за которой следует теоретическое обоснование. Леонардо проводит его исходя из понятия «тяжести соответственно положению» школы Иордана[9]. В смысле строгости и логической стройности доказательство Леонардо значительно уступает формулировкам его предшественников; как и все подобные рассуждения, оно отражает свойственный ему инженерный подход к рассматриваемым явлениям. Его обоснование конкретнее физически и свидетельствует о реальном обращении с реальным рычагом. С помощью сформулированного правила Леонардо решает задачи как для линейного, так и для ступенчатого рычага.

В более поздних заметках он связывает правило рычага с понятием центра тяжести тела или системы тел, обнаруживая глубокое знакомство с архимедовской теорией равновесия плоских фигур.

Однако Леонардо усвоил лишь общую идею аргументации Архимеда, отбросив саму суть его математического метода. Математику же, без которой он, как и большинство представителей науки Возрождения, считал недостоверным всякое знание, понимает весьма узко: для него это лишь возможность численной проверки какого-либо утверждения; математической он считал такую формулировку, которая устанавливает числовую зависимость между несколькими величинами, обычно в виде пропорции.

Как практик он подходит и к теории весомого рычага.

«Наука о тяжестях, — говорит он, — вводима в заблуждение своей практикой, которая во многих частях не находится в согласии с этой наукой, причем и невозможно привести ее к согласию. И это происходит от осей вращения весов, благодаря которым создается наука об этих тяжестях. Эти оси, по мнению древних философов, имеют природу математической линии и в некоторых случаях являются математическими точками — точками и линиями, которые бестелесны; практика же полагает их телесными»^{70}.[10]

Что касается конкретных задач на весомый рычаг, то Леонардо интересовали главным образом две из них. Первая, более простая, — задача о нахождении веса груза,который надо подвесить на меньшем плече весомого рычага (весов), чтобы уравновесить вес большего плеча, не имеющего груза; вторая, более сложная, — нахождение условия равновесия такого рычага, оба неравновесных плеча которого нагружены. Однако Леонардо не смог сформулировать общее правило равновесия такого рычага, хотя и учитывал вес коромысла балансированием его.

Следует отметить введенное им понятие «потенциального» плеча, под которым Леонардо понимал величину перпендикуляра, опущенного из точки опоры на направление силы. Эти представления можно с известной степенью осторожности считать зародышем понятия момента силы относительно неподвижной точки. Пользуясь понятием «потенциального» плеча, Леонардо правильно решает задачу о равновесии рычага, в концах плеч которого закреплены идущие под некоторыми углами нити, перекинутые через блоки и натягиваемые некоторыми грузами.

Опираясь на свои эксперименты с полиспастами и другими сочетаниями подвижных и неподвижных блоков, Леонардо пытался сформулировать правило соотношения сил и скоростей перемещения груза и точки приложения силы тяги, т. е. некий вариант «золотого правила» механики.

Менее удачными были его попытки установить условие равновесия на наклонной плоскости и распределение веса в косо поставленном стержне.

Проблематикой, связанной с дальнейшим развитием традиций школы Иордана, занимались и такие известные математики и механики Возрождения, как Тарталья (1499-1557) и Кардано (1501-1576).

Хотя Тарталью занимали главным образом вопросы динамики (движение брошенных тел), он неоднократно обращался и к проблемам статики. В частности, именно благодаря Тарталье представители Итальянской школы XVI в. получили возможность ознакомиться с основными проблемами статики XIII в. Тарталья обладал анонимным трактатом XIII в., написанным в традициях школы Иордана, который он после некоторой обработки и добавлений передал известному венецианскому издателю Курцию Трояну. Трактат был опубликован в 1565 г. под названием «Сочинения Иордана о тяжестях, изученные и исправленные Николо Тартальей»[11].

Существенное влияние трактатов «О тяжестях» сказалось в работах Кардано. В пользу этого свидетельствуют, в частности, его рассуждения о движении тяжелого тела по окружности, в которых он пользуется понятием «тяжести соответственно положению».

Кроме того, и Тарталья, и Кардано были знакомы с работами Леонардо да Винчи по механике, и это, вероятно, оказало определенное влияние на их творчество.

Но в статике XVI в. намечается и другая тенденция, тенденция к возрождению и развитию архимедовского направления геометрической статики, прочно забытой в средние века.

Началом изучения можно считать конец XV — начало XVI в., когда после взятия турками Константинополя в Западной Европе появились привезенные византийскими беженцами остатки собраний античных рукописей.

Франческо Мавролико (1494—1575) и Федериго Командино (1509—1575) принадлежат первые переводы Архимеда (на латинский язык) и комментарии к ним; причем оба автора помимо комментирования рассматривают и многочисленные собственные задачи на определение центров тяжести различных фигур.

Среди ученых, развивавших методы геометрической статики, следует прежде всего упомянуть ученика Командино Гвидо Убальди дель Монте (1545—1607), который был воинствующим сторонником архимедовской традиции и считал абсолютно несостоятельным направление школы Иордана. В отличие от кабинетных ученых, к которым принадлежало большинство «архимедистов» эпохи Возрождения, дель Монте сам непосредственно занимался инженерной практикой.

Вопросов статики он касается в двух сочинениях: «Книга о механике» и «Замечания по поводу трактата Архимеда «О равновесии плоских фигур». Кроме сочинений Архимеда дель Монте ссылается на Паппа и Герона Александрийского, влияние которых сказалось в его описании «простых машин».

В основе статики дель Монте лежит геометрическая теория равновесия элементарных систем подвешенных тяжелых тел. В своих рассуждениях он исходит из ряда допущений.

1. Центр тяжести подвешенного тяжелого тела находится на вертикали, проведенной через точку подвеса.

2. Моменты сил тяжести и сил тяги (или давления, если они имеются) относительно неподвижной точки равны.

Дель Монте еще не вводит явно понятие момента силы как произведения силы на перпендикуляр, опущенный из неподвижной точки на направление этой силы, но практически неоднократно им пользуется. С помощью геометрического метода он рассматривает задачи о равновесии рычага, весов и грузов на наклонной плоскости. Следует отметить, однако, что в некоторых задачах Дель Монте отступает от геометрической традиции. В задаче о равновесии груза, подвешенного на веревке, перекинутой через блоки, он прибегает к одному из элементарных вариантов принципа возможных скоростей.

Значительный вклад в разработку проблем геометрической статики внес другой крупный представитель науки Возрождения — Джованни Баттиста Бенедетти (1530— 1590). Хотя Бенедетти был учеником Тартальи, в статике он придерживался традиции Архимеда. Более того, в первых главах своего основного труда «Книга различных математических и физических рассуждений» он не только рассматривает ошибочные положения своего учителя, но и подвергает принципиальной критике основные положения школы Иордана, в частности понятие «тяжести соответственно положению».

В своей теории равновесия простейших систем подвешенных тяжелых тел Бенедетти исходит из следующих двух положений: архимедовского закона равновесия рычага и закона равенства моментов сил, т. е. полностью, как мы видим, примыкает к направлению дель Монте.

Понятием момента силы (хотя сам этот термин он еще не вводит) Бенедетти пользуется систематически и формулирует его достаточно четко. Он пишет, что «если хотят сравнить друг с другом величины, которые измеряют действия грузов или движущих сил, то следует каждую из них определять с помощью перпендикуляра, опущенного из центра рычага на направление силы».

С помощью принципа сравнения моментов сил Бенедетти получает окончательное решение поставленной еще Аристотелем задачи об устойчивости Т-образных весов в прямом и перевернутом положениях.

Таким образом, сторонники архимедовской традиции в механике итальянского Возрождения в добавление к архимедовскому принципу равновесия подвешенных тяжелых тел, связанному с понятием центра тяжести тела и системы тел, ввели в геометрическую статику принцип равенства моментов сил.

Хотя в трудах дель Монте и Бенедетти этот принцип представлен в чисто геометрической форме, однако само это понятие появилось под определенным влиянием кинематического направления. Выше упоминалось, что в зачаточной форме оно имеется уже у Леонардо да Винчи, с трудами которого, и в частности с его соображениями по этому поводу, ученик Тартальи Бенедетти был хорошо знаком.

Следует отметить, что и дель Монте, и Бенедетти, в общем далекие от кинематического направления, но связанные с инженерной практикой своего времени[12], проявляли определенную тенденцию к выработке кратких технических правил расчета равновесия тел, в которых сказывается влияние этого направления.

Крупнейшим и наиболее последовательным представителем геометрического направления был фламандец Симон Стевин (1548—1620). Его труды сыграли завершающую роль в развитии геометрического направления элементарной статики и гидростатики эпохи Возрождения.

Стевин был сторонником максимальной строгости и точности расчетов, которых, по его мнению, можно достигнуть лишь с помощью строгих и четких методов геометрической статики. В этом смысле он был наиболее ревностным последователем Архимеда и решительно отвергал традиции кинематической статики, в которой этой четкости не усматривал.

Первые главы его основного труда по механике «Начала статики» (впервые издан в 1586 г. на фламандском языке и переиздан в 1605 г. в собрании «Математических сочинений» Стевина) содержат резкую критику кинематического направления начиная с «Механических проблем».

Свою статику Симон Стевин строит аксиоматически. Вначале дается серия определений, в основу которых положена совокупность основных постулатов геометрической статики Архимеда. Таким образом, закон равновесия рычага Стевин выводит, опираясь на два упомянутых выше архимедовских принципа[13].

Далее этот закон используется для вывода условий равновесия в более сложных случаях. Кроме того, он вводит еще один дополнительный принцип, который можно назвать принципом невозможности вечного движения или принципом невозможности самостоятельного нарушения равновесия в системе, если это нарушение не меняет ни величины, ни расположения в ней грузов.

Руководствуясь этим принципом, Стевин доказывает условие равновесия груза на наклонной плоскости, точнее, в случае двух наклонных плоскостей. Это условие он формулирует в виде следующего предложения: «Пусть мы имеем треугольник, плоскость которого перпендикулярна, а основание параллельно плоскости горизонта; на двух других его сторонах расположены два шара одинаковой величины и одинакового веса; действующая тяжесть левого шара относится к соответствующей ему противолежащей действующей тяжести правого шара, как длина правой стороны треугольника к длине левой».

Приведем его доказательство.

Наклонные стороны рассматриваемого треугольника ABC с вершиной В относятся, как 2 : 1. К двум шарам на этом треугольнике, который представляет собой сечение призмы, Стевин добавляет двенадцать других одинаковых с ними шаров. «Соединим их друг с другом равными нитями, образовав из них ожерелье, в котором наши четырнадцать шаров находятся на равных расстояниях друг от друга. Наденем это ожерелье на наш треугольник так, чтобы на сторону АВ пришлось четыре шара, а на сторону ВС всего два». (Эту цепь с шарами равного веса на равных расстояниях друг от друга можно рассматривать как однородную тяжелую нить.)

Исходя из своего дополнительного принципа, Стевин считает, что рассматриваемая замкнутая цепь будет находиться в равновесии. Перемещение ее в любую из сторон ничего не меняет ни в величине, ни в расположении грузов системы, а цепь сама не проявляет тенденции к перемещению в какую-либо из сторон[14].

Восемь шаров, висящих под основанием треугольника, на равновесие не влияют, так как эта часть нити в состоянии покоя имеет совершенно симметричную форму. Если отбросить эту часть нити, то в состоянии равновесия системы оставшихся двух отрезков нити ничего не изменится. Эти отрезки будут уравновешивать друг друга. Следовательно, грузы уравновешиваются пропорционально длинам сторон.

Термин «действующая тяжесть» Стевин, как мы видим, употребляет для обозначения того, что позже стали называть составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости. Его утверждение, таким образом, эквивалентно утверждению, что для уравновешивания груза на наклонной плоскости необходимо приложить к нему направленную вдоль этой плоскости силу, обратно пропорциональную ее длине.

Заметим, что еще Леонардо да Винчи принадлежат высказывания о невозможности вечного движения^{71}. Аналогичные соображения высказывает Кардано: «Для того чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигавшиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положение, а это невозможно без наличия перевеса, как невозможно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама».

Установив правило разложения груза на наклонной плоскости, Стевин использует его для вывода правил разложения данной силы на две взаимно перпендикулярные составляющие и сложения сил, направленных под прямым углом друг к другу.

Заметим, что именно Стевин ввел обозначение сил стрелками и понятие силового треугольника (т. е. установил, что если три силы образуют треугольник, они уравновешиваются).

Существенные результаты Стевин получил, рассматривая задачи, в которых теория наклонной плоскости сочетается с теорией «веревочных машин» (т. е. блоков, полиспастов и др.). Обращение к этим вопросам в значительной степени стимулировалось практикой кораблестроения и техникой погрузки и разгрузки кораблей с помощью наклонной плоскости и «веревочных машин».

Рассматривая случаи, когда три нити образуют между собой углы, среди которых нет ни одного прямого, Стевин пришел к обобщению своего правила разложения силы на две взаимно перпендикулярные составляющие для общего случая ее разложения по правилу параллелограмма.

Насущными вопросами практики можно объяснить и то, что он включил в свою «Статику» особый раздел о блоках и полиспастах.

Значительную роль сыграли исследования Стевина в развитии гидростатики, а именно в области теории равновесия тяжелой жидкости. Особый интерес к вопросам гидростатики можно объяснить его практической деятельностью в должности инспектора плотин и консультанта голландского адмиралтейства.

Гидростатика Стевина (так же как и его статика) представляет собой дальнейшее развитие геометрического метода Архимеда на том уровне, которою требовала техника строительства плотин в Голландии XVI—XVII вв.

Кроме основных законов гидростатики Архимеда Стевин формулирует еще два положения, касающиеся элементарных свойств несжимаемой тяжелой жидкости.

1. О полной потере веса объема жидкости, если его погрузить в эту же жидкость. При выводе его Стевин применяет свой дополнительный принцип статики «о невозможности вечного движения». На основании этого принципа Стевин утверждает, что опускание такого объема внутри жидкости ничего не изменяет в расположении жидкости во всем сосуде.

2. Так называемый «принцип отвердения», смысл которого состоит в утверждении, что давление на поверхность частичного объема жидкости со стороны окружающей жидкости не зависит от того, чем заполнен этот частичный объем. Воображаемую поверхность этого объема, которая предполагается твердой и невесомой, Стевин называет «поверхностным сосудом».

Исходя из этих двух положений, он следующим образом выводит закон гидростатического давления. В силу первого положения «поверхностный сосуд», заполненный водой, не будет иметь веса внутри воды, а если он «пуст», то он испытывает давление вверх, равное весу воды, которая может его наполнить. Если же этот «сосуд» заполнен другим веществом, то в силу второго положения давление воды на него останется тем же самым. Следовательно, вес такого «сосуда» при погружении его в воду уменьшится на вес такого же объема воды.

«Принцип отвердения» используется далее для определения давления воды на дно сосуда произвольной формы, а также для вывода закона равновесия воды в сообщающихся сосудах.

Аналогичным путем подходит Стевин к задаче об определении давления воды на боковые стенки сосуда, задаче, которая имела существенное значение в практической деятельности по расчету плотин.

Говоря в целом о деятельности Стевина в области механики, можно считать его достижения завершающим этапом в развитии геометрического направления элементарной статики и гидростатики.

КИНЕМАТИКА

Выше мы уже упоминали, что астрономическое направление кинематических исследований в средневековой Европе почти не развивалось.

В эпоху Возрождения потребности естествознания и запросы техники, и особенно потребности астрономии, определяют особый интерес к кинематике.

Усовершенствование календаря требует уточнения и пересмотра теории движения небесных тел. Развитие мореплавания и техники определения географических координат с помощью астрономических наблюдений требует проверки и уточнения астрономических эфемерид светил.

Таковы были условия, в которых создавалась гелиоцентрическая система Н. Коперника (1473—1543), изложенная главным образом в его основном астрономическом труде «О вращениях небесных сфер»^{72}. Низвергнув Землю до уровня остальных планет, Коперник сделал решительный шаг в установлении нового научного мировоззрения.

Нас в его системе, однако, должно интересовать другое, а именно ее значение в развитии механики.

Система Коперника чисто кинематическая; создавая ее, он исходил из пространственно-временных соотношений, ибо главной своей целью считал рациональное объяснение видимого движения небесных тел. Основой теории Коперника является понятие движения, не вызывающего никаких эффектов в движущей системе.

Размышления об относительности механических движений помогли ему обосновать возможность объяснения видимых движений светил, наблюдаемых земным наблюдателем, с помощью представления о подвижности Земли, ее суточном вращении и годичном обращении вокруг Солнца.

Соображения об относительности движения неоднократно встречались и до Коперника. Они имеются и в индийских астрономических сочинениях средневекового Востока. Намеки такого рода встречаются и у ученых Западной Европы. Таково, например, высказывание Николая Кузан:ского (1401—1464): «Для нас ясно, что Земля действительно находится в движении, хотя нам этого и не кажется, потому что мы замечаем движение по сравнению с чем-нибудь неподвижным… всякий, будет ли он находиться на Земле, или на Солнце, или на другой звезде, полагает, что он находится в неподвижном центре, а все другое движется»^{73}.

Однако лишь у Коперника эти идеи оформились в цельную систему. Вот как он сам говорит об относительности механических движений: «Всякое представляющееся нам изменение места происходит вследствие движения наблюдаемого предмета или наблюдателя или, наконец, вследствие неодинаковости перемещений того и другого, так как не может быть замечено движение тел, одинаково перемещающихся по отношению к одному и тому же телу (я подразумеваю движение между наблюдаемым и наблюдателем)»^{74}.

Существенное значение в развитии не только кинематики, но и кинетики вообще имеет полемика Коперника со сторонниками птолемеевскои теории о невозможности доказать суточное движение Земли. По их мнению, в случае, если бы Земля вращалась, то все предметы, находящиеся на ней и не связанные жестко с Землей, должны отставать от нее к западу, т. е. в направлении, противоположном ее вращению. Коперник утверждал, что всякое тело, падающее или брошенное с поверхности Земли, помимо присущего ему движения, «естественного» или «насильственного», имеет еще одно движение — кругообразное. «Истинное движение» тела, или «движение относительно Вселенной», складывается из двух движений. Подобные соображения позволяют говорить о том, что Коперник достаточно близко подошел к понятию об относительном и переносном движениях[15].

Как уже отмечалось, система Коперника имеет чисто кинематический характер. Динамика в ней присутствует лишь потенциально.

Дальнейший значительный рост техники, совершенствование изготовления наблюдательных инструментов и повышение точности астрономических наблюдений способствовали развитию небесной механики и связанной с ней кинематики.

Открытием законов движения планет наука обязана Иоганну Кеплеру (1571—1630)[16].

Кеплер поставил перед собой задачу обосновать и подкрепить, основываясь на тщательной обработке материала наблюдений, гипотезы, лежащие в основе системы Коперника. Отправным пунктом его исследований послужили данные наблюдений Тихо Браге, которые оказались в распоряжении Кеплера после смерти датского астронома.

Первые два закона движения планет, открытые при обработке данных о движении Марса[17], он опубликовал в своей «Новой астрономии» в 1609 г. Третий закон, т. е. «кубы средних расстояний планет от Солнца пропорциональны квадратам их обращения», или — в формулировке самого Кеплера — «средние расстояния от Солнца состоят в «полуторном отношении» к временам обращения», т. е. (R : r)³/₂ = Т: t, он вывел десятью годами позже (в 1619 г.) в «Гармонии мира».

По мере обработки материалов Тихо Браге Кеплер отходил от принятых традиционных методов, часто прибегая к приемам инфинитезимального характера. Данные наблюдений вынуждали его несколько раз менять свою схему и обращаться к различным формам орбиты планеты. Убедившись, что орбита планеты не может быть получена путем сочетания нескольких круговых движений, Кеплер не сразу пришел к эллипсу (сначала он предположил, что орбита представляет собой овал).

Согласно системе Птолемея, видимое движение планеты описывалось с помощью сочетания нескольких гипотетических равномерных круговых движений[18]. Кеплер же открыто признает возможность неравномерных круговых движений. Более того, он исследует вопрос, каким образом изменяется скорость подобных движений. Сначала на основе данных наблюдений он показал, что (с некоторым приближением) линейные скорости в апогее и перигее обратно пропорциональны расстояниям от Солнца, а затем уже распространил это рассуждение на все точки орбиты, т. е. утверждал, что скорости обратно пропорциональны радиусам-векторам.

Законы Кеплера явились первым (не только в небесной, но и в механике вообще) примером установления точных количественных законов движения материальных тел на основе обработки данных наблюдений движущегося тела.

Законы Кеплера, таким образом, позволяют определить траекторию и скорость тел на орбите, но и они в свою очередь являются по существу решениями уравнений движения.

Рассмотренные построения Кеплера чисто кинематические. Однако, не ограничиваясь ими, Кеплер размышлял и о динамическом объяснении своих законов. Он искал причину неравномерности движения по кругу.

Как ни велико значение открытии Кеплера для небесной механики и классической механики в целом, ему не удалось отыскать динамические принципы, которые дали бы рациональное объяснение движений планет.

Хотя его объяснения оказались неудовлетворительными, историческое значение поисков Кеплера очень велико, ибо первые попытки динамического объяснения движения планет стали вместе с тем первыми шагами к созданию действительной небесной механики.

Что же касается кинематических исследований, не связанных с астрономией, то почти все они в той или иной степени касаются динамических проблем.

ДИНАМИКА

Итак, в эпоху Возрождения были разрешены многие проблемы элементарной статики, значительные результаты получены в области кинематики. Динамика же фактически начинала делать только первые шаги.

Базой для этих первых шагов было, как и ранее, критическое комментирование представлений Аристотеля, связанных с понятием движения. Для Аристотеля понятие «местного», т. е. механического, движения является только частным случаем понятия изменения вообще. Это изменение должно иметь причину, вследствие которой оно продолжается в течение некоторого времени.

Как известно, аристотелевская традиция различала «естественное» и «насильственное» движения, из которых только второе требует вмешательства причины, внешней природе движущегося объекта. Это представление, господствовавшее в течение всего периода средневековья, стало тем тупиком, из которого следовало найти выход, чтобы механика получила условия для дальнейшего развития. Необходимо было преодолеть понятие о принципиальном различии между «естественным» и «насильственным» движениями и выработать единое представление о причинах движения вообще.

Существенные шаги в этом направлении были сделаны учеными эпохи Возрождения.

Одной из центральных проблем механики становится изучение движения брошенного тела, которое представляет собой сочетание «насильственного» и «естественного» движений[19].

Движение брошенного тела теперь рассматривается как «смешанное», которое начинается с помощью «насилия» и продолжается «естественным образом» лишь после некоторого переходного этапа. В связи с этим появляется представление о «составной» траектории такого движения, состоящей из трех участков: «насильственного» движения, «естественного» движения и переходного участка, промежуточного между ними.

Представление о «смешанном» движении в свою очередь породило многочисленные дискуссии, в основе которых лежали попытки сочетать традиционное понимание импетуса с необходимостью внести новое содержание в это представление.

Что такое импетус «смешанного» движения? Может ли он связать воедино оба эти принципа науки о движении, если для «естественного» движения он внутреннее свойство движущегося тела, а в случае «насильственного» движения он прилагается извне? Возможно ли одновременное существование обоих импетусов в «смешанном» движении и что происходит на промежуточном участке траектории брошенного тела? Традиционное представление исходило из положения, что независимо от того, является ли импетус причиной движения или порождается самим движением, в процессе самого движения он иссякает.

Теперь возникает представление о борьбе импетусов «естественного» и «насильственного» движений. Наиболее прост при этом случай вертикального падения тела, который можно было объяснить борьбой между одинаково направленными импетусами.

Характерным примером в этом смысле являются рассуждения Леонардо да Винчи в его комментарии к исследованию движения шара у Николая Кузанского.

Леонардо говорит о смешении того, что относится к двигателю, с тем, что относится к движущемуся телу, оперируя терминами «составной» и «разлагаемый». Четкого представления о движении брошенного тела он еще не имеет, хотя выдвигает некоторые соображения о составной траектории такого движения. По его представлению, вертикальное падение, которым заканчивается движение брошенного тела, есть признак того, что «насильственное» движение полностью исчерпано и уступило место «чисто естественному» движению. Промежуточную фазу он еще не рассматривает, а только подает мысль о ней.

Существенным вкладом в развитие динамических представлений этой эпохи явилось творчество Тартальи и Бенедетти.

Проблеме движения брошенного тела посвящен основной труд Тартальи «Новая наука» (в двух книгах), которая трижды переиздавалась в самой Италии и была переведена на английский, французский и немецкий языки. В предисловии к «Новой науке» Тарталья уточняет, что трактат посвящен не движению вообще, а движению тяжелого тела, т. е. баллистике.

Тарталью нельзя назвать создателем баллистики (этим занимался еще Леонардо да Винчи). Однако именно ему принадлежит первая попытка математизации этого до сих пор эмпирического искусства. Характерна в этом смысле сама структура «Новой науки»: она написана по образцу «Начал» Евклида.

В I и II предложениях «Новой науки» рассматривается «естественное» движение.

С одной стороны, Тарталья принимает классификацию Аристотеля, утверждая, что единственное «естественное» движение «одинаково тяжелого тела» — его падение. Все остальные (бросание снизу вверх, горизонтально или под углом к горизонту) — «насильственные», вызванные некоторой «движущей силой». Однако далее он подвергает сомнению основное утверждение Аристотеля, что скорость падения такого тела пропорциональна его весу. По мнению Тартальи, скорость падения пропорциональна высоте падения. «Всякое тело, — говорит он, — одинаково тяжелое [во всех своих частях], при естественном движении будет двигаться тем быстрее, чем больше станет удаляться от своего начала или приближаться к своему концу»^{75}. Объясняя причину ускорения тела, он приводит образное сравнение со странником, возвращающимся на родину из далекого путешествия. По мере приближения к «родному гнезду» странник стремится идти с большим напряжением, причем тем большим, чем дальше место, из которого он идет. «То же самое, — говорит Тарталья, — делает тяжелое тело, двигаясь к своему гнезду, каковым является центр Мира, и с чем более далекого расстояния от этого центра оно движется, тем быстрее станет двигаться, приближаясь к нему»^{76}.

Заметим, что, обращаясь к этому вопросу в I предложении, он еще не может совсем оторваться от традиционных взглядов, считая эквивалентным удаление тела от начала пути и его приближение к «естественному месту». Только во II предложении он формирует его более четко.

Мы видим, таким образом, что новые веяния у Тартальи своеобразно сочетаются со старыми представлениями (согласно Аристотелю) о стремлении тел к своему «естественному месту».

Несколько позже Тарталья в какой-то мере пытается преодолеть эту непоследовательность, рассматривая следующий мысленный опыт (к которому, впрочем, еще до него обращались представители Парижской школы «широт форм» Н. Орем и Альберт Саксонский, а также Леонардо да Винчи): если Землю просверлить насквозь и в это отверстие бросить тяжелое тело, то остановится ли оно в центре Земли, в котором должны останавливаться все тела, как это следует из концепции «естественного места»? Тарталья считает, что «скорость, заключающаяся в теле», заставляет его миновать центр, двигаясь «насильственным движением». Таким образом, по его представлению, «естественное движение» — падение к центру Земли — способно порождать «насильственное» — подъем. Обратное невозможно, так как (опять-таки согласно аристотелевской традиции) «естественное» движение имеет причину в самом себе.

В предложениях III и IV, аналогичных по структуре предложениям I и II, рассматриваются свойства «насильственного» движения, противоположные свойствам «естественного».

Тарталья утверждает, что при «насильственном» движении скорость постоянно уменьшается до тех пор, пока она не достигнет минимума, одного и того же для всех подобных движений. Чем больше пройденный путь, тем большая требуется начальная скорость.

Обращаясь далее к противопоставлению обоих видов движения, Тарталья вводит понятие «эффекта» движения». Эффект «естественного» движения зависит от высоты падения, эффект «насильственного» движения — от близости тела к отправной точке (в случае стрельбы — к стволу орудия). Таким образом, в какой-то степени Тарталья придает понятию «эффекта» смысл скорости.

«Естественное» движение всегда ускоренное, «насильственное» — всегда замедленное. Движение брошенного тела начинается с «насильственного», которое прекращается в точке, где скорость минимальна. Только после этого оно может продолжаться, но уже в виде «естественного».

Вторая книга «Новой науки» посвящена геометрии траекторий брошенных тел. Различие между обоими видами движений, по мнению Тартальи, проявляется в различии их траекторий. Траектория «естественного» движения — всегда вертикальная прямая, траектория «насильственного» движения может быть прямолинейной, криволинейной или составной.

В рассуждениях о составной траектории, состоящей из трех участков, Тарталья исходит из практики стрельбы. При стрельбе прямой наводкой, т. е. когда линия прицела параллельна оси ствола, траектория ядра почти строго прямолинейна на достаточно большом участке. Затем, на переходном участке, она имеет форму дуги круга и в нейтральной точке переходит в вертикаль. При горизонтальной стрельбе переходный участок равен четверти круга и соответственно больше или меньше ее, если прицел взят выше или ниже горизонтали.

Далее следует утверждение, что максимум расстояния, пройденного ядром, достигается при стрельбе под углом в 45° к горизонту. Это правильное утверждение не следует, однако, из предыдущих рассуждений и выдвинуто чисто интуитивно.

Следующая книга Тартальи, посвященная баллистике, — «Различные вопросы и изобретения», написанная в форме диалога между автором и несколькими собеседниками (литературный жанр, к которому впоследствии обратился Галилей), содержит некоторые уточнения его геометрии траекторий. В частности, он показывает, что, строго говоря, траектория «насильственного» движения не имеет никакой прямолинейной части.

Далее следует другое уточнение, что длина квазипрямолинейного участка траектории зависит не только от начальной скорости, но и от наибольшего угла стрельбы.

Современники Тартальи оценили лишь его вклад в геометрию траекторий. Для нас же теперь ясно, что основным его достижением на пути к созданию новой механики является анализ обоих видов движения и вывод об их симметрии, что позволило Тарталье прийти к выводу об их сочетании, хотя и не привело к понятию о единстве этих движений.

Решительный удар аристотелевской теории противопоставления «естественного» и «насильственного» движений нанес ученик Тартальи Джованни Бенедетти.

Обращаясь к проблеме падения тела, Бенедетти уже в своей первой книге «Решение всех задач Евклида, а также других при единственно заданном растворе циркуля» доказывает как истину то, что тела разной величины, но одинакового удельного веса будут падать с одинаковой скоростью[20].

Это новое утверждение Бенедетти отчетливо подразделяет на два момента:

1) падение определяется не весом тела, а избытком этого веса над весом равного ему объема окружающей среды;

2) исходя из понятия центра тяжести тела и его частей, он показывает, что каждая часть совершает при падении то же самое движение, что и все тело.

Вначале Бенедетти доказывает одинаковую скорость движения в пустоте для одинаковых тел того же удельного веса, но разной величины. Затем он переходит к рассмотрению падения тел в разных средах. То, что скорость падения в одной и той же среде разная при разных удельных весах, Бенедетти не доказывает. Из этого предположения он исходит в своих попытках определить величину скорости падения в зависимости от удельного веса (плотности) среды.

Скорости падения, полагает Бенедетти, пропорциональны «силе», т. е. разности веса и потери веса в среде[21]. Сущность рассуждений Бенедетти, как легко видеть, сводится к своеобразному (хотя и неверному) динамическому толкованию статического закона Архимеда: скорость падения пропорциональна весу тела, которое в любой среде теряет в весе столько, сколько весит вытесняемый им объем вещества.

Таким образом, в противоположность Аристотелю Бенедетти характеризует падение тел с помощью разности весов, а не с помощью их отношения. Заметим, что Галилей до открытия своего общего закона падения тел придерживался точки зрения Бенедетти, под существенным влиянием которого он находился в начале своего творческого пути. Таким значительным влиянием обладал уже юношеский труд Бенедетти.

Через тридцать лет после этого он публикует сборник своих трудов под названием «Книга различных математических и физических рассуждений», где излагает разработанное им учение, направленное против Аристотеля. Это учение — усовершенствованная теория «импетуса», которая сама по себе уже была ударом (хотя и нерешительным) по аристотелевской динамике. Согласно Бенедетти, «двигатель» не только не может быть вне движущегося тела, в частности в окружающей среде, но обязательно «вложен» в само тело. Поэтому два различных импетуса, «естественного» и «насильственного» движений, могут быть совместимы в одном и том же теле.

Импетус Бенедетти характеризует направлением, рассматривая его как некий прямолинейный элемент. Так, вращение волчка он объясняет прямолинейностью горизонтального и тангенциального импетусов, уравновешивающих «тяжесть» частей, к которым они приложены. Пока скорость волчка велика, это позволяет ему сохранять свое положение. Расходуясь, импетусы уступают место «тяжести», что ведет к падению волчка. Опираясь на эти рассуждения, Бенедетти показывает, что совершенного «естественного» движения (а им является только вечное и равномерное круговое движение) быть не может.

Таким образом, развивая теорию импетуса, он вплотную подошел к двум фундаментальным положениям: во-первых, совершенное «естественное» движение не существует; во-вторых, что самое существенное, в природе обоих традиционных видов переменного («естественного» и «насильственного») движения нет принципиального различия. Любое движение, возникающее по какой-либо причине или под действием «двигателя», осуществляется при помощи направленного прямолинейного импетуса. Четкой формулировки единства природы движения вообще у Бенедетти еще нет, но мы видим, что он достаточно близко к этому подошел.

Чтобы завершить характеристику творчества Бенедетти, следует остановиться на его критике положения Аристотеля о том, что движение падающего тела тем быстрее, чем оно ближе к «естественному месту». Как мы видели, Тарталья в первой книге «Новой науки» еще придерживался взгляда о формальной эквивалентности между удалением от начальной точки и приближением к конечной точке движения. Бенедетти же совершенно четко формулирует зависимость между скоростью и расстоянием от начальной точки движения. У Бенедетти это представление связано с учением об импетусе. Согласно его представлению, «воздействие» на падающее тело становится тем большим, чем дольше это тело движется. Ускорение при падении вызвано действием последовательных импетусов, непрерывно порождаемых самим движением по мере удаления движущегося тела от исходной точки.

«Прямолинейное движение, называемое естественным, — говорит он, — увеличивает все время свою скорость вследствие непрерывного воздействия, которое получает от причины, постоянно связанной с этим телом и являющейся естественным устремлением двигаться к своему месту по некоему кратчайшему пути»^{77}.

По-новому подходит Бенедетти и к траектории «естественного» движения при падении. Для него вертикаль — это уже не путь, который ведет «путника» к «родному гнезду», а кратчайшее расстояние между двумя сферическими поверхностями, центры которых совпадают с центром Земли.

Творчество Бенедетти можно расценивать как существенную веху на пути, который привел к созданию классической механики (существенную именно потому, что его подход к понятию о единстве обоих видов переменного движения указывает, что именно следовало преодолеть, чтобы в ее развитии раскрылись действительно новые перспективы).

Говоря о попытках, предпринятых в XVI в. с целью объяснения закона падения тел, следует упомянуть, что первым, кто занимался систематическим экспериментальным изучением падения тел, был Стевин. Он писал: «Эксперимент, опровергающий Аристотеля, таков: возьми два свинцовых шара… и пусть вес одного в 10 раз больше другого. Дай им падать с одинаковой высоты в 30 футов на подставленную внизу доску или на другой твердый предмет, издающий звонкий звук. Тогда мы вполне убедимся, что более легкий шар не в 10 раз медленнее, чем тяжелый, а одновременно ударяет о доску, так что звук от обоих ударов кажется одним. То же самое бывает в телах равной величины, но весящих одно в 10 раз больше другого. Вот почему соотношение, указываемое Аристотелем, далеко от истины»^{78}.

К эпохе Возрождения относятся и первые попытки приблизиться к понятию инерционного движения.

Некоторые соображения в этом смысле высказывал еще Аристотель, который утверждал, что приведенное в движение тело в пустоте должно либо находиться в покое, либо двигаться до бесконечности. Однако Аристотель приводит это соображение лишь как средство для доказательства (от противного) своего утверждения, что пустота в природе невозможна.

В попытках же, о которых идет речь, рассматривается не идеальный случай движения тела в пустоте, а конкретные случаи, когда устранены всякие поводы к изменению движения.

Для Николая Кузанского таким является случай движения идеального шара по идеальной горизонтальной плоскости. «Пусть пол совершенно плоский и шар совершенно круглый… Раз начав двигаться как таковой, такой шар никогда не перестанет двигаться, поскольку он не может менять свое состояние. Ведь движущееся не может перестать двигаться, не изменяя своего состояния в разное время. А потому шар, находясь на плоской и ровной поверхности, пребывая всегда в одинаковом состоянии, будучи однажды приведен в движение, двигался бы всегда»^{79}.

В середине XVI в. движение шара по горизонтальной плоскости рассматривал Кардано. Он доказывал, что «всякое сферическое тело, касающееся плоскости в точке, движется в сторону под действием любой силы, способной разделять среду»^{80}. Далее он утверждал, что для передвижения шара по горизонтальной плоскости достаточна сколь угодно малая или «никакая» сила. Если, по его мнению, устранить сопротивление воздуха, то тело будет двигаться всегда.

Еще более решительно высказывает эти мысли Стевин: «Любые тяжести, движимые по горизонтали, каковы корабли на воде, телеги на равнинах полей и т. п., не нуждаются для своего движения даже в силе одной мухи, если оставить в стороне те препятствия, которые создает окружающая среда и которые мешают движению, каковы вода, воздух, трение колес, осей, толчки и удары о мостовую дорог и т. п.»^{81}.

Характерны размышления Кеплера по этому поводу. Небесное тело, по Кеплеру, имеет «в меру своей материи естественную неспособность переходить из одного места в другое, имеет естественную инерцию или покой и благодаря этому покоится в любом месте, где оно предоставлено самому себе» (дословно: «где оно находится в одиночестве»)^{82}.

«Всякое телесное вещество, или материя всех вещей, имеет то качество… что оно …неспособно само по себе переходить с одного места на другое, а потому тела должны быть притягиваемы или гонимы чем-то живым или иным»^{83}.

Очевидно, что все упомянутые авторы были еще очень далеки от понимания самой сути закона инерции. Даже Кеплер понимает инерцию лишь как сопротивление тела силе, которая стремится вывести его из состояния покоя, но не изменить скорость его движения. Открыть первый закон движения удалось лишь Галилею.

Однако именно Кеплеру принадлежит попытка динамического подхода к объяснению движения небесных тел, которая стала вместе с тем первым шагом к созданию действительной небесной механики. Он еще понимал силу по-аристотелевски, как величину, пропорциональную скорости (а не ускорению). Убывание скорости планеты по мере возрастания ее расстояния от Солнца ассоциируется с формулировкой закона рычага, восходящей к «Механическим проблемам»: если планета дальше от Солнца, она «тяжелее» и поэтому должна двигаться медленнее.

Позже Кеплер ассоциирует свое понятие о силе тяготения с понятием о силе магнитного притяжения, исходя из представления о Земле как о большом магните.

С другой стороны, сила, действующая на планеты, по его мнению, «обнаруживает теснейшее родство со светом».

В то же время (хотя в большинстве случаев он говорил только о притяжении планет Землей) Кеплер высказывает и некоторые соображения о тяготении тел друг к другу. Сила такого тяготения, по Кеплеру, обратно пропорциональна объемам (массам) тел, поэтому при движении друг к другу они должны до встречи пройти расстояния, обратно пропорциональные их массам. Таким образом, и в этом случае он рассматривает скорости и расстояния в линейной зависимости от величины «движущей силы», т. е. еще «по-аристотелевски».

Объяснение движения небесных тел с помощью земной механики стало окончательно возможным только после того, как Декарт сформулировал принцип инерции для прямолинейного движения, а Галилей установил принципы относительности, инерции, независимости действия сил и понятия скорости в данной точке, ускорения, сложения движений. Они, хотя и не были доведены до своего окончательного выражения, составили тот остов, на который могли опираться дальнейшие исследования. В сочетании с законами Ньютона это позволило создать единую механику, объединяющую законы криволинейного движения Кеплера и принципы динамики Галилея.