Механика от античности до наших дней

ТРУДЫ ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Леонард Эйлер (1707—1783) — один из выдающихся ученых, оказавший большое влияние на развитие физико-математических наук в XVIII в. В его творчестве поражает проникновенность исследовательской мысли, универсальность дарования и огромный объем оставленного научного наследия.

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. в Базеле в семье пастора Пауля Эйлера. Отец Эйлера любил математику и в свое время учился у Якоба Бернулли. Первые уроки математики Леонард Эйлер получил у своего отца. Несмотря на исключительные математические способности сына, Пауль Эйлер хотел дать ему богословское образование, но, к счастью для науки, тот не сделался священником. В 1720 г. Эйлер поступил в Базельский университет. Его математическое дарование привлекло внимание Иоганна Бернулли (1667—1748). Под руководством Бернулли Эйлер в короткое время изучил ряд классических трудов по математике и показал замечательные успехи.

Эйлер сделался другом сыновей своего учителя — Николая и Даниила Берпулли, которые также успешно занимались математическими науками. Эта дружба сыграла большую роль в жизни Эйлера.

8 июня 1724 г. Эйлер блестяще окончил университет и получил звание магистра искусств. Молодой ученый занялся поисками работы в Базеле, но безуспешно. Братья Бернулли также не смогли найти на родине применения своим дарованиям.

В 1725 г. Николай и Даниил Бернулли были приглашены для работы в учрежденную в Петербурге Академию наук.[26] Оказавшись в Петербурге, братья Бернулли употребили много усилий, чтобы добиться приглашения туда Леонарда Эйлера. Президент Петербургской академии наук медик Л.Л. Блюментрост (1692—1755) согласился предоставить Эйлеру место адъюнкта. Он принял это предложение.

5 апреля 1727 г. двадцатилетний Эйлер навсегда покинул Базель и 17 мая приехал в Петербург.

С этого времени начинается работа Эйлера в Петербургской академии наук. По своей интенсивности эта работа едва ли имеет равную себе в истории науки. С молниеносной быстротой развернул он неисчерпаемые силы своего математического гения. С неукротимой энергией Эйлер занимается новыми и новыми проблемами математических и прикладных наук. Уже за время первого своего пребывания в Петербурге (1727 —1741) он подготовил более 75 работ.

В эти годы не вышло ни одного тома (за исключением первого) трудов Академии, который не содержал бы нескольких его крупных работ. В результате плодотворной научной деятельности Эйлера и других ученых «Commentarii» стали одним из лучших научных журналов того времени.

Уже тогда Эйлер имел огромный научный авторитет. В этом смысле показательна его переписка с И. Бернулли. Она интересна не только в научном отношении. Бернулли — великий математик, которого называли Нестором геометрии, находившийся уже в преклонных летах, — не стеснялся советоваться с бывшим своим учеником, интересовался его мнением о своих новых трудах.

Наряду с многогранной научной деятельностью Эйлер принимал активное участие и в других работах Академии. Он читал лекции студентам академического университета, принимал экзамены и т. д. Эйлер основательно изучил русский язык и свободно говорил и писал по-русски. В Архиве Академии наук СССР хранятся письма ученого, написанные на русском языке.

Эйлера привлекали в качестве эксперта по вопросам техники; он участвовал в комиссии мер и весов, занимался вопросами устройства пожарных насосов и механических пил и т. д. В течение ряда лет Эйлер работал в Географическом департаменте, которому было поручено составление генеральной карты России. Здесь он был главным консультантом по вопросам математики, руководителем больших циклов работ, вычислителем, сам чертил карты. Впоследствии он писал: «Я уверен, что география российская чрез мои и г. профессора Геинзиуса труды приведена гораздо в исправнейшее состояние, нежели география немецкой земли»^{145}.

В 1740 г. в Петербургской академии наук установилась атмосфера деспотизма. Судьба Академии и ее членов зависела от таких невежественных людей, как Бирон, Шумахер и др. Очевидно, это в какой-то мере заставило Эйлера принять приглашение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин. Перед отъездом из Петербурга Эйлеру было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук с ежегодной пенсией в 200 рублей.

Берлинский период жизни Эйлера характеризуется прежней высокой научной активностью. В Германии Эйлер опубликовал свыше 235 мемуаров, в том числе такие крупные работы, как «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума» (1744), два тома «Введения в анализ бесконечно малых» (1748), два тома «Морской науки» (1749), «Теорию движения Луны» (1753), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теорию движения твердых тел» (1765) и много других классических мемуаров по математической физике, гидродинамике, баллистике, дифференциальной геометрии, тригонометрии, теории чисел и т. д.

Следует заметить, что «Морскую науку» он начал по поручению Петербургской академии наук и вчерне закончил ее еще в 1737 г.; этот труд был издан в Петербурге. Точно так же по особой договоренности с Петербургской академией были написаны им «Дифференциальное исчисление» и «Теория движения Луны», изданные на ее счет в Берлине.

Прусское правительство давало Эйлеру и чисто инженерные поручения. Так, в 1749 г. ему было поручено осмотреть канал между Гавелем и Одером, указать необходимые меры исправления этого водного пути, исправить водоснабжение в Сан-Суси и т. п. Эйлер написал ряд статей, обобщающих эти практические задачи.

Связь Эйлера с Петербургской академией не прекращалась в течение всего времени его пребывания в Берлине. За эти годы он опубликовал в изданиях Петербургской академии наук свыше 100 мемуаров. Он редактировал также математический отдел ее ученых записок и вел с академией весьма оживленную и важную переписку по самым разнообразным научным и научно-организационным вопросам. Он знакомил петербургских академиков с научными новинками Западной Европы, помогал советами в организации конкурсов, подбирал сотрудников на вакантные должности, приобретал для академии книги, инструменты, рецензировал работы студентов академического университета. На квартире у Эйлера годами жили присланные к нему для завершения образования русские адъюнкты Петербургской академии. Таким образом, Эйлер, как выразился его ученик академик Н.И. Фусс, никогда не переставал принадлежать русской академии наук.

Пребывание в Берлине сопряжено было для Эйлера как с рядом удобств, так и с рядом трудностей. Его отношения с королем Фридрихом, постоянно вмешивавшимся в дела Берлинской академии и недостаточно ценившим великого математика, с годами все ухудшались. Эйлер чаще и чаще задумывался о возвращении в Россию. В середине 60-х годов натянутые отношения с королем переросли в резкий конфликт и по приглашению правительства Екатерины II Эйлер решил вернуться в Россию.

В июле 1766 г. Эйлер вновь прибыл в Петербург, где и прожил до конца жизни.

За последние 17 лет жизни в Петербурге Эйлер опубликовал несколько сот работ по различным вопросам математики, механики, физики. В 1769—1771 гг. он подвел итог своим оптическим работам в трех томах «Диоптрики». В это же время академическая типография напечатала три тома его «Писем к одной немецкой принцессе», три тома «Интегрального исчисления», два тома «Алгебры», астрономические работы, работы по теории мореплавания и др. В академических записках по-прежнему регулярно появлялись статьи Эйлера. Он работал так много, что академические «Commentarii» не успевали помещать его новые статьи и образовывался их запас на много лет. Эйлер шутливо говорил, что его статьи будут печататься в журналах Академии еще двадцать лет после его кончины. И на самом деле, сочинения Эйлера публиковались Петербургской академией наук до 1862 г.

Своими трудами Эйлер прославил Академию наук. Его плодотворная научная деятельность сказалась на дальнейшем развитии физико-математических наук в России. Он оказал неоценимую услугу русской науке, воспитав целую плеяду выдающихся ученых. Многие русские академики: С.К. Котельников, С.Я. Румовский, М.Е. Головин, Н.И. Фусс, С.Е. Гурьев и другие были или непосредственными его учениками, или же воспитывались на его сочинениях.

Эти ученые играли большую роль в деле налаживании преподавания в самой Академии и в первых русских университетах — Московском и Казанском, а также в технических учебных заведениях Петербурга.

Работы Эйлера произвели на современных ему ученых не только глубокое, но, можно сказать, ошеломляющее впечатление. Даламбер в одном из своих писем Лагранжу называет Эйлера «се diable b'homme» («этот диавол»), желая выразить этим, что сделанное Эйлером превышает силы человеческие^{146}.

Младший современник Эйлера Лаплас говорил своим ученикам: «Читайте, читайте Эйлера — он наш общий учитель». Эти слова знаменитого французского ученого и по сей день сохраняют свою силу. На трудах Леонарда Эйлера воспитывались все выдающиеся математики и механики второй половины XVIII в. Гаусс писал, что изучение трудов Эйлера является наилучшей школой в самых различных областях математики. Исключительно высоко оценивал работы Эйлера и их влияние на развитие математических наук во всем мире, и в частности в России, М.В. Остроградский. Труды Эйлера и в последующие столетия оставались богатым источником, из которого многие ученые, среди которых следует назвать имена таких знаменитых математиков и механиков, как Лагранж, Лобачевский, Гаусс, Чебышев, Абель, Якоби, Монж, Риман, Остроградский, Пуассон и другие, черпали знания и проблемы для научной работы. Огромные заслуги Эйлера были признаны всем ученым миром. Он был избран академиком восьми стран (в том числе России, Германии, Франции, Англии).

Эйлер дожил до 76 лет и имел многочисленную семью. Сын его Иоганн Альбрехт Эйлер (1734—1800) состоял членом Петербургской академии наук, Карл Эйлер (1740— 1790) был лейб-медиком Екатерины II, Христофор Эйлер (1743—1808) — генералом русской армии и начальником оружейного завода в Сестрорецке. У Эйлера было 38 внуков. Потомки великого ученого и в наши дни живут в Советском Союзе.

Творческая работа Эйлера не прекращалась до 18 сентября 1783 г. — последнего дня его жизни. В этот день он беседовал с академиком Лекселем на астрономические темы, потом играл с внуком, а за чаем, внезапно почувствовав себя плохо, сказал: «Я умираю». Через несколько часов Эйлер, по образному выражению Кондорсе, «перестал вычислять и жить».

Грандиозная творческая сила Эйлера сближает его с такими титанами-творцами, как Леонардо да Винчи и Ми-келанджело. Характеристикой творческого труда Эйлера может служить количество его работ, среди которых помимо статей, как небольших по объему, так и могущих составить целую книгу, есть несколько многотомных сочинений. Эйлеру принадлежит около 850 работ, из которых более половины в изданиях русской Академии наук, и огромное количество писем на различные научные темы. Значительная часть трудов Эйлера посвящена механике, которая вслед за математикой была главной областью его творчества. Первая работа Эйлера, написанная им в 1725 г., когда ему было 18 лет, посвящена изохронным кривым в случае сопротивляющейся среды; она вышла в основанных Лейбницем «Acta eroditorum» за 1726 г. Механике Эйлер посвятил свыше 200 статей и книг, что составляет около четверти всех его публикаций (это без учета его многочисленных работ по небесной механике). Исследования Эйлера охватывали все отделы механики. Более 160 его работ относятся к ее теоретическим проблемам: общим вопросам (учение о пространстве, о природе материи и сил, принципе наименьшего действия), механике точки и твердого тела, давлению и удару, трению, теории упругости и сопротивлению материалов, гидро- и аэромеханике. Остальные работы имеют своим предметом теорию машин, гидравлику, баллистику, теорию корабля и некоторые другие области прикладной механики.

Вскоре после переезда в Петербург Эйлер приступил к исследованию различных механических задач. Он продолжает глубоко изучать творения своих предшественников — от Галилея до Ньютона, Лейбница и его учеников — и одновременно выступает в печати с рядом оригинальных результатов. Начиная со второго тома в записках Петербургской академии наук появляются его статьи о таутохронных кривых и случаях пустоты и сопротивляющейся среды, о колебаниях упругих пластин, об ударе и др. Из 28 работ, представленных им Академии до конца 1734 г., 9 относились непосредственно к механике.

Уже в первые годы научной деятельности Эйлер составил программу грандиозного и всеобъемлющего цикла работ. Эта программа изложена в его первой двухтомной монографии «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданной в Петербурге в 1736 г. В ней Эйлер писал: «Итак, разнообразие тел предопределяет для нас первоначальное деление нашей работы. Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые, т. е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину, — тем, которые являются твердыми, не позволяющими менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнить свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел. По отношению к этим телам мы будем рассматривать не только то, как они, представленные сами себе, продолжают движение, но, кроме того, мы будем исследовать, как на эти тела воздействуют внешние причины, т. е. силы»^{147}.

Реализация намеченной программы, естественно, растянулась на десятилетия. Цитированная монография содержала основания динамики точки — под механикой Эйлер разумел науку о движении в отличие от науки о равновесии сил, или статики. Отличительной чертой «Механики» Эйлера явилось широкое использование нового математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Это нашло отражение уже в названии книги и было особо подчеркнуто в предисловии к ней. Кратко охарактеризовав основные труды по механике, составленные на рубеже XVII—XVIII вв., Эйлер отмечал присущий им синтетико-геометрический стиль всего изложения, чрезвычайно затрудняющий читателей. В такой именно манере были написаны «Математические начала натуральной философии» Ньютона, благодаря которым наука о движении получила наибольшее развитие, и более поздняя «Форономия» (1716) Я. Германа — единственное тогда сочинение, в котором эта наука была изложена как самостоятельная дисциплина. Эйлер заявлял: «Однако если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом». Тут он ссылается на собственный опыт: познакомившись с обоими упомянутыми трудами Ньютона и Германа, он полагал, что я но понял решение многих задач, но в действительности оказался не в состоянии решить даже мало отличающиеся от них новые проблемы. Тогда Эйлер стал перерабатывать синтетические доказательства в аналитические и, лучше уяснив суть вопроса, перешел к аналитическому изучению новых задач, что в свою очередь привело его к открытию новых методов, обогащающих как механику, так и сам анализ. «Таким образом и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что я нашел у других в их работах о движении тел, так и то, что я получил в результате своих размышлений»^{148}.

Чрезвычайные выгоды, связанные с применением в динамике анализа вместо геометрических построений, общеизвестны. Следует заметить, что было бы неверно видеть заслугу Эйлера в одном только переводе динамики Ньютона с синтетико-геометрического языка на более простой аналитический. Эйлер создал принципиально новые методы исследования проблем механики, разработал ее новый математический аппарат и с блеском применил его ко множеству новых трудных задач. Он впервые сделал инструментом механики дифференциальную геометрию, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление. Синтетико-геометрический метод не был, вообще говоря, адекватным явлениям динамики, поскольку требовал, как правило, индивидуальных построений, приспособленных к каждой задаче в отдельности. Метод Эйлера, развитый как им самим, так и другими учеными, был единообразным и адекватным предмету.

Обратимся к трактату Эйлера по механике. Первый том содержит учение о свободном движении точки.

В главе 1 даются определения и разъяснения основных понятий динамики. Уже здесь используется аппарат исчисления бесконечно малых. Так, среди прочего время движения по дуге траектории s со скоростью с выражается интегралом

(знаки нижнего и верхнего пределов интегрирования в то время не ставились).

Глава 2 трактует о действии сил на свободную точку. Здесь формулируется основная теорема, соответствующая второму закону Ньютона: «Если направление движения точки совпадает с направлением силы, то приращение скорости будет пропорционально силе, умноженной на промежуточек времени и деленной на материю или на величину точки»^{149}.

В главе 3 разобраны конкретные задачи: свободное падение тела и прямолинейное движение свободной точки под действием центральных сил, пропорциональных той или иной степени расстояния. В случае, когда центростремительная сила обратно пропорциональна расстоянию от центра, Эйлер выражает время полного падения через знаменитый интеграл

незадолго перед тем исследованный им и названный впоследствии эйлеровым интегралом второго рода.

Глава 4 посвящена разбору задач о прямолинейном движении точки в однородной среде с сопротивлением, пропорциональным какой-либо степени скорости.

В главе 5 Эйлер переходит к плоскому криволинейному движению свободной точки в пустоте. Он разлагает действующую силу на две составляющих — по касательной и по нормали к траектории — и, используя такие же разложения ускорения, получает два уравнения движения. Обширное место отведено движению точки под действием центральной силы, в частности силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Тут Эйлер дает аналитическую переработку посвященных тому же предмету параграфов «Математических начал натуральной философии» Ньютона и закладывает основы последующих работ по небесной механике.

Первый том «Механики» заканчивается главой о криволинейном движении в сопротивляющейся среде. Специальное внимание Эйлер уделяет важному по внешней баллистике случаю, когда сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Задачу эту ранее рассматривали Ньютон, Герман, И. Бернулли, но решение Эйлера отличалось и оригинальностью, и большей полнотой.

Во втором томе «Механики» Эйлер исследует несвободное движение точки, когда, как он выражается, тела встречают препятствия тому, чтобы продвигаться в том направлении, в котором они стремятся двигаться, как, например, маятники. При рассмотрении движения в пространстве он пользуется разложением сил по трем взаимно перпендикулярным направлениям подвижного естественного трехгранника, связанного с точками траектории, т. е. проектированием на касательную, главную нормаль и бинормаль. Это дает соответственно три уравнения движения.

Особое значение в развитии механики и математики имеет последняя глава второго тома о движении точки на данной поверхности, в которой Эйлер развил учение о кривизне плоских сечений поверхностей и о геодезических линиях на поверхности.

«Механика» Эйлера сразу привлекла к себе внимание ученого мира. С высокой похвалой отозвался о ней в письме 6 ноября 1737 г. к автору И. Бернулли. В том же году появилось подробное изложение книги в издававшейся группой немецких ученых «Bibliotheque germanique» (т. 39), а еще год спустя восторженный отзыв был опубликован в лейпцигских «Nova acta eroditorum».

Через восемь лет после выхода «Механики» Эйлер обогатил эту науку первым точным выражением принципа наименьшего действия.

Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для каждой физической системы существует некоторая величина, именуемая действием, которая принимает экстремальное значение при действительно происходящем движении. Идея принципа зародилась в оптике. П. Ферма (1601 — 1665) дал в 1662 г. вывод закона преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была подхвачена И. Бернулли, а в 1744—1746 гг. ее развил применительно к механике П. Мопертюи (1698—1759). Принцип Мопертюи гласит: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным»^{150}. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и теологических доводов и пытался найти в нем новые аргументы в пользу существования бога как творца целесообразных законов природы. В случае механического движения Мопертюи понимал под действием величину mvs, т. е. произведение массы, скорости и пути, проходимого телом. Эта величина должна быть минимальна при движении; при покое же, т. е. равновесии, тела должны располагаться так, что если бы они совершили малое движение, то возникшее при этом количество действия было бы наименьшим. Из этих принципов Мопертюи выводил законы рычага и удара.

Математическое выражение принципа Мопертюи было весьма ограниченным. Эйлер самостоятельно пришел к собственной формулировке принципа наименьшего действия в ходе занятий проблемами вариационного исчисления. Уже в конце 20-х годов XVIII в. он приступил к систематической работе в этой новой области математики, успешно продолжив исследования, начатые тридцатью годами ранее Иоганном и Якобом Бернулли. Результаты, полученные Эйлером на протяжении 15 лет и частью публиковавшиеся в записках Петербургской академии, были суммированы в большом трактате «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума», вышедшем в 1744 г. В этой работе содержится первая научная формулировка принципа наименьшего действия. Эйлер был уверен в существовании экстремальных законов, характерных для всех физических явлений. И он, подобно Мопертюи, еще соединял это положение с теологическими и телеологическим» соображениями: великий математик был верующим человеком. «Так как, — писал Эйлер, — все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума»^{151}. Далее он замечает, что определить подобное свойство «из принципов метафизики a priori» не так легко. Однако, поскольку те же кривые линии можно определить с помощью прямого метода, то, «приложив должное внимание, можно будет заключить о том, что в этих кривых является максимумом или минимумом»^{152}. Рассуждения Эйлера привели его к выводу, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, экстремальное значение должен иметь интеграл

или, как писал сам Эйлер, «для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей»^{153}. Принцип наименьшего действия оказывается связанным с законом живых сил, а его применение ограничивается случаями, в которых силы имеют потенциал. Публично Эйлер признал первенство Мопертюи в открытии принципа наименьшего действия. На самом деле оба они пришли к своим результатам самостоятельно и одновременно. Но для дальнейшего развития вариационных принципов механики отправным пунктом стал именно принцип Эйлера, применимый к непрерывным движениям и дававший дифференциальные уравнения траекторий, между тем как принцип Мопертюи относится лишь к случаям конечных и мгновенных изменений скорости. Преимущество Эйлера в обосновании и применении принципа признавал сам Мопертюи. На протяжении 1746— 1749 гг. Эйлер написал еще несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, в которых принцип наименьшего действия получил применение к задачам, связанным с действием упругих сил. Больше он в этом направлении не работал, и новое продвижение вперед было достигнуто прежде всего Лагранжем.

Мы не будем останавливаться на шумном споре о принципе наименьшего действия, развернувшемся в середине XVIII в. Заметим лишь, что в этой дискуссии, начавшейся в связи с тем, что швейцарский ученый С. Кениг (1712—1757) подверг сомнению приоритет Мопертюи[27], нашла яркое выражение идеологическая борьба сторонников детерминистической и материалистической картины мира с приверженцами телеологических и теологических концепций. Эйлер здесь поддерживал Мопертюи; на противоположной стороне стояли Вольтер, Даламбер и другие ученые[28]. Положительным результатом спора явилось освобождение принципа наименьшего действия от метафизических привесков. В статье «Космология», напечатанной в четвертом томе знаменитой «Энциклопедии» в 1754 г., Даламбер, подводя итоги спору, писал, что принцип минимальности действия «сам по себе полезен для механики и мог бы облегчить разрешение некоторых проблем», особенно подчеркивая, что он «есть только математический принцип»^{154}.

Берлинский период жизни Эйлера (1741—1766) отмечен высокой интенсивностью работы в области механики, особенно небесной механики, теории движения твердого тела и гидромеханики. История небесной механики представляет собой часть истории астрономии, а исследования Эйлера в этой области явились недавно предметом специального подробного анализа^{155}. Мы скажем лишь несколько слов о роли Эйлера в утверждении закона всемирного тяготения Ньютона.

Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при изучении движения планет Солнечной системы, и прежде всего Луны. Основанные на законе тяготения расчеты Клеро и Даламбера, произведенные в 1745 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет — величину, вдвое превосходившую результаты наблюдений. Это ставило под удар всю систему Ньютона. Многие, в том числе Клеро и Эйлер, склонялись к тому, что необходимо внести поправки в самый закон притяжения. Но в 1749 г. Клеро сообщил Эйлеру, что обнаружил недостаточность метода, применявшегося в прежних вычислениях. Ранее Клеро ограничился первым приближением решения соответствующих дифференциальных уравнений, и этим-то объяснялось указанное расхождение. Между тем привлечение второго приближения, по утверждению Клеро, дает численный результат, согласный с наблюдаемым. Этим же Клеро объяснял расхождение с действительностью данных, полученных Эйлером. В письме от 10 июля 1749 г. Клеро писал Эйлеру: «Я предполагаю, что Вы не пришли к правильному результату потому, что пренебрегли в своем вычислении при интегрировании первых дифференцио-дифференциальных уравнений (т. е. уравнений второго порядка. — А. Г.) членами, происходящими от квадратов возмущающих сил. По крайней мере, именно после того, как я учел эти члены, я и получил почти действительное движение апогея»^{156}.

Эйлер не был убежден доводами Клеро и для решения вопроса посоветовал Петербургской академии объявить конкурс на тему: «Согласуются или же нет все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона? И какова истинная теория этих неравенств, которая позволила бы точно определить местоположение Луны для любого времени?» Конкурс был объявлен в конце 1749 г., Эйлер вошел в состав жюри. Клеро представил на конкурс свое сочинение. Ознакомившись с ним, Эйлер с полным беспристрастием отказался от своей прежней точки зрения. Он оценил труд Клеро как великолепный, и в 1751 г. премия была присуждена французскому ученому за «Теорию Луны, выведенную из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний».

Но Эйлер не ограничился разбором теории Клеро. Чтобы проверить ее, он дополнительно исследовал вопрос с помощью другого, собственного, метода, который изложил в «Теории движения Луны, выявляющей все ее неравенства», опубликованной в Берлине в 1753 г.

Так Клеро и Эйлер утвердили теорию тяготения Ньютона^{157}. Расчетные приемы Эйлера получили и практическое применение. На основе его формул немецкий астроном И.-Т. Майер (1723—1762) составил таблицы видимого движения Луны, которые были вскоре использованы в справочниках для мореплавателей для определения долготы в открытом море по угловым расстояниям Луны от Солнца и еще некоторых удобных для наблюдения ярких светил. Такой способ определения долготы корабля применялся на практике более ста лет наряду с изобретенным в 1761 г. Т. Гаррисоном (1693—1776) морским хронометром. Тогда же английский парламент выдал установленную в 1714 г. премию (за способ определения долготы в море с точностью ¹/₂ градуса): 20 000 ф. ст. — Гаррисону, 3000 ф. ст. — наследникам скончавшегося Майера и 300 ф. ст. — Эйлеру, выведшему формулы, использованные при вычислении майеровских лунных таблиц.

Не останавливаясь на других работах Эйлера по небесной механике, в частности по движению планет, и на его позднейшей новой теории Луны, заметим еще, что в них содержатся и важные результаты по общей механике, специально по динамике системы точек. Эти результаты были подытожены вместе с его открытиями по теории движения твердого тела в большом труде, законченном в 1760 и опубликованном в 1765 г.

Своему труду по динамике твердого тела — «Трактату о движении твердых тел» — Эйлер предпосылает большое введение из шести глав, в котором вновь излагает динамику точки. Это позволяет читателю не обращаться к «Механике», вышедшей почти тридцатью годами ранее. В отличие от прежнего изложения Эйлер приводит уравнения движения точки, пользуясь проектированием на оси неподвижных прямоугольных координат. Следующий за введением «Трактат о движении твердых тел» состоит из 19 глав. В основу положен принцип Даламбера, высказанный французским математиком в «Трактате о динамике» (1743). Принцип Даламбера, сводящий задачи динамики несвободной системы к рассмотрению равновесия некоторой системы действительных и фиктивных сил, Эйлер формулирует в первой главе своего «Трактата». Он вводит понятие элементарной силы, приложенной к точке тела в любой момент его движения, как силы, которую следовало бы к ней приложить, чтобы, будучи свободной, она совершила то же самое движение. Принцип Даламбера выступает при этом как положение о равновесии между элементарными силами и данными внешними силами.

Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер переходит к рассмотрению вращения вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь подробно разработан аппарат разнообразных формул для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера (впервые введенные им в 1748 г.). Далее изучены свойства момента инерции и вычислены моменты инерции ряда плоских и пространственных фигур. Главные оси определяются с помощью их экстремальных свойств (эллипсоид инерции еще отсутствует). В следующих главах разработана самая динамика твердого тела. Особый интерес представляет X глава, где рассмотрена задача о вращении твердого тяжелого тела вокруг его неподвижного центра тяжести при отсутствии внешних сил.

В двух следующих главах Эйлер решает задачу для случаев трех или двух равных главных моментов инерции. В случае попарно неравных моментов при отсутствии внешних сил он выражает закон движения через дуги конических сечений, т. е. через эллиптические интегралы, и рассматривает условия, при которых дело сводится к элементарным интегралам. Мы не будем останавливаться на дальнейшей истории этой основополагающей в теории гироскопа задачи, ставшей предметом изысканий многих ученых. Скажем лишь, что первый шаг вперед сделал вскоре Лагранж, давший решение для случая, когда два главных момента инерции равны, а центр тяжести тела лежит на оси третьего момента (в дифференциальные уравнения входят тогда дополнительные члены, зависящие от координат центра тяжести). Новые глубокие исследования проведены были лишь через сто лет С.В. Ковалевской.

В последних главах работы Эйлера по теории движений твердого тела содержатся некоторые приложения общей теории к вращению небесных тел, в частности к явлениям либрации и нутации, к движению волчка на горизонтальной плоскости и другим вопросам, а в обширном приложении рассмотрен еще вопрос о движении с трением.

Влияние трудов Эйлера по механике точки и твердого тела на все последующее развитие этой науки и на ее преподавание было огромным. Как и в области математики, он был здесь, по выражению Лапласа, «общим учителем всех нас».

Особенно велики заслуги Эйлера в развитии науки в России. «Вместе с Петром I и Ломоносовым, — писал академик С.И. Вавилов, — Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее продуктивность».

РАБОТЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Проблема взаимодействия между жидкостью и частично или полностью погруженным в нее телом возникла из нужд практики в древности. Еще Архимед открыл закон, выражающий подъемную силу, которая поддерживает плавающее тело, и первый исследовал проблему устойчивости плавающих тел для некоторых фигур вращения. В XVI—XVII вв. строительство каналов, плотин, шлюзов, фонтанов, развитие судостроения и мореплавания с гораздо большей силой, чем прежде, поставило перед инженерами и учеными передовых европейских стран разнообразные задачи гидромеханики. В исследовании давления жидкости на дно и стенки сосудов значительные успехи достигнуты были голландским инженером и математиком С. Стевином (1548—1620) и независимо от него французским ученым Б. Паскалем (1623—1662), который пошел далее, открыв, в частности, принцип работы гидравлических прессов. Галилей, используя принцип возможных перемещений, вновь подверг изучению вопрос о плавающих телах.

Параллельно экспериментально и теоретически разрабатывалось учение об атмосферном давлении. Здесь важные результаты были получены Торричелли и Паскалем. Отто фон Герике (1602—1686) провел первые опыты с изобретенным им воздушным насосом, который значительно усовершенствовал английский физик Р. Бойль (1627— 1691). В 1662 г. Бойль же открыл закон обратной пропорциональности между силой давления и объемом сжигаемого воздуха (при постоянной температуре), закон, который был самостоятельно получен п убедительно подтвержден в 167 6 г. французским физиком Э. Мариоттом (1620—1684). В сравнении с этими достижениями гидро- и аэростатики успехи в области динамики жидких сред были незначительны. Б. Кастелли (1577—1644), учеником которого, как и Галилея, был Торричелли, в 1628 г. опубликовал сочинение о движении воды в реках и каналах. Он установил, что скорость течения обратно пропорциональна площади соответствующего поперечного сечения, но допустил ошибку, приняв, что скорость истечения жидкости из бокового отверстия сосуда пропорциональна высоте ее уровня. Правильный закон истечения жидкости вывел как отмечалось ранее, Торричелли. Ньютон в «Математических началах» приступил к анализу внутреннего трения в движущейся жидкости, введя понятие о вязкости. Но все это были только первые подступы к созданию гидродинамики. Энгельс в «Диалектике природы» писал, что механика жидких и газообразных тел была в более значительной степени разработана лишь в середине XVIII в. Главная заслуга в этом деле принадлежит Д. Бернулли и Л. Эйлеру.

Даниил Бернулли, второй сын Иоганна Бернулли, родился 29 января 1700 г. в Гренингене (Голландия), где работал в то время его отец. Вместе с родителями мальчик в 1705 г. переехал в Базель и здесь окончил в 1713 г. гимназию, а в 1716 г. — университет, получив звание магистра философии. Отец предназначал Д. Бернулли для работы в торговле, но юношу неудержимо интересовали науки. Он принялся изучать медицину. Однако, как писал Д. Бернулли в автобиографии, «пример членов его семьи, а именно его отца и старшего брата Николая, а также наклонности его собственной души влекли его к математическим наукам и к изучению природы. Он почти целиком отдался этим знаниям»^{158}.

В 1724 г. его избрали членом Болонской академии наук. Генуя также собиралась основать академию, и с Даниилом Бернулли вступили в переговоры, предлагая ему возглавить это ученое общество. Пока он колебался, пришло приглашение на службу в Петербургскую академию наук, и молодой ученый выбрал Петероург. В русскую столицу он приехал в октябре 1725 г.

Д. Бернулли проработал в России почти восемь лет, заполненных интенсивными научными занятиями по математике и механике. В это время был подготовлен и первый вариант его «Гидродинамики». Летом 1733 г. он возвратился в Базель.

Тесную связь с Петербургской академией Д. Бернулли поддерживал до конца жизни. Перед отъездом ему было присвоено звание почетного (иностранного) члена Академии с ежегодной пенсией в 200 руб. В записках Петербургской академии наук напечатана большая часть работ Бернулли: 50 из 75. Все 20 работ, написанных Бернулли в последние годы жизни, тоже вышли в изданиях Петербургской академии наук. Помимо того, Д. Бернулли поддерживал с академией оживленную научную переписку, более всего с Л. Эйлером. Эта переписка имеет выдающийся научный и исторический интерес.

Труды Д. Бернулли принесли ему очень широкую известность. Он был избран членом академий (помимо ранее названных) в Париже, Берлине, Лондоне. Десять раз его сочинения получали премии на конкурсах Парижской академии. Скончался Д. Бернулли в Базеле 17 марта 1782 г.

Первые важные открытия Д. Бернулли относились к математике. И, впоследствии он не раз обращался к различным математическим вопросам. Так, в третьем томе «Gommentarii» за 1728 г. он приложил рекуррентные ряды к приближенному решению численных алгебраических уравнений; в пятом томе за 1730—1731 гг. он распространил свой прием на некоторые классы трансцендентных уравнений. Большую важность имеют его исследования по теории вероятностей, к решению задач которой он применил исчисления бесконечно малых, и по статистике. В отличие от Эйлера, который был прежде всего математиком, Д. Бернулли был в первую очередь физиком и механиком, а математика являлась для него только одним из важных средств для раскрытия законов природы. «Даниил Бернулли, — пишет академик В.И. Смирнов, — был по существу не математиком, а естествоиспытателем в широком смысле этого слова. Математическим аппаратом он пользовался в очень скромном масштабе. Математика в его работах — очень простая. Поражает его необыкновенная интуиция при рассмотрении различных задач механики и физики. Это та «первооснова», на которой он строил свои работы. Характерным является и тот факт, что он обычно сопровождает свои теоретические работы экспериментом. Иногда он любил и порисоваться своим пренебрежительным отношением к формальному математическому аппарату»^{159}. Увлечение более абстрактными вопросами математики ему было чуждо, и, например, по поводу работ Эйлера по теории чисел он в письме к Н. Фуссу от 18 марта 1778 г. высказывался так: «…Не находите ли Вы, что простым числам уделяется слишком большая честь тем, что на них истрачено столько богатств ума; не есть ли это дань утонченному вкусу нашего века?»^{160}

С самого начала своей деятельности в Петербургской академии наук Д. Бернулли приступил к работе над различными вопросами механики. Результаты этой работы отражены уже в первых томах «Commentarii»: в первом томе появляется статья «Исследование принципов механики и геометрические доказательства относительно сложения и разложения сил; во втором томе — «Новая теория движения текущих по каким-либо каналам вод», «Геометрические доказательства о взаимных связях между центром сил, центром колебания и центром тяжести» и «Рассуждение о действии жидкостей на твердые тела и о движении твердых тел в жидкостях»; в третьем томе — продолжение последней статьи и т. д. Но главным делом его явилась подготовка обширной монографии по гидродинамике, к которой он приступил в конце 1728 или начале 1729 г. К 1733 г. он написал черновой вариант текста, который оставил в Академии, покидая Петербург[29]. В Базеле Бернулли, текст переработал и дополнил. Книга вышла в Страсбурге в 1738 г. На титульном листе — в переводе с латинского на русский — стоит: «Даниила Бернулли, сына Иоганна, проф. мед. в Базеле, ранее ордин. проф. высшей математики, ныне члена и почетн. проф. имп. Петербургской академии наук Гидродинамика, или Записки о силах и движениях жидкостей. Академический труд, составленный автором в период пребывания его в Петербурге». За это сочинение автор получил от издателя 100 талеров гонорара и 30 бесплатных экземпляров, а от человечества — бессмертную славу.

«Гидродинамика» представляет собой обширный труд в 13 частях, русский перевод ее содержит более 400 страниц.

В 1-й части автор излагает основные результаты своих предшественников, высказывает свои общие воззрения и кратко характеризует содержание труда. В заключительных строках этой части Д. Бернулли писал: «Я рассматриваю настоящий трактат скорее как физический, чем как математический»^{161}. Действительно, в книге свободно перемежаются описание многочисленных экспериментов, проведенных самим Бернулли или другими учеными, изложение физических гипотез и моделей, на которых он основывает свои выводы, математические выкладки и общие рассуждения, чисто теоретические рассмотрения и разбор действия различных гидравлических и иных устройств. В основу всего кладется восходящий к Лейбницу принцип сохранения живых сил: «Важнейшим началом является сохранение живых сил, или, как я выражаюсь равенство между действительным опусканием и потенциальным подъемом»^{162}.

Автор весьма подробно останавливается на смысле и значении принципа сохранения живых сил, ссылаясь также и на свою статью в первом томе «Commentarii», где он ранее изложил соображения по этому вопросу. Лагранж особенно отмечал заслугу Д. Бернулли в применении названного принципа: «Впоследствии Даниил Бернулли расширил этот принцип и вывел из него законы движения жидких тел, заключенных в сосуды; до него эта проблема всегда исследовалась довольно поверхностно и произвольно»^{163}.[30]

В самом начале своего труда Д. Бернулли пишет, что под гидродинамикой он понимает механику жидкостей в целом, состоящую из двух частей — гидростатики, т. е. учения о равновесии покоящихся жидкостей, и гидравлики, в которой рассматривается движение жидкостей. Обе части не могут быть самостоятельными, и автор «не усумнился их соединить, поскольку этого требует порядок вещей, под более общим названием гидродинамики»^{164}.[31] Мы рассмотрим лишь отдельные важнейшие результаты, относящиеся к гидродинамике в нашем смысле слова. Обращает на себя внимание введение понятия работы, правда, под другим наименованием, в 9-й части, посвященной изучению действия гидравлических машин. Сперва Бернулли вводит понятие движущей силы, а затем определяет «абсолютную мощь» как «произведение… этой движущей силы на ее скорость, а также на время, в течение которого она развивает свое давление»^{165}, или, что то же, как произведение движущей силы на пробегаемое ею расстояние. Это понятие используется для взаимного сравнения достоинств различных машин, причем фактически употребляется — без точного определения — понятие коэффициента полезного действия.

В 10-й части закладываются основания кинетической теории газов. В этой же части рассмотрены свойства движения атмосферного воздуха и отдельные вопросы внутренней баллистики. Дальнейшее глубокое развитие общие идеи Бернулли получили в кинетической теории тепла Ломоносова. К сожалению, эти воззрения как Бернулли, так и Ломоносова привлекли интерес ученых лишь с опозданием на полтора столетия — тогда, когда была разработана современная кинетическая теория газов.

Наконец, в 12-й части решается важная задача об определении давления р в установившемся потоке несжимаемой жидкости постоянной плотности р, движущемся со скоростью и. С помощью простых и наглядных физических соображений здесь выводится знаменитое уравнение Бернулли, которое теперь пишется в виде

где g — ускорение силы тяжести, h — высота относительно горизонтальной плоскости. Уравнение это выражает закон сохранения энергии, что сразу видно, если умножить его части на ρ (первый член дает кинетическую энергию, сумма второго и третьего — потенциальную энергию, соответствующую давлению и внешним силам). Отметим, что Бернулли впервые проводит различие между гидростатическим и гидродинамическим давлением. Как известно, уравнение Бернулли с соответствующим учетом сил трения получило широкое применение в гидротехнике и является одним из основных в динамике газов.

Следующий этап развития гидродинамики связан с именем Леонарда Эйлера.

Эйлер подходил к своим основополагающим исследованиям по гидродинамике постепенно. Уже в первые годы работы в Петербургской академии наук он занялся изучением вопросов истечения жидкости по примеру Д. Бернулли, с которым поддерживал самые дружеские отношения. После отъезда Бернулли в Швейцарию они регулярно обменивались мнениями по различным научным вопросам, в том числе и по механике. Д. Бернулли держал Эйлера в курсе работы над «Гидродинамикой». Сам Эйлер с середины 30-х годов занимался подготовкой большого труда по теории корабля. В этой связи в его переписке с Иоганном и Даниилом Бернулли, а также другими лицами не раз обсуждаются вопросы устойчивости плавающих тел.

Интерес к теоретическим проблемам кораблестроения, зародившийся в древности — его можно усмотреть уже у Архимеда, — особенно возрос в новое время. Когда Россия обзавелась большим собственным флотом и стала могущественной морской державой, эти проблемы возникли и здесь. Работу по теории корабля Эйлер предпринял по прямому поручению Петербургской академии. Он значительно продвинулся вперед еще до отъезда в Берлин, а уезжая, обещал завершить труд на новом месте. Книга была закончена в 1743 г. и вышла под названием «Морская наука, или трактат о постройке кораблей и управлении ими» в издании Петербургской академии наук в 1749 г.

«Морская наука» состоит из двух томов. В первом изложена общая теория равновесия и устойчивости плавающих тел, во втором теория применяется к анализу вопросов, связанных с конструкцией и нагрузкой кораблей. Это сочинение занимает видное место как в развитии теории устойчивости и теории малых колебаний, так и в кораблестроении. Впоследствии для нужд морских школ Эйлер выпустил сокращенное руководство, сперва изданное в 1773 г. на французском языке, а затем в 1778 г. на русском под названием «Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации»; тогда же были выпущены английское и итальянское издания.

В 40-е годы Эйлеру пришлось не раз сталкиваться с вопросами гидро- и аэромеханики. Такие вопросы вставали, в частности, в области баллистики.

Впервые Эйлер занялся баллистикой еще в 1727 или 1728 г. в связи с опытами Д. Бернулли, изучавшего движение сферического снаряда, выпущенного в вертикальном направлении. Затем, как уже упоминалось, Эйлер рассмотрел в своей «Механике» вопрос о движении тела в среде, сопротивление которой пропорционально той или иной степени скорости. В 1742 г. англичанин Б. Робине (1707—1751) выпустил книгу «Новые принципы артиллерии». Вопросами артиллерии интересовался прусский король Фридрих II; когда он обратился к Эйлеру с просьбой назвать лучшее сочинение на эту тему, тот с похвалой отозвался о книге английского ученого и выразил согласие перевести ее на немецкий язык с необходимыми пояснениями и дополнениями. Так возник большой совместный труд Робинса — Эйлера в 720 страниц, полное заглавие которого гласило: «Новые принципы артиллерии, содержащие определение силы пороха вместе с исследованием различия в сопротивлении воздуха при быстрых и медленных движениях». В этом немецком издании основное место заняли исследования Эйлера, далеко превосходящие результаты английского ученого по значению и объему: текст Эйлера впятеро больше, чем текст Робинса. Книга долгое время являлась лучшей по данному вопросу и в 1777 г. была издана на английском языке, а в 1783 г. — на французском.

В сочинении Робинса и дополнениях Эйлера разобраны основные задачи внешней и внутренней баллистики. Отсылая за подробностями к уже имеющейся литературе^{166}, мы ограничимся указаниями на разработку Эйлером собственной теории обтекания твердого тела идеальной жидкостью и на его анализ движения снаряда в канале ствола орудия, основанный на модели структуры воздуха, предложенной Эйлером еще в 1727 г.

Заметим, что работа Эйлера по упругости воздуха привлекла внимание Ломоносова. Исследуя свойства селитры, Ломоносов, естественно, встретился с вопросом об упругой силе пороха и в этой связи писал 5 июля 1748 г. Эйлеру: «Я читаю с большой пользой для себя «Артиллерию» Робинса, снабженную Вами превосходными замечаниями»^{167}. Далее Ломоносов говорил о разработке им собственной теории упругости воздуха.

С задачами механики жидкостей Эйлер вновь встретился в 1749 г. при консультировании работ по проведению канала между Гавелем и Одером, а затем после изобретения Сегнером (1704—1777) гидравлической машины, известной теперь каждому школьнику под именем «Сегнерова колеса». Анализу устройства и действия этой машины и попыткам ее практического применения посвящена обширная переписка между Эйлером и Сегнером за 1750— 1754 гг.^{168} и ряд их статей. Эйлер внес в первоначальный вариант машины Сегнера столь важные усовершенствования (присоединение так называемого направляющего аппарата и др.), что именно машина Эйлера, а не Сегнера является прообразом реактивных гидравлических турбин, строить которые начали три четверти века спустя. Вместе с тем в работе «Более полная теория машин, проводимых в движение реакцией воды», напечатанной в 1754 г. в 10-м томе «Мемуаров Берлинской академии наук», Эйлер впервые разработал общую теорию движения несжимаемой идеальной жидкости в узких трубах двоякой кривизны, вращающихся около неподвижной оси. При этом он фактически оперировал с понятием ускорения Кориолиса, которое французский механик ввел в 1831 г.

Методы расчета гидравлических турбин Эйлера, покоящихся на струнной теории, сохранили с соответствующими улучшениями свое значение в практическом машиностроении. Известный немецкий специалист по прикладной математике профессор К. Шредер пишет: «Можно сказать, что эти выдающиеся работы характеризуют Эйлера как ученого-инженера в современном смысле слова»^{169}.

В 50-е годы Эйлер подготовил несколько больших работ по гидромеханике. Первая из них «Начала движения жидкостей» была напечатана в VI томе «Novi Commen-tarii» за 1756—1757 гг. В ней излагались общие начала гидро- и аэростатики, выводилось уравнение неразрывности для жидкости с постоянной плотностью. Значительная часть материала этой статьи нашла свое отражение в других работах Эйлера, написанных позднее, но вышедших раньше. Это были следующие три работы Эйлера: «Общие начала состояния равновесия жидкостей», «Общие начала движения жидкостей» и «Продолжение исследований по теории движения жидкостей», напечатанные в 1753—1755 гг. во 2-м томе «Мемуаров Берлинской академии наук». Эти классические работы составили основополагающий трактат по гидродинамике.

Первая из этих трех работ содержит глубокий анализ понятия давления, его свойств и приложений, а также вывод дифференциального условия равновесия жидкостей и газов.

Вторая статья имела решающее значение для всего последующего развития гидро- и аэродинамики, ибо именно в ней был впервые опубликован вывод уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости и общих уравнений гидродинамики, называемых теперь уравнениями Эйлера.

В третьей статье приведены некоторые теоремы о движении жидкостей и газов в узких трубках произвольной формы.

Из других гидродинамических работ Эйлера упомянем еще ряд статей о распространении звука, о малых колебаниях воздуха в трубах постоянного и переменного сечения с применениями к теории музыки и т. д. Эти работы переплетались с аналогичными исследованиями Д. Бернулли. Математическим аппаратом этих исследований являются уравнения в частных производных второго и высшего порядков, большей частью линейные. Именно той ролью, которую играют уравнения в частных производных в гидромеханике, а также в математической физике, определялся глубокий интерес Эйлера к этой новой тогда отрасли анализа. Эйлер выработал целый ряд приемов интегрирования различных уравнений в частных производных и впервые ввел в рассмотрение некоторые их типы. Мы упомянем здесь лишь весьма важное в газовой динамике и дифференциальной геометрии уравнение

впервые изученное Эйлером, а затем С. Пуассоном (1781-1840), Б. Риманом (1826-1866), Ж.-Г. Дарбу (1842-1917). В настоящее время это уравнение встречается, в частности, в задачах о движениях газа с околозвуковыми или сверхзвуковыми скоростями.

МЕХАНИКА УПРУГИХ И ГИБКИХ ТЕЛ

Еще в древности были установлены некоторые эмпирические правила, соблюдение которых обеспечивало прочность и надежность сооружений. В XIII в. Иордан Неморарий предпринял первую попытку определить форму кривой, которую принимает под действием нагрузки ось закрепленного стержня, т. е. упругой линии. В XVI в. Леонардо да Винчи изучал вопрос о сопротивлении балок изгибу; он занимался, вероятно, и задачей о сопротивлении колонн. Галилей в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук» (1638) положил начало учению о сопротивлении материалов. В 1678 г. Гук нашел основной закон линейной зависимости между силой и деформацией при растяжении пружин, струн, тонких стержней и произвел ряд соответствующих опытов. Так были заложены основы теории упругости^{170}.

В 1691 г. Я. Бернулли начал серию исследований, посвященных проблеме упругой линии. Некоторые предпосылки и выводы его неточны, но в целом он значительно продвинулся вперед. В частности, он вывел дифференциальное уравнение задачи и доказал, что кривизна линии изгиба пропорциональна изгибающему моменту в точке, — положение, которое использовали затем другие ученые, и среди них Эйлер.

Эйлер рассмотрел задачу об упругих кривых в большом приложении к «Методу нахождения кривых линий» (1744); в русском переводе оно занимает 125 страниц. Работа эта была вызвана замечанием, сделанным Д. Бернулли в письме Эйлеру от 22 октября 1742 г. Бернулли предложил применить к задаче изопериметрический метод, т. е. свести ее к задаче о минимуме некоторого интеграла. Реализуя эту идею, Эйлер по-новому вывел дифференциальное уравнение Я. Бернулли и решил его при различных граничных условиях. В другом отделе того же приложения Эйлер рассмотрел продольный изгиб колонны под действием осевой сжимающей силы и получил выражение для предельной нагрузки, превышение которой приводит к изгибу; эта формула имеется теперь во всех справочниках. Затем Эйлер переходит к изучению колебаний стержней, начиная со стержня, в естественном состоянии прямого и с жестко заделанным в вертикальном положении верхним концом. Эта задача приводится к интегрированию обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка. В заключение разобраны задачи о колебании стержней при других предположениях о закреплении их концов.

Исследования Д. Бернулли по колебаниям стержней изложены главным образом в двух его статьях: «Физико-геометрические рассуждения о колебании и звучании стержней» и «Механико-геометрические исследования о многообразных звуках, различным образом издаваемых упругими стержнями, иллюстрированные и подкрепленные акустическими опытами». Обе статьи были написаны в самом начале 40-х годов, но увидели свет только в XIII томе «Commentarii» Петербургской академии наук, вышедшем в 1751 г. Д. Бернулли вывел линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка для гармонических колебаний горизонтального стержня и дал его общее решение, разобрал несколько задач с различными граничными условиями, соответствующими защемленному, опертому и свободному концам, и вывел уравнения частот колебаний. Теоретические выводы Бернулли сопоставлял с данными опытов над тонкими длинными стержнями. Во второй статье рассмотрена акустическая сторона вопроса.

Д. Бернулли принадлежат и другие важные работы по колеблющимся системам. Отметим из них две тесно связанные между собой статьи: «Теоремы о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи» и «Доказательства своих теорем о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи», помещенные соответственно в VI томе «Commentarii» за 1732—1733 гг. и в VII томе за 1734—1735 гг. В них рассмотрены малые колебания дискретных систем грузов, связанных с вертикально подвешенными невесомыми гибкими нитями, а затем как предельный случай — малые колебания однородной тяжелой гибкой цепи (каната).

Особое значение имели работы Эйлера и Д. Бернулли о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных этой задачи записал впервые Даламбер, выразивший общее решение задачи в виде суммы двух произвольных функций, которые можно полностью определить, зная начальную форму струны и начальное распределение скоростей ее точек (1747). Эйлер немедленно развил далее метод Даламбера (метод характеристик) и показал, как графически строить форму струны в любой момент времени по начальным условиям (1748). Д. Бернулли предложил представлять колебание струны в виде суммы бесконечного числа главных синусоидальных колебании (принцип суперпозиции), т. е. выражать решение в форме тригонометрического ряда (1753).

Не касаясь долгого «спора о струне», в котором участвовали все трое названных ученых, а затем и многие другие ученые XVIII в.[32], мы заметим только, что исследование этой задачи положило начало в высшей степени плодотворной разработке приемов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными, с одной стороны, и теории тригонометрических рядов — с другой. Задача о струне обыкновенно относится к области математической физики, дисциплины, во многом пересекающейся с теоретической механикой. Д. Бернулли и Эйлер рассмотрели и другие важные задачи математической физики. Так, в статье «О колебательном движении тимпанов», напечатанной в X томе «Novi Commentarii» за 1764 г., Эйлер исследовал малые колебания и провисание идеальной гибкой мембраны прямоугольной или круговой формы. Используя идеи этой работы Эйлера, племянник Д. Бернулли Якоб II Бернулли (1759—1789), состоявший членом Петербургской академии наук в 1786—1789 гг., исследовал задачу о малых колебаниях пластинки. Математическим результатом здесь, как и в гидродинамике, являлось введение новых типов дифференциальных уравнений, новых приемов их решения, различных специальных функций и их разложений в ряды и т. д.

Наконец, Эйлеру и Д. Бернулли принадлежит решение нескольких трудных задач о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался также Лагранж^{171}.

ТРУДЫ ДАЛАМБЕРА ПО МЕХАНИКЕ

Жан Лерон Даламбер (1717—1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконнорожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого (Jean le Rond), откуда и его имя, и воспитан бедным стекольщиком Аламбером — откуда его фамилия d'Alembert.

Выдвинувшись благодаря своим исключительным способностям, он уже в 1741 г. за работы по математике и механике был избран членом Парижской академии наук; с 1772 г. Даламбер занимал пост непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в том числе с 1764 г. почетным членом Петербургской академии наук.

Мы здесь не касаемся философско-просветительской деятельности Даламбера, сыгравшей существенную роль в социологической подготовке Великой французской революции; упомянем только, что по своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического материализма и что в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713— 1784) основал знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел». Даламберу принадлежит вступительная статья в «Энциклопедии», озаглавленная «Очерк происхождения и развития наук», где приведена классификация наук. В первых томах «Энциклопедии» он опубликовал важные статьи по математике и механике — «Предел», «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».

Мы не будем также останавливаться на математических работах Даламбера, лишь отметим, что его труды в этой области часто были связаны с его исследованиями по механике. Например, изучение теории функция комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой (таково, например, «уравнение струны»).

Остановимся на работах Даламбера по механике. К середине XVIII в. его работы вместе с исследованиями Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли совершенно преобразовали механику. По содержанию она стала наукой, охватывающей все виды движения материальных точек и их систем, а по форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все достижения математического анализа.

Даламберу принадлежат работы как по общим проблемам механики, так и по гидродинамике, теории колебаний и волн, теории движения твердого тела, небесной механике и др.

В 1743 г. был опубликован основной труд Даламбера по механике — его знаменитый «Трактат о динамике». Первая часть «Трактата» посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует «основные принципы механики», которыми он считает «принцип инерции», «принцип сложения движений» и «принцип равновесия». «Принцип инерции» сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного движения. «Принцип сложения движений» представляет собой закон сложения скоростей по правилу параллелограмма. «Принцип равновесия» сформулирован в виде следующей теоремы: «Если два тела, обладающие скоростями, обратно пропорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь место равновесие». Во второй части трактата, называемой «Общий принцип для нахождения движения многих тел, произвольным образом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа», Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи динамики к статике. Здесь для любой системы материальных точек формулируется правило, названное впоследствии принципом Даламбера, согласно которому приложенные к точкам системы силы можно разложить на «действующие», т. е. вызывающие ускорение системы, и «потерянные» необходимые для равновесия системы.

Даламбер считает, что силы, соответствующие «потерянным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая не влияет на фактическое поведение системы.

Иными словами, если к системе приложить только совокупность «потерянных» сил, то система останется в покое.

Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для решения которых, по мнению Даламбера, необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел, соударяющихся произвольным образом, движение системы тел, связанных стержнями и нитями, и др. В «Трактате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при помощи нитей или жестких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изложении своего принципа не пользовался ни понятием силы (считая, что оно не обладает достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем более понятием силы инерции. Изложение принципа Даламбера с применением термина «сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа возможных перемещений. В дальнейшем (с начала XIX в.) вектор m₁w₁ стали называть силой инерции материальной точки, а уравнение, выражающее принцип Даламбера, трактовать как утверждение о равновесии между приложенными к системе силами и силами инерции.

Значение принципа Даламбер видел в общности подхода к задачам механики. Высокую оценку труду Даламбера дал Лагранж, по мнению которого, хотя «…этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходимых для решения проблем динамики, но он показывает, каким образом они могут быть выведены из условий равновесия».

Существенные результаты получил Даламбер в динамике твердого тела и небесной механике. В 1749 г. был опубликован его мемуар «Исследования о предварении равнодействий и нутаций оси Земли», в котором рассматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Луне. Оперируя понятиями моментов инерции и вводя главные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмотрел малые колебания Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и привел полное динамическое объяснение. В 1751 г. в работе «О движении тела произвольной формы под действием любых сил» Даламбер дал более систематическое изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции. А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для притяжения эллипсоида, близкого к сфере. Даламбер в третьей части «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756) получил более общие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих форму эллипсоида.

Даламберу (наряду с Д. Бернулли и Эйлером) принадлежат основополагающие работы по гидромеханике, следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной жидкости. В 1744 г. выходит сочинение Даламбера «Трактат о равновесии движения жидкостей», в котором он применяет свой принцип к разнообразным вопросам движения жидкостей в трубах и сосудах. Даламбер исследовал также законы сопротивления при движении тел в жидкости. Процесс образования вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснил вязкостью жидкости и ее трением о поверхность обтекаемого тела. В этом же сочинении Даламбер (почти одновременно с Эйлером) выдвинул положение об отсутствии сопротивления телу, движущемуся равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости (так называемый парадокс Эйлера — Даламбера). Этот факт доказывается математически как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. В действительности же тело при своем движении в жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Это объясняется тем, что в реальной среде не выполняются предположения, на которых построено доказательство парадокса, т. е. всегда проявляются и вязкость, и вихри, в результате чего возникает поверхность разрыва скоростей. Все это вызывает сопротивление жидкости движению тела со стороны жидкости.

В 1748 г. Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей. Даламбер представил работу, озаглавленную «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (опубликована в 1752 г.), где, пользуясь своим принципом, выводит уравнения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих. В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия идеальной жидкости в частных производных, введенные Клеро. Однако его уравнения еще не обладали, по словам Лагранжа, «всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» и которые столь характерны для результатов Эйлера. Оригинальным решением Даламбера здесь является введение комплексной скорости как функции комплексной координаты точки для плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости. Труды Даламбера в области гидромеханики (вместе с трудами Эйлера, Д. Бернулли) в XIX в. послужили фундаментом для тех обобщений, в результате которых механика сплошной среды была выделена в самостоятельную дисциплину со своими специфическими понятиями и математическим аппаратом.

Даламбер занимался и экспериментальным исследованием сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. В 1775—1777 гг. он вместе с А. Кондорсе (1743-1794) и Ш. Боссю (1730-1814) провел серию опытов над сопротивлением плавающих тел в безграничной жидкости и узких каналах.

Даламбер принимал активное участие в споре о «живой силе», начатом Декартом и Лейбницем и связанном с разработкой понятия о «мере силы», и в споре о принципе наименьшего действия. Спор о «живой силе» был полностью разрешен в «Трактате о динамике». Вопросу о принципе наименьшего действия Даламбер посвятил статью в «Энциклопедии». Отвергая претензии Мопертюи, считавшего этот принцип неким универсальным законом — непосредственным выражением могущества бога, Даламбер подчеркнул его чисто механическое значение: глубокую связь с принципом живых сил и возможность его применения для решения отдельных задач механики.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА

Жозеф Луи Лагранж родился в Турине 25 января 1736 г. в семье обедневшего чиновника. Семнадцатилетним юношей Лагранж увлекся математическими науками, а в 1754 г. он уже профессор артиллерийской школы в Турине. Здесь он объединяет своих слушателей и образует научное общество, в дальнейшем превратившееся в знаменитую Туринскую академию.

Эйлер и Даламбер высоко оценили работы Лагранжа. В 1759 г. по их представлению Лагранж был избран членом Берлинской академии наук. С 1776 по 1787 г. он был директором физико-математического класса Берлинской академии наук. В этот период сборники Берлинской академии обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике.

В 1787 г. Лагранж переехал в Париж, где он в 1788 г. издал свою знаменитую книгу «Аналитическая механика». Элегантность и внутренняя гармоничность методов «Аналитической механики» вполне оправдывает мнение У.Р. Гамильтона, называвшего эту книгу научной поэмой (a kind of scientific poem).

В развитии механики появление «Аналитической механики» Лагранжа было выдающимся событием. В 1813— 1815 гг. этот труд вышел вторым, дополненным изданием и с тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод в двух томах появился в 1950 г.^{172}

Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. С его именем до первого издания «Аналитической механики» связаны исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наименьшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и др.

Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел Солнечной системы. В «Аналитическую механику» включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю науки даже без них, благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому: «Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего». Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики.

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ (подразумевается математический анализ, анализ бесконечно малых. — А. Г.), с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения»^{173}. Эта характеристика, если принять ее безоговорочно, означает, что аналитическая механика Лагранжа является ветвью анализа, что она механика, лишенная «механических рассуждений», так как в ней указаны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Изданием в 1736 г. «Механики» Эйлер заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики хотя pi решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того сочинение Эйлера 1736 г. — это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, экспериментальных положений. Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики?

Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику. Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тог момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными»^{174}.

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, разумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наиболее известно доказательство, приведенное во втором издании «Аналитической механики». Оно основано на «принципе блоков». Считая последний принцип вполне наглядным, Лагранж рассматривал его как естественное основание для принципа виртуальных скоростей.

В динамике Лагранж исходит из двух законов: закона инерции и закона сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж как бы выводит из этих двух следующим образом. В равномерно ускоренном движении существует постоянное отношение между скоростями и временами. Это отношение принимается за меру ускоряющей силы, непрерывно действующей на тело, — ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но, согласно природе дифференциального исчисления, мы можем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени, таким образом всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если вызванную в это мгновение скорость сравнить с продолжительностью этого мгновения…»^{175} Эту схему перехода от равномерно ускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построившего теорию центробежных сил. Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию Гюйгенса на все кривые линии и тем дополнил учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать. Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится лишь к нескольким очень простым дифференциальным формулам».

Аналитическая динамика Лагранжа основана на общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбера—Лагранжа или общим уравнением динамики. «Развитие» этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интегрировать, что является уже задачей анализа»^{176}.

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи: их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирование) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем «Трактате об электричестве и магнетизме», касаясь значения «Аналитической механики» Лагранжа:

«Так как благодаря созданию математической теории динамики развитие идей и методов чистой математики сделало возможным выявление многих истин, которые нельзя было бы открыть, не обучившись математике, то, если мы хотим создать динамическую теорию других наук, мы должны воспринять и эти динамические истины, и математические методы.

Формулируя идеи и термины любой науки, имеющей дело, как паука об электричестве, с силами и с их действиями, мы должны постоянно иметь в виду идеи, являющиеся достоянием основной пауки — динамики, чтобы мы могли с самого начала развития науки избежать противоречий с тем, что уже установлено, а также для того, чтобы с уточнением наших взглядов принятый нами язык нам помогал, а не мешал»^{177}.

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности в связи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова: при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные.

Эта формулировка, как видим, приводит к уже знакомой нам записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида

где m — масса одной из точек системы, v — ее скорость, ds — элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки т. К этому Лагранж добавляет, что ds = vdt (dt обозначает тот бесконечно малый промежуток времени, в течение которого точка т проходит путь ds), поэтому вместо m∫vds можно написать m∫v²dt или ∫mv²dt. Тут под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам надо взять сумму таких величин для всей рассматриваемой механической системы, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любое мгновение. Таким образом, говорит Лагранж, рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

По мнению Лагранжа, такая формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для движения, так и для равновесия, поскольку в статике Лагранж доказывал, что при прохождении положения равновесия живая сила системы бывает наибольшей или наименьшей.

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В «Аналитической механике» немало места уделено гидростатике, гидродинамике, теории упругости. В этих разделах Лагранж систематизировал все результаты, полученные им и его предшественниками. В теории упругости Лагранж не располагал общими уравнениями (они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и колебания около положения равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа нити, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутреннего трения), выведенными для него Эйлером.

Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших результатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПУАССОНА ПО МЕХАНИКЕ

Симеон Дени Пуассон (1781 —1840) — выдающийся французский механик, математик и физик, научная деятельность которого тесно связана с традициями Политехнической школы. Эта школа была ведущим высшим учебным заведением Франции, поступающие в нее отбирались по жесточайшему конкурсу, а к преподаванию были привлечены лучшие ученые Франции, среди них Монж, Лагранж, Лаплас, Лакруа, Фурье. С.Д. Пуассон в 1798 г. в возрасте 17 лет поступил в эту школу, пройдя первым по конкурсу. Еще будучи учеником школы, он представил свою первую научную работу «О числе полных интегралов уравнений с конечными разностями», которая по предложению академиков Лежандра и Лакруа была опубликована. По окончании в 1800 г. Политехнической школы Пуассон был оставлен при кафедре математического анализа, руководителем которой он стал в 1806 г. В 1809 г. Пуассон был назначен профессором рациональной механики в Сорбонне.

С момента окончания Политехнической школы и до конца жизни Пуассон вел преподавательскую работу в высших учебных заведениях Франции. В 1837 г. ему как члену Королевского совета было поручено руководство преподаванием математики во всех колледжах Франции. За выдающиеся научные заслуги Пуассон в 1812 г. был избран действительным членом Парижской академии наук, а в 1826 — почетным членом Петербургской академии наук. Многочисленные исследования Пуассона охватывают все области науки, которая в то время называлась чистой и прикладной математикой. Список его сочинений составляет свыше 350 работ (не считая отдельно изданных сочинений) — это значит, что с 1800 по 1840 г. он публиковал в среднем по девять работ в год. В отношении стиля и характера своих работ Пуассон следовал Эйлеру и Лагранжу, труды которых он знал в совершенстве.

В области математики большой интерес представляют работы Пуассона по определенным интегралам, по уравнениям в конечных разностях, по теории дифференциальных уравнений с частными производными (уравнение Пуассона, интеграл Пуассона), по теории вероятностей (распределение Пуассона, теорема Пуассона). Чрезвычайно велик был диапазон его интересов в области механики. Многочисленные работы Пуассона охватывают разнообразные проблемы теоретической и небесной механики, теории притяжения, гидродинамики, теории упругости, теории колебаний, баллистики и теории механизмов и машин.

Наиболее фундаментальные его труды посвящены вопросам аналитической механики и математической физики. В исследованиях Пуассона этого цикла сказалось влияние и аналитических методов Лагранжа (в особенности в небесной механике), молекулярных представлений Лапласа (гидродинамика, механика деформируемых сред) и научного наследия Эйлера.

В области небесной механики наибольший интерес представляют его труды, в которых рассматриваются вопросы устойчивости Солнечной системы и выводятся дифференциальные уравнения возмущенного движения. При выводе этих уравнений Пуассон применил метод, в котором ввел выражение, названное впоследствии скобками Пуассона, которое получило широкое применение во многих вопросах теории уравнений с частными производными и аналитической механики. Развив методы вариации произвольных постоянных Лагранжа, Пуассон получил в явном виде выражение вариации элементов орбиты небесного тела через производные пертурбационной функции по координатам для одного из шести элементов его орбиты.

В теории притяжения особый интерес представляют его статья «Замечания об уравнении теории притяжений» (1813) и два мемуара — «О притяжении сфероидов» (1829) и «О притяжении однородных эллипсоидов» (1835), в которых он выводит свое знаменитое уравнение с частными производными Δu = f, (где Δ — оператор Лапласа) — одну из основ теории потенциала.

Пуассон был одним из основоположников математической теории упругости. В 1819 г. он нашел решение уравнения теории упругости для одномерного случая, а в 1829—1831 гг. — для двумерного и трехмерного случаев. Его имя носит одна из основных констант теории упругости изотропных тел — коэффициент Пуассона, т. е. абсолютное значение отношения величины относительной поперечной деформации элемента тела к его относительной продольной деформации. Его вывод общего уравнения теории упругости сыграл существенную роль в теории колебаний и волн вообще и в исследовании звуковых волн в частности. В «Мемуаре об общих уравнениях равновесия и движения твердых тел и жидкостей» Пуассон впервые включил в систему дифференциальных уравнений движения жидкости уравнение теплопроводности. Его имя носит кривая, характеризующая обратимый адиабатический процесс в идеальном газе (адиабата Пуассона), уравнение которой Пуассон вывел в 1823 г.

Достижения Пуассона в области аналитической механики наиболее полно изложены в его двухтомном «Курсе механики», первое издание которого вышло в 1811 г. Этот труд, основанный на традициях Лагранжа и Лапласа, отличается в то же время большей доступностью и примерами из многих областей механики и смежных с ней разделов физики. Долгое время он был одним из лучших руководств по механике.

«Курс механики» состоит из четырех частей: статики, динамики, гидростатики и гидродинамики. В разделе статики Пуассон рассматривает условие равновесия «простых машин», с помощью которого переходит к общему закону равновесия тел. Этот закон он выводит, пользуясь принципом виртуальных перемещений, рассматривая как сами перемещения, так и проекции малых путей, описываемых точками приложения сил, на их направления. При изложении динамики Пуассон исходит из основных ее принципов: сохранения движения центра тяжести, сохранения площадей и живых сил. Исходя из последнего он показывает, почему при устройстве машин следует избегать явлений трения и удара тел. Пуассону аналитическая механика обязана и переходом от понятия обобщенных скоростей

к их линейной комбинации — обобщенным импульсам

которые он впервые ввел в «Мемуаре о вариации произвольных постоянных в вопросах механики» (1809). В «Курсе механики» он использует это новое соотношение в виде

Многие вопросы статики и динамики разработаны в нем в виде, удобном для приложений.

«Курс механики» неоднократно переиздавался, и в него были введены разделы, посвященные прикладной механике. В частности, в издание 1833 г. включен раздел, посвященный механике машин «О применении принципа живых сил к вычислению движения машин», в котором Пауссон рассматривает построение уравнения движения машины в общем виде. «Машины, по его определению, суть приспособления или системы твердых тел, предназначенные для переноса сил от одной части этих приспособлений к любой из иных частей». Заметим, что до Пуассона вопросами механики машин обычно занимались представители геометрического направления в механике, а представители аналитического направления обходили их стороной. Пуассон впервые применил аналитические методы к разработке подобных прикладных проблем, и в этом смысле его «Курс механики» явился одним из камней, заложенных в фундамент прикладной механики. Труды Пуассона, и в частности «Курс механики», на котором было воспитано не одно поколение французских ученых, сыграли значительную роль в развитии многих узловых проблем механики.

Закончим наш краткий обзор следующим диалогом Лагранжа с Пуассоном. «Я стар, — сказал однажды Лагранж Пуассону, — во время моих бессонных ночей я развлекаюсь числовыми сравнениями; выслушайте меня, это любопытно. Гюйгенс тринадцатью годами был старше Ньютона; я тринадцатью годами старше Лапласа; Лаплас тридцатью двумя годами старше вас»^{178}.

Гениальный Лагранж весьма тонко и деликатно включил Пуассона в число великих творцов механики.