Песни о Паскале

Глава 35 Множества

С малых лет я завидовал обладателям волшебных палочек, ковров-самолетов и прочих волшебных штучек! Смел ли я мечтать о таких игрушках? И вот познакомился с Паскалем… Мы приступаем к мощнейшим средствам этого языка – сложным типам данных. Овладейте ими, и мудреные задачи разрешатся сказочно просто!

Редкий смельчак сунется в директорский кабинет. Но чтобы вникнуть в предстоящую задачу, нам надо тайно проникнуть к директору школы. Вот вам шапка-невидимка (ещё одна волшебная штуковина), вдохните глубже и ступайте на цыпочках за мной.

Мы находим усталого Семена Семеновича перед кипой исчерканных листков с фамилиями учеников. Чем озабочен директор? Сейчас объясню. В начале учебного года Семен Семенович распорядился, чтобы все ученики вступили в какой-либо кружок или спортивную секцию – по желанию. А теперь, спустя пару месяцев, он проверяет исполнение приказа. Директор намерен наказать тех, кто не исполнил распоряжения, и поощрить состоящих в нескольких кружках или секциях. Но, промучившись неделю со списками кружков, он готов уж отказаться от своей затеи, – задача не поместилась в директорской голове. Судите сами: ведь в школе двести пятьдесят учеников! Спасайте Семена Семеновича!

Директорскую задачу поручим компьютеру, а тому сподручней орудовать с числами. Заменим фамилии учеников числами, назначив каждому ученику уникальный, несовпадающий с другими, номер. Переход от фамилий к номерам и обратно – простая задачка, её мы оставим Семену Семеновичу. Таким образом, наш входной файл со списками учеников будет содержать по одной строке для каждого кружка, где перечисляются через пробел номера учеников, состоящих в этом кружке. Вот пример входного файла для трех кружков.

2 11 4 13

9 17 12 11 3 5 18

14 2 13 15 20

Здесь в первый кружок записались 4 школьника, во второй – 7, а в третий – 5 учеников. Как видите, их номера перечислены в произвольном порядке, что затрудняет ручную обработку таких списков. От компьютера требуется выявить номера учеников (от 1 до 250), которых нет в таком файле. Хочется найти простое решение, а оно возможно лишь с применением нового для нас типа данных – множества.

Слово «множество» намекает на большое количество чего-либо. Чего именно? А все равно! Множества придумали математики, а им безразлично, что считать. Так подать сюда математика, и пусть ответит за всех! Скоро явился математик, взял два кружочка – черный и белый – и, протерев свои толстые очки, стал объяснять. Вот суть его речи.

Вы полагаете, что это кружочки? Нет, друзья, это два множества точек, – одно принадлежит черному кругу, другое – белому. Обозначим первое из них латинской буквой B (от Black – «черный»), а второе буквой W (от White – «белый»). Итак, черные и белые точки этих кружков назовём элементами множеств. Сколько там этих точек? Доказано, что бесконечно много, но к свойствам множеств это не имеет отношения. Что же это за свойства?

Добавление к множеству существующих элементов

Покройте черный круг таким же или меньшим черным кругом, или почеркайте его углем, – заметите разницу? Если на белый круг наложить такой же, или почеркать его мелом, – тоже не увидите изменений. Значит, множество не изменится при добавлении к нему элементов, уже входящих в это множество. На языке математики это свойство выразится так:

B + B = B

или так:

W + W + W = W

Не правда ли, странная арифметика?

Объединение множеств

Продолжим наши мысленные опыты и перекрасим оба круга в серый цвет. Будем считать их теперь одной фигурой, разорванной на части.

Так мы получили новое множество, представляющее сумму или объединение двух предыдущих. Обозначим это новое множество буквой G (от Gray – «серый») и выразим то, что сделали, формулой.

G = B + W

Очевидно, что число точек во вновь образованном множестве равно их сумме в двух исходных. Пока в этом нет ничего интересного, – ведь исходные множества B и W, как говорят математики, не пересекаются. Сблизим круги так, чтобы добиться их частичного перекрытия (рис. 82).

Теперь количество точек в объединенном множестве будет меньше, чем в двух исходных по отдельности.

G < B + W

В общем случае при объединении множеств (как пересекающихся, так и не пересекающихся) соблюдается правило.

G ≤ B + W

Пересечение множеств

Иногда математиков (и не только их) интересует область пересечения множеств, отметим её серым цветом (рис. 83).

Операцию пересечения множеств обозначают знаком умножения.

G = B • W

Количество точек в пересечении, как понимаете, не может быть больше, чем в любом из исходных множеств B и W. Для этого случая справедливо утверждение: пересечение множеств не больше любого из них.

B • W ≤ B и B • W ≤ W

Вычитание множеств

О солнечных и лунных затмениях слышали все, а кто-то и наблюдал их. Для математика это зримые примеры вычитания множеств; взгляните на рис. 84 – чем не затмения? Серую область можно трактовать как результат вычитания одного круга из другого. На левом рисунке белый круг «отгрыз» часть черного, превратив его в серую область, а на правом – наоборот. Подобающие этим случаям формулы будут таковы.

G = B – W или G = W – B

А если вычитаемый круг окажется больше того, из которого вычитают, и полностью поглотит его? В алгебре разность получится отрицательной, а здесь? Ничего подобного! При вычитании большего множества из меньшего или равного ему получается пустое множество, оно обозначается символом Ø. Из пустого множества тоже можно вычитать, и результатом опять будет пустое множество.

(B – B) – B = Ø

(Ø – W) – B = Ø

Вот такими интересными свойствами обладают множества!

Подмножества и надмножества

На рис. 85 белый круг полностью поглощен черным. Тогда говорят, что множество точек белого круга составляет подмножество точек черного. Или так: множество точек черного круга является надмножеством точек белого. Математик выразит это формулой:

B > W

А если круги совпадают и полностью перекрывают друг друга? Тогда говорят, что множества равны, и любое из них является и подмножеством, и надмножеством другого. В общем случае:

если B ≥ W, то B является надмножеством W;

если B ≤ W, то B является подмножеством W.

Мы рассмотрели несметные множества бесконечно маленьких точек. Но компьютеры ещё не умеют работать с бесконечностями. Так умерим свой аппетит и перейдем к множествам с конечным числом элементов. Поступим так: вместо раскраски кругов расставим на них ряд жирных точек и пронумеруем их числами от 1 до 9 (рис. 86). В ходе последующих опытов нас будут интересовать лишь эти избранные точки (то есть, числа).

Так мы получили два конечных множества чисел. Одно из них, обозначенное буквой A, содержит числа 8, 7, 9, 3, 5, 2. Другое обозначено буквой B и включает числа 5, 4, 6, 1, 2. Эти множества математики записали бы так:

A = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 }

B = { 5, 4, 6, 1, 2 }

Для записи множеств они используют фигурные скобки. Обратите внимание: числа в скобках следуют в произвольном порядке. Это значит, что порядок перечисления элементов множества не важен. Учтите также, что числа 2 и 5 входят в оба множества.

Подобно точкам на круге, каждый элемент числового множества уникален, иными словами, может входить в множество лишь единожды. Вспомните нашу попытку покрасить углем черный круг, – добавление к множеству существующих в нём элементов не изменяет его. Этим же свойством обладают и числовые множества. Например, для нашего случая справедливо следующее.

A + { 8, 7 } = A

Множество A после объединения с множеством {8,7} не изменилось, поскольку уже содержало эти числа.

С числовыми множествами поступают так же, как и с бесконечными: объединяют, пересекают, вычитают и сравнивают. Вот примеры этих операций для нашего случая.

Объединение множеств содержит все числа исходных множеств, при этом повторения (дубликаты) отбрасывают:

G = A + B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } + { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 8, 7, 9, 3, 5, 2, 4, 6, 1 }

Хотя числа 2 и 5 входили в оба исходных множества, в объединении они встречаются по разу.

Пересечение множеств содержит только числа, входящие в оба множества:

A * B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } * { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 5, 2 }

Разность множеств A–B содержит числа, состоящие в множестве A, но отсутствующие в множестве B:

A – B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } – { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 8, 7, 9, 3 }

Разность множеств B–A содержит числа, состоящие в множестве B, но отсутствующие в множестве A:

B – A = { 5, 4, 6, 1, 2 } – { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } = { 4, 6, 1 }

Эти «вычисления» легко проверить по рис. 86.

Мощность множества – это наибольшее количество элементов, которое может содержаться в нём. В нашем числовом примере мощность множества равна девяти.

Множество, содержащее все возможные свои элементы, называют полным. В нашем случае полным является объединение множеств A+B.

Множество, содержащее не все возможные элементы, является неполным. Так, множества A и B по отдельности – неполные.

Все это рассказал нам математик. А что же Семен Семенович, или мы забыли о директоре? Нет, конечно, но к директорской задаче мы вернемся после ознакомления с «паскалевскими» множествами.

• Множество – это совокупность различимых объектов (точек, чисел, предметов), которую мы воспринимаем как нечто целое. Отдельные объекты множества называют его элементами.

• К множествам применим ряд операций: объединение, пересечение, вычитание, сравнение.

• Объединение двух множеств содержит по одному элементу из каждого исходного множества.

• Пересечение двух множеств содержит только общие их элементы. Если таких элементов нет, пересечение будет пустым.

• Разность множеств содержит элементы уменьшаемого множества за исключением элементов вычитаемого множества.

• Первое множество является подмножеством второго, если все элементы первого принадлежат второму. И тогда второе множество будет надмножеством первого. Множества совпадают, если содержат одни и те же элементы.

А) Полицейская база данных некоторого государства содержит номера всех автомобилей, сгруппированные в ряд множеств. Три множества составлены по типам автомобилей: легковые, грузовые, автобусы. Шесть множеств образованы по цвету автомобилей: множества белых, черных, желтых, красных, синих и зеленых.

• Пересекается ли множество легковых автомобилей с множеством грузовых? А множество желтых автомобилей с множеством черных?

• Может ли быть непустым пересечение множества желтых автомобилей с множеством автобусов?

• Свидетель дорожно-транспортного происшествия сообщил, что с места преступления скрылся грузовой автомобиль синего цвета. Как вычислить группу подозреваемых автомобилей?

• На улице висит знак: грузовым проезд запрещен. Как определить множество автомобилей, въезд которым разрешен?

Б) Два государства, назовем их A и B, спорят о некой территории, – каждое считает ее своей. Нарисуйте на листочке предполагаемую карту, заштрихуйте спорную область, а затем объясните:

• Как вычислить спорную область государств?

• Как вычислить бесспорную область, включая оба государства?

• Заштрихуйте область, отвечающую формуле G = (A-B) + (B-A).

• Заштрихуйте область, отвечающую формуле G = A+B – A•B. Совпадает ли она с той, что вычислена по предыдущей формуле?

В) Дайте ответы на следующие вопросы.

• Является ли множество ваших одноклассников подмножеством учеников вашей школы?

• Пересекается ли множество ваших друзей с множеством ваших одноклассников?

• Является ли множество ваших друзей подмножеством ваших одноклассников?