Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Глава 2 Особые числа современности

Рассказав о любопытных числах древних времен, обратимся к числам современности. Эта глава начинается с числа, которое, подобно числу π, используется повсеместно — не только в математике, но и в повседневной жизни, хотя порой и неявно. Это число Эйлера, или число е.

Число е

Самым знаменитым числом после π является число е, которое так же, как и π, иррациональное и трансцендентное. Оно определяется как предел (1 + 1/n)ⁿ при n, стремящемся к бесконечности, и равняется 2,718281828… Число е впервые изучил Эйлер, однако тот факт, что оно названо по первой букве его фамилии, не более чем простое совпадение. Сам Эйлер в 1737 году доказал, что это число иррационально (позднее он привел аналогичное доказательство для числа π). Шарль Эрмит (1822–1901) в 1873 году доказал, что е также является трансцендентным.

Французский математик Шарль Эрмит (1822–1901) открыл некоторые свойства числа е.

Честь открытия этой вездесущей константы принадлежит швейцарскому математику Якобу Бернулли, который использовал ее в задаче о сложных процентах. Однако впервые это число определил и применил шотландский математик Джон Непер, введший понятие логарифма. Таким образом, число е лежит в основе натуральных логарифмов (иногда их также называют логарифмами Непера, в честь создателя).

Число е считается важнейшим в математическом анализе, в частности потому, что функция е^х совпадает со своей производной и поэтому естественно появляется в решениях простейших дифференциальных уравнений.

Ньютон, в свою очередь, в 1665 году обнаружил, что е^х = 1 + х + х²/2! + х³/3! + … что равносильно е = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … Еще одним свойством числа е является то, что оно, подобно числу π, является трансцендентным, то есть его нельзя получить как результат решения алгебраического уравнения. Следовательно, оно иррациональное, и его точное значение нельзя выразить конечной или периодической десятичной дробью. Тем не менее е можно определить множеством элегантных способов, например, таким:

е = 1 + 1/1 + 1/(1 2) + 1/(1 2∙3) + 1/(1∙2∙3∙4) + …

Упростив выражения в знаменателях, то есть заменив их факториалами, получим тот же ряд, который, как мы говорили выше, получил Ньютон (при х = 1):

е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …

Это число можно выразить еще гармоничнее с помощью непрерывных дробей:

Число е привлекло внимание исследователей. В 1952 году на электронной вычислительной машине Иллинойского университета под руководством Дэвида Уилера было вычислено 60000 знаков числа е. В 1961 году Дэниел Шенке и Джон Ренч в центре обработки данных IBM в Нью-Йорке довели этот показатель до 100265 знаков. В настоящее время три рекордных результата выглядят так: третье место занимают Шигеру Кондо и Стив Пальяруло, которые в мае 2009 года вычислили 200000000000 знаков этого трансцендентного числа, второе место — Александр Ии, который в феврале 2010 года вычислил 500000000000 знаков, первое место — вновь Шигеру Кондо совместно с Александром Йи, которые в июне 2010 года вычислили 1000000000000 знаков е.

Одна из многочисленных интернет-страниц, посвященных десятичной записи чисел, на которой представлены всевозможные математические рекорды.

Математики не раз задавались вопросом, существует ли формула, связывающая два любопытных числа — е и π. Такая формула действительно существует. Более того, их несколько, наиболее известна из них формула Эйлера, которая считается красивейшей формулой всех времен и записывается так:

е^iπ + 1 = 0, где i = √-1

Почему математикам эта формула кажется столь красивой? Она содержит важнейшие константы и основные действия, составляющие основу всей математики. Она содержит число 1 — первое в последовательности натуральных чисел. Она содержит операцию сложения, с помощью которой можно определить не только все остальные натуральные числа, но и три остальные арифметические операции: вычитание, умножение и деление. Эта формула содержит 0 — категорию, которая в течение нескольких тысяч лет оставалась недоступной для понимания человечества. Она также содержит два важнейших трансцендентных числа: е и π. Она содержит мнимую единицу √-1, с помощью которой определяются комплексные числа, и, наконец, поскольку это уравнение содержит число е, оно связано со следующим бесконечным рядом — одним из важнейших рядов в математике.

Далее мы приведем пример применения числа е на практике. Как и все богачи, ростовщик Ван Жадин неустанно задавался вопросом: как приумножить свое состояние? До этого все займы выдавались под простые проценты, то есть рассчитывались по формуле:

I = P∙R,

где I — сумма процентов, Р — сумма основного долга, R — процентная ставка.

Ван Жадин предложил взимать проценты не только с основного долга, но и с невыплаченных процентов. Так появились сложные проценты, которые рассчитываются по следующей формуле:

A = P(1 + R/n)ⁿ

где А — общая сумма к уплате по основному долгу Р с процентной ставкой R, а n — число периодов, за которые начисляются проценты.

Ван Жадин выдал займ в тысячу денежных единиц под 100 % годовых. По прошествии одного года бедный должник должен был вернуть ему 2000 денежных единиц: 1000 в уплату основного долга и еще 1000 — в виде процентов по столь «щедрому» займу. Чтобы определить общую сумму к уплате, нужно использовать первую формулу, заменив Р на 1000 (денежных единиц), R — на 1,0 (100 %). В результате получим сумму процентов к уплате — 1000 денежных единиц.

Ван Жадин в течение многих лет взимал 1000 денежных единиц с каждой 1000, выданной в виде займа, и вот он решил, что настало время требовать большую плату за свой «щедрый» вклад в развитие торговли. Предположим, что по закону максимальная процентная ставка ограничена 100 %. Как ростовщик может обойти это ограничение? Ему в голову пришла блестящая идея. Почему нельзя выдавать деньги под 50 % за полгода? В этом случае во втором полугодии сумма займа будет составлять половину основного долга плюс проценты, начисленные за первые 6 месяцев, при этом все будет выполняться по закону. Здесь щедрый ростовщик обнаружил, что если рассчитывать проценты по-новому, то его доходы возрастут:

A = P(1 + R/n)ⁿ, где Р = 1000; R = 1,00 (100 %), n = 2. В нашем случае имеем:

А = 1000 (1 + 1,00/2)² = 1000∙(1 + 0,5)² = 1000∙(1,5)² = 2250.

С займа в 1000 денежных единиц ростовщик теперь в конце года будет получать 2250 единиц. Разве не удивительно? При этом он ни в чем не нарушает закон.

Однако жадность Ван Жадина не знала пределов. Стремясь еще больше увеличить свои доходы, он задумался: что произойдет, если начислять проценты еще чаще? Он решил взимать проценты каждые три месяца — по 25 % четыре раза в год, соблюдая правило, по которому процентная ставка не могла превышать 100 % годовых. Сумма к уплате по займу в этом случае оказалась такой:

А = 1000∙(1 + 0,25)⁴ = 1000∙1,25⁴ = 2440 единиц.

Теперь ростовщик получит почти на 500 денежных единиц больше по сравнению с использованием простых процентов. Похоже, он напал на золотую жилу. Он решил взимать проценты 12 раз в год, то есть ежемесячно:

А = 1000∙(1 + 1,00/12)¹² = 1000∙(1,08333…)¹² = 2610 единиц.

Можно заметить, что чем жаднее становился Ван Жадин, тем чаще он взимал проценты и тем больше получал в итоге. Возникает неизбежный вопрос: существует ли некая предельная сумма или же ростовщик может бесконечно наращивать свой доход, взимая проценты все чаще и чаще?

Посмотрим, что получится, если ростовщик будет взимать проценты ежедневно, то есть 365 раз в год:

А = 1000 (1 + 1,00/365)³⁶⁵ = 2715 единиц.

Его доход возрос не слишком сильно по сравнению с 2610 единицами, которые Ван Жадин получит, если будет взимать проценты ежемесячно. Если взимать проценты каждый час, то общая сумма к уплате составит 2718 единиц. Можно взимать проценты ежеминутно и даже ежесекундно, но вскоре станет ясно, что существует предел, к которому будет стремиться итоговая сумма вне зависимости от того, насколько часто будут взиматься проценты. Этот предел можно выразить так:

Таким образом, максимально возможная сумма, которую мы можем получить с одной денежной единицы, если будем взимать проценты бесконечное число раз, будет равна е = 2,71828182845.

Говорят, что данное число n является отрицательным, если оно не является ни нулем, ни положительным числом, то есть его значение меньше 0. В современной нотации отрицательные числа обозначаются знаком —, положительные — знаком +, который обычно опускается. Так, число —3 — отрицательное, 3, или +3, — положительное. Ноль принято считать не положительным и не отрицательным.

Но что обозначают отрицательные числа? За пределами теоретической математики отрицательные числа обозначают противоположную величину, отсутствие, долг. Отрицательные числа используются для обозначения величин, лежащих на измерительной шкале ниже 0, например для отрицательных значений температуры или для указания долга в финансовых транзакциях. По сути, первые коммерсанты оперировали понятиями дебета и кредита, не осознавая, что вычитают отрицательные числа из положительных — их методы были практическими и конкретными. Нотация, которая сегодня используется для обозначения отрицательных и положительных чисел (+ и —), также появилась в торговле: с помощью этих знаков еще в XV веке немецкие торговцы обозначали веса, большие и меньшие среднего. Однако в математике процесс принятия отрицательных чисел проходил не так просто.

Вся история отрицательных чисел в западной цивилизации связана с непониманием и неприятием. Математики Возрождения, столкнувшись с отрицательными числами, отнеслись к ним так же недоверчиво, как и Диофант или индийский математик Бхаскара многими веками ранее. Несмотря на то что в XVI–XVII веках отрицательные числа были уже известны, большинство математиков того времени не считали их числами, а если (с неохотой) соглашались с этим, то не принимали как решения уравнений. Николя Шюке в XV веке и Михаэль Штифель в XVI веке называли отрицательные числа абсурдными числами, и лишь одному математику было известно правило знаков — Джероламо Кардано.

Французский математик Франсуа Виет, современник Кардано, полностью отвергал отрицательные числа, Декарт признавал их лишь частично. Виет называл отрицательные решения уравнений ложными, считая, что эти числа обозначают величины, меньшие, чем ничего. Тем не менее Декарт доказал, что для данного уравнения можно получить другое, решения которого будут больше решений данного уравнения на заданную величину. Таким образом, уравнение с отрицательными решениями могло быть преобразовано в новое уравнение с положительными решениями. Так как стало возможным сменить «ложные» решения на другие, «истинные», Декарт был готов принять отрицательные числа. Паскаль тем не менее считал результат вычитания 4 из 0 абсолютной бессмыслицей.

Портреты двух великих мыслителей XVII века: Рене Декарта (слева) и Блеза Паскаля.

Эти философы не сходились во мнениях по широкому кругу вопросов, в том числе придерживались прямо противоположных точек зрения на отрицательные числа.

Именно друг Паскаля, богослов и математик Антуан Арно, выдвинул определяющий аргумент против отрицательных чисел. Арно поставил под сомнение равенство —1:1 и 1:—1. Он указывал, что —1 меньше, чем +1, следовательно, как может отношение меньшего числа к большему равняться отношению большего числа к меньшему? Эта проблема широко обсуждалась математиками той эпохи. В 1712 году Лейбниц признал это возражение верным, но указал, что произвести вычисления с помощью этих пропорций возможно, так как по форме они верны.

Одним из первых математиков, кто принял отрицательные числа, был англичанин Томас Хэрриот (1560–1621). Он не признавал существования отрицательных корней уравнений, однако рассмотрел уравнения с отрицательными коэффициентами при одной из переменных. Математик фламандского происхождения Симон Стевин использовал уравнения с положительными и отрицательными коэффициентами, признавая, в отличие от своего английского коллеги, существование отрицательных корней.

В своей книге Invention nouvelle en l’algebre (1629) французский математик Альбер Жирар рассматривал отрицательные числа наравне с положительными и приводил два решения квадратного уравнения, причем в одном из случаев оба решения были отрицательными. Жирар отчасти понимал, что отрицательные решения по своему смыслу противоположны положительным, тем самым предвосхитив понятие числовой прямой («Отрицательное в геометрии означает движение назад, — писал Жирар, — в то время как положительное есть движение вперед»).

В целом большинство математиков XVI и XVII веков не принимали отрицательные числа как таковые и лишь иногда признавали их истинными решениями уравнений. Взгляды некоторых математиков той эпохи на отрицательные числа были весьма интересными. Английский математик Джон Валлис в своей книге «Арифметика бесконечного» (1656) утверждал, что поскольку соотношение ОС:0 при положительных ОС является бесконечным, то при замене знаменателя на отрицательное число р отношение ОС:р должно быть больше бесконечности. Эти рассуждения весьма любопытны. Именно Джон Валлис дополнил экспоненциальную нотацию отрицательными степенями на основе некоторых примеров. Так, он доказал, что если последовательность обратных кубов (1/1, 1/8, 1/27…), степени которых равны —3, почленно умножить на последовательность квадратов (1, 4, 9…), степени которых равны 2, то результатом будет последовательность (1/1, 4/8, 9/27…). Результат равносилен последовательности 1/1, 1/2, 1/3… — последовательности чисел, обратных натуральным, следовательно, показатель степени членов этой последовательности равен —1 = —3 + 2.

Сегодня существование отрицательных чисел признается повсеместно, и они используются в расчетах наравне с положительными. Распространение отрицательных чисел позволило открыть мнимые числа, о которых мы поговорим дальше.

Кажется, что рассказ о мнимых числах нужно начинать со слов «жили-были», как сказку. Эйлер описывал мнимые числа так: «…ни ничто, ни больше, чем ничто, ни меньше, чем ничто…» Этот знаменитый математик считал, что эти числа противоречат природе, но поскольку они существуют в нашем разуме, ничто не мешает использовать их в вычислениях. Лейбниц, столкнувшись с этими числами, с удивлением определил их как «амфибию бытия с небытием». Как видите, эти «мимолетные» и «призрачные» числа не слишком нравились математикам.

Квадратный корень из —1 впервые обозначил буквой i Леонард Эйлер в 1777 году, дав ему при этом приведенную выше характеристику. Любое мнимое число можно записать в виде ib, где Ь — вещественное число, i — мнимая единица, обладающая следующим свойством: i² = —1. Числа вида (a√-1) = ai называются чисто мнимыми, числа вида (а + b√-1) = а + bi — комплексными. Эйлер использовал √-1 — в бесконечных рядах и с помощью этого числа открыл свою удивительную формулу е^iπ = —1.

Любопытно, что позже математики увидели: мнимые числа можно применить в расчетах переменных токов. С их помощью сегодня рассчитываются, калибруются и контролируются такие детали, как статоры в электрических трансформаторах.

Напоследок отметим еще одно любопытное свойство этих чисел: результаты их возведения в различные степени повторяются (повторяющаяся часть обведена рамкой):

Леонард Эйлер (1707–1783) совершил множество математических открытий, среди которых — первые попытки использовать комплексные числа.

Бесконечность, которая обозначается символом, напоминающим перевернутую восьмерку (oo), доставила математикам немало хлопот. В алгебре она появлялась всякий раз при делении различных величин на 0. Но как работать с бесконечностью? В течение многих веков математики предпочитали игнорировать ее, поскольку бесконечность считалась не числом, а представлением всех чисел.

Все изменилось благодаря гениальному Георгу Кантору. Этот немецкий математик, родившийся в Санкт-Петербурге в 1845 году, предположил, что бесконечность можно использовать наравне с другими числами и совершать с ней действия точно так же, как и с другими числовыми величинами. Кроме того, он доказал, что существуют различные виды бесконечности, и одни из них больше других. Одна бесконечность больше другой? Да разве это возможно?! Пренебрежение математиков по отношению к бесконечности и ее абстрактной и двусмысленной природе Кантор объяснял тем, что понятие «бесконечность» применялось в одинаковой степени к любым множествам, которые не являлись конечными, в то время как некоторые из них были в определенной степени измеримы и имели сопоставимые размеры.

Кантор нашел способ измерить бесконечные множества, сравнив их размеры и определив, равны они или же одно из них больше другого. Этот способ лег в основу достаточно строгой теории — теории трансфинитных чисел. Взяв за основу множество натуральных чисел, Кантор сопоставил ему множество четных чисел и показал, что натуральных чисел столько же, сколько четных.

Для каждого целого числа существует четное число, в два раза большее его. Так Кантор пришел к любопытному выводу: при рассмотрении бесконечного множества вещей целое не больше, чем его часть. Например, существует столько же квадратных чисел, сколько и натуральных, столько же кубов, чисел, делящихся на 10 или на 1000, сколько и натуральных. В результате Кантор понял, что не существует бесконечного множества, меньшего, чем множество натуральных чисел, и обозначил число элементов этого множества ₀, или алеф-нуль (алеф — первая буква еврейского алфавита). Чтобы провести различие между открытыми им и конечными числами, Кантор назвал новые числа трансфинитными.

Георг Кантор с женой. Фотография 1880 года. Этот подлинный гений из мира математики разработал теорию трансфинитных чисел, укротив непокорную бесконечность.

Кантор понял, что установить соответствие между натуральными и вещественными числами невозможно, следовательно, эти бесконечности не равны, и бесконечное множество вещественных чисел больше, чем бесконечное множество натуральных чисел. Так одна бесконечность оказалась больше другой. Первые трансфинитные числа, введенные Кантором, описывали мощность определенных множеств и обозначались особыми символами:

мощность множества вещественных чисел (): с;

мощность множества натуральных чисел, или алеф-нуль: (): ₀;

мощность множества, превосходящего ₀:₁

Далее, использовав аксиомы Цермело-Френкеля, можно убедиться, что три вышеописанных числа удовлетворяют соотношению ₀ < ₁ < c. Континуум «гипотеза (гипотеза о мощности множества вещественных чисел) гласит, что с = ₁.

Ноль в Европу принесли арабы в период завоевания Пиренейского полуострова, а сами они заимствовали это понятие у индийцев. Впервые на Западе ноль упоминается в Вигиланском и Эмилианском кодексах — обе эти рукописи датированы X веком. Существуют разные мнения относительно того, кто из европейских ученых первым использовал ноль. Некоторые исследователи полагают, что это был папа Сильвестр II во Франции около 1000 года, но вероятнее, что таким первопроходцем стал итальянский математик Фибоначчи, автор знаменитой числовой последовательности, упоминавший ноль в «Книге абака» (XII век). Он использовал ноль столь необычным и в то же время столь эффективным образом, что главы церкви назвали его демоническим числом и отказывались признавать его существование вплоть до начала XV века.

На Западе ноль оказал огромное влияние не только на математику, но и на эзотерику. В некоторых мистических течениях, в частности в орфизме, 0 обозначал «серебристое яйцо», небытие и был загадочным образом связан с единицей как ее противоположность и отражение (в математике любое число, возведенное в степень ноль, равно единице). В экзистенциализме ноль обозначает смерть как состояние, в которое переходят силы живого, а избыток нулей означает манию величия.

Философ Мария Самбрано видела в нуле тень всего, что нельзя распознать, нечто столь сжатое, что его можно считать равносильным пустоте. Это «ничто», заключенное в число, служило источником вдохновения для поэтов. Так, Хосе Мануэль Кабальеро Бональд дал нулю такие прекрасные эпитеты: «числовой избыток пустоты», «величина, которая начинается там же, где и заканчивается», «зачаточная цифра и отправная точка», «молчание, отсылающее к иному, нейтральному пути молчания»… Антонио Поркья говорил, что в своем путешествии по числовым джунглям, которые мы называем миром, его путеводной звездой был 0. Какие прекрасные выражения для чего-то незначительного. Незначительного ли?

Чарльз Сэйфе выделяет ноль среди остальных чисел. Ноль, по его мнению, позволяет увидеть следы невыразимого и бесконечного. Именно поэтому нуля боялись, его ненавидели и даже запрещали. Физические особенности пространства, позволяющие (в теории) двигаться со скоростями, превышающими скорость света, происходят из парадокса, причиной которого является ноль в уравнении общей теории относительности Эйнштейна. В этом заключается еще одно доказательство важности нуля согласно Сэйфе, который зловеще заключает: «Ноль нельзя игнорировать. Он не только содержит секрет нашего существования, но и отвечает за конец вселенной». Наконец, ноль, подобно кругу, то есть по своей форме, символизирует вечность: «В день Страшного суда врата неба откроются перед божьими избранниками. И они туда вкатятся, ибо воскреснут в самой совершенной из форм: сферической. Так возвестил нам Ориген»[7] (Дж. А. Айрленд).

Крейсер «Йорктаун» в 1997 году застыл на месте в результате обычной некорректной операции с нулем.

Далее мы в нескольких словах расскажем о числах, вызывающих интерес с точки зрения арифметики.

√2

Квадратный корень из 2 — это положительное вещественное число, которое при умножении само на себя дает 2. Его приблизительное значение равно 1,41421356237309504880. Возможно, это первое иррациональное число, известное человечеству. По легенде, Гиппаса из Метапонта пифагорейцы сбросили в море за то, что он раскрыл тайну этого числа непосвященным. Геометрически это число можно представить как диагональ квадрата, длина сторон которого равна единице.

√5

Квадратный корень из 5 можно выразить с помощью следующей элегантной формулы:

2

Число 2 обладает множеством математических свойств. Это наименьшее простое число и одновременно единственное простое четное число. Это первое простое число Софи Жермен, первое число-факториал и первое число Люка. Это также простое число Эйнштейна без мнимой части и с действительной частью вида 3n — 1. Это третье число Фибоначчи. Число 2 — основание простейшей системы счисления.

9

Число 9 обладает любопытным свойством: если из любого числа, содержащего больше двух цифр, вычесть сумму его цифр, то полученное число будет делиться на 9. Рассмотрим в качестве примера число 8754.

Сумма его цифр равна 8 + 7 + 5 + 4 = 24; 8754 — 24 = 8730;

8730 кратно 9, так как 8730/9 = 970.

17

Это число обладает важным свойством: оно равно сумме цифр его куба: 17³ = 4913;

4 + 9 + 1 + 3 = 17.

19

Число 19 — простое число, особенность которого состоит в том, что оно равно сумме первых степеней 10 и 9 и разности квадратов 10 и 9. Первое равенство очевидно, второе требует проверки: 10² — 9² = 100 — 81 = 19.

22

Число 22 — это число-палиндром, квадрат которого также является палиндромом:

22² = 484.

37

При умножении на числа, кратные 3, это число дает следующие результаты:

37∙3 = 111

37∙6 = 222

37∙9 = 333

37∙12 = 444

…

37∙27 = 999.

Число 37, умноженное на сумму своих цифр, равно сумме кубов его цифр. Эту запутанную фразу проще понять, записав: (3 + 7)∙37 = З³ + 7³ Еще одно любопытное свойство: сумма квадратов его цифр минус произведение его цифр равна 37:(З² + 7²) — (3∙7) = 37. Рассмотрим теперь трехзначное число, кратное 37, например 37∙7 = 259. Изменим порядок его цифр так, чтобы последняя цифра оказалась на первом месте, и получим 925. Повторив эту же операцию с последней цифрой нового числа, получим 592. Оба этих числа делятся на 37 (еще одно число, которое обладает этим свойством — это 185, так как 518 и 851 также кратны 37).

69

Число 69, возведенное в квадрат (69²) равно 4761, возведенное в куб (69³) — 328509. Эти два числа содержат все цифры от 0 до 9.

100

100 — составное число: 2²∙5² = 10². Это число представимо в виде суммы четырех кубов, и его можно назвать кубическим тетрактисом: 100 = 1³ + 2³ + З³ + 4³. Кроме того, это десятое квадратное число и седьмой член последовательности Боде, обозначающее расстояние от Сатурна до Солнца (в действительности это расстояние равно 95,5 астрономической единицы).

Иллюстрация из «Уранографии» Иоганна Элерта Боде (1747–1826) — астронома, в честь которого названа последовательность чисел, упрощающих вычисление расстояний между планетами и Солнцем. Первые семь чисел этой последовательности таковы: 4, 7,10,16, 28, 52 и 100.

199

Число 199 имеет несколько интересных свойств: это простое число, обратимое простое число (если повернуть его запись на 180°, получится число 661, которое также будет простым), кроме того, числа, полученные перестановкой его цифр (199, 919 и 991) также являются простыми.

216

Это число равно объему куба, длина стороны которого равна 6: 6³ = 216. Это также наименьшее число-куб, которое можно представить как сумму трех последовательных кубов: 216 = 6³ = З³ + 4³ + 5³. Оно также равно сумме двух простых чисел: 216 = 107 + 109.

337

Это наибольшее простое число, для которого все числа, образованные перестановкой его цифр, также являются простыми: 337, 373 и 733. В нашей системе счисления по основанию 10 этим свойством обладают только следующие числа: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 37, 79, ИЗ, 199, 337. Число И также могло бы обладать этим свойством, но так как все его цифры одинаковы, оно называется репьюнитом (это понятие мы подробно объясним в главе 3).

365

Число 365 обладает следующим арифметическим свойством: 365 = (10∙10) + (11∙11) + (12∙12), то есть оно равно сумме квадратов трех последовательных чисел начиная с 10: 10² + 11² + 12² = 100 + 121 + 144 = 365. Кроме того, оно равно сумме квадратов двух следующих чисел, 13 и 14: 13² + 14² = 169 + 196 = 365.

648

Это наименьшее число, которое можно представить в виде ab^a двумя разными способами, а именно: 3∙6³ = 2∙18². Чисел, обладающих этим свойством, совсем немного. Приведем некоторые из них:

648 = 3∙6³ = 2∙18²

2048 = 8∙2⁸ = 2∙32²

4608 = 9∙2⁹ = 2∙48²

5184 = 4∙6⁴ = 3∙12³

41472 = 3∙24³ = 2∙144²

52488 = 8∙З⁸ = 2∙162²

472392 = 3∙54³ = 2∙486²

500000 = 5∙10⁵ = 2∙500²

524288 = 8∙4⁸ = 2∙512²

2654208 = 3∙96³ = 2∙1152²

3125000 = 8∙5⁸ = 2∙1250²

4718592 = 18∙2¹⁸ = 2∙1536²

10125000 = 3∙150³ = 2∙2250²

13436928 = 8∙6⁸ = 2∙2592²

21233664 = 4∙48⁴ = 3∙192³

30233088 = 3∙216³ = 2∙3888²

46118408 = 8∙7⁸ = 2∙4802²

…

729

Это число равняется 9³ и является вторым числом, представимым в виде суммы трех кубов: 9³ = 1³ + 6³ + 8³ Так как 6³ = 3³ + 4³ + 5³ (сумма трех кубов), 729, или 9³, также можно выразить как сумму пяти кубов. Кроме того, 729 = 3⁶ следовательно, в системе счисления по основанию 3 оно записывается как 1000 000.

952

Это число можно представить интересным способом: 952 = 9³ + 5³ + 2³ + 9∙5∙2.

998

Это число является знаменателем необычной дроби:

1/998 = 0,001002004008016032064128256513026052104208416833667334669… — десятичной дроби, содержащей последовательность всех степеней двойки, которые затем начинают накладываться друг на друга, и закономерность нарушается:

0,001

0,000002

0,000000004

0,000000000008

0,000000000000016

0,000000000000000032

0,000000000000000000064

0,000000000000000000000128

0,000000000000000000000000256

0,000000000000000000000000000512

0,000000000000000000000000000001024

0,000000000000000000000000000000002048

…

0,001002004008016032064128256513026052…

1001

Одним из любопытных свойств числа 1001 является то, что оно делится на 7, 11 и 13 — три последовательных простых числа, произведение которых равно 1001. Однако интерес представляет не само равенство 1001 = 7∙11∙13 — в нем нет ничего удивительного. Любопытно другое: если умножить это число на любое трехзначное число, то результатом будет это же трехзначное число, записанное два раза подряд, например 873∙1001 = 873873, 207∙1001 = 207207.

Это свойство становится очевидным, если мы представим записанное выше произведение так: 873∙1001 = 873∙1000 + 873 = 873000 + 873.

1089

Если мы умножим 1089 на 9, получим 9801 — исходное число, цифры которого будут записаны в обратном порядке. Этим свойством также обладают числа 10989, 109989, 1099989 и т. д. — достаточно, чтобы девятки находились перед первой восьмеркой в записи этого числа. С другой стороны, дробь 1/1089 = = 0,000918273645546372819100091… является периодической. Наконец, если записать цифры любого числа в обратном порядке, вычесть это число из исходного, а затем прибавить к полученному числу это же число, записанное в обратном порядке, то результатом всегда будет 1089. Рассмотрим в качестве примера число 623: 623 – 326 = 297, 297 + 792 = 1089.

1233

Это число примечательно тем, что равно 12² + 33², то есть сумме квадратов чисел, записанных двумя его первыми и двумя последними цифрами. Другим числом, которое обладает этим свойством, является 8833 = 88² + 33².

1634

Это число интересно тем, что равно сумме своих цифр, возведенных в четвертую степень: ¹⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴. Другие четырехзначные числа, обладающие этим же свойством, — 8208 и 9474.

1729

Это число знаменито благодаря анекдоту, приведенному в книге английского математика Годфри Харолда Харди «Апология математика». Как-то раз Харди навещал в больнице своего подопечного, индийского математика Рамануджана. Чтобы поддержать разговор, Харди упомянул, что приехал на такси со «скучным» номером 1729, на что Рамануджан немедленно ответил: «Харди, ну как же, Харди, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»: 12³ + 1³ и 10³ + 9³.

Годфри Харолд Харди (1877–1947), английский математик, размышлявший об эстетической красоте математики, который, помимо прочего, сделал знаменитым число 1729.

3333

Если возвести это число в квадрат, то есть вычислить 3333², результатом будет 11108889. Сложив две «половины» этого числа, записанные по отдельности, получим 1110 + 8889 = 9999. Этим свойством также обладает число 6666, так как 6666² равно 44435556, а сумма двух его «половин», 4443 и 5556, равна 9999.

5040

Это число равно 7 факториал: 7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7. Оно также равняется произведению 7∙8∙9∙10. Таким образом, это число примечательно тем, что его можно представить в виде произведения последовательных натуральных чисел двумя разными способами.

6174

Это число — так называемая постоянная Капрекара. Его особенность заключается в следующем. Возьмем произвольное четырехзначное число, упорядочим его цифры в порядке возрастания и в порядке убывания, после чего найдем разность полученных чисел. Затем повторим аналогичные действия с результатом. Результатом всегда будет число 6174, которое затем будет воспроизводить само себя. Рассмотрим пример с числом 3871: 8731–1378 = 7353; 7533–3357 = 4176, 7641–1467 = 6174. В этом случае потребовалось всего три этапа. Для других чисел требуется больше этапов, но их результатом всегда будет постоянная Капрекара. 6174 также является одним из так называемых чисел харшад, так как делится на сумму своих цифр:

6174/(6 + 1 + 7 + 4) = 6174/18 = 343.

10 101

Число 10101 равно произведению четырех простых чисел: 3∙7∙13∙37. Любое двузначное число при умножении на 10101 дает само себя, записанное три раза подряд. Пример: 73∙10101 = 737373, 21∙10101 = 212121. Причина этого становится понятной, если мы представим записанное выше произведение следующим образом:

73∙10∙101 = 73∙(10 000 + 100 + 1) = 730 000 + 7300 + 73.

1234567,87654321

Это число, которое представляет собой записанные последовательно цифры от 1 до 8 в порядке возрастания, которые затем, после второго десятичного знака, записаны в обратном порядке, является результатом интересного произведения:

1111,111∙111,111.

4729 494

Это число является коэффициентом уравнения Джона Пелла, которое предположительно позволяет решить задачу Аристотеля о стаде, изложенную им в книге «Исчисление песчинок». Задача звучит так: «Если ты старателен и умен, о чужеземец, то сочтешь число голов скота в стаде Солнца». Далее приводится ряд неоднозначных условий, которые можно вкратце изложить так: в стаде бога Солнца было некоторое число белых, черных, крапчатых и рыжих быков и коров. Число белых быков равно половине и третьей части черных и рыжих быков; число черных быков равно четверти и пятой части крапчатых и рыжих быков; число крапчатых быков равно шестой и седьмой части белых и рыжих; число белых коров равно трети и четверти общего числа черных быков и коров; число черных коров равно четверти и пятой части общего числа крапчатых быков и коров; число крапчатых коров равно шестой и седьмой части общего числа рыжих быков и коров; число рыжих коров равно шестой и седьмой части белых быков и коров; общее число белых и черных быков является квадратом, общее число рыжих и крапчатых быков является треугольным числом. Рассмотрев эту формулировку задачи, Джон Пелл получил следующее уравнение: u² — 4729494∙v² = 1. Этим и объясняется необычность этого числа.

24 678 050

Живительно, но это восьмизначное число равно сумме восьмых степеней его цифр:

2⁸ + 4⁸ + 6⁸ + 7⁸ + 8⁸ + 0⁸ + 5⁸ + 0⁸.

73 939 133

Это наибольшее простое число, для которого все числа, образованные первыми цифрами его десятичной записи также являются простыми числами: 7, 73, 739, 7393… Такие числа называются усекаемыми справа.

410 256 793

Если мы будем последовательно отбрасывать цифры этого числа, не меняя порядок цифр, то все полученные числа также будут простыми, пока в записи числа не останется всего одна цифра. Рассмотрим пример:

410256793

41256793

4125673

415673

45673

4567

467

67

7

Существует гипотеза, согласно которой множество чисел, обладающих этим свойством, бесконечно велико.

65 359 477 124 183

Это число при умножении на различные числа дает интересные результаты, а именно:

65 359 477 124 183 ∙ 17 = 1111 111 111 111 111

65 359 477 124 183 ∙ 34 = 2222 222 222 222 222

65 359 477 124 183 ∙ 51 = 3333 333 333 333 333

65 359 477 124 183 ∙ 68 = 4444 444 444 444 444

65 359 477 124 183 ∙ 85 = 5555 555 555 555 555

65 359 477 124 183 ∙ 102 = 6666 666 666 666 666

65 359 477 124 183 ∙ 119 = 7777 777 777 777 777

65 359 477 124 183 ∙ 136 = 8888 888 888 888 888

65 359 477 124 183 ∙ 153 = 9999 999 999 999 999.

357686312646216567629137

Это наибольшее простое число, усекаемое слева. Оно аналогично простым числам, усекаемым справа, которые мы рассмотрели выше, однако в этот раз цифры в его записи отбрасываются, начиная слева. Рассмотрим пример простого числа, усекаемого слева: 632647, 32647, 2647, 647, 47 и 7. С числом, вынесенным в заголовок, можно выполнить аналогичные действия.

3608 528 850 368 400 786 036 725

Это огромное число из 25 цифр, очевидно, делится на 25. Если взять первые n цифр в его записи, то полученный результат будет делиться на n. Рассмотрим пример: если мы возьмем первые шесть цифр этого числа (360852), полученное число будет делиться на 6, если мы возьмем первые десять его цифр (3608528850), оно будет делиться на 10.

450!

Человек-компьютер Горацио Улер в 1950-е годы вычислил значение 450! без помощи компьютера. Он определил, что запись этого числа содержит ровно 1001 цифру, поэтому назвал его «факториал тысячи и одной ночи».

Несмотря на научный прогресс и рациональность западной цивилизации, определенным числам мы по-прежнему придаем мистическое значение. Некоторые из них мы рассмотрели в предыдущей главе. Сейчас мы поговорим исключительно о символичных числах современности. Мы не будем упоминать зловещие числа, которые, как считается, приносят несчастье, — о них пойдет речь в пятой главе.

Мы уже упоминали, что в античности число 3 считалось символом совершенного творения и божественного единства, так как люди подсознательно стремились объединять понятия в тройки. Это свойство числа 3 сохранилось до наших дней, и сегодня идеи, понятия и ритуалы все так же объединяются в тройки. Некоторые ставят в вину Гегелю то, что он воскресил магический культ числа 3, применив его в своих триадах — культ, который, как считалось, был забыт в XVIII веке вместе с философией профессоров Сорбонны, которые, объединив аристотелеву логику с католическим богословием, признавали триединство мысли, чувства и волеизъявления. Не будем забывать и о трех качествах литературных произведений, которые выделял Фома Аквинский: integritas (единство, целостность), consonantia (согласованность, гармония) и claritas (ясность, сияние слов).

Это деление на три категории по-прежнему используют практически все современные мыслители. Так, например, Олдос Хаксли выделял три типа разума: человеческий, животный и военный. По мнению философа Дэниела Деннета, эволюция мозга животных происходила в три этапа: поведение дарвиновых живых существ определяется генетически, скиннеровы живые существа (согласно трудам американского психолога-бихевиориста Берреса Фредерика Скиннера) обладают набором возможных вариантов поведения, выбор из которых осуществляется случайным образом, а поведение людей описывается доктриной философа науки Карла Поппера. Согласно Попперу, поведение людей подобно поведению живых существ по Скиннеру и определяется рядом умственных симуляций.

Крайний пример влияния числа 3 на человеческое мышление предлагал футурист Велимир Хлебников, который создал целую теорию, описывающую основные исторические факты с помощью этого числа. Этот русский писатель и мечтатель изучил даты исторических событий и обнаружил, что все они связаны закономерностями, которые можно выразить с помощью числа 3.

Рассмотрим некоторые из приведенных им примеров. Мукденское сражение, когда было остановлено продвижение русских войск на восток, состоялось 26 февраля 1905 года. Экспансия России на восток началась со взятия Искера 26 октября 1581 года — за 3¹⁰ + 3¹⁰ = 2∙3¹⁰ дней до этого. Ангорская битва, произошедшая 20 июля 1402 года, после которой было остановлено продвижение монголов на Запад, произошла спустя 3¹⁰ дней после покорения Киева татаро-монголами 6 декабря 1240 года — эта дата служила началом сближения Востока и Руси. После битвы на Куликовом поле, произошедшей 26 августа 1380 года, было остановлено продвижение монголо-татар на Запад. Это произошло спустя 3¹¹ + 3¹¹ = 2∙3¹¹ дней после захвата Рима вестготами Алариха 24 августа 410 года и его последующего разрушения. Завоевание Константинополя турками в 1453 году положило конец распространению влияния Древней Греции на восток. Константинополь пал спустя З¹¹ 4 дня после захвата греками Персии и расширения греческого государства на восток в 487 году до н. э. Хлебников привел множество значительных исторических событий, связанных между собой посредством числа 3 и его степеней.

Еще один любопытный пример влияния числа 3 можно увидеть в романе «Улей» Камило Хосе Селы, который использовал тройку в качестве структурной основы произведения. Числами, кратными 3, он обозначал шестиугольные соты пчелиных ульев, которые сопоставлял с различными этапами повествования. Роман охватывает 3 дня, включает 6 глав и 396 персонажей.

Портрет Велимира Хлебникова (1885–1922) и обложка одной из его книг, «Зангези». Хлебников увлекался нумерологией и в поисках математических законов, по его мнению, управлявших историей, придумал так называемые доски судьбы.

7

Число 7 и его магические свойства присутствуют, порой неявно, во множестве литературных произведений и философских трудов современности. С древних времен, особенно в еврейской традиции, считалось, что душа на пути к вознесению должна была пройти семь небес, или хехалот. Позднее эту концепцию заимствовали западные мистики святая Тереза и Иоанн Креста (св. Хуан де ла Крус).

Сегодня число 7 упоминается в произведениях многих писателей и мыслителей. Приведем всего один, но очень важный пример: мистик Рикард Ламод де Гриньон в 1951 году был удостоен премии города Барселоны за произведение «Загадки» (Enigmes) — пьесу для симфонического оркестра, хора и чтеца. Источником вдохновения для него послужило Откровение Иоанна Богослова, а само произведение строится вокруг числа 7, наполненного символическим смыслом. Как и следовало ожидать, произведение Ламода де Гриньона делится на семь частей, а название (Enigmas) на каталанском, испанском и других европейских языках состоит из семи букв. В начале каждой части пьесы небольшая группа инструментов исполняет заглавную тему, состоящую из семи звуков, которые образуют плавно звучащий аккорд, служащий фоном для чтеца, исполняющего стихи, которые затем сопровождаются музыкой оркестра. Любопытно, что на сегодняшний день это произведение было исполнено во Дворце каталонской музыки ровно семь раз.

Однако далеко не все склонны приписывать числам магическую силу. Так, лютеранский пастор Каспар Нейман (1648–1715) сражался против предрассудков, связанных с числами, в частности, он опровергал, что человеческое тело подвержено семилетнему циклу заболеваний. Согласно этой точке зрения каждые семь лет человек переживает критический момент для здоровья. Возраст в 49 (7∙7) лет и 63 (9∙7) года считался особенно опасным, так как в эти годы здоровье людей якобы подвергалось наибольшему риску. Нейман использовал записи из церковных книг, которые велись более ста лет. Благодаря собранной им статистике пастор смог показать, что реальные данные о смертности не соответствовали семилетним циклам.

12

Число 12 ввиду свойств его делимости также часто используется как основа структуры литературных произведений. Так, в 1969 году французский писатель Жорж Перек, принадлежавший к группе УЛИПО (от фр. Ouvroir de Litterature Potentielle — Цех потенциальной литературы), задумал следующий проект: выбрав двенадцать мест Парижа (улиц, площадей и мостов), которые имели для него особое значение, он каждый месяц должен был составлять по два описания каждого места, стараясь быть максимально нейтральным. С карандашом и бумагой в руках он хотел предельно точно описать дома, магазины, людей, с которыми сталкивался, афиши и все, что привлекало его внимание. Второе описание должно было относиться к другому месту, для чего следовало обратиться к воспоминаниям и изложить все, что ему подсказывала память и ассоциации. Закончив описания, Перек должен был запечатать их в конверт. Он также хотел положить в конверт какие-то небольшие предметы, напоминавшие об этих местах: билеты на метро, билеты в кино, счета из баров и кафе… Перек хотел начать составлять эти описания каждый год, следуя алгоритму под названием «ортогональный латинский биквадрат 12-го порядка». Он хотел описать каждое место в разное время года и в разные месяцы. Этот эксперимент должен был продлиться двенадцать лет, и в итоге все выбранные писателем места были бы описаны два раза по двенадцать раз. К 1981 году он надеялся составить 288 текстов, но смерть нарушила планы писателя. Эксперимент преследовал три цели: понять, как изменяются места сами по себе, вспомнить о местах и создать сами тексты.

27

Некоторые авторы, чтобы окутать свои произведения завесой тайны или создать увлекательную историю, подбирают числа в соответствии со своим замыслом и строят вокруг них сюжет. Любопытным примером этого является число 27, которое известно современным любителям литературы как число «Шанди». В своей «Краткой истории карманной литературы» (Historia abreviada de la literatura portatil) Энрике Вила-Матас описывает полусекретное общество «Шанди», которое предположительно было основано в 1924 году в устье реки Нигер. Его основателями были Марсель Дюшан, Фрэнсис Скотт Фицджеральд, Вальтер Беньямин, Сесар Вальехо, Висенте Уидобро, Рита Малу, Валери Ларбо, Пола Негри и другие — всего 27 человек. Чтобы стать членом этого общества, нужно было создать такое художественное произведение, которое с легкостью помещалось бы в кармане. Количество членов было выбрано также не случайно — оно было связано с ролью, которую играло число 27 в жизни членов тайного общества. Так, 27 лет исполнилось его члену Стефану Зениту, когда прошло первое заседание общества в Вене. 27 лет провела Рита Малу в далекой психиатрической лечебнице в Сомали. Славный путь общества был прерван вмешательством испанских поэтов, принадлежавших к так называемому поколению 27 года. 27 декабря было датой свадьбы Пикабии — одного из членов общества. Картина Пауля Клее, посвященная числу 27, по мнению членов общества, прекрасно передавала свет и тени «Шанди». Эта картина хранилась в доме графини де Вансепт, у которой было 27 внуков и которая жила в Париже в доме под номером 27.

С другой стороны, число 27 в мире рок-музыки стало зловещим. Дженис Джоплин, прожившая короткую и яркую жизнь, умерла от передозировки героина в номере голливудского отеля в возрасте 27 лет. Джими Хендрикс также умер в 27 и тоже от передозировки наркотиков. Певец Джим Моррисон, душа легендарной группы The Doors, был найден мертвым в ванной своей парижской квартиры, когда ему также было всего 27 лет.

Иллюстрация из романа «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» Лоуренса Стерна, которого писатель Энрике Вила-Матас включил в число 27 членов тайного общества, все они стали главными героями его книги «Краткая история карманной литературы».

28

В 1969 году была опубликована книга «Биоритмы» американского врача-отоларинголога Джорджа Томмена, быстро ставшая бестселлером. Книга основывалась на любопытной теории берлинского врача Вильгельма Флисса, друга Зигмунда Фрейда. Флисс, будучи любителем нумерологии, утверждал, что числа 23 и 28 описывают структуру Вселенной. Развив его теорию, Томмен в своей книге писал, что с момента рождения человек подвержен воздействию трех разных ритмов: физического, который циклически повторяется каждые 23 дня, эмоционального, повторяющегося каждые 28 дней, и интеллектуального, который повторяется каждые 33 дня. Теория биоритмов по-прежнему остается чрезвычайно популярной, о чем свидетельствуют многочисленные книги на эту тему, которые можно найти в любом магазине.

Я упоминаю это число здесь, так как являюсь почитателем британского писателя Дугласа Адамса, автора несравненной и чрезвычайно увлекательной книги «Автостопом по Галактике». В этом цикле из пяти книг до того ничем не примечательное число 42 имеет вселенскую важность. Это число связано с ответом, который дал крупнейший компьютер Вселенной, названный Глубокомысленным, на главный вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого:

«— Отлично, — сказал компьютер и снова погрузился в молчание. <…> Напряжение становилось невыносимым.

— Серьезно, он вам не понравится, — заметил Глубокомысленный.

— Говори!

— Отлично, — сказал компьютер. — Ответ на Главный Вопрос…

— Ну…!

— Жизни, Вселенной и Всего Такого… — продолжал компьютер.

— Ну…!!!

— Это… — сказал Глубокомысленный и сделал многозначительную паузу.

— Ну…!!!

— Сорок два, — сказал Глубокомысленный с неподражаемым спокойствием и величием»[8].

Кадр из экранизации книги «Автостопом по Галактике», на котором самый мощный компьютер Вселенной после семи с половиной миллионов лет вычислений объявляет собравшейся толпе ответ на Главный Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого.

* * *

Также о числе 42 можно сказать, что в своем романе «Жизнь, способ употребления» Жорж Перек в каждой главе использует 42 элемента, взятые из списков, составленных им с помощью 21 латинского биквадрата. В каждом биквадрате используются элементы (предметы, цвета, число персонажей, упомянутых авторов, действий и т. д.) из двух разных списков (таким образом, 21∙2 = 42).

137

Вы думаете, что точной науке, физике элементарных частиц, совершенно чуждо загадочное влияние чисел? Вы ошибаетесь. Число 137 фигурирует в физической постоянной тонкой структуры и, несомненно, является самым загадочным числом современной физики. Если возвести величину элементарного заряда е в квадрат и разделить результат на удвоенное произведение с (скорости света), h (постоянной Планка) и ε₀ (электрической постоянной, определяющей напряженность электрического поля в вакууме), то получим 1/137 — этому числу и равняется постоянная тонкой структуры. Физики в шутку рассказывают, что лауреат Нобелевской премии по физике Вольфганг Паули после смерти спросил Бога, откуда взялось это загадочное число 137. Бог протянул ему несколько листов, исписанных математическими формулами, и сказал: «Здесь все объясняется». Паули изучил формулы, нахмурился и сказал: Das ist falsch («Но здесь ошибка»).

Фотография Вольфганга Паули, сделанная около 1930 года.

Этот физик, лауреат Нобелевской премии, посвятил немало сил изучению числа 1/137.

Другой физик, сэр Артур Стэнли Эддингтон, который одним из первых понял революционную теорию относительности Эйнштейна, говорил, что число 137 в физике обладает теми же свойствами, что и 666 — в нумерологии.

1024

Это число равняется 2¹⁰ и является главным героем следующей истории. Представьте, что в один прекрасный день к вам подходит человек, который представляется господином Дьявольсоном и предлагает отдать ему душу в обмен на безграничное счастье в жизни. Чтобы доказать свои возможности, он записывает вас в число участников турнира по подбрасыванию монеты, в котором вам предстоит соперничать с десятью конкурентами, и обещает, что с его помощью вы победите соперников. Вы заинтригованы этим предложением и принимаете его. Вы играете против первого соперника и выигрываете. Затем обыгрываете второго, третьего, четвертого и т. д. вплоть до девятой партии. Всякий раз, когда вы называете орел или решку, монета, которую подбрасывает нейтральный арбитр, падает загаданной вами стороной вверх. Остается последняя партия, последнее подбрасывание. Вы едва верите своему счастью. И тут господин Дьявольсон напоминает, что если вы победите, то должны будете подписать контракт, скрепив его своей кровью. Немного поразмыслив, вы решаете оценить, какова вероятность того, что можно угадать десять результатов подбрасывания. Вы говорите: «Выиграть первую партию было несложно — вероятность того, что я угадаю, равнялась 50 %. Выиграть два раза подряд было сложнее, так как вероятность угадывания в этом случае равнялась 50 % ∙ 50 %, или, что аналогично, 0,5∙0,5 = = 0,25 — одному шансу из четырех. Если продолжить эти рассуждения, получится, что вероятность угадать результат десять раз подряд равна 0,00097656 %, то есть один шанс из 1024».

Поборов неуверенность, вы соглашаетесь на предложение господина Дьявольсона и решаете сыграть последнюю партию турнира. И монета падает именно так, как вы загадали! Вы убеждены, что это невозможно без сверхъестественного вмешательства, поскольку вероятность этого события крайне мала, и подписываете контракт. Небольшая ранка на пальце — ничто по сравнению со счастьем в жизни. Вы не обращаете внимания на 1023 игроков, которым повезло меньше, — а ведь к ним тоже обращался с предложением некий человек с бородкой, как у господина Дьявольсона, но при первом же проигрыше подопечного он бесследно исчезал. Дьявол прекрасно знает математику, и ему известно, что если он скажет одно и то же 1024 игрокам, то один из них (это необязательно будете вы) обязательно выиграет. Математика не позволяет узнать, кто именно одержит победу, но гарантирует, что им будет один из 1024 игроков. И дьяволу это хорошо известно.

А еще ему известно, что для того чтобы заполучить одну душу, ему понадобятся 1024 простака. Не верьте в судьбу и в теорию вероятности! Особенно если вас пытается соблазнить прекрасно одетый господин с хорошими манерами… и козлиной бородкой.

Существуют числа, запись которых отражает их красоту, симметрию и гармонию:

1∙8 + 1 = 9

12∙8 + 2 = 98

123∙8 + 3 = 987

1234∙8 + 4 = 9876

12345∙8 + 5 = 98765

123456∙8 + 6 = 987654

1234567∙8 + 7 = 9876543

12345678∙8 + 8 = 98765432

123456789∙8 + 9 = 987654321

1∙9 + 2 = 11

12∙9 + 3 = 111

123∙9 + 4 = 1111

1234∙9 + 5 = 11111

12345∙9 + 6 = 111111

123456∙9 + 7 = 1111111

1234567∙9 + 8 = 11111111

12345678∙9 + 9 = 111111111

123456789∙9 + 10 = 1111111111

9∙9 + 7 = 88

98∙9 + 6 = 888

987∙9 + 5 = 8888

9876∙9 + 4 = 88888

98765∙9 + 3 = 888888

987654∙9 + 2 = 8888888

9876543∙9 + 1 = 88888888

98765432∙9 + 0 = 888888888

1∙1 = 1

11∙11 = 121

111∙111 = 12321

1111∙1111 = 1234321

11111∙11111 = 123454321

111111∙111111 = 12345654321

1111111∙1111111 = 1234567654321

11111111∙11111111 = 123456787654321

111111111∙111111111 = 12345678987654321

В завершение главы приведем еще одну эффектную формулу. Математические формулы можно записывать так, что они будут выглядеть приятно для глаз и при этом не потеряют точности, как, например, это выражение, напоминающее новогоднюю елку: