Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Глава 3 Числа с именами

В результате классификации чисел были выделены протопифагоровы числа (золотое число, число ТХ) и функциональные числа (четные, нечетные, положительные числа и т. д.). Сначала мы рассмотрим числа с фантастическими названиями (счастливые, совершенные, дружественные, самовлюбленные), затем расскажем о числах, названных в честь их первооткрывателей или их друзей. Наконец, мы расскажем о числах, у которых есть имя: сначала мы поговорим о числах с фантастическими названиями, а затем — о числах с собственным именем и фамилией.

Совершенные числа

Совершенство свойственно не только чему-то возвышенному, утопическому или божественному, но и некоторым числам. По определению, совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. В античные времена это свойство считалось проявлением божественного, отсюда и происходит название таких чисел. Так, Аврелий Августин (354–430) в своей книге «О граде Божьем» утверждал, что Бог создал мир за шесть дней, следовательно, 6 является совершенным числом (6 = 3 + 2 + 1), равно как и 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) — за столько дней Луна совершает полный оборот вокруг Земли.

И действительно, два первых совершенных числа — это 6 и 28. Два следующих совершенных числа — это 496 и 8128. Они равны сумме своих делителей:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4084.

В поисках совершенных чисел

Первые четыре совершенных числа упоминаются уже во «Введении в арифметику» Никомаха Герасского (I век н. э.). Пятое число, 33550336, упоминается в рукописи XV века, шестое (8589869056) и седьмое (137438691328) были открыты

Пьетро Антонио Катальди в 1588 году. Восьмым совершенным числом является 2³⁰М₃₁ (где М₃₁ — это 2,147483647, тридцатое простое число Мерсенна), открытое Эйлером в 1750 году. Позднее были вычислены еще два совершенных числа, последнее из которых, 2¹²⁷⁸∙(2¹²⁷⁹—1), состоит приблизительно из 770 цифр.

Слева — страница трактата "О граде Божьем" 1470 года издания, в котором Аврелий Августин упоминает совершенные числа. Вверху — компьютер Сrау-2, хранящийся в Музее компьютерной истории в Кремниевой долине. В 1990-е годы с его помощью были вычислены новые совершенные числа.

В 1992 году с помощью компьютера Cray-2 было найдено новое простое число Мерсенна: 2⁷⁵⁶⁸³⁹ — 1. Зная это число, ученые смогли легко вычислить следующее совершенное число, самое большое из известных на тот момент:

2⁷⁵⁶⁸³⁸∙(2⁷⁵⁶⁸³⁹ —1)

Оно состоит из 455663 цифр, для которых потребуется примерно 180 листов бумаги. Сегодня самое большое из известных совершенных чисел равняется

2^3021376 (2^3021377 — 1)

Оно было получено с помощью самого большого из известных простых чисел — 2^3021377 — 1, которое является простым числом Мерсенна. По сути, с открытием каждого последующего простого числа Мерсенна вида 2ⁿ — 1 можно найти новое совершенное число: достаточно умножить найденное простое число Мерсенна на 2^n-1. Так, простое число 2^{3021 377}— 1 позволяет получить тридцатое совершенное число 2^3021376 -1).

Почти совершенные числа

16 — это почти совершенное число, так как сумма его делителей, за исключением его самого, на единицу меньше него: 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Как вы увидите чуть позже, когда мы будем говорить об избыточных числах, все степени 2 являются почти совершенными числами. Неизвестно, существуют ли нечетные почти совершенные числа.

Если сумма делителей числа на единицу больше него самого, это число называется квазисовершенным. Оно должно быть нечетным и являться квадратом нечетного числа, но до сих пор не найдено ни одного такого числа. Если оно и существует, то должно быть больше 10³⁵.

Кратно совершенные числа

Французский математик Марен Мерсенн обнаружил, что сумма делителей числа 120 равняется 2∙120 = 240, и предложил своему другу Декарту найти числа, сумма делителей которых была бы кратна самим этим числам. В предыдущем случае имеем: 120 = 2³∙3∙5, делителями числа 120 являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 и 60, их сумма равна 240 = 2∙120. Если в число этих делителей включить само число 120, то их сумма будет равна 360 = 3∙120, поэтому это число называется «трижды совершенным». Всего известно шесть чисел, обладающих этим свойством: 120, 672, 523776, 459818240,1476304896 и 31001180160. Все эти числа, как и совершенные числа, четные. Если трижды совершенное нечетное число существует, оно превышает 10⁷⁰ и имеет по меньшей мере одиннадцать простых делителей.

Известны сотни кратно совершенных чисел вплоть до 9-го порядка (для этих чисел сумма делителей в девять раз больше самого числа). Одно из наименьших кратно совершенных чисел 8-го порядка открыл человек-компьютер Алан Браун. Оно записывается так: 2∙3²³∙5⁹∙7¹²∙11³∙13³∙17²∙19²∙23∙29²∙31²∙37∙41∙53∙61∙67²∙71²∙73∙83∙89∙103∙127∙131∙149∙211∙307∙331∙463∙521∙683∙ 709∙1279∙2141∙2557∙5113∙6481∙10429∙20857∙110563∙599479∙16148168401.

Дружественные числа

С древних времен два числа называются дружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого числа за исключением его самого. 220 и 284 — единственные дружественные числа, которые упоминаются в древних книгах по арифметике. Рассмотрим, как эти числа удовлетворяют описанному нами условию.

Делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, И, 20, 22, 44, 55, 110 (их сумма равна 284).

Делители 284: 1, 2, 4, 71, 142 (их сумма равна 220).

Уже в Библии говорится, что Иаков предложил брату 220 овец в знак примирения. В иудейской экзегетике число 220 считается магическим. Дружественные числа также часто упоминаются в арабских текстах. Например, Ибн Хальдун (1332–1406) в своем трактате «Пролегомены» признает чудесные свойства этих чисел, которые можно использовать при создании талисманов и гороскопов.

Портрет Ибн Хальдуна на банкноте 10 тунисских динаров. Этот арабский мудрец XV века в своих трудах упоминает дружественные числа, которые к тому времени были широко изучены арабскими математиками.

Увлечение дружественными числами затем перешло в Европу, где они привлекли внимание таких авторов XVI века, как Шюке, Этьен де ля Рош, Кардано и Тарталья. Однако первым из западных математиков нашел новую пару дружественных чисел француз Пьер Ферма (1601–1665). Применив правило, которое до него уже использовал арабский математик Абу-л-Хасан Сабит ибн Курра, Ферма в 1636 году открыл два новых дружественных числа: 17 296 и 18416 (хотя, по всей видимости, эти числа несколькими веками ранее открыл другой арабский математик, Ибн ал-Банна ал-Гарнати). Опубликовав свое открытие, Ферма бросил вызов Декарту, предложив ему найти еще одну пару дружественных чисел. Декарт принял вызов и два года спустя, в 1638 году, в письме к Марену Мерсенну упомянул пару открытых им чисел: 9363584 и 9437056.

Эйлер, которого называли повелителем математиков, продолжил исследование этой темы и в 1747 году составил список из 30 пар дружественных чисел, позднее расширив его до 60 пар. И хотя в 1909 году было показано, что два найденных им числа в действительности не являются дружественными, а в 1914 году были найдены еще два числа, ошибочно включенные им в список, это не умаляет заслуг великого швейцарского математика.

Вторая наименьшая пара дружественных чисел (1184 и 1210) была открыта Никколо Паганини в 1866 году, когда ему было всего 16 лет. Ранее эту пару чисел упустили из вида Ферма, Декарт и даже Эйлер. Третья пара дружественных чисел в порядке возрастания (12285 и 14595), которая также не попала в поле зрения вышеупомянутых математиков, была открыта Брауном в 1939 году.

В настоящее время благодаря компьютерам список дружественных чисел существенно увеличился, и сегодня известно более 400 их пар. Любопытно, что большинство дружественных чисел (но не все) делятся на 3.

Почти дружественные числа

Числа 195 и 140 образуют вторую пару почти дружественных чисел. Этим числам чуть-чуть не хватает до того, чтобы считаться дружественными:

σ(140) = σ(195) = 140 + 195 + 1, σ(m) = σ(n) = m + n +1,

где σ(n) обозначает сумму всех делителей n, включая само это число.

Первая пара почти дружественных чисел — это числа 48 и 75, последующие пары таковы: (140; 195), (1050; 1925), (1575; 1648)…

Представление первой пары в виде суммы делителей выглядит так:

σ(48) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 124,

σ(75) = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 + 75 = 124,

σ(48) = σ(75) = 48 + 75 + 1 = 124.

Общительные числа

Общительными называются числа, которые обладают теми же свойствами, что и дружественные, но образуют они не пары, а большие группы. Сумма делителей первого числа из такой группы равна второму числу, сумма делителей второго — третьему и т. д. Сумма делителей последнего числа равняется первому числу в группе. Например, таким свойством обладают числа 12496, 14288, 15472, 14536 и 14264.

Радостные числа

Раз числа могут быть простыми, совершенными и дружественными, почему они не могут быть радостными? Определим алгоритм: выберем целое положительное число, записанное в десятичной системе счисления, и найдем сумму квадратов его цифр, которая будет другим целым положительным числом. Для этого числа снова найдем сумму квадратов его цифр, затем будем повторять эти действия до тех пор, пока не получим 1 или не придем к бесконечному циклу. Числа, для которых результат этих действий равен 1, называются радостными.

Число 203 является радостным, так как 2² + 3² = 13; 1² + 3² = 10; 1² + 0² = 1. Радостными, например, являются 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 и 100.

Число 4 не является радостным, так как образует цикл: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4… и т. д.

Амбициозные числа

Амбициозным называется число, удовлетворяющее следующему условию: последовательность, которая образуется при сложении делителей этого числа, затем при сложении делителей полученной суммы и т. д., заканчивается совершенным числом. Например, 25 — амбициозное число, так как его собственными делителями являются 1 и 5, 1 + 5 = 6, а 6 — совершенное число.

Счастливые числа

Простые числа можно найти с помощью решета Эратосфена: нужно записать все натуральные числа по порядку, после чего вычеркнуть кратные 2, кратные 3 и т. д. Оставшиеся числа будут простыми. Для счастливых чисел есть похожий способ: нужно записать все натуральные числа по порядку и вычеркнуть все четные. Останется последовательность: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19… Следующим числом после 1 является 3, поэтому далее мы вычеркнем каждое третье число и получим новый ряд: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19… Первое из оставшихся чисел — 7, поэтому затем мы вычеркнем каждое седьмое число последовательности. В результате мы получим числовой ряд, который начинается так: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51…

Портрет Эратосфена — греческого математика, жившего в II–I веках до н. э., в честь которого назван метод нахождения целых чисел.

Эти числа называются счастливыми, возможно, потому что они избежали жесткого отсева и обладают многими общими свойствами с простыми числами. Это дает основания полагать, что простые числа обладают этими свойствами не потому, что делятся только на 1 и на само себя, а потому, что их можно найти с помощью решета Эратосфена. Возможно, числа из произвольной последовательности, построенной похожим методом, будут обладать подобными свойствами.

Самовлюбленные числа

Числа тоже любят смотреть на свое отражение в водах математической гармонии. В десятичной системе счисления число называется самовлюбленным, если оно равно сумме своих цифр, каждая из которых возведена в степень, равную количеству цифр числа. Наименьшее из них — 153, равное 1³ + 5³ + 3³. Следующее такое число — 370 = 3³ + 7³ + 0³. Далее мы приведем поистине впечатляющее самовлюбленное число: 4¹⁰ + 6¹⁰ + 7¹⁰ + 9¹⁰ + 3¹⁰ + 0¹⁰ + 7¹⁰ + 7¹⁰ + 7¹⁰ + 4¹⁰ = 4679307774.

Несчастливые числа

Вы увидели, что числа могут быть счастливыми, дружественными и т. д. Но кроме них существуют и несчастливые числа. Несчастливым называется любое натуральное число, запись которого в двоичной системе счисления содержит четное число единиц. К ним относятся, например, 12 и 15, так как 12 = 1100₂ и 15 = 1111₂. Неизвестно, чем объясняется подобная неприязнь или недоверие к единице, тем не менее эти числа называются именно так. Числа с нечетным числом единиц в двоичной записи называются одиозными.

Числа-палиндромы

Палиндромами называются числа, которые одинаково читаются в обоих направлениях, например, 242. Мы выбрали это число в качестве примера не случайно: если сложить это число с самим собой, получится новое число-палиндром: 242 + 242 = 484. Последнее число можно выразить в другой форме, которая также будет палиндромом: 22².

Наибольшее известное число-палиндром было открыто Харви Дабнером в 1991 году. Оно записывается так: 10¹¹³¹⁰ + 4661664∙10⁵⁶⁵² + 1. Если обозначить за 0₁₀₀ 100 идущих подряд нулей, то это число будет выглядеть так:

10₅₆₅,46616640₅₆₅₁1.

Конгруэнтные числа

Два целых числа называются конгруэнтными по модулю m, если при делении на m они дают одинаковый остаток. Например, 9 и 5 конгруэнтны по модулю 4, так как при делении на 4 оба этих числа дают в остатке 1. Приведем еще несколько примеров: 72 и 47 конгруэнтны по модулю 5 (оба при делении на 5 дают в остатке 2), 19 и 12 конгруэнтны по модулю 7 (оба при делении на 7 дают остаток 5).

Избыточные числа

12 — первое избыточное число, оно меньше суммы своих делителей, не считая самого себя: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Другой пример — 24: сумма его делителей — 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 12–36. Избыточность числа 24 равна 36 — (2∙24) = 12. Существует всего 21 избыточное число, меньшее 100: 12, 18, 20, 24, 30, 36… Все они четные.

Определить их можно и другим способом: избыточным является всякое n, для которого выполняется условие σ(n) > 2n, где σ(n) — сумма всех делителей числа n, включая его само. Избыточность этого числа равняется σ(n) — 2n.

Избыточные числа — это числа с достаточным количеством разных простых делителей. Противоположны им недостаточные числа — все простые числа и их степени. Все числа, кратные избыточному числу, также являются избыточными, а любой делитель недостаточного числа сам является недостаточным числом.

Репьюниты

Репьюниты — это числа, запись которых состоит из одних единиц: 1, 11, 111, 1111… Они обозначаются R_n, где n — число единиц в записи числа. Единственные репьюниты, о которых известно, что они простые, — это R₂, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇ и R₁₀₃₁. Если R_n простое число, то n также будет простым, но не наоборот: если n простое, это не означает, что R_n будет простым. Рассмотрим любопытное представление числа R₃₈:

R₃₈ = 11∙909 090 909 090 909 091 ∙ 1111111111111111111,

возможное благодаря тому, что 38 = 2∙19. Это же число можно представить и в виде:

10 000 000 000 000 000 001 ∙ 1111111111111111111 = R₃₈.

Очевидно, что репьюниты являются разновидностью чисел-палиндромов.

Праймориалы

Праймориалы — это числа вида p# ± 1, где р# — произведение всех простых чисел, меньших либо равных р. Так, 3# + 1 = 2∙3 + 1 = 7. Следовательно, праймориал 3# + 1 является простым числом. Однако не все праймориалы — простые числа. Например, 13# + 1 = (2∙3∙7∙11∙13) + 1 = 30031 = 59∙509 — этот праймориал не является простым.

Наибольшим известным праймориалом по состоянию на 1993 год было число 24029# + 1, открытое Крисом Колдуэллом и содержащее 10387 цифр. Наибольший известный на сегодняшний день праймориал — это 392113# + 1, запись которого содержит 169 966 цифр. Это число в 2001 году вычислила группа под названием р16.

Пирамидальные числа

Если бы пушечные ядра можно было выложить так, что каждый слой имел бы форму квадрата, то возможное число ядер при такой укладке описывалось бы следующей последовательностью: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140…

Общая формула n-го члена этой последовательности выглядит так:

n∙(n + 1)∙(2n +1)/6.

Другие пирамидальные числа можно определить для укладки, в которой каждый слой имеет форму пятиугольника, шестиугольника и т. д., однако выложить ядра в форме других правильных многоугольников невозможно.

Формула, позволяющая найти число ядер во всех слоях до n-го для, например, пятиугольной пирамиды, выглядит так: 1/2n²∙(n + 1).

Циклические числа

Циклическим называется натуральное n-значное число, которое при умножении на любое другое натуральное число от 1 до n дает число, записанное теми же цифрами, что и исходное число, с циклическим сдвигом. Наиболее известным примером циклического числа является 142857, которое при умножении на 2 дает 285714, при умножении на 3 — 428571. Ниже приведены произведения этого числа на натуральные числа от 1 до 6:

142857∙1 = 142857

142857∙2 = 285714

142857∙3 = 428571

142857∙4 = 571428

142857∙5 = 714285

142857∙6 = 857142.

Еще одно любопытное свойство этого числа заключается в том, что сумма трех первых и трех последних чисел как в прямом, так и в обратном порядке дает 999 999. Быть может, причина в том, что 142857 7 дает 999999?

Кроме того, 142 857 361 = 51571377 — если сложить цифры этого числа в тройках по разрядам, получим: 51 + 571 + 377 = 999, а также 51 + 57 + 13 + 77 = 198, сумма половин которого (01 + 98) дает 99.

Продолговатые числа

Это число, единицы которого можно записать в виде прямоугольника с длинами сторон больше 1. Это определение лучше продемонстрировать на примере. Рассмотрим число 12, которое является продолговатым. Его можно представить в виде прямоугольника двумя разными способами.

Размеры прямоугольников, в виде которых можно представить число 12 (и любое другое продолговатое число), определяются разложением этого числа на пары множителей. Для числа 12 такими парами будут:

3∙4 = 12,

2∙6 = 12.

Его можно представить в виде прямоугольника всего двумя способами. А число 15? Оно раскладывается на два множителя единственным образом: 3∙5 = 15.

Глухие числа

Глухими числами иногда называют натуральные числа, для которых нельзя вычислить точное значение корня. Пример: √2 нельзя представить как целое число, следовательно, 2 является глухим числом. √4, напротив, можно представить как 2, следовательно, это число не является глухим.

Автоморфные числа

Автоморфным называется число, десятичная запись квадрата которого оканчивается цифрами самого этого числа. Опустим тривиальные примеры: 0, 1, 5 и 6 — единственные автоморфные числа, содержащие всего одну цифру. Двузначными автоморфными числами являются 25, квадрат которого равен 625, и 76, квадрат которого равен 5776. Трехзначными автоморфными числами являются 376 и 625.

Эти числа словно сохраняют часть себя при возведении в квадрат. Для каждого разряда существует не более двух автоморфных чисел: одно из них будет оканчиваться на 5, другое — на 6. Но чаще всего для данного числа знаков существует всего одно такое число. Единственное четырехзначное автоморфное число — 9376, единственное пятизначное — 90625.

Триморфные числа

Триморфные числа подобны автоморфным с той лишь разницей, что этим свойством обладают кубы чисел: 4³ = 64, 24³ = 13824, 249³ = 15438249. Все автоморфные числа также являются триморфными.

Прямоугольные числа

Прямоугольное число — это число вида n∙(n + 1), где n — натуральное. Определение этого числа очень простое: оно равно произведению двух последовательных чисел. N-e прямоугольное число равно удвоенному n-му треугольному числу и на n единиц больше, чем n-е квадратное число. Первые прямоугольные числа таковы: 0, 2, 6,12, 20, 30, 42, 56, 72, 90,110,132,156,182, 210, 240, 272, 306…

Эти числа называются прямоугольными, так как их можно представить в следующем виде.

Десятиугольное число

Это число, которое можно представить в виде десятиугольника.

Десятиугольное число для натурального n определяется формулой: 4n² — 3n, где n > 0. Первыми десятиугольными числами являются: 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370… В ряду десятиугольных чисел всегда чередуются четные и нечетные числа.

Октаэдральные числа

Аналогично десятиугольным числам октаэдральные числа можно представить в виде октаэдра или двух четырехугольных пирамид, соединенных основаниями. Вычисляются они по следующей формуле:

О_n = (1/3)∙(2n³ + n).

Первыми октаэдральными числами являются: 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489… Сэр Фредерик Поллок в 1850 году предположил, что всякое число можно представить в виде суммы не более семи октаэдральных чисел.

Бипростые числа

Джереми Фаррелл обозначил словом emirp (от английского prime — «простое число» — записанного в обратном порядке) простые числа, которые не являются палиндромами и которые при записи в обратном порядке также дают простое число. Последним «бипростым» годом был 1979-й, следующим будет 3011-й. К сожалению, в обоих случаях одна из цифр повторяется, в то время как больший интерес представляют бипростые числа без повторяющихся цифр. Первыми числами этого ряда являются: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107… Очевидно, что множество бипростых чисел без повторяющихся цифр является конечным, так как в любом числе, содержащем более десяти цифр, одна из них будет повторяться.

193 939 — единственное шестизначное бипростое число, которое является циклическим. Если записать его цифры в виде окружности, то можно выбрать любую из них, пойти по часовой или против часовой стрелки, и результатом всегда будет простое шестизначное число. Четырехзначных, пятизначных и семизначных циклических бипростых чисел не существует.

Странные числа

Это числа, которые меньше суммы своих делителей, при этом никакая частичная сумма делителей не будет равна этому числу. Странными числами, не превышающими 10000, являются: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912 и 9272. Все они четные. Математик Пол Эрдёш в свое время предложил приз в 10 долларов тому, кто найдет первое нечетное странное число, и 25 долларов за доказательство того, что таких чисел не существует. Сегодня неизвестно, существуют ли нечетные странные числа, однако если хотя бы одно такое число существует, оно больше 2³² < 4∙10⁹.

Зеркальные числа

Два натуральных числа называются зеркальными, если их произведение равно произведению чисел, записанных в обратном порядке. Например, 23∙64 = 46∙32.

Другими парами зеркальных чисел являются:

42∙36 = 24∙63.

21∙36 = 12∙63.

21∙48 = 12∙84.

31∙26 = 13∙62.

39∙62 = 93∙26.

69∙32 = 96∙23.

41∙28 = 14∙82.

36∙84 = 63∙48.

86∙34 = 68∙43.

Неприкасаемые числа

Неприкасаемым называется натуральное число, которое не равно сумме собственных делителей никакого другого числа. Неприкасаемыми являются числа 52 и 88.

Числа Капрекара

Число Капрекара — это число, обладающее следующим свойством: если возвести его в квадрат, взять определенное число цифр справа и сложить их с числом, образованным цифрами, оставшимися слева, то получится исходное число. Пример: 297² = 88209, сумма его частей равна 88 + 209 = 297. Таким образом, 297 является числом Капрекара.

Первыми числами Капрекара являются 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777. Многие последовательные числа Капрекара при сложении, как правило, дают круглые числа. Пример: 11 + 9 = 10; 45 + 55 = 100; 297 + 703 = 1000; 4950 + 5050 = 10000 и т. д.

Число 142857 является числом Капрекара: 142 857² = 20408122449. Разделив это число на две части и сложив их, получим: 20408 + 122449 = 142857. Наименьшим 10-значным числом Капрекара является

1111111111.

Эти яркие и эффектные числа были открыты индийским математиком Даттарайя Рамчандра Капрекаром (1905–1986).

Числа Каталана

Числа Каталана, названные в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана, описываются формулой:

Числами Каталана являются 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012. Этот, казалось бы, бессмысленный ряд оказался полезным при решении многих задач. Например, сколькими способами можно разделить правильный п-угольник на (п — 2) треугольника, если при этом все возможные повороты треугольников будут учитываться отдельно? Ответом будут числа Каталана.

Эжен Шарль Каталан (1814–1894) составил числовой ряд, впоследствии названный его именем, для решения задач комбинаторики.

Или сколькими способами можно расставить скобки в последовательности из n + 1 буквы так, чтобы внутри каждой пары скобок находилось две буквы? Для последовательности ab возможен один способ — (ab), для последовательности abc — два способа: (ab)c и а(Ьс), для последовательности abed — пять способов и т. д. И вновь ответом будут числа Каталана.

Числа Софи Жермен

Числа Софи Жермен, названные в честь их первооткрывателя, французской женщины-математика Софи Жермен, являются простыми числами особого вида: если умножить их на 2 и прибавить к ним 1, результатом вновь будет простое число. На языке алгебры р является простым числом Софи Жермен, если 2р + 1 также является простым. Наименьшее простое число Софи Жермен — 2, так как 2∙2 + + 1 = 5 — простое число. Следующим таким числом является 3, так как 2∙3 + 1 = 7. Довольно долго наибольшим известным числом Софи Жермен было 9402702309 x 10³⁰⁰⁰ + 1. В марте 2010 года было найдено новое рекордное простое число Софи Жермен:

183027∙2²⁶⁵⁴⁴⁰ + 1.

Его запись содержит 79911 цифр. Как и для всякого числа Софи Жермен, при умножении на 2 и сложении результата с единицей мы получим новое простое число:

183027∙2²⁶⁵⁴⁴¹ +1.

Предполагается (но не доказано), что простых чисел Софи Жермен, равно как и самих простых чисел, бесконечно много.

Числа Лишрел

Число Лишрел — это натуральное число, которое нельзя превратить в палиндром путем сложения исходного числа с его «перевернутой» копией (числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке). Этот процесс называется 196-алгоритмом, так как 196 — первое натуральное число, обладающее этим свойством.

Как правило, число-палиндром получается с помощью простых правил арифметики: к данному числу прибавляют число, записанное теми же цифрами, что и исходное, но в обратном порядке. Это действие повторяется до тех пор, пока не будет получено число-палиндром. Пример:

56 + 65 = 121 — 1 шаг.

139 + 931 = 1070; 1070 + 0701 = 1771 — два шага.

Однако этот алгоритм работает не всегда. Первое натуральное число, для которого он не выполняется — это число 196. Числа, которые нельзя свести к палиндрому по такому алгоритму, получили название чисел Лишрел благодаря математику Уэйду Ванландигэму (Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил). Сегодня единственное известное число Лиршел — 196, но математики полагают, что этим свойством обладают и другие числа.

Числа Фибоначчи

Эти числа придумал Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (что означает «сын Боначчи»). Числа Фибоначчи обозначаются F. Первыми числами ряда Фибоначчи являются 1,1, 2, 3, 5, 8,13… — каждый член этой последовательности, за исключением второй единицы, равен сумме двух предыдущих.

Расскажем подробнее об этой числовой последовательности, самой известной в математике. Она впервые упоминается в «Книге абака» Фибоначчи (ок. 1175 — ок. 1250) в связи с задачей о размножении кроликов. Фибоначчи задался вопросом: сколько пар кроликов родится за один год, если в начале года у нас есть всего одна пара кроликов и если у этой пары каждый месяц рождается пара кроликов, способная производить потомство начиная со второго месяца? Если предположить, что кролики размножаются беспрерывно, то их число в конце каждого месяца будет описываться следующей любопытной последовательностью:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Графически эту задачу можно представить так:

Восьмиконечная звезда означает пару, способную производить потомство, круг — пару, не способную воспроизводить потомство. Обратите внимание, что числа в правом столбце образуют последовательность Фибоначчи — это название придумал Эдуард Люка в 1877 году.

Благодаря своим свойствам ряд Фибоначчи является самым изучаемым числовым рядом в математике. Основное из этих свойств, по нашему мнению, связано с золотым числом, или золотым сечением (Ф). Чтобы продемонстрировать это свойство, найдем отношение каждого числа Фибоначчи к предыдущему:

F₂/F₁ = 1/1 = 1

F₃/F₂ = 2/1 = 2

F₄/F₃ = 3/2 = 1,5

F₅/F₄ = 5/3 = 1,6666

F₆/F₅ = 8/5 = 1,6

F₇/F₆ = 13/8 = 1,625

F₈/F₇ = 21/13 = 1,61538

Это отношение постепенно приближается к золотому числу (1,61803). И действительно, золотое число является пределом описанной нами последовательности:

lim _n->oo F_n/F_n-1 = Ф

Числа (или последовательность) трибоначчи

Так называются числа последовательности, аналогичной ряду Фибоначчи, с той лишь разницей, что числа складываются не попарно, а по 3, то есть:

А(1) = 1

А(2) = 1

А(3) = 2

А(4) = 4

А(5) = 7.

Рекуррентная формула общего члена этой последовательности выглядит так: А(n) = А(n — 3) + А(n — 2) + А(n — 1) для n > 3.

Первые члены этой последовательности таковы: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24…

Числа Мерсенна

Числами Мерсенна (обозначаются буквой М) называются числа, вычисленные по формуле M_p = 2^Р — 1, где р — натуральное. Эти числа придумал французский математик Марен Мерсенн (1588–1648).

Если р — составное число, то М_p = 2^Р — 1 также будет составным.

Числа Мерсенна крайне полезны при поисках очень больших простых чисел: числа, найденные по этой формуле для простых р, скорее всего, также будут простыми. Однако это правило выполняется не всегда. Сегодня известно сравнительно немного простых чисел Мерсенна. Три наибольших простых числа, известных на данный момент, являются числами Мерсенна:

2^43112609 — 1 — это число содержит 12978189 цифр;

2^42643801 —1 — это число содержит 12837064 цифры;

2^37156667 —1 — это число содержит 11185272 цифры.

Числа Улама

Эти числа входят в последовательность 1, 2, 3, 4, 6, 8,11, 13, 16,18, 26, 28, 36, 38, 47…, определенную польским математиком Станиславом Уламом. Начиная a₁ = 1, а₂ = 2, члены этого ряда определяются как наименьшие числа, которые можно представить единственным образом в виде суммы двух предыдущих членов. Так,

3 = 1 + 2

4 = 1 + 3

6 = 4 + 2.

Число 5 не является членом этой последовательности, так как 5 = 2 + 3 = 1 + 4, то есть его можно выразить двумя способами.

Числа Перрена

Это числа, принадлежащие последовательности, которая описывается следующей рекуррентной формулой:

Р(n) = Р(n — 2) + Р(n — 3) при n > 2.

Так, первыми числами этой последовательности являются

Р(0) = 3, Р(1) = 0, Р(2) = 2, Р(3) = 3… => Р(n) = Р(n — 2) + Р(n — 3),

в виде числового ряда они записываются так: 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12,17, 22… Эти числа получили свое название в честь французского математика Перрена, который описал их в 1899 году.

Трансцендентные числа Лиувилля

Трансцендентные числа Лиувилля — это числа вида

Σ^oo_n=1 (1/10^n!)= 1/10 + 1/10² + 1/10⁶ + 1/10²⁴ + …

В традиционном виде они записываются так:

10^-1! + 10^-2! + 10^-3! + 10^-4! +

в виде десятичной дроби:

0,110001000000000000000001000…

В десятичной записи этого числа на всех позициях содержатся нули, за исключением тех, что совпадают с n! (n факториал), где n — последовательные натуральные числа. Сам французский математик Жозеф Лиувилль в 1844 году доказал, что трансцендентные числа можно составить описанным выше способом. Приведенное нами число является простейшим из подобных чисел.

Именно открытие трансцендентных чисел позволило доказать невозможность решения различных геометрических задач древности на построение с помощью циркуля и линейки, в частности задачи о квадратуре круга, где трансцендентность числа π не позволяет найти какое-либо решение.

Числа Ферма

Эти числа, получившие свое название в честь французского математика Пьера Ферма, являются целыми положительными числами вида:

F_n = 2²ⁿ +1,

где n — целое неотрицательное число. Первые четыре числа Ферма — это:

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

f₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

…

Эти числа возрастают экспоненциально: F₈ = 2²⁵⁶ + 1 содержит 78 цифр.

Числа Фридмана

Числа Фридмана — это разновидность самовлюбленных чисел (напомним, что самовлюбленное число — это число, равное сумме своих цифр, каждая из которых возведена в степень, равную количеству разрядов исходного числа), которые в рассматриваемой системе счисления могут быть составлены из цифр исходного числа с помощью знаков +, —, х, / и ^ (оператор возведения в степень). Приоритет операций разрешается изменять с помощью скобок. Также допускается запись цифр не по порядку и объединение двух цифр.

Первыми числами Фридмана являются: 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296.

Рассмотрим подробнее первые числа этого ряда:

25 = 5²

121 = 11²

125 = 5⁽¹⁺²⁾

126 = 21∙6…

* * *

Число Фридмана называется приятным, если для его получения не требуется изменять порядок цифр. Первыми числами, которые обладают этим дополнительным свойством, являются: 127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613… Если число Фридмана образовано всеми числами от 1 до 9, оно называется панцифровым. Такими числами Фридмана являются:

123456789 = ((86 + 2∙7)⁵ — 91)/3⁴ и

987654321 = (8∙(97 + 6/2)⁵ + 1)/3⁴.

Если разрешить использование факториалов и корней, числами Фридмана также будут следующие, весьма любопытные числа:

Число Чамперноуна

Число Чамперноуна (также известное как константа С₁₀, что подразумевает запись этого числа в десятичной системе счисления) — это число 0,123456789101112…, открытое Дэвидом Чамперноуном (1912–2000). Оно состоит из всех натуральных чисел, записанных по порядку. В записи этого числа с одинаковой вероятностью встречаются все возможные последовательности чисел любой длины. Эта константа является трансцендентным числом (его десятичная запись бесконечно велика), что доказал Курт Малер.

Приведенное выше число записано в десятичной системе счисления, однако константы Чамперноуна можно записать и в любой другой системе счисления, например в двоичной:

C₂ = 0,110 11100 101110 111.

Эту константу для данной системы счисления можно представить как сумму бес конечного ряда:

Числа Пелла

Числа Пелла, названные в честь Джона Пелла (1611–1685), были известны и до него, однако именно этот британский математик дал им название. Эти числа образуют любопытный ряд — они являются знаменателями дробей, которые представляют собой последовательные приближения квадратного корня из 2. Первые члены последовательности этих дробей таковы: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29…, поэтому первыми числами Пелла будут 1, 2, 5, 12 и 29.

Числители этих дробей соответственно в два раза меньше так называемых чисел Пелла-Люка (по имени Эдуарда Люка) — 2, 6, 14, 34, 82…

Члены обеих последовательностей можно вычислить по рекуррентной формуле, схожей с той, по которой рассчитываются числа Фибоначчи. Обе эти последовательности возрастают экспоненциально, а соотношение их членов подчиняется серебряному соотношению, равному 1 + √2. Помимо вычисления приближенных значений квадратного корня из 2, числа Пелла можно использовать для нахождения треугольных чисел и решения некоторых задач комбинаторики.

Числа Маркова

Числом Маркова называется положительное число х, у или z, которое является частью решения диофантова уравнения Маркова:

х² + у² + z² = 3xyz.

Первыми числами Маркова являются: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194. Эти числа описывают координаты так называемых троек Маркова:

(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 5), (1; 5; 13), (2; 5; 29), (1; 13; 34), (1; 34; 89), (2; 29; 169), (5; 13; 194), (1; 89; 233), (5; 29; 433), (89; 233; 610) и т. д.

Русский математик Андрей Марков (1856–1922), который совершил несколько блестящих открытий в теории чисел и теории вероятностей.

Их можно представить следующим элегантным образом — в виде дерева, каждой ветви которого соответствует тройка Маркова.

Существует бесконечное множество чисел и троек Маркова.

Числа Пуле

Число Пуле — это число n, для которого выполняется тождество:

Числами Пуле являются все нечетные простые числа, числа Ферма, числа Мерсенна и числа Кармайкла.

Первые числа Пуле — 341, 561, 645, 1105, 1387… (второе и четвертое число этой последовательности также являются числами Кармайкла).

Суперчисла Пуле

Суперчисло Пуле — это число Пуле, каждый делитель d которого также является делителем следующего числа:

2^d - 2.

Например, суперчислом Пуле является 341, поскольку его делители (1, 11, 31, 341) удовлетворяют указанному выше условию, а именно:

(2¹¹ — 2)/11 = 2046/11 = 186,

(2³¹ — 2)/31 = 2147483646/31 = 69273666,

(2³⁴¹ — 2)/341 = 13136332798696798888899954724741608669335164206654835981818117894215788100763407304286671514789484550.

Суперчислами Пуле, меньшими 10000, являются: 341 (11∙31), 1387 (19∙73), 2047 (23∙89), 2701 (37∙73), 3277 (29∙113), 4033 (37∙109), 4369 (17∙257), 4681 (31∙151), 5461 (43∙127), 7957 (73∙109) и 8321 (53∙157). В скобках указаны множители этих чисел.

Числа Кармайкла

Числом Кармайкла называется составное число n, удовлетворяющее условию:

для любого целого а, взаимно простого с n.

Числа Кармайкла получили свое название в честь математика Роберта Кармайкла, который первым занялся их изучением. Эти числа являются псевдопростыми в любой системе счисления. Первыми числами Кармайкла являются: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585… Рассмотрим первое из них:

n = 561 = 3∙11∙17,

следовательно, оно не является простым. Однако а⁵⁶⁰ — 1 делится на 561 для любого а, которое является взаимно простым с 561.

Числа Лейланда

Числа Лейланда получили свое название в честь первооткрывателя — английского математика Пола Лейланда. В теории чисел к ним относятся числа вида х^y + у^x где х и у больше 1. Первыми числами Лейланда являются: 8, 17, 32, 54, 57,100, 145,177, 320, 368, 512. Рассмотрим, как вычисляются первые два числа Лейланда:

для х и у = 2 => 2² + 2² = 4 + 4 = 8

для х и у = 2 и 3 => 2³ + З² = 8 + 9 = 17

и т. д. Важно, чтобы х и у были больше 1, в противном случае все числа Лейланда будут иметь вид х¹ + 1^х.

Первыми простыми числами Лейланда являются 17, 593, 32993, 2097 593, которые выражаются в следующем виде: 3² + 2³, 9² + 2⁹, 15² + 2¹⁵, 21² + 2²¹. Наибольшее простое число, которое одновременно является числом Лейланда, — это 2638⁴⁴⁰⁵ + 4405²⁶³⁸, запись которого содержит 15071 цифру.

Числа Каллена

Это числа вида n∙2ⁿ + 1, открытые ирландским математиком Джеймсом Калленом. Они являются простыми при следующих n: 1, 141, 4713, 5795, 6611 и 18496. Для всех остальных n < 30000 числа Каллена являются составными.

Наименьшее простое число Каллена — 141∙2¹⁴¹ + 1. Следующие числа находятся по формуле n∙2ⁿ + 1 для соответствующих значений n. Существует гипотеза, согласно которой простых чисел Каллена бесконечно много, однако она пока не доказана.

Числа Вудала

Число Вудала — это натуральное число вида (n∙2ⁿ — 1). Впервые описал эти числа английский математик Герберт Вудал. Первыми числами Вудала являются: 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895…

Числа Белла

Числа Белла, названные в честь шотландского математика Эрика Темпла Белла, являются членами последовательности 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147,115975, 678570, 4213597…

Они обозначают число способов, которыми можно разложить m пронумерованных шаров в n одинаковых коробок. Например, числа, обозначенные буквами а, b и с, можно разложить в три коробки пятью способами: (abc), (а) (Ьс), (Ь) (ас), (с) (аЬ) и (а) (Ь) (с).

Числа Белла также обозначают число способов, которыми можно разложить на множители составное число, имеющее n различных простых множителей. Так, число 30 раскладывается на простые множители следующим образом: 30 = 2∙3∙5. Это число можно разложить на множители пятью разными способами: 30 = 6∙5 = 3∙10 = 30∙1 = 15∙2 = 2∙3∙5.

Константа Коупленда-Эрдёша

Это число является результатом совместной работы двух математиков: Артура Герберта Коупленда и Пола Эрдёша. Оно записывается так:

0,235711131719232931…

В записи этого числа после запятой последовательно перечислены все простые числа в порядке возрастания.

Эта константа является иррациональной, то есть ее нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые. Из теоремы Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях с помощью этого числа выводится следующее утверждение: для каждого m существуют простые числа вида:

k∙10^m+1 + 1.

Это означает, что существуют простые числа, десятичная запись которых содержит по меньшей мере т последовательных нулей, за которыми следует 1. Отсюда следует, что константа Коупленда-Эрдёша содержит сколь угодно большие последовательности нулей, за которыми следует 1, а стало быть, она является бесконечной непериодической десятичной дробью. Константа Коупленда-Эрдёша определяется формулой:

где р(n) — n-е простое число.

Простое число Чена

Простое число р является числом Чена, если р + 2 является простым или его можно представить в виде произведения двух простых. Четное число 2р + 2 удовлетворяет теореме Чена. Математик Чен Цзинжунь, в честь которого названы эти числа, в 1966 году доказал, что существует бесконечное множество таких чисел.

Первыми простыми числами Чена являются: 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83. Первые простые числа, которые не являются числами Чена, таковы: 43, 61, 73, 79, 97,103,151,163.

Любопытно, что существует магический квадрат — составил его Рудольф Ондрейка, — все числа которого являются простыми числами Чена.

Это квадрат размером 3x3, «магическая константа» которого равна 177. Наибольшее простое число Чена, известное на сегодняшний день, равно 65516468355∙2³³³³³³ — 1 и содержит 100355 цифр.

Числа Смита

Это целые числа, для которых сумма их цифр равна сумме цифр их простых множителей, записанных без использования степеней. Например, 666 является числом Смита (обратите внимание, что все цифры нужно складывать по отдельности — так, для множителя 37 нужно сложить 3 и 7):

666 = 2∙3∙3∙37,

6 + 6 + 6 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7.

Первыми числами Смита являются: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086. Любопытно, что эти числа открыл не математик по фамилии Смит, а Альберт Вилански из Университета Лихай, который как-то заметил, что номер телефона его зятя Гарольда Смита обладает этим примечательным свойством. Числа Смита были представлены в 1982 году.

Числа Люка

Эти числа, названные в честь открывшего их французского математика Эдуарда Люка, являются членами последовательности: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322…, которая очень тесно связана с числами Фибоначчи. Каждый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих, отношение последовательных членов стремится к золотому числу.

Формула для n-го числа этого ряда очень похожа на формулу для чисел Фибоначчи, так как для n = 0 число Люка равно 2, n = 1–1, далее используется следующая формула: L (n — 1) + L (n + 1) при n > 1.

Связь чисел Фибоначчи и чисел Люка описывается следующей формулой:

Эдуард Люка (1842–1891) глубоко изучил числа Фибоначчи и создал свою числовую последовательность.

Число Грэма

Число Грэма, названное в честь математика Рональда Грэма, имеет вид 3↑↑↑↑3, где 3↑3 означает 3, возведенное в куб, и равно G = f⁶⁴ (4), где f(n) = 3ⁿ↑3. Иными словами, это число имеет 64 уровня множителей вида 3↑↑…↑↑3. Эти числа нельзя записать в обычной форме с помощью степеней и показателей степени, возведенных в степень, так как для этого не хватит всех чернил во Вселенной. По этой причине число Грэма записывается с помощью особой стрелочной нотации, предложенной Дональдом Кнутом.

В этой нотации 3↑3, как мы уже упоминали, означает 3 в кубе — в таком виде оно записывается в листингах компьютерных программ. 3↑↑3 означает 3↑(3↑3), или 3 в 27-й степени — уже огромное число: 3↑27 = 7625597484987. Однако это число нетрудно представить в виде степенной башни: 3^3↑3. Тем не менее 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) равно уже 3↑↑7625597484987 = 3↑3↑3↑3… 7625597484987 раз. Даже в новой нотации 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) полученная степенная башня будет невообразимо велика.

В течение многих лет это число было самым большим числом, когда-либо использованным в доказательстве, и в этом качестве оно вошло в Книгу рекордов Гиннесса (сегодня в некоторых математических доказательствах используются еще большие числа, например в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала). Число Грэма намного больше, чем гугол и гуголплекс (об этих числах мы расскажем далее). По сути, оно настолько велико, что его нельзя представить полностью, известно лишь, что его последними цифрами являются…2464195387.

Страница кафедры математики Калифорнийского университета, посвященная Рону Грэму — создателю невообразимо большого числа.

Постоянная Эйлера-Маскерони

Это число, также известное как постоянная Эйлера, обозначается греческой буквой гамма (γ) и используется главным образом в теории чисел. Оно определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

Его приближенное значение равно:

γ = 0,577215664901532860606512090082402431…

Эйлер вычислил его значение до 16-го знака. До сих пор не известно, является ли это число иррациональным и трансцендентным, однако известно, что если это число рациональное и его можно представить в виде а/Ь, то Ь должно превышать 10¹⁰⁰⁰⁰. Как и другие похожие числа, постоянная Эйлера-Маскерони привлекла внимание исследователей, занимающихся вычислениями. Александр Йи вычислил 116 миллионов знаков этого числа, пользуясь лишь своим ноутбуком среднего уровня с процессором Intel Core Duo частотой 1,6 ГГц под управлением Windows ХР. На вычисления потребовалось 38 часов, еще 48 — на проверку результата.

Постоянные Фейгенбаума

Постоянные Фейгенбаума, найденные математиком Митчеллом Фейгенбаумом в 1975-м, — это два вещественных числа, которые используются в бифуркационных диаграммах в теории хаоса. Первая постоянная Фейгенбаума определяется как предел отношения двух последовательных интервалов бифуркации:

Ее приближенное значение равно:

δ = 4,66920160910299067185320382…

Вторая постоянная Фейгенбаума определяется как предел отношения двух последовательных расстояний между ближайшими ветвями х_m (максимума функции f):

Ее приближенное значение равно:

α ~ 2,502907875095892822283902873218…

Эти постоянные имеют особое применение при анализе динамических систем. Оба числа являются вещественными. Считается, что они трансцендентны (разновидность иррациональных чисел, которые нельзя выразить как корень многочлена с целыми коэффициентами), однако эта гипотеза пока не доказана.

Числа харшад

Числом харшад называется целое число, которое, будучи записанным в данной системе счисления, делится нацело на сумму своих цифр. Эти числа описал индийский математик Даттарайя Рамчандра Капрекар. Слово «харшад» на санскрите означает «великая радость». Эти числа также известны как числа Найвена, так как их представил в своей статье американский математик Айван Мортон Найвен в 1997 году.

Все целые числа от 0 до числа, выражающего основание данной системы счисления, являются числами харшад. Так, в десятичной системе счисления числами харшад будут все числа от 1 до 9. Двузначными числами харшад в десятичной системе счисления являются: 10, 12, 18, 20, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48.

Число Капрекара, 6174, также является числом харшад, поскольку делится без остатка на сумму своих цифр:

6174/(6 + 1 + 7 + 4) = 6174/18 = 343.

Пары Рута-Аарона

Парами Рута-Аарона называются пары последовательных чисел (например, 714 и 715), которые обладают любопытными свойствами. Открывший их математик Карл Померане, вместо того чтобы назвать их своим именем, назвал их парами Рута-Аарона в честь двух бейсболистов, которые за карьеру набрали именно столько хоумранов: 714 и 715.

Арифметические свойства этих чисел столь примечательны, что многие наделяют их эзотерическим значением.

1. Произведение этих чисел равно произведению первых семи простых чисел:

714∙715 = 2∙3∙5∙7∙11∙13∙17.

2. Сумма простых множителей 714 равна сумме простых множителей 715: 714 = 2∙3∙7∙17; 715 = 5∙11∙13, и, как следствие, 2 + 3 + 7 +17 = 5 + 11 + 13.

Число, или постоянная Апери

Постоянная Апери определяется как число £ (3) и вычисляется по формуле:

ζ(3) = 1 + (1/2³) + (1/3³) + (1/4³) +…,

где ζ — дзета-функция Римана. Значение этой постоянной равно:

ζ(3) = 1,202056903159594285399738161511449990764986292…

Эту постоянную открыл математик греческо-французского происхождения Роже Апери, который в 1977 году доказал иррациональность этого числа.

Число О'Райли

Ирландский писатель Ламберт О’Райли в одном из своих романов привел любопытное число:

122333444455555666666777777788888888999999999.

Как вы можете видеть, это число является конечным и содержит в своей записи все натуральные числа от 0 до 9, при этом каждое число количеством своих повторений указывает само на себя: единица повторяется один раз, двойка — два раза и т. д. до девяти девяток. О’Райли мог пойти дальше и записать после девяти девяток десять десяток, затем одиннадцать раз — число одиннадцать и т. д. до бесконечности.

Число, напоминающее о криптографии

Следующее число: 114 381625 757 888 867 669*235 779 976146 612 010 218 296 721 242 362 562 561 842 935 706 935 245 733 897 830 597 123 563 958 705 058 989 075 147 599 290 026 879 543 541 использовали Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман в качестве ключа криптографической системы. Они назвали это число R 129 по числу его цифр и бросили вызов всему миру: тот, кто найдет два простых множителя, на которые можно разложить R 129, получит ключ к зашифрованному сообщению. Они были убеждены, что шифр невозможно взломать. Однако в 1993 году группа из более чем 600 ученых и любителей со всего мира начала методичную атаку на это число, координируя свои усилия через Интернет. Менее чем через год им удалось разложить это число на два простых множителя — один из них содержал 65 цифр, другой — 64. Зашифрованное сообщение звучало так: The magic words are squeamish ossifrage («Волшебные слова — брезгливая скопа»). Позднее, в 1996 году, другое подобное число, известное как R 130 (оно содержало 130 цифр), было разложено группой голландских исследователей на два простых множителя, каждый из которых содержал 65 цифр.

Числа из другого мира

Это несколько необычное название носит ряд чисел, которые выходят за пределы нашего воображения, — кватернионы, октонионы и седенионы.

Кватернионами называется расширение вещественных чисел, подобное комплексным числам и обладающее схожими свойствами. Комплексные числа определяются как расширение вещественных чисел путем добавления мнимой единицы i, такой что i² = — 1. Кватернионы же сформированы путем добавления нескольких мнимых единиц, i, j и k, к вещественным числам так, что

i² = j² = k² = ijk = — 1.

Эти равенства можно представить в так называемой таблице Кэли.

Кватернионы ввел Уильям Гамильтон в 1843 году в попытках расширить комплексные числа на большее число измерений. Определить комплексные числа для трех измерений ему не удалось, однако попытка ввести подобные числа в четырех измерениях оказалась более удачной. Созданные числа Гамильтон назвал кватернионами. Озарение пришло к нему совершенно неожиданно — когда он прогуливался с женой. Сам математик так описывал этот момент: «[Кватернионы] увидели свет уже полностью зрелыми, 16 октября 1843 года, когда я прогуливался с госпожой Гамильтон по Дублину возле моста Брум Бридж. В тот самый момент я почувствовал, что гальваническая цепь рассуждений замкнулась, и из нее посыпались искры — фундаментальные уравнения, связывающие i, j, k [новые числа, которые сыграли ту же роль, что и число i на множестве комплексных чисел], в том виде, в каком я неизменно использовал их впоследствии… В тот момент я почувствовал, что решил задачу и удовлетворил интеллектуальную потребность, которая преследовала меня более пятнадцати лет».

* * *

Октонионы, в свою очередь, определяются как неассоциативное расширение кватернионов. Их ввел Джон Грейвс в 1843 году и одновременно с ним и независимо от него — Артур Кэли, который опубликовал результаты своего открытия в 1845 году, поэтому октонионы также часто называют числами Кэли.

Вокруг октонионов построена 8-мерная алгебра над вещественными числами. Каждый октонион представляет собой линейную комбинацию 1, е₁, е₂, е₃ е₄, е₅, е₆, е₇. Перемножаются октонионы согласно следующей таблице.

Наконец, седенионы — это эквиваленты октонионов в 16-мерной алгебре. Таблица умножения седенионов слишком сложна, чтобы приводить ее здесь. Эти числа действительно пришли из другого мира, не так ли?