Жемчужина Эйлера

Глава 18 Узловатая проблема

Одним из самых ранних топологических исследований было изучение узлов. Все мы знакомы с узлами. Они привязывают лодку к берегу, не дают свалиться с ног ботинкам и безнадежно запутывают кабели и провода рядом с компьютерами. Но это, строго говоря, не математические узлы. У математического узла нет свободных концов; это топологическая окружность в трехмерном евклидовом пространстве. (Чтобы превратить электрический удлинитель в математический узел, просто воткните вилку на одном его конце в розетку на другом.)

На рис. 18.1 показаны проекции шести математических узлов: тривиальный узел, трилистник, восьмерка, печать Соломона, пряничный человечек (за неимением общепринятого названия) и квадратный узел.

Рис. 18.1. Тривиальный узел, трилистник, восьмерка, печать Соломона, пряничный человечек и квадратный узел

В предыдущей главе мы подчеркивали, что топологов обычно интересуют внутренние, а не внешние свойства топологических объектов. Теория узлов — примечательное исключение. Узел интересен тем, как окружность располагается в пространстве, — своей внешней конфигурацией. Внутренне все узлы идентичны — каждый гомеоморфен окружности. Поэтому при изучении узлов «одинаковый» не значит гомеоморфный. Два узла считаются одинаковыми, если один можно непрерывно деформировать в другой, т. е. если между ними существует изотопия. Первые три узла на рис. 18.2 изотопичны (все они эквивалентны тривиальному узлу). Изотопичны и последние два узла (оба эквивалентны трилистнику). Но, как мы увидим, тривиальный узел неизотопичен трилистнику.

Рис. 18.2. Три проекции тривиального узла и две проекции трилистника

Главная цель теории узлов — их классификация. Как и для поверхностей, мы хотели бы найти признаки, позволяющие сказать, одинаковы два узла или различны. В идеале желательно, как и для поверхностей, составить исчерпывающий и не содержащий повторов список всех узлов. На данный момент полного списка еще не существует, но в этом направлении многое сделано. Скромная цель этой главы — разработать средства, с помощью которых можно было бы доказать, что все узлы на рис. 18.1 различны. Одно из таких средств требует классификации поверхностей и эйлеровой характеристики.

Изучение и использование узлов столь же старо, сколь само человечество. Для любого мыслимого применения изобретено великое множество морских узлов, петель, сращиваний и арканов. Во многих культурах узлы и их проекции — постоянные темы ювелирных украшений и художественных работ. Они также были важны в производстве тканей, ибо что такое кусок ткани, как не гигантский узел? Математическое изучение узлов — гораздо более молодая дисциплина; первое математическое исследование датируется XVIII веком. Топологическая значимость узлов была впервые осознана Александром-Теофилем Вандермондом (1735–1796) в 1771 году, всего через тридцать лет после выхода статьи Эйлера о кёнигсбергских мостах. Короткая статья Вандермонда «Remarques sur les problemes de situation» (Замечания о проблемах положения) начинается словами:

Несмотря на многообещающее начало, занялся он не узлами, а топологическим подходом к так называемой «задаче о ходе коня» в шахматах. И все же дал краткое описание того, как можно символически описать некоторые текстильные узоры.

Из его рисунков и заметок мы знаем, что Гаусс задумывался об узлах еще в 1794 году, но, увы, ничего не опубликовал на эту тему. В одной рукописной жемчужине, датированной 1833 годом, он привел двойной интеграл, который можно было бы использовать для вычисления коэффициента зацепления двух замкнутых кривых — топологический величины, показывающей, сколько раз кривые переплетаются друг с другом¹⁶³.

А раз так, то, наверное, неудивительно, что Листинг, один из учеников Гаусса, действительно начал математически изучать узлы. Его вклад можно найти в монографии 1847 года «Топология»¹⁶⁴, часто цитируемой сокровищнице топологических курьезов. Хотя Листинг не предложил классификацию всех узлов, его, очевидно, интересовали методы различения двух узлов. Например, он утверждал, что трилистник и его зеркальное изображение — не один и тот же узел. Но предпринятое им изучение узлов было проигнорировано точно так же, как изучение ленты Мёбиуса. В итоге возникновение теории узлов связывают не с Листингом, а с двумя шотландскими физиками, работавшими над новой теорией атома.

В 1867 году Уильям Томсон (1824–1907) сделал предположение, что атомы образованы вихрями, или узлами в эфире. Томсон, больше известный как лорд Кельвин, также ввел абсолютную температурную шкалу и участвовал в проектировании первого трансатлантического телеграфного кабеля (за эту работу он был посвящен в рыцари). Согласно Кельвину, каждому атому соответствовал свой узел или связанный набор узлов, а устойчивость атома объясняется устойчивостью узла при топологической деформации. Это остроумная, хотя и неправильная идея владела умами в течение двух десятилетий.

Модель атома Томсона побудила его приятеля Питера Гатри Тэйта заняться классификацией узлов. В 1877 году Тэйт начал составлять таблицу узлов — он полагал, что создает периодическую таблицу элементов. В конечном итоге этот взгляд на химию был развенчан, но Тэйт продолжил свое исследование. К 1900 году он и американский математик индийского происхождения Чарльз Ньютон Литтл (1858–1923) составили почти полный перечень узлов с десятью или меньшим числом пересечений (имеется в виду пересечение при изображении узла на плоскости — чуть ниже мы еще поговорим о терминологии).

Для классификации узлов Тэйт пользовался в основном своей превосходно развитой интуицией. В последующие годы математики придумали мириады изобретательных инструментов для строгой дифференциации узлов. Большая их часть — инварианты узлов. В главе 17 мы обсуждали топологические инварианты поверхностей. Для узлов инварианты играют такую же роль. Инвариантом узла называется число или иная сущность, ассоциированная с узлом. Если инварианты двух узлов различны, то это должны быть разные узлы.

Рис. 18.3. Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тэйт

Существует много инвариантов узлов, и некоторые описать очень легко. В этой главе мы познакомимся с несколькими инвариантами узлов, включая связанный с поверхностями и эйлеровой характеристикой.

Узел — это окружность, а окружность встречается в качестве края поверхностей. Удивительно, но можно найти поверхности с завязанным в узел краем. На рис. 18.4 мы видим, что тривиальный узел — это край диска (в этом нет ничего неожиданного), а трилистник — край трижды перекрученной ленты Мёбиуса. На рис. 17.10 мы видели еще один пример поверхности с краем в виде трилистника.

Рис. 18.4. Тривиальный узел — это граница диска, а трилистник — край трижды перекрученной ленты Мёбиуса

Замечательно не то, что можно найти поверхность с завязанным в узел краем, а то, что любой узел можно реализовать как край некоторой поверхности.

В качестве забавного эксперимента попробуйте создать поверхности с завязанными в узел краями из мыльных пузырей. Для этого изготовьте узел из жесткой проволоки (плечики для одежды подойдут для небольших узлов, хотя они слишком жесткие и недостаточно длинные для сложных узлов) и погрузите его в мыльный раствор. Проткните дырки, чтобы сформировать одну поверхность[11].

Трилистник на рис. 18.4 — край неориентируемой поверхности (напомним, что в трехмерном пространстве неориентируемая и односторонняя — синонимы). Подобной ситуации можно избежать — если дан произвольный узел, то можно построить ориентируемую поверхность, краем которой будет этот узел. Такая поверхность называется поверхностью Зейферта в честь Герберта Зейферта (1907–1996).

Рис. 18.5. Герберт Зейферт

Быть может, не менее удивительной, чем сама теорема, является простота построения таких поверхностей. Мы приведем элегантный алгоритм Зейферта, открытый им в 1934 году¹⁶⁵.

Проиллюстрируем алгоритм на примере трилистника. Для начала выберем одну из двух возможных ориентаций узла, т. е. направление его обхода. Затем спроецируем узел на плоскость. Допустима почти любая проекция. Мы хотим избежать «плохих» проекций, например когда три пряди пересекаются в одной точке или два участка веревки проецируются друг на друга и образуют множество, состоящее более чем из одной точки. Но в остальном проекция может быть сколь угодно сложной.

Затем воспользуемся этой проекцией, чтобы создать набор так называемых окружностей Зейферта. Начнем обходить узел, следуя выбранной ориентации. В каждой точке пересечения переходим на другую прядь, сохраняя направление обхода. Когда мы вернемся в исходную точку, получится окружность (см. рис. 18.6). Повторим процедуру для прядей, которые еще не обошли. Создадим диски, границами которых являются окружности Зейферта. В зависимости от проекции может оказаться, что одни окружности вложены в другие. В этом случае одни диски окажутся поверх других (как на рис. 18.6).

Рис. 18.5. Окружности Зейферта для трилистника и соответствующие диски

Теперь соединим диски вместе, прикрепив прямоугольные перекрученные ленты. Точнее, в каждом месте, где было пересечение, прикрепим ленту, перекрученную в направлении, определяемом исходным пересечением (см. рис. 18.7). Хотя сразу это и не очевидно, нетрудно доказать, что эта процедура всегда порождает ориентируемую поверхность с краем.

На рис. 18.8 показано, как завершается построение поверхности Зейферта для трилистника. А на рис. 18.9 весь процесс повторен для квадратного узла. Эта поверхность образована тремя дисками и шестью лентами.

Согласно теореме классификации, нам «известны» все возможные поверхности. Поверхность Зейферта — это ориентируемая поверхность с одной компонентой края. Поэтому она должна быть гомеоморфна сфере или тору с g дырками и вырезанным диском. Вот теперь мы в полной мере ощутили всю мощь теоремы классификации, поскольку поверхности Зейферта вовсе не выглядят как проколотые торы. Теоретически можно было бы приклеить диск к краю одной из поверхностей Зейферта и получить замкнутую поверхность, но для такого склеивания пришлось бы выйти в четвертое измерение.

Рис. 18.7. Прикрепление перекрученной ленты

Рис. 18.8. Поверхность Зейферта для трилистника

Рис. 18.9. Поверхность Зейферта для квадратного узла

Поскольку нам известно, что поверхность Зейферта ориентируемая и имеет один край, то для ее классификации нужно знать только эйлерову характеристику. Пусть S — поверхность Зейферта, построенная из d дисков и b лент. Так как эйлерова характеристика диска равна 1 (а значит, эйлерова характеристика d непересекающихся дисков равна d), достаточно понять, как влияет добавление ленты к поверхности. Предположим, что мы прикрепляем оба конца ленты к поверхности с краем (необязательно связной). При этом добавляется одна грань, два ребра и ни одной вершины. В силу хорошо нам знакомой знакопеременной суммы, определяющей эйлерову характеристику, добавление ленты уменьшает эту величину на 1. Поэтому добавление b лент уменьшает ее на b.

Для построения поверхности Зейферта трилистника (рис. 18.8) понадобилось два диска и три ленты. Поэтому ее эйлерова характеристика равна –1. Аналогично поверхность Зейферта квадратного узла состоит из трех дисков и шести лент, поэтому ее эйлерова характеристика равна –3.

Если бы мы приклеили диск к краю поверхности Зейферта, то получили бы замкнутую поверхность рода g. Это действие добавляет грань, поэтому эйлерова характеристика такой замкнутой поверхности была бы на единицу больше характеристики поверхности Зейферта. Для поверхности Зейферта трилистника, показанной на рис. 18.8, эйлерова характеристика равна 0. Это должен быть тор — поверхность рода 1. Мы говорим, что эта поверхность Зейферта имеет род 1.

Ту же логику можно применить к любой поверхности Зейферта, состоящей из d дисков и b лент. Присоединив диск к краю, мы получим замкнутую ориентируемую поверхность S с эйлеровой характеристикой x(S) = d — b + 1. Поверхность S имеет род g, и χ(S) = 2 — 2g = d — b + 1. Отсюда можно найти g.

Поверхность Зейферта квадратного узла имеет род g = (1–3 + 6)/2 = 2. Это тор с двумя дырками и вырезанным диском. На рис. 18.10 показаны поверхности Зейферта для печати Соломона, восьмерки и пряничного человечка. Поверхность Зейферта печати Соломона построена из двух дисков и пяти лент. Поэтому ее род равен (1–2 + 5)/2 = 2. Поверхность Зейферта восьмерки, состоящая из трех дисков и четырех лент, имеет род (1–3 + 4)/2 = 1. Поверхность Зейферта пряничного человечка, состоящая из трех дисков и шести лент, имеет род (1–3 + 6)/2 = 2.

Было бы хорошо, если бы род поверхности Зейферта был инвариантом узла. Проблема в том, что один и тот же узел может иметь несколько топологически различных поверхностей Зейферта (нужно только выбрать другую проекцию в самом начале процесса). Но необязательно отбрасывать эту идею полностью. Мы можем определить род узла как наименьший род всех его возможных поверхностей Зейферта. Обозначим g(K) так определенный род узла K.

Рис. 18.10. Поверхности Зейферта печати Соломона, восьмерки и пряничного человечка

Тривиальный узел является краем диска, т. е. сферы с вырезанным диском, поэтому его род равен 0. Это единственный узел, ограничивающий диск, поэтому для любого нетривиального узла род будет положительным числом.

Это определение вызывает чувство некоторой неудовлетворенности. Хотя род — вполне корректный инвариант узла, на практике вычислить его нелегко. Мы построили поверхность Зейферта пряничного человечка и нашли, что ее род равен 2. Но верно ли, что это также род узла? Может, так, а может, и нет. Возможно, для этого узла существует другая поверхность Зейферта с родом 1. Не ясно, как доказать, что такой поверхности Зейферта нет в природе.

Но есть и хорошая новость — мы легко можем вычислить род широкого класса так называемых альтернирующих узлов. Проведите по проекции восьмерки на рис. 18.1 пальцем и следите за поведением в точках пересечения. Веревка проходит выше, ниже, выше, ниже, выше, ниже, выше и ниже — взаимное расположение в точках пересечения чередуется. Такая проекция называется альтернирующей. Проекции трилистника, печати Соломона и пряничного человечка также альтернирующие, а проекция квадратного узла — нет. Узел называется альтернирующим, если он имеет хотя бы одну альтернирующую проекцию. Данная проекция квадратного узла неальтернирующая, но это не значит, что сам узел не альтернирующий, потому что у него может существовать другая, альтернирующая проекция.

Все простейшие узлы альтернирующие. Любой узел с семью или меньшим числом пересечений альтернирующий, и лишь три узла с 8 пересечениями таковыми не являются (один из них показан на рис. 18.11). Однако с увеличением количества пересечений относительная доля альтернирующих узлов падает. Из 2404 простых узлов (что такое простой узел, мы определим чуть ниже) с 12 или меньшим числом пересечений только 63 % альтернирующие. Из примерно 1,7 млн простых узлов с 16 или меньшим числом пересечений только 29 % альтернирующие¹⁶⁶.

Рис. 18.11. Неальтернирующий узел с 8 пересечениями

Спасает нас теорема, доказанная в конце 1950-х годов Ричардом Г. Кроуэллом и Кунио Мурасуги¹⁶⁷.

Иными словами, поскольку трилистник, восьмерка, печать Соломона и пряничный человечек — альтернирующие узлы, можно с уверенностью сказать, что их род равен соответственно 1, 1, 2 и 2. Итак, ни один из этих четырех узлов не является тривиальным, а трилистник и восьмерка отличаются от печати Соломона и пряничного человечка. Сейчас читатель наверняка сможет доказать, что два узла, приведенных во введении (рис. I.5), различны.

Теперь мы немного отвлечемся и определим род квадратного узла. Простые числа являются кирпичиками, из которых построены все положительные целые числа. Число p > 1 называется простым, если его единственными делителями являются оно само и 1, в противном случае число называется составным. Аналогично мы определим простые узлы — кирпичики, из которых состоят все узлы. Для этого нам понадобится способ «умножения» узлов.

Пусть даны узлы K и L, тогда их произведение, обозначаемое K#L, строится следующим образом. Поместим проекции K и L рядом друг с другом (но так, чтобы они не пересекались). Разрежем внешние пряди обоих узлов и соединим все четыре конца, не создавая новых пересечений. На рис. 18.12 мы видим, что квадратный узел является произведением трилистника и его зеркального изображения (произведение двух трилистников называется бабушкиным узлом).

Узел M называется простым, если из того, что M = K#L, следует, что K или L — тривиальный узел[10]. Иными словами, узел простой, если его нельзя записать в виде произведения двух нетривиальных узлов. Нетривиальный узел, не являющийся простым, называется составным. Очевидно, что простота является инвариантом узла. Мы показали, что квадратный узел составной. Примем без доказательства, что трилистник, восьмерка, печать Соломона и пряничный человечек — простые узлы, поэтому ни один из них не может быть изотопичен квадратному узлу.

Рис. 18.12. Композиция трилистника и его зеркального изображения является квадратным узлом

Предположим, что нам известны рода узлов K и L. Легко ли определить род K#L? Обозначим S_K и S_L поверхности Зейферта узлов K и L минимального рода. Используя те же самые проекции K и L, образуем K#L и соответствующую поверхность Зейферта S_K#L. Легко видеть, что если S_K образована d_K дисками и b_K лентами, а S_L — d_L дисками и b_L лентами, то S_K#L образована d_K + d_L — 1 дисками и b_K + b_L лентами. Поэтому род S_K#L равен

½^{[1 — (d}K ^{+ d}L ^{— 1) + (b}K ^{+ b}L^)] = ½^{(1 — d}K ^{+ b}K ^{) +} ½^{(1 — d}L ^{+ b}L⁾

= g(K) + g(L).

Проблема в том, что мы не знаем, является ли S_K#L поверхностью Зейферта минимального рода для узла K#L. Поэтому мы можем только утверждать, что g(K#L) ≤ g(K) + g(L). Мы опускаем доказательство, но на самом деле S_K#L действительно имеет минимальный род. Таким образом, род аддитивен.

Эта формула позволяет вычислить род квадратного узла:

g(квадратный узел) = g(трилистник) + g(трилистник) = 1 + 1 = 2.

У этой формулы есть интересное следствие: если K или L — нетривиальный узел, то K#L тоже нетривиален. Это следует из того, что если g(K) ≠ 0 или g(L) ≠ 0, то g(K#L) ≠ 0. Вот один из способов интерпретации этого утверждения: если шнурки завязаны узлом, то невозможно взять два свободных конца и завязать узел, так чтобы узел на шнурках развязался. Узлы не имеют «обратных узлов», которые их развязывали бы.

Стоит отметить, что если K и L — альтернирующие узлы, то K#L — тоже альтернирующий узел (сможете это доказать?). Поэтому у квадратного узла, для которого мы не показали альтернирующую проекцию, такая проекция все же существует.

Хотя род узла позволяет различить много узлов, этот инвариант не полон — из того, что два узла имеют одинаковый род, не следует, что это один и тот же узел. Например, у трилистника и восьмерки род одинаковый. Поэтому либо это один и тот же узел (что не так), либо нам нужен другой метод их различения. Аналогично печать Соломона, пряничный человечек и квадратный узел имеют одинаковый род.

Далее в этой главе мы введем еще два инварианта узлов, которые позволят различить остальные узлы. Это лишь малое подмножество известных инвариантов узлов.

Первый инвариант называется раскрашиваемостью. Для проверки на раскрашиваемость мы рисуем проекцию узла карандашами трех разных цветов. Узел является раскрашиваемым, если в каждой точке пересечения встречается только один или все три цвета. Кроме того, мы требуем, чтобы вся проекция не была одного цвета. Не очень трудно доказать, что раскрашиваемость является инвариантом узла, но это доказательство мы опустим. В частности, раскрашиваемость не зависит от выбора проекции.

На рис. 18.13 видно, что трилистник раскрашиваемый (мы использовали в качестве цветов черный, серый и «пунктирный»). Но после нескольких экспериментов оказывается, что восьмерка не раскрашивается. В примере на рис. 18.13 мы следовали правилам и раскрасили первые три пряди. А с верхней прядью вышла незадача. В зависимости от того, с какой стороны мы подходим, прядь оказывается разного цвета. Не существует цвета, позволившего бы раскрасить этот узел правильно. Поэтому трилистник и восьмерка — разные узлы.

Оставляем читателю доказательство того, что квадратный узел раскрашиваемый, а печать Соломона и пряничный человечек — нет. Таким образом, мы еще одним способом доказали, что квадратный узел отличен от печати Соломона и пряничного человечка.

С помощью простоты, рода и раскрашиваемости мы смогли различить все наши узлы, кроме печати Соломона и пряничного человечка. Оба узла простые, рода 2 и нераскрашиваемые. Чтобы доказать, что они все же различаются, нам нужен еще один инвариант: число пересечений.

Рис. 18.13. Трилистник раскрашиваемый, а восьмерка — нет

Числом пересечений узла называется наименьшее число пересечений во всех его проекциях. Будем обозначать c(K) число пересечений узла K. В обычной проекции тривиального узла пересечений нет, поэтому его число пересечений равно 0. Мы знаем, что трилистник и тривиальный узел различны, и имеется проекция трилистника с 3 пересечениями. Любой узел с 0, 1 или 2 пересечениями тривиален, поэтому число пересечений трилистника равно 3.

Узлы часто группируются по числу пересечений. Узлов с небольшим числом пересечений не очень много. Из табл. 18.1 видно, что трилистник — единственный узел с числом пересечений 3 (если не считать его и его зеркальное изображение за два), и существует всего семь простых узлов с шестью или меньшим числом пересечений. Но по мере увеличения числа пересечений количество различных узлов быстро возрастает¹⁶⁸.

Таблица 18.1. Количество простых узлов с заданным числом пересечений

Как и с родом, и по той же самой причине с числом пересечений работать трудно. Посчитать число пересечений в заданной проекции легко. Но нет гарантии, что не существует другой проекции с меньшим числом пересечений. если имеется проекция узла K с n пересечениями, то мы можем только сказать, что c(K)≤ n. По счастью, как и род, число пересечений легко вычислить для альтернирующих узлов.

Сто лет назад Тэйт высказал гипотезу, что в редуцированной альтернирующей проекции узла число пересечений минимально. Здесь «редуцированная» означает, что перед подсчетом пересечений мы удаляем все несущественные пересечения типа показанного на рис. 18.14. Такое пересечение можно удалить, просто повернув часть узла на 180°. Если удалить все такие пересечения, предположил Тэйт, то оставшееся число пересечений минимально. Гипотеза Тэйта оставалась открытой много лет, но была независимо и одновременно доказана Луисом Кауфманом, Кунио Мурасуги и Морвеном Тистлетвейтом в середине 1980-х годов¹⁶⁹.

Рис. 18.14. Несущественное пересечение

Эта теорема позволяет легко вычислить число пересечений для любого альтернирующего узла. Поскольку наши проекции трилистника, восьмерки, печати Соломона и пряничного человечка уже редуцированные и альтернирующие, найти их числа пересечений очень просто. Они равны соответственно 3, 4, 5 и 6. Так что один этот инвариант позволяет сделать вывод, что все эти узлы различаются, в т. ч. печать Соломона и пряничный человечек.

Разумно спросить, как число пересечений соотносится с произведением узлов. Есть ли красивая формула, связывающая c(K), c(L) и c(K#L)? Если K и L альтернирующие, то K#L тоже альтернирующий. Более того, действуя аккуратно, мы сможем взять редуцированные альтернирующие проекции K и L и соединить их так, что результирующая проекция K#L тоже будет редуцированной альтернирующей (действовать нужно не так, как мы поступали для квадратного узла). Следовательно, в этом частном случае число пересечений аддитивно.

Например, с(квадратный узел) = с(трилистник) + с(трилистник) = 3 + 3 = 6.

Аддитивно ли число пересечений для всех узлов, как род? Гипотеза о том, что это равенство имеет место для всех узлов, довольно стара. Но, как ни странно, до сих пор никто не смог ни доказать ее, ни предъявить контрпример!

В этой главе мы познакомились с некоторыми из многочисленных важных инвариантов узлов. Располагая этими инструментами, мы смогли различить шесть узлов, приведенных в начале этой главы. Наши находки сведены в табл. 18.2.

Эти инструменты позволили нам довольно далеко продвинуться по пути классификации. Но лишь до определенного предела. Две проекции на рис. 18.15, пряничный человечек и так называемый узел 6₃, — разные узлы, но с помощью наших инвариантов различить их невозможно. Оба узла простые, с 6 пересечениями, альтернирующие, нераскрашиваемые, рода 2. Чтобы их различить, нужны дополнительные средства.

Таблица 18.2. Сводный перечень свойств узлов

Рис. 18.15. Одинаковы ли пряничный человечек и узел 6₃?

Кроме того, мы не представили никаких методов, позволяющих показать, что две проекции — на самом деле один и тот же узел. Мы посвятили эту главу демонстрации того, что проекции соответствуют разным узлам. Призываем читателя порыться в литературе и исследовать эту интересную область теории узлов.

Взаимообмен между математикой и наукой устроен неравноценно. Наивно думать, что они работают рука об руку. Ученые предлагают математикам задачи, а математики создают теории, которые, как они надеются, будут полезны ученым.

Потребности ученых часто подстегивают создание новых разделов математики, как вихревая модель атома Кельвина ускорила развитие теории узлов. Но математика не довольствуется ролью слуги науки. Даже когда математическая теория рождается из практического применения, она быстро начинает жить собственной жизнью и развивается, исходя из внутренней логики. Математики-теоретики — упрямые люди, которые в целом больше интересуются красотой, истинностью, элегантностью и величием, нежели практической применимостью.

Когда оказалось, что модель атома Кельвина неверна, ученые утратили интерес к узлам, но математики продолжили их изучение. Теория узлов зажила своей жизнью как область чистой математики. На протяжении большей части XX века ей интересовались только математики. Она и сейчас остается областью активных исследований с приложениями к другим разделам чистой математики, но не к науке.

Но даже самые абстрактные и теоретические разделы математики могут приносить пользу. Прикладная математика зачастую проистекает из совсем уж не прикладных разделов. Бывает — и не редко — что полезность теории не проявляется много лет. Никто не мог бы предсказать, что изучение простых чисел позволит шифровать информацию о кредитной карте, так что ее можно будет безопасно передавать через интернет. Математики XIX века не знали, что их работы по неевклидовой геометрии лягут в основу общей теории относительности Эйнштейна.

Ближе к концу века теория узлов снова нашла применение в естественных науках. Физики, биологи и химики обнаружили, что математическая теория узлов позволяет лучше понять их науку. Теперь она играет важную роль в таких разных предметах, как изучение ДНК и других больших молекул, линий магнитного поля, квантовой теории поля и статистической механики.

Математики работают на предприятии, которое изготавливает и продает инструменты. Иногда они принимают частные заказы от клиентов из мира науки, но большую часть времени проводят за изготовлением элегантных инструментов, для которых еще не появилось пользователей. Ученые заходят в лавку и шарят по полкам в надежде найти подходящий инструмент. В проход, посвященный теории узлов, ученые долго не заглядывали, зато теперь он кишит покупателями. В следующей главе мы увидим, как идеи топологии и эйлеровой характеристики создали еще один инструмент, который неожиданно оказался полезен ученым.

Приложения к главе

161. Shakespeare (2002), 82.

162. Vandermonde (1771).

163. Gauss (1877).

164. Listing (1847).

165. Seifert (1934).

166. Порядковый номер A002864 в Sloane (2007).

167. Crowell (1959).

168. Порядковый номер A002863 в Sloane (2007).

169. Kauffman (1987b); Murasugi (1987); Thistlethwaite (1987).