Большая Советская Энциклопедия (ГА)

Гамма-функция

Га'мма-фу'нкция [Г-функция, Г (х )], одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала; для целых положительных n равна Г (n) = (n - 1) ! = 1·2... (n - 1 ). Впервые введена Л. Эйлером в 1729. Г.-ф. для действительных х > 0 определяется равенством

другое обозначение:

Г (х + 1) = p(x) = х!

Основные соотношения для Г.-ф.:

Г (х + 1) = хГ (х) (функциональное уравнение);

Г (х) Г (1 - х) = p/sin px (формула дополнения);

Частные значения:

При больших х справедлива асимптотич. Стирлинга формула

Через Г.-ф. выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Г.-ф. распространяется и на комплексные значения аргумента.

Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., 3 изд., М., 1959; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.