Большая Советская Энциклопедия (ПР)

Пространство

Простра'нство в математике, логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве случаев в П. фиксируются отношения , сходные по формальным свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояние между точками, равенство фигур и др.), так что о таких П. можно сказать, что они представляют логически мыслимые пространственно-подобные формы. Исторически первым и важнейшим математическим П. является евклидово трёхмерное П., представляющее приближённый абстрактный образ реального П. Общее понятие «П.» в математике сложилось в результате постепенного, всё более широкого обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова П. Первые П., отличные от трёхмерного евклидова, были введены в 1-й половине 19 в. Это были пространство Лобачевского и евклидово П. любого числа измерений. Общее понятие о математическом П. было выдвинуто в 1854 Б. Риманом ; оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях: таковы, например, векторное пространство , гильбертово пространство , риманово пространство , функциональное пространство , топологическое пространство . В современной математике П. определяют как множество каких-либо объектов, которые называются его точками; ими могут быть геометрические фигуры, функции, состояния физической системы и т.д. Рассматривая их множество как П., отвлекаются от всяких их свойств и учитывают только те свойства их совокупности, которые определяются принятыми во внимание или введёнными по определению отношениями. Эти отношения между точками и теми или иными фигурами, т. е. множествами точек, определяют «геометрию» П. При аксиоматическом её построении основные свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах.

Примерами П. могут служить: 1) метрическое П., в которых определено расстояние между точками; например, П. непрерывных функций на каком-либо отрезке [а, b ], где точками служат функции f (x ), непрерывные на [а , b ], а расстояние между f ₁ (x ) и f ₂ (x ) определяется как максимум модуля их разности: r = max÷f ₁ (x ) — f ₂ (x )ú. 2) «П. событий», играющее важную роль в геометрической интерпретации теории относительности. Каждое событие характеризуется положением — координатами х, у, z и временем t, поэтому множество всевозможных событий оказывается четырёхмерным П., где «точка» — событие определяется 4 координатами х, у, z, t. 3) Фазовые П., рассматриваемые в теоретической физике и механике. Фазовое П. физические системы — это совокупность всех её возможных состояний, которые рассматриваются при этом как точки этого П. Понятие об указанных П. имеет вполне реальный смысл, поскольку совокупность возможных состояний физической системы или множество событий с их координацией в П. и во времени вполне реальны. Речь идёт, стало быть о реальных формах действительности, которые, не являясь пространственными в обычном смысле, оказываются пространственно-подобными по своей структуре. Вопрос о том, какое математическое П. точнее отражает общие свойства реального П., решается опытом. Так, было установлено, что при описании реального П. евклидова геометрия не всегда является достаточно точной и в современной теории реального П. применяется риманова геометрия (см. Относительности теория , Тяготение ). По поводу П. в математике см. также статьи Геометрия , Математика , Многомерное пространство .

А. Д. Александров.