Дважды два = икс?

Ось на чёрной доске

– Чем ты занимаешься на математике?

– Я складываю числа!

– А что такое число?

Секундное недоумение на лице малыша. Если бы он был постарше, то мог бы нам сказать: «Вы задаёте незаконный, точнее, провокационный вопрос. Я не знаю, что такое число, потому что понятием числа я не владею. Вы знаете, что я владею только житейским представлением о числе и поэтому могу только сказать, что число – это любой отдельно взятый предмет или сумма отдельно взятых предметов. Число выражает количество, то или другое количество».

– Итак, что такое число?

– Это… один, два, пять…

– Так чем же вы занимаетесь на математике?

– Мы учимся складывать числа.

Ну что ж, вероятно, вполне корректный для семилетнего возраста ответ. Но попробуем задать тот же вопрос «экспериментальному» ребёнку.

– Что такое число?

– Я не знаю…

– А чем вы занимаетесь на математике, разве вы не складываете числа?

– Нет. Мы учимся сравнивать предметы – настоящие и те, которые мы нарисовали.

– Какие предметы вы сравниваете, рисуете?

– Разные: яблоки, кружки, карандаши, кубики, кружочки…

– И всё? А какие задачи вы решаете?

– Мы сравниваем предметы и определяем, разные они или одинаковые.

– Что значит разные или одинаковые?

– Зависит от того, по какому признаку мы сравниваем. Например, одинаковые по длине, но разные по весу. Мы сравниваем по цвету, по длине, по объёму, по форме, по материалу… Приходите, посмотрите, – приглашает ребёнок.

Воспользуемся приглашением и устроимся на задней парте первого экспериментального класса. Впрочем, он, скорее, напоминает отдел «Сделай сам» магазина «Пионер». Чего только там нет на столах – линейки, проволоки, кубики, кружки, пластмасса, фанера, стекло. Чтобы не ошибиться, спрашиваем у учительницы: «Мы попали на урок труда?» Нет, всё правильно, это урок математики.

Даётся задание: подойти к столу и найти предметы, одинаковые по длине, но разные по материалу. Ребёнок подходит, перебирает предметы, думает. Остальные дети, вытянув шеи, наблюдают за ним. Наконец, он берёт две кружки, приставляет их друг к другу.

– Вот, это высота. Кружки одинаковые по высоте…

По классу как будто проходит вихрь, вверх взмывает лес рук.

– Петя ошибся?

– Да! Они разные не по материалу, а по цвету, цвет у кружек разный, а материал один.

– Петя, ты согласен с этим?

– Да, я ошибся.

– А может быть, ты и по длине ошибся? Как проверить?

– Нужно приложить, чтобы кончики совпали.

– Кто согласен?

На этот раз возражений у класса нет. Учитель показывает детям две разные кружки.

– Они одинаковые по объёму?

– Первая – тонкая и большая, а вторая – толстая и невысокая. Наверное, всё-таки одинаковые. Но надо проверить, налить воду.

Проверяют…

Оказывается, широкая кружка больше.

– Как видите, на глаз нельзя определить. Теперь всем задание – нарисовать предметы, разные по цвету, но одинаковые по ширине.

Головки склоняются над тетрадями. Непослушные пальцы старательно выводят предметы, разрисовывают их цветными карандашами.

– Что вы нарисовали?

– Я нарисовал два кофейника: красный и синий.

– А я две машины: жёлтую и зелёную.

– Я – две тетради…

Следует новое задание: сравнить по форме.

И вновь масса предложений: два кубика, две ложки, два кресла.

Ещё не все ориентируются в этом изобилии признаков, которыми, оказывается, обладают знакомые предметы. Ребёнок рассматривает кружку так, как будто видит её впервые: сколько в ней интересных, новых для него свойств. Ошибаются, путают, забывают задание, но думают! Один ошибётся, другой поправит.

– Как сделать так, чтобы в тетрадке или на доске было видно, что две кружки равны по объёму?

– Надо написать, что они равны по объёму.

Такое предложение остальных детей не устраивает.

– Писать долго. Надо договориться…

– Что значит договориться?

– Значок какой-нибудь поставить…

– Какой?

– Я предлагаю точку…

– А я палочку…

– Есть такой уже значок, люди давно придумали. Две одинаковые палочки. – Учительница нарисовала знак равенства.

– Какое предложение лучше?

– Две палочки лучше.

– Почему?

– Сразу видно… Два предмета одинаковые и две палочки одинаковые.

– А если один предмет больше другого?

– Тогда нужен другой значок.

И снова дети предлагают свои варианты. Знаки «больше» или «меньше», принятые в математике, удовлетворяют всех.

– Очень хороший значок, – заявляет малыш, – как будто большая кружка подталкивает маленькую. Сразу видно, что больше, а что меньше.

Урок заканчивается, и ватага ребят шумно вырывается в коридор. Но у нас, естественно, много вопросов. Задаём первый из них: «Куда вы их ведёте всеми этими сравнениями, значками?» Учительница не спешит с ответом, она убирает наглядные пособия в шкаф. «Я думаю, наш разговор лучше вести через месяц. Приходите – сами всё поймёте».

Как раздражает нас иногда невозможность получить ответ немедленно, приглашение прийти «завтра». Но здесь не дают готовых ответов (это мы уже поняли), дети сами их находят. Тем более взрослым следует самим разобраться, понять, куда и зачем ведут их детей. И когда мы приходим через месяц-другой, становится очевидным направление пути.

На доске и в тетради уже нет кружек, яблок, машин. Их сменили буквы и линии-отрезки. Дети сами пришли к необходимости облегчить себе работу, сами предложили обозначить размеры и признаки предметов буквами. И если сначала они учились неравные предметы превращать в равные, и наоборот, так сказать, собственными руками: с помощью переливания из одной кружки в другую, то сейчас они просто пишут: А+В=С.

Первая формула их практической работы, обобщение результатов исследования реальных физических величин. В ней отображены не просто какие-то одинаковые стороны предметов, а определённые отношения – количественные. Прописными буквами они договорились обозначать целые предметы, строчными – те маленькие кусочки, которые надо к ним добавлять или отнимать.

– Прибавить кусочек, отнять кусочек…

Теперь такой разговор для них уже несерьёзен.

– От А я отнимаю В, – говорит малыш, – и получаю С.

Можно записать всё это и по-другому, графически. Например, с помощью отрезков.

А вот уже появился на доске и пресловутый алгебраический значок «икс», что означает, естественно, неизвестную величину.

– Сравните эти две величины и поставьте знак, – просит учительница. И ребёнок осознанно пишет уравнение: А+Х=В. Он уравнял величины А и В путём прибавления неизвестной величины к двум известным.

– А если их переставить местами?

– Ничего не изменится…

В чём функция икса в уравнении? Он завязывает две величины в один узел, держит их, пока разберутся, что к чему. Вот только икс не согласен всегда так их держать, а только временно, пока подберут ему достойную замену – величину, способную удерживать в равновесии всю систему.

(Мальчику Эйнштейну его дядя Якоб как-то сказал, что икс – это зверь, которого надо поймать и посадить в сумку.)

Итак, обобщённая формула – не просто формула, изображающая отношение двух величин. Это модель, которая не нуждается в том, чтобы её положили на полку памяти. С ней можно работать: узнавать основные свойства величины – обратимость, монотонность. Ребёнок анализирует отношения величин, переходит от неравенства к равенству, и наоборот. Величины – не статуэтки на пьедестале, они всё время меняются в ту или другую сторону. И чтобы их остановить, зафиксировать уровень, у ребёнка всегда есть удивительный помощник, который как бы подгоняет величины одну к другой, – уравнение.

И нам внезапно становится ясен замысел эксперимента: начать с того, чтобы показать, что между абстрактным математическим миром и конкретным миром, близким и понятным ребёнку, есть связь. Эта связь не случайна, она осмысленна, ребёнок сам её устанавливает.

Для него нет голых математических абстракций, есть необходимость отвлечения от предметного мира, не замена его, а обобщение. Понятие величины, которую ребёнок измерил, есть живая абстракция, показавшая ему, что за теорией стоит движение материальной действительности.

Эту практичность теории сразу же схватывают малыши. Теория здесь вообще поначалу не отделена от практики, точно так же, как она была вплетена в неё на заре человечества. Впрочем, до подлинной математической теории числа ещё далеко, но здесь её начало, живое, деятельное, не привнесённое извне умными учебниками, а созданное собственным умом ребёнка. Пока он не пришёл к понятию числа, не пропустил его через себя, свои чувства, не выделил его в своём сознании как закономерный объект деятельности, не обследовал его своей мыслью, нельзя идти вперёд.

Поэтому так долго, не день, не два, а месяцы занимаются дети как будто далёкими от обычной школьной математики вещами. Но они занимаются важнейшими с точки зрения формирования математического мышления делом: дети овладевают собственными действиями, с помощью которых обнаруживают параметры в вещах, имеющих характер величин (длин, объёмов, высот и т. п.).

Овладение собственным действием! Разве им нужно овладевать? Оказывается, необходимо, чтобы действие это было именно твоим, а не чужим. Вначале он осторожно пробует его совершить: а вдруг не получится. Получилось, но, может, это случайность, нужно повторить. И снова удача. Тогда стоит обследовать каждый сделанный тобой шаг, чтобы осознать весь процесс движения, чтобы ничего не пропустить, сориентироваться. Ещё проверка при полной ориентировке, и снова – да, всё правильно, можно действие взять на вооружение. Отработать его так, чтобы довести до уровня автоматизма, сначала всё быстрее «работая» с реальными предметами, а потом и с воображаемыми. И тогда в один прекрасный день твоё действие становится актом мысли, не осознаваемым в тот момент, когда оно совершается. И совершается оно как будто само собой, как будто он и родился с умением умножать, делить…

Процесс овладения собственными действиями, превращения их в действие мысли, который мы сейчас в очень упрощённом виде описали, и составляет сущность гальперинской теории планомерного формирования умственных действий, с помощью которой может быть зримо представлен процесс усвоения знаний.

На первых уроках математики как раз и формируется действие измерения величин, чтобы впоследствии можно было выйти с его помощью на понятие числа. В ходе его формирования дети находят способ выражения сравниваемых и найденных параметров между собой – ёмкий, простой и лёгкий, с помощью специальных значков, математических символов. Они приходят в самом начале своего пути к алгебраическому уравнению, минуя долгий, сложный, непонятный и запутанный мир арифметических действий (помните, задачи со знаменитыми бассейнами, из которых вода выливается уже по меньшей мере два-три века?).

И- если первокласснику задают конкретную задачу («во дворе играют 15 детей, из них 4 – в прятки, 5 – в снежки, а остальные лепят снежную бабу. Спрашивается: сколько детей лепят бабу?»), то он, решая её, овладевает сложной, но для него необходимой системой математических действий.

Он моделирует ситуацию задачи в схеме, которая выглядит примерно так:

Составление схемы – средство анализа задачи, оно организует поиск решения. Не проба, а целостное разумное действие.

От исходной модели он переходит непосредственно к схеме решения:

Впрочем, выясняется, что схему можно составить и по-другому. Например, так:

От схемы уже совсем легко перейти к уравнению: 4+5+Х=15, решив которое, ребёнок устанавливает, что снежную бабу лепили 6 детей.

Многоступенчатость решения – необходимый этап процесса постепенного сокращения действий, превращение их в мыслительные операции. И когда через некоторое время ребёнок мгновенно составляет уравнение в буквенном виде, то это не просто натасканный приём, который применяют некоторые грамотные родители, обучающие своих детей алгебре как наиболее простому способу решения конкретных задач, а осознанное умение выделить математические абстракции и оперировать с ними. Теперь можно приступать к самому главному, основному, что позволяет детям найти ключ к науке математике, – к понятию числа. Его введение подготовлено всем предшествующим обучением. У ребёнка есть понятие величины, он уже «наработался» с разными величинами, с их отношениями, изучил их свойства.

И вот в один прекрасный день перед ним ставится простая задача, которую он уже многократно решал: выбрать из деревянных планок, находящихся в коридоре, равную образцу в классной комнате. Но когда ребёнок бросается выполнять задание, учитель его неожиданно останавливает.

– Петя, я забыл тебя предупредить: по условию задачи образец с собой в коридор брать нельзя. Как быть?

Ребёнок в недоумении застывает, и точно так же недоумённо смотрит на учителя весь класс.

Дети поставлены в ситуацию, которую, оказывается, нельзя решить известными им способами прямого сравнения величин. Нужен новый неизвестный способ. Дети думают, и вот вскоре появляется догадка:

– Надо измерить чем-нибудь образец…

– Чем?

– Например, тетрадкой… А потом той же тетрадкой измерить деревянную планку в коридоре.

Хитрый приём – ввести величину-посредницу.

– Хитрецы! – говорит учитель.

Дети довольны, они нашли выход.

Так они начинают «хитрить» в процессе обучения. Но это не та хитрость, которая сродни обману других или себя самого. Это хитрость научного метода, с помощью которого обнаруживаются новые действительные связи и отношения между явлениями и предметами.

Ребёнок устанавливает, что перейти от одного к другому можно только через опосредующее звено, через нечто «третье». Нахождение такого опосредующего звена всегда составляет главную трудность любой задачи. Но здесь как раз и обнаруживается, как пишет Э. Ильенков, наличие ума, ибо «третье» всегда обладает ярко выраженными диалектическими свойствами. «Средний член», поскольку он должен иметь прямое отношение и к одной и к другой стороне явления, соединяет их в единую действительную систему. Он – непосредственное единство противоположностей.

Ребёнок не просто получил возможность решить конкретно-практическую задачу – измерение двух величин через третью. Он, так же как и его гениальный предок, обнаруживший способ раскалывать дерево через третье звено – камень-колун, нашёл общий диалектический приём движения мысли. Естественно, он ещё не осознал значения своего открытия: для этого необходимо время. Но важно, что он сделал первый шаг не только в математике. На математическом материале он сделал шаг в мышлении вообще. Впрочем, в действительности всё происходит гораздо проще. Идёт ведь урок математики, а не диалектики.

Другая задача: отрезать кусок верёвки, равный длине линии, нарисованной на доске. Всю верёвку в класс, естественно, приносить нельзя. Дети ищут способы решения конкретных задач, предлагают разные меры измерения, пробуют и делают вывод: уравнение и измерение может осуществляться не только непосредственно, но и опосредованным путём, с помощью выбранной заранее мерки. Оказывается, мерку можно выбрать любую, но если выбрал, дальше работай только с ней.

Итак, в отрезке уложилось три карандаша. Как зафиксировать выполненное действие?

Проще всего буквами, дети к этому давно уже привыкли. Планка – А, карандаш (мерка) – С. Отношение между этими величинами, установленное путём измерения, равно трём.

Запишем: А/С=3. Три – это число.

– А если возьмём другую мерку? Резинку, например. Будет три?

– Не будет!

– А сколько будет?

– Надо измерить.

Вот, оказывается, что такое число: оно «есть частный случай изображения общего отношения величин, когда одна из них принимается за меру вычисления другой», – утверждает В. Давыдов в своей монографии «Виды обобщений в обучении».

Форма А/С=Х, где А – любой объект, рассматриваемый школьником как величина, С – любая мерка, причём не обязательно по физическим свойствам совпадающая с отдельным предметом, она может быть и составной; X – любое число.

Меняя меры, дети изучают на такой модели свойства выделенного отношения. Они выясняют, что при изменении меры меняется и число, относящееся к одному и тому же объекту, к одной и той же величине.

Понимание числа как отношения величин хорошо выразил один ребёнок: «Конечно, десять больше двух. Но если десять – это не просто число, а количество миллиметров, например, а два – это количество сантиметров, то уже не скажешь, что десять больше двух. Значит, число само по себе нам ничего не показывает…»

Как не порадоваться такому рассуждению малыша, поднявшегося, в сущности, до понимания числа как математической абстракции, приобретающей реальное содержание только в органической связи с действительным миром! Причём вывод этого ребёнка не умозрительный, не вычитанный из учебника и не пересказанный со слов учителя; это его собственный вывод на основе его собственного конкретного действия, раскрывающего объективное понятие числа.

Новый способ, новое действие, новое понятие. Но какой это резкий скачок вперёд, насколько он расширяет взгляд ребёнка на математику как науку! Он только в начале пути, но это путь с вершины к безграничным горизонтам математического знания, когда, спускаясь, уточняешь общие представления о местности.

Так и здесь, получая в своё распоряжение обобщённое понятие числа, ребёнок начинает его изучать, скрупулёзно обследовать его свойства.

– Что значит считать? – спрашивает учитель.

– Работать с числами, – спокойно отвечает ребёнок.

– Что я нарисовал на доске?

– Отрезок… Линию.

– Хорошо. Возьму на этой линии точку М и буду откладывать вправо от неё числа. Что для этого у нас должно быть?

– Мерка… Мерку надо взять…

– Берём такую мерку: карандаш. Тогда за точкой М какое будет число?

– Один…

– А если я поставлю следующее число так?..

Учитель отмеряет следующий шаг на отрезке, не равный предыдущему, и ставит цифру 2.

– Неверно!.. – убеждённо говорит ребёнок. – Потому что вы взяли для числа 2 другую мерку. А надо взять одинаковые мерки.

– Допустим. Какое число больше: два или один?

– Конечно, два.

– На сколько?

– На единицу. На одну мерку.

– На сколько пять больше двух?

– На три мерки.

– А сколько можно чисел откладывать на такой линии?

– Много… Да ведь и саму линию можно удлинять на сколько угодно.

– Вот, оказывается, где живут числа, – лукаво говорит учитель, – на таких отрезках. Может нам помочь их местожительство узнать что-нибудь новое о числе?

– Может. Например, узнать, как добираться от одного числа к другому… Линия наводит порядок в числах.

– А как, по-вашему, назвать такую линию?

– Можно назвать безграничной, потому что у неё нет границ, – заявляет малыш.

– Другие предложения есть?

Конечно, есть. Весь класс тянет вверх ручонки, и нас поражают острота и индивидуальность видения и понимания того математического материала, с которым только что работали дети.

– Я назвал бы её циферблатной!..

– Бесконечной…

– Линейкой для цифр.

– Разве это цифры? – немедленно реагирует учитель. – Что такое цифры?

– Значки для обозначения чисел.

– Значит, как назвать?

– Линейкой для чисел.

– Многомерная линия.

– Числовая счётная линия.

– Прямочисленная линия.

– Она – рабочая линия.

– Числовая ось!..

– Что такое ось?

– Это линия, которая что-то на себе держит. Колёса, например. А здесь держит числа.

Учитель улыбается: молодцы!..

Ну как не восхититься образной детской мыслью, раскрепощённой поиском и радостью труда!

Найден не только точный термин, найдено определение красивое, разумное, ясное. Числовая ось держит числа!

В конце концов для него станет очевидным, что любой шаг на луче может соответствовать любому числу, которое он обозначит буквой, и тогда предыдущие и последующие числа будут отличаться на единицу в меньшую или большую сторону.

Но самое важное, что числовой ряд сразу возникает перед ним как бесконечный и поэтому обозначение и запись чисел становится проблемой, которую надо решать. Поиск ответа приведёт ребёнка к счёту группами. Например, десятками. А далее новая проблемная ситуация: как выйти за пределы 10 десятков. И перед глазами ребёнка раскрывается новая математическая реальность – система разрядов, в которой каждый последующий разряд содержит 10 единиц предыдущего.

Так всё более уточняется и обобщается исходное общее отношение между величинами, выражаемое числом, и способ его обнаружения детьми. И когда во втором классе наступает самый драматический момент всего начального курса обучения математике – переход к дробным числам, то для детей это не абсолютно новое явление, требующее пересмотра их прежних представлений о целых числах, а лишь дальнейшая конкретизация понятия числа.

Свойства дроби легко обнаруживаются детьми в уже привычной работе с разными мерками при одной и той же величине. Вначале они убеждаются, что любой остаток можно выразить числом при помощи новой единицы, меньшей, чем задана раньше. Но с двумя разными мерками работать неудобно, значит, надо соотнести их между собой, выразить остаток через старую мерку, которая берётся за целое.

При сравнении дробей с разными знаменателями детям становится очевидно, что увеличивая, например, знаменатель, мы берём меньшую часть старой единицы. Естественно, приходят они и к раскрытию основного свойства дроби: изменить мерку – это значит изменить и числитель и знаменатель в одно и то же число раз. Правило «если числитель и знаменатель изменяются в одно и то же число раз, величина дроби не изменяется» они, естественно, формулируют сами. Им нет необходимости искать его в учебнике. Правило – результат их мысли, действия, работы с понятием числа, которое всё более обретает черты подлинной научности.

Вот он, фундамент всего здания школьного математического образования, утверждает В. Давыдов. Целью такого образования является создание развёрнутой и полноценной концепции действительного числа, в основе которого лежит понятие о величине.

Мы убедились, как оригинально и последовательно решается первая задача: перевести житейские математические представления детей на рельсы научных понятий. Предмет математики – количественные отношения. Увести ребёнка от непосредственности восприятия, от конкретных тел в область математической абстракции, но чтобы он сохранил с ними живую, действительную связь, – вот задача, которую надо было решить в данном эксперименте.

Понятие числа, которое получает ребёнок, для него оказывается необходимым и сознательным. Это сознательное понятие. У него формируется новый «математический» взгляд на вещи – при необходимости он может посмотреть на них и с этой количественной точки зрения. Вещь многогранна, количественная сторона – лишь одна её сторона.

Это не утилитарный взгляд, а научный, объективный, тот уровень абстрактного мышления, который ориентируется на скрытые от прямого наблюдения зависимости. Но тогда как следствие такого обучения обнаруживается удивительная картина: способность осуществлять формальные операции, возникновение которой Ж. Пиаже относил к 11-12 годам, здесь формируется уже в семилетнем возрасте: дети рассуждают о сложных математических отношениях без предметов в чисто словесном плане.

Феномены Пиаже преодолеваются как бы сами собой в ходе принципиально другого способа обучения – теоретического. Упорный труд коллектива психологов Ф. Боданского, Г. Микулиной, Г. Минской, Л. Фридмана и других под руководством В. Давыдова доказал такую возможность. Правда, пока лишь в результате многолетнего психологического эксперимента.