Глазами физика

Попробуйте провести один любопытный эксперимент. Встаньте на весы в ванной комнате – но не на те новомодные, которые установлены в кабинете врача, и не на те, что со стеклянным цифровым табло, на которое надо нажать пальцем ноги для включения, а на старые добрые обычные весы для ванной. Не имеет значения, будете вы в обуви или босиком (вам ни на кого не нужно производить впечатления), какие цифры покажут весы и насколько эти цифры вам понравятся. Встали? Теперь быстро поднимитесь на цыпочки и задержитесь в этом положении. Вы увидите, что весы, похоже, немного сошли с ума. Возможно, чтобы четко понять, что происходит, вам придется проделать это несколько раз, потому что все происходит довольно стремительно.

Сначала стрелка прыгает вверх, верно? Затем движется вниз и устанавливается на показателе вашего веса, где и была до этого, хотя на некоторых весах она (или цифра на цифровой панели) может немного колебаться, прежде чем стабилизируется. Когда вы опуститесь на пятки, особенно если сделаете это резко, стрелка сперва пойдет вниз, потом проскочит вверх мимо вашего веса и в итоге опять замрет на показателе, который вам, возможно, приятно видеть (а может, вы предпочли бы оставаться в неведении). Что все это значит? В конце концов, вы же весите одинаково независимо от того, встаете на цыпочки или опускаетесь на пятки, не так ли? Или нет?

Чтобы это выяснить, нам (хотите верьте, хотите нет) потребуется помощь самого сэра Исаака Ньютона, моего кандидата на звание величайшего физика всех времен и народов. Некоторые из моих коллег с этим не согласны, да и вы, вероятно, отдаете предпочтение Альберту Эйнштейну, тем не менее никто не сомневается в том, что Эйнштейн и Ньютон возглавляют этот рейтинг. Почему я голосую за Ньютона? Потому что его открытия одновременно и фундаментальны, и чрезвычайно разнообразны. Он исследовал природу света и разработал теорию цвета. Для изучения движения планет он построил первый рефлекторный телескоп, ставший настоящим прорывом по сравнению с используемым до этого рефракторным телескопом, и даже сегодня почти все крупные телескопы строятся на базовых принципах конструкции Ньютона. Изучая свойства движения жидкостей, он основал новую большую область физики, и ему удалось вычислить скорость звука (он ошибся примерно на 15 процентов). Ньютон даже изобрел новую отрасль математики: математический анализ. Но, на наше счастье, нам вовсе не обязательно прибегать к сложным вычислениям, чтобы оценить величайшие открытия ученого, известные всему миру как законы Ньютона. Надеюсь, что в этой главе я покажу вам всю их масштабность и значимость.

Три закона движения Ньютона

Первый закон Ньютона гласит: если на тело не действуют другие тела (либо действие этих тел компенсируется), то оно, будучи в состоянии покоя, так и остается в этом состоянии, а тело, пребывающее в движении, продолжает движение в том же направлении и с той же скоростью. Сам Ньютон формулировал это так: «Тело в состоянии покоя сохраняет это состояние, а тело в равномерном движении по прямой линии движется с той же скоростью в прежнем направлении, если только его не вынуждают изменить данное состояние прилагаемые к нему силы». Это закон инерции.

Концепция инерции нам всем отлично знакома, но если задуматься, понимаешь, что, по сути, она противоречит здравому смыслу. Сегодня мы принимаем этот закон как нечто само собой разумеющееся, даже несмотря на то, что часто он идет вразрез с нашим повседневным опытом. В конце концов, в реальном мире тела крайне редко движутся по прямой линии и обычно не продолжают двигаться до бесконечности. Мы ожидаем, что в какой-то момент они непременно остановятся. Ни один игрок в гольф никогда не сформулировал бы закона инерции, потому что только после крайне редких ударов мячик движется строго по прямой и очень часто останавливается, так и не докатившись до вожделенной лунки. Интуитивной была и остается совершенно противоположная идея, что тела от природы стремятся к состоянию покоя, доминировавшая в западном мышлении на протяжении тысячелетий, вплоть до появления революционного закона Ньютона.

Ньютон перевернул наше понимание движения объектов с ног на голову, объяснив, что мячик для гольфа часто останавливается, не докатившись до лунки, из-за того, что его движение замедляет сила трения; а Луна не уносится в космос, продолжая кружить вокруг Земли, потому что ее удерживает на орбите сила земного притяжения.

Чтобы оценить реальность инерции на более интуитивном уровне, вспомните, как трудно, катаясь на коньках, сделать поворот в конце катка – ваше тело упрямо стремится вперед, и вам надо точно рассчитать, какую силу применить к конькам и при каком угле наклона, чтобы успешно развернуться и поехать в другую сторону, а не свалиться на лед или не врезаться в ограждение. Если вы лыжник, подумайте о том, насколько проблематично быстро изменить курс, чтобы избежать столкновения с другим лыжником, вдруг оказавшимся на вашем пути. Причина, по которой мы гораздо чаще замечаем инерцию в подобных случаях, нежели в обычной повседневной жизни, заключается в том, что в обеих ситуациях сила трения, которая в нормальных условиях эффективно замедляет наши движения и помогает без труда изменить направление, очень мала. Только представьте, что бы произошло, если бы поле для гольфа было ледяным, – вы бы сразу увидели, что мяч без трения может двигаться вперед очень-очень далеко, намного дальше, чем на обычном покрытии.

А теперь обсудим, насколько революционной была эта идея Ньютона. Мало того что она перевернула прежние представления о движущихся телах, она еще указала путь к открытию множества постоянно действующих на нас невидимых сил, таких как силы трения, силы тяжести, магнитные и электрические силы. Вклад Ньютона настолько важен, что единица силы в физике названа его именем. Но великий ученый не только позволил нам «увидеть» эти скрытые силы, но и показал, как их измерить.

Своим вторым законом Ньютон обеспечил нас удивительно простым, но очень полезным инструментом для расчета сил. По мнению некоторых людей, знаменитое F = ma – самое важное уравнение всей физики. Формулирую словами: результирующая сила, действующая на тело (F), равна его массе (m), умноженной на его ускорение (а).

Чтобы наглядно увидеть всего один из многочисленных примеров, объясняющих, почему эта формула очень полезна в повседневной жизни, рассмотрим рентгеновский аппарат. Согласитесь, определить точный диапазон энергий рентгеновских лучей при использовании этого оборудования чрезвычайно, жизненно важно. Вот как нам помогает в этом уравнение Ньютона.

Один из главных выводов в физике (мы подробнее обсудим его чуть позже) заключается в том, что на заряженную частицу (скажем, электрон, протон или ион), помещенную в электрическое поле, действует определенная сила. Если нам известен заряд частицы и напряженность электрического поля, можно вычислить действующую на нее электрическую силу. А зная ее, мы с помощью второго закона Ньютона можем вычислить ускорение частицы[10].

Электроны в рентгеновском аппарате, прежде чем ударить по намеченной цели, ускоряются внутри рентгеновской трубки. Скорость, с которой они ударяют в цель, определяет диапазон производимых при этом энергий рентгеновского излучения. Изменение напряженности электрического поля позволяет изменить ускорение электронов. Таким образом, скоростью, с которой электроны ударяют в цель, можно управлять, выбирая нужный диапазон энергий рентгеновского излучения.

Для облегчения подобных расчетов физики используют в качестве единицы силы ньютон. 1 ньютон – это сила, ускоряющая тело массой 1 килограмм на 1 метр в секунду за секунду. Почему мы говорим «в секунду за секунду»? Потому что при ускорении скорость все время меняется; то есть, иными словами, после первой секунды ее рост не прекращается. Если ускорение постоянно, скорость каждую секунду изменяется на одну ту же величину.

Чтобы стало еще понятнее, приведу пример с шаром для боулинга, падающего с высотки на Манхэттене, скажем со смотровой площадки Эмпайр-стейт-билдинг. Известно, что ускорение падающих объектов на Земле составляет примерно 9,8 метра в секунду за секунду; его называют ускорением свободного падения и обозначают в физике буквой g. (Ради простоты изложения я в данном случае игнорирую сопротивление воздуха; позже мы поговорим об этом подробнее.) Через одну секунду шар для боулинга летит со скоростью 9,8 метра в секунду. К концу второй секунды он ускоряется еще на 9,8 метра в секунду, следовательно, движется со скоростью 19,6 метра в секунду. А к концу третьей секунды он уже будет лететь со скоростью 29,4 метра в секунду. Чтобы долететь со смотровой площадки до земли, ему требуется около 8 секунд. Таким образом, его скорость к этому моменту составляет 8 раз по 9,8, то есть около 78 метров в секунду (приблизительно 280 километров в час).

Кстати, вы знаете о весьма распространенном мифе, что если бросить с верхушки Эмпайр-стейт-билдинг монетку и попасть в человека, то его можно убить? Тут я опять игнорирую роль сопротивления воздуха, которая – я подчеркиваю – в данном случае будет весьма значительной. Но даже без ее учета монетка, упавшая вам на голову со скоростью около 78 метров в секунду, вряд ли вас убьет.

Сейчас довольно удачный момент, чтобы разобраться с одной проблемой, которая будет неоднократно встречаться в этой книге, поскольку она часто возникает в физике – разницей между массой и весом. Обратите внимание, что Ньютон использует в своем уравнении массу, а не вес тела, и хотя вы, скорее всего, думаете, что это одно и то же, в действительности это принципиально разные понятия. Мы обычно используем как единицу веса килограмм (и в этой книге тоже), но на самом деле это единицы массы.

Разница между ними довольно проста. Ваша масса остается одинаковой независимо от того, в каком месте Вселенной вы находитесь. Правда-правда – и на Луне, и в открытом космосе, и на поверхности какого-нибудь астероида. При смене места изменяется не масса, а вес. Так что же такое вес? Вот тут все несколько усложняется. Вес – это результат гравитационного притяжения. Вес является силой: это масса, умноженная на гравитационное ускорение (F = mg). Таким образом, наш вес варьируется в зависимости от воздействующей на нас силы тяготения, поэтому космонавты на Луне весят меньше. Гравитация на Луне в шесть раз меньше, чем на Земле, так что на Луне человек весит лишь одну шестую часть от своего веса на Земле.

На тело определенной массы действует приблизительно одинаковая сила земного притяжения, не зависящая от того, где именно на Земле оно находится. Следовательно, вполне правомерно говорить: «Он весит восемьдесят килограммов», несмотря на то что при этом мы путаем две категории – массу и вес. Я долго и упорно думал, стоит ли использовать в этой книге специальную физическую единицу силы (то есть вес), а не килограммы, и решил этого не делать, потому что тогда обсуждение получится слишком запутанным. Вряд ли даже самый фанатичный физик, весящий 80 килограммов, сказал бы: «Я вешу 784 ньютона» (80 × 9,8 = 784). Так что вместо этого я просто прошу запомнить, в чем разница между массой и весом, поскольку вскоре мы вернемся к данному вопросу, выясняя, почему весы сходят с ума, когда вы, стоя на них, поднимаетесь на цыпочки.

Тот факт, что ускорение свободного падения на Земле фактически везде одинаково, базируется на еще одном таинственном обстоятельстве, о котором вы, возможно, наслышаны: что тела с разной массой падают с одинаковой скоростью. В известной истории о Галилео Галилее, впервые рассказанной в его ранней биографии, описывается, как он проводил эксперимент, одновременно бросая с верхушки Пизанской башни пушечное ядро и деревянный шар меньшего размера. Предположительно, он делал это, чтобы опровергнуть приписываемое Аристотелю утверждение, будто более тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие. Этот рассказ у многих вызывал сомнение, и сегодня, кажется, уже для всех очевидно, что Галилей никогда не проводил такого эксперимента, тем не менее история по-прежнему популярна. Причем настолько, что командир «Аполлона 15» астронавт НАСА Дэвид Скотт, как известно, одновременно бросил на поверхность Луны молоток и перо сокола, чтобы посмотреть, будут ли они падать вниз с одинаковой скоростью и в вакууме. Это замечательное видео можно найти в интернете.

Лично меня в этом видео поражает то, как медленно падают оба предмета. Если не слишком над этим задумываться, можно было бы ожидать, что они будут падать быстро, по крайней мере молоток. Но оба падают медленно – потому что ускорение свободного падения на Луне в шесть раз меньше, чем на Земле.

Почему же Галилей был прав, утверждая, что два тела разной массы приземлятся одновременно? Потому что ускорение свободного падения одинаково для всех объектов. Согласно формуле F = ma, чем больше масса, тем больше сила тяготения, но ускорение у всех объектов одно и то же. Таким образом, они достигают земли с одинаковой скоростью. Конечно, объект с большей массой будет иметь большую энергию и, следовательно, сильнее ударяться о землю.

Тут важно отметить, что перо и молоток ни за что не приземлилась бы в одно и то же время, если бы вы провели этот эксперимент на Земле. Это результат сопротивления воздуха, которое мы до сих пор сбрасывали со счетов. Сопротивление воздуха – сила, противодействующая движению движущихся тел. Кроме того, ветер будет гораздо сильнее влиять на перо, нежели на молоток.

Это подводит нас к очень существенной особенности второго закона Ньютона. Слово результирующая в приведенном выше уравнении критически важно, поскольку в природе на тело практически всегда действует более одной силы и все они должны приниматься во внимание. Это означает, что их нужно суммировать. Но на самом деле все не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что силы являются тем, что мы называем векторами, то есть у них есть не только величина, но и направление, что, в свою очередь, означает, что для определения результирующей силы вы не можете просто сложить цифры, скажем, 2 + 3 = 5. Предположим, например, что на тело массой 4 килограмма действуют всего две силы: одна, в 3 ньютона, направлена вверх, а другая, в 2 ньютона, – вниз. Их сумма составляет 1 ньютон с направленностью вверх, и согласно второму закону Ньютона данное тело будет двигаться вверх с ускорением 0,25 метра в секунду за секунду.

Сумма двух сил даже может быть равна нулю. Например, если я поставлю объект массой m на свой стол, то по второму закону Ньютона на него будет действовать сила тяготения mg (масса × ускорение свободного падения) ньютонов в направлении вниз. Поскольку данное тело не ускоряется, результирующая сила, действующая на него, должна равняться нулю. Это означает, что должна быть другая сила, равная mg ньютонам, направленная вверх. Это сила, с которой стол толкает объект вверх. Сила mg, направленная вверх, суммируется с силой mg, направленной вниз, и в сумме они дают силу, равную нулю!

Это подводит нас к третьему закону Ньютона: «У каждого действия всегда есть равное противодействие». Это означает, что силы, с которыми два тела воздействуют друг на друга, всегда равны и имеют противоположную направленность.

Некоторые из последствий данного закона очевидны на интуитивном уровне, например, винтовка при выстреле дает отдачу в плечо стреляющего. Но учтите также, что когда вы давите на стену, она давит на вас в противоположном направлении с точно такой же силой, как вы на нее. И клубничный торт, купленный на день рождения, давит на блюдо с той же силой, с какой блюдо давит на него. В сущности, каким бы странным ни казался третий закон Ньютона, мы с вами буквально окружены его примерами в действии.

Вам когда-нибудь приходилось, включив кран с присоединенным к нему лежащим на земле шлангом, видеть, как тот извивается, словно змея, а если вам особенно повезло, обрызгивает вашего не успевшего отбежать младшего братишку? Почему это происходит? Потому что вода, выталкиваемая из шланга, тоже давит на него, в результате чего шланг обливает все вокруг. И, само собой, вы пробовали надуть воздушный шарик, а затем отпустить его, чтобы посмотреть, как он бешено мечется по комнате. А все дело в том, что шар выталкивает воздух и воздух, выходящий из него, толкает шар в противоположном направлении, вынуждая носиться вокруг – этакая воздушная версия извивающегося садового шланга. По этому же принципу работают реактивные самолеты и ракеты. Они выталкивают газ с очень большой скоростью, что заставляет их двигаться в противоположном направлении.

Чтобы до конца понять, насколько необыкновенна и глубока эта идея, рассмотрим, что происходит согласно законам Ньютона, когда мы бросаем яблоко с тридцатиэтажного здания. Мы знаем, что ускорение будет g, то есть 9,8 метра в секунду за секунду. Теперь предположим, что масса яблока составляет около половины килограмма. Используя второй закон, F = ma, вычисляем, что Земля притягивает яблоко с силой 0,5 × 9,8 = 4,9 ньютона. Пока все идет нормально.

Теперь смотрим, что происходит в соответствии с третьим законом: если Земля притягивает яблоко с силой 4,9 ньютона, то и яблоко притягивает Землю с силой 4,9 ньютона. Таким образом, выходит, что, когда яблоко падает на Землю, Земля падает на яблоко. Звучит нелепо, верно? Но погодите. Поскольку масса Земли несравненно больше массы яблока, цифры получаются довольно дикие. Так как масса Земли нам известна (около 6 × 10²⁴ килограммов), мы можем вычислить, насколько сильно она смещается в направлении яблока: где-то на 10⁻²² метра, то есть около одной десятимиллионной размера протона. Это расстояние настолько мало, что его просто невозможно измерить; по сути, оно бессмысленно.

Утверждение, что два тела воздействуют друг на друга с равной силой противоположной направленности, работает повсюду в нашей жизни, и именно оно виновато в том, что ваши весы сходят с ума, когда вы встаете на них на цыпочки. Это возвращает нас к вопросу, что же такое вес, и позволяет лучше это понять.

Когда вы стоите на весах, земное притяжение давит на вас вниз с силой mg (где m – ваша масса), а весы толкают вас вверх с той же силой, так что результирующая сила, действующая на вас, равна нулю. На самом деле ваши весы измеряют именно эту толкающую вверх силу, и именно она отображается на циферблате как ваш вес. Но, как вы помните, вес – не то же самое, что масса. Чтобы изменилась ваша масса, вам придется сесть на диету (или, наоборот, начать есть больше); изменить же вес гораздо легче и быстрее.

Предположим, что ваша масса (m) – 55 килограммов. Когда вы встаете на весы, вы давите на них с силой mg и весы воздействуют на вас с той же силой, mg. Результирующая сила, воздействующая на вас, равна нулю. Сила, с которой весы давят на вас, отобразится на их шкале. Например, если они указывают вес в килограммах, вы это и увидите: 55 килограммов.

А теперь давайте взвесим вас в лифте. Пока лифт стоит на месте (или движется с постоянной скоростью), вы не ускоряетесь (как и лифт) и весы показывают все те же 55 килограммов, то есть столько же, как и при взвешивании в ванной комнате. Мы входим в лифт (он находится в состоянии покоя), вы встаете на весы и они показывают 55 килограммов. Теперь я нажимаю кнопку верхнего этажа, и лифт какое-то краткое время набирает скорость. Предположим, что его ускорение постоянно и составляет 2 метра в секунду за секунду. В течение короткого времени, пока лифт разгоняется, результирующая сила, действующая на вас, не может быть равна нулю. Согласно второму закону Ньютона она (F_рез) должна быть F_рез = ma_рез. Поскольку ускорение составляет 2 метра в секунду за секунду, результирующая сила, действующая на вас по направлению вверх, будет m × 2. Так как действующая на вас сила тяжести будет mg и направлена вниз, должна быть сила mg + m² (что можно также записать в виде m(g + 2)), действующая на вас в направлении вверх. Откуда же она берется? Она должна исходить от ваших весов (откуда же еще?). Весы воздействуют на вас силой m(g + 2), направленной вверх. Но вспомните, что вес, отображаемый на весах, – это сила, с которой они толкают вас вверх. В результате весы говорят вам, что ваш вес составляет около 65 килограммов (g равняется около 10 метров в секунду за секунду). Похоже, вы довольно сильно потолстели!

Согласно третьему закону Ньютона, если весы воздействуют на вас с силой m(g + 2), направленной вверх, то и вы должны прилагать к ним такую же силу противоположной направленности. Далее, по логике, если весы давят на вас с той же силой, с какой вы давите на них, то результирующая сила, действующая на вас, равна нулю, следовательно, вы не можете ускориться. Однако, рассуждая таким образом, вы совершаете весьма распространенную ошибку. На вас действуют только две силы: mg, направленная вниз вследствие силы тяжести, и m(g + 2), направленная вверх со стороны весов. Стало быть, к вам прилагается результирующая сила 2m, направленная вверх, которая ускоряет вас на 2 метра в секунду за секунду.

В тот момент, когда лифт прекращает ускоряться, ваш вес возвращается к норме. Следовательно, он увеличивается лишь в течение очень короткого промежутка времени, пока растет ускорение.

Как вы уже, наверное, догадались, если лифт ускоряется, двигаясь вниз, вы теряете вес. В течение того времени, что лифт разгоняется вниз с ускорением 2 метра в секунду за секунду, весы будут показывать, что ваш вес равен m(g–2), то есть около 44 килограммов. Поскольку лифт, идущий вверх, должен в итоге остановиться, ему для этого нужно короткое время разгоняться в направлении вниз. Таким образом, ближе к концу подъема вы увидите, что довольно сильно похудели, что, возможно, вас порадует! Однако вскоре после того, как лифт полностью остановится, ваш вес снова вернется к нормальному показателю (в нашем примере к 55 килограммам).

Теперь предположим, что какой-то ваш недоброжелатель перережет трос и вы полетите вниз по шахте лифта с ускорением свободного падения g. Понятно, что в этот момент вы вряд ли будете думать о физике, но это был бы весьма интересный (и весьма короткий) эксперимент. Ваш вес составил бы m(g – g) = 0, то есть вы стали бы невесомым. Учитывая, что весы будут падать вниз с таким же ускорением, что и вы, они перестанут воздействовать на вас направленной вверх силой. И если бы вы в этот миг посмотрели вниз на весы, то увидели бы, что они показывают ноль. В сущности, вы бы парили в воздухе, и все, что находилось в лифте, парило бы вместе с вами. Например, если бы у вас был стакан воды, вы запросто могли бы перевернуть его вверх дном, и вода не вылилась бы. Впрочем, это один из тех экспериментов, которые я настоятельно рекомендую никогда не проводить!

Это объясняет, почему космонавты парят в космических кораблях. Когда космический модуль, или шаттл (то есть многоразовый транспортный космический корабль), находится на орбите, он фактически пребывает в состоянии свободного падения – подобно летящему вниз лифту. Но что же такое свободное падение? Ответ может вас удивить. Свободное падение – это когда на тело действует только сила земного притяжения и больше никаких других сил. На орбите космонавты, космический корабль и все, что в нем, находятся в состоянии свободного падения – падают на Землю. Причина, почему космонавты не расплющиваются, заключается в том, что Земля изогнута и космонавты, космический корабль и все, что в нем, движутся так быстро, что по мере их падения на Землю поверхность планеты выгибается от них и они не шлепаются на нее.

Таким образом, космонавты в шаттле невесомы. Оказавшись в таком космическом корабле, вы могли бы подумать, что там вообще не действует сила тяготения; в конце концов, в нем ничто не имеет веса. Часто говорят, что шаттл на орбите представляет собой среду состояния невесомости, поэтому вы так все и воспринимаете. А между тем, если бы не было силы земного притяжения, корабль просто не мог бы оставаться на орбите.

Идея изменения веса сама по себе настолько захватывающа, что мне уж очень хотелось бы иметь возможность продемонстрировать это явление – даже невесомость – в аудитории. Что, если забраться на стол, привязать к ногам весы и спрыгнуть вниз? Может, тогда я мог бы показать студентам, приспособив специальную камеру, что буквально полсекунды, пока я пребываю в свободном падении, стрелка весов будут находиться на нуле. Я мог бы порекомендовать вам сделать это самим, однако, право, не стоит. Поверьте, я пробовал это много раз и только сломал несколько весов. Проблема в том, что обычные весы, которые продаются в магазине, реагируют на все гораздо медленнее, чем требуется для данного эксперимента, – и все из-за инерции в их пружинах. Получается, что один из законов Ньютона мешает другому! Вот если бы вы спрыгнули с тридцатиэтажного здания, у вас, наверное, было бы достаточно времени (около 4,5 секунды), чтобы увидеть желаемый эффект, но, конечно, при этом возникли бы кое-какие другие серьезные проблемы.

Так что при желании испытать состояние невесомости, вместо того чтобы ломать весы или прыгать с небоскребов, попробуйте кое-что получше на своем дворе, если там есть стол для пикника, а у вас достаточно крепкие колени. Я проделываю это с лабораторным столом перед аудиторией. Заберитесь на стол и возьмите в руки небольшой кувшин с водой. Держите его на вытянутых руках, просто поставив на ладони, а не обхватив с боков. Он должен просто лежать на ваших руках. Теперь прыгайте со стола, и пока вы будете находиться в воздухе, кувшин на мгновение отделится от ваших ладоней и начнет парить над ними. Если вы привлечете к эксперименту друга, чтобы он снял ваш прыжок на цифровое видео, а потом воспроизведете запись в замедленном движении, то очень четко увидите, что кувшин парит в воздухе. Почему? Потому что по мере того, как вы с ускорением летите вниз, сила, с которой вы давили на кувшин по направлению вверх, чтобы удержать его на ладонях, становится равна нулю. Теперь кувшин летит с ускорением 9,8 метра в секунду за секунду – так же, как и вы. Вы оба находитесь в свободном падении.

Но как же все это помогает объяснить, почему ваши весы сходят с ума, когда вы поднимаетесь на них на цыпочки? Толкая себя вверх, вы ускоряетесь в том же направлении, и сила, с которой на вас воздействуют весы, увеличивается. Поэтому вы очень короткое время весите больше. Но потом, когда вы уже встали на пальцы, ваше движение прекращается, вы останавливаетесь, и ваш вес уменьшается. Затем, когда вы начинаете опускать пятки, весь процесс повторяется в обратном порядке, и вы можете смело считать, что только что наглядно продемонстрировали, как, ни на грамм не меняя массы тела, можно буквально за доли секунды набрать или сбросить вес.

Закон всемирного тяготения: Ньютон и яблоко

Обычно мы говорим о трех законах Ньютона, хотя на самом деле он сформулировал четыре. Все слышали знаменитую историю о том, как однажды Ньютон наблюдал за падением с дерева яблока в своем саду. Один из его ранних биографов утверждал, что об этом рассказывал сам физик. «Все из-за падения яблока», – писал друг Ньютона Уильям Стакли, ссылаясь на разговор с ученым в момент, «когда он находился в созерцательном настроении». «Почему яблоко всегда падает перпендикулярно земле?» – задумался Ньютон. Однако следует признать, что в правдивости этой истории убеждены далеко не все. В конце концов, Ньютон рассказал ее Стакли всего за год до своей смерти и более не упоминал о случае с яблоком ни в одном месте своего весьма внушительного письменного наследия.

Тем не менее одно не вызывает сомнений: Ньютон был первым в мире человеком, понявшим, что та же самая сила, которая заставляет яблоко падать с дерева, управляет движением Луны, Земли и Солнца, да и всех объектов во Вселенной. Это было экстраординарное открытие, истинное озарение, но великий физик опять, в очередной раз, не стал останавливаться на достигнутом. Он понял, что каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект, и вывел формулу для расчета силы этого притяжения, ныне всем известную как закон всемирного тяготения Ньютона. Этот закон гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Иными словами, если использовать чисто гипотетический пример, который, я подчеркиваю, не имеет никакого отношения к действительности, и представить, что Земля и Юпитер вращаются вокруг Солнца на одинаковом расстоянии, то, учитывая, что Юпитер примерно в 318 раз тяжелее Земли, сила тяготения, действующая между Солнцем и Юпитером, была бы приблизительно в 318 раз больше силы, притягивающей друг к другу Солнце и Землю. А если бы Юпитер и Земля имели одинаковую массу, но Юпитер находился бы на его реальной орбите, то есть примерно в пять раз дальше от Солнца, чем Земля, то, поскольку сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния, между Солнцем и Землей она была бы в двадцать пять раз больше, чем между Солнцем и Юпитером.

В знаменитом фундаментальном труде Ньютона «Математические начала натуральной философии» (сегодня мы называем его просто «Начала»), опубликованном в 1687 году, физик не использовал для представления закона всемирного тяготения уравнение, но в современной физике он обычно представлен следующим образом:

Здесь F_тяг – сила земного притяжения между объектами с массой m₁ и m₂; r – расстояние между ними, а 2 над r означает «в квадрате». А что же такое G? Это то, что физики называют гравитационной постоянной. Ньютон, конечно, знал о ее существовании, но в «Началах» о ней не упоминается. В результате многочисленных измерений, выполненных учеными с тех пор, на сегодняшний день самое точное значение G составляет[11] 6,67428 ± 0,00067 × 10⁻¹¹. Мы, физики, также считаем, что эта постоянная одинакова для всей Вселенной, как и предполагал Ньютон.

Влияние законов Ньютона оказалось поистине гигантским, и его просто невозможно переоценить. «Начала» ученого были и остаются одним из самых фундаментальных научных трудов, когда-либо написанных человеком. Его законы в корне изменили физику и астрономию и позволили вычислить массу Солнца и планет. Делается это на редкость элегантно. Если вам известен орбитальный период той или иной планеты (скажем, Юпитера или Земли) и ее расстояние до Солнца, вы можете рассчитать массу Солнца. Разве это не похоже на волшебство? Но можно пойти еще дальше: если нам известен орбитальный период одной из ярких лун (спутников) Юпитера (их открыл Галилей в 1609 году) и расстояние между Юпитером и этой луной, мы можем вычислить массу Юпитера. Соответственно, зная орбитальный период обращения Луны вокруг Земли (он составляет 27,32 дня) и среднее расстояние между Землей и Луной (около 384 тысяч километров), мы с высокой степенью точности можем рассчитать массу Земли. Я покажу вам, как это работает, в Приложении II. И если вы хоть немного дружите с математикой, вам обязательно понравится!

Более того, законы Ньютона не ограничиваются нашей Солнечной системой. Они диктуют и объясняют движение звезд, двойных звезд (глава 13), звездных скоплений, галактик и даже скоплений галактик; им мы обязаны одним из величайших открытий XX века – открытием вещества, которое мы называем темной материей. Я подробнее расскажу об этом чуть позже. Законы Ньютона прекрасны и одновременно умопомрачительно просты и невероятно мощны. Они объясняют так много; а диапазон явлений, которые они помогают понять, поистине огромен.

Сведя воедино физику движения, взаимодействия между телами и движения планет, Ньютон предложил новый порядок астрономических измерений, показав, как то, что прежде было беспорядочным нагромождением запутанных наблюдений, сделанных астрономами за много веков, взаимосвязано между собой. Другим ученым приходили в голову проблески его идей, но они не смогли, подобно Ньютону, объединить их в единую систему.

Например, Галилео Галилей, умерший за год до рождения Ньютона, был автором ранней версии первого закона Ньютона и сумел математически описать движение тел. Он также обнаружил, что все тела падают с заданной высоты с одинаковым ускорением (при отсутствии сопротивления воздуха), однако не смог объяснить, почему так происходит. Иоганн Кеплер, разработав основополагающие принципы действия планетарных орбит, тоже не смог сказать, почему они действуют именно так. Это опять же объяснил Ньютон. И, как мы уже убедились, эти ответы и многие выводы, которые из них проистекают, никак нельзя назвать интуитивными.

Меня лично чрезвычайно интересуют и восхищают силы движения. Сила тяготения всегда с нами; она пронизывает всю Вселенную. И что самое поразительное (ну хорошо, это всего лишь одно из ее неимоверных качеств) – она действует на расстоянии. Вы когда-нибудь задумывались над тем, что наша планета остается на орбите, а мы с вами живы благодаря силе притяжения между двумя небесными телами, которые отделены друг от друга почти 150 миллионами километров?

Движущиеся маятники

Хотя сила тяготения присутствует в нашей жизни повсеместно, влияние, которое она оказывает на наш мир, довольно часто сбивает с толку. Я, например, люблю устраивать демонстрацию с маятником, чтобы удивить студентов тем, насколько парадоксально работает сила тяготения в этом несложном устройстве. Теперь расскажу и вам.

Многие из вас, возможно, думают, что если вы качаетесь на качели рядом с человеком, который намного легче вас, скажем с трехлетним малышом, то вы будете двигаться гораздо медленнее. Однако это не так. Так что вас должен немало удивить тот факт, что количество времени, необходимое для завершения одного колебания маятника (период колебания), не зависит от веса груза, висящего на этом маятнике. Обратите внимание, что я сейчас говорю о простом маятнике, а это означает, что он отвечает двум условиям. Во-первых, вес груза должен быть настолько больше веса нити, чтобы вес последней можно было не принимать во внимание. Во-вторых, размер груза должен быть достаточно мал, чтобы мы могли трактовать его как простую точку, имеющую нулевой размер[12]. Смастерить простой маятник в домашних условиях совсем нетрудно: просто привяжите яблоко к легкой нити, длина которой как минимум раза в четыре превышает размер яблока.

Итак, используя законы движения Ньютона, я вывожу в аудитории уравнение для вычисления периода колебания простого маятника, а затем проверяю это уравнение. Для этого мне надо исходить из предположения, что угол колебания маятника мал. Позвольте уточнить, что я имею в виду. Когда вы смотрите на свой самодельный маятник, раскачивающийся справа налево и слева направо, вы видите, что большую часть времени он движется либо в одну, либо в другую сторону. Тем не менее во время полного колебания маятника есть два момента, когда он замирает, после чего начинает движение в обратном направлении. В эти моменты угол между нитью и вертикальной осью достигает максимального значения, которое называется амплитудой маятника. Если не принимать во внимание сопротивление (трение) воздуха, то максимальный угол при остановке маятника в крайнем левом положении будет точно таким же, как и в крайнем правом положении. Уравнение, которое я вывожу, подходит только для малых углов (малых амплитуд). Мы, физики, называем такое выведение аппроксимацией с допущением о малости углов. Студенты обычно спрашивают меня: «А насколько мал должен быть этот угол?» А одна студентка подошла к делу еще серьезнее, спросив: «А считается ли малой амплитуда в пять градусов? Работает ли это уравнение для амплитуды в десять градусов, или десять градусов уже слишком большой угол?» Отличные вопросы, на которые я предложил ответить, не отходя от кассы.

Уравнение, которое я вывожу, довольно простое и очень элегантное, хотя тем, кто долгое время не имел дела с математикой, оно может показаться несколько устрашающим:

Здесь Т – это период колебания маятника (в секундах), L – длина нити (в метрах), значение π приблизительно равно 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 метра в секунду за секунду). Правая часть уравнения формулируется так: 2π, умноженное на корень квадратный частного длины нити, поделенное на ускорение свободного падения. Я не буду здесь вдаваться в подробности, почему это уравнение истинно (при желании вы можете проследить за ходом моих рассуждений на моих видеолекциях).

Я привожу в книге это уравнение для того, чтобы вы могли оценить, насколько точно его истинность подтверждается моими демонстрациями. Согласно данному уравнению период колебания маятника длиной в 1 метр составляет приблизительно 2 секунды. Я засекаю время, которое требуется маятнику с нитью такой длины, чтобы произвести десять колебаний, и у меня получается примерно 20 секунд. Делим на 10 и получаем период колебания 2 секунды. Тогда я перехожу к маятнику с нитью в четыре раза короче первой. В соответствии с уравнением его период колебания должен быть в два раза меньше. У моего маятника нить длиной 25 сантиметров, и на десять колебаний у него действительно уходит около 10 секунд. Пока все идет вполне обнадеживающе.

Чтобы подвергнуть выведенное уравнение более тщательной проверке, чем с использованием маленького маятника из нити с яблоком, я соорудил в аудитории другой простой маятник: канат длиной 5,18 метра со сферическим стальным грузом весом 15 килограммов. Я называю его отцом всех маятников.

Каким же будет период колебания (T) такого, куда более внушительного маятника? Подставив значения, получаем T = 2π√(5,18/9,8), то есть 4,57 секунды. Чтобы проверить этот результат, как было обещано студентам в начале лекции, я измеряю период колебания при амплитудах 5 и 10 градусов.

Я использую большой цифровой таймер, который могут видеть все студенты, показывающий время с точностью до одной сотой секунды. Время моей реакции при его включении и выключении за много лет проверено неоднократно, и я знаю, что оно составляет примерно одну десятую секунды (в удачный день). Это означает, что если я сделаю один и тот же замер десяток раз, то получу данные о периоде колебания маятника, которые будут отличаться не более чем на 0,1 (ну, возможно, на 0,15) секунды. Так что, измерю я время одного колебания или десяти, погрешность полученного показателя будет приблизительно плюс-минус 0,1 секунды. Поэтому я позволяю маятнику колебаться десять раз, что дает в десять раз более точное значение периода его колебания, чем если бы он качнулся всего один раз.

Я отвожу груз так, чтобы угол наклона каната относительно вертикальной оси составлял около 5 градусов, отпускаю его и одновременно включаю таймер. Студенты хором считают колебания, и после десятого качка я останавливаю таймер. Потрясающе – таймер показывает 45,70 секунды, в десять раз больше моей оценки времени одного колебания. Студенты в восторге аплодируют.

Тогда я увеличиваю амплитуду до 10 градусов, отпускаю груз и запускаю таймер; аудитория считает до десяти, я останавливаю таймер: 45,75 секунды. 45,75 ± 0,1 секунды за десять колебаний дает 4,575 ± 0,01 секунды на одно колебание. Результат для амплитуды в 5 градусов практически такой же, как для амплитуды в 10 градусов (в пределах погрешности данных измерений). Так что мое уравнение по-прежнему очень точное.

Затем я спрашиваю аудиторию: предположим, я сяду на груз и буду качаться вместе с ним – останется ли период колебаний прежним или изменится? Не могу сказать, что сплю и вижу, как бы забраться на эту штуку верхом (это, знаете ли, довольно больно), но ради науки, да и чтобы повеселить студентов и еще больше заинтересовать предметом, я никогда не упускаю данной возможности. Конечно, я не могу сидеть на грузе вертикально, потому что в этом случае сильно сокращу длину каната и, соответственно, несколько уменьшу период колебания. Но если пристроить тело, насколько это возможно, в максимально горизонтальном положении, чтобы быть на одном уровне с грузом, длина веревки останется практически прежней. Итак, я засовываю груз между ног, берусь за канат, сажусь на груз верхом и начинаю качаться.

Признаюсь, включать и выключать таймер, изображая груз маятника, не увеличив при этом время реакции, довольно трудно. Но я практиковал это так много раз, что совершенно уверен в своей способности сохранить погрешность измерений в пределах ± 0,1 секунды. Я качаюсь десять раз, пока студенты хором считают колебания и хохочут над абсурдностью моего положения, поскольку я, качаясь, нарочито громко причитаю и стону, – и после десятого колебания останавливаю таймер. Он показывает 45,61 секунды. Период одного колебания – 4,56 ± 0,01 секунды. «Уравнение работает!» – кричу я. Студенты в полном восторге.

Бабушки и космонавты

Другим весьма запутанным аспектом гравитации является то, что у нас может сложиться ложное впечатление, будто она действует с совсем другого направления, нежели на самом деле. Сила земного тяготения всегда притягивает объект к центру Земли на Земле, а не где-нибудь на Плутоне, конечно. Но порой кажется, что она действует в горизонтальном направлении, и эта искусственная, или мнимая, гравитация, как ее называют физики, иногда фактически попирает саму гравитацию.

Вы можете без труда продемонстрировать мнимую гравитацию в домашних условиях, повторив то, что имела обыкновение делать моя бабушка, готовя мне салат. Как я уже говорил, у бабушки было множество поистине потрясающих идей – помните, это именно она убедила меня, что в лежачем состоянии человек длиннее, чем в стоячем. Так вот, к приготовлению салата она тоже подходила весьма оригинально. Бабушка мыла зелень в дуршлаге, а затем, вместо того чтобы сушить ее тканевым полотенцем, которое могло повредить хрупкие листья, использовала собственную, ею изобретенную методику. Она накрывала дуршлаг полотенцем, закрепляла его на месте резинкой, а потом очень-очень быстро и воинственно начинала им вертеть.

Когда я воспроизвожу это в аудитории, я стараюсь предупредить студентов, сидящих в двух первых рядах, чтобы они закрыли тетради, иначе страницы промокнут. Я приношу салат в аудиторию, тщательно промываю его в раковине на лабораторном столе и кладу в дуршлаг. «Поехали!» – объявляю я и начинаю энергично вертеть дуршлаг в руке. Капли воды разлетаются повсюду! Конечно, сегодня практически у каждой хозяйки имеется специальное кухонное приспособление – банальная скучная центрифуга для сушки салатных листьев, которая заменила веселый метод моей бабушки. Очень жаль. Вот так современная жизнь постепенно выдавливает из окружающих нас вещей романтику.

Такую же искусственную гравитацию испытывают космонавты, когда ракета разгоняется при выходе на орбиту Земли. Мой друг и коллега по МТИ Джеффри Хоффман участвовал в пяти космических миссиях и рассказывал, что в процессе запуска экипаж испытывает на себе целый диапазон различных ускорений, от примерно 0,5g на начальном этапе до около 2,5g к завершению стадии сгорания твердого ракетного топлива. Потом ускорение опять уменьшается приблизительно до 1g на короткое время, за которое загорается жидкое топливо, а затем нарастает до 3g в течение последней минуты запуска, который в целом длится около восьми с половиной минут (за это время ракета набирает скорость примерно 27 тысяч километров в час). И, как говорят знающие люди, это не самые приятные ощущения. Когда космонавты наконец достигают орбиты, они становятся невесомыми, что воспринимается ими как нулевая гравитация.

Как вы теперь знаете, и салат, ощущая на себе давление дуршлага, и космонавты, чувствуя, как на них давит кресло, испытывают своего рода искусственную, мнимую, гравитацию. Хитроумное изобретение моей бабушки, как и нынешние скучные сушилки для зелени, конечно же, представляет собой разновидность центрифуги, отделяющей салат от воды, цепляющейся за его листья, которая, в свою очередь, брызгами разлетается во все стороны через отверстия дуршлага. Кстати, чтобы испытать на себе искусственную, мнимую, гравитацию, вовсе не обязательно быть космонавтом. Можно просто пойти в парк развлечений на аттракцион под названием «Тарелка» – это когда вы стоите на краю большой вращающейся вертушки, прислонившись спиной к металлической ограде. Вертушка вращается все быстрее и быстрее, и вы чувствуете, как ваше тело все сильнее вдавливается в ограду, верно? В соответствии с третьим законом Ньютона вы давите на ограду с той же силой, с какой она давит на вас.

Сила, с которой ограждение давит на вас, называется центростремительной. Она обеспечивает необходимое ускорение, чтобы вы могли вращаться, причем чем быстрее вы вращаетесь, тем она больше. Помните, что при движении по кругу сила (и, следовательно, ускорение) необходима, даже если величина скорости не меняется. Аналогичным образом сила тяготения обеспечивает центростремительной силой и планеты, вращающиеся вокруг Солнца, о чем я подробно рассказываю в Приложении II. Силу, с которой вас прижимает к ограде аттракциона «Тарелка», часто называют центробежной. Величина центростремительной и центробежной силы одинакова, но действуют они в противоположных направлениях. Их не следует путать. На вас действует только центростремительная сила (но не центробежная), а на ограду аттракциона только центробежная (но не центростремительная)[13].

Некоторые «Тарелки» вращаются так быстро, что, когда в какой-то момент пол ухолит из-под ваших ног, вы вниз не соскальзываете. Почему?

А вы подумайте. Если «Тарелка» вообще не вращается, сила тяготения заставит вас соскользнуть вниз, поскольку сила трения между вами и (вертикальным) ограждением недостаточно велика, чтобы уравновесить силу тяготения. Но сила трения при опущенном поле будет больше, когда «Тарелка» вращается, так как она зависит от центростремительной силы. Чем она больше (с опущенным полом), тем больше сила трения. Таким образом, если аттракцион с опущенным полом вращается довольно быстро, сила трения может быть достаточно большой для того, чтобы уравновешивать силу тяготения, и вы, следовательно, вниз не соскользнете.

Продемонстрировать искусственную гравитацию можно разными способами. Опишу один, который вы можете попробовать в домашних условиях, скажем, у себя во дворе. Привяжите веревку к ручке пустой банки из-под краски и налейте в нее воды (примерно наполовину, иначе вам будет тяжело крутить), а затем начните быстро вертеть банкой над головой. Возможно, чтобы получалось достаточно быстро, придется немного потренироваться. Научившись, вы увидите, что из банки не выливается ни капли. Мои студенты делают это на лекциях, и, должен сказать, это полный восторг! Такой маленький эксперимент также объясняет, почему некоторые особенно адреналиновые разновидности аттракциона «Тарелка» постепенно переворачиваются до тех пор, пока катающиеся в какой-то момент не оказываются вверх ногами и все равно не падают на землю (хотя их в целях безопасности, конечно же, привязывают к ограждению).

Сила, с которой весы давят на нас, определяет, что они скажут нам о нашем весе; сила тяготения – а не ее отсутствие, – делает космонавтов невесомыми; а когда яблоко падает на Землю, Земля падает на яблоко. Законы Ньютона просты, всеобъемлющи, глубоки и совершенно противоречат здравому смыслу. Разрабатывая их, сэр Исаак Ньютон соперничал с поистине таинственной Вселенной, и человечеству невероятно повезло, что он сумел разгадать некоторые из этих тайн, заставив нас взглянуть на окружающий мир совершенно по-новому.