Искатели необычайных автографов

Буль Булю рознь

Мате подвел друга к одноэтажному деревянному особнячку на тихой замоскворецкой улице.

— Вот и моя берлога!

Он пошарил в карманах, достал ключ и вставил уже зубчатый металлический стерженек в прорезь английского замка, но Фило остановил его:

— Погодите… Постоим немного здесь.

— Позвольте узнать: зачем?

— Просто так. Люблю старую Москву.

Мате скрестил руки на груди и прислонился к облезлому столбику крыльца. Фило с преувеличенным вниманием рассматривал свои кеды. Потом вдруг спросил:

— А он вправду не кусается?

— Кто?

— Можно подумать, вы не знаете! Бульдог, разумеется.

— Ах, бульдог! — соизволил наконец понять Мате. — Но я вам уже двадцать раз говорил: Буль совсем не злой, к тому же удивительно чуткий. Мои друзья — его друзья…

— Возможно, но… знает ли об этом он?

— Ну вот что, — решительно заявил Мате, — одно из двух: или вы с ним подружитесь, или…

— Или он меня съест. Это вы хотели сказать?

Но Мате, успевший уже открыть дверь, бесцеремонно втолкнул собакобоязненного филолога в темную прихожую, где налетело на него нечто плотное, упругое, шумно дышащее… Фило обмер, но Буль, обнюхав гостя, радушно ткнулся влажным носом в его пухлую руку.

А спустя минуту, миновав захламленный коридор и очутившись в столь же захламленной комнате, Фило увидел мускулистого, облитого гладкой лоснящейся шерстью крепыша и вынужден был признать, что пес действительно хорош. Вот только морда некрасивая, но, в конце концов, что такое красота? Разве не относительное понятие? По этому поводу ему вспомнилось размышление о кенгуру, вычитанное недавно в одном путевом очерке.

Увидав кенгуру впервые, пишет автор, останавливаешься в недоумении. Что за нелепое создание! Узкие плечи и широкий, увесистый зад. Короткие передние лапы и длиннющие — задние. Маленькая головенка, мощный хвост и в довершение всего — дурацкая сумка на животе… Увидав кенгуру вторично, чувствуешь, что относишься к этому странному животному уже гораздо терпимее. А через некоторое время, встретив на улице лошадь, ловишь себя на мысли, что ей вроде бы чего-то не хватает…

Мате рассмеялся. Ничего не скажешь, забавно.

— А главное — образно! — дополнил Фило. — Через эту историю с кенгуру понимаешь, до чего условны наши представления о прекрасном и как легко мы привыкаем к новым формам. Кстати, что это у вас? — спросил он, указывая на пыльную кучу книг в углу.

— Не видите? Книги!

— Ужас, ужас и в третий раз ужас! Где у вас пыльная тряпка? Сейчас все это будет перетерто и расставлено по полкам.

— Да вы что! — взревел Мате. — Да я же тут с закрытыми глазами разбираюсь…

Но Фило словно оглох, и скоро пресловутая куча растаяла, как снежный сугроб под весенним солнцем.

Мате угрюмо оглядел стройный фронт корешков. Попробуй отыщи здесь что-нибудь!

— Ничего, ничего, — бодро возразил Фило, — привыкайте к новым формам жизни. И имейте в виду: это только начало! У вас масса ненужных вещей. Зачем вам, например, этот буль?

Услыхав свое имя, Буль поднял голову и подошел к Фило.

— Нет, нет, дружище, — улыбнулся тот, опасливо кладя ему руку на спину, — я не про тебя, а про тот исколотый циркулем столик. Он, представь себе, тоже называется булем. По имени французского художника-мебельщика времен Людовика Четырнадцатого. Замысловатая мебель Буля давно уже стала музейной редкостью. Вот и отдать бы столик в какой-нибудь музей — там его приведут в порядок и не станут употреблять в качестве чертежной доски… Да, Мате, уж не в честь ли этого Буля вы окрестили вашего пса?

Мате сердито фыркнул. Глупости! Буль — всего-навсего первая половина слова «бульдог». А если уж говорить по совести, собака получила имя в честь Булевой алгебры.

Фило шутливо схватился за голову. Не было печали! Мало ему обычной алгебры, так нет — есть еще какая-то Булева…

— Не какая-то, — строго поправили его. — Алгебра логики. Ее изобрел в девятнадцатом веке англичанин Джордж Буль.

Фило насторожился: одного Джорджа Буля он уже знает. Это отец известной писательницы Войнич. Автора бессмертного «Овода».

— Если так, значит, мы с вами говорим об одном и том же человеке, — сказал Мате. — Вот только относимся к нему по-разному. Для вас Буль — отец известной сочинительницы Войнич, а для меня Войнич — дочь выдающегося, хоть и неизвестного, ученого Буля.

— Выдающийся и неизвестный… Так не бывает.

— Бывает, — упрямо сказал Мате. — Слава приходит к людям по-разному. К одним — сразу, к другим — через многие века.

— Но что он такое сделал, ваш Буль?

— Написал «Математическое исследование логики», где логические рассуждения выражены алгебраическими формулами. С помощью буквенных обозначений.

Фило просто из себя вышел: что за дикая выдумка!

— Не такая уж дикая, как вам кажется, — возразил Мате. — Она приходила в голову и другим ученым. В конце тринадцатого века ее проповедовал итальянский отшельник Лу́ллий, но безуспешно. Один Джордано Бруно воздавал ему должное. В семнадцатом веке та же идея занимала великого немецкого математика Ле́йбница. Но и его соображения по этому поводу прозябали в неизвестности более двухсот лет.

— Но почему ж тогда эту алгебру называют Булевой? — возмутился Фило. — Ведь Буль, насколько я понимаю, всего лишь последователь Луллия и Лейбница.

— Не думаю. Скорее всего, мысль исследовать логику с помощью алгебры пришла ему в голову совершенно самостоятельно. Вы ведь уже знаете, что в науке так случается. И кроме того, то, что было наброском у Луллия и Лейбница, превратилось в завершенную теорию у Буля.

Фило иронически побарабанил пальцами по ручке кресла.

— Еще одна теория без применения.

— Нет, это невыносимо! — взвился Мате. — Сто́ит ли мыкаться с вами по средневековым базарам и проваливаться в кроличьи ямы, если вы не можете понять, что открытий без применения не бывает. Возьмите числа Фибоначчи… Разве не пошли они, в конце концов, в ход?

— Но когда? Через семь веков!

— До чего все-таки разные у нас взгляды! — с сердцем воскликнул Мате. — Для вас важно, что через СЕМЬ ВЕКОВ, а для меня, что ПРИГОДИЛИСЬ. Впрочем, Булю повезло. Его изобретение пролежало без дела не более ста лет. И теперь алгебра логики — одна из самых действенных научных теорий современности. Достаточно сказать, что на ней основана кибернетика…

— Не увлекайтесь, — перебил Фило, — нам с вами о кибернетике толковать рано.

— Ваша правда. Я и забыл, что на нашей совести несколько неразобранных задач.

Кофе с математикой

— Ну-с, с чего начнем? — спросил Фило, потирая руки.

— Я думаю, с кофе, — неожиданно заявил Мате. — У меня отличная кофеварка. Обратите внимание: собственная конструкция!

Толстяк подозрительно оглядел нескладный гибрид алюминиевой кастрюльки и электрочайника, от которого тянулся провод к разбитой фарфоровой розетке. Но кофе, против ожиданий, оказался превосходным, и лакомка Фило дал себе слово непременно выведать секрет его приготовления.

Тут он обратил внимание на необычной формы пятиугольную чашку, и мысли его сами собой перенеслись к задаче магистра Теодора. Некоторое время интерес к кофе боролся в нем с интересом к математике, но потом ему пришло в голову, что пить кофе и решать задачи можно одновременно. Он поделился своим открытием с Мате, и тот без лишних слов приступил к доказательству.

— Так вот, — сказал Мате, открывая неизбежный блокнот, — требуется вписать в квадрат ABCD равносторонний пятиугольник таким образом, чтобы одним из углов его был угол квадрата. — Он начертил квадрат. — Прежде всего проведем диагональ квадрата BD. Теперь на глазок впишем в квадрат равносторонний пятиугольник BEgFK так, чтобы диагональ BD была его осью симметрии. Сторону квадрата обозначим буквой а, сторону пятиугольника, естественно, через х — ведь именно она-то нам и неизвестна. Таким образом, АК = а — x; KF=x; AF = a — FD. Но FD есть гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника FLD, катеты которого равны ^х/₂. Теперь соблаговолите определить, чему равна гипотенуза FD.

Фило довольно бойко отрапортовал, что, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А раз так, значит, гипотенуза

— Отлично, — сказал Мате. — Стало быть, AF = а — ^x√2/₂. Теперь все стороны треугольника AKF выражены у нас через искомое число х: KF = x; АК = а — х; и, наконец, AF = а — ^x√2/₂. Снова обратимся к теореме Пифагора и получим, что KF² = AK² + AF², то есть х² = (а — х)² + (а — ^x√2/₂)²

— Что-то вроде квадратного уравнения, — сообразил Фило.

— Вот-вот. Надо лишь привести его в приличный вид.

Мате раскрыл скобки и перенес все члены уравнения в левую часть равенства:

— Решив уравнение по обычной формуле, — продолжал он, — получим:

— Э, нет, — заартачился Фило, — перед большим корнем полагаются два знака: плюс и минус. А вы написали только минус…

— Замечание верное, но ведь мы с вами не отвлеченное квадратное уравнение решаем, а ищем вполне конкретную сторону пятиугольника. А она, если вдуматься, никак не может быть больше стороны квадрата. Так что на сей раз хватит с вас и одного минуса.

— Невелика выгода. Ответ у вас все равно некрасивый: корень на корне и корнем погоняет.

Мате засмеялся. Этот Фило определенно делает успехи! Одной правильности ему уже мало. Что ж, придется предложить ответ поизящнее. Такой, например: если принять, что корень из двух приближенно равен 1,41, то х — также приближенно — равен 0,65a.

— Совсем другое дело! — сказал Фило. — Но там, между прочим, были еще две геометрические задачи.

— Благодарю за напоминание. Только теперь ваша очередь решать.

Фило обомлел. От него требуют самостоятельности?

— Вот именно, — непреклонно подтвердил Мате. — Единственное, что я могу для вас сделать, — напомнить условия задач. Итак, слушайте. Задача вторая. В равносторонний треугольник надо вписать квадрат, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Произвести это следует так, чтобы квадрат вместе с образовавшимся над ним малым треугольником составлял равносторонний пятиугольник.

Фило мрачно задумался. Через некоторое время, однако, лицо его прояснилось. Он взял у Мате блокнот, вычертил равносторонний треугольник АВС и вписал в него квадрат DEFg.

— Само собой, квадрат пока что приблизительный, так же как и равносторонний пятиугольник DEBFg.

— Ну, ну, — подбадривал Мате, — дальше…

— Дальше обозначим стороны большого треугольника через а, а стороны пятиугольника через х и рассмотрим прямоугольный треугольник AED. Гипотенуза его АЕ = а — х. Катет ED = x, а катет AD = ^{a — x}/₂. Так ведь?

— Клянусь решетом Эратосфена, так!

— Тогда остается применить теорему Пифагора:

А уж отсюда получим выражение

После этого Фило запнулся и посмотрел на Мате так жалобно, что сердце у того не выдержало, и вскоре перед ними красовалось следующее квадратное уравнение:

Решив его, они определили, что

и откинулись от стола, весьма удовлетворенные своей деятельностью.

— Ну, — ехидно полюбопытствовал Мате, — что же вы не спросите, почему перед корнем вместо двух знаков только один?

Фило гордо подбоченился: стоит ли спрашивать о том, что и так ясно? Ведь сторона квадрата не может быть отрицательной! Стало быть, минус ни при чем.

Далее он подсчитал, что √12 приближенно равен 3,46, а раз так, значит,

— Всё! Переходим к третьей задаче.

— Надо ли? — усомнился Мате. — Думаю, вы отлично справитесь с ней дома.

И он протянул товарищу листок, на котором было написано:

— Скряга! — укорил его Фило.

— Ничего, учитесь мыслить без подпорок. Ну же, не капризничайте… Хотите, объясню вам принцип шестидесятеричной системы?

— А вы уверены, что я в состоянии это понять?

Мате скорчил гримасу, означающую: «На глупые вопросы не отвечаю», и приступил к объяснениям.

— Для сравнения возьмем какое-нибудь число, записанное в нашей, десятичной, системе, ну хоть 2324. В этом числе каждый последующий разряд, начиная справа, больше предыдущего в десять раз. Значит, число это можно записать так:

а это не что иное, как:

В шестидесятеричной системе каждый последующий разряд больше предыдущего не в 10, а в 60 раз. Поэтому та же запись 2 3 2 4 расшифровывается уже по-другому:

А это, — Мате пошептал, — это составляет 442 924. Добавлю, что цифры в шестидесятеричной системе пишутся на некотором расстоянии друг от друга. Вот, собственно, и всё. Ну как, постижимо?

— Пока — вполне, но в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо были еще какие-то значки…

— Не значки, а римские цифры. Так в шестидесятеричной системе записывают дробные числа. Опять-таки для сравнения возьмем какую-нибудь десятичную дробь. Например: 2,135. Что это такое? Это

В шестидесятеричной системе место знаменателя 10, естественно, займет другой: 60. Стало быть, если в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо было записано

то читать это следует так:

Подсчитайте — и ответ Фибоначчи в десятичном счислении перед вами!

Фило испуганно отшатнулся:

— Вы что? Да я же до утра не кончу!

— Ладно, ладно, — примирительно проворчал Мате, — все уже подсчитано. Икс у Леонардо приближенно равен 1,368808107853.

Фило был потрясен. Вычислить иррациональный корень с таким невероятным приближением, да еще в шестидесятеричной системе!

— Есть у Фибоначчи вещи и более удивительные, — сказал Мате.

— Что вы имеете в виду?

Но Мате решил, как видно, поддразнить приятеля и пропустил вопрос мимо ушей.

— Налить вам еще кофе? — спросил он самым светским тоном.

— Конечно, налить. Но вы не ответили на…

— Берите, пожалуйста, сахар.

— Нет, это, наконец, невежливо! — вспылил донельзя заинтригованный гость. — Клянусь решетом Эратосфена, вы узнали что-то в высшей степени интересное. Неужели я не заслужил…

— Успокойтесь, заслужили! Но сперва скажите: знаете вы что-нибудь о теореме Ферма́? Нет? Тогда придется вас просветить, иначе вы ничего не поймете.

И Мате стал рассказывать.

— Краса и гордость французской математики Пьер Ферма жил в XVII веке (кстати сказать, в те же примерно годы, что и Блез Паскаль). Математика, как ни странно, не была его основным занятием: он был юристом королевского парламента в Тулузе, что, впрочем, не помешало ему оставить громадное математическое наследство, где немалое место занимает так называемая великая теорема Ферма. Теореме этой суждено было стать такой же мучительной загадкой для человечества, как и пятый постулат Эвклида, с той разницей, что пятому постулату повезло больше: вопрос этот успешно разрешен. Что же до теоремы Ферма, то ни доказать ее, ни опровергнуть возможность ее доказательства пока что не удалось. Но об этом после. А сейчас о самой теореме. В чем она заключается? В математике всегда можно подобрать три таких целых числа, чтобы сумма квадратов двух из них равнялась квадрату третьего. Например, З² + 4² = 5². Или 5² + 12² = 13². Таких числовых троек бесконечно много. Но нельзя, оказывается, подобрать три целых числа, чтобы сумма кубов двух из них равнялась кубу третьего. Нельзя это сделать ни для четвертой, ни для пятой — словом, вообще ни для какой степени, если она больше двух. Иначе говоря, xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ, если n > 2.

Ферма записал эту теорему на полях «Арифметики» Диофа́нта[28] и уверял, что доказал ее. Но найти его доказательство так и не смогли. Остается предположить, что если оно вправду было, то Ферма сам уничтожил его, обнаружив ошибку… С тех пор над теоремой бьются многие математики, великие и невеликие, молодые и старые, профессиональные и самодеятельные. Некоторым удалось доказать ее для частных случаев, однако общее доказательство по-прежнему неуловимо. Иногда, правда, интерес к теореме ослабевает, но довольно малой искры, чтобы заставить его вспыхнуть с новой силой. Порой это превращается в какой-то свирепый психоз…

— Не психоз, а ферманьячество, — скаламбурил Фило. — Но я, право, не понимаю, при чем тут Фибоначчи?

— До вчерашнего дня я сам этого не знал… Зато сегодня!..

Но тут зарычал Буль, и Мате прервал свой рассказ на самом интересном месте.

— Кажется, к нам заявились незваные гости, — сказал он. — Буль всегда их загодя чувствует.

И правда, в ту же секунду раздался звонок. Пес ринулся к двери, Мате последовал за ним, и любопытный филолог остался один на один со своим взбудораженным воображением.

Фило гадает

«Интересно, кто это пришел?» — думал он, ожидая, что вот-вот появится Мате в сопровождении посетителя. Но никто не приходил.

Прислушиваясь к голосам в коридоре, Фило рассматривал большую, давно не ремонтированную комнату, забитую книгами и ветхой разнородной мебелью. Внезапно он подумал, что Мате никогда о себе не рассказывал, и постарался представить себе его жизнь. Ему почему-то казалось, что друг его рано осиротел и воспитывался у какой-нибудь тетки, обязательно старой девы, доброй, но страшно безалаберной и мечтательной, а сверх того — страстной любительницы чтения. Все свободное время она проводила за книгой, лежа на той вон облезлой кушетке, а иногда, по вечерам, когда маленький Мате готовил уроки, раскладывала пасьянс, дымя папиросой и роняя серые столбики пепла на старинные, замусоленные карты.

Время от времени в комнату въезжал очередной полуразвалившийся шкаф или просиженное кресло: это соседи купили новую мебель и попросили приютить прежнюю — ненадолго, пока не продастся… Тетка беспечно на это соглашалась, но старые вещи почти никогда не продавались, и скоро она переставала их замечать.

Готовить она так и не научилась, и Мате всегда ел пережаренные котлеты и недоваренную картошку. Единственное, что она умела, это варить кофе, что и передала своему племяннику вместе с полнейшим пренебрежением к житейским удобствам и немаловажной способностью безоглядно предаваться любимому занятию…

Кончив фантазировать, Фило нетерпеливо поглядел на дверь, потом снова перевел глаза на кушетку и вдруг обнаружил, что вместо воображаемой тетки на ней лежит отнюдь не воображаемая книга. По привычке старого книголюба он перелистал ее, сразу определил, что книга библиотечная, и тут в глаза ему бросилось знакомое имя…

…Он оторвался от чтения только тогда, когда услыхал шаги, и едва успел положить книгу на место, как вошли Мате и Буль.

— Где это вас носит? — спросил Фило невинно.

— А, ерунда! — отмахнулся Мате. — Я имел неосторожность написать статью, где рассказал о своем юношеском увлечении теоремой Ферма. Статью напечатали в журнале, и с тех пор ко мне то и дело врываются какие-то взъерошенные субъекты, убежденные, что им удалось поймать за хвост неуловимое доказательство…

— Вы говорите так, точно доказать теорему Ферма и в самом деле абсолютно невозможно.

— Если и возможно, то, во всяком случае, не теми доморощенными способами, которыми пользуются мои посетители. У каждого из них обнаруживается какая-нибудь, притом самая элементарная ошибка. Но вернемся все же к Фибоначчи. Помнится, меня прервали как раз тогда, когда я собирался объяснить…

— Нет, — сказал Фило, — объяснять ничего не надо. Я сам отгадаю.

— Это как же?

— Обыкновенно. По картам.

Мате возмущенно поднял плечи. Что за чушь! Но Фило настаивал на своем. Когда-то, сказал он, одна старая цыганка научила его гадать, и теперь ему пришло в голову проверить свое искусство.

Мате, поджав губы, подал ему деревянную полированную шкатулочку с двумя старыми карточными колодами. «Теткины!» — отметил про себя Фило и, быстро разбросав карты на исколотом циркулем буле, стал глубокомысленно изучать их.

— Тэк-с… Прежде всего, что у нас справа? Справа у нас червонный валет и семерка бубен — стало быть, сердечные хлопоты. Сейчас я скажу, что вы подумали, потеряв из виду мессера Леонардо. Вы подумали, что знаете о нем очень мало. Так ведь?

Мате молча кивнул.

— Вот видите, карты никогда не лгут. Поехали дальше. В головах у вас туз пик и девятка треф, иначе говоря, казенный дом и нечаянный интерес. А это значит, что, вернувшись в Москву, вы отправились в научную библиотеку, долго рылись в каталоге и взяли на дом курс лекций по истории математики…

— Да, — подтвердил Мате, все более изумляясь, — том второй…

— Помолчите, — строго остановил его Фило. — Кто из нас гадалка, я или вы? Теперь поглядим, что у нас на сердце, слева. Ага, шестерка бубен и король червей. Из этого вытекает, что, придя домой, вы открыли главу, посвященную Фибоначчи, и узнали из нее кучу интересного: между прочим, и то, что мессер Леонардо сдержал свое слово и действительно записал для императора логический ход своих решений. И так как задач было много больше, чем нам с вами удалось услышать, у него получилась целая книга… Нет, вру, целых две книги. Первая называется «Либер квадраторум», что в переводе с латинского означает «Книга квадратов», вторая — «Флос», что значит «Цветок», а в переносном смысле — цветок красноречия.

— Скажите пожалуйста! — продолжал восторгаться Мате. — Какая точность!

— То ли будет! Видите, что у вас в ногах? Король треф и король бубен. Отсюда следует, что, читая описание «Книги квадратов», вы наткнулись на нечто совершенно удивительное: среди вороха задач вам попалось выражение x⁴ + y⁴ ≠ z⁴. Оказывается, мессер Леонардо пытался доказать, что сумма четвертых степеней двух чисел не может быть равна четвертой степени третьего числа, и, таким образом, опередил Ферма почти на пять столетий. Ну, что скажете? Верно я вам гадаю?

— Грандиозно! — медленно произнес Мате. — Просто ума не приложу, как вы умудрились прочитать пятьдесят страниц мелкого текста за каких-нибудь пятнадцать — двадцать минут?

Фило не выдержал — расхохотался!

— Секрет изобретателя. А если говорить серьезно — фотографическая память. Схватываю всю страницу сразу.

— Счастливчик! — позавидовал Мате. — Жаль только, что на прочитанных вами страницах кое-чего не хватает. Вы знаете лишь то, что Леонардо рассматривал частный случай теоремы Ферма и допустил некоторый просчет. Но вам неизвестно, что тот же случай рассматривал сам Ферма и нашел доказательство абсолютно верное. Так что приоритет все-таки остается за ним. Впрочем, кто знает, не умри Леонардо так рано, ему, быть может, удалось бы доказать теорему Ферма не только для частного случая, но и в общем виде. И называлась бы она великой теоремой Фибоначчи.

— Не умри Леонардо так рано… — подхватил Фило. — Вы говорите о том, чего я не дочитал. Когда это произошло?

— Предположительно в 1228 году.

— Год крестового похода под началом Фридриха Второго… Так Фибоначчи убили на войне?

— Вполне возможно. Только на какой? Как раз в том же 1228 году в Италии вновь обострилась гражданская война между гвельфами и гибеллинами. Так что Леонардо мог запросто погибнуть и не выезжая из Пизы… Но все это догадки. Смерть Фибоначчи так же таинственна, как и его жизнь. В сущности, что мы о нем знаем? Почти ничего.

— Неправда, — возразил Фило. — Нам известно самое главное: его труды. Его неповторимое математическое мышление…

— Все это касается Леонардо-математика. Но что мы знаем о Леонардо-человеке?

— Не так уж мало: он был скромен и благороден. Согласитесь, человек самовлюбленный вряд ли станет называть себя таким нелестным прозвищем. А этот… Когда я думаю о мессере Леонардо, мне вспоминаются строки пушкинского «Памятника»: «Веленью божию, о Муза, будь послушна! Обиды не страшась, не требуя венца, хвалу и клевету приемли равнодушно и не оспоривай глупца».

Стихи оказались до того к месту, что Мате ахнул. Можно подумать, Пушкин написал их не о себе, а о Фибоначчи!

— И о себе, и о Фибоначчи, — сказал Фило. — И вообще о всяком одаренном человеке, который твердо верит в свое призвание и осуществляет его вопреки обидам и непониманию, не требуя похвал и наград. Как видите, обобщения свойственны не только математике…

— Вы правы, — взволнованно согласился Мате. — Пушкин обобщил те нравственные принципы, которым должен следовать всякий талант и которых, судя по всему, придерживался Фибоначчи. Да, Фибоначчи делал свое дело, несмотря ни на что. И уж он-то перед человечеством в долгу не остался. Хотя бы потому, что подарил ему свои удивительные числа…

— Но почему же числа — в первую очередь? Неужели этот числовой ряд — самое ценное в математическом наследии Леонардо?

— Вопрос интересный, но односложно на него не ответишь…

— Кто ж вам мешает отвечать многосложно? — улыбнулся Фило. — Я не сбегу.

Числа, числа, числа…

— Есть такая книга, — начал Мате, — «Диалоги о математике». Написал ее выдающийся венгерский математик нашего века Альфред Ре́ньи. Форма диалога выбрана им не случайно, как не случайно обратился к ней когда-то Галилей.

Жанр диалога зародился в глубокой древности. Диалоги, как вы знаете, писал Эратосфен, который излагал мысли, приписываемые Платону. А до Эратосфена диалоги писал сам Платон, излагавший мысли своего великого учителя Сократа.

У Сократа была особая манера беседовать с учениками. Он задавал им ряд искусно поставленных вопросов и подводил таким образом к правильному выводу. Приемы и дух сократовского диалога, дошедшие до нас в передаче Платона, производят сильное впечатление. К сожалению, это особое искусство древних — подводить простыми вопросами к сложной сути предмета — в наше время не часто используется. И Реньи хорошо сделал, обратившись к сократовскому диалогу, когда захотел показать читателям сущность математики, ее принципиальное, резкое отличие от других наук.

— Любопытно, — сказал Фило. — Всегда думал, что математика такая же наука, как и все, а она, оказывается, особенная…

— Очень даже особенная, и Реньи показал это на весьма убедительных примерах. Врач имеет дело с подлинно существующей болезнью. Астроном изучает подлинно существующие звезды. Геолог исследует самые что ни на есть подлинные земные недра. Но что изучает математик? Он изучает числа и геометрические формы, которые живут только в его воображении.

— Позвольте, — вскинулся Фило, — как же так? Послушать вашего Реньи, так и Фибоначчи считал воображаемых кроликов. А они, между прочим, были настоящие. Уж мы-то с вами знаем!

Мате невольно взглянул на обкусанные и кое-как обметанные обшлага своих джинсов.

— Да, — согласился он не без юмора, — кролики, конечно, были настоящие. Но вам не кажется, что вы смешиваете совершенно разные вещи? Ведь речь идет не о самих кроликах, а о числах, которыми выражена закономерность их размножения.

Фило озадаченно поморгал. А ведь правда! Выходит, кролики кроликами, а числа сами по себе?

— Вот именно, сами по себе. Кроликов, которых подсчитывал Фибоначчи, давным-давно след простыл, а порожденный ими ряд чисел продолжает жить, действовать, приносить пользу…

— Удивительно!

— Если вдуматься, очень. Математика вообще удивительная наука. Между прочим, помимо других достоинств, есть у нее и то, что она способна выражать суть явлений с помощью чисел или буквенных обозначений. Способность эта сделала математику необходимой поистине во всех отраслях знаний. Она все больше становится универсальным языком, на котором говорят самые разные науки, и, кстати сказать, не только точные. Вы уже знаете, что Буль выражал алгеброй понятия логические. А в наши дни математику используют даже в литературоведении и языкознании.

Фило покаянно вздохнул. До чего же он отстал от жизни!

— Но не будем все же забывать, — продолжал Мате, — что математика — наука обширная. Задачи ее разнообразны. Наивно было бы думать, что она нужна только физикам, химикам, астрономам, биологам и литературоведам. Математика в первую очередь необходима самим математикам, которые видят в ней самостоятельный предмет изучения.

— Вы хотите сказать, что есть математика прикладная, а есть — отвлеченная, теоретическая?

— Совершенно верно, — кивнул Мате. — И меня лично занимает именно отвлеченная, или, как говорят, чистая математика. Точнее, один из ее разделов: наука о числе. А еще точнее — целые числа.

— Значит, числа, как я понимаю, интересуют вас сами по себе, независимо от того, что они выражают?

— Да, да и в третий раз да! Числами я заболел с юности. С того самого дня, как прочитал книгу чудесного русского математика Александра Васильевича Васильева «Целое число». Теперь, после того, как вы научили меня любить стихи, мне не стыдно назвать эту книгу поэмой. Да, то была настоящая поэма, которая ввела меня в необычайный мир чисел, раскрыла их красоту, научила отыскивать скрытые числовые взаимосвязи… С тех пор все свое свободное время я отдавал поискам числовых закономерностей. Они преследовали меня всюду. Я обнаруживал их в номерах телефонов, на вывесках сберкасс, на номерных табличках автомобилей. Увидав какое-нибудь число, я сейчас же начинал манипулировать им: складывал цифры, перемножал их, менял местами, сопоставлял первые с последними и всегда находил что-нибудь занятное…

Потом я увлекся числовыми треугольниками. Натолкнул меня на это арифметический треугольник Паскаля. Все числа его связаны между собой железными закономерностями, и это настолько меня поразило, что я стал выдумывать свои собственные числовые треугольники. При этом у меня не было никакой цели. Просто-напросто я играл числами. Но много лет спустя один мой треугольник неожиданно пригодился для решения некоего дифференциального уравнения. Другой оказался удобным подспорьем при решении задачи о колебаниях коленчатого вала…

— Вот даже как! — сказал Фило уважительно. — Остается пожалеть, что вы забросили это интересное и полезное занятие…

— Забросил?! Так знайте же: не далее чем вчера у меня появился новый числовой треугольник. Желаете убедиться?

— Сделайте одолжение!

— Тогда смотрите сюда. — Мате указал на блокнот. — Перед вами ряд чисел: 1, 2, 5, 13, 34, 89. Вам он о чем-нибудь говорит?

Фило наморщил лоб.

— Вроде бы что-то знакомое, и в то же время не совсем…

— Молодец! Это и в самом деле знакомый вам ряд чисел Фибоначчи, только неполный. Здесь представлены лишь те числа, которые стоят на нечетных местах: первое, третье, пятое и так далее. Обратите внимание, что этот частичный ряд тоже имеет свою закономерность: каждый член его, начиная со второго, равен сумме предыдущих, если при этом ближайшее к нему число слева удвоено…

— Ну-ка, проверим! — сказал Фило. — Действительно: 1 + 2 + 5 + (13 × 2) = 34. Но где же все-таки обещанный треугольник?

— Немного терпения: я как раз начинаю его строить. Под числами первого ряда, в промежутке между ними, записываю числа, равные разности между двумя вышестоящими числами первого ряда, и получаю вторую строку:

— Смотрите-ка, снова числа Фибоначчи!

Но Мате объяснил, что иначе и быть не могло: ведь каждое число Фибоначчи есть разность между двумя соседними числами ряда. Составив тем же способом следующие строки, он продолжил таблицу и получил числовой треугольник:

— Вы, конечно, понимаете, — добавил Мате, — что треугольник может быть продолжен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги и каждый раз получать полный ряд чисел Фибоначчи.

Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.

— А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, — признался Фило.

— Погодите, я еще не кончил, — остановил его Мате. — Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.

Он выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел:

— Во-первых, заметьте, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, — сказал он.

— Вижу, — подтвердил Фило. — А во-вторых?

— Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно в свою очередь представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы — ведь она как-никак тоже число простое.

1 = 1 (1 слагаемое)

3 = 3 (1 слагаемое)

10 = 3 + 7 (2 слагаемых)

29 = 3 + 7 + 19 (3 слагаемых)

81 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 (5 слагаемых)

220 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 71 (8 слагаемых)

589 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 (13 слагаемых)

1563 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 131 + 137 + 173 (21 слагаемое)

— Чуете? — спросил Мате, закончив таблицу. — Количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.

— Но это же замечательное открытие! — бурно обрадовался Фило.

— До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.

— Так найдите общее доказательство.

— Только и всего? Попробуйте-ка сами.

— Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, — отшутился Фило. — К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.

— Наоборот! Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она буквально нафарширована непредвиденными находками, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко ставлю этот удивительный числовой ряд. А теперь…

Он сунул руку в карман, позвякал медяшками и без всякого видимого перехода предложил отгадать, сколько там монет.

Фило надулся: факир он, что ли?

— Ладно! — смилостивился Мате. — Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам наводящие данные. Здесь у меня трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.

— Так бы сразу и сказали. Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет — через y. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5x, а трехкопеечных — на Зу. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5x + 3y = 49.

— Ставлю вам пять с плюсом, — сказал Мате. — Уравнение отличное. Но как вы его решите?

Фило призадумался. Попробуйте-ка решить уравнение с двумя неизвестными!

— Не беда, — утешил Мате. — Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте подберем эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: x = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 × 1 +3y = 49. Отсюда Зу = 44/3.

— Простите, 44/3 не целое число…

— Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 × 2 + 3y = 49. Отсюда 3y = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.

— Браво! — ликовал Фило. — Задача решена.

— Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?

— Сейчас узнаем. 5 × 5 + 3y = 49. Отсюда Зу = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.

— Как видите.

— Поискать, что ли, другие?

Перебрав варианты х = 3, 4, 6 и 7, Фило убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум решениям прибавилось третье. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило хотел уже приравнять икс десяти, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49.

— Итак, — подытожил он, — мы выяснили, что уравнение имеет три решения: 1) х = 2, y = 13; 2) x = 5, у = 8, 3) х = 8, у = 3. Следовательно, в кармане у меня либо 15, либо 13, либо 11 монет.

Фило неодобрительно поджал губы. Ну и точность! Тут уж бабушка не надвое, а натрое гадала.

— Потому-то уравнения такого рода и называются неопределенными, — разъяснил Мате. — Кроме того, наше уравнение отличается от других неопределенных еще и тем, что по условию ответ его должен быть обязательно в целых числах.

— Но кому же это нужны уравнения с несколькими ответами?

— Не скажите. Неопределенные уравнения интересовали математиков с глубокой древности. Ими занимались еще в Древней Индии. Но особенно подробно изучал их грек Диофант. Он рассмотрел многие неопределенные уравнения вплоть до четвертой степени и нашел для каждого все возможные решения в целых числах. Потому-то уравнения такого рода стали называть диофантовыми, хотя общего метода решения их Диофант не обнаружил.

— И все-таки. Для чего нужны такие уравнения? Где они используются?

— Везде. В любой науке, в любой отрасли народного хозяйства, где мы имеем дело только с целыми числами. Может ли фабрика выпустить не целое число шляп, скажем, 245 с четвертью? Можно ли запустить в космос полтора спутника? Бывает ли в табуне не целое число лошадей? Разумеется, нет. Таких задач, которые должны быть решены только в целых числах, великое множество. Понимаете теперь, какое важное место в нашей жизни занимают диофантовы уравнения?

— Понимаю, — сдался Фило. — Но вам не кажется, что мы слишком отдалились от темы? Говорили о числах Фибоначчи, потом ни с того ни с сего перескочили на диофантовы уравнения…

— Это вы называете «ни с того ни с сего»? Да ведь между ними прямая связь! Да будет вам известно, что десятая проблема Гильберта, решенная посредством чисел Фибоначчи, касается именно диофантовых уравнений. Гильберт спрашивает, каким способом можно установить после конечного числа операций, разрешимо ли данное диофантово уравнение в целых числах. И оказалось, что такого способа в общем виде не существует.

— Ууу! — разочарованно протянул Фило. — Стало быть, десятая проблема Гильберта оказалась совершенно бесполезной?

Мате сердито замахал руками. Что за чепуха! Во-первых, математический метод, которым была исследована десятая проблема, представляет огромную ценность уже сам по себе. Во-вторых, результат этого исследования избавил ученых от дальнейших поисков. И наконец, в-третьих, — десятая проблема Гильберта привела к возникновению новой ветви математики — теории алгоритмов. А это такое…

Он не договорил — его прервал взволнованный голос Фило:

— Мате, Мате! Взгляните на результат нашего уравнения! Два, три, пять, восемь, тринадцать… Это же числа Фибоначчи!

Мате оторопел. Что за чудеса! Как он сразу не заметил? Впрочем… впрочем, может быть, это случайное совпадение? Попробовать разве проверить, какие решения получаются при других суммах. Вот хоть для четырнадцати копеек.

Он быстро перебрал все возможные варианты и нашел, что это уравнение имеет всего-навсего одно решение: х = 1, y = 3.

— Снова числа Фибоначчи! — определил Фило. — Возьмем еще какую-нибудь сумму. Двадцать одну копейку.

На этот раз тоже получилось одно решение, и опять-таки в числах Фибоначчи: х = 3, у = 2.

Мате испытующе покосился на друга.

— Ну, — сказал он насмешливо, — почему вы не кричите, что мы с вами сделали великое открытие?

Фило погрозил ему пальцем. Теперь он стреляный воробей — знает, что три частных случая ни о чем еще не говорят.

— А что будем делать с поисками общей закономерности? — снова съехидничал Мате. — Опять спихнем на мессера Леонардо?

— Хорошо бы. Но может быть, займемся сами? Переберем не три, а три тысячи три варианта, а потом возьмем да выведем какую-нибудь сногсшибательную формулу…

Мате с азартом шлепнул себя по колену.

— Идет!

Но тут он услыхал угрожающее рычание Буля: неужто еще один ферманьяк пожаловал? Так и есть — звонят! Он вздохнул и отправился разъяснять очередную ошибку.