Искатели необычайных автографов

На московской окраине

Простимся с Парижем семнадцатого столетия и перенесемся в Москву двадцатого. Точнее, в семидесятые его годы. Еще точнее — на одну из новорожденных московских окраин.

Растет Москва. Распространяется вглубь, ввысь, вширь. Все длиннее становятся подземные магистрали метро. Все больше небесной сини выстрижено этажами высотных зданий. Все дальше разбегаются бесчисленные кварталы новостроек. Порой они забегают так далеко, что обитатели их, прежде чем ответить на вопрос: «Где вы живете?», долго почесывают в затылке, пытаясь разобраться, так где же они, наконец, живут? В Москве? Или, скажем, в Горьком? Может быть, к Горькому все-таки ближе?

Между прочим, квартал, куда мы приглашаем вас, находится как раз у шоссе на Горький. Здесь, в белом доме-гиганте, изогнутом наподобие хоккейной клюшки, в одной из тех его секций, где находятся однокомнатные квартиры, на четвертом этаже есть две двери.

Медная, до блеска надраенная табличка на одной из них оповещает, что тут живет Филарет Филаретович Филаретов.

На другой двери таблички нет, зато над звонком кнопкой приколот вырванный из блокнота листок с небрежной карандашной надписью: «Матвей Матвеевич Матвеев».

Загляните сюда в субботу, часов в девять утра, когда хозяева не спешат на работу и только еще поднимаются. Постойте на лестнице: к вам долетят сдержанный баритональный лай и нетерпеливое мяуканье. Через некоторое время обе двери распахнутся, и жильцы — один с бульдогом на кожаном ремешке, другой с двумя сиамскими кошками на полосатых сдвоенных поводках (нетрудно заметить, что это мужские подтяжки) — спустятся вниз для утренней прогулки. Обратите внимание на мирные взаимоотношения животных. Про них никак не скажешь, что они живут как кошка с собакой. Видимо, дружба хозяев подействовала на них самым благотворным образом.

Через полчаса компания вернется, и вы услышите такой разговор.

— Постойте, Фило, — скажет Мате, потирая лоб. — Давайте выясним, какой у нас сегодня день: чайный или кофейный?

Тот укоризненно вздохнет. Ну и память у этого математика! Неужто он не помнит, что у Мате они собирались вчера? Значит, сегодня день чайный, и все собираются у Фило.

Не подумайте только, что Фило не любит кофе. Наоборот! К тому же Мате — кофевар выдающийся. Но уговор дороже денег. Решили собираться по очереди у одного и у другого — значит, так тому и быть. Вдобавок Фило не очень-то по душе беспорядок в логове друга. Да и Мате не в восторге от зеркально натертого паркета в квартире Фило. Необходимость вытирать ноги да еще переобуваться в специальные тапочки не доставляет ему никакого удовольствия.

Потому-то, порешив съехаться, филоматики предусмотрительно застраховали свою дружбу от опасностей коммунального быта. Теперь они могут быть вместе, не поступаясь своими привычками и не навязывая их друг другу.

Чайный день

И вот они у Фило.

Новая квартира его мало отличается от прежней. Книги, фигурки литературных героев, выколдованные из всякой всячины, — все размещено на полках в том же порядке. По-прежнему уютно погромыхивает посуда на кухне. По-прежнему напевает свою песенку белый эмалированный чайник…

Но вот раздастся пронзительный свист — вода в чайнике закипела, и хозяин, священнодействуя, приступает к заварке. При этом он ревниво оберегает чайные секреты от любопытного приятеля. Затем оба чайника — большой и маленький, покрытый белоснежной салфеткой, — следуют в комнату на подносе, и завтрак начинается.

— Так что у нас сегодня по плану? — спрашивает Фило, ставя перед Пенелопой и Клеопатрой тарелку с нарезанной колбасой.

— Начало домашних итогов, — отвечает Мате, отправляя бутерброд в огнедышащую пасть Буля.

— Прекрасно! — говорит Фило и почему-то вздыхает.

Мате поджимает губы. Опять вздохи! Дался ему этот Асмодей…

— Не виноват же я, что мне его не хватает, — оправдывается Фило. — С чего начнем?

— Ммм… Я думаю, с хронологии, — предлагает Мате. — Асмодей так усердно избегал точных дат, что не мешает нам выяснить, к какому времени относится каждый эпизод его спектакля.

— Неплохая мысль, — одобряет Фило. — Эпизоды попутно озаглавим и получим что-то вроде плана нашего путешествия. Эпизод первый — «Панорама Тридцатилетней войны».

— Дата?

— Весьма растяжимая, конечно. Думаю, двадцатые и даже тридцатые годы семнадцатого века. К тому же времени относятся несколько эпизодов, которые я объединил бы одним названием: «Нищета народная». Сюда входит сцена с мертвым ребенком, убийство священника, разбой в деревне. Далее следует картина «Роскошества знати». — Тут Фило облизывается, вспомнив, вероятно, паштет Генриха Второго. — Ну, дата по-прежнему особого значения не имеет…

— Конечно, — поддакивает Мате. — Но вот дату следующего эпизода — я бы назвал его «Тревожный вечер в Клермон-Ферране» — можно уже установить достаточно точно. Паскаль родился в 1623 году. В тот вечер ему было около года. Стало быть, дело происходило в 1624.

Упоминание о Клермон-Ферране заставляет Фило поперхнуться. Ужасная сцена с кошкой до сих пор мучит его в ночных кошмарах, и он поспешно переводит разговор на другую тему. Подальше, подальше от Оверни… Скорее в Руан! Туда, где призрачно сквозят в предутреннем тумане древние башни Руанского собора. Кстати, эпизод в доме интенданта Руанского генеральства можно озаглавить «Арифметическая машина Паскаля».

Мате с предложением согласен. Но его интересует дата. Если верить Асмодею, между случаем в Клермон-Ферране и ночным разговором Блеза с Жаклиной прошло около двадцати лет. И тогда относится он к сорок третьему — сорок четвертому году, то есть к тому времени, когда работа над изобретением была в самом разгаре. Потому что в 1645 машина была уже готова.

— Что-то тут не так, — сомневается Фило. — Прекрасно помню, что сам Асмодей отнес этот эпизод ко времени правления Ришелье. Но ведь уже в декабре 1642 года кардинал умер. Значит, либо руанская сцена происходила до его смерти…

— …либо ваш Асмодей болтун и обманщик, — перебивает Мате. — Потому что Паскаль занялся своей машиной только в конце сорокового года и, уж конечно, не мог наработать за год-полтора сорок или пятьдесят моделей, о которых распространялась Жаклина.

— Как же быть? — теряется Фило.

— Ха-ха! Поздно спрашиваете, любезный. Раньше надо было думать. На чердаке, в Париже. Ведь именно там пришла вам в голову злосчастная идея пригласить Хромого беса в качестве проводника. Как говорится, связался черт с младенцем… то есть наоборот. А теперь считайте, что экспедиция наша блистательно провалилась.

Мате демонстративно отодвигает недопитый чай и собирается встать из-за стола. Но тут откуда-то сверху раздается знакомое покашливание, и филоматики так и застывают с отверстыми ртами. Буль и кошки тоже поднимают головы, особого беспокойства, впрочем, не проявляют.

— Кха, кха, мсье, не ожидал от вас таких рассуждений, — произносит голос, явно принадлежащий Асмодею, хотя его самого что-то не видно. — С грустью убеждаюсь, что вы понятия не имеете о художественной достоверности. Мсье Фило, не делайте, пожалуйста, больших голубых глаз: это и вас касается. Ведь вы тоже полагаете, что я провалил вашу экспедицию, не так ли? Вы ожидали найти во мне сухого протоколиста, а обнаружили художника и вместо того, чтобы радоваться, горько разочарованы…

— Не передергивайте, — сварливо перебивает Мате (в глубине души он страсть как рад хотя бы даже голосу Асмодея). — Вы прекрасно, знаете, как нам понравился ваш спектакль. Но разве одно исключает другое? Разве нельзя оставаться художником, не греша против исторической правды?

— Вы полагаете, сместить или видоизменить события — значит грешить против исторической правды! — горестно восклицает бес. — Но ведь так поступали многие выдающиеся писатели, и вовсе не в ущерб правде.

— В самом деле, — поддерживает Фило. — Вспомним Дюма. Романы его кишат живыми, исторически достоверными характерами. Но разве все их происшествия подлинны? Взять хоть пресловутую историю с подвесками. В КАКИХ-ТО мемуарах Дюма прочитал о КАКОМ-ТО письме Анны Австрийской, где она признавалась, что подарила герцогу Букингему КАКУЮ-ТО алмазную безделку. Пустячный факт разбудил воображение писателя, и безделка обернулась путешествием д’Артаньяна в Англию. И что же? Пострадала от этого художественная правда романа? Только выиграла. Автор дал своему герою возможность блеснуть храбростью и подлинно рыцарским отношением к даме, то есть как раз теми чертами, которые так характерны для французского шевалье семнадцатого века…

— А «Сен-Мар», мсье? — подсказывает Асмодей. — Сочинение Альфре́да де Виньи́ — соотечественника и современника Дюма. Герой этого популярного исторического романа — подлинный участник подлинного заговора против Ришелье, молодой дворянин Сен-Мар, казненный в 1642 году. А в 1639, в самом начале книги, он по воле автора становится свидетелем казни священника Урба́на Грандье́, на самом деле казненного пятью годами раньше.

— И зачем же это понадобилось? — не сдается Мате. — Если автору так уж захотелось, чтобы Сен-Мар знал подробности казни Грандье, он мог сообщить их своему герою устами какого-нибудь очевидца.

— Ко-ко… Думаете, рассказ способен соперничать с впечатлением личным? Ошибаетесь, мсье. Де Виньи нужно было, чтобы Сен-Мар видел суд и сожжение собственными глазами. Чудовищные подробности несправедливого, грубо сфальсифицированного процесса против человека, имевшего несчастье не угодить Ришелье, заставляют героя возненавидеть кардинала, и это с самого начала направляет судьбу Сен-Мара в то трагическое русло, которое через несколько лет приведет к плахе и его самого. Сместив, намеренно сблизив два исторических события, автор как бы сгустил время и получил что-то вроде художественного концентрата его…

— Это что же, намек? — скрипит Мате. — Хотите сказать, что вы тоже преподнесли нам художественный концентрат?

— Э пуркуа́ па? А почему бы и нет, мсье? Я, конечно, не Альфред де Виньи, но все-таки художник. Ведь будь я протоколистом, мог бы я показать такую пропасть событий за одну ночь?

Филоматики поражены. Значит, все, что они видели, заняло всего несколько часов?

— Да, мсье. И попробуйте сказать, что это не концентрат времени.

Мате, улыбаясь, поднимает руки.

— Сдаюсь! Но с одним условием. Вы сейчас же прекращаете свои адские фокусы и появляетесь перед нами целиком и полностью.

— Вы и в самом деле этого хотите, мсье? Смотрите, как бы вам не пожалеть о своем ультиматуме.

В ту же секунду с верхней полки, где обложкой к зрителю стоит роман Лесажа «Хромой бес», прыгает на пол низкорослое козлоногое существо в плаще и на костылях, с головой, повязанной красным тюрбаном, откуда смешно торчит пучок петушиных перьев.

Мате отшатывается. Кто это?

— Я же говорил, мсье, — голосом Асмодея произносит уродец, поблескивая заплывшими глазками. — Вот вы и пожалели.

— Хм… Кто это вам сказал? — изворачивается Мате. — Просто интересуюсь, что с вами стало.

— Ничего особенного, мсье. Не все мне ходить в красавцах, надо побыть и самим собой. Впрочем, если вид мой вам неприятен, я могу и уйти…

— Попробуйте только! — вскидывается Фило. — В конце концов, что нам до вашего вида? Довольно и того, что вы — это вы!

Большеротая мордочка Асмодея блаженно расплывается. Он лукаво подмигивает. То-то! Полюбите нас черненькими, а беленькими нас всякий полюбит.

— Постойте-ка, — соображает Мате, — вы что же, всегда здесь живете?

— Ну, конечно, мсье, — говорит черт, поглаживая Буля и поглядывая то на одно, то на другое свое плечо, где, подобно двум египетским сфинксам, восседают Пенелопа и Клеопатра. — С тех самых пор, как мсье Фило приобрел книгу Лесажа.

— Значит, вы слушаете все наши разговоры?!

— Что за вопрос, мсье! Я не глухой. Уж не думаете ли вы, что мое появление на чердаке в Париже — случайность? Как бы не так. В то время как вы только еще обсуждали план вашей экспедиции, я уже обдумывал план своего представления. Да, именно тогда, на этой самой полке, я решил осуществить мою сокровенную мечту и стать режиссером. Ах, мсье, я так люблю театр! Я брежу им вот уже несколько тысячелетий. Но никогда мне не удавалось войти в него со служебного входа. Вот почему время моей работы над спектаклем навсегда останется для меня лучшим воспоминанием в жизни.

— А не выпить ли нам по этому поводу свежезаваренного чая? — вдохновенно предлагает Фило и, не дожидаясь ответа, удаляется на кухню вместе со своими чайниками.

По следам руанских впечатлений

— Хорошо! — разнеженно вздыхает Фило, влюбленно созерцая Асмодея, который шумно лакает чай из старинной чашки в форме лилии. — Налить вам еще?

— Не откажусь, мсье. Такой чай! Да еще из такой чашки…

— Вам она нравится?

— Очень, мсье. Особенно рисунки в стиле Ватто́[49].

Фило и Мате знают эти рисунки наизусть (на одном из них кукольно улыбающаяся пастушка надевает ленточку на шею ягненку; на другом столь же кукольно улыбающийся пастушок надевает колечко на палец все той же пастушке). Но похвала Асмодея заставляет их все же взглянуть на тот рисунок, который приходится каждому перед глазами. И тут они замечают, что изображена на нем совсем другая, хоть и знакомая сцена: юноша с разметавшимися волосами лежит на высоко взбитых подушках. Миловидная девушка кладет ему салфетку на лоб.

— Что это, Асмодей?

— Ничего особенного, мсье. Надо же мне как-то призвать вас к делу.

И разговор снова возвращается к эпизоду «Арифметическая машина». Мате сожалеет, что самой машины так и не видал. Ну да ничего не поделаешь! Ведь во время их пребывания в Руане она не была еще готова. К тому же сейчас, в двадцатом столетии, изобретение это представляет интерес чисто исторический…

— До известной степени, мсье, — возражает бес. — Творец кибернетики Но́рберт Ви́нер справедливо отмечает, что машина Паскаля имеет прямое отношение к настольным арифмометрам современного образца. Ведь в основу ее положен часовой механизм, а часовые механизмы используются в ручных арифмометрах и поныне.

Асмодей запихивает в рот громадный кусок яблочного пирога и, мигом разделавшись с ним, продолжает:

— Между прочим, то, что Паскаль прибег к зубчатой передаче, едва ли не самое главное его достижение. Тем самым поступательное движение, которое используется в счетах, он заменил вращательным. Притом так, что перенос десятков в следующий разряд происходит автоматически. Когда в числовом разряде накапливается десять единиц, они с помощью специального рычажка заменяются нулем, а к цифре следующего разряда прибавляется единица. Принцип этот сохраняется не только в арифмометрах, но и во многих измерительных приборах. В счетчиках такси, в электросчетчиках…

— Представляю себе, как обрадовались счетной машине бухгалтеры семнадцатого века! — фантазирует Фило.

— Кха, кха… Не думаю, чтобы очень, мсье. К сожалению, она была им не по карману. Да и в работе сложновата. К тому же частенько портилась. Тогда ведь не умели уменьшать трение. Отсюда вечные заедания, зацепки…

— Хоть бы и так, — хорохорится Фило, — а все-таки четыре действия арифметики с плеч долой!

— Только два, мсье. Сложение и вычитание. Арифмометр Паскаля — прародитель сумматорных машин. Зато уже два-три десятилетия спустя появилась сумматорно-множительная машина Лейбница.

— Последователь, стало быть, не заставил себя ждать.

— Не последователь, а последователи, — снова поправляет бес. — Даже в семнадцатом веке их было уже несколько. Само собой, охотники погреть руки на чужом изобретении — не в счет. Паскаля оградила от них королевская привилегия, а еще — их собственное невежество: изготовление мало-мальски сносной подделки требовало сноровки и знаний, каких у них не было. Ну да что о них толковать! Мы ведь говорим о связи машины Паскаля с современностью.

— Как? Разве разговор не закончен? — удивляется Мате.

— Нет, мсье, мы как раз подошли к самому главному. А это — отнюдь не устройство машины. Главное — идея. Паскаль, если помните, руководствовался утверждением Декарта, полагавшего, что мозгу человеческому свойствен некий автоматизм и что многие умственные процессы, по сути дела, ничем не отличаются от механических. Иными словами, мозг столько же автомат, сколько живой орган. Работа над машиной заставила Паскаля не только утвердиться в этой мысли, но и углубить ее. Он понял, что действия арифметической машины даже ближе к мыслительному процессу, нежели то, на что способен живой мозг…

— Что?! — взвивается Мате. — У Паскаля есть такая запись? Но ведь это же одно из положений кибернетики!

— В том-то и дело, мсье. И значит, у нас с вами есть все основания считать Паскаля ее прародителем, что совершенно необходимо отметить еще одной чашкой чая.

Хозяин, улыбаясь, принимает у черта пустую чашку. Но что это? Рисунок на ней опять изменился. Теперь там изображены они сами — Фило, Мате и Асмодей на крыше руанской судебной палаты.

Улыбка медленно сползает с круглой физиономии Фило. Неужели его заставят копаться в теореме Дезарга? К счастью, эта неприятная для него операция переносится на другое время. Зато разговор о своей собственной теореме Мате откладывать не намерен. И многострадальный филолог покоряется своей участи.

— Итак, — говорит Мате, — напоминаю суть теоремы. Если на сторонах произвольного треугольника построить снаружи или внутри (значения не имеет) по равностороннему треугольнику и соединить прямыми их центры тяжести, то полученный таким образом новый треугольник тоже будет равносторонним.

— Насколько я понимаю, именно это и нуждается в доказательстве, — капризно замечает Фило.

— Совершенно верно. Так вот, вспомните чертеж, который я наспех набросал там, в Руане, на крыше. Впрочем, сейчас я его уточню… Вот, пожалуйста. Попытайтесь разобраться.

— Исключено. — вздыхает Фило.

— Позвольте, мсье, — вмешивается Асмодей. — Как видите, треугольник ОАВ совершенно произвольный, и на каждой его стороне построено по равностороннему треугольнику: ОСА, ADB и ОВЕ. Центры тяжести этих равносторонних треугольников обозначены буквами т, п и р, а из них, как из центров, проведены дуги ОkА, АkВ и ВkО — каждая в 120°. Се си? Так?

— Недурно, — говорит Мате. — Но вы не заметили самого примечательного: все три дуги пересеклись в общей точке k. Удивительная точка.

— Не хуже и не лучше других, — ехидничает Фило.

— Это как для кого, — отбивает удар Мате. — Немецкий математик Ште́йнер полагал иначе. Он доказал, что подобная точка находится в таком месте треугольника, из которого каждая сторона видна под одним и тем же углом — 120°.

— Что значит «видна под углом»? — сейчас же придирается Фило.

— Ну, это просто, мсье, — отзывается Асмодей. — Так математики называют угол между двумя лучами, проведенными из заданной точки через концы отрезка. И стало быть, в данном случае, как я понимаю, речь идет об углах ОkА, АkВ и ВkО. Каждый из них равен 120°. Я понятно изъясняюсь?

— Допустим, — уклончиво бурчит Фило. — Но что из этого следует?

— Только то, — поясняет Мате, — что сумма расстояний от точки k до вершин треугольников ОАВ — то есть kО + kА + kВ — есть наименьшая из всех возможных для всякого треугольника, который не имеет угла, превышающего 120°… А теперь, чтобы двинуться дальше, необходимо провести несколько дополнительных отрезков. Во избежание путаницы сделаю новый чертеж, убрав всё лишнее. А вы глядите в оба — я хочу сказать, в оба чертежа.

Мате быстро набрасывает новый треугольник, обозначив его теми же буквами, что и на предыдущем. Затем соединяет вершины двух треугольников пунктиром и отмечает конгруэнтные стороны (Оm и ОА, Ап и пВ, Вр и рО) одной, двумя и тремя черточками.

— Ну-с, — торжественно произносит он, полюбовавшись своей работой, — теперь перегнем треугольники тАп, пВр и рОт по их непунктирным сторонам. Как вы думаете, где окажутся вершины А, В и О?

— В точке k, мсье, — сейчас же выскакивает Асмодей.

— Отлично! — говорит Мате. — Но что из этого следует?

— В самом деле, что? — хмыкает Фило.

— Да то, что площадь многоугольника ОтАпВрО ровно вдвое больше треугольника тпр, — отвечает Мате. — Остается самое главное. Надеюсь, не надо разъяснять, что отрезок пт есть биссектриса угла Апk, а пр — биссектриса угла kпВ. Это очевидно, так как пт перпендикулярно Аk, а треугольник Апк — равнобедренный. Точно так же: Вk перпендикулярно пр, и треугольник kпВ тоже равнобедренный.

— Но ведь отсюда вытекает, что углы Апт и Впр в сумме равны углу mnp! — взволнованно восклицает Асмодей. — А так как угол АпВ равен 120°, то…

— …угол тпр равен половине от ста двадцати, то есть 60°, — заканчивает Фило. — Это даже я понимаю!

— Растёте на глазах, — ухмыляется Мате. — Ну, а если те же рассуждения применить к углам птр и трп?

— Тогда станет совершенно ясно, что каждый из трех углов треугольника тпр равен 60°, — соображает Фило. — И стало быть, треугольник тпр — рав-но-сто-рон-ний.

— Квод демонстра́ндум э́рат! Что и требовалось доказать, — торжественно заключает Асмодей.

— Не забудьте рассмотреть еще два частных случая первоначального треугольника, — напоминает Мате, — когда сумма двух сторон равна третьей и когда одна из сторон равна нулю. — Он протягивает Фило и Асмодею заранее заготовленные чертежики. — Как видите, моя теорема справедлива также и для них.

— Благодарю вас, мсье! Поверьте, мне было чрезвычайно интересно! — рассыпается бес, но неожиданно зевает и страшно смущается. — Пардон, мсье! Не подумайте, что это от вашей теоремы. Всему виной чай. Он всегда действует на меня как снотворное. С вашего разрешения я вздремну…

Он взлетает на верхнюю полку и скрывается в книге Лесажа, с силой захлопнув за собой картонную обложку. В ту же минуту оттуда начинает исходить легкое блаженное похрапывание: «Хрр-фью… хрр-фью…»

Филоматики растроганно переглядываются.

— Перерыв?

— Перерыв!

Вечер чайного дня

— Открываем наше вечернее заседание, — объявляет Фило, когда все они снова сидят за столом и Асмодей кулачком протирает заспанные глаза. — Что у нас на повестке… пардон, на чашке дня?

Бес молча указывает на рисунок, где три кавалера и одна дама играют в карты.

— Эпизод под названием «В великосветском салоне», — определяет Фило.

Все еще позевывая, Асмодей заглавие одобряет, добавив, однако, что к этому эпизоду примыкает еще один: «Встреча на улице Сен-Мишель», связанный с ним общей темой «Теория вероятностей». Кроме того, прежде чем перейти к обсуждению, не мешает установить дату…

Мате уверенно объявляет, что разговор за карточным столом мог быть только зимой 1654 года.

— Почем вы знаете? — любопытствует Фило.

— Да потому что речь шла о переезде Паскаля и герцога Роанне в Пор-Рояль. Отсюда следует, что интересующий нас эпизод происходил уже после обращения Паскаля, которое, как я выяснил, относится к 23 ноября 1654 года. И судя по тому, что маркиза об этом узнать не успела, разговор ее с де Мере отстоит не слишком далеко от указанной даты: он мог состояться в конце ноября или начале декабря.

— Мог-то мог, но вот состоялся ли? — вырывается у Фило.

— Пф! — Асмодей возмущенно фыркает и просыпается окончательно. — Не все ли равно! Важно другое: убедительно или неубедительно? Вероятно или невероятно?

— Вероятно, вероятно! — дружно успокаивают его филоматики.

— Вот и перейдем к задачам о вероятностях, изложенным шевалье де Мере, — ловко поворачивает разговор черт. — Задача первая: двое играют в кости, бросая по два кубика сразу. Один ставит на то, что хотя бы однажды выпадут две шестерки одновременно. Другой — на то, что две шестерки одновременно не выпадут ни разу. Спрашивается, сколько надо сделать бросков, чтобы шансы на выигрыш первого игрока превысили шансы второго.

— Ясно, что здесь возможны 36 комбинаций, — говорит Мате.

— Это почему же? — сейчас же придирается Фило.

— Потому, что каждая из шести граней первой кости варьируется с шестью гранями второй. Следовательно, число возможных вариантов есть 6×6, что всегда равно 36. И только один из этих 36 вариантов дает выигрыш первому игроку. Стало быть, вероятность выпадения двух шестерок очень мала: 1/36 ≈ 0,028. А вероятность невыпадения, наоборот, очень велика: 1 — 1/36 = 35/36 ≈ 0,972. При вторичном броске вероятность невыпадения сохраняется (35/36), так как она не зависит от результата первого броска. Значит, согласно теореме умножения, вероятность невыпадения с учетом обоих бросков будет уже равна произведению вероятностей каждого броска в отдельности, то есть (35/36)². Тогда вероятность выпадения при двух бросках равна: 1 — (35/36)², что больше вероятности выпадения при одном броске почти вдвое: 1 — (35/36)² ≈ 1—0,95 = 0,05. Остается выяснить, каково должно быть минимальное число бросков, чтобы вероятность выпадения превысила вероятность невыпадения, то есть стала бы больше половины. Обозначим неизвестное нам число бросков через х. Тогда вероятность невыпадения (35/36)^x, вероятность выпадения р = 1 — (35/36)^x. Вот и все.

— Позвольте! — шебаршится Фило. — Как же всё, если икс так и остался ненайденным? И каким способом вы думаете его найти?

— Либо с помощью логарифмов, либо подбирая вместо икса числа, при которых вероятность выигрыша станет больше половины.

— Значит, именно так решали эту задачу в семнадцатом веке?

— Вот этого не скажу. К сожалению, лично мне способы Паскаля, Ферма и де Мере не известны.

— Зато известны результаты их решений, мсье. У Паскаля и Ферма х = 25. А шевалье де Мере получил два ответа: 24 и 25. И теперь у нас есть возможность выяснить, какой из них верен.

— Вот именно, — кивает Мате. — При х = 24:

р = 1 — (35/36)²⁴ ≈ 1 — 0,5094 = 0,4906.

При х = 25:

р = 1 — (35/36)²⁵ ≈ 1 — 0,4955 = 0,5045.

Так что правы все-таки Паскаль и Ферма: вероятность, превышающая половину — 0,5045, получается именно при х = 25.

— Слава тебе господи! — ублаготворенно вздыхает Фило. — Одна задача с плеч долой. Можно переходить к следующей…

Но в это время из знакомой нам книги Лесажа, где на обложке Хромой бес возносит в ночное небо сеньора в испанском плаще и широкополой шляпе, вырывается чей-то отчаянный баритон в сопровождении дикого кошачьего хора.

— Асмодей, Асмодей! Куда вы запропастились? Я жду вас целую вечность!

— Дон Клеофас Леандро-Перес Самбульо, — смешливым шепотом поясняет черт. — Всегда этот студент влипает в какие-то истории.

Услыхав голоса сородичей, Пенелопа и Клеопатра приходят в страшное волнение и начинают носиться по квартире как угорелые. Буль, которому передается их беспокойство, рычит, задрав голову к потолку. Но виновник переполоха и ухом не ведет.

— Асмодей! — взывает Самбульо. — Есть у вас совесть? Бросили меня на крыше, а тут какой-то кошачий симпозиум.

«Мя-а-а-у! Мя-а-а-у!» — завывают коты на крыше.

«Мяу! Мяу!» — вторят кошки в комнате.

И тут Асмодей не выдерживает (он бес не БЕСсердечный).

— Лечу, дорогой дон Леандро-Перес! — восклицает он, торопливо доедая пирог. — Продержитесь еще немного.

Он вихрем взвивается к потолку и снова исчезает за картонной обложкой, откуда сразу же доносится жалобный визг разгоняемых симпозиатов вперемешку с чертыханием Самбульо. Потом все стихает, и Асмодей с расцарапанным носом, но зато в прекрасном настроении вновь занимает место у стола.

— Ну и переделка, мсье! По-моему, там собрались все коты Мадрида. Только не пришлось им закончить свою КОТОвасию. Ко-ко-ко…

— Сходное положение. Совсем как во второй задаче де Мере, — острит Мате. — Игроки вносят деньги, но не успевают закончить игру. После чего им приходится выяснять, какая часть ставки причитается каждому.

— Добавьте, мсье, что в игре участвуют трое, бросающие трехгранные кости, и что каждый ставит на одну из граней.

— Разберемся по порядку, — начинает Мате. — Допустим, игроки условились бросать кости по очереди до тех пор, пока у одного из них задуманное число очков не выпадет, скажем, шесть раз. При этом первый, кому повезет, забирает все три ставки себе. Теперь рассмотрим такую картину. У одного игрока уже было пять удач. Значит, до выигрыша ему остается всего один счастливый бросок. У второго и третьего до выигрыша не хватает двух удачных выпадений, то есть у каждого из них задуманное число очков выпало по четыре раза. Но в это время игра по какой-то причине прерывается, и тут возникает вопрос: как разделить поставленные деньги?

— Вот так задачка! — Фило озабоченно почесывает затылок. — На месте де Мере я бы тоже ее не решил.

— Зато это сделали Ферма и Паскаль, причем каждый своим способом. И так как способ Ферма сложнее, разберем решение Паскаля. Итак, первому игроку не хватает одного угадывания. Но ведь неизвестно, как бы сложилась игра в дальнейшем. Могло ведь повезти и другим партнерам. Стало быть, НАВЕРНЯКА первому причитается 1/3 и сверх того какой-то добавок, так как к моменту прекращения игры он был все-таки впереди. Остается выяснить величину этого добавка (при этом заметьте, что до выигрыша кого-либо из игроков не хватает максимум трех бросков). Допустим, игра продолжается, и при следующем броске удача приходит ко второму игроку. Тогда его шансы уравниваются с шансами первого. Но возможность выиграть есть и у третьего. Поэтому, после того как первому отдадут одну треть ставок, надо оставшуюся часть, то есть 2/3 ставок, снова разделить на три равные части. Таким образом, первый игрок получает дополнительно одну треть от 2/3, то есть 2/9. То же, естественно, полагается и второму игроку. Значит, в кассе остается 2/3 — 2/9 — 2/9 = 2/9. Если игра все еще продолжается, то при третьем, последнем, броске, повезти может и третьему игроку. Тогда права всех партнеров на оставшиеся деньги уравниваются. А посему остаток снова следует разделить на три части. Значит, первый получает еще одну треть от 2/9, то есть 2/27. А всего ему причитается: 1/3 + 2/9 + 2/27 = 17/27.

— Можете не продолжать, — перебивает Фило. — Оставшиеся 10/27 надо поделить поровну между двумя другими игроками, по 5/27 каждому.

Ведь когда игра прервалась, шансы их на выигрыш были одинаковы.

— Итак, — заканчивает бес, — ставки следует разделить в отношении 17 : 5 : 5. А теперь подумаем, в каких отношениях разделить яблочный пирог, оставшийся после утреннего заседания.

— Прекрасная задача, — смеется Фило. — Прежде всего потому, что долго думать над ней не приходится.

Он берет большое круглое блюдо с доброй половиной пышного, румяного пирога и торжественно преподносит черту.

— Что вы, мсье! — отнекивается тот. — Я бес не БЕСсовестный…

И, ловко выхватив блюдо из рук обескураженного хозяина, молниеносно скрывается за переплетом. На сей раз — до утра.

Кофейное воскресенье

Следующий день — не только воскресный, но и кофейный. Собираются, стало быть, у Мате, и Асмодей, который не раз заглядывал в его прежнее жилье (покойная тетка Мате не раз брала роман Лесажа в библиотеке), еще раз убеждается, что сохранить в неприкосновенности свой замоскворецкий хаос хозяину не удалось. Никаких книг на полу. Электрические розетки в порядке. Зато самодельная кофеварка все та же. Кстати, она уже включена, и черт с наслаждением вдыхает густой кофейный аромат, которым насквозь пропитана небольшая квартира.

По правде говоря, Мате побаивается, как бы кофе не испортил им нынешнего заседания. Вдруг он тоже подействует как снотворное?

Но бес опустошает чашку за чашкой, не проявляя никаких признаков сонливости. Напротив: узкие глазки его так и зыркают по сторонам, дескать, что бы такое вытворить? Наконец они останавливаются на телевизоре, и тут черт объявляет, что неплохо бы посмотреть новую передачу «Знатоков». «Знатоки» — его любимая серия. Отказаться от нее, хотя бы и во имя науки, он просто не в состоянии.

Филоматики встречают его предложение по-разному: Фило — с тайной радостью, Мате — с явным неудовольствием. Но Асмодей будто и не слышит его протестов. Он самолично включает приемник, потребовав наперед, чтобы все, в том числе Пенелопа, Клеопатра и Буль, сидели тихо и не вздумали отлучаться. Он этого терпеть не может. Вскоре на экране возникают первые титры. Слышится знакомая музыка. И вдруг… Что такое? Кадры начинают мелькать как сумасшедшие, что-то трещит, гудит, и наконец изображение, а заодно и звук исчезают вовсе.

Фило обиженно надувает губы. Вечная история! Только настроишься посмотреть хорошую передачу — и на́ тебе…

— Спокойствие, мсье! Только спокойствие! — призывает черт, не двигаясь с места. — Сейчас все будет в порядке.

Он издали дует на телевизор, и тот снова оживает. Но где же «Знатоки»? На экране титры совсем другой передачи!

— «Клуб знаменитых математиков», — читает Фило. — Насколько я помню, в программе нет ничего подобного.

— В вашей программе, может, и нет, мсье. Зато в моей…

Мате понимающе вздергивает брови. Все ясно! Очередной адский фокус. Однако бранить беса он и не думает: передача-то как-никак математическая. Интересно, с чего она начнется? Наверное, как водится, со вступительной песенки.

Так и есть! Хор мужских голосов начинает песенку «Клуба знаменитых капитанов». Только поет он все же какие-то другие слова:

Но вот вступление окончено. На экране появляется какая-то комната, и филоматики узнают кабинет Паскаля на улице Сен-Мишель. По-прежнему пылает огонь в очаге. Но теперь перед ним уже не двое, а великое множество людей. И как только все они здесь уместились!

Поначалу друзья различают в толпе только Ферма и Паскаля. Лица остальных тонут в красочной сумятице одежд самых разных времен и национальностей. Но потом Фило вдруг узнаёт Омара Хайяма, а Мате — Фибоначчи, и только вмешательство Асмодея не дает им пробить экран головой.

Слово берет Ферма. Он объявляет очередное заседание Клуба знаменитых математиков открытым и просит избрать председателя.

— Так как тема заседания — «Арифметический треугольник», — говорит Паскаль, — предлагаю мэтра Пифагора.

Раздаются дружные рукоплескания, и с места поднимается смуглолицый грек.

— Благодарю за честь! — произносит он с достоинством. — Хотя совершенно очевидно, что причина ее — уважение к древности. Ибо арифметическим треугольником я никогда не занимался.

— Зато ты занимался фигурными числами, — возражает Хайям, — а они, как известно, входят в арифметический треугольник.

Пифагор протестующе поднимает руку.

— Не преувеличивай моих заслуг, о Хайям! Фигурные числа — не мое открытие. Помнится, я вывез их из Вавилона заодно с другими математическими редкостями.

— А все-таки узнали мы о них не от вавилонян, а от тебя и от твоего последователя Никома́ха, — упорствует Хайям.

— Ну, если так, — Пифагор делает приглашающий жест, — тогда позволь предоставить слово тебе. Недаром ходят слухи, что Омар Хайям тоже имеет отношение к арифметическому треугольнику.

— Разве? — усмехается тот. — Другие всегда знают о нас больше, чем мы сами. Во всяком случае, если и было в моей жизни что-нибудь подобное, то сам я об этом начисто забыл. Помню лишь, что арифметический треугольник был известен в Древней Индии и в Древнем Китае. Так что предоставь лучше слово мэтру Тарта́лье. Надеюсь, он-то свою причастность к арифметическому треугольнику отрицать не станет.

— Ни-ни-ни в коем случае, — подает голос человек со шрамом на подбородке. — Хотя числа в этом треугольнике я ра-ра-расположил так, что правильнее было бы называть его прямоугольником.

— Какое, однако, совпадение! — не выдерживает Фило. — «Тарталья» — по-итальянски «заика», а этот уважаемый мэтр и впрямь заикается.

— Ничего удивительного, — поясняет Асмодей. — Прозвище Тартальи сей даровитый итальянец получил как раз за свое заикание. Оно началось у него после ранения в нижнюю челюсть.

— А настоящая его фамилия как? — пристает любопытный Фило.

Но Асмодей лишь досадливо пожимает плечами. Не всегда ж ему знать то, чего не знает никто! И вообще, дадут ему наконец смотреть передачу?

— Однако, до-до-дорогие мэтры, — продолжает Тарталья, — хочу обратить ваше внимание на то, что арифметические треугольники возникали в разные времена и в разных странах совершенно самостоятельно. Свой я, во-во-во всяком случае, придумал сам.

— И я тоже, достопочтенный мэтр Тарталья, — присоединяется Паскаль, — потому что ваши изыскания были мне, к сожалению, неизвестны.

— Вы забыли сказать главное, уважаемый мэтр Паскаль, — вмешивается представительный горбоносый красавец.

— Насколько я понял, мэтр Лейбниц, вы просите слова, — строго намекает Пифагор. — Рад его вам предоставить.

Тот, извиняясь, склоняет голову в длинноволосом каштановом парике. Достопочтенному председателю незачем затрудняться! Он, Лейбниц, хотел лишь заметить, что заслуга мэтра Паскаля не столько в том, что он открыл арифметический треугольник, сколько в том, что ему удалось вывести формулу сочетаний. Ту самую формулу, что позволяет с легкостью вычислить любой элемент числового треугольника.

— Прошу прощения, — живо перебивает Паскаль. — Одновременно со мной ту же формулу вывел мэтр Пьер Ферма.

— Не отрицаю, — весело басит Ферма. — И все-таки честь ознакомить собравшихся с некоторыми свойствами формулы сочетаний я предоставляю вам.

Паскаль молча кланяется и, подойдя к грифельной доске у камина, выписывает на ней две таблицы.

— Как видите, — поясняет он, — арифметический треугольник изображен здесь в двух видах: в числовом и условном, где каждый член его выражен через число сочетаний из номера строки по номеру своего места в ней. Разумеется, верхней строке и первому числу каждой строки присвоен нулевой номер. Далее обратите внимание на то, что все сочетания, у которых верхний индекс нуль, равны единице. Причину этого понять нетрудно. Стоит только сравнить обе таблицы. Выберем, допустим, шестую строку (ее порядковый номер 5) и рассмотрим два ее числа, хотя бы 5 и 5. Одно из них в условном треугольнике обозначено как C₅¹, второе — как C₅⁴. Но ведь числа эти равны между собой, ибо каждое из них порознь равно 5: C₅¹= C₅⁴ = 5. В свою очередь C₅¹ можно записать как C₅^5—4. И если это обобщить для любой строки (n) и любого порядкового числа в ней (m), то получится любопытное свойство сочетаний: С_п^m = С_п^n—т (це из эн по эм равно це из эн по эн минус эм). Отсюда ясно, что так как с одной стороны С_nⁿ = 1, а с другой С_nⁿ = С_n^n—п = С_n⁰, то и выходит, что C_n⁰ = 1. Ну, а дальше уж, для общности правила, условились и С₀⁰ тоже считать единицей. Вот вам простой и удобный способ отыскивать любое, даже самое большое число сочетаний. И потому вопрос, чему равно, скажем, число сочетаний из тысячи по девятисот девяноста девяти, не должен пугать даже школьника, — вычислить это проще простого:

— За-за-замечательно! — восхищается Тарталья. — Я бы до такого ни-ни-никогда не додумался.

— Не клевещите на себя, дорогой мэтр Тарталья, — протестует Паскаль. — Просто вы жили столетием раньше, и время формулы сочетаний еще не пришло. А теперь попрошу нашего досточтимого председателя предоставить слово мэтру Лейбницу, ибо я горю желанием узнать, что сделал с арифметическим треугольником он.

— С величайшим удовольствием! — кивает Пифагор. — Тем более, что и сам я давно этим интересуюсь.

— Собственно говоря, я шел по стопам мэтра Паскаля, — уголками рта улыбается Лейбниц, — но мой треугольник составлен в обратном порядке. Так сказать, шиворот-навыворот. Прежде всего вместо целых чисел я взял дробные. А уж из этого вытекает и все остальное.

Он вытирает доску и пишет на ней другую таблицу.

— Этот свой треугольник я назвал гармоническим, — поясняет он.

— Превосходно! — горячо одобряет Пифагор. — Всегда говорил, что главное в мире — гармония.

— Вполне с вами согласен, — кланяется Лейбниц. — Но название это объясняется тем, что в правом и левом наклонных рядах моего треугольника стоят числа, которые принято называть гармоническим рядом: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7… Особенность этого ряда заключается в том, что сумма его членов: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7… не стремится ни к какому определенному числу — иначе говоря, она бесконечна.

Не то что, скажем, другой ряд: 1/2 + 1/2² + 1/2³ + 1/2⁴ + 1/2⁵ +… = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/ 16 + 1/32 +…, чья сумма стремится к единице. Так вот, если в треугольнике мэтра Паскаля каждое число равно сумме двух чисел, стоящих НАД ним (справа и слева), то в моем треугольнике каждый член равен сумме чисел, стоящих ПОД ним (также справа и слева). Например 1/6 = 1/12 + 1/12. А потому, если в треугольнике мэтра Паскаля общий член выражается формулой С_n^m, то в моем он выглядит так:

Вот, например, в третьем ряду сверху второй член таков:

— О-о-очень любопытно! — восклицает экспансивный Тарталья.

— Но это еще не всё! — продолжает Лейбниц. — Выберем какой-нибудь наклонный ряд — скажем, второй: 1/2 1/6 1/12 1/20 1/30 1/42. Начнем вычисление с любого, хотя бы со второго его члена, то есть с 1/6. Тогда из сказанного о законе образования членов треугольника прежде следуют такие равенства:

1/6 — 1/12 = 1/12

1/12 — 1/20 = 1/30

1/20 — 1/30 = 1/60

1/30 — 1/42 = 1/105

. . . . . .

Сложим почленно правые и левые части этих равенств. Все равные слагаемые в левых частях, имеющие противоположные знаки (плюс и минус), взаимно уничтожаются, и останется только первое число 1/6. Значит, 1/6 = 1/12 + 1/30 + 1/60 + 1/105 +… Но ведь правая часть этого равенства есть сумма всех чисел следующего за этим наклонного ряда, начиная с 1/12 и до бесконечности. И если в треугольнике мэтра Паскаля каждый член равен конечной сумме чисел, стоящих СЛЕВА и расположенных НАД данным числом, то в моем треугольнике каждое число равно сумме бесконечного ряда чисел, стоящих СПРАВА и ПОД данным. Вот, собственно, и всё.

Паскаль горячо пожимает руку слегка утомленному оратору.

— Благодарю от имени всех, а от себя — особенно. Ваши бесконечные ряды доставили мне бесконечное удовольствие. Потому что бесконечность во всех ее проявлениях — предмет моего самого пристального внимания.

— Если так, — говорит Лейбниц, — попросите нашего достопочтенного председателя предоставить слово мэтру Ньютону, и вы получите удовольствие еще большее. Ибо он использовал вашу общую с мэтром Ферма формулу весьма неожиданно. Причем бесконечность в этом случае играет не последнюю роль.

Раздаются аплодисменты, и мэтр Исаак Ньютон, раскланиваясь, поднимается со своего места.

— Прежде чем перейти к сути дела, — говорит он, — хочу обратить ваше внимание на одно обстоятельство. Подобно мэтрам Паскалю и Ферма, мы с мэтром Лейбницем также совершили одно и то же открытие, независимо друг от друга. Это дифференциальное и интегральное исчисление. Надо, однако, признать, что открытие это — всего лишь завершение того, что начато нашими предшественниками. В первую очередь мэтрами Паскалем и Ферма, а также отсутствующим мэтром Декартом.

Бурное одобрение.

Все встают и долго рукоплещут.

— А теперь перейдем к вопросу, затронутому мэтром Лейбницем, — продолжает Ньютон, дождавшись тишины. — Должен снова оговориться. Формула разложения степени бинома носит мое имя не совсем справедливо. Ею пользовались задолго до меня. О моей роли в ее судьбе я как раз собираюсь рассказать. Для начала запишу эту формулу в ее обычном виде:

Здесь коэффициенты в каждом члене, как вам уже известно, есть число сочетаний из п по нулю, по единице, по два, по три и так далее, то есть

Что же нового внес в эту формулу я? Только то, что предложил обобщить ее, иначе говоря, не ограничивать целым числом для п, а распространить на любые значения показателя степени — дробные, отрицательные… При этом формула сочетаний, выведенная мэтрами Паскалем и Ферма, тоже становится обобщенной. Что же касается самой степени бинома, то она раскладывается в бесконечный ряд. — Мэтр Ньютон предупредительно оборачивается к Паскалю. — Вот в каком виде я предлагаю ее записывать:

Например, для n = 1/2 получится такой ряд:

Или:

Сохраняя любое число слагаемых в правой части, можно вычислить эту сумму с любой степенью точности. Само собой разумеется, что икс в нашей формуле меньше единицы.

Мэтр Ньютон садится, и Пифагор собирается уже объявить следующего оратора… Но тут в телевизоре что-то щелкает, и место Пифагора занимают Знатоки, сообща разоблачающие преступника. Мате с досадой хлопает себя по коленке. Черт знает что!

— Вот именно, мсье, — откликается Асмодей. — Я, во всяком случае, всегда знаю, что делаю. Кроме того, привычка — вторая натура, как сказал Цицерон. А он тоже знал, что говорил.

Разговор без фокусов

— Ну-с, чем вы удивите нас теперь? — допытывается Фило, когда вздремнувшая после обеда компания снова собирается у Мате. — Еще одной телевизионной передачей?

— За кого вы меня принимаете, мсье! Телевизионная передача уже была, а подлинный художник не повторяется.

— У-у-у! Тогда я вам не завидую, — подтрунивает Мате. — Нагородив такую пропасть фокусов, трудненько придумать новые.

— Вы забываете, мсье, что в запасе у меня всегда остается возможность вообще ничего не придумывать. И разве это не самый оригинальный способ не повторяться? Сейчас мы с вами сядем за стол и тихо, без фокусов подытожим все, что узнали о теории вероятностей.

У Фило это сообщение восторга не вызывает. Его куда больше интересует комбинаторика. Он все еще не раскусил, с чем ее едят.

— В самом деле? — улыбается Мате. — А между тем с начатками ее вы наверняка знакомились в десятилетке. Вспомните раздел «Соединения». Размещения, сочетания, перестановки…

— Так это и есть комбинаторика? — удивляется Фило. — Выходит, я, как мольеровский Журде́н, всю жизнь говорил прозой, сам того не подозревая.

— Удачнейшее сравнение, мсье. Как и все прочие смертные, вы действительно постоянно решаете комбинаторные задачи, совершенно о том не думая.

— Я?! Полно шутить! Обещали без фокусов, а…

Но Мате уверяет, что никаких фокусов нет. Просто любая, даже самая несложная задача из тех, что выдвигает перед нами повседневность, заставляет нас учитывать ряд обстоятельств, прикидывая, как бы получше их скомбинировать. Не следует, конечно, в данном случае придавать слову «комбинация» дурной смысл. Упаси боже! Он, Мате, вовсе не хочет сказать, что все поголовно человечество похоже на великого комбинатора Остапа Бендера. Но некий комбинаторный навык бесспорно есть, да и должен быть у каждого. Вот, например, вы позвали гостей, и вам предстоит рассадить за квадратным столом двенадцать человек…

— Велика сложность! Посажу по трое с каждой стороны.

— И, стало быть, произведете определенное СОЕДИНЕНИЕ. Однако сделать это можно многими способами. Можно рассадить гостей так, чтобы соседями оказались люди, друг другу интересные. Тогда вечер наверняка удастся. Можно,наоборот, сделать так, что Иван Иванович, сидящий на одном конце стола, будет все время перекрикиваться с Петром Петровичем, сидящим на другом, а Марья Спиридоновна, наоборот, угрюмо промолчит весь вечер, так как ей очень хотелось сидеть с Настасьей Никаноровной, а соседкой ее оказалась глухая Агриппина Сципионовна.

Фило смотрит на друга широко раскрытыми глазами. Кто б мог подумать, что Мате такой дипломат!

— И это всё, что вы вынесли из моего примера? — язвит тот. — Я на вашем месте сделал бы совсем другой вывод.

— Какой же?

— А такой, что от степени ваших комбинаторных способностей зависит исход дела. Иначе говоря, вероятность удачи. Вы меня понимаете?

Фило растерян. Что ж это такое? Выходит, каждая комбинаторная задача — всегда одновременно и вероятностная?

Мате слегка морщится.

— Ммм… Не каждая. И не всегда. Но часто! Отсюда легко понять, какая тесная смычка существует между теорией вероятностей и комбинаторным анализом.

Фило задумчиво теребит бахрому скатерти. Все это очень хорошо, и связь теории вероятностей с комбинаторикой, а стало быть, с жизнью для него теперь очевидна. Но из этого не следует, что теория вероятностей так уж практически необходима. Вычислить вероятность удачи не значит еще удачи добиться. В конце концов, кто раздобыл рецепт королевского паштета? Кто отворил дверь подземелья? Асмодей или теория вероятностей?

— И что же из этого вытекает? — иронизирует бес. — Только то, что из пушки по воробьям не палят и что удовлетворение личных потребностей мсье Фило в задачи теории вероятностей не входит.

— Уж конечно, — поддерживает Мате. — У нее совсем иные цели. Ведь если комбинаторика — инструмент, которым пользуется теория вероятностей, то сама теория вероятностей — инструмент, с чьей помощью познают мир и его законы самые разнообразные науки. Биология — наука о живых организмах, состоящих из громадного количества клеток. Статистическая физика — она исследует неживую природу, но объекты ее изучения опять-таки состоят из мириадов мельчайших частиц. Астрономия, изучающая бесчисленное множество небесных тел. Наконец, статистика — одна из тех наук, что изучает жизнь общества, иначе — огромного множества людей, и потому занимает такое важное место в государственном планировании, экономике, организации производства… Словом, если неэвклидова геометрия приложима лишь к беспредельным пространствам Вселенной, а теория относительности — к фантастическим скоростям, близким к скорости света, то теория вероятностей применяется во всех без исключения областях, где мы сталкиваемся с так называемыми большими, а на самом деле грандиозными числами. С теми, о которых беседовали на улице Сен-Мишель Ферма и Паскаль и чей закон в конце семнадцатого столетия открыл швейцарский математик Якоб Бернулли.

— Скажи́те! — удивляется Фило. — А ведь с чего все началось? Всего-то с игры в кости.

— Ничего странного, мсье, — подает голос черт. — Не спорю: азартные игры — это, конечно, бяка. А все же им удалось сыграть и положительную роль в истории человечества. Мсье Паскаль даже полагал, что в этой случайности есть своя закономерность. По его мнению, человеческая изобретательность ярче всего проявляется именно в играх… И все-таки вы, надеюсь, не думаете, что теория вероятностей в наши дни осталась той же что в семнадцатом веке?

Фило обидчиво фыркает. Не такой уж он олух! После всего сказанного…

— Вот именно. — Мате примирительно дотрагивается до руки, теребящей скатерть. — После всего сказанного совершенно ясно, что со временем в теории вероятностей произошли значительные перемены. И если поначалу задачи ее ограничивались вычислением вероятностей отдельных событий, то уже в восемнадцатом и девятнадцатом веках, с ростом промышленности и экспериментальной науки, сама жизнь поставила теорию вероятностей на службу новым, более сложным проблемам. Различные формы страхования, ошибки, связанные с научными наблюдениями и опытами, — все это заставило ее обратиться к исследованию так называемых случайных величин. Элементы этого понятия встречаются уже в трактате Гюйгенса «Об азартных играх». Потом им занимались многие европейские ученые: Даниил Берну́лли, Пуассо́н, Муа́вр, Лапла́с, Лежа́ндр, Га́усс. И все же наиболее четкую формулировку понятие случайной величины обрело в трудах советского академика Колмогорова.

— Знай наших! — подмигивает Фило. — Приятно услышать имя соотечественника в списке тех, кто совершенствует науку…

— Могу вас обрадовать, — говорит Мате. — В истории науки о вероятностях таких имен много. В первую очередь это Пафнутий Львович Чебышёв — крупнейший русский математик XIX века. Именно он вывел русскую теорию вероятностей на главное место в мире, окончательно преобразовав ее в строго математическую дисциплину. Дело Чебышёва достойно продолжили его ученики Ляпунов и Марков. Далее эстафету подхватили талантливые советские ученые: Слуцкий, Бернштейн, Хинчин, упомянутый уже Колмогоров, а также их ученики, разработавшие вновь возникшие разделы теории вероятностей. Такие, как функции распределения. Или же вероятность случайных процессов, тесно связанных с биологией, астрономией, физикой, инженерным делом… Впрочем, не сомневаюсь, что теория вероятностей будет постоянно пополняться новыми понятиями. Ведь она неотделима от жизни, а жизнь никогда не кончается.

— Совершенно с вами согласен, мсье! — многозначительно намекает бес. — А посему не пора ли нам закрыть официальную часть и перейти к художественной?

— Что вы имеете в виду? — опасливо интересуется Фило.

— Ничего особенного, мсье. Разве что решение одной-двух задач по комбинаторике. Но для этого я, с вашего разрешения, должен отлучиться. О, ненадолго! Всего лишь чтобы слетать в Версаль семнадцатого века.

Художественная часть

Филоматики удручены. Ну теперь ищи ветра в поле! Но, вопреки их мрачным предположениям, бес отсутствует не более минуты. И вот он уже снова здесь и достает из-под плаща непрозрачную, странно раздутую хлорвиниловую авоську, которая сразу же вызывает острый интерес Пенелопы и Клеопатры. Они жадно урчат и даже становятся на задние лапы, пытаясь заглянуть в сумку. Но бес высоко держит свое таинственное сокровище и не опускает до тех пор, покуда кошек не выдворяют в прихожую.

— Что там, Асмодей?

— Задача, мсье! Я ее выудил из того фонтана, подле которого мы отдыхали. Вы, конечно, помните, какие там были красивые рыбки, но вряд ли заметили, что их было четырнадцать, в том числе две золотые. Из этих четырнадцати я зачерпнул восемь. Вам остается решить, какова вероятность, что две золотые окажутся среди этих восьми.

Фило вопросительно смотрит на товарища. Тот, почесывая переносицу, говорит, что прежде всего следует установить число всех возможных комбинаций, затем — число благоприятных и, наконец, разделив второе на первое, получить искомую вероятность.

— Что касается общего числа комбинаций, то это и я могу, — говорит Фило. — Надо вычислить число сочетаний из четырнадцати рыбок по восьми. А это… Мате, где ваш блокнот? Это можно записать так: С₁₄⁸ равно…

— Постойте, — не соглашается Мате, — зачем вычислять из 14 по 8? Воспользуемся известной формулой, где С_п^m = С_п^n—m, то есть С₁₄⁸ = С₁₄⁶.

— Правильно! Но вот вопрос: каким образом это С из четырнадцати по шести вычислить?

— Да так, как это делал Ферма, когда вычислял число сочетаний из восьми по три. Вспомните: он выписывал первые восемь натуральных чисел и отделял в этом ряду слева и справа по три числа — 1, 2, 3 и 8, 7, 6. Затем он составлял дробь, где в числителе стоит произведение правой тройки чисел, а в знаменателе — левой…

— Не продолжайте, — перебивает Фило, — я уже понял. Выписываем натуральный ряд чисел от 1 по 14, отделяем шесть чисел слева и столько же справа и составляем дробь:

(14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9)/(1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6), что после сокращения дает 77 × 39.

Итак, С₁₄⁸ = С₁₄⁶ = 77 × 39. Да, но как мы вычислим число благоприятных случаев?

— Думайте сами.

— Не будьте столь непреклонны, мсье, — заступается бес. — Не можем же мы отказать в помощи младенцу, делающему первые шаги в научной комбинаторике. Так вот, мсье Фило, если две золотые рыбки уже выловлены, то из двенадцати оставшихся надо к ним добавить шесть любых. Иначе говоря, вычислить число сочетаний из двенадцати по шести, что равно вот чему:

— Благодарю, благодарю и в третий раз благодарю! — рассыпается Фило. — Теперь я и в самом деле справлюсь один. Делим число благоприятных комбинаций на число всех возможных: C₁₂⁶ на С₁₄⁸, и искомая вероятность у нас в кармане:

— Как, так мало? — Фило явно разочарован. — Стало быть, в вашей сумке, Асмодей, нет ни одной золотой рыбки?

— Но-но-но, мсье! Не забывайте, с кем имеете дело. Тридцать три процента для черта — вероятность громадная.

Он щелкает пальцами. На столе появляется наполненный водой аквариум, и спустя секунду в нем уже плавают восемь прехорошеньких рыбок. Две золотые пламенеют среди них, как сорвавшиеся с неба и всё еще не остывшие звездочки. Мате рассматривает их с удовольствием. Уж этот Асмодей! Где ему обойтись без фокусов…

— По-моему, он работает не хуже Акопяна, — восторгается Фило.

Бес дурашливо раскланивается.

— Мсье, вы мне льстите! Однако программа наша не окончена. Оркестр, туш! Ваш выход, мсье Мате. Да, да, не смотрите на меня удивленными глазами. Надо же мне познакомиться с вашими собственными числовыми изысканиями.

— Полно, — смущается тот. — После Паскаля и Ньютона…

— Не боги горшки обжигают, мсье, — подбадривает черт. — Думаете, я не знаю, что один из ваших арифметических треугольников пригодился для решения некоего дифференциального уравнения, а другой — для расчета авиационного вала?

— Дела давно минувших дней. Знали бы вы, что я придумал месяц назад! Однажды я заинтересовался изосумма́рными числами…

— Чем-чем? — переспрашивает Фило.

Оказывается, Мате изобрел это название сам. Приставка «изо» означает «равные». Следственно, изосуммарны те числа, у которых сумма цифр одинакова. Вот, например: 6, 15, 24, 33, 105, 204, 600. Сумма цифр у каждого из этих чисел равна 6.

Для краткости Мате назвал сумму цифр индексом. И вот ему захотелось узнать, сколько имеется изосуммарных чисел с разными индексами, то есть равными единице, двойке, тройке и так далее.

Сперва он стал их разыскивать среди однозначных чисел, затем среди двузначных, трехзначных, четырехзначных… А из найденных построил таблицу. Без таблицы, сами понимаете, в таком деле не обойтись.

— Перед вами таблица распределения изосуммарных чисел, — продолжает Мате, раскрывая блокнот. — Здесь буква «k» — значность чисел. Она у меня помещается в левом столбце. Буква «i» — индекс числа. Индексы я отложил на верхней горизонтали. Как видите, индекс не превышает девяти, в то время как значность может быть любая.

— А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? — сейчас же прилипает Фило.

— Всё в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности…

— Стойте, — перебивает Фило. — Ваша таблица — это же числа треугольника Паскаля!

— Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.

— Значит, — размышляет Фило, — по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.

— Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце. Это — 35. Само собой, число это всегда можно выразить через формулу сочетаний.

— Каким образом?

— Подумайте сами. А я хочу сказать о другом. Если вы помните особенности Паскалева треугольника, то легко ответите на такой вопрос: как, НЕ ВЫСЧИТЫВАЯ, сразу, определить по таблице, сколько всего изосуммарных чисел с каким-либо индексом (разумеется, не превышающим девяти) есть среди чисел всех значностей, начиная с однозначных и кончая любой заданной?

С ответом, однако, никто не торопится, и потому Мате отвечает сам. Оказывается, вопрос несложный. Вот, например, мы хотим узнать количество изосуммарных чисел с индексом 5, начиная с единицы по семизначные числа. Для этого, казалось бы, следует сложить все числа пятого столбца, начиная с 1 по число 210, которое стоит в седьмой строке. Но обнаруживается, что узнать это число можно и не прибегая к сложению, ибо сумма этих чисел находится в соседнем, шестом столбце, всё в той же седьмой строке. Это 462. Вот сколько изосуммарных чисел с индексом 5 есть среди всех чисел от единицы до десяти миллионов.

— Мсье, это изумительно! — стонет бес.

— То ли будет. Вы ведь знаете, что в прямоугольнике Тартальи, как и в треугольнике Паскаля, строки можно заменять столбцами.

— И что из этого следует? — спрашивает Фило.

— А то, что количество изосуммарных чисел от ОДНОЗНАЧНЫХ по, скажем, ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ, у которых сумма цифр, например, ТРИ, соответствует количеству ТРЕХЗНАЧНЫХ изосуммарных чисел с суммой цифр от ЕДИНИЦЫ по ЧЕТВЕРКУ. Вот они:

Фило рассматривает новую таблицу с видом важным и недоверчивым. Це дило треба разжуваты, как говорят на Украине! Но, в общем, идея ясна. А теперь интересно бы узнать, почему все-таки таблица ограничивается индексом девять?

— В том-то и загвоздка, — оживляется Мате. — При индексе свыше девяти изосуммарные числа уже не укладываются в прямоугольник Тартальи. Для того чтобы вычислить количество изосуммарных чисел разных значностей с индексом больше девяти, надо к соответствующим числам прямоугольника Тартальи (а значит, и треугольника Паскаля) прибавлять дополнительные слагаемые.

— И вы их нашли?!

— Нашел. И тем горжусь. Но об этом в другой раз…

Явно пародируя Мате, Асмодей хлопает себя по лбу.

— Клянусь решетом Эратосфена, никогда себе не прощу, что не включил вашего сообщения в заседание Клуба знаменитых математиков. То-то был бы эффект! Но ничего, включу в следующее.

— Дорогой Асмодей, — вкрадчиво подъезжает Фило, — давно хочу у вас спросить… Если, конечно, не секрет. Не скажете ли, кто исполнял в вашей передаче роль Паскаля? Случайно, не Юрский?

Бес поднимает брови и некоторое время рассматривает его с преувеличенным интересом. Затем, не говоря ни слова, поворачивается на своих костылях и… исчезает. Фило растерянно хлопает глазами: до чего странный все-таки черт! И что он хотел этим сказать?

Последняя точка над «i»

Проходит долгая безасмодейная неделя. Все это время филоматики то и дело поглядывают на книгу Лесажа. Они даже пробуют трясти ее в надежде выманить беса — напрасный труд! Кроме старой бумажки с рецептом орехового торта, оттуда так ничего и не вытряслось.

Асмодей возвращается только в следующее воскресенье — так же внезапно, как исчез, — и с ходу приступает к прерванным итогам.

— Есть такое изречение, мсье: ни одно доброе дело не остается безнаказанным. Мне оно не особенно нравится, и я переиначил его на свой лад: ни одно доброе дело не следует оставлять незаконченным. Ко-ко… Это уже гораздо лучше, не правда ли? А посему давайте завершим наше доброе дело и обсудим ту часть недавнего путешествия, что связана с Паскалем и Мольером. Прежде всего с их борьбой против снисходительной морали и ее авторов — иезуитов.

— Помнится, Мольер в своем ночном монологе сказал что-то о примирении янсенистов и католиков, — говорит Мате.

— Это случилось в октябре 1668 года, после буллы папы Климента Девятого, — уточняет Фило. — А сцена, свидетелями которой мы были, относится к 7 февраля 1669 года, потому что разрешение на постановку «Тартюфа» было дано накануне, почти через пять лет после злополучного вечера в Версале.

— Но почему все-таки примирились католики и янсенисты? — гадает Мате. — Ума не приложу!

— Уж конечно, не потому, мсье, что нашли общий язык. Да и какое это примирение? Уже через десять лет пор-рояльцев начали преследовать с новой силой, а к началу восемнадцатого века янсенизм был разгромлен окончательно. Так что рассматривайте это как временную уступку, на которую церковь пошла единственно под напором растущего недовольства иезуитами и их хваленой моралью. Всеобщее негодование — его, как вы знаете, разделяла немалая часть духовенства — заставило папские власти обратить особое внимание на труды отцов-иезуитов. Сочинения их неоднократно обсуждались и осуждались. И все это, вместе взятое, привело к тому, что в 1773 году орден Иисуса прикрыли.

— Ай да Паскаль! — тихо, как бы про себя, говорит Фило. — Вот она, сила истины и таланта!

— Увы, мсье. Вышибить из седла — не значит убить, так, кажется, выразился мсье Паскаль? Уже через четыре десятилетия братья Иисусовы добились восстановления своего ордена. И хотя прежнего могущества не видать им как своих ушей, они всё еще продолжают обстряпывать свои темные делишки.

— А все-таки именно он положил начало их концу, — упрямо возражает Фило. — Но вернемся к последней сцене вашего спектакля. По правде говоря, она меня удивила. Конечно, в театре, да и в кино, нам нередко показывают чьи-то сны. Но ведь то, что увидали во Франции мы, можно назвать спектаклем лишь условно. Как же вы умудрились показать нам то, что приснилось Мольеру?

— Понятия не имею, — нахально скалится бес. — Как сказал поэт, я за чужой не отвечаю сон.

— Кроме шуток, Асмодей! Зачем вам это понадобилось? — допытывается Мате.

Черт пожимает плечами. Что же еще ему оставалось, если Паскаль умер в 1662 году, а Мольер получил разрешение на постановку «Тартюфа» только в 1669?

— Но разве вы не могли избрать для своего представления другую, более раннюю их встречу?

— Ко! Ко-ко-ко! Как бы не так, мсье. Я драматург. Мне нужно было свести их не когда-нибудь, а в момент перелома, когда усилия их начали приносить реальные плоды. И потом, с чего вы взяли, что Паскаль и Мольер встречались прежде? Они вообще не встречались.

— Так какого же черта вы нам головы морочите, мистификатор вы этакий? — не выдерживает Мате.

— Да, да, — вторит Фило, — на что нам встреча, которой никогда не было? Хотя бы даже и под фантастическим соусом?

Но Асмодей неуязвим. По его словам, французский критик Сент-Бёв поступил точно так же, и никто, между прочим, ему на то не пенял. В сочинении, посвященном истории и литературному наследию Пор-Рояля, он тоже описал вымышленный разговор Мольера и Паскаля. Тем самым знаменитый француз как бы восполнил пробел в биографии двух великих людей, которым было для чего свидеться и о чем поспорить. А что сделал венгерский математик двадцатого века Альфред Ре́ньи? Его книга — «Письма о вероятности» — не что иное, как им самим сочиненные послания Паскаля к Ферма. Разумеется, он знал подлинную их переписку, знал историю становления математики случайного, и все-таки Паскаль у него высказывается как человек, причастный к более позднему опыту теории вероятностей, о котором на самом деле ничего не знал.

При имени Реньи Мате смягчается. Правда, «Писем о вероятности» он не читал, зато «Диалоги о математике» Реньи — его любимая книга. И все-таки…

— Что можно Юпитеру, нельзя быку, — назидательно изрекает он.

— Но почему же, мсье? Чем я хуже Реньи?

Самонадеянность беса так забавна, что Мате фыркает, и гнев его остывает окончательно.

— Ну-с, — говорит он, снисходительно посмеиваясь, — так что же вы придумали в подражание Реньи? Может быть, несуществующую встречу Паскаля и Ферма?

— Вот именно, мсье! — не моргнув глазом подтверждает черт. — Они ведь тоже никогда не виделись и тоже пользуются у меня понятиями более позднего времени. Зато письма о формуле сочетаний — это уж чистая правда. Ферма и Паскаль действительно отправили их друг к другу почти одновременно.

Мате только руками разводит. Но ссылка на Сент-Бёва и Реньи сделала свое, и он уже не чувствует охоты возмущаться.

В конце концов, право на некоторую вольность есть у всякого художника. А то, что Асмодей художник в своем деле, сомневаться не приходится.

— Мерси, мсье! — расплывается черт (он если не слышал, так угадал мысли Мате). — Очень рад, что вы это уразумели. Ведь я не диссертацию сочинял и не научную монографию, а пьесу. Паскаль, Ферма, Мольер — о них уже столько понаписано. Тут тебе и о жизни, и о творчестве, и о философских взглядах… А я рискнул показать всего лишь несколько связанных с ними эпизодов…

— Не так уж это мало, — замечает Фило. — На сей счет существует пропасть изречений, но я приведу одно: чтобы узнать вкус барашка, не обязательно съедать его целиком. Объясните, однако, вот что: зачем вы так старательно приукрашивали все, связанное с теорией вероятностей? Зачем придумали историю с паштетом, с подземельем, с Клубом математиков? Разве нельзя было то же самое изложить просто, без фокусов?

— Конечно, можно. Но на сей раз благоволите обратить свои претензии к мсье Паскалю, чьей мыслью я руководствовался. По его мнению, математика — предмет настолько серьезный, что никогда не следует упускать случай сделать его и немного занимательным… Впрочем, теория вероятностей, как вы понимаете, далеко не исчерпывается тем, что уместилось в моем спектакле. Так что, если вздумаете изучать ее всерьез, обратитесь к более опытным педагогам…

А теперь прощайте, мсье! Срок моей командировки истек. Дон Леандро-Перес, наверное, сердится… Итак, бьен рэстэ́. Счастливо оставаться! И позвольте мне завершить мое представление традиционной формулой старинных испанских драматургов: «Простите автору его ошибки!»

Хромой бес отвешивает опечаленным филоматикам насмешливый поклон и скрывается из виду.

— Мате, неужели он никогда не вернется?

— Как знать, Фило. Наше дело — ждать и надеяться…