Избранные произведения - читать бесплатно онлайн полную версию книги автора Unknown (О законах статики) #16

О законах статики

Отрывок 171 подводит нас к проблемам статики: к закону рычага (172–174), понятию статического момента (175–178), вопросам сложения и разложения сил (179–185), блоков и полиспастов (186–190), центру тяжести тел (191), сопротивлению материалов (192–198) и статике сооружений (199), одна из теорем которой находит приложение к «равновесию, или балансированию, людей» (200).

171 C. A. 93 v.

Наука о тяжестях вводима в заблуждение своею практикою, которая во многих частях не находится с этою наукою в согласии, причем и невозможно привести ее к согласию, и это происходит от полюсов весов, благодаря которым создается наука об этих тяжестях, полюсов, которые, по мнению древних философов, были полюсами, имеющими природу математической линии, и в некоторых местах математическими точками — точками и линиями, которые бестелесны; практика же полагает их телесными, потому что так велит необходимость, раз они должны поддерживать груз этих весов вместе с взвешиваемыми на них грузами.

Я нашел, что древние эти ошибались в этом суждении о тяжестях и что ошибка эта произошла оттого, что они в значительной части своей науки пользовались телесными полюсами и в значительной — полюсами математическими, то есть духовными или, вернее, бестелесными.

Полюс (polo) — т. е. точка опоры.

Бестелесными — непротяженными, т. е. представляемыми как математическая точка.

172 Br. M. I r — I v.

Умножь деления рычага на фунты к нему прикрепленного груза и результат раздели на деления противорычага, и частное будет противовес, который, находясь на противорычаге, противится опусканию груза, на указанном рычаге находящегося.

Умножь большее плечо весов на груз, им поддерживаемый, и раздели результат на меньшее плечо, и частное будет груз, который, находясь на меньшем плече, противится опусканию большего плеча в случае равновесия плеч весов.

Под рычагом Леонардо разумеет то плечо, к которому приложена сила, под противорычагом — второе плечо, к которому приложена другая, противодействующая сила.

Закон рычага был известен уже древним (Аристотель, Архимед).

173 А. 47 r.

Тяжесть, привешенная к одному плечу рычага, сделанного из любого материала, во столько раз большую тяжесть поднимает на конце противоположного плеча, во сколько раз одно плечо больше другого.

174 А. 22 v.

Если хочешь, чтобы груз b поднял груз а при равных плечах весов, необходимо, чтобы b было тяжелее а. Если бы ты захотел, чтобы груз d поднял груз с, более тяжелый, чем он, нужно было бы заставить его при опускании совершить более длинный путь, нежели путь, совершаемый с при подъеме; и, если он опускается больше, следует, что плечо весов, опускающееся с ним, должно быть длиннее другого. И если бы ты захотел, чтобы незначительный груз f поднял большой е, грузу пришлось бы двигаться по более длинному пути и быстрее, нежели грузу е.

Чертеж не приводится ввиду ясности рассуждения.

175 Е. 72 v.

Отношение между пространством mn и пространством nb то же, что между весом, опустившимся в d, и весом, которым обладало это d в положении b.

176 А. 45 r.

То же отношение, которое будет между длиною рычага и противорычага, найдешь ты и в их грузах, и, сходно, в медленности движения, и в пути, совершаемом их концами, когда они достигают постоянной высоты своего полюса.

Эту проекцию плеча рычага на горизонталь, проходящую через точку опоры рычага, Леонардо называет потенциальным рычагом, в отличие от самого плеча, которое он называет рычагом реальным. Отношение, о котором он говорит здесь и в следующем отрывке, есть отношение обратной пропорциональности.

Когда они достигают постоянной высоты... — т. е. когда они достигают положения равновесия.

177 Ash. I, 3 r.

В каком отношении линия сb будет находиться к линии ас, в таком будет находиться вес и длина cm к весу cn.

Многими исследователями указывалось, что здесь Леонардо формулирует понятие статического момента относительно точки, являющегося произведением силы на перпендикуляр, опущенный из данной точки на направление силы. Другие обращали, однако, внимание на то, что Леонардо пользуется не произведением груза на «потенциальный рычаг», а отношениями между теми и другими, т. е. понятием момента в чистом виде еще не пользуется. Аналогичные леонардовским понятия встречаем уже у Иордана и в Opusculum de ponderositate (о нем см. примеч. 160), который формулирует свои положения приблизительно так: если у коленчатого рычага асb (см. чертеж) на обоих концах находятся неравные грузы, то он примет такое положение, что расстояния точек a и b от вертикали ch, проведенной через точку опоры, окажутся в обратном отношении к величине грузов, в этих точках находящихся. Подобный же чертеж имеется в приведенном отрывке Леонардо.

178 Вr. М. 1 v.

По 6-й [главе] 9-й [книги], тяжесть распределяется между реальными плечами весов не в том отношении, какое существует между этими плечами, но в отношении, какое имеют между собою потенциальные плечи.

Реальные плечи — da и ае. Потенциальные плечи — аb и ас. Точнее следовало бы сказать: «Но в обратном отношении».

Иначе говоря:

Из этой пропорции можно получить равенство ab × p1 = ac × p2. Таким образом, в этом положении in nuce заключается следующая теорема: моменты составляющих силы тяжести в отношении точки на равнодействующей равны (и, точнее говоря, имеют противоположные знаки). Это — частный случай теоремы Вариньона о сложении сил.

179 E. 65 r.

А — полюс коленчатого рычага ad и аf, и dn и fс — подвески. Чем более ширится угол веревки, которая на середине своей длины поддерживает груз n, тем более уменьшается потенциальный рычаг и растет потенциальный противорычаг, поддерживающий груз.

Потенциальный рычаг — af, потенциальный противорычаг — ad. Вес груза на чертеже равен единице, рычаг равен единице, противорычаг равен 4, натяжение веревки равно 4. Как и во многих других местах манускрипта Е, страницы в этом месте должны читаться в обратном порядке, от конца к началу. Поиски закона сложения и разложения сил, во многом предвосхищающие Стевина и Роберваля, начинаются с 71 r. и ведутся в разных направлениях. На основании записи на 80 r. эти страницы датируются не раньше 1514 г. Кодекс Британского музея дает еще более точную дату открытия: март 1508 г. Ключ к решению Леонардо находит в теории ломаного рычага. Сопоставляя со следующим отрывком (180), можно сказать, что у Леонардо in nuce находится следующая теорема: если две веревки поддерживают груз и на одной из них взять точку, то моменты груза и натяжения другой веревки в отношении к этой точке равны и имеют противоположные направления, — частный случай теоремы Вариньона.

180 E. 60 v.

Сила будет тем большего превосходства, чем меньшей величины будет потенциальный рычаг.

181 Ash. II, 2 v.

Говорит Пелакани, что большее плечо этих весов скорее будет падать, чем меньшее, потому что оно при своем опускании более прямо описывает свою четверть круга, нежели то делает меньшее, и так как грузы стремятся падать по перпендикулярной линии, то чем большей кривизны будет окружность, тем более будет замедляться движение.

Рисунок mn опрокидывает это соображение, потому что опускание его грузов происходит не по кругу и тем не менее груз большего плеча m опускается.

Вещь, более удаленная от своей точки опоры, менее ею поддерживается; будучи менее ею поддерживаема, сохраняет она больше свободы, и так как свободный груз всегда опускается, то конец коромысла весов, более далеко отстоящий от точки опоры, будучи более тяжел, необходимо опустится сам собою скорее, чем какая другая часть.

Так как в колесе края одинаково удалены от центра, все помещенные на его окружности грузы будут иметь здесь такую же силу, какую имели бы подобные же грузы, помещенные на их перпендикуляре, на линии равенства qz.

Биаджо Пелакани (Blasius de Parma) — медик, ум. в 1416 г. Преподавал в Павии, Болонье, Падуе и Парме. Был в Париже. В своем трактате De ponderibus дал попытку связного изложения теории школы Иордана (ср. примеч. к 9 и 160). В месте, приводимом Леонардо, Пелакани исходит из теории «тяжести, обусловленной положением» (gravitatis secundum situm), родоначальником коей считается Иордан. По Иордану, тело тяжело более или менее в зависимости от того, по какому наклону падает: чем круче наклон, тем тело тяжелее (secundum situm gravius quando in eodem situ minus obliquus est descensus)[9]. Иными словами, gravitas secundum situm есть составляющая силы тяжести по направлению траектории движения. Автор 13 пропозиций о тяжестях, вышедший из школы Иордана и пытавшийся примирить Иордана с Аристотелем, искажая мысль Иордана, говорил о «кривизне» вместо наклона. Это усваивает и Пелакани.

Приводимое Леонардо рассуждение Пелакани сводится к следующему: am и cn — пути, которые грузы описали бы при своем перемещении; четверть круга am большей кривизны, чем четверть круга cn, и «прямизна» того и другого находится в том же отношении, в каком bс и аb. Следовательно, согласно искаженной теории gravitatis secundum situm и тяжесть будет во столько же раз больше, — таким образом, груз bа вчетверо «тяжелее» и быстрее равного ему груза, находящегося в b.

Линия равенства — горизонтальная линия.

182 С. А. 365 v. а.

Та тяжесть будет двигаться всего труднее, которая будет подниматься по линии менее наклонной. Так, если тяжесть е будет подвешена на веревке ае, то веревка eh, движущая ее внутри прямого угла aeh, будет двигать без какого бы то ни было напряжения в движении, так как вес — весь на веревке ае. Если же названный груз будет помещен в прямой угол асg, то gс будет нести всю сумму этого веса.

У той тяжести вес будет больший, у которой центральная линия будет наиболее удалена от центральной линии подвеса. Доказывается это тем, что у груза d центральная линия на половине расстояния ас и потому он становится вполовину легче груза с, ибо веревка df ощущает у d только 2 фунта из 4, а веревка gс в g ощущает все 4 фунта с. Но если хочешь убедиться, что в d будет только 2 фунта, должен ты подвесить груз по его центральной линии в b, и увидишь, что, так как линия ab является половиной ad, что груз 4, который тягой из f превращается в 2, опять станет равен 4 на линии db, благодаря плечу рычага аb, вполовину меньшего, чем противорычаг ad.

Центральная линия — вертикальная линия. Ср. определение в С. А. 115 r. а.: «Центральная линия есть та прямая линия, которая воображается проходящей от центра мира через центр тяжести (peso) и уходящей в бесконечность». Приведенное в тексте положение сто лет спустя было использовано Галилеем для определения условий равновесия тела на наклонной плоскости путем рассматривания мгновенного движения d как элемента движения по наклонной плоскости df.

183 А. 5 r.

Если весы будут иметь груз, равный по длине одному из их плеч, например mn, весом в 6 фунтов, то сколько помещенных в f фунтов окажут ему сопротивления? Говорю, что достаточно будет 3 фунтов, потому что, если груз mn по длине будет равен одному из плеч, ты сможешь считать, что он помещен посредине этого плеча весов в точке а; следовательно, если в а будет 6 фунтов, 6 других помещенных в k фунтов окажут им противодействие, и если отодвинешь на столько же к концу весов, в точку f, то противодействие окажут им 3 фунта.

184 E. 33 r.

О центре тяжести. Центр подвешенной тяжести находится на центральной линии веревки, ее поддерживающей. Доказывается подвешенными к первым весам грузами b, d, у которых, даже если они соединены в одно тело, центр тяжести находится между обеими подвесками — в е. И следует это принять потому, что груз а уравновешивает груз b при равном плече весов, а с, второй груз, уравновешивает груз d; но пропорциональные грузам промежутки суть mn и mp, которые находятся в отношении 1 к 1½, и в таком же, но обратном отношении находятся грузы, а именно ас и db. Доказано, следовательно, что центр е есть центр подвешенной тяжести bd, разъединенной [на две] или цельной.

Арабский ученый Табит бен Курра доказывал аналогичное положение: если на плече находящихся в равновесии весов подвешены два равных груза на неодинаковых расстояниях от точки опоры, можно, не нарушая равновесия, заменить их одним двойным, подвешенным на середине расстояния между ними.

Центральная линия — вертикальная линия (ср. примеч. к 182).

Центр тяжести или центр подвешенной тяжести — воображаемая точка подвеса одной или двух тяжестей.

185 V. U. 4 r.

Груз q, по причине прямого угла n над df, в точке е весит ⅔ естественного своего веса, который был 3 фунта, — оказываясь мощностью в 2 фунта; и груз р, который был также в 3 фунта, оказывается мощностью в 1 фунт, по причине прямого угла m над линией hd, в точке g; следовательно, имеем здесь 1 фунт против 2 фунтов.

Как видно из чертежа, на блоке с осью d перекинута веревка pmnoq с двумя грузами на концах, скользящими по двум наклонным плоскостям разного наклона. Проекция радиуса dm на hd равна 1⁄3, проекция радиуса dn на df — 2⁄3 радиуса.

186 С. А. 149 r. а.

Линия движения — аb; линия силы — da. Линия движения ab, называемая рычаг, есть кратчайшее расстояние от центров блоков до их окружностей, на кратчайшем отрезке между центром и прямым направлением силы, касающимся блоков, то есть на ad. Точки первой встречи, образуемые линиями веревок с окружностями блоков, движущих грузы, будут всегда иметь прямые углы, образуемые этими линиями и теми, что идут от этих точек к центру названных блоков.

Простые блоки привлекали уже в древности внимание Аристотеля, Архимеда, Витрувия, Герона, Ктезибия, Паппа и др. Леонардо сводит простой блок к рычагу с «реальными» или «потенциальными» плечами.

187 С. А. 321 v. а.

Если разделишь груз, который хочешь поднять полиспастами, на число блоков, имеющихся в этих полиспастах, и результат приложишь к подъемной веревке, то получишь грузы, которые равно противятся опусканию один другого.

Путь подъемной веревки, движущей груз, будет длиннее пути груза, поднимаемого полиспастом посредством этой веревки, во столько раз, сколько блоков в этом полиспасте.

Это общеизвестная формула: P = Q ⁄ n. Второй абзац содержит в зародыше принцип всевозможных перемещений: h ⁄ h1 = n, откуда, подставляя в первое выражение, имеем:

или Ph = Qh1.

На чертеже, как нетрудно видеть, — система двух подвижных и двух неподвижных блоков. Под подъемной веревкой (arganica) подразумевается тот конец веревки, на который действует сила, приводящая в движение систему блоков. Ср. С. А. 321 r. а.: «Та часть веревки, которая есть причина движения и прикреплена к argano, называется arganica, a та, которая прикреплена к верхнему блоку, не дающая скользить и падать блокам, называется retinente».

188 А. 62 r.

Если поддерживаемый груз весит 20 фунтов, тогда, говорю я, 10 фунтов действуют на блок l и 10 фунтов на блок к, к которым груз в 20 фунтов подвешен. Таким образом, о берет 5 фунтов у l, также и р 5 фунтов у l и 5 фунтов у k. Наконец, k передает 5 фунтов q. Если ты хочешь осилить эти 5 фунтов, ты должен приложить в х противодействующий груз в 6 фунтов. Когда приложены 6 фунтов в крайней точке в х против 5 фунтов и когда каждая из четырех частей веревки, держащей 20 фунтов, испытывает лишь 5 фунтов тяжести, тогда, поскольку действующий добавочный груз на канате qx не находит ничего, что бы его уравновешивало в противоположных действующих частях каната, напряжение будет преодолено и возникнет движение.

Теоретически достаточно превысить 5 фунтов, но Леонардо, как и во многих других случаях, берет не абстрактный (идеальный) случай, а конкретное физическое явление, в котором следует считаться с трением и т. п., и дает поэтому цифру 6. Подставляя в формулу P = Q ⁄ nη числовые значения, даваемые Леонардо, имеем для коэффициента трения η = 0,83.

189 С. А. 120 v. с.

Так же, как находишь ты здесь правило убывания силы у движущего, так найдешь и правило возрастания времени у движения. И такое отношение будет у тебя между движениями m и n, каково [отношение] груза n к грузу m.

190 E. 20 v.

У веревок, находящихся между блоками, отношение сил, получаемых от движущего, равно отношению скоростей их движения.

У движений, совершаемых веревками на своих блоках, отношение движения последней веревки к первой равно отношению между числом веревок; то есть если их 5, то при передвижении первой веревки на локоть последняя передвигается на 1⁄5 локтя; и если их 6, эта последняя веревка будет обладать движением в 1⁄6 локтя и т. д. и т. д.

Отношение, в каком находится движение того, что движет блоки, к движению поднимаемого блоками груза равно отношению груза, этими блоками поднятого, к весу движущего; откуда следует, что при поднятии груза на локоть движущее опустится на 4.

(К последнему абзацу) — предполагается, что поднимаемый груз вчетверо тяжелее поднимающего.

191 F. 51 r.

Центр тяжести пирамиды находится на четверти оси ее; и если разделишь ось на четыре равные части и пересечешь две из ее осей, то точка их пересечения придется на указанную четверть.

Теорема эта была впоследствии (1548) заново найдена Мавроликом. По мнению Либри, Леонардо разлагал пирамиду на плоскости, параллельные основанию. Чертежи в рукописи F не дают для этого никаких поводов. Однако в листах рукописи В, украденных тем же Либри, есть место, дающее повод предполагать, что Леонардо мог оперировать подобным образом. Определяя центр тяжести полукруга, он делит его радиусами на большое количество секторов, кривизна дуги которых почти незаметна и приближается к нулю. Центр тяжести подобных «пирамид», как называет их Леонардо, — на 1/3 их высоты, и задача сводится к сложению сил. Возможно, что так Леонардо поступал и в отношении пирамиды. Древним (Архимед, Герон) было известно лишь определение центра тяжести плоских фигур.

192 А. 3 v.

О давлении груза. Невозможно, чтобы подпора однородной толщины и крепости, будучи нагружена стоя отвесно грузом, равноотстоящим от ее центра, могла когда-либо подогнуться и переломиться, хотя вполне может уйти вглубь; но, если чрезмерный груз оказывается помещенным на одной части подпоры более, чем на другой, подпора погнется в ту сторону, где будет испытывать наибольшее давление от наибольшей тяжести, и переломится на средине противоположной стороны, то есть в той части, которая наиболее удалена от концов.

Равноотстоящим — симметрично расположенным в отношении центра. Вновь проблемами сопротивления материалов занимался Галилей.

193 А. 45 v.

Если ты нагрузишь подпору, поставленную отвесно так, что центр этой подпоры придется под центром тяжести, она скорее уйдет вглубь, чем согнется, потому что все части груза соответствуют частям сопротивления. Невозможно, чтобы подпора, центр которой расположен на отвесной линии под центром лежащего сверху груза, могла когда-либо согнуться, но скорее углубит она в землю свое основание.

194 А. 47 r.

Опора с вдвое бóльшим диаметром выдержит в 8 раз больший груз, чем первая, будучи одинаковой высоты.

Диаметр — сторона квадратной или радиус цилиндрической опоры. Вообще (ср. 196) соображения Леонардо могут быть резюмированы формулой

где S — поперечное сечение, a L — высота опоры. Следовало бы ожидать поэтому для данного случая T_r = 4. Леонардо, по-видимому, допускает ошибку в подсчете.

195 A. 3 v.

Много небольших, соединенных вместе опор способны выдержать груз больший, нежели каждая порознь. 1000 подобных стоек одинаковой толщины и длины, будучи разъединены друг от друга, подогнутся, если поставить их стоймя и нагрузить общим грузом. И если свяжешь их вместе веревками так, чтобы они соприкасались друг с другом, будут они способны нести груз такой, что каждая отдельная стойка способна выдерживать в 12 раз больший груз, чем раньше.

В другом месте (С. А. 46 v.) Леонардо указывает, что прочность пучка зависит от того, насколько плотно связаны стойки.

196 С. А. 152 r. b.

Из подпор одинакового материала и толщины та будет наибольшей крепости, длина которой наименьшая.

Если ты поставишь отвесно подпору [всюду] одной толщины и [из одного] материала, выдерживающую [груз равный] 100, и затем отнимешь 9⁄10 высоты, то найдешь, что остаток ее, будучи подпираем с одного конца, будет выдерживать 1000. Ту же силу и сопротивление найдешь ты в пучке из 9 [подпор] однородного качества, что и в девятой части одной из них. Пусть аb выдерживает 27 и состоит из 9 балок, тогда cd, составляя 1⁄9 часть их, выдерживает 3. Если же взять ef, составляющую 1⁄9 длины cd, то она выдержит 27, так как короче ее в 9 раз. Из указанного свойства названного отношения вытекает, что если тело b находится в таком отношении к а, то оно оказывает равное сопротивление. Далее: если ты 100 опор одинакового качества поставишь стоймя врозь, из коих крепость каждой выдерживает [груз в] единицу, то ты найдешь, если они будут совершенно плотно соединены друг с другом, что каждая выдержит груз 100. И это происходит оттого, что получающаяся совокупность связанных опор, кроме того, что умножилась на 100, имеет и в 100 раз более низкую форму, нежели форма одной опоры.

197 А. 47 r.

Опыт. Опыт сделаешь таким образом. Возьми два железных прута, которые были вытянуты в четырехугольной волочильной машине, и укрепи один из них внизу двумя опорами, и сверху нагрузи его данным грузом. Заметь точно, когда начинает он гнуться, и проверь отвесом, при каком грузе это сгибание случается. Затем удвой железный прут, связав оба тонкой шелковой ниткой, и увидишь на опыте, что опыт этот мои рассуждения подтверждает. И сходно повтори опыт, учетверив и т. д. и т. д. по усмотрению, всякий раз редкими оборотами перевязывая шелком.

198 С. А. 244 v.

Две слабости, опираясь друг на друга, рождают крепость. Так половина мира, опираясь на другую, делается устойчивой.

Любопытно сравнить с этим афоризмом знаменитое определение арки. См. отр. 792, том II.

199 F. 83 r.

Если будут сделаны две башни сплошь прямые и если пространство, заключающееся между ними, всюду одинаково, нет сомнения, что обе башни обрушатся друг на друга, если возведение их будет продолжаться на равную высоту в той и другой.

Пусть будут две централи двух углов b [и] c, идущие прямо. Если они пересекают эти башни одну в cg и другую в bf, следует, что линии эти не проходят через центр тяжести их длины; отчего klcg, — часть одной, — весит больше, чем остаток cgd, а неравные вещи одолевают одна другую; почему, по необходимости, бóльший груз башни увлечет всю такую башню к башне противоположной; и то же сделает другая башня, навстречу первой.

Централи — вертикали. Уже у Р. Бэкона мы читаем (Opus majus, pars IV, dist. 3, cap. 3): «Всякая тяжесть естественно тяготеет к центру мира, так что дом рухнул бы, если б его стены были строго параллельны». Как указывает Дюэм, Леонардо исходит из теоремы, до него, по-видимому, не известной: тяжелое тело, стоящее на земле, сохраняет равновесие в том случае, если проекция его центра тяжести находится в пределах площади его основания. Рассуждение Леонардо плагиировал позднее из его рукописей Виллальпанд (1552–1608).

200 T. P. 394.

Равновесие, или балансирование, людей делится на две части, а именно на простое и сложное. Балансирование простое — то, которое осуществляется человеком на двух его неподвижных ступнях, стоя на которых этот человек или разводит руки на различные расстояния от своей середины, или наклоняется, стоя на одной или двух ступнях, причем центр его тяжести всегда должен быть по отвесной линии над центром этой ступни, а если опирается он одинаково на обе ступни, то тогда центр тяжести человека будет на отвесной линии, проходящей через середину линии, которая измеряет пространство между центрами этих ступней.

Под сложным равновесием разумеется такое, которое осуществляет человек, поддерживающий над собою груз в различных движениях; как, например, при изображении Геркулеса, который стискивает Антея, приподняв его между грудью и руками над землею, делай его фигуру настолько позади центральной линии его ступней, насколько у Антея центр тяжести находится впереди тех же ступней.