ЛОГИКА

Условный силлогизм

§ 1. Кроме простых категорических силлогизмов существуют ещё условные и разделительные силлогизмы.

В простом категорическом силлогизме и обе посылки и вывод — суждения категорические. Как во всяком умозаключении, в простом категорическом силлогизме вывод будет истинным при условии, если не только самый ход умозаключения будет правильный, но и обе посылки сами по себе будут истинными суждениями.

Так как посылки простого категорического силлогизма — суждения категорические, то истинность их не ставится в зависимость ни от каких условий, кроме тех, которые находятся в самом предмете мысли. Условия эти не выдвигаются нашей мыслью и не отмечаются в самой форме суждения.

Но силлогизм возможен и в том случае, если истины, выражаемые его посылками, стоят в зависимости от условий, которые тут же, в самих посылках, указываются и отмечаются в самой форме суждения.

Рассмотрим, например, умозаключение:

Это умозаключение — силлогизм. В нём выясняется в выводе отношение между двумя понятиями (понятием «угол АСВ» и понятием «прямой угол»). Отношение это раскрывается через отношение каждого из обоих понятий к третьему понятию (понятию «вписанный в круг угол, опирающийся на диаметр круга»).

Как всякое умозаключение из двух посылок, умозаключение это — простой силлогизм. Однако, в отличие от простого категорического силлогизма, где обе посылки — категорические, в нашем примере силлогизм имеет другое строение.

Одна из посылок нашего силлогизма — вторая — есть суждение категорическое. Посылка эта устанавливает отношение принадлежности угла АСВ к углам, опирающимся на диаметр круга. Отношение это мыслится здесь как нечто, уже установленное и не зависящее ни от каких условий.

Напротив, первая посылка нашего силлогизма есть суждение условное. В посылке этой принадлежность угла к прямым углам высказывается не безусловно, но как такое отношение, которое имеет место при условии, если вписанный угол опирается на диаметр круга. Условие это тут же указывается, и наличие условия отмечается уже самой формой посылки, которая есть суждение условное.

Сопоставляя обе посылки и находя (из второй посылки), что указанное в первой посылке общее условие во второй посылке имеет место, мы в выводе заключаем — на этот раз уже категорически, а не только условно, — что данный угол АСВ есть прямой.

Такой силлогизм из двух посылок, в котором по крайней мере одна из посылок есть условное суждение, называется условным силлогизмом.

§ 2. В условном силлогизме по крайней мере одна из посылок — условная. Что касается другой посылки, то она может быть либо условной, либо категорической.

Если и другая посылка условного силлогизма есть также суждение условное, то такой силлогизм называется чисто условным.

Рассмотрим, например, такое умозаключение:

Это умозаключение — чисто условный силлогизм, в котором отношение S к Р выводится из отношения этих понятий к понятию М («центробежная сила, развивающаяся при вращении земли»).

В отличие от предыдущего, в этом умозаключении, во-первых, условны не одна, а обе посылки, во-вторых, заключение также есть суждение условное. В заключении не просто утверждается известное отношение, но указывается зависимость этого отношения от некоторого другого отношения: свойство находящихся на поверхности земли тел весить вблизи экватора меньше, чем вблизи полюсов, ставится в заключении в зависимость от некоторого условия — от вращения земли вокруг оси. Условие это тут же, в самом заключении, указывается.

С другой стороны, зависимость мыслимого в заключении отношения от сформулированного в самом же заключении условия устанавливается не непосредственно. Уже в первой посылке вращение земли вокруг оси мыслится как некоторое условие, а именно как условие развития центробежной силы.

Однако из первой посылки ещё не видно, чтобы наличие этого условия означало истинность того отношения, которое мыслится в заключении. Из первой посылки видно только, что если существует вращение земли вокруг оси, то должна развиваться центробежная сила.

Вторая посылка устанавливает, что если имеет место центробежная сила, то находящиеся на поверхности земли тела должны вблизи экватора весить меньше, чем вблизи полюсов.

Сопоставляя обе посылки, находим, что при наличии условия, указанного в первой посылке, необходимо должно иметь место не только зависящее от этого условия отношение, выраженное в первой посылке (развитие центробежной силы), но и отношение, выраженное во второй посылке (меньший вес тел вблизи экватора, чем вблизи полюсов).

Необходимость связи между условием, указанным в первой посылке, и отношением, выраженным во второй, видна из того, что отношение, зависящее от условия первой посылки (развитие центробежной силы), есть в то же время условие, при наличии которого необходимо существует отношение, выраженное во второй посылке (меньший вес тел на поверхности земли у экватора)¹.

В общем виде всё строение чисто условного силлогизма может быть представлено следующей формулой:

§ 3. Отличие чисто условного силлогизма от категорического не в том, что отношение понятий, раскрываемое условным силлогизмом, якобы лишено необходимости (которая свойственна отношению понятий, раскрываемых категорическим силлогизмом). Условный силлогизм, так же как и категорический силлогизм, раскрывает необходимую связь между понятиями умозаключения. Отношение, мыслимое в заключении условного силлогизма, есть отношение совершенно необходимое, — если только посылки истинны. Но самые положения посылок, которые необходимо обусловливают положение заключения, не непреложно окажутся истинными.

В том, что А есть В, нет необходимости: A может быть В, но может и не быть В. Но как только установлено положение: «если А есть В, то С есть D», вместе с ним устанавливается, что «С необходимо должно быть D», — если только А действительно есть В.

Иначе говоря, в условном силлогизме условно отнюдь не отношение, которое мыслится в его заключении. Условно, т. е. необязательно для мышления, только то положение, которое указывается в условных посылках как обусловливающее истинность заключения. Напротив, связь между этим условием и отношением, которое из него следует, есть связь необходимая: раз имеет место условие, необходимо должно быть налицо то, что им обусловлено.

§ 4. Условные силлогизмы играют большую роль в повседневном и в научном мышлении. Они применяются всюду, где вопрос ставится о следствиях, необходимо вытекающих из условий, которые предполагаются нами как теоретически возможные или создаются нами на практике. Конструктор, полководец, экономист, хозяйственник, математик, астроном и т. д. на каждом шагу пользуются условными силлогизмами, посредством которых, зная необходимую связь, существующую между известным условием и вытекающим из него следствием, а также зная, что выполнение этого условия (в мысли или на практике) находится в нашей власти, заключают, что в нашей власти также будут и следствия, необходимо вытекающие из указанных условий.

Условно-категорический силлогизм

§ 5. В чисто условном силлогизме выражается необходимая связь между условиями, указанными в условных посылках, и заключением. При этом, однако, в чисто условных силлогизмах ни одна из посылок не удостоверяет в том, что хоть какое-нибудь из отмеченных в них условий существует в действительности. Поэтому заключение в чисто условном силлогизме не может быть категорическим, но лишь условным суждением.

Но возможен и другой вид простого условного силлогизма. Возможен такой условный силлогизм, в котором не только выясняется условие, необходимое для того, чтобы известное положение оказалось истинным, но вместе с тем устанавливается, что, так как условие это действительно имеет место, то и положение, необходимо обусловленное этим условием, на деле истинно.

Рассмотрим, например, умозаключение.

Умозаключение это — простой условный силлогизм, так как одна из его посылок — суждение условное. Однако, в отличие от чисто условного силлогизма, в котором условны обе посылки, в этом умозаключении условна только одна из посылок, другая же есть суждение категорическое. Посылка эта устанавливает, что положение, которое мыслилось в условной посылке как условие истинности некоторого другого положения и о котором ещё не было известно, имеет ли оно место в действительности, на самом деле имеет место.

Так как из категорической посылки видно, что условие, указанное в условной посылке, действительно выполнено, то заключение устанавливает, что и следствие этого условия действительно имеет место.

Условный силлогизм такого строения называется условно-категорическим.

§ 6. Условно-категорический силлогизм в свою очередь имеет две разновидности, или два модуса.

Первый модус условно-категорического силлогизма имеет строение, пример которого только что был нами рассмотрен. В этом модусе, как и во всяком условно-категорическом силлогизме, одна из посылок есть суждение условное, другая — категорическое.

Та часть условной посылки, которая устанавливает известное положение как необходимый результат некоторого условия, называется следствием. Часть условной посылки, указывающая самое условие, от которого зависит истинность следствия, называется основанием.

Пример:

В этом примере категорическая посылка удостоверяет, что основание, которое только выдвигалось мыслью в условной посылке, есть не одно лишь предположение, но действительный факт.

Соединение обеих посылок даёт основу, опираясь на которую мы вправе сделать уже не условный только, а категорический вывод о том следствии, которое только предполагалось в условной посылке.

Весь ход умозаключения в этом случае состоит в том, что, признав истинным основание, мы необходимо должны признать истинным и следствие. Истинность основания устанавливается категорической посылкой, следствие, обусловленное основанием, — условной.

Условно-категорический силлогизм такого вида называется «утверждающим модусом». Латинское его название «modus ponens».

В общем виде строение модуса ponens может быть выражено следующей формулой:

Из формулы этой вовсе не следует, будто всякое заключение, которое может быть получено по модусу ponens, всегда будет утвердительным суждением. Заключение может быть в одних случаях, как в приведённом примере, утвердительным, в других же — отрицательным.

Качество заключения в силлогизме по модусу ponens зависит от качества условной посылки. Если условная посылка утвердительная, т. е. если отношение, поставленное в ней в зависимость от некоторого условия как его следствие, есть отношение положительное, то и заключение будет утвердительным.

Но если условная посылка отрицательна, т. е. если отношение, поставленное в ней в зависимость от некоторого условия в качестве его следствия, выражает отрицание, то и заключение будет отрицательным.

Пример:

Здесь мы имеем правильный силлогизм по модусу ponens. Заключение этого силлогизма — отрицательное.

Неверно было бы также думать, будто категорическая посылка в силлогизме по модусу ponens должна быть всегда утвердительной. Значение категорической посылки в этом модусе состоит вовсе не в том, что она выражает непременно утверждение. Категорическая посылка в модусе ponens имеет назначением удостоверять, что условие, которое указано условной посылкой и от которого зависит как от основания некоторое следствие, выполнено в действительности. Но будет ли само это условие утвердительным или отрицательным — это зависит от содержания условной посылки. Если условная посылка, указывающая основание для следствия, отрицательна, то и категорическая посылка, удостоверяющая, что условие это имеет место, также будет отрицательна. Именно так обстоит дело в примере, разобранном выше.

Характерная черта утверждающего модуса состоит в ходе мысли от основания к следствию. Модус этот применяется всюду, где из наличия основания необходимо вывести наличие обусловленного этим основанием следствия. Модус этот применяется не только для констатирования положений, необходимо вытекающих ив известных условий. Он широко применяется также во всякого рода спорах, доказательствах. Одно из средств убеждения в истинности известного тезиса состоит в доказательстве, что тезис этот есть лишь необходимый результат того, что некоторое положение, выдвигавшееся ранее в качестве условия истинности тезиса, есть уже не только нечто мыслимое нами, но и действительный факт.

§ 7. Второй модус условно-категорического силлогизма представляет иной ход мысли.

Рассмотрим умозаключение:

Силлогизм этот также условно-категорический, так как одна из его посылок — условное, а другая — категорическое суждение. Но ход умозаключения в этом силлогизме не тот, что в случае утверждающего модуса. Здесь категорическая посылка устанавливает, что следствие, которое в условной посылке ставилось в зависимость от указанного в ней основания, в действительности не имеет места. Отсутствие следствия даёт право отрицать существование основания, если мы знаем из условной посылки, что при наличии основания необходимо должно получиться и следствие. Иными словами, умозаключение состоит здесь в том, что, отрицая следствие, необходимо отрицать и его основание.

Условно-категорический силлогизм такого строения называется «отрицающим модусом». Латинское его название — «modus tollens».

В общем виде формула этого модуса следующая:

Из формулы этой не следует, будто всякое заключение, которое может быть получено по модусу tollens, всегда будет отрицательным суждением. Заключение, так же как и в модусе ponens, может быть в одних случаях отрицательным, в других же утвердительным.

Качество заключения в модусе tollens противоположно качеству условной посылки: при её отрицательности будет утвердительным, при её утвердительности — отрицательным.

Рассмотрим, например, силлогизм:

В этом силлогизме отрицательным основанием условной посылки обусловливается отрицательное следствие. Но категорическая посылка отрицает следствие. Поэтому в заключении силлогизма отрицается основание. А так как это основание само высказывает отрицание, то отрицание отрицания даёт в заключении утверждение.

Другой пример:

В этом силлогизме утвердительным основанием условной посылки обусловливается утвердительное следствие. Но категорическая посылка отрицает следствие. Поэтому в заключении силлогизма отрицается основание. А так как это основание высказывает утверждение, то отрицание утверждения даёт в заключении отрицание.

Из этих же примеров видно, что категорическая посылка в силлогизме по модусу tollens вовсе не обязательно должна быть отрицательной. Назначение категорической посылки в этом модусе — отрицать следствие условной посылки. В тех случаях, когда этим следствием является отрицательное суждение, отрицание его, удостоверяемое категорической посылкой, будет суждением утвердительным.

Ошибки, возможные в условно-категорическом силлогизме

§ 8. Modus ponens и modus tollens — два единственных модуса условно-категорического силлогизма, по которым может быть получен правильный вывод. Из истинности основания всегда логически следует истинность также и следствия. И точно так же из ложности следствия всегда логически следует ложность и основания.

Напротив, ложность основания сама по себе ещё не даёт права утверждать ложность следствия.

Так, рассмотрим условно-категорический силлогизм:

Этот силлогизм, очевидно, будет логически ошибочен. В самом деле: если бы суждение, выраженное условной посылкой, было истинным, то из него необходимо следовало бы, что объём понятия «Иванов» входит в объём понятия «лица, обязанные держать экзамены». Но именно потому, что объём понятия «Иванов» составляет, как видно из условий посылки, только часть объёма понятия «лица, обязанные держать экзамены», мы, узнав из категорической посылки, что объём понятия «Иванов» не входит в объём понятия «студенты», не имеем права заключать, что Иванов не обязан держать экзамены. И действительно, Иванов может оказаться обязанным держать экзамены по принадлежности к ученикам средней школы, к аспирантам и т. д.

§ 9. Другой вид логической ошибки, возможной в условно-категорическом силлогизме, возникает в случае, когда пытаются заключать от истинности следствия к истинности основания.

Например: условно-категорический силлогизм:

конечно, будет логически ошибочный, так как заключение в нём не вытекает с необходимостью из посылок. И действительно, трава могла оказаться мокрой не потому, что ночью прошёл дождь, а потому, что ночью выпала роса.

Умозаключение от истинности следствия к истинности основания ошибочно ввиду того, что одно и то же следствие может быть вызвано не одним единственным, а многими основаниями.

§ 10. В некоторых случаях может сложиться впечатление, будто правильный вывод от истинности следствия к истинности основания всё же возможен.

Рассмотрим, например, силлогизм:

В этом примере вывод правильный. Могло бы показаться, будто силлогизм этот доказывает возможность правильного вывода от истинности следствия к истинности основания. В действительности силлогизм этот есть пример вывода от ложности следствия к ложности основания.

В самом деле, качество суждения определяется, как мы знаем, не одной лишь грамматической формой суждения, т. е. не присутствием или отсутствием в нём отрицательной частицы перед сказуемым предложения. Качество суждения определяется отношением логического смысла высказывания к логическому смыслу всего рассуждения. По отношению к суждению «не может успешно вести физиологических исследований» суждение «успешно ведёт физиологические исследования» есть, конечно, отрицательное суждение, несмотря на отсутствие грамматической формы отрицания. Поэтому вторая посылка в нашем примере («Иванов успешно ведёт физиологические исследования») Выражает мысль не об истинности, а о ложности основания. Отсюда следует, что силлогизм наш есть условно-категорический силлогизм от ложности следствия к ложности основания, и вывод в нём логически правильный.

Возможны случаи, когда умозаключения от истинности следствия к истинности основания и от ложности основания к ложности следствия, будучи логически ошибочными, приводят всё же к выводам истинным по содержанию. Так, человек, заключающий, будто ночью шёл дождь, на том основании, что трава утром была мокрой и что после дождя трава всегда бывает мокрая, высказывает заключение, которое фактически независимо от способа, каким оно выведено, может оказаться и истинным. Оно будет истинным при условии, если ночью действительно шёл дождь. Точно так же человек, знающий, что все студенты обязаны держать экзамены, и заключающий, будто Иванов не обязан держать экзамены, так как Иванов — не студент, высказывает заключение, которое фактически может оказаться и истинным. Оно будет истинным при условии, если Иванов, например, закончил своё учение и в настоящее время не должен держать экзамен.

Но хотя в обоих этих примерах заключение оказалось истинным по содержанию, это совпадение заключения с действительностью совершенно случайно, а самые силлогизмы, посредством которых добыты эти заключения, остаются, конечно, ошибочными.

И действительно, для того чтобы силлогизм был правильным, т. е. безошибочным в качестве силлогизма, недостаточно, чтобы заключение силлогизма было истинным по своему содержанию. Необходимо, кроме того, чтобы это истинное по своему содержанию заключение действительно вытекало из посылок силлогизма, т. е. чтобы, признав истинными посылки, мы не могли бы не признать истинным и заключение.

Но именно это условие не выполнено в обоих наших примерах. Из того, что после дождя трава бывает мокрая, и из того, что трава оказалась утром мокрой, не следует необходимо, будто в этом случае трава мокрая именно вследствие выпавшего ночью дождя. Из того, что студенты все обязаны держать экзамены, и из того, что Иванов не есть студент, не следует необходимо, будто Иванов не обязан держать экзамены. Но там, где нет необходимой связи между понятиями, обосновывающими вывод, нет и силлогизма.

Не всякое истинное по содержанию суждение есть заключение силлогизма. Заключением силлогизма может быть только такое истинное суждение, в котором отношение между субъектом и предикатом необходимо вытекает из установленных в посылках отношений каждого из этих понятий к некоторому третьему понятию. Где нет этой необходимости, там силлогизм может быть только ошибочный. Именно таким он и является во всяком заключении от истинности следствия к истинности основания или от ложности основания к ложности следствия.

Но если это так, то почему в известных случаях ошибочно добытое заключение может всё же оказаться истинным по своему содержанию?

Это возможно потому, что одно и то же явление может вызываться не одной единственной, а многими причинами. В том, что причиной влажности травы мог оказаться выпавший ночью дождь, нет ничего невозможного. Факт этот мог случиться. И если в данном случае возможность совпала с действительностью, если ночью действительно шёл дождь, то полученное в результате логической ошибки заключение окажется случайно совпадающим с действительностью.

Однако от этого случайного совпадения логическая ошибка ни в какой мере не перестаёт быть ошибкой: то, что является только возможным, мыслилось в силлогизме в качестве не только возможного, но и необходимого.

Простой разделительный силлогизм

§ 11. Простые силлогизмы кроме категорических и условных могут быть ещё разделительными. Простым разделительным силлогизмом называется силлогизм, в котором одна из двух посылок есть суждение разделительное. Другая посылка может быть при этом или категорической, или условной, или также разделительной.

Рассмотрим, например, умозаключение:

Умозаключение это — простой силлогизм. В нём отношение между понятиями, образующими вывод, установлено через третье понятие — понятие о физических двойных звёздах. В то же время, в отличие от простого категорического силлогизма, в котором посылки категорические, и в отличие от простого условного силлогизма, в котором по крайней мере одна посылка — условная, в нашем примере одна из посылок — суждение разделительное. В общем виде строение этого силлогизма выражается формулой:

Другой пример простого разделительного силлогизма:

И этот силлогизм — простой разделительный. И в нём одна из посылок — суждение разделительное. Но в отличие от предыдущего примера, в этом случае вторая посылка есть уже не категорическое, а условное суждение. Заключение в этом силлогизме также есть суждение разделительное.

В общей форме строение силлогизма в этом случае может быть представлено следующей формулой:

Наконец, третий пример простого разделительного силлогизма:

Этот силлогизм — также простой разделительный. В отличие от обоих предыдущих, в нём обе посылки — суждения разделительные. Заключение в нём, как и в предшествующем примере, — также суждение разделительное. В общей форме всё строение этого силлогизма может быть представлено схемой:

§ 12. Сравним теперь все три разновидности простого разделительного силлогизма, представленные нашими тремя примерами. Из сравнения видно, что существенной чертой этой формы силлогизма является наличие разделительной посылки. Посылка эта даёт исчерпывающее перечисление всех видов, которые заключает в себе некоторое родовое понятие. Из посылки этой видно, что любой предмет данного рода необходимо должен принадлежать к одному из этих видов.

В свою очередь другая посылка или исключает все эти виды, кроме одного, или высказывает некоторое положение об одном из этих видов. От того, какие именно виды исключаются другой посылкой, а также в зависимости от того, будет ли положение, высказанное об одном из видов, условным или разделительным, зависит заключение разделительного силлогизма. Заключение это или удостоверяет в категорической форме принадлежность предмета к тому виду, какой остался по исключении всех остальных (первый пример), или перечисляет в разделительной форме виды родового понятия, получающиеся при учёте не только результатов деления, данного в разделительной посылке, но при учёте также нового, обусловленного или разделительного отношений, высказываемых второй посылкой (второй и третий примеры).

Простой разделительный силлогизм, в котором вторая посылка — условная, называется условно-разделительным. Простой разделительный силлогизм, в котором вторая посылка — разделительная, называется чисто разделительным. В чисто разделительном силлогизме обе посылки и заключение — суждения разделительные. Простой разделительный силлогизм, в котором вторая посылка — категорическая, называется разделительно-категорическим.

Дилемма

§ 13. Особый случай условно-разделительного силлогизма образует дилемма. Так называется условно-разделительный силлогизм, в котором условная посылка предусматривает зависимость от основания не одного, а двух следствий. Следствия эти, или члены деления, называются альтернативами. Другая посылка при этом, как во всех условно-разделительных силлогизмах, — разделительная.

Например:

В повседневной речи термин «дилемма» применяется в другом значении. Дилеммой в такой речи называется необходимость выбора между двумя альтернативами или путями выхода, каждый из которых приведёт выбирающего к нежелательным для него следствиям; в результате дилеммы возникает тягостная нерешительность: «пойдёшь налево — коня потеряешь, пойдёшь направо — сам пропадёшь».

Так как условное суждение, как всякое суждение, может быть истинным или ложным, то и утверждаемое условной посылкой дилеммы отношение между каждым основанием и его следствием может быть или истинным, или ложным, т. е. не соответствующим действительности. Если утверждаемое в условной посылке дилеммы отношение между основанием и его следствиями ложно, то и заключение дилеммы также будет ложным.

Например:

В этом примере заключение дилеммы ложное. Ложность его обусловлена ложностью условной посылки. И действительно, высказанное в этой посылке отношение между основанием и вторым следствием — ложно: боец, совершивший доблестный поступок по приказу, может быть героем ничуть не меньшим и даже большим, чем совершивший тот же поступок по собственной инициативе.

§ 14. Дилемма может вести к заключению и другим способом. При этом условная посылка, как во всякой дилемме, утверждает, что если известное положение существует, то из него необходимо вытекает одно из двух следствий, или одна из двух альтернатив. Напротив, разделительная посылка удостоверяет, что ни одно, ни другое из этих следствий в действительности не существует. Отсюда в заключении выводят, что положение, обосновывающее оба следствия, или обе альтернативы, ложно.

Например:

И при этой форме дилеммы возможна логическая ошибка. Состоит она в том, что в условной посылке без достаточного основания утверждается, будто из принятого в этой посылке условия следуют только две альтернативы, в то время как в действительности число их может оказаться и большим. Например:

Дилемма эта ошибочная. В действительности из основания, выраженного в условной посылке, вытекают не два, а три следствия: кроме минеральных и животных жиров существуют ещё растительные жиры. Пропуск одного из членов деления в условной посылке привёл к ошибочному заключению. В действительности прованское масло, конечно, есть жир, но растительный.

Разделительно-категорический силлогизм

§ 15. В сравнении с условно-разделительным и чисто-разделительным силлогизмами, разделительно-категорический силлогизм имеет особое назначение. В то время как посредством первых двух форм разделительного силлогизма мы узнаём из его заключения, что предмет должен принадлежать к какому-либо одному из указанных в заключении видов, посредством разделительно-категорического силлогизма мы узнаём, к какому именно виду должен принадлежать или не может принадлежать этот предмет.

Существуют две разновидности, или два модуса, разделительно-категорического силлогизма.

Рассмотрим умозаключение:

Умозаключение это есть разделительно-категорический силлогизм. В нём разделительная посылка указывает, какие из исключающих друг друга свойств могут принадлежать предмету. Категорическая посылка отрицает все — каждое в отдельности — свойства, указанные в разделительной посылке, кроме одного. Заключение утверждает принадлежность предмету того единственного свойства, которое осталось не исключённым в категорической посылке.

Разделительно-категорический силлогизм такого строения называется «modus tollendo ponens», т. е. модусом, который «отрицая утверждает». В самом деле, то, что категорическая посылка отрицает, ведёт — в заключении — к утверждению свойства, которое не подверглось отрицанию в категорической посылке и которое указывалось в разделительной посылке в полном перечне всех возможных свойств предмета.

Формула модуса tollendo ponens была уже нами выведена нами рассмотрении первого примера разделительного силлогизма:

§ 16. Другой модус разделительно-категорического силлогизма противоположен предыдущему.

Вот его пример:

В этом силлогизме разделительная посылка указывает, какие из исключающих друг друга свойств могут принадлежать предмету. Категорическая посылка устанавливает, какое именно из этих свойств действительно принадлежит предмету. Вывод состоит в заключении, что ни одно из остальных свойств не может принадлежать ему.

Разделительно-категорический силлогизм такого строения называется modus ponendo tollens, т. е. модусом, который «утверждая отрицает». И действительно, то, что категорическая посылка этого модуса утверждает как действительно принадлежащее предмету, ведёт в заключении к отрицанию всех прочих свойств, принадлежащих к тому же роду, но исключающих утверждаемое.

Ошибки, возможные в разделительно-категорическом силлогизме

§ 17. Модус tollendo ponens и модус ponendo tollens —два единственных модуса разделительно-категорического силлогизма, по которым может быть получен правильный вывод.

При умозаключениях по модусам разделительно-категорического силлогизма возможны две логические ошибки. Первая из них вызывается двусмысленностью грамматической формы и обусловленной ею неясностью разделительного смысла суждений.

Рассмотрим, например, силлогизм:

В этом примере умозаключение велось по модусу ponendo tollens. Однако вывод здесь получился логически ошибочным. Причина ошибки — двусмысленность союза «или», который может иметь и разделительный и не разделительный смысл. Это значит, что сказуемые, перечисляемые в предложении и отделяемые друг от друга союзом «или», могут или исключать друг друга как члены деления, или могут оказаться и совместимыми между собой. В первом случае союз «или» будет иметь разделительный смысл, во втором он не будет иметь разделительного смысла.

В нашем примере перечисляемые в посылке предикаты не обязательно исключают друг друга как члены деления, но могут оказаться и совместимыми между собой. Успехи в фортепианной игре могут объясняться не только усердием и не только одарённостью, в отдельности взятыми, но также и соединённым действием обоих этих качеств. Поэтому из того, что успехи Николаева обусловлены одарённостью, никак нельзя вывести, что на эти успехи не оказало влияния усердие Николаева: оба качества могли действовать вместе.

Не строго разделительный смысл союза «или» препятствует логической правильности вывода только при умозаключении по модусу ponendo tollens, так как только в этом модусе заключение говорит о несовместимости свойств.

Напротив, при умозаключении по модусу tollendo ponens не строго разделительный смысл слова «или» не препятствует правильности заключения, так как заключение говорит не о несовместимости свойств, как это бывает в модусе ponendo tollens, но утверждает принадлежность предмету единственного оставшегося свойства.

Пример:

В этом примере союз «или» в разделительной посылке может, так же как и в предыдущем примере, иметь не строго разделительный смысл. И всё же вывод в этом примере логически правильный. Объясняется это тем, что в данном случае умозаключение идёт по модусу tollendо ponens. Результатом умозаключения здесь оказывается утверждение за предметом того единственного свойства, которое из числа всех свойств рода осталось не исключённым категорической посылкой. Так как это оставшееся свойство во всяком случае должно принадлежать предмету, то способность этого свойства совмещаться с другим свойством (а именно это и означает не строго разделительный смысл слова «или») не делает заключение ошибочным.

§ 18. Вторая ошибка, возможная в разделительно-категорических силлогизмах, возникает вследствие того, что деление родового понятия на виды, лежащее в основе перечисляемых в разделительной посылке свойств, может оказаться неполным. В этом случае мы не имеем права утверждать в заключении, будто свойство, указанное в числе других свойств рода разделительной посылкой и оставшееся единственным по исключении свойств, отвергнутых категорической посылкой, должно необходимо принадлежать предмету.

Рассмотрим, например, силлогизм:

Силлогизм этот, конечно, ошибочный. Ошибка в нём заключается в том, что разделительная посылка даёт не полное, не исчерпывающее перечисление свойств определённого рода (в данном случае — в отношении происхождения), которые могут принадлежать предмету. Кроме жиров минерального и животного происхождения, возможны ещё жиры растительного происхождения. Поэтому, удостоверившись посредством категорической посылки в том, что розовое масло — не животного происхождения, мы ещё не имеем права утверждать, будто оно — минерального происхождения. И действительно, истина в том, что розовое масло — растительного происхождения.

Неполное деление в разделительной посылке ведёт к логической ошибке в заключении только при умозаключении по модусу tollendo ponens. При пробеле в членах деления всегда может случиться, что единственное оставшееся по исключении свойство вовсе не есть то именно свойство, которое должно принадлежать предмету. Принадлежащим предмету может оказаться свойство, пропущенное в разделительной посылке — по причине неполноты деления.

Напротив, для правильности вывода по модусу ponendo tollens полнота деления определяющих свойств, которые могут принадлежать предмету и которые перечисляются в разделительной посылке, не имеет значения. Для правильности умозаключения по модусу ponendo tollens важна не полнота деления, но несовместимость его членов. И действительно, утверждая — в категорической посылке — принадлежность некоторого свойства предмету, силлогизм по модусу ponendo tollens отрицает в заключении ряд других свойств ввиду их несовместимости с утверждаемым свойством. Так как в этом модусе категорическая посылка устанавливает, какое именно свойство из всех свойств известного рода принадлежит предмету, то совершенно очевидно, что отрицание ряда свойств, не совместимых с ним, остаётся истинным и в том случае, если при этом перечисляются не все свойства, не совместимые с установленным.

Например:

В этом силлогизме заключение логически правильно. Правда, логическое деление, осуществлённое в разделительной посылке, недостаточно полное, так как в нём пропущены некоторые члены: спутники планет, метеориты солнечной системы и т. д. Однако все эти пропуски не препятствуют правильности вывода. Так как Эрос оказался — на основании категорической посылки — астероидом и так как понятия остальных членов деления, указанных в разделительной посылке, несовместимы с понятием астероида, то заключение, исключающее астероид Эрос из числа планет и комет, остаётся во всяком случае истинным, хотя в нём названы не все виды тел солнечной системы, к каким не может принадлежать Эрос.

Сокращённые силлогизмы

§ 19. В математических рассуждениях и доказательствах обычно стремятся к тому, чтобы ни одно звено в ряду логически связанных между собой мыслей не было пропущено. Поэтому в доказательства математических наук силлогизмы обычно входят в своей полной форме: и обе посылки и заключение.

В других науках, в художественном и особенно в повседневном мышлении далеко не всегда необходимо воспроизводить в мысли и выражать в речи все звенья доказательства, все части вывода. Поэтому наряду с полными силлогизмами, т. е. такими, в которых имеются налицо и полностью выражены все посылки и заключения, часто встречаются и сокращённые силлогизмы. Так называются силлогизмы, в которых пропущены или посылка, или заключение.

Пропуски эти легко объяснимы. В мышлении образованного человека имеется не только много накопленных отдельных истин, но также и много накопленных знаний о логических связях между отдельными истинами. Поэтому при ведении известного рассуждения или доказательства в тех случаях, когда есть основание думать, что читателю или слушателю эти истины и логические связи между ними известны так же, как они известны самому говорящему, некоторые посылки, а иногда даже и само заключение могут быть опущены без ущерба для ясности и убедительности мысли.

§ 20. Сокращённые силлогизмы называются энтимемами — от греческого слова ἐν θυμῷ, означающего «в уме». Название это показывает, что одна из посылок силлогизма не высказывается, но подразумевается говорящим.

Пример энтимемы: «Трус малодушен, так как малодушие есть свойство всех эгоистов».

Здесь, как легко убедиться, пропущена, но подразумевается меньшая посылка: «трус есть эгоист». В полной форме силлогизм этот имел бы следующий вид:

Обычно пропускается не меньшая, а бо́льшая посылка. Объясняется это тем, что бо́льшая посылка в большинстве случаев есть общее суждение и потому часто (хотя, конечно, далеко не всегда) выражает истину или мысль, широко известную, легко подразумевающуюся.

Такова энтимема:

^{Эта звезда — планета, так как быстро меняет своё положение среди других звёзд.}

Здесь пропущена бо́льшая посылка: «Все звёзды, быстро меняющие своё положение среди других звёзд, суть планеты». Положение это настолько известно, что можно — без риска быть непонятым или неубедительным — сразу перейти от меньшей посылки к выводу.

Наконец, иногда в силлогизме пропускается заключение. Так бывает в случаях, когда заключение вполне очевидно и когда, высказав обе посылки, предоставляют слушателю или собеседнику самому сделать естественно напрашивающийся вывод.

Например:

Эпихейрема

§ 21. Иногда каждая из двух посылок силлогизма есть энтимема, т. е. сокращённый силлогизм. Такой силлогизм с энтимематическими посылками называется «эпихейремой» (от греческого слова ἐπιχέιρημα — «умозаключение»).

Например:

Здесь мы имеем силлогизм с двумя посылками и заключением. Но каждая из посылок этого силлогизма, как не трудно убедиться, — энтимема. Первая посылка в полной форме представляет типичный силлогизм:

Но и вторая посылка в приведённом примере также есть энтимема. В полной форме она представляет силлогизм:

Сложные силлогизмы

§ 22. В научном мышлении силлогизмы редко употребляются поодиночке. Обычно научное рассуждение там, где в его состав входят силлогизмы, представляет более или менее длинную цепь последовательных выводов, связанных между собой логической необходимостью.

Последовательность силлогизмов, соединённых в логически связное рассуждение или доказательство, называется полисиллогизмом, или сложным силлогизмом.

В сложном силлогизме заключение предшествующего силлогизма является посылкой следующего. Силлогизм, который представляет основание для посылки последующего силлогизма, называется просиллогизмом. Силлогизм, в котором посылкой оказывается заключение предшествующего силлогизма, называется эписиллогизмом.

Например:

Здесь мы имеем два силлогизма: первой фигуры простого категорического силлогизма (по модусу Celarent) и второй фигуры простого категорического силлогизма (по модусу Cesare).

Первый из них есть просиллогизм:

Второй из них есть эписиллогизм:

В общем виде сложный силлогизм представляется формулой:

В раздельном виде формулы просиллогизма и эписиллогизма будут следующие:

Сорит

§ 23. Возможен силлогизм, представляющий соединение сложного силлогизма с сокращённым силлогизмом. Как во все остальные сложные силлогизмы, в этот силлогизм входят в качестве его частей несколько силлогизмов. В то же время, как и в сокращённых силлогизмах в нём некоторые посылки опускаются.

Например:

Это умозаключение — сложный силлогизм, состоящий из двух силлогизмов, в которых некоторые посылки опущены. Восстановив пропущенные в этом сложном силлогизме посылки и заключив их в круглые скобки, получим следующие два силлогизма:

Сложный силлогизм такого строения называется соритом (от греческого слова σωρὸσ — куча). Сорит может состоять из нескольких или даже из многих силлогизмов. В общем виде строение сорита выражается формулой:

Та же формула по восстановлении опущенных посылок принимает вид:

В сорите каждое понятие входит в посылки дважды: первый раз — в качестве предиката посылки, второй раз — в качестве субъекта следующей за ней посылки. Исключение при этом составляют первое и последнее понятия, т. е. субъект и предикат заключения.

В цепи силлогизмов, из которых составляется сорит, каждый силлогизм играет роль посылки для следующего за ним и, таким образом, есть просиллогизм относительно этого последнего. В то же время каждый силлогизм, начиная со второго, является эписиллогизмом относительно предшествующего.

§ 24. Сорит применяется в случаях, когда необходимо последовательно обозреть длинную цепь звеньев подчинения.

Поэтому посылки и заключения, входящие в состав силлогизмов, из которых слагается сорит, опускаются с таким расчётом, чтобы в оставшихся посылках мысль последовательно переходила или от понятия подчинённого к подчиняющему, т. е. к понятию, заключающему в своём объёме весь объём подчинённого, или, наоборот, от понятия подчиняющего к подчинённому. С этой целью кроме пропуска некоторых посылок и заключений производится перестановка посылок в том силлогизме, которым начинается сорит.

Если порядок подчинения хотят обозревать, переходя от понятий подчинённых к понятиям подчиняющим, то в силлогизмах, из которых составляется сорит, опускаются меньшие посылки. Сорит, в котором опускаются меньшие посылки входящих в этот сорит силлогизмов, называется аристотелевским. Рассмотренный нами выше пример сорита есть пример именно аристотелевского сорита.

Если порядок подчинения хотят обозревать, переходя от понятий подчиняющих к понятиям подчинённым, то в силлогизмах, из которых составляется сорит, опускаются бо́льшие посылки. Сорит, в котором опускаются бо́льшие посылки входящих в этот сорит силлогизмов, называется, по имени описавшего этот сорит логика, гоклениевским.

Пример гоклениевского сорита:

Из примера видно, что в случае гоклениевского сорита переход по ступеням подчинения обратный переходу, какой имеет место в аристотелевском сорите: в то время как в аристотелевском сорите мысль всё время идёт от подчинённого понятия к понятию подчиняющему, в гоклениевском сорите мысль идёт от подчиняющего понятия к понятию подчинённому.

Восстановив опущенные в нашем примере посылки и заключив их в скобки, получаем следующий ряд силлогизмов:

В заключении гоклениевского сорита, так же как и в заключении аристотелевского, понятие, имеющее наименьший объём, подчиняется понятию, имеющему наибольший объём.

Обычно в соритах все посылки — общеутвердительные. Частная посылка может быть в сорите только одна и притом должна быть первой. Отрицательная посылка также может быть только одна и притом должна быть последней.

Задачи

^{I.В следующих условных категоризмах определите их вид, модус, исследуйте, будет ли силлогизм правильным, и если он ошибочен, то укажите, в чём состоит допущенная логическая ошибка:}

^{1) «Если в лесу вырастет густой ельник, то насекомых в этом лесу станет меньше; если насекомых в лесу станет меньше, то уменьшится число живущих в этом лесу певчих птиц; следовательно, если в лесу вырастет густой ельник, то певчих птиц в этом лесу станет меньше»; 2) «Если больной выздоравливает, то температура у него понижается; температура у больного не понизилась; следовательно, больной не выздоравливает»; 3) «Чтобы тень от земли, надвигающаяся на поверхность луны во время лунных затмений, была круглой, необходимо, чтобы земля имела форму шара; тень от земли, надвигающаяся на поверхность луны во время лунных затмений, круглая; следовательно, земля имеет форму шара»; 4) «Если имеются признаки, что у страдающего малярией приближается припадок, то ему надо принять хинин; имеются признаки, что у страдающего малярией приближается припадок; следовательно, ему надо принять хинин»; 5) «Если враг не сдаётся, будет отдан приказ об его уничтожении; враг не сдаётся; следовательно, будет отдан приказ об его уничтожении»; 6) «Если бы земля не была когда-то покрыта морем, то в ней не могли бы встречаться пласты, состоящие из раковин морских животных; но в земле повсеместно встречаются пласты, состоящие из раковин морских животных; следовательно, земля была когда-то покрыта морем»; 7) «Если яблоки на яблоне созрели, то они должны осыпаться; яблоки на яблоне осыпались; следовательно, они созрели».}

^{II. В следующих разделительных силлогизмах определите их вид, модус, исследуйте, будет ли силлогизм правильным, и если он ошибочен, то укажите, в чём состоит допущенная логическая ошибка:}

^{1) «Каждый телескоп есть или рефрактор, или рефлектор; каждый рефлектор есть или металлический, или зеркальный; следовательно, каждый телескоп есть или рефрактор, или металлический рефлектор, или зеркальный рефлектор»; 2) «Каждое растение принадлежит или к высшим, или к низшим; если растение принадлежит к низшим, оно всасывает вещества своей поверхностью; следовательно, каждое растение есть или высшее, или всасывающее вещества своей поверхностью»; 3) «Бактерии имеют форму или шарообразную (кокки), или цилиндрическую (палочки), или извитую (вибрионы); бактерии туберкулёза не принадлежат ни к коккам, ни к вибрионам; следовательно, бактерии туберкулёза принадлежат к палочкам»; 4) «Если папоротники — разноспоровые, то заростки у них — двуполые, а если папоротники — равноспоровые, то заростки у них раздельнополые; но папоротники бывают только или равноспоровые, или разноспоровые; поэтому заростки у папоротников могут быть только двуполые или раздельнополые»; 5) «Позвоночные животные бывают или млекопитающие, или птицы, или рыбы, или земноводные; ящерица, будучи позвоночным животным, не есть ни млекопитающее, ни птица, ни рыба; следовательно, ящерица — земноводное»; 6) «Млекопитающие бывают или сумчатые, или одноутробные; кенгуру — сумчатое млекопитающее; следовательно, кенгуру не принадлежит к одноутробным»; 7) «Победа на состязании в беге обусловливается или природными данными, или тренировкой; победа Сергеева на состязании в беге обусловлена тренировкой; следовательно, победа Сергеева на состязании в беге не обусловлена природными данными»; 8) «Победа на состязании в беге обусловливается или природными данными, или тренировкой; победа Сергеева на состязании в беге обусловлена не природными данными; следовательно, победа Сергеева на состязании в беге обусловлена тренировкой».}

^{III. Следующие сокращённые силлогизмы представьте в полной форме, восстановив пропущенные в них части:}

^{1) «Так как все лягушки в личиночном состоянии дышат жабрами, то лягушки не могут принадлежать к пресмыкающимся»; 2) «Как у всех снайперов, у Соколова была твёрдая рука и замечательно острое зрение»; 3) «Не будучи математиком, вы не решите этой задачи»; 4) «Так как кукуруза — злак, то она принадлежит к однодольным растениям»; 5) «Как все эгоисты, трус не может быть великодушным».}

^{IV. Следующие сориты представьте в полной форме, восстановив опущенные в них посылки и заключения:}

^{1) «Все хамелеоны — ящерицы, все ящерицы — чешуйчатые, все чешуйчатые — пресмыкающиеся, все пресмыкающиеся — позвоночные, следовательно, все хамелеоны — позвоночные»; 2) «Все хвойные — семенные, все сосновые — хвойные, все кедры — сосновые; следовательно, все кедры—семенные»}