ЛОГИКА

Логическое основание и логическая формула выводов о вероятности

§ 1. Рассмотренные в предыдущей главе формы индуктивных умозаключений в некоторых отношениях образуют группы выводов, отличных от силлогистических выводов.

Отличие это касается, во-первых, самой задачи выводов. Задача силлогистических выводов состоит в установлении отношений или принадлежности свойства предмету или предмета классу предметов. Задача индуктивных выводов обычно состоит в установлении причинной связи между явлением и предшествующими явлению обстоятельствами.

Во-вторых, отличие индуктивных выводов от силлогистических касается отношения между общностью посылок и общностью заключения. В силлогистических выводах результатом вывода оказывается получение общего или частного суждения из других общих или частных суждений. Зная, например, что все предметы известного класса обладают некоторым свойством и что данный вид принадлежит этому классу, мы с достоверностью заключаем — по правилу первой фигуры силлогизма, — что и все предметы данного вида будут обладать тем же свойством, каким обладают все предметы этого класса. Здесь вывод идёт от общего к подчинённому ему общему, т. е. к частному.

В индуктивных выводах результатом вывода оказывается, напротив, установление — путём рассмотрения отдельных случаев, специально подобранных по правилам индуктивных методов, — некоторого положения, распространяющегося не только на рассмотренные случаи, но и на весь класс предметов. В этом смысле индуктивный вывод идёт от частных случаев к общему.

В-третьих, отличие индуктивных выводов от силлогистических состоит в различной достоверности индуктивных и силлогистических умозаключений. В силлогизмах при условии, если посылки истинны и если логический ход умозаключений правильный, заключение будет достоверной истиной.

В индуктивных выводах, напротив, истинность посылок и правильный логический ход умозаключений не могут обеспечить заключению полную достоверность. Здесь вывод — всего лишь вероятный. И хотя во множестве случаев вероятность эта настолько велика, что практически приближается к достоверности, принципиальное различие между вероятностью и достоверностью всё же остаётся и полностью устранено быть не может.

§ 2. Указанные здесь отличия индуктивных выводов от силлогистических и в первую очередь отличие между ходом вывода от частного к общему и от общего к частному образуют основание для объединения всей группы силлогистических выводов в группу выводов так называемой дедукции и для отличения дедуктивных выводов от индуктивных, или от индукции.

В широком смысле слово дедукция означает в логике всякий вывод одних положений из других, в том числе и вывод всего лишь вероятных суждений. В более узком смысле дедукцией логика называет всякие выводы достоверных суждений из других достоверных и притом более общих суждений.

Напротив, индукцией называются всякие выводы вероятных суждений из других менее общих достоверных или вероятных суждений.

§ 3. Различие между индукцией и дедукцией сохраняет силу там, где выводы рассматриваются: 1) с точки зрения их задачи, 2) с точки зрения общности заключения вывода сравнительно с его посылками и 3) с точки зрения достоверности вывода.

Но если выводы рассматриваются с точки зрения их логического основания, т. е. по тому логическому типу умозаключения, который обусловливает переход от посылок к заключению, то различие между дедуктивными и индуктивными выводами оказывается далеко не безусловным.

И действительно, некоторые виды силлогизмов и некоторые виды индуктивных умозаключений в отношении хода умозаключения чрезвычайно близки друг другу. Таковы, например, третья фигура простого категорического силлогизма, выводы полной индукции и выводы неполной индукции.

На первый взгляд могло бы показаться, что между третьей фигурой, с одной стороны, и индуктивными выводами полной и неполной индукции — с другой, существует всё то различие, какое имеется между дедуктивным выводом, идущим от общего к частному, и индуктивным, идущим от частного к общему.

В самом деле, по третьей фигуре заключения получаются, как известно, только частные. В особенности разительно это свойство третьей фигуры в модусах Darapti и Felapton, где частные выводы получаются из обеих общих посылок. Но и в остальных модусах третьей фигуры частные выводы получаются из посылок, одна из которых непременно общая. Напротив, в выводах полной индукции единичные или частные посылки обосновывают общий вывод. То же справедливо относительно выводов неполной индукции: устанавливаемое в них в качестве вероятного заключение есть заключение общее: оно относится не только к рассмотренным и подтверждающим заключение случаям, но и ко всем ещё не рассмотренным случаям того же рода.

Если, однако, мы ближе присмотримся к логическому основанию умозаключения во всех этих трёх формах вывода, то окажется, что отличающая их друг от друга противоположность между ходом мысли от общего к частному и от частного к общему отнюдь не раскрывает ещё сущности того хода мысли, который во всех этих формах приводит к заключению.

§ 4. Начнём с третьей фигуры. Предикат в заключении выводов, сделанных по третьей фигуре, действительно относится не ко всем, но лишь к части предметов класса, к которому принадлежит субъект заключения. В этом смысле мы вправе сказать, как уже было сказано выше, что выводы по третьей фигуре отвечают интересу познания, направленного на частное.

Однако дело этим не ограничивается. Свой полный смысл заключения по третьей фигуре приобретают лишь при условии, если мы уясним смысл вопроса, для решения которого эти выводы применяются. Как известно, выводы эти часто применяются для опровержения ложных суждений относительно целого рода или класса. Допустим, что ученик утверждает, будто все членистоногие — насекомые. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно доказать истинность противоречащего ему утверждения. Таким противоречащим утверждением будет частноотрицательное суждение «некоторые членистоногие — не насекомые». Доказать его истинность можно по третьей фигуре силлогизма (модус Felapton):

Конечно, заключение получилось частное. Но весь смысл этого заключения, как было уже показано выше, вовсе не в том только, что оно ограничивает субъект суждения некоторыми экземплярами. Полный смысл этого суждения — в том, что оно характеризует весь класс членистоногих как такой класс, относительно которого неверно утверждать, будто все его представители — насекомые. Иными словами, посредством частного по количеству заключения вывод по третьей фигуре высказывает суждение не о части группы, а о целой группе предметов.

Отсюда видно, что противоположность третьей фигуры как дедуктивного умозаключения индуктивным выводам есть противоположность только кажущаяся. То, что представляется здесь противоположным, — ход мысли в случае третьей фигуры от общего к частному и ход мысли в случае полной и неполной индукции от частного к общему — есть противоположность, не затрагивающая логической основы вывода в том и в другом случае. Основой этой является не отношение количества посылок к количеству заключения, а возможность перехода от суждения о некоторых предметах группы к суждению о целой группе предметов. Возможность эта бесспорно существует в выводах полной и неполной индукции, отличающихся между собой только полнотой учёта случаев, на которых основывается заключение, а потому и степенью вероятности самого заключения. Но возможность эта существует и в выводах по третьей фигуре. В силлогизме:

заключение есть высказывание или суждение о целом роде млекопитающих как о таком, относительно которого неверно думать, будто в его объёме не имеется яйцекладущих. Здесь по существу тот же переход мысли от видов к классу или роду, что и в выводах полной и неполной индукции. Утконосы — только один из видов яйцекладущих. Но так как весь объём вида утконосов входит как часть в объём рода млекопитающих, то мы имеем право перенести предикат (принадлежность утконосов к яйцекладущим) и на род млекопитающих (отметив, разумеется, что эта способность характеризует только часть рода). Но даже будучи неполным, ограниченным частью представителей рода, определение остаётся всё же определением рода, а не вида. Иными словами, ход умозаключения здесь — в переносе предиката с некоторых видов или даже с одного вида на род.

Отсюда видно, что дедуктивные и индуктивные выводы, будучи в известном отношении различными и даже противоположными, не являются противоположными в том отношении, которое имеет наибольшее значение для характеристики логического своеобразия выводов: в отношении самого хода умозаключения. Некоторые виды дедуктивных выводов, как, например, третья фигура силлогизма, стоят гораздо ближе к индуктивным умозаключениям (к выводам полной и неполной индукции), чем к другим формам дедуктивных (силлогистических) выводов.

§ 5. Так обстоит дело, если сравнивать дедуктивные и индуктивные выводы с точки зрения логического процесса, или логического обоснования вывода.

Но не иначе обстоит дело, если к вопросу о различии между дедукцией и индукцией подойти с точки зрения относительной вероятности (или достоверности) выводов, получаемых при помощи индукции и дедукции.

Было уже показано, что при условии истинности посылок и правильности умозаключения дедуктивные выводы дают достоверное, а индуктивные — всего лишь вероятное знание.

Различие это — там, где оно имеет место, — должно быть признано существенным. В своём месте уже было разъяснено, что достоверность не имеет степеней, в то время как степень вероятности может изменяться в пределах от значения, близкого к полной невероятности, до значения, приближающегося к полной достоверности.

И всё же, как бы ни было велико различие между вероятным и достоверным знанием, оно не может быть основанием для безусловного противоположения индукции дедукции.

§ 6. Во-первых, имеются формы индуктивных умозаключений, посредством которых получаются не только вероятные, но и совершенно достоверные выводы. Таковы выводы полной индукции. При условии истинности её частных посылок и при условии исчерпывающего учёта всех экземпляров (или видов), образующих класс, относительно которого делается обобщение, вывод полной индукции получается вполне достоверный. Так как конические сечения исчерпываются кругом, эллипсом, параболой и гиперболой и так как относительно каждого из них в отдельности достоверно известно, что оно не может пересекаться прямой линией более чем в двух точках, то не менее достоверным будет вывод, что и все конические сечения не могут пересекаться прямой линией более чем в двух точках. И какой бы малой ни была новизна выводов, получаемых посредством полной индукции, в отношении достоверности выводы эти не уступают достоверности дедуктивных выводов.

§ 7. Во-вторых, даже среди тех форм индукции, по которым могут получаться не достоверные, но только вероятные выводы, имеются формы, заключения которых в отношении степени вероятности могут неограниченно приближаться к достоверности.

За исключением индукции через простое перечисление, которая даёт выводы, основывающиеся частью на случаях, подтверждающих заключение, частью же на отсутствии случаев, ему противоречащих, другие виды неполной индукции — индукция через исключение случайных обстоятельств и бэконовская индукция — дают знание, вероятность которого может возрастать до значения, близкого к достоверности. Поэтому и в отношении вероятности (а также достоверности) выводов противоположность между индукцией и дедукцией — не безусловная. Существует вид индукции, по которому получается, так же как и при помощи дедукции, достоверное знание. Существуют виды индукции, по которым в силу особенностей применяемых методов вероятность вывода может быть весьма высокой.

§ 8. Наконец, и в третьем отношении — в отношении цели или задачи умозаключения — противоположность между индукцией и дедукцией также не может быть признана безусловной.

Та же полная индукция, которая, как мы уже знаем, по достоверности своих выводов должна быть поставлена в один ряд с дедуктивными выводами, не отличается от них и по характеру своих заключений. Совершенно как и в силлогизмах, заключения полной индукции представляют обычно суждения о принадлежности свойства предмету или о принадлежности предмета классу.

§ 9. До сих пор, говоря об отсутствии безусловной противоположности между дедукцией и индукцией, мы опирались на те формы индукции, которые по ходу умозаключения, по степени его вероятности и по его задаче должны быть, как полная индукция, поставлены рядом с силлогистическими, или дедуктивными, выводами.

Но то же отсутствие безусловной противоположности между дедукцией и индукцией может быть доказано и иначе — посредством анализа тех форм индуктивных выводов, которые, как индукция Бэкона, несомненно, отличаются от силлогистических выводов и по степени вероятности заключений, никогда не достигающей полной достоверности, и по их цели, состоящей в установлении причинной связи.

И действительно, общую схему всех бэконовских индуктивных методов составляет, как мы видели, разделительно-категорический силлогизм модуса tollendo ponens.

Независимо от особого для каждого метода хода умозаключения каждый метод бэконовской индукции состоит — с логической точки зрения — в том, что, учтя всю совокупность несовместимых друг с другом обстоятельств, относительно которых возможно думать, что каждое из них может быть причиной исследуемого явления, последовательно исключают все те из них, которые, как выясняется из анализа, не могут быть такой причиной в данном случае. В результате не исключённым оказывается только одно единственное обстоятельство, которое и есть причина (или часть причины) явления. В случае метода сходства неисключённым остаётся то обстоятельство, которое одно имеет место во всех рассматриваемых случаях, в то время как все остальные обстоятельства оказываются в каждом случае различными. При методе различия неисключённым остаётся то обстоятельство, которым данный случай отличается от всех других случаев, когда явление наступает. При методе остатков неисключённым остаётся то обстоятельство, которое не может быть причиной ни одной составной части сложного явления, кроме той именно, причина которой должна быть установлена. Наконец, в случае метода сопутствующих изменений неисключённым остаётся то обстоятельство, которое одно изменяется в степени, в то время как все остальные во всех исследуемых случаях оказываются не изменёнными.

Итак, при всём несомненном различии, какое существует между дедукцией и индукцией, различие это отнюдь не есть безусловная противоположность исключающих друг друга видов умозаключения.

§ 10. Но этого мало. Отсутствие безусловной противоположности между дедукцией и индукцией состоит не только в том, что в ряде дедуктивных и индуктивных выводов ход умозаключения при кажущемся различии оказывается по существу один и тот же. Отсутствие безусловной противоположности между дедукцией и индукцией сказывается, кроме того, ещё и в том, что, даже будучи различными, индукция и дедукция восполняют друг друга и предполагают друг друга во множестве видов научных исследований.

Обычно научное исследование есть сложная задача, решение которой может быть достигнуто только совместным применением дедукции и индукции. Даже при выводах, которые кажутся часто индуктивными, мышление всегда опирается также и на дедукцию. Так, чтобы приступить к исследованию причины явления по одному из методов бэконовекой индукции, необходимо предположить, что данное явление есть частный случай или частное проявление всеобщего закона причинной связи. Но это суждение есть заключение дедуктивного — силлогистического — вывода.

§ 11. Даже в тех случаях, когда индуктивный вывод предшествует дедуктивному доказательству, окончательная достоверность вывода достигается не индукцией, а дедукцией. Из истории наук известно, что даже в доказательствах математических теорем применялась индукция. Некоторые и притом весьма важные теоремы теории чисел, например малая теорема Ферма¹, были сначала найдены посредством индукции. Путём индукции была найдена Архимедом площадь параболы: Архимед брал листы жести одной и той же толщины, вырезал из них куски параболической формы и затем взвешивал их. И только после того, как посредством индукции была найдена формула для площади параболы, оказалось возможным вывести эту же формулу дедуктивным путём.

Однако значение всеобщих истин эти теоремы приобрели не на основе первоначальных индукций, при помощи которых они были найдены, а на основе дедуктивного доказательства. Только оно оказалось способным поднять эти положения со ступени вероятных или справедливых лишь для некоторых случаев положений на ступень истин, вполне достоверных и строго доказанных.

§ 12. Напротив, в тех случаях, когда математическое обобщение не идёт дальше неполной индукции, оно всегда может быть, так же как и любой вывод неполной индукции, опровергнуто первым фактом, противоречащим обобщению. Тот же Ферма высказал — на основе индукции — предположение, будто все числа вида (2^2^n)+1 суть простые числа, т. е. числа, которые делятся только на самих себя и на единицу. При этом он опирался на последовательный ряд из четырёх случаев, или примеров, которые все давали результат, обобщённый Ферма в его формуле. И действительно: 2²+1 = 5; 2⁴+1 = 17; 2⁸+1 = 257; 2¹⁶+1 = 65 537, т. е. все рассмотренные и образующие последовательный ряд четыре случая дают в результате простые числа и, стало быть, подтверждают формулу. Но как только Эйлер вычислил результат для следующего, пятого, случая (2³²+1) и показал, что это число — 4 294 967 297 — делится на 641, предположение Ферма, найденное путём неполной индукции, оказалось опровергнутым, так как был обнаружен случай, противоречащий обобщению.

§ 13. Но и дедуктивные исследования не могут обойтись без индукции. Индукция не только ведёт к первоначальным догадкам относительно общих правил и законов, которые впоследствии обосновываются путём дедукции. Индукция ведёт к образованию тех понятий и определений, которые составляют основу и отправную точку дедуктивных наук и их дедуктивных выводов. Правда, в своей нынешней форме эти понятия, определения, аксиомы или постулаты могут показаться совершенно не зависящими ни от какого опыта и ни от какой индукции. Понятие геометра о точке, о прямой, о плоскости, о параллельных и т. д. может показаться существующим только в мысли геометра, но не в самой действительности. В действительности всякая прямая имеет не только длину, но также и ширину и высоту. В мысли геометра прямая имеет только длину. В действительности всякая точка есть весьма малое тело, т. е. так же, как и прямая, имеет и длину, и ширину, и высоту. В мысли геометра точка не имеет ни длины, ни ширины, ни высоты и т. д.

И всё же, как бы значительно ни отличались понятия и определения математики от реальных предметов и отношений этих предметов в действительном мире, понятия и определения эти возникли некогда на основе опыта и выведенных из опыта обобщений. Конечно, понятие геометра о прямой не есть только понятие о пределе, к которому стремится начерченная на бумаге тушью прямая по мере того, как её ширина и высота становятся в руках искусного чертёжника всё меньшими и меньшими. Между самой «тонкой» и «низкой» прямой, проведённой на чертеже, и прямой, мыслимой геометром, т. е. имеющей только одну длину, имеется отличие, которого не заполнят никакие возможные в опыте приложения и переходы. Здесь мысль совершает переход, в результате которого появляется нечто новое, ни из какой индукции не выводимое.

Но если бы геометр не опирался на многочисленные наблюдения, которые показывают, что можно, не изменяя длины начерченной линии, изменять, а именно уменьшать, её толщину и высоту, если бы, кроме того, ему не приходилось задаваться относительно линии рядом вопросов, для решения которых не имеет значения ни высота, ни ширина её, но единственно только её длина, то никогда геометр не оказался бы в состоянии образовать в своём уме и при помощи своего воображения понятие о прямой как о линии, имеющей одну только длину. Индукция не может без помощи дедукции доказать ни одного положения в качестве положения безусловно достоверного, но самые понятия, лежащие в основе всех суждений дедуктивных наук, образуются из опыта и при посредстве индуктивных обобщений.

§ 14. Взаимная связь индукции и дедукции отчётливо выступает в сложных научных исследованиях. Исследования эти редко начинаются с точной формулировки закона. Обычно точной формулировке общего закона предшествует приблизительная, часто грубая и весьма неточная проба такой формулировки, основывающаяся на весьма ещё несовершенных индукциях, или выводах из частных случаев. Но и на этой стадии большую роль играют предвосхищение общей формулы и дедуктивные выводы из неё, которые указывают путь дальнейшему исследованию. Принимая свои приблизительные обобщения в качестве истины, исследователь извлекает путём дедукции выводы о том, как «предположенные им общие законы должны проявляться в других случаях, за пределами того, что уже известно из опыта. Получив эти выводы, исследователь вновь обращается к опыту, чтобы проверить, в какой степени следствия, выведенные им дедуктивно из добытого индукцией предположения, согласуются с действительными фактами.

До Галилея, например, физики, заметив, что вода поднимается в насосе, объясняли это явление тем, что природа якобы боится пустоты: по мере того как воздух выкачивается насосом, на место воздуха становится вода.

Галилей знал уже из опыта со стеклянной трубкой всасывающего насоса, что, как бы долго ни накачивали воду и как бы длинна ни была трубка насоса, поднятая насосом вода никогда не поднимается выше 32 футов. Этот установленный наблюдением факт внушил Галилею догадку, согласно которой «боязнь пустоты» не безгранична, но имеет предел. Ученик Галилея Торичелли совершенно отказался от предположения, будто природа боится пустоты. По его мысли, предел поднятия воды в насосе обусловлен тем, что на воду в трубке насоса давит земная атмосфера, имеющая ограниченную высоту над землёй и потому ограниченную тяжесть. Вес воды, поднятой до высоты 32 футов, равняется в точности весу столба атмосферы над поверхностью воды в сосуде, из которого накачивается вода в насос. Из этой догадки Торичелли сделал дедуктивный вывод. Если вес жидкости, поднятой в насосе, в точности должен быть равен весу столба атмосферы над поверхностью жидкости, то высота, на какую поднимается в каждом отдельном случае жидкость, очевидно, будет зависеть от удельного веса жидкости, взятой для испытания. Так, например, ртуть, которая почти в 14 раз тяжелее воды, очевидно, поднимется не на 32 фута, но всего лишь на 1/14 этой высоты, т. е. на 30 дюймов, так как столб ртути высотой в 30 дюймов весит столько, сколько столб , воды в 32 фута. И действительно, опыты, произведённые Торичелли, показали, что дедуктивный вывод, сделанный им из предположения Галилея, полностью оправдался: ртуть поднялась не выше 30 дюймов.

И всё же это совпадение результатов опыта с дедуктивно выведенным следствием теории не было в глазах многих окончательно убедительным. Совпадение это могло быть случайным, а подъём воды и ртути в насосе на неодинаковую высоту мог быть объяснён действием особой в каждом из обоих случаев причины.

Чтобы устранить всякие сомнения в истинности догадки Торичелли, Декарт придумал, а Паскаль и его зять Перье осуществили новый опыт. Из догадки Торичелли Декарт извлёк дедуктивный вывод, проверка которого должна была принести действительное разрешение вопроса. Необходимо, рассуждал Декарт, поставить такой опыт, который не оставлял бы никаких сомнений в том, что именно давление столба атмосферы над уровнем жидкости в сосуде обусловливает предел, до которого может быть поднята жидкость в насосе. Если бы удалось показать, что с изменением веса столба воздуха над уровнем жидкости будет изменяться и высота столба той же самой жидкости, поднятой в насосе, то догадка Торичелли тем самым была бы доказана. Но вес столба воздуха, продолжал рассуждать Декарт, зависит от высоты данной местности над уровнем моря. На вершине высокой горы на поверхность жидкости будет давить не весь столб атмосферы, простирающийся от уровня моря до её внешнего предела, но лишь часть этого столба. Поэтому на вершине высокой горы уровень жидкости, поднятой в насосе, будет более низким, чем уровень той же жидкости в том же насосе у подошвы горы: вес столба воздуха на вершине горы уравновесится меньшим столбом жидкости в насосе.

Все эти рассуждения Декарта представляли ряд дедуктивных выводов из догадки Торичелли. Необходимо было проверить, насколько согласуются с этими выводами действительные факты. Эта проверка была произведена Перье.

Изложенная история развития теории барометра представляет прекрасный пример взаимной связи индукции и дедукции. От найденных путём индукции, обычно ещё несовершенных и неточных, обобщений — через следствия этих обобщений, выведенные путём дедукции, — к проверке этих следствий посредством новых опытов и новых индукций — таков обычный путь научного исследования.

Оценка вероятности индуктивных умозаключений

§ 15. Из сравнения индуктивных выводов с дедуктивными было выведено, что, кроме полной индукции, дающей достоверные заключения, все остальные виды индукции дают заключения вероятные.

Различие это, само по себе взятое, не решает, однако, вопроса о сравнительной научной ценности дедуктивных и индуктивных выводов. Правда, достоверность всегда остаётся выше вероятности. Однако вероятность может иметь различные степени. При известных условиях, степень вероятности может настолько возрастать, что практически вероятность может неограниченно приближаться к достоверности.

Так как индуктивные выводы дают, вообще говоря, вероятное знание, то научное значение этих выводов, очевидно, будет определяться степенью вероятности, достижимой для них в каждом отдельном случае и в каждом виде индукции.

Отсюда следует, что при оценке научного значения индукции необходимо познакомиться, во-первых, со способом, посредством которого может вообще производиться определение степени вероятности, во-вторых, с особыми приёмами, посредством которых определяется степень вероятности в случае индуктивных выводов.

§ 16. Выше мы уже рассмотрели основной приём исчисления вероятности и невероятности наступления события. Но так как математическое исчисление вероятности, приём которого указан, должно, очевидно, иметь логическое основание и опираться на логическую формулу, приложением которой к частной области являются математические формулы, то должны быть установлены и это логическое основание и эта логическая формула. Последнее необходимо ещё и потому, что в ряде случаев вероятность не может быть точно исчислена математически, но всё же может быть характеризована с определённостью, достаточной для того, чтобы взвесить сравнительное значение той или иной возможности, между которыми распределяется решение поставленного вопроса.

§ 17. С логической точки зрения заключение о вероятности имеет посылкой суждение о некоторой группе предметов. И действительно, заключение это должно содержать в себе полное указание всех возможных случаев, между которыми распределяется испытание. Если в закрытом ящике находятся перемешанные друг с другом восемь красных и четыре синих шара и если поставлен вопрос, какого цвета будет шар, который мы вынем из ящика, то совершенно очевидно, во-первых, что вынутым может быть только или красный, или синий шар. Поэтому первым приближением к решению вопроса будет суждение: «Вынутый шар может быть либо красным, либо синим». Суждение это — разделительное суждение, перечисляющее все исключающие друг друга возможности, между которыми распределяется выбор.

Однако ограничиться одним этим суждением в данном случае, — когда мы знаем не только о том, какие цвета могут встретиться среди шаров, положенных в ящик, но знаем, кроме того, сколько находится в ящике красных и сколько синих шаров, — значило бы не довести исследование до возможной при данных условиях определённости.

Верно, разумеется, что для ответа на поставленный вопрос мы должны образовать разделительное, а не какое-либо иное суждение. Если бы суждение, выражающее степень нашего знания о том, какой шар будет вынут, не было разделительным, то наш вывод не указывал бы на то, что вся группа предметов имеет не один и тот же, но различные предикаты, т. е. что она имеет некоторое множество предикатов, между которыми распределяются все возможные случаи.

Но, с другой стороны, одного разделительного суждения, устанавливающего, что вынутый шар может оказаться или красным или синим, будет, конечно, недостаточно. Суждение это точно перечисляет возможные в данном случае, т. е. существующие в группе, предикаты. Однако оно ничего ещё на говорит о том, какое значение имеет каждый из предикатов сравнительно с другими в той же группе. Чтобы осветить и эту сторону вопроса, необходимо так преобразовать наше разделительное суждение о группе, чтобы, существовала возможность не только перенести предикат, указываемый каждым членом разделительного суждения, на предмет, о котором идёт речь (т. е. на шар, который должен быть вынут), но, кроме того, чтобы само разделительное суждение точно выражало при этом имеющееся у нас знание о сравнительном значении каждого предиката для всей группы.

Учтя это требование, разделим теперь мысленно всё количество шаров в ящике на группы по четыре шара в каждой и притом таким образом, чтобы в каждой из групп, получившихся в результате деления, оказались шары одного и того же цвета. Получатся две группы шаров красного цвета и одна группа синего цвета. Назовём одну четвёрку красных шаров «первой группой» красных шаров, другую —«второй». Тогда, очевидно, мы вправе высказать суждение: «Любой шар, какой может быть вынут из всего числа шаров, имеющихся в ящике, необходимо должен принадлежать или к первой группе красных шаров, или ко второй группе красных шаров, или к группе синих шаров».

Суждение это, как и предыдущее («Вынутый шар может быть либо красным, либо синим»), есть разделительное суждение о группе предметов. В нём — три предиката, которые полностью исчерпывают всё наше знание о группе и потому равноправны.

Образовав это суждение, мы можем теперь перенести определение всей группы, выраженное преобразованной разделительной посылкой, на тот шар, который должен быть вынут.

И в преобразованной форме, так же как и до преобразования, наше разделительное суждение выражает, что вынутый шар окажется либо красным, либо синим. Обе первые группы, или четвёрки (красных шаров), выражают первую возможность, третья группа, или четвёрка (синих шаров), выражает вторую. Утверждение, что шар окажется красным, оправдается, если при доставании шара осуществится каждый из двух первых членов преобразованного нами разделительного суждения. Иными словами, утверждение это выражает шансы третьего члена нашего разделительного суждения. А так как права каждого случая, представленного четвёркой шаров одного и того же цвета, равны, то вероятность того, что истинным окажется первое суждение («вынут будет красный шар») так относится к вероятной истинности второго суждения («вынут будет синий шар»), как два относится к одному.

Теперь нетрудно характеризовать логический ход рассмотренного вывода о вероятности. Вывод этот — с точки зрения его логического типа или характера — есть не что иное, как умозаключение от группы предметов к отдельному предмету. При этом суждение о группе, обосновывающее перенос предиката на отдельный предмет, есть сложное разделительное суждение о составе группы. Суждение это не только исчерпывает все существующие в ней предикаты, но и характеризует сравнительное значение каждого из них в группе.

Характеризованная здесь логическая формула математических выводов о вероятности есть формула, охватывающая только простейшие выводы математической вероятности. При усложнении условий определения вероятности логическая формула выводов вероятности, не меняясь в существе, претерпевает соответствующее осложнение.

§ 18. Существуют, однако, и такие выводы о вероятности, в которых ход умозаключения совпадает с ходом выводов неполной индукции. Представим, например, случай, когда, доставая из закрытого ящика положенные в него шары различного цвета, мы не знаем наперёд ни того, какого цвета шары имеются в ящике, ни того, сколько имеется в ящике шаров каждого цвета. Представим, что вопрос идёт уже не о том, каким по цвету окажется вынутый шар, а о том, какой цвет является господствующим во всей данной группе шаров и как относится число шаров одного цвета к числу шаров всех других цветов.

Поставленная таким образом задача явно отличается от предыдущей. В предыдущей нам было наперёд известно, во-первых, общее число шаров в ящике, во-вторых, было известно, сколько из этого общего числа шаров имеется красных шаров и сколько синих. Вопрос состоял в определении степени вероятности как того, что первый вынутый шар окажется красным, так и того, что он окажется синим.

Напротив, вторая задача является обратной по отношению к первой. Здесь неизвестно ни общее число шаров в ящике, ни распределение этого числа между группами по цвету. Требуется определить, какого цвета шаров окажется всего больше в группе и в каком отношении число этих шаров будет находиться к числу шаров всех других цветов.

Первая задача решалась, как мы видели, посредством исчисления вероятности, основанного на разделительном суждении, точно выражающем всё наше знание о группе, и на переносе определения группы, выраженного разделительным суждением, на отдельный предмет.

Во второй задаче мы, очевидно, не можем сразу сформулировать, как это было в предыдущем случае, разделительное суждение, которое точно выражало бы наше знание о группе предметов. Однако и в этом случае возможно приближение к такому знанию. Для этого станем вынимать один за другим шары из ящика таким образом, чтобы условия каждого отдельного доставания были по возможности разнообразны, т. е. чтобы каждый раз мы вынимали шар из различных частей ящика.

Если условия доставания шаров будут достаточно разнообразны, то, разложив шары по группам так, чтобы в каждую группу входили шары одного и того же цвета, и определив как общее число уже вынутых шаров, так и число шаров каждого цвета, мы можем с известной степенью вероятности ответить не только на вопрос, какого цвета шаров имеется больше всего в ящике, но также и на вопрос, в каком отношении число шаров каждого цвета стоит к числу шаров всех других цветов.

Как только число шаров, вынутых таким образом из ящика и распределённых по цветам, окажется достаточно большим, мы получаем право на умозаключение, которое, если рассматривать его логическую основу, оказывается умозаключением неполной индукции через исключение случайных обстоятельств.

В самом деле, при указанных условиях мы имеем дело, как и в выводах неполной индукции, с некоторой группой предметов (а именно шаров в ящике), число которых хотя и неизвестно, но вполне определённо, которые сосредоточены в строго определённой и доступной опыту области и которые вынимаются, вообще говоря, в условиях, исключающих случайные обстоятельства.

При выполнении всех этих требований и при достаточном (в отношении ко всему количеству шаров) числе изъятий мы получаем право смотреть на вынутые и распределившиеся по цвету шары уже не как на случайно встретившиеся экземпляры группы.

Мы получаем право видеть в них предметы, отношение числа которых в каждой группе одного цвета к числу их в группах других цветов показательно не только для той части шаров, какая оказалась охваченной испытанием.

Мы вправе полагать, что то же отношение выражает сравнительные числа всех групп внутри общего количества шаров, находящихся в ящике и ещё не полностью охваченных испытанием.

§ 19. Вывод этот есть вывод, дающий лишь вероятное, но не безусловно достоверное знание. Вероятность его зависит, во-первых, от тщательности, с какой устранены случайные обстоятельства, во-вторых, от отношения числа уже осуществлённых доставаний к общему числу шаров в ящике. Незначительная при небольшом числе доставаний вероятность вывода приближается к достоверности по мере того, как уменьшается число шаров, оставшихся в ящике и ещё не охваченных испытанием.

Как во всех выводах неполной индукции, ход умозаключения состоит здесь в том, что свойства и отношения известной части группы, установленные произведёнными опытами, заведомо не исчерпывающими всех предметов группы, переносятся на всю группу. Основанием для переноса здесь является, как и в остальных выводах неполной индукции, исключение случайных обстоятельств, влияющих на вывод. Вследствие этого исключения возникает право рассматривать обследуемую часть группы не как составившуюся из случайных экземпляров, но как такую часть, свойства и отношения которой характеризуют свойства и отношения целой группы.

§ 20. Применённый здесь ход умозаключения по существу не изменяется и при изменении задачи. Допустим, что общее число шаров, находящихся в ящике, стало нам известно; допустим, что мы знаем также, каких цветов могут быть находящиеся в ящике шары. При этих условиях должен измениться самый вопрос относительно предоставляющихся здесь возможностей. Это будет уже не вопрос, какого цвета шаров больше всего в ящике, но вопрос о том, сколько имеется шаров каждого цвета. Пока мы не знали общего числа всех шаров и всего числа цветов, решению мог подлежать только вопрос о том, какими предикатами должна быть характеризована данная группа предметов и каково значение каждого из них в группе. Вопрос этот по самому своему смыслу — неопределённый.

Напротив, теперь, когда общее число шаров и число цветов, в какие они окрашены, известно, решению может подлежать другой вопрос — об относительной вероятности нескольких, на этот раз уже вполне определённых, предположений. И действительно, так как общее число шаров в ящике, так же как и число цветов, нам известно, то мы можем образовать несколько предположений относительно количества шаров каждого цвета. Логической формой, посредством которой высказываются эти предположения, будет разделительное суждениео группе предметов, указывающее несколько возможных — при данных условиях — решений поставленного вопроса.

Это различие в условиях задачи приводит не только к изменению вопроса, который подлежит исследованию. Оно приводит к изменению также и той роли, какую во всём испытании играет процесс доставания шаров из ящика.

Пока число шаров в ящике и число цветов были неизвестны, последовательное доставание шаров из ящика было средством для индуктивного вывода о том, какие предикаты входят в данную группу и какое значение имеет каждый из них в группе. В этом случае самый вывод состоит в перенесении предиката с отдельных предметов группы на всю группу.

Напротив, как только число шаров в ящике и число цветов, в какие окрашены шары, становится известным, вместе с изменением в постановке вопроса изменяется и значение процесса доставания шаров. Из средства для установления индуктивного вывода процесс доставания шаров становится основанием для того, чтобы размещение различно окрашенных шаров, следующее из предположения относительно их распределения, перенести на результат, наблюдаемый при доставании шаров.

При этом, однако, самый ход умозаключения не утрачивает характера индуктивного умозаключения. И действительно, составление ряда предположений относительно возможных условий распределения шаров в ящике необходимо только там, где число доставаний было слишком незначительным по отношению к общему числу шаров в ящике и где поэтому возможные случайности доставания могли остаться неустранёнными.

Но если есть основания полагать, что условия вынимания шаров были достаточно разнообразны, так что случайности оказались устранёнными, если число доставаний было достаточно велико по отношению ко всему числу шаров, то ход умозаключения остаётся тот же, что и в задаче с прежними условиями. Ход этот состоит в перенесении сравнительного значения предикатов (в данном случае — различных цветов), установленного для наблюдавшихся шаров, т. е. только для части всего их количества, на всю совокупность шаров в ящике. Перенесение это возможно без составления особых предположений о возможных случаях распределения шаров в ящике и без определения вероятности этих случаев. Оно возможно, так как многочисленность случаев доставания и их условия, устраняющие влияние случайностей на заключение вывода, составляют достаточную основу для убеждения, что, например, преобладание среди извлечённых шаров некоторого определённого цвета обусловлено не случайностями, благоприятствовавшими доставанию шаров именно этого цвета, но только характером самой группы или значением, какое этот цвет имеет в группе.

Таким образом, и при решении вопроса о сравнительном числе предметов каждой группы и о том, какая группа преобладает, так же как и при решении вопроса о предикате того предмета, который будет вынут, ход умозаключения, несмотря на все изменения, возникающие в результате изменения условий задачи, остаётся всё же одним и тем те. Это — индуктивное умозаключение через исключение случайных обстоятельств.

§ 21. Мы познакомились с логическим строением и с логическим основанием выводов о вероятности. Мы не нашли в них никаких форм умозаключения, которые давали бы основание выделить выводы о вероятности из уже известной нам группы выводов неполной индукции. Что касается выводов математической вероятности, то и они оказались выводами, подходящими под признаки уже известных нам умозаключений, состоящих в переносе сложного определения группы на отдельный предмет.

Теперь мы можем приступить к вопросу о том, каким образом определяется вероятность выводов бэконовской индукции. Нетрудно убедиться, что способы этого определения, вообще говоря, не будут отличаться от способов определения вероятности индуктивных умозаключений других видов.

И действительно, при определении научной доказательности методов бэконовской индукции решению подлежат, как и в случае других индуктивных выводов, два вопроса: 1) насколько применённый метод по самой своей логической форме способствует исключению случайностей и 2) возможно ли в условиях данного исследования повторение опыта настолько частое и многочисленное, чтобы частота эта в соединении с разнообразием условий, исключающих случайности, повышала степень вероятности вывода.

§ 22. Рассмотрим с этой точки зрения метод сходства. Мы уже знаем, что согласно схеме этого метода сравниваются случаи, характеризующиеся тем, что 1) во всех этих случаях явление, причина которого должна быть установлена, всегда наступает; 2) все обстоятельства, предшествующие наступлению явления, в каждом случае различны, кроме одного единственного, которое во всех случаях остаётся одним и тем же.

Совершенно очевидно, что вероятность заключения, получающегося по этому методу, зависит, во-первых, от того, насколько разнообразны и многочисленны обстоятельства, различные во всех случаях. Сравним два примера применения метода сходства:

Нетрудно убедиться в том, что вероятность вывода во втором примере — более высокая, чем в первом. В первом примере, так же как и во втором, умозаключение состоит в исключении всех обстоятельств, которые не могут быть признаны возможной причиной явления а. Но основание для такого исключения во втором примере более веское.

В самом деле, в первом примере вывод был сделан на основании анализа только двух случаев. В результате этой ограниченности числа случаев разнообразие обстоятельств, которыми первый случай отличается от второго (В, С, D, Е), в первом примере гораздо меньше, чем во втором, где вывод сделан на основании анализа шести случаев и где обстоятельств, которыми каждый случай отличается от всех остальных, гораздо больше (В, С, D, Е, F, G, Н, I, К, L, М, N).

И в первом и во втором примере не исключается возможность того, что причиной явления а окажется не обстоятельство А, единственно сходное во всех случаях, но в каждом из этих случаев какое-либо другое обстоятельство. Однако предполагать, будто в каждом случае причиной явления а оказывается не обстоятельство А, но какое-либо другое обстоятельство, во втором примере гораздо труднее, чем в первом.

Уже в первом примере предположение, будто причиной а является в первом случае В, а во втором D, представляется гораздо менее вероятным, чем предположение, что такой причиной является А. Если А не есть причина а, то и в первом и во втором случае А предшествовало явлению а совершенно случайно. Но предполагать это значит допустить, будто случайно предшествующее явлению а обстоятельство А так же часто предшествует ему, как часто предшествуют ему его настоящие причины — В и D, вместе взятые.

Мало вероятное уже в первом примере, где случаев всего два, а различных для каждого случая обстоятельств — четыре, предположение это представляется ещё менее вероятным во втором примере, где случаев уже шесть, а различных обстоятельств — двенадцать. Предполагать при этих условиях, будто во всех шести случаях обстоятельство А предшествует явлению а совершенно случайно и притом так же часто, как часто предшествуют ему все возможные его причины, вместе взятые, значит явно итти наперекор вероятности.

Увеличение числа рассматриваемых случаев повышает вероятность вывода не только потому, что делает мало вероятным случайный характер появления А каждый раз, когда появляется а. Вероятность вывода, указывающего на А как на причину явления а, повышается ещё и потому, что с умножением числа случаев, а также с увеличением разнообразия предшествующих обстоятельств всё менее вероятным становится объяснение появления а из множественности причин. Пока случаев было только два, предположение, будто причина явления а в первом случае есть обстоятельство В, а во втором D, само по себе взятое, не заключает в себе ничего невозможного или удивитель- ного. Но если случаев, как в нашем втором примере, шесть и если все обстоятельства каждого случая вполне различны; кроме одного А, в котором предполагают лишь случайно предшествовавшее обстоятельство, то при этих условиях предполагать, будто в каждом из шести случаев явление а вызывается всякий раз какой-то новой, отличной от всех других причиной, можно лишь с большой натяжкой. Чем больше число случаев и чем разнообразнее предшествующие обстоятельства, тем менее вероятно подобное предположение, тем больше данных в пользу мысли, что причину явления а следует видеть не в многочисленных, от случая к случаю меняющихся обстоятельствах В, С, D, Е, F, G и т. д., а в том обстоятельстве А, которое одно было налицо во всех случаях, когда появлялось а.

§ 23. Значение, какое для обоснования вывода имеет разнообразие многочисленных обстоятельств каждого случая при постоянстве и сходстве одного единственного обстоятельства, повторяющегося во всех случаях наступления явления, ясно обрисовывается и в выводах по методу сопутствующих изменений. Чем разнообразнее в каждом случае обстоятельства, остающиеся неизменными, тем выше вероятность заключения, согласно которому причина изменений в интенсивности явления — не те обстоятельства, которые во всех случаях оставались неизменёнными, а то обстоятельство А, которое в каждом случае оказывалось изменившимся. Чем разнообразнее изготовляются в каждом отдельном случае маятники, имеющие одинаковую длину стержня, тем вероятнее вывод, что причина наблюдающегося во всех случаях равенства периода колебаний — не в веществе маятников, а только в одинаковой длине их стержней.

§ 24. В выводах по методу единственного различия сама схема метода уменьшает возможное влияние случайностей на заключение вывода. При выводах по этому методу уменьшается возможность заключения, опирающегося на возможную множественность причин. Так как при отсутствии А явление а также отсутствовало, а с введением А, напротив, немедленно появилось, и так как все прочие обстоятельства были одни и те же и в том случае, когда а наступило, и в том, когда оно не наступило, то предполагать в одном из этих сходных обстоятельств причину а, очевидно, невозможно. Здесь в крайнем случае возможно лишь предположение, что А есть не вся причина явления а, но лишь одно из условий полной причины этого явления:

И действительно, здесь возможно предположение, что причина явления а — не одно лишь обстоятельство А, но соединение А, например, с В. И при этом предположении понятно, почему в первом случае а не наступило: отсутствовала та часть А причины АВ, без которой совокупность условий не может быть полной. Возможность сложного состава причины исследуемого явления постоянно имеется в науке. Обычно действие наступает как результат не одного единственного, а целой суммы обстоятельств, так как только присутствие всех этих обстоятельств делает возможным начало действия.

§ 25. Возможны случаи, когда в состав причины входит и такое обстоятельство или такой элемент события, которые, не вызывая непосредственно никаких изменений в исследуемом явлении, всё же должны быть необходимо налицо для того, чтобы изменения эти наступили.

К составу цричины в этом смысле принадлежат, например, так называемые ферменты. Этим именем обозначают вещества, которые сами не принимают непосредственного участия в важных для организма процессах и реакциях, но без которых эти процессы не могут совершаться. Так, семена горчицы не могли бы быть причиной острого запаха и вкуса, если бы в них не было фермента мирозина. Фермент этот при содействии воды разлагает находящуюся в этих семенах соль мироновой кислоты и выделяет из неё острое летучее горчичное масло.

§ 26. Так как в выводах по методу единственного различия явление наступает только в одном из двух сравниваемых случаев, а именно, когда, кроме всех прочих обстоятельств, в состав случая входит ещё обстоятельство А, то исключение всех прочих обстоятельств как неспособных быть причиной а в этих выводах оказывается гораздо более обоснованным, чем в выводах по методу сходства. При методе сходства возможность множественности причин настолько велика, что там, где число сравниваемых случаев невелико, с ней приходится всегда считаться.

Напротив, при методе различия все прочие обстоятельства, кроме А, сразу отпадают уже в самом начале исследования. При прочих равных условиях каждое из этих обстоятельств (В, С, D, Е) может быть в крайнем случае не полной причиной (как это всегда возможно в случае метода сходства), но лишь частью полной причины. Другой её частью во всяком случае всегда будет А.

Неуверенность в научной ценности выводов, получаемых по методу различия, состоит в неокончательности достигаемого посредством него ответа на поставленный вопрос о причинной связи. Что А должно быть по крайней мере частью причины а, — в этом метод различия нас удостоверяет с полной несомненностью. Но метод этот оставляет открытыми два вопроса. Первый из них, как мы только что убедились, есть вопрос, не является ли А только частью полной причины а. Второй вопрос, остающийся открытым при выводах по методу различия, есть вопрос о том, является ли А (в случае, если причиной не может быть признано ни одно из прочих обстоятельств) причиной как целое, во всём своём составе, или же такой причиной должна быть признана какая-либо часть или какие-либо части А: α, β, γ, δ и т. д.

Если бы оказалось, что причина а — не весь состав А, но лишь какие-либо части этого состава, то первоначальный вывод, состоявший в признании причиной а обстоятельства А, может быть всего лишь предварительным. В этом случае вывод, правда, очерчивает область фактов и обстоятельств, среди которых мы должны искать причину а, но не даёт точного ответа на тот вопрос, для которого он предназначался. Ответ этот может дать только дальнейшее исследование. В ходе этого исследования не исключена даже и та возможность, что причиной а окажется не одна лишь α, или β, или γ, но в одном случае — одна из них, в другом — другая, в третьем — третья и т. д. Иначе говоря, в случае метода различия исключение множественности причин, выгодно отличающее метод различия от метода сходства, не является всё же безусловным. Область, внутри которой может проявиться множественность причин, в случае метода различия сильно суживается. Она ограничивается теми обстоятельствами, из которых слагается сложный состав обстоятельства А. Но и ограниченная, множественность причин остаётся возможной и в этом случае.

Отсюда понятно, почему, несмотря на более высокую вероятность выводов по методу различия сравнительно с выводами по методу сходства, метод различия даёт всё же лишь вероятное, но не безусловно достоверное знание.

§ 27. Степень вероятности вывода ещё более повышается при соединении метода сходства с методом различия. Уже в отдельном своём применении метод сходства даёт вероятное заключение о том, что причина явления а есть обстоятельство А. Однако при этом не исключена, как мы знаем, и та возможность, что А только присутствует во всех случаях возникновения а и что причина а — В, или С, или D, или Е.

Но если, показав по методу сходства вероятность того, что причина явления а есть обстоятельство А, мы затем покажем — по методу различия, — что при отсутствии А явление а не наступает, мы, очевидно, сделаем наше заключение ещё более вероятным. И действительно, при таком соединении обоих методов мы не только видим, что явление авсегда наступает во всех случаях, когда существует обстоятельство А, но вместе с тем видим, что явление а не имеет места ни в одном случае, когда А отсутствует.

При таком соединении обоих методов вероятность того, что причиной а окажется не А, но, например, В, или С, или D, или Е, — значительно меньшая, чем при выводе по одному лишь методу сходства. Здесь уже исключается возможность, что полной причиной а могут быть В, С, D, Е. Так как при наличии ВС (а также при наличии DE) явление а не наступило, то В, С, D и Е могут в крайнем случае быть каждое лишь частью составной причины, другой частью которой во всяком случае необходимо будет А.

Наконец, вероятность вывода по соединённому методу сходства и различия становится ещё более высокой, когда число случаев применения метода сходства и случаев применения метода различия, соединяемых вместе в один составной метод, возрастает.