Локальную вычислительную сеть-сделай сам. О супе домашнем замолвим мы слово...("Сделай сам" №3∙2004)

Исчезновение фигур

Ю.Н.Новожилов

Существуют интересные геометрические парадоксы. Они начинаются с разрезания рисунка на куски и заканчиваются составлением из этих кусков новой фигуры. При этом создается впечатление, что часть элементов, изображенных на первоначальном рисунке, бесследно исчезает. Когда же куски рисунка возвращаются на свои первоначальные места, исчезнувшие элементы таинственным образом возникают вновь. Все такие парадоксы основаны на одном и том же принципе скрытого перераспределения.

Такие рисунки могут представить интерес как для взрослых, так и для детей. Самый простой из них, доступный к выполнению каждым, — это ряд одинаковых, параллельных, вертикальных линий (рис. 1).

Рис. 1. Исчезновение линий

Для обеспечения максимального эффекта эти линии должны иметь одинаковую длину и толщину, а промежутки между ними должны быть строго одинаковыми. Разметку этих линий удобно выполнить с помощью линейки или рейсшины и треугольника.

Число линий может быть, например 10, их длина 60 мм, а расстояния между линиями 10–15 мм. Могут эти размеры быть больше, например, для демонстрации эффекта исчезновения сразу несколькими лицам.

Для большей четкости линии можно вычертить мягким карандашом или фломастером на плотной бумаге или тонком картоне.

Пунктиром проводят диагональ через концы крайних линий, как показано на рис. 1.

Разрезаем прямоугольник по пунктирной линии и сдвигаем нижнюю часть вниз и влево на величину расстояния между двумя вертикальными линиями, как показано на рис. 2.

Рис. 2. Исчезновение линий

После этого, сосчитав число вертикальных линий, обнаруживаем, что число их стало не 10, а 9.

Какая линия исчезла и куда она делась?

Передвинув нижнюю часть в прежнее положение, обнаруживаем, что исчезнувшая линия появилась вновь. Но какая линия стала на свое место и откуда она взялась?

Сначала эти вопросы кажутся загадочными. Происходит же здесь следующее: восемь из десяти вертикальных линий разрезаются по пунктирной линии на два отрезка и полученные шестнадцать отрезков «перераспределяются», образуя (вместе с двумя незатронутыми вертикальными линиями) девять линий, каждая из которых чуточку длиннее первоначальных. Так как приращение длины каждой линии весьма невелико, оно не сразу обнаруживается.

В действительности же суммарная величина этих приращений в точности равна длине каждой из первоначальных линий.

Этот кажущийся парадокс с числом линий доступен для исполнения и детям, и взрослым. Причем размеры линий, их число и расстояния между ними могут быть приняты и другие.

Однако парадокс с исчезновением элементов рисунка можно сделать еще более интересным и занимательным. Этого можно, например, достигнуть, заменив исчезновение и появление линий таким же исчезновением и появлением плоских фигур на рисунке.

На рис 3 изображен ряд лиц в шляпах. Линия разреза этого рисунка обозначена пунктиром А-А.

Рис. 3. Исчезающее лицо

При сдвиге нижней полосы на верхней части рисунка влево, все шляпы остаются незатронутыми, однако одно лицо полностью исчезает (смотри нижнюю часть рисунка). Бессмысленно спрашивать, какое именно лицо, так как при сдвиге нижней полосы рисунка четыре лица разделяются на две части. Эти части затем перераспределяются, причем каждое лицо получает несколько добавочных черт: одно, например, более длинный нос, другое — более вытянутый подбородок и т. д. Однако эти маленькие перераспределения остроумно скрыты, а исчезновение всего лица, конечно, поражает гораздо сильнее, чем исчезновение кусочка линии.

В этой головоломке парадоксу с линиями придана круговая форма и прямолинейные отрезки заменены фигурами 13 воинов (рис. 4).

Рис. 4. Исчезающий воин

Большая стрела указывает при этом на северо-восток (СВ) — условно, конечно.

Если же рисунок разрезать по окружности изображенного глобуса, а затем внутреннюю часть начать поворачивать против часовой стрелки, то фигуры воинов сначала разделятся на части, затем соединятся вновь, но уже по-иному, и когда большая стрелка укажет на северо-запад (СЗ), на рисунке будет 12 воинов (рис. 5).

Рис. 5. Исчезающий воин

При вращении круга в обратном направлении до положения, когда большая стрелка встанет опять на СВ, исчезнувший воин появится вновь.

Если рис. 4 рассмотреть повнимательнее, то можно заметить, что два воина в левой нижней части рисунка расположены по-особенному: они находятся друг против друга, тогда как все остальные размещены цепочкой. Эти две фигуры соответствуют крайним линиям в парадоксе с отрезками. Исходя из требований рисунка, у каждой из этих фигур должна отсутствовать часть ноги, и чтобы в повернутом положении круга этот недостаток был менее заметен, лучше было изобразить их рядом.

Вращая круг далее, можно получить четырнадцать, пятнадцать и т. д. воинов, однако с увеличением их числа становится все более явственным, что каждая из фигур сильно тощает, давая материал для других фигур воинов.

Обметим еще, что воины изображены на рисунке с гораздо большей изобретательностью, чем это может показаться с первого взгляда. Так, например, чтобы фигуры оставались в вертикальном положении во всех местах глобуса, нужно в одном случае иметь вместо левой ноги правую, а в другом, наоборот, — вместо правой ноги левую.

Парадокс вертикальных линий можно, очевидно, показывать и на более сложных объектах, например на человеческих лицах, фигурах животных и т. д. На рис. 6 показан еще один вариант этого парадокса.

Рис. 6. Исчезающий кролик

Когда после разрезания рисунка по толстой линии меняют местами прямоугольники А и Б, один из кроликов исчезает, оставляя вместо себя пасхальное яйцо.

Как видно, на первоначальном рис. 6 изображено 11 кроликов, после перестановки прямоугольников А и Б кроликов на рисунке стало 10. А если вместо перестановки прямоугольников А и Б разрезать правую половину первоначального рисунка по пунктирной линии и поменять местами правые части, то число кроликов увеличится до 12, однако при этом один кролик теряет уши и появляются другие смешные детали.

Вот какие интересные и парадоксальные игрушки можно сделать из простого листа бумаги, проявив умение и аккуратность.

_{Литература}

_{Мартин Гарднер. Математические чудеса и тайны. Сокращенный перевод с английского В..C. Бермана. — М.: Наука, 1967.}