Большая Советская Энциклопедия (ЧЕ)

Чебышева многочлены

Чебыше'ва многочле'ны,

1) Ч. м. 1-го рода — специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:

В частности, Т₀ = 1; T ₁ = х ; T₂ = 2x ² ¾1; T₃ = 4x ³ ¾ 3x ; T₄ = 8x⁴ ¾ 8x ² + 1. Ч. м. T_n (x ) ортогональны (см. Ортогональные многочлены ) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x ² )^¾1/2 . Дифференциальное уравнение:

(1 — x ² ) у" — ху + n ² у = 0.

Рекуррентная формула: T_{n+ 1} (x ) = 2xTn (х ) - T_{n ¾1} (x ).

Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов P_n ^{( ab)} (x ):

.

2) Ч. м. 2-го рода U_n (x ) — ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x ² )^1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 — x ² ) U_{n ¾1} (х ) = xTn (х ) ¾ T_{n+ 1} (х ).

Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.