Чебышева многочлены

Чебыше'ва многочле'ны,

1) Ч. м. 1-го рода — специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:

В частности, Т0 = 1; T 1 = х ; T2 = 2x 2 ¾1; T3 = 4x 3 ¾ 3x ; T4 = 8x4 ¾ 8x 2 + 1. Ч. м. Tn (x ) ортогональны (см. Ортогональные многочлены ) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x 2 )¾1/2 . Дифференциальное уравнение:

(1 — x 2 ) у"ху + n 2 у = 0.

Рекуррентная формула: Tn+ 1 (x ) = 2xTn (х ) - Tn ¾1 (x ).

Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов Pn ( ab) (x ):

.

2) Ч. м. 2-го рода Un (x ) ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x 2 )1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 — x 2 ) Un ¾1 (х ) = xTn (х ) ¾ Tn+ 1 (х ).

Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.

Загрузка...