Большая Советская Энциклопедия (ИН)

Интерполяционные формулы

Интерполяцио'нные фо'рмулы, формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x ) при помощи интерполяции , т. е. через интерполяционный многочлен Р_n (х ) степени n , значения которого в заданных точках x ₀ , x ₁ , ..., х_n совпадают со значениями y ₀ , y ₁ , ..., у_n функции f в этих точках. Многочлен Р_n (х ) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

1. Интерполяционная формула Лагранжа:

Ошибка, совершенная при замене функции f (x ) выражением P_n (x ), не превышает по абсолютной величине

где М — максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f ^{n +1} (x ) функции f (x ) на отрезке [x ₀ , x_n ].

2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x ₀ , x ₁ , ..., x_n расположены на равных расстояниях (x_k = x ₀ + kh ), многочлен P_n (x ) можно записать так:

(здесь x₀ + th = х , а D^k — разности k -го порядка: D^k y_i = D^{k — 1} y_{i +1} — D^{k — 1} y_i ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x ₀ . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х , близких к x ₀ . При интерполировании функций для значений х , близких к наибольшему узлу х_n , употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x , близких к x_k , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление ). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

3. Интерполяционная формула Стирлинга:

(о значении символа m и связи центральных разностей d^m с разностями D^m см. ст. Конечных разностей исчисление ) применяется при интерполировании функций для значений х , близких к одному из средних узлов а ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов х _{— k} , ..., х _{— 1} , x ₀ , x ₁ , ..., x_n , считая а центральным узлом x ₀ .

4. Интерполяционная формула Бесселя:

применяется при интерполировании функций для значений х , близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х _—k , ..., х _—1 , x ₀ , x ₁ ,..., x_k , x_{k + 1} , и располагать их симметрично относительно a (x ₀ < а < x ₁ ).

Лит. см. при ст. Интерполяция .

В. Н. Битюцков.