Большая Советская Энциклопедия (МИ)

Минковского пространство

Минко'вского простра'нство, четырёхмерное пространство, объединяющее физическое трёхмерное пространство и время; введено Г. Минковским в 1907—1908. Точки в М. п. соответствуют «событиям» специальной теории относительности (см. Относительности теория ).

Положение события в М. п. задаётся четырьмя координатами — тремя пространственными и одной временной. Обычно используются координаты x₁ = х, x₂ = у, х₃ = z , где х, у, z — прямоугольные декартовы координаты события в некоторой инерциальной системе отсчёта, и координата x₀ = ct , где t — время события, с — скорость света. Вместо xo можно ввести мнимую временную координату x₄ = ix₀ = ict.

Из специальной теории относительности следует, что пространство и время не независимы: при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой пространственные координаты и время преобразуются друг через друга посредством Лоренца преобразований . Введение М. п. позволяет представить преобразования Лоренца как преобразование координат события x₁ , x₂ , x₃ , x₄ при поворотах четырёхмерной системы координат в этом пространстве.

Основной инвариант М. п. — квадрат длины четырёхмерного вектора, соединяющего две точки — события, не меняющийся при вращениях в М. п. и равный по величине (но противоположный по знаку) квадрату четырёхмерного интервала (s² _AB ) специальной теории относительности:

(x _1A — x _1B ) ² + (х _2А — x _2B ) ² + (x _3A — x _3B ) ² + (x _4A — x _4B ) ² = (x_A — x_B ) ² + (у_А — y_B ) ² + (z_A — z_B ) ² — c ² (t_A — t_B ) ² = -s ² _AB

(индексами А и В отмечены пространственные координаты и время событий А и В соответственно). Своеобразие геометрии М. п. определяется тем, что это выражение содержит квадраты составляющих четырёхмерного вектора на временную и пространственные оси с разными знаками (такая геометрия называется псевдоевклидовой, в отличие от евклидовой геометрии , в которой квадрат расстояния между точками определяется суммой квадратов составляющих вектора, соединяющего точки, на соответствующие оси). Вследствие этого четырёхмерный вектор с отличными от нуля составляющими может иметь нулевую длину; это имеет место для вектора, соединяющего два события, связанных световым сигналом:

(x_A — x_B ) ² + (у_А — у_В ) ² + (z_A — z_B ) ² = c ² (t_A — t_B ) ² .

Геометрия М. п. позволяет наглядно интерпретировать кинематические эффекты специальной теории относительности (изменение длин и скорости течения времени при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой и т. д.) и лежит в основе современного математического аппарата теории относительности.

Г. А. Зисман.