Большая Советская энциклопедия (Пр)

Приближённые формулы

Приближённые фо'рмулы, математические формулы, получаемые из формул вида f (x ) = f* (x ) + e(х ), где e(х ) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид f (x ) » f* (x ).

Например, П. ф. (1 + х )² » 1 + 2x получается из точной формулы для (1 + х )² при малых |x |; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если |x | соответственно не больше 0,0707..., 0,0223..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем х ближе к 0. Но так бывает не всегда. Например, точность П. ф. tg тем больше, чем х ближе к p/2.

Выше (стр. 555) приведено несколько наиболее употребительных П. ф., причём показано, какого числа не должно превосходить |x |, чтобы формула давала k точных десятичных знаков.

Часто П. ф. получают с помощью разложения функций в ряды, например в ряд Тейлора. Чтобы уверенно применять П. ф., необходимо иметь оценку разности между точным и приближённым выражениями функции. Зная, например, что разность между sinx и двучленом не превосходит по абсолютному значению , легко убедиться, что П. ф. даёт значения sinx с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если х соответственно меньше 0,89 (51°), 0,55 (32°), 0,34 (20°).