Большая Советская энциклопедия (Пр)

Производящая функция

Производя'щая фу'нкция последовательности f ₀ , f ₁ ..., f_n ... функция

(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t ¹ 0). П. ф. называют также генератрисой. Последовательность f ₀ , f ₁ ..., f_n ... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае П. ф. зависит не только от t , но и от аргументов функций f_n . Например, если f_n = aqⁿ где а и q — постоянные, то П. ф.

если f_n — Фибоначчи числа ; f ₀ = 0, f ₁ = 1, f _n+2 = f _n+1 + f _n , то П. ф.

если f _n = Т _n (х ) — Чебышева многочлены : T ₀ (х ) = 1, T _n (х ) = cos (n arc cos x ), то П. ф.

и т.д. Знание П. ф. последовательности часто облегчает изучение свойств последней. П. ф. применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод П. ф. был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949.