Большая Советская энциклопедия (Пр)

Прикосновения преобразования

Прикоснове'ния преобразова'ния, касательные, или контактные, преобразования, преобразования кривых на плоскости, при которых две касающиеся друг друга кривые преобразуются в две другие кривые, также касающиеся друг друга. П. п. определяются формулами:

X = f (х, у, у' ); Y = j (х, у, у' ), (*)

где х, у — координаты переменной точки кривой, a X, Y — координаты переменной точки её образа. Для того чтобы формула (* ) определяла П. п., Y' = dY/dX должно быть независимо от у’’ = d² y/dx² . Примером П. п. могут служить точечные преобразования, определяемые формулами: X = f (x, y ); Y = j(x, y ), а также Лежандра преобразование .

П. п. применяются в теории дифференциальных уравнений и в дифференциальной геометрии. Общая теория П. п. была развита С. Ли . Аналогичным образом определяются П. п. поверхностей в пространстве.

Лит.: Гурса Э., Курс математического анализа, пер. с франц., 3 изд., т. 1, М. — Л., 1936; Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. — Л., 1947.