Большая Советская Энциклопедия (РА)

Рауса-Гурвица проблема

Ра'уса — Гу'рвица пробле'ма, проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения

a₀zⁿ + a₁z^n-1 + ... + a_n-1z + a_n = 0,

имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n справедлива формула

(1)

где V — число знакоперемен в ряде чисел a₀, D₁, , ..., а D_l (l = 1, 2, ..., n — определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из D_l равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. — Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину

a₀(iw) ⁿ + a₁(iw) ^n-1... + a_n,

при изменении w от 0 до + ¥ описывает кривую. Если при этом полярный угол q точки кривой получает приращение

Dq = n, то

k = (n — n)/2. (2)

Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует n = n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).

В приложениях встречаются обобщения Р. — Г. п. на случай комплексных коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n и на случай трансцендентных уравнений.