Дихронавты

Окружающая нас четырехмерная Вселенная содержит три измерения пространства и одно измерение времени. Но каково было бы жить в мире, где эти роли распределены поровну – так что и пространство, и время содержат ровно по две размерности?

Может показаться, что при наличии двух размерностей времени история любых частиц и существ перестанет быть линейной и приобретет некий плоскостный аспект. В действительности же нет никаких причин, которые бы мешали телам двигаться по одномерным мировым линиям, подобно тому, как это имеет место в нашей Вселенной. Разница, проистекающая из двумерного характера времени, состоит в том, что теперь через заданную точку пространства могут проходить новые, запрещенные в нашей Вселенной, мировые линии.

Стоит нам выбрать конкретную мировую линию в качестве нашей индивидуальной линии времени, как оказывается, что перпендикулярное ей трехмерное пространство подчиняется довольно своеобразной геометрии, где роль, отведенную в нашей Вселенной окружностям и сферам, играют гиперболы и гиперболоиды, свет может двигаться лишь в строго определенных направлениях, а некоторые реки текут вверх. И это лишь некоторые из странных явлений, которые можно обнаружить в мире «Дихронавтов».

Мировые линии в пространстве «Дихронавтов»

Мировая линия – это кривая, которую с течением времени образуют координаты тела, принимаемого за идеализированную материальную точку. Точки самой мировой линии, однако же, отражают не только положение тела в пространстве, а описываются четырьмя координатами – включая момент времени, к которому тело достигает местоположения, заданного остальными тремя числами. Представить нечто подобное в четырех измерениях непросто, но если мы уберем одно из пространственных измерений, то сможем без труда изобразить мировые линии в получившемся трехмерном пространстве, как показано на следующем рисунке.

Время на таких пространственно-временных диаграммах обычно изображается в виде вертикальной оси. Таким образом, мировая линия неподвижного объекта будет иметь вид вертикальной прямой, в то время как для объекта, находящегося в состоянии равномерного и прямолинейного движения эта прямая будет отклоняться от вертикали под некоторым углом, а положение объекта при перемещении вверх по мировой линии – т. е. вперед во времени – будет меняться с постоянной скоростью.

Ведя речь о геометрии пространства-времени, единицы измерения зачастую выбирают так, чтобы скорость света в точности равнялась 1; к примеру, мы могли бы измерять время в годах, в расстояние – в световых годах. Если изобразить пространственно-временную диаграмму с учетом такой системы единиц, то окажется, что мировая линия тела, движущегося со скоростью света, будет всегда располагаться под углом 45⁰ к вертикали. На рисунке выше этот предел отмечен световым конусом. А поскольку обычные тела всегда движутся с досветовой скоростью, именно внутри светового конуса и должны находиться разрешенные мировые линии.

Условие нахождения внутри светового конуса можно выразить через четверку координат (x,y,z,t), характеризующих произвольную точку мировой линии. Поскольку x²+y²+z²есть не что иное, как квадрат полного пространственного расстояния от начала координат (в силу трехмерного аналога теоремы Пифагора), то в случае тела, движущегося с досветовой скоростью (которая при нашем выборе единиц равна 1), величина x²+y²+z²должна быть меньше квадрата прошедшего времени, t². В математической записи:

Слегка переставив слагаемые, мы можем привести это неравенство к виду:

Каждая из пространственных координат x, y, z входит в это неравенство со знаком плюс, в то время как перед единственной координатой времени t стоит знак минус. Таким образом, при переходе во вселенную с двумя измерениями пространства x, y и двумя измерениями времени t, u следует ожидать, что в аналогичном выражении будет два знака плюс и два знака минус:

Опустив одну из пространственных координат, y, допустимые мировые линии во вселенной «Дихронавтов» можно изобразить на трехмерном рисунке (см. ниже). В данном случае мировые линии не заключены внутри конуса с осью t, а находятся вне конуса с осью x. (Эта картина была бы полной, если бы речь шла о вселенной с единственной размерностью пространства, однако нам следует помнить о том, что в действительности у пространства есть и второе, не показанное на рисунке, измерение y. В четырех измерениях между разрешенными и запрещенными областями мировых линий имеет место идеальная симметрия.)

Так или иначе, приведенная выше диаграмма ясно показывает нам, что если мировые линии тел, движущихся вдоль оси x, по-прежнему не могут быть наклонены к оси t под углом больше 45⁰, то в случае тел, движущихся вдоль оси u, этот угол ничем не ограничен. Другими словами, в направлении оси u предела скоростей не существует! То же самое будет верно и для любого другого направления, расположенного ближе к u, чем к x.

Таким образом, понятие истории объекта как линейной последовательности событий – иначе говоря, его мировой линии – имеет смысл и во вселенной с двумя измерениями времени. Главное отличие касается тел, движущихся с большими скоростями, – знакомый нам верхний предел скоростей теперь действует далеко не во всех направлениях, что, в свою очередь, расширяет множество разрешенных мировых линий.

Геометрия и повороты в пространстве «Дихронавтов»

Хотя разнообразие мировых линий играет важную роль для тел, движущихся со сверхвысокими скоростями, скорость большинства предметов, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, составляет лишь крошечную долю скорости света. По сути это означает, что все подобные объекты, как и мы сами, обладают практически параллельными мировыми линиями. Мы можем принять направление вдоль нашей собственной мировой линии за пространственно-временную ось времени, и другие люди – мировые линии которых почти параллельны нашей собственной – будут в общем и целом согласны с таким выбором.

После того, как одно из направлений выбрано в качестве оси времени, все перпендикулярные ему прямые будут восприниматься как направления в пространстве. В нашей Вселенной мы получаем три пространственных измерения с абсолютно одинаковым поведением – между x, y и z нет никаких фундаментальных отличий.

Если же мы зафиксируем переменную t в качестве оси времени во вселенной «Дихронавтов», то в итоге получим набор из трех «пространственных измерений» x, y, u, между которыми существует принципиальное разница, ведь u, в отличие от x и y, представляет собой направление, вдоль которого может двигаться потенциальная мировая линия. А значит, несмотря на то, что пространство «Дихронавтов» также включает в себя три измерения, ожидать, что его геометрия будет совпадать с привычной нам геометрией евклидова пространства, нельзя.

Правило, которому мы следовали выше, переходя от формулы, описывающей разрешенные мировые линии в нашей Вселенной, к аналогичной формуле для мира «Дихронавтов», заключалось в замене z² на u². В евклидовом пространстве x²+y²+z² есть не что иное, как квадрат расстояния между началом координат и точкой (x,y,z). Это дает нам основание предположить, что в трехмерном пространстве с двумя «пространственноподобными» измерениями x, y и одним «времениподобным» измерением u величина x² + y² — u² будет каким-то образом описывать расстояние между началом координат и точкой (x, y, u).

Если величина x² + y² — u² положительна, мы можем трактовать ее как квадрат расстояния от начала координат. Но как быть, если она отрицательна? В этом случае нам придется использовать в качестве расстояния квадратный корень противоположной величины, u² — x² — y².

Это может показаться странным, но вывод, сделанный в предыдущем абзаце, по сути говорит нам о том, что в данной геометрии существует два принципиально разных вида «расстояний» – те, для которых x² + y² — u² положительно, и те, для которых эта величина отрицательна. Впрочем, особого сюрприза в этом нет, поскольку именно расстояния второго рода наблюдаются при движении вдоль потенциальной мировой линии. Хотя наш выбор координат закрепляет направление мировой линии за переменной t, а большая часть окружающих людей и предметов, согласно нашему допущению, характеризуются мировыми линиями, сориентированными примерно в одном и том же направлении, сам факт, что некоторые из «пространственных» направлений – перпендикулярных оси t – могут выступать в качестве направлений мировых линий, в то время как другие – нет, уже оказывается достаточным для того, чтобы свойства векторов, относящихся к этим двум видам, качественно отличались друг от друга.

Собственно говоря, есть и третий случай – направления, для которых x² + y² — u² в точности равно нулю. В евклидовом пространстве x² + y² + z² обращается в нуль только при условии, что нулю равны и x, и y, и z – то есть лишь в начале координат (0, 0, 0). Выражение x² + y² — u², с другой стороны, обращается в нуль на поверхности целого конуса.

На рисунке ниже изображены все три типа поверхностей, точки которых равноудалены от начала координат. Красная, похожая на песочные часы, поверхность, соответствует положительным значениям . Две зеленых, чашеобразных поверхности описывают случай x² + y² — u² < 0. А пара расположенных между ними синих конусов служат решением уравнения x² + y² — u² = 0. (Поскольку все три поверхности полупрозрачны, конусы выглядят синими только в тех местах, где на них не накладываются другие поверхности.)

В математике красную поверхность принято называть однополостным гиперболоидом, а пару зеленых поверхностей – соответственно двуполостным гиперболоидом.

Описав новый способ измерения расстояний в нашей геометрии, можно задаться вопросом: что именно, с практической точки зрения, означает утверждение о равноудаленности точек каждой из этих поверхностей от начала координат. Говоря о вращении какого-либо предмета – раскручивании шара, взмахе палкой и вообще о повороте произвольного твердого тела – мы имеем в виду, что почти все точки затронутого предмета меняют свое положение, при том, что расстояния между этими точками остаются неизменными. Другими словами, объект при движении сохраняет жесткость – не сжимается и не растягивается.

Если мы взмахнем палкой, которая зафиксирована с одной стороны, то ее свободный конец всегда будет лежат на поверхности, равноудаленной от неподвижной точки – и в случае геометрии Евклида имеющей форму сферы. Таким образом, новые поверхности показывают нам, где мог бы оказаться свободный конец палки, если бы мы попытались проделать то же самое в геометрии «Дихронавтов».

Когда мы делаем взмах в пространстве «Дихронавтов», длина палки (по определению) остается постоянной, однако ее протяженность в конкретном направлении может расти без каких-либо ограничений! Например, если палка изначально имеет длину 5 и расположена вдоль оси u, мы можем повернуть ее так, чтобы свободный конец оказался в точке x=12, y=0, u=13, поскольку и в том, и в другом случае x² + y² — u² = -25. Если палка изначально имеет длину 5 и параллельна оси x, то мы аналогичным образом можем привести ее свободный конец в положение x=0, y=13, u=12, поскольку x² + y² — u² в обоих случаях равно 25. Но несмотря на то, что отдельные координаты могут принимать сколь угодно большие значения, связывающее их соотношение не позволяет повернуть первую палку так, чтобы ее положение совпало с одним из возможных положений второй, и наоборот.

При повороте тела в двух измерениях его поведение будет зависеть от того, являются ли оба измерения «пространственноподобными», как, например, x и y, или же парой «пространственноподобного» и «времениподобного» – как x и u. В первом случае результат будет выглядеть точно так же, как поворот в евклидовом прстранстве. Во втором – линии, равноудаленные от центра вращения будут иметь форму не окружностей, а гипербол, и протяженность тела вдоль одной из одной из осей может меняться в бесконечных пределах.

На следующем рисунке показаны примеры обоих видов вращения. И в том, и в другом случае квадрат попеременно поворачивается то в одну, то в другую сторону относительно своего центра, однако на нижнем рисунке увеличение угла поворота сопровождается увеличением протяженности фигуры в направлениях x и u. Нам кажется, что квадрат меняет форму, как будто его растягивают вдоль одной из диагоналей, одновременно прижимая к другой, однако в геометрии «Дихронавтов» он вращается как твердое тело, сохраняя неизменными любые расстояния между своими точками.

Следует также заметить, что в силу жесткой конструкции квадрата при вращении неизменными остаются не только длины его сторон, но и образуемые ими углы. И хотя нам и кажется, что углы по ходу вращения становятся то больше, то меньше, в действительности стороны квадрата все это время остаются перпендикулярными.

Световой и темновой конусы

Если световой импульс выпущен в момент времени t=0 из точки с координатами x=0, y=0, z=0, то расстояние, пройденное им к некоторому моменту времени t, в нашей Вселенной, как известно, будет равно произведению t на скорость света. Если вы выберем систему единиц стандартным образом, приняв скорость света равной 1, то пройденное расстояние будет в точности равно t. Обе величины останутся равными и после возведения в квадрат. Квадрат расстояния от начала координат до некоторой точки (x, y, z) равен x² + y² + z², и, следовательно:

или, что то же самое:

Чтобы получить аналогичное соотношение для вселенной «Дихронавтов», мы следуем привычному рецепту с заменой z² на –u². Таким образом, мировая линия светового импульса в мире «Дихронавтов» должна удовлетворять уравнению:

Так вот, хотя это уравнение описывает некоторое семейство кривых в полном, четырехмерном пространстве-времени, с его помощью мы также можем выяснить одну интересную особенность траекторий, по которым свет может двигаться в трехмерном пространстве «Дихронавтов». Если световой импульс выходит из начала координат в момент времени t=0, а затем, в некоторый момент t, оказывается в точке с координатами (x, y, u), то при отрицательном значении x² + y² – u² обратить x² + y² – u² – t² в нуль уже не получится, поскольку разность отрицательного и положительного (t²) чисел нулю равняться не может.

Отсюда следует, что в трехмерном пространстве «Дихронавтов» существует целое семейство направлений – а именно, удовлетворяющих соотношению

в пределах которых распространение света невозможно физически!

Эти запрещенные направления образуют конус, расходящийся от оси u под углом в 45 градусов. Конус не привязан к какой-то конкретной точке пространства; он описывает универсальное ограничение, касающееся направлений движения света. Таким образом, внутри этого конуса источники света ничего не излучают, а обычное зрение не работает.

Мы привыкли думать, что если некоторому ограничению подчиняется даже свет, то оно же должно действовать и в отношении всех материальных объектов: например, зная, что свет не может покинуть черную дыру, мы автоматически приходим к выводу, что из нее не могут вырваться и обычные предметы, движущиеся с меньшей скоростью. Однако нет ничего более далекого от истины, когда речь идет о темновом конусе! Как мы уже видели в параграфе, посвященном мировым линиям, обычные тела не только способны двигаться параллельно оси u, но и могут делать это с совершенно произвольной скоростью.

Итак, хотя темновой конус лишен света, внутри него могут свободно перемещаться материальные объекты. А значит и звук, который представляет собой не что иное, как колебания материальных тел.

Падение вверх по склону

Предположим, что во вселенной «Дихронавтов» существует некий мир, на поверхности которого действует привычная нам гравитация. Подробное обсуждение потенциальной формы такого мира, а также особенностей действия гравитации в астрономических масштабах мы отложим до раздела «Мир «Дихронавтов»». Здесь же ограничимся допущением, что рассматриваемый нами участок поверхности достаточно мал, а ускорение свободного падения в его пределах постоянно и позволяет выделить одно из направлений в качестве «верха».

Направление «вверх» может оказаться как «пространственноподобным», так и «времениподобным»; при нашем выборе координатных обозначений оно, к примеру, может совпасть с осью x или u. Но так или иначе, среди пары пространственных направления, перпендикулярных «верху» – и, соответственно, находящихся в горизонтальной плоскости – должно найтись хотя бы одно, вид которого противоположен виду самого «верха». Что произойдет, если мы соорудим наклонную плоскость, высота которой увеличивается вдоль именно такого горизонтального направления противоположного вида, а затем поместим на нее некоторый объект и понаблюдаем, в какую сторону он начнет скользить?

Вопрос может показаться глупым, поскольку допускает всего один вариант ответа: вниз. Мы уже условились, что гравитация привычным нам образом притягивает тела к поверхности мира: если вы что-то уроните, этот предмет упадет вниз по прямой линии. Однако уронить предмет в воздухе – отнюдь не то же самое, что положить его на наклонную плоскость, дав ему возможность свободно скользить по ее поверхности: наклонная плоскость сама по себе воздействует на предмет с некоторой силой, которая добавляется к силе тяготения и меняет траекторию его движения.

Сила, с которой наклонная плоскость действует на предмет, будет перпендикулярна ее поверхности. Однако, как мы уже видели на примере с квадратом, углы которого приобретают странный вид при повороте в плоскости x–u, прямые, перпендикулярные в геометрии «Дихронавтов», вовсе не выглядят таковыми в евклидовом смысле.

На следующем рисунке мы видим предмет, расположенный на наклонной плоскости с углом в 30 градусов. Вес объекта (красная стрелка) тянет его вниз, в то время как сила реакции со стороны наклонной плоскости (синяя стрелка), не дающая предмету пробить ее насквозь, перпендикулярна ее поверхности. Величина силы реакции определяется тем фактом, что результирующая сила должна быть направлена вдоль поверхности наклонной плоскости – однако в данном случае суммарное усилие (зеленая стрелка) будет направлено к верхнему краю плоскости.

Хотя наши глаза отказываются верить в то, что сила реакции опоры перпендикулярна наклонной плоскости, в пространственной геометрии «Дихронавтов» это действительно так. Здесь отличительное свойство перпендикулярных линий заключается в том, что они образуют один и тот же угол с прямой, проходящей под углом 45⁰; угол между результирующей (параллельной поверхности наклонной плоскости) и силой реакции опоры, как нетрудно видеть, делится пополам штриховой линией на рисунке выше.

Таким образом, если трение о поверхность не сможет удержать предмет на одном месте, результирующая сила заставит его подниматься вверх по наклонной плоскости.

Ситуация, впрочем, меняется, если угол наклона плоскости становится больше 45 градусов. На рисунке ниже показана наклонная плоскость с углом 60⁰: дополнительного наклона оказывается достаточно, чтобы направить силу реакции опоры вниз. Под действием результирующей силы предмет начнет скользить вниз, причем его ускорение (если пренебречь силой трения) окажется даже больше, чем при простом падении в воздухе.

Может показаться, что первый случай со скольжением вверх по наклонной плоскости нарушает закон сохранения энергии – но все встает на свои места, если мы учтем поправки, которых требует определение энергии во вселенной «Дихронавтов».

Поскольку сила гравитации направлена вертикально вниз, потенциальную энергию тяготения мы будем определять, как величину, пропорциональную высоте тела над поверхностью мира, с некоторым положительным коэффициентом. Такое определение согласуется с положительным значением кинетической энергии вертикального движения. В этом плане ситуация ничем не отличается от поведения тел на поверхности Земли.

Но поскольку горизонтальная ось выбранной нами наклонной плоскости по своему виду противоположна направлению «вверх», кинетическая энергия вертикального движения будет отличаться от энергии горизонтального своим знаком. Если тело скользит по плоскости с углом наклона меньше 45 градусов, его горизонтальная скорость превышает вертикальную, поэтому суммарная кинетическая энергия будет отрицательной. Именно это и позволяет телу подниматься по наклонной плоскости, поскольку увеличение потенциальной энергии тяготения уравновешивается одновременным ростом отрицательной кинетической энергии.

Твердые тела, жидкости и коническая плазма

Отрицательная кинетическая энергия допускает ситуацию, при которой система материальных тел, не потребляя энергию извне, может, тем не менее, разогнаться до экстремально высоких скоростей – при условии, что их скорости изначально находятся «вблизи поверхности конуса», т. е. имеют примерно равные компоненты в пространственно- и времениподобных направлениях. Отсюда, в частности, следует, что даже если бы во вселенной «Дихронавтов» мог существовать идеальный газ (система частиц, взаимодействующих друг с другом только при непосредственном контакте), он был бы термодинамически нестабилен, поскольку случайные соударения частиц разгоняли бы их до неограниченно высоких скоростей.

Другим следствие этой же геометрии является тот факт, что величина (x₁—x₂)^2 + (y₁—y₂)^2 — (u₁—u₂)^2 может быть крайне мала даже для двух частиц с совершенно разными координатами (x₁,y₁,u₁) и (x₂,y₂,u₂). Сила любого взаимодействия будет, как минимум отчасти, зависеть от этой величины. А значит, взаимодействия между частицами, находящимися на большом расстоянии с точки зрения индивидуальных координат, но при этом остающимися в окрестностях конусов друг друга, будут способствовать связыванию системы в единое целое, поэтому результат даже при низкой плотности вещества будет напоминать, скорее, жидкость, нежели газ.

Таким образом, материя «Дихронавтов», согласно нашим ожиданиям, может находиться в одном из трех агрегатных состояний: твердом, жидком и – если температура достаточно высока, либо плотность вещества достаточно мала, чтобы сила взаимодействия не смогла удержать частицы вместе – крайне нестабильной конфигурации, при которой скорости всех частиц находятся вблизи конуса. Последнее состояние мы будем называть «конической плазмой».

Оригинал статьи:http://gregegan.net/DICHRONAUTS/01/World.html

Физика и геометрия вселенной «Дихронавтов», четыре измерения которой поровну делятся между временем и пространством, следуют довольно странным законам, с которыми читатель может познакомиться во вводной статье выше. Здесь же мы попытаемся в общих чертах описать мир, который мог бы существовать в такой вселенной. Мы намеренно не называем его «планетой», поскольку это слово имеет слишком много ассоциаций, относящихся к нашему собственному миру.

Далее мы будем обозначать три пространственных измерения буквами x, y, u, где координаты x, y соответствуют обычным, «пространственноподобным» измерениям, а u играет роль «времениподобной» оси. Это не означает, что u совпадает с координатой времени, которую мы обозначаем буквой t, а лишь выражает тот факт, что u может выступать в качестве переменной времени для другого наблюдателя, движение которого существенно отличается от нашего. Помимо прочего, «времениподобность» u означает, что квадрат трехмерного расстояния между точками (0, 0, 0) и (x, y, u) равен x2 + y2 – u2, либо противоположной величине u2 – x2 – y2, в зависимости от того, какая из них положительна. Более детальное объяснение этих понятий приводится во вводной статье.

Гравитация и форма мира

В нашей Вселенной крупный объект – будь то звезда или планета – под действием гравитации принимает форму, близкую к шарообразной. В случае идеального тела, обладающего точной сферической симметрией, сила тяготения всегда направлена к центру шара, а гравитационный потенциал одинаков во всех точках поверхности. Такая конфигурация является устойчивой – во всяком случае, до тех пор, пока внутренняя часть тела достаточна прочна, чтобы выдержать вес его внешних слоев.

Во вселенной «Дихронавтов» аналогом сферической поверхности служит гиперболоид. Эта поверхность имеет две разновидности, которые называются однополостным и двуполостным гиперболоидами (соответственно красный и зеленый на рисунке ниже). Первая напоминает бесконечную колбу песочных часов; вторая – пару бесконечных чаш, направленных в противоположные стороны. На рисунке бесконечную поверхность, по понятным причинам, можно изобразить лишь частично.

Нам потребуется твердое, трехмерное тело, поверхность которого состоит из одного или нескольких гиперболоидов. В геометрии «Дихронавтов» такое тело будет обладать идеальной симметрией относительно своего центра – по аналогии с тем, как сфера обладает идеальной симметрией в геометрии Евклида: внешний вид тела не будет меняться при повороте вокруг его центра. (Если это сбивает вас с толку, ознакомьтесь с вводным разделом «Геометрия и повороты в пространстве «Дихронавтов»».)

Такое тело будет иметь бесконечные размеры и обладать бесконечным объемом и массой. Мы можем мысленно обрезать гиперболоиды, получив в результате некоторое тело конечных размеров; это, конечно же, нарушит его идеальную симметрию, однако в случае физических объектов точная симметрия встречается довольно редко. У бесконечных, идеально симметричных версий, впрочем, есть свои преимущества, поскольку их проще описать математически; более того, до тех пор, пока все локально измеримые физические величины (как то сила тяготения или создаваемое внутри тела давление) остаются конечными, мы можем даже допустить существование подобных объектов в гипотетической вселенной «Дихронавтов».

Закономерность, которой подчиняется сила тяготения в нашей Вселенной, как известно, выражается законом обратных квадратов: сила взаимодействия двух материальных точек пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Во вселенной «Дихронавтов» вид этого закона не меняется – с той лишь разницей, что под «квадратом расстояния» теперь понимается x2 + y2 – u2, если эта величина положительна, и противоположная величина, u2 – x2 – y2, в противном случае.

Существует, понятное дело, и конус, на поверхности которого x2 + y2 – u2 = 0, а, гравитационная сила, создаваемая 0-мерной точечной массой, достигает бесконечной величины. Это вызывает некоторое беспокойство – даже больше чем тот факт, что в нашей Вселенной гравитационная сила точечной массы стремится к бесконечности по мере приближения к центру притяжения.

С точки зрения микроскопических составляющих материи этот вывод указывает на то, что нам придется избегать частиц, буквально имеющих вид геометрических точек, заменяя их объектами, в которых масса (и, при наличии, электрический заряд) распределены по некоторой конечной области пространства. Но чтобы обойти эту проблему, нам вовсе не обязательно погружаться в детали физики частиц: как в нашей собственной Вселенной, так и в мире «Дихронавтов» закон тяготения можно легко представить в форме, где вместо масс отдельных частиц фигурирует плотность материи.

Во вселенной «Дихронавтов» соответствующее правило имеет вид:

Сумма вторых производных гравитационного потенциала по пространственноподобным координатам за вычетом второй производной по времениподобной координате равна произведению 4πG на плотность материи, где G – константа, описывающая силу гравитационного взаимодействия.

Как вы уже, должно быть, догадались, в случае с нашей Вселенной отличие состоит лишь в том, что вторые производные потенциала по трем пространственным координатам x, y, z входят в формулировку закона со знаком плюс; и ни одна – со знаком минус. Подобную формулировку ньютоновского закона можно интерпретировать как выражение геометрического свойства «силовых линий», позволяющих описывать гравитационное поле некоторого тела. По сути оно означает, что силовые линии могут начинаться и заканчиваться только на материальных частицах (но никак не в вакууме), а плотность распределения концов линий прямо пропорциональна плотности материи.

Другими словами, нам нужно найти гравитационный потенциал, удовлетворяющий этому закону для идеально симметричного распределения материи во вселенной «Дихронавтов». В качестве одного из вариантов мы могли бы взять одно- или двуполостный гиперболоид и заполнить пространство, ограниченное его поверхностью. Но тогда в некоторых направлениях нам придется иметь дело с бесконечно большим количеством материи.

Альтернативное решение – взять оба вида гиперболоидов и заполнить только пространство между ними, как показано на рисунке ниже. Этот объект также является бесконечным (хотя на картинке показан лишь его конечный фрагмент), но если мы выберем на поверхности одного из гиперболоидов произвольную малую область и рассмотрим объем находящегося под ним вещества, вплоть до центра мира, то этот объем окажется конечным и будет зависеть только от площади выбранной области и радиуса гиперболоида.

На следующем рисунке показан гравитационный потенциал, соответствующий такому распределению материи. На графике представлен срез в плоскости x—u, однако вид потенциала останется тем же самым и при любом повороте среза относительно оси u.

Сила тяготения, соответствующая такому потенциалу, всегда направлена к центру мира. Это может показаться удивительным, если учесть, что график отклоняется вниз по мере удаления от центра вдоль оси u; все дело в том, что тела, движущиеся во времениподобных направлениях, обладают отрицательной кинетической энергией, а значит, любой предмет, брошенный в этой области пространства, будет «катиться вверх», двигаясь в сторону увеличения потенциала. Таким образом, сила тяготения на всей поверхности гиперболоида – как одно-, так и двуполостного – имеет постоянную величину и всегда направлена к центру мира.

Солнце, обитаемая зона и абсолютное лето

Какие миры могли бы возникнуть во вселенной с двумя пространственноподобными и двумя времениподобными измерениями? Ответ на этот вопрос зависит от особенностей космологии и строения материи. Материя во вселенной «Дихронавтов» труднее поддается математическому описания, чем наша собственная; предположив, что она состоит из точечных частиц, обладающих некоторым зарядом, мы обнаружим, что любая сила, стремящаяся к бесконечности по мере сокращения расстояния между частицами, будет иметь особые точки, в совокупности образующие целый конус с центром в данной частице (т. е. поверхность, в пределах которой расстояние до частицы равно нулю). В принципе мы могли бы распределить заряд по некоторой трехмерной области, не концентрируя его в одной точке пространства, что, в свою очередь, позволило бы нам избавиться от особенных точек. По сути именно так мы поступили в предыдущем разделе, когда речь шла о гравитационное поле. Однако для предсказания свойств, которыми могли бы обладать местные аналоги атомов и молекул, нам пришлось бы применить аппарат квантовой механики к отдельным, протяженным объектам, находящимся в пространстве с принципиально иной геометрией, нежели геометрия нашей Вселенной, что потребовало бы отнюдь не тривиальных усилий.

Поэтому, вместо того, чтобы заниматься детальной проработкой физики частиц, химии и космологической истории вселенной «Дихронавтов», мы ограничимся схематичным описанием одного из возможных миров, а также некоторых свойств материи, необходимых для его функционирования.

Представим себе большой гиперболоидальный мир из твердого материала. Как уже было сказано в предыдущем разделе, даже при бесконечных размерах самого мира сила тяготения в любой точке его поверхности имеет одно и то же, конечное значение и всегда направлена к центру мира.

Если твердая поверхность со всех сторон окружена некой «атмосферой», то по своим свойствам такая атмосфера будет напоминать не газ, а жидкость – причины этого мы обсуждали во вводной статье. В мире романа такая атмосфера действительно присутствует, но при этом является достаточно разреженной и прозрачной в оптической части спектра, чтобы персонажи книги воспринимали ее примерно так же, как мы сами воспринимаем наш воздух. Выражение «разреженная жидкость» звучит довольно странно, однако благодаря дальнодействующим силам, направленным вдоль конуса каждой из частиц, термодинамические свойства жидкости может проявлять даже система сравнительно низкой плотности.

Что будет происходить на границе между такой жидкостью и космическим вакуумом? Даже не зная всех деталей межмолекулярного взаимодействия, возможные варианты можно поделить на две группы: либо жидкость сохраняет целостность, как это имеет место с некоторыми твердыми телами при контакте с вакуумом, либо претерпевает резкий фазовый переход в состояние «конической плазмы», при котором частицы разгоняются до высоких скоростей за счет случайных соударений.

На роль атмосферы нам понадобится жидкость первого типа, которая может спокойно контактировать с вакуумом, герметизируясь за счет своей собственной вязкости. Второй же вариант позволяет некоторым скоплениям жидкости выступать в роли источника света и тепла. Иначе говоря, в качестве «звезд». В нашей вселенной звезды должны обладать некоторой минимальной массой, при которой в их ядре возникает давление, достаточно для запуска термоядерных реакций. В то время как во вселенной «Дихронавтов» звезде достаточно просто состоять из жидкости подходящего типа.

Компанию гиперболоидальному миру «Дихронавтов» (показанному на следующем рисунке) составляет миниатюрная звезда, которая движется вокруг него по компактной круговой орбите. Это явно не единственная возможная конфигурация, однако разительные отличия от нашего собственного мира вкупе с возникающими в подобной ситуации экзотическими эффектами местной геометрии, куда больше благоприятствуют интересному повествованию, нежели рассказ об очередной планете, обращающейся вокруг далекой и громадной звезды.

Как уже упоминалось ранее, любой источник света во вселенной «Дихронавтов» характеризуется «темновым» конусом, внутри которого не излучается свет. Таким образом, освещенная солнцем часть поверхности ограничена с двух сторон. Помимо этого существует привычная нам граница между ночью и днем. Однако даже находясь на дневной стороне и двигаясь к северу или югу от окружности, расположенной строго под орбитой солнца, вы рано или поздно оказываетесь в его темновом конусе.

Может показаться, что жизнь к северу или югу от окружностей, образованных пересечением темнового конуса с поверхностью мира, будет отличаться всего лишь одним любопытным феноменом, при котором свет исчезает в районе полудня, а продолжительность этого дневного «затмения» растет с увеличением широты. Но именно здесь геометрия проявляет себя с неприглядной стороны. Вблизи темнового конуса солнца расстояние между поверхностью звезды и поверхностью мира стремится к нулю, а интенсивность солнечного излучения, как следствие, достигает колоссальных величин. Оказаться в месте, где подобные – пусть и кратковременные – вспышки происходят дважды в день, – все равно что подписать себе смертный приговор. Таким образом, эти окружности служат границей территории, которая в романе именуется абсолютным летом – так называются области, в которых расстояние от Солнца время от времени падает до нуля, и выживание становится попросту невозможным.

Если на нашей планете высокие широты коррелируют с прохладной погодой, то в мире «Дихронавтов» самым холодным местом будет пояс, расположенный в точности под орбитой солнца – так называемый средизимний круг. Все остальные точки, согласно геометрии их вселенной, будут, наоборот, располагаться ближе к солнцу, если измерять расстояние ровно в полдень. К северу и югу от средизимнего круга располагается обитаемая зона, в пределах которой температура благоприятствует развитию жизни. Граница этой зоны проходит на довольно ощутимом расстоянии от начала абсолютного лета и располагается там, где вода (не в нашем понимании, а в смысле общедоступного растворителя, играющего сходную роль в биохимии «Дихронавтов») из-за высокой температуры начинает слишком быстро растворяться в жидкой атмосфере, оставляя после себя лишь пересохшую землю.

На рисунке выше границы обитаемой зоны отмечены двумя голубыми полосами мелководных болот, где температура опускается до отметки, при которой влага, заключенная в более горячем воздухе к северу и югу, начинает выпадать на землю в виде дождя.

Зернистость земли и миграция

Представьте, что мы расположили множество геометрических фигур в виде сетки, а затем нарисовали на каждой из них стрелку, указывающую в одном и том же направлении. Дадим этим фигурам возможность свободно вращаться на плоскости, ограничивая их движение лишь тем фактом, что при слишком большом повороте они могут столкнуться с кем-то из своих соседей. Если фигуры расположены не слишком плотно, то в евклидовом пространстве ориентация их стрелок может оказаться совершенно случайной, как показано на следующем рисунке:

Если же аналогичную конфигурацию представить в пространстве «Дихронавтов» – так, чтобы одно из направлений в плоскости сетки было пространственноподобным, а другое – времениподобным, – то растяжение фигур в процессе их вращения приведет к тому, что они будут сталкиваться со своими соседями даже при поворотах на очень малые углы, что в итоге даст картину, напоминающую рисунок ниже:

Несмотря на некоторую надуманность, приведенный выше пример неплохо демонстрирует один общий принцип: на поверхности однополостного гиперболоида – где в горизонтальной плоскости имеется как пространственно-, так и времениподобное направление, – земля будет проявлять четко выраженную направленную зернистость, которая не наблюдается на нашей планете.

Несмотря на некоторую надуманность, приведенный выше пример неплохо демонстрирует один общий принцип: на поверхности однополостного гиперболоида – где в горизонтальной плоскости имеется как пространственно-, так и времениподобное направление, – земля будет проявлять четко выраженную направленную зернистость, которая не наблюдается на нашей планете.

Оказавшись пасмурной ночью в незнакомой точке нашей планеты, и имея при себе лишь мощный источник искусственного освещения, позволяющий во всех подробностях изучить внешний вид ландшафта, вы бы ни за что не смогли определить, где именно находится север и юг, а где – восток и запад. Нет никакой причины, из-за которой подобная информация непременно должна найти отражение в геологических особенностях Земли. Однако на поверхности однополостного гиперболоида имеет место не только фундаментальное различие между осями север-юг и восток-запад (так, световое зрение не работает в пределах сорока пяти градусов от направлений на север и юг): даже отдельные песчинки не могут располагаться под углами, которые заметно отличаются от их соседей, так как попытавшись принять собственную, непохожую на остальных ориентацию, они бы встретились с сопротивлением окружающих песчинок.

Мы описали гиперболоидальный мир «Дихронавтов» как идеально симметричную фигуру – остающуюся неизменной при любом повороте вокруг ее центра – однако это, понятное дело, верно лишь для идеализированной модели гладкого и однородного мира, которая годится для расчетов гравитационного поля, но никак не для ответа на вопрос: каково это – ходить по его поверхности? Как и наша Земля, мир «Дихронавтов» будет обладать сложным рельефом гор и долин. Но если исследователь практически в любой точке Земли может свободно повернуться на все триста шестьдесят градусов – если, конечно, он не стоит на узеньком уступе горы или пытается пролезть сквозь запредельно тесную расщелину, – то тела существ, обитающих в мире «Дихронавтов» вынуждены подчиняться особенностям местной геологии. Если вы находитесь на обширной и плоской равнине, где нет никого, кроме вас, все эффекты вращения будут ограничены лишь чисто геометрическим правилом, согласно которому ни один поворот не может превратить пространственноподобное направление во времениподобное и наоборот; но как только на поверхности появляются какие-либо препятствия, столкновение с ними будет препятствовать вашему движению, поэтому в большинстве случаев перемещение против зернистости рельефа будет сильно затруднено или вовсе окажется невозможным.

Другими словами, мир «Дихронавтов» следует представлять не в виде однообразного гиперболоида, а как объект с нанесенной на него сеткой геологических координат, где долгота отсчитывается вокруг гиперболоида, а широта – вверх и вниз от заранее выбранной экваториальной окружности. Но если координаты, которыми мы пользуемся на Земле, привязаны к полюсам вращения, то отсчет дней во вселенной «Дихронавтов» объясняется вовсе не обращением мира вокруг какой-либо оси, не говоря уже о том, что единственной оси симметрии у него попросту нет – точно так же, как нет ее и у сферы. (Такая ось появляется, когда мы пытаемся изобразить мир «Дихронавтов» в евклидовом пространстве, но это всего лишь побочный эффект геометрии, которую мы используем для его визуализации.) Это позволяет выбирать геологические координаты в соответствии с зернистостью ландшафта: геологический север, юг, восток и запад – это (усредненные) направления, по которым можно сориентировать стороны квадратной коробки так, чтобы она не цеплялась за другие предметы. На Земле подобное определение было бы бесполезным, ведь такую коробку можно развернуть как угодно. Однако в мире «Дихронавтов» поворот квадрата сопряжен с известным риском.

Конечно, есть и другая система естественных координат – а именно, та, что связана с движением солнца. Очевидным кандидатом на роль экватора в солнечных координатах является средизимняя окружность, расположенная на поверхности мира строго под орбитой солнца.

Должны ли обе системы обозначения широты и долготы быть каким-то образом согласованы друг с другом? Ничто не мешает нам вообразить, что мир возник одновременно с солнцем, а их системы координат были согласованы благодаря тому, что оба тела изначально находились в одних и тех же условиях. Но с тем же успехом можно представить и сценарий, в котором они сформировались совершенно независимо друг от друга.

В сюжете романа возникает еще одно осложнение: несмотря на то, что в далеком прошлом геологические и солнечные координаты действительно могли совпадать друг с другом, соотношение между ними менялось на протяжении целых эпох. Вопрос о том, испытывает ли мир медленное вращение относительно фиксированной орбиты солнца, или же орбита самого солнца медленно наклоняется по отношению к неподвижному миру, является предметом договоренности, однако конечный эффект и в том, и в другом случаях будет одинаковым: обитаемая зона непрерывно смещается по поверхности мира, заставляя людей перебираться с места на места в ходе медленной, но постоянной миграции.

Далее мы в целях удобства будем исходить из того, что вращается сам мир. Поскольку такое вращение охватывает одно пространственноподобное и одно времениподобное измерения, его поведение отличается от кругового, периодического движения, которое, к примеру, совершает обращающееся по орбите солнце.

На следующем рисунке представлены два ракурса гиперболоида (с фиксированной красно-синей сеткой геологических координат), который в процессе вращения теряет синхронность с солнечными координатами (показаны серым цветом). Обитаемая зона, привязанная к сетке солнечных координат, выделена зеленым цветом.

В случае с левым рисунком наблюдатель находится лицом к одной из узловых точек – которые остаются неизменными в процессе поворота, – в то время как правый повернут относительно левого на девяносто градусов.

Вблизи узловых точек эффект по сути сводится к двумерному повороту поверхности вокруг самого узла. Если бы наблюдатель, стоя в таком месте, попытался сохранить свою ориентацию относительно окружающего ландшафта, то равно или поздно его тело так сильно развернулось бы по отношению к обитаемой зоне, что попросту вышло бы за ее пределы, оказавшись в области абсолютного лета. Или, если описывать происходящее с точки зрения самого наблюдателя, обитаемая зона бы сжалась настолько, что ее размер по одной из осей стал бы меньше его собственного тела. Если бы земля была идеально плоской и гладкой, наблюдатель мог бы спастись, поворачиваясь так, чтобы его тело сохраняло постоянную ориентацию относительно обитаемой зоны. Однако в условиях реалистичного ландшафта это рано или поздно станет невозможным.

В девяноста градусах от узловой точки проблема исчезает. Несмотря на то, что земля продолжает двигаться на север по отношению к солнцу, вынуждая жителей мигрировать на юг, чтобы все время оставаться в пределах обитаемой зоны, определения осей запад-восток/север-юг с точки зрения геологических и солнечных координат остаются согласованными друг с другом.

Так вот, где-то между этими точками рассогласование солнечных и геологических координат начнет вызывать определенные проблемы. Ключевой вопрос заключается в том, будет ли безопасная полоса земли в пределах обитаемой зоны сжиматься до бесконечности, или же устремится к некоторому минимальному значению, вблизи которого будет по сути оставаться неизменной на протяжении целых эр.

Ответом на этот вопрос служит изображенный ниже график, который дает обитателям «Дихронавтов» повод для оптимизма. Кривая показывает, как в зависимости от долготы (рассчитанной относительно одной из узловых точек) меняется характеристика поворота, измеряющего разницу между геологическими и солнечными координатами. Серые кривые соответствуют различным значениям этого параметра в самой узловой точке, красная – отражает предельное состояние, при котором характеристика узловой точки стремится к бесконечности. Предельная кривая демонстрирует тот факт, что на поверхности мира всегда найдется достаточно протяженный интервал долготы, внутри которого относительное вращение не слишком велико, а у обитающих в нем людей всегда есть возможность сориентировать свое тело согласно локальной зернистости земли, не рискуя выйти за границы обитаемой зоны.

Оригинал статьи: https://www.gregegan.net/DICHRONAUTS/03/Toppling.html

В мире «Дихронавтов» вертикальному объекту, упавшему не в том направлении, грозит серьезная опасность. Если направление гравитационного верха/низа является пространственноподобным, то в горизонтальной плоскости будут располагаться как пространственноподобные, так и времениподобные направления, причем падение в пространственноподобном направлении – если таковое возможно – ничем не будет отличаться от падения в нашем мире. Такое падение можно назвать безопасным. Мы же хотим выяснить, что случится, если предмет – по какой бы то ни было причине – опрокинется в направлении противоположного рода, нежели верх/низ.

Подробности геометрии, лежащей в основе подобных сценариев, обсуждаются во вводной статье.

Закрепленный стержень

Для начала мы рассмотрим простейший из возможных случаев. Представим высокий и тонкий стержень постоянной плотности, вращающийся относительно своего нижнего конца таким образом, что в процессе опрокидывания этот конец сохраняет на земле фиксированное положение. Возможно, он удерживается на одном месте, благодаря силе трения, или же частично зарыт в землю; так или иначе мы будем исходить из допущения, что земля всегда может обеспечить фиксацию его основания – какое бы усилие для этого ни потребовалось.

Вероятно, вы задаетесь вопросом, для чего нужны все эти оговорки. Ведь стержень не становится тяжелее, а просто падает на землю. Однако во вселенной «Дихронавтов», где тело, находящееся на наклонной плоскости, может испытывать с ее стороны силы, намного превосходящие его собственный вес, падающий стержень по своему весу может значительно уступать действующей на него силе реакции земли.

На следующем рисунке показаны четыре положения падающего стержня, разделенные равными интервалами времени. (Чтобы инициировать процесс, мы придали стержню небольшой толчок, так как в противном случае он мог теоретически сколь угодно долго оставаться в вертикальном положении, не теряя равновесия.)

По ходу падения стержня его верхняя точка и центр масс движутся по гиперболическим траекториям (серые штриховые линии), поскольку их расстояние от неподвижной нижней точки должно оставаться постоянным с точки зрения геометрии «Дихронавтов». Скорость падения стержня можно рассчитать, используя закон сохранения энергии: чем выше центр масс, тем больше потенциальная энергия стержня, а значит, и абсолютная величина уравновешивающей ее отрицательной кинетической энергии, соответствующей движению стержня во времениподобных направлениях (относительно других направлений он в данном случае остается неподвижным). Таким образом, в процессе падения стержень будет набирать скорость.

Исходя из траектории и скорости движения центра масс, мы можем рассчитать ускорение стержня и, как следствие, действующую на него суммарную силу (зеленые стрелки). Заметим, что результирующая сила направлена примерно вдоль гиперболы, описываемой центром масс, хотя и не является ее точной касательной, так как угловая (гиперболическая) скорость стержня меняется во времени. На стержень действуют только две силы – его собственная сила тяжести (красные стрелки), которая остается постоянной в течение всего падения, и сила реакции со стороны земли (синие стрелки), которая удерживает нижнюю точку в неподвижном положении и изначально направлена вертикально вверх, противодействуя силе тяжести, но в процессе падения растет по величине и приобретает горизонтальную компоненту.

По мере приближения стержня к наклону в 45⁰ сила реакции опоры будет неограниченно возрастать. Бесконечной она, понятное дело, не станет; во-первых, стержень никогда не сможет достичь угла в 45⁰, а во-вторых, он, независимо от материала, рано или поздно сломается, согнется или, как вариант, начнет проскальзывать относительно земли. Эта простая модель, однако же, демонстрирует тот факт, что простое падение в определенном направлении может подвергнуть физический объект колоссальным напряжениям, которым он в итоге будет вынужден так или иначе поддаться. Попавшему в такую ситуацию ходоку из романа явно не поздоровится.

Скользящий стержень

Теперь мы рассмотрим видоизмененную версию предыдущего примера и вместо фиксации основания стержня позволим ему свободно двигаться по земле в горизонтальной плоскости, не испытывая трения. Кроме того, мы будем считать, что стержень на протяжении всего падения остается прямым и сохраняет целостность, а его нижний конец не может проткнуть землю; при этом мы позволяем основанию стержня скользить по ее идеализированной, бесконечно прочной и абсолютно гладкой поверхности.

После того, как стержень потеряет равновесие, его центр масс будет двигаться только в вертикальном направлении. Более того, вокруг центра возникает расширяющаяся по ходу падения область, точки которой будут двигаться в направлениях с преобладающей вертикальной компонентой, т. е. с пространственноподобными скоростями. Эта часть стержня будет вносить положительный вклад в его кинетическую энергию и продолжит расти до тех пор, пока при некотором критическом угле наклона в точности не уравновесится отрицательной кинетической энергией остального стержня.

По мере приближения к критическому углу кинетическая энергия стержня будет все слабее зависеть от его угловой скорости, которая, в свою очередь, будет неограниченно возрастать, чтобы обеспечить постоянное значение полной энергии. Таким образом, стержень станет ускоряться, а соответствующая сила реакции опоры – безгранично расти, как и его скорость.

На рисунке ниже показаны последовательные положения стержня через равные интервалы времени, последнее из которых соответствует критическому углу, при котором действующие силы стремятся к бесконечности. Изображенные вектора сил соответствуют предшествующему положению стержня, для которого эти силы все еще выражаются конечными величинами.

Разрущающийся стержень

Теперь мы заменим наш идеальный, бесконечно прочный стержень высокой и тонкой прямоугольной призмой, которую представим в виде набора сегментов, отрывающихся друг от друга при достаточно большой деформации сдвига.

Как и ранее, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы вычислить скорость падения, при которой призма сохраняет свою целостность, что, в свою очередь, позволит нам рассчитать ускорение центра масс каждого из воображаемых сегментов, а также величину силы, которую пришлось бы добавить к собственному весу сегмента, чтобы придать ему нужное движение.

Источником воздействий на каждый сегмент служат равные, противоположно направленные силы, действующие между парами смежных сегментов (в случае нижнего сегмента одна из сил будет исходить от земли). Этот факт позволяет нам составить систему линейных уравнений, решая которые, мы узнаем величины межсегментных сил, а по ним – как нормальные силы, направленные по перпендикуляру к границам раздела, так и силы сдвиговой деформации, действующие вдоль границ.

Рисунок ниже иллюстрирует воздействие сдвиговых напряжений на падающую призму. При данной величине угла они достигают максимума на расстоянии около 2/5 длины призмы, считая от ее основания, и неограниченно возрастают по мере увеличения угла. Таким образом, материал призмы рано или поздно поддастся деформации, и она распадется как минимум на два фрагмента.

Процесс разрушения будет довольно сложным, однако после разделения стержня более короткие фрагменты начнут падать точно так же, как первоначальная призма, и в итоге тоже будут разорваны на части деформацией сдвига. Это будет продолжаться до тех пор, пока длина отдельных фрагментов уже не будет превышать их ширину, после чего они займут устойчивое положение на поверхности земли. Однако по мере уменьшения фрагментов точка максимальной деформации будет смещаться вниз, и рано или поздно окажется у самого основания призмы. После этого опора начнет слущивать с ее нижней части тонкие слои вещества, пока остаток призмы не окажется достаточно коротким, чтобы процесс сошел на нет.