Это невероятно! Открытия, достойные Игнобелевской премии

Глава 10 Отнять и поделить

Сушись, белье, сушись Взлет и падение математиков-парикмахеров • Сэндвичи с ветчиной в представлении математиков • Как налить еще одну чашку кофе • Свинец или перья? • Статистические лица • Занимательная математика рта • Сыр "чеддер" с точки зрения механики • Измеритель мельчайших отклонений • Проблема ленивых бюрократов • Продвижение по служебной лестнице, осуществляемое методом случайной выборки, и многое другое.

КОРОТКОЙ СТРОКОЙ

Х. Дж. Сейферт. "Остроумные замечания об остроугольных треугольниках". Опубликовано в 2000 г. в журнале American Mathematical Monthly.

"Поразительно, что процесс сушки выстиранного белья, висящего на веревке, судя по всему, так и не исследован с помощью научных методов количественной оценки".

Автор этого утверждения Эрик Б. Хансен открывает перед нами целый мир утонченных математических наслаждений, связанных с влажной тканью. Масштабная работа Хансена "О высушивании белья" заслуживает почетное место в коллекциях библиофилов, а также в сердцах бесчисленных математиков, инженеров, производителей ткани, продавцов мануфактуры. Именно "бесчисленных": невозможно даже приблизительно прикинуть, сколько человек имеют на руках экземпляр (или копию экземпляра) этой статьи, и сколько народу прочло экземпляр, на время одолженный у кого-нибудь из приятелей, и сколько людей знакомы с данным текстом в пересказе.

Десятистраничная статья впервые предстала перед восхищенными читателями в октябрьском номере SIAM Journal on Applied Mathematics за 1992 год. Впрочем, для некоторых из них эта публикация стала давно ожидаемым событием, воплощением сбывшейся мечты. Эрик Хансен уже 2 года обсуждал проблему высушивания белья: в частности, на Международной конференции по междисциплинарным проблемам в Монреале. Насколько могу судить, именно там упомянутое влажное белье впервые оказалось выставленным на всеобщее обозрение — по крайней мере, в строго математическом смысле.

Хансен работал тогда в Датском техническом университете, и его исследование наверняка стало самым заметным на конференции, несмотря на присутствие там и более сухих докладов. В тот год на ней были представлены, к примеру, доклад Кларбирга, Микелича и Шиллора "О жестком фрикционном ударе кулаком правой руки".

Сушка выстиранного белья — проблема весьма сложная и запутанная. Хансен проделал достойную восхищения работу по ее прояснению и относительному упрощению. Проведя эксперимент с влажной футболкой, он сообщает, что полученные результаты хорошо согласуются с его, Хансена, теоретическими прогнозами.

Многие люди, не принадлежащие к научному миру, почему-то убеждены, что они отлично разбираются во влажных футболках — по крайней мере, на практическом уровне. Однако великолепная статья Эрика Хансена показывает: когда за изучение свежевыстиранной майки берется ученый, он анализирует ее необычайно глубоко.

Hansen E. B. (1992). On Drying of Laundry. SIAM Journal on Applied Mathematics 52 (5): 1360–1369.

Klarbring A., Mikelic A., Shillor M. (1993). On the Rigid Punch with Friction. In: Chadam J. M., and Rasmussen H., eds. Emerging Applications in Free Boundary Problems: Proceedings of the International Colloquium Free Boundary Problems: Theory and Applications. Pitman Research Notes in Mathematics Series 280. Harlow, UK: Longman Scientific and Technical: 35–40.

Некоторые математики чаще своих коллег обращаются к проблеме парикмахерского искусства. Два современных ученых занялись весьма необычной темой — самым знаменитым случаем сотрудничества нумерологов и брадобреев.

В 1784 году математики объединились с парикмахерами в рамках невиданно грандиозного проекта: ни до, ни после подобные проекты не достигали такого размаха. Полтора века спустя Реймонд Клэр Арчибальд с восхищением взирал на плоды их усилий. Его "Таблицы тригонометрических функций для нешестидесятеричных аргументов" в 1943 году заняли 12 страниц апрельского номера журнала Mathematical Tables and Other Aids to Computation ("Математические таблицы и другие средства для помощи при расчетах") — журнала, который едва ли можно заподозрить в излишней веселости.

Арчибальд, профессор математики Университета Брауна (Провиденс, штат Род-Айленд), являл собой воплощенную лаконичность: он часто подписывал свои тексты как "Р. К. Арчибальд", а "Таблицы" и вовсе подписаны инициалами — "Р. К. А.".

В отличие от некоторых своих коллег, он отнюдь не был лыс. Один из его бывших студентов писал, что Арчибальд "обладал весьма впечатляющей внешностью, с этой гривой седеющих волос, которые он отпускал несколько длиннее, чем принято".

Арчибальд вкратце рассказывает о той самой истории с парикмахерами.

Французское правительство пожелало иметь новые, усовершенствованные "таблицы синусов, тангенсов и т. п., а также их логарифмов". Отвечавший за это ученый Гаспар Клэр Франсуа Мари Риш де Прони, изображаемый на портретах с целым садом кудрей на голове, собрал группу специалистов. Де Прони поручил 3 или 4 математикам заняться выработкой концепции, 7 или 8 — выполнять утомительные вычисления, а кроме того (и здесь наша история делает неожиданный поворот), 70–80 человек должны были проверять их работу. Эти проверяющие, замечает Арчибальд, "не обладали выдающимися математическими способностями. Собственно, их набирали главным образом из числа парикмахеров, которых лишил средств к существованию отказ от мужских париков и напудренных шевелюр".

Арчибальд уделяет этим куаферам лишь один абзац, в остальном тексте с почти маниакальным упорством описывая всевозможные синусы, косинусы и разного рода углы и загогулины этой истории. Как он сообщает, результатом французского проекта стали "17 толстых томов in folio", из которых "8 были посвящены логарифмам всех целых чисел от 0 до 200 000".

Зато Айвор Граттан-Гиннесс поведал об этих бывших парикмахерах чрезвычайно много. Почетный профессор истории математики и логики Политехнического института Мидлсекса, он, судя по фото, может похвастаться великолепной седой шевелюрой. Его исследование под названием "Работенка для парикмахеров: о создании логарифмических и тригонометрических таблиц де Прони" напечатал в 1990 году журнал Annals of the History of Computation. Профессор пишет: "Многие участники этих работ являлись безработными парикмахерами: одним из самых ненавистных символов ancien regime, старого режима, стали аристократические прически. Обязательное сокращение очертаний носимых на голове волос до "простейших форм", как выражаются геометры, привело к упадку парикмахерского ремесла. И мастера стрижки переквалифицировались в специалистов по элементарной арифметике".

Как объясняет Граттан-Гиннесс, проект организовали весьма продуманно, "чтобы избежать необходимости умножать и делить, сведя требуемые расчеты к сложению и особенно вычитанию, с которым, как предполагалось, парикмахеры должны неплохо справляться". Брадобреи завершили эту работу за неполных 3 года. Насколько мне известно, историки пока так и не выяснили, чем же парикмахеры-математики занимались в дальнейшем.

Archibald R. C. (1943). Tables of Trigonometric Functions in NonSexagesimal Arguments. Mathematical Tables and Other Aids to Computation 1 (2): 33–44.

Grattan-Guinness I. (1990). Work for the Hairdressers: The Production of de Pronys Logarithmic and Trigonometric Tables. Annals of the History of Computation 12: 177–185.

Теорема о Сэндвиче с Ветчиной уже более полувека служит для математиков и кнутом, и пряником. До сих пор не утихают споры насчет того, кто ее вывел, однако пока этот вопрос окончательно не решен.

Теорема о Сэндвиче с Ветчиной относится к сфере математики, которая именуется алгебраической топологией. Теорема отражает лишь часть правды, притом лишь о сэндвичах нескольких разновидностей (с точки зрения формы). Большинство опубликованных на данную тему работ во всех подробностях разъясняют это тем, кто почему-либо не является специалистами по алгебраической топологии. Однако авторы опубликованной в 2001 году статьи "Крошки Теоремы о Сэндвиче с Ветчиной" позаботились еще об одной мелочи: они изложили идею теоремы доступным языком.

Как пишут авторы, Теорема Сэндвича с Ветчиной "утешает беспечного изготовителя сэндвичей, гарантируя, что сэндвич всегда можно одним движением разрезать так, чтобы и ветчина, и оба куска хлеба оказались разделены поровну, вне зависимости от того, насколько неаккуратно расположены ингредиенты".

Некоторое время большинство теоретиков сэндвичей с ветчиной имели дело лишь с простыми случаями. В этом смысле характерна статья "Расчеты параметров двухмерного разреза сэндвича с ветчиной", напечатанная в 1986 году Journal of Symbolic Computation. В ней рассматриваются лишь те сэндвичи с ветчиной, которые сделаны даже более плоскими, чем те, которые мог бы решиться изготовить самый прижимистый повар. Математики часто так работают: они берут крайние случаи, тщательно их пережевывают и лишь затем переходят к более сложным моделям. Статья "Расчеты параметров двухмерного разреза сэндвича с ветчиной" даже содержит раздел "Исключение вырожденных вариантов".

И все-таки человечеству удалось разрешить таинственную проблему разрезания толстого сэндвича с ветчиной. После чего, разумеется, ученые почувствовали аппетит к еще более важным проблемам.

В 1990 году югославские теоретики обрадовали журнал Bulletin of the London Mathematical Society работой "Расширение Теоремы Сэндвича с Ветчиной". Два года спустя теоретик из Ярославского государственного университета выпустил работу под названием "Обобщение Теоремы Сэндвича с Ветчиной". В тот же год команда изголодавшихся по настоящей деятельности американских, чешских и немецких математиков собрала выдающуюся коллекцию рецептов разрезания сэндвичей с ветчиной. Впрочем, математики практически никогда не употребляют слово "рецепт", поэтому свой опус они назвали "Алгоритмы разрезов для сэндвичей с ветчиной". Вы можете найти его в декабрьском номере журнала Discrete and Computational Geometry за 1994 год.

Затем сэндвичеведы обратились к экзотическим проблемам, лишь косвенно связанным с основной тематикой их изысканий. Примером может служить статья 1998 года под названием "Зеленые яйца и окорок" [9].

Полигональное представление ветчины и яиц. Ножевой разрез, делящий ветчину на равные по площади куски (иллюстрация к статье "Зеленые яйца и окорок").

Кто же стоял у истоков всех этих исследований, кто ввел сэндвич с ветчиной в сферу математических штудий? Данный вопрос долго оставался без ответа, пока в 2004 году не появилась статья "История раннего периода развития Теоремы о Сэндвиче с Ветчиной", авторы которой историки математики У. А. Бейер и Эндрю Зардески из Лос-Аламосской национальной лаборатории (Нью-Мексико) утверждают, что это некий еврейский ученый-теоретик по имени Гуго Штейнгауз. Бейер и Зардески отыскали "статью 1945 года, написанную польским математиком Гуго Штейнгаузом", которая "дает представление о работе Штейнгауза по разрешению проблемы сэндвича с ветчиной во время Второй мировой войны, когда он скрывался от нацистов в семье польских крестьян".

Byrnes G., Cairns G., Jessup B. (2001). Leftovers from the Ham Sandwich Theorem. American Mathematical Monthly 108 (3): 246–249. Beyer W. A., Zardecki A. (2004). The Early History of the Ham Sandwich Theorem. American Mathematical Monthly 111 (1): 58–61. Edelsbrunner H., Waupotitsch R.(1986). Computing a Ham-Sandwich Cut in Two Dimensions. Journal of Symbolic Computation 2 (2): 171178.

Zivaljevic R. T., Vrecica S. T. (1990). An Extension of the Ham Sandwich Theorem. Bulletin of the London Mathematical Society 22 (2): 183–186. Dolnikov V. L., Demidov P. G. (1992). A Generalization of the Ham Sandwich Theorem. Matematicheskie Zametki 52 (2): 27–37.

Lo Ch.-Y., Matousek J., Steiger W. (1994). Algorithms for Ham-Sand-wich Cuts. Discrete and Computational Geometry 11 (1): 433–452. Kaiser M. J., Hossaien Cheraghi S. (1998). Green Eggs and Ham. Mathematical and Computer Modeling 28 (1): 91–99.

Abbott T. G., Burr M. A., et al. Dynamic Ham-Sandwich Cuts in the Plane. Computational Geometry 42 (5): 419–428.

Steiger W., Zhao J. (2009). Generalized Ham-Sandwich Cuts. Discrete and Computational Geometry. 44 (3): 535–545.

Да, есть оптимальный (с математической точки зрения) способ налить себе вторую чашку кофе. Во всяком случае, так утверждается в статье под устрашающим названием "Рекурсивные бинарные разностные последовательности".

О том, что такой способ вообще существует, никто не подозревал до 2001 года, когда Роберт М. Ричмонд как раз и опубликовал свой нехитрый рецепт в журнале Complex Systems. В течение последующих лет, ознаменованных выпиванием по всему миру миллиардов чашек кофе, этот секрет был доступен всем желающим.

"Проблема состоит в том, что первая порция кофе, выходящая из фильтра, много крепче, нежели последняя, поэтому на дне кофейника напиток крепче, нежели тот, что находится в верхней его части, — поясняет Ричмонд. — Перемешивание жидкости в кофейнике не обеспечивает должной гомогенизации напитка. Однако ее можно добиться, если правильно наливать сваренный кофе".

Все просто. Приготовьте кофе в стеклянном кофейнике — на двоих. Теперь возьмите две чашки, назовем их А и В. Процедуру наливания в ту или иную чашку также обозначим как А и В. Затем: "Если у вас хватит терпения 4 раза налить одинаковые порции, вы можете применить следующие допустимые последовательности наливания: ААВВ, АВВА или АВАВ".

Допустим, вы избрали вариант АВВА и последовали этой схеме.

Готово. Теперь у вас две чашки кофе практически идентичного вкуса.

Ричмонд дает советы привередам: "Если вы хотите еще сильнее уменьшить эту разницу и у вас достаточно терпения, можно налить 8 порций равного объема, по 4 в каждую чашку. Число возможных последовательностей теперь составляет 35". По расчетам автора, оптимальная среди них — АВВАВААВ.

А если вы еще более разборчивы, Ричмонд готов дать совет и вам: "Можно налить 16 порций, по 8 в каждую чашку. Существует 6435 соответствующих последовательностей наливания". Автор называет лучшую: ABBABAABBAABABBA.

Аналогичные проблемы смешивания присутствуют в современной жизни повсюду. Как равномерно распределить частицы красителя, когда вы размешиваете краску? Те же проблемы относятся, как ни странно, даже к спорту: как правильно подобрать баскетбольную команду? "Рассмотрим наиболее справедливый способ, который могут применять капитан А и капитан В при наборе команд", — начинает давать очередные инструкции Ричмонд. Традиционный метод (сначала одного игрока выбирает себе А, затем B, далее они продолжают чередоваться) часто приводит к тому, что одна команда оказывается значительно сильнее другой. Следует воспользоваться кофейным методом, который, скорее всего, позволит распределить спортивный талант наиболее равномерно, насколько это вообще возможно. Капитан А начинает первый, четвертый, шестой и седьмой раунд отбора игроков, а капитан В — второй, третий, пятый и восьмой".

Математическое объяснение этого метода базируется на так называемых функциях Уолша, которые могут принимать только значения 1 и -1 (как тумблер, способный находиться либо в положении ВКЛ, либо в положении ВЫКЛ), и суммируются разными полезными способами.

Автор заканчивают статью с некоторой печалью, но с определенной степенью объективности: "Как часто бывает с важными открытиями, результаты данных исследований могут еще какое-то время не найти практического применения, значимого с точки зрения науки".

Ричмонд, профессор химии университета Маунт Сент-Мэри (Эммитсберг, штат Мэриленд), недавно вышел на пенсию. Теперь у него появилось больше времени для любимой задачи. Он пишет: "У меня ушло более 10 лет на то, чтобы разработать математический аппарат для решения этой задачи, лежащей далеко за пределами моей основной специальности. Сейчас я пытаюсь найти математика, работающего в области классической теории чисел, и привлечь его к продолжению моего исследования: мне кажется, теперь я могу разработать оптимальный способ и показать, как правильно налить три чашки кофе".

Richmond R. M. (2001). Recursive Binary Sequences of Differences. Complex Systems 13: 381–392.

Фунт свинца кажется легче фунта перьев: это давно подозревали, но толком не проверяли до 2007 года, когда Джеффри Б. Уогмен, Корина Циммерман и Кристофер Соррик провели эксперимент, в ходе которого использовали свинец, перья, пластиковые пакеты, картонные коробки, кресло, темные очки и 23 добровольца из города Нормал (штат Иллинойс).

Уогмен, Циммерман и Соррик работают в Университете штата Иллинойс, который как раз и располагается в Нормале. В статье под названием "Что кажется тяжелее — фунт свинца или фунт перьев? Возможные перцептуальные основы одной когнитивной загадки", которую опубликовал журнал Perception, они объясняют, почему вообще взялись за это непростое дело. "Что весит больше — фунт свинца или фунт перьев? Наивный (казалось бы) ответ на эту знаменитую загадку — фунт свинца, тогда как правильный ответ — они весят одинаково". Однако, замечают авторы, "очень может быть, что в действительности наивный ответ — вовсе не такой наивный. Уже более 100 лет психологам отлично известно, что два предмета равной массы могут ощущаться разными по тяжести — в зависимости от распределения веса в этих предметах".

Ученые насыпали фунт свинцовой дроби в пластиковый пакет, запечатали его и прикрепили клейкой лентой к внутренней части дна картонной коробки. Для простоты давайте называть этот объект Коробкой со свинцом на дне. Затем они набили фунт гусиных перьев в большой пластиковый мешок. Мы знаем, что такое перья и пластиковые мешки: рыхлая совокупность мешка и перьев заняла весь объем другой картонной коробки, которая выглядела точно так же, как и Коробка со свинцом на дне. Давайте называть ее Коробкой с перьями, равномерно распределенными по всему ее объему.

Далее начался собственно опыт. Один за другим добровольцы садились в кресло, надевали специальные темные очки (сквозь которые ничего не видно), затем "приподнимали свою основную рабочую руку, держа ее ладонью кверху и расслабив пальцы. Сначала на ладонь участника клали одну коробку, затем другую. Испытуемый взвешивал каждую коробку на руке и сообщал, какая ему кажется тяжелее".

Чуть больше половины участников эксперимента сообщили, что Коробка со свинцом на дне представляется им тяжелее, чем Коробка с перьями, равномерно распределенными по всему ее объему.

Взвесив полученные данные, исследователи рискнули высказать квалифицированное предположение относительно того, почему одна из коробок казалась испытуемым тяжелее. Возможно, решили ученые, это происходило из-за того, что "масса перьев распределена во внутреннем объеме коробки более или менее равномерно (иными словами, перья целиком заполняли коробку), тогда как масса свинца распределялась вдоль вертикальной оси несимметрично (коробка была "тяжелее в нижней части"). Следовательно, коробку, содержащую свинец, было труднее контролировать, вот почему она казалась тяжелее".

Ученые не стали проверять, как отреагируют испытуемые, если им дать коробку, где свинец зафиксирован строго в ее пространственной середине, а не прикреплен ко дну. Эту задачу они оставили своим последователям.

Wagman J. B., Zimmerman C., Sorric Ch. (2007). "Which Feels Heavier — A Pound of Lead or a Pound of Feathers?" A Potential Perceptual Basis of a Cognitive Riddle. Perception 36: 1709–1711.

РЕКОМЕНДУЕМ

Т. Дж. Пеннингс. "Знают ли собаки интегральное и дифференциальное исчисление?" Опубликовано в 2003 г. в College Mathematics Journal.

М. Болт, Д. С. Исаксен "Собакам не нужно интегральное и дифференциальное исчисление". Опубликовано в 2010 г. в College Mathematics Journal.

С математической точки зрения улыбающаяся рожица весьма выразительна. Пририсовав прищуренные глаза, растянутый до ушей рот и прочее к сложному набору цифр, можно научиться рассматривать их более удобным способом. Герман Чернов поведал об этом еще в 1973 году, когда Journal of the American Statistical Association опубликовал его статью "Использование лиц для графического представления точек K-мерного пространства". Поэтому такие штуки стали называть "лицами Чернова". Они придают некую душевность статистическому анализу.

Большинство людей, когда им показывают какие-нибудь статистические данные, вздыхают или даже отшатываются. Однако Герман Чернов понимал, что при этом почти каждый из нас прекрасно умеет читать выражение лица, и потому разработал рецепты для превращения любого набора статистических данных в эквивалентный набор нарисованных рожиц. Каждую точку, соответствующую определенным данным, пишет ученый, можно "представить карикатурным изображением лица, чьи черты, такие, как длина носа или изгиб рта, соответствуют определенному компоненту данных. Следовательно, каждый набор данных со многими переменными можно визуализировать в виде схематического лица, нарисованного с помощью компьютера. В итоге человеческое сознание с легкостью воспринимает важные закономерности в этих данных, их однородность или неоднородность".

"Использование лиц для графического представления точек К-мерного пространства" — редкий пример статистического исследования, где есть не только сухие цифры, но и веселые картинки. Так, одну из страниц заполняют 87 схематических лиц, слегка отличающихся друг от друга. У каких-то физиономий маленькие глазки-бусинки, у каких-то — большие, испуганно вытаращенные. У некоторых — рот до ушей, у других — маленький, с поджатыми губами, "меня тут нет, не замечайте меня", а у кого-то — рот средних размеров. На другой странице — еще одна подборка смешных рисунков: круглые головы простачков, вытянутые головы инопланетян, головы, напоминающие лягушачьи. Конечно, повсюду вставлен необходимый статистический аппарат: таблицы с цифрами, дифференциальные и интегральные уравнения. И все это сдобрено изрядной дозой специальных терминов.

Чернов экспериментальным путем обнаружил, что человек способен без особых проблем интерпретировать выражение лица, содержащее в себе очень много данных. "В настоящий момент, — пишет он, — количество используемых нами переменных достигает 18, однако это число можно сравнительно легко увеличить, добавив другие черты — например, уши, волосы, морщины".

Мир уже начал применять лица Чернова на практике, хотя пока и не очень широко. Так, в статье "Представление многомерных данных с помощью лиц", которую напечатал в 1981 году Journal of Marketing, сообщается о представлении с их помощью обобщенных финансовых данных и дается такое пояснение: "На протяжении периода с года 5 до года 1 нос сужается и удлиняется, размер глаз увеличивается. Эти черты лица отражают падение общего объема активов, уменьшение доли нераспределенной прибыли в общем объеме активов и рост потока денежной массы".

Представление финансовой деятельности с помощью лиц Чернова (за 1–5 лет до кризиса). США, федеральный уровень.

В самом конце черновской статьи 1973 года имеется намек на практическое обстоятельство, которое помешало этой идее сразу прижиться: "В настоящее время стоимость рисования таких лиц составляет от 20 до 25 центов за одно лицо (на IBM 360-67 в Стэнфордском университете, при помощи графического устройства "Calcomp Plotter"). Основная часть стоимости приходится на программирование, и я надеюсь, что ее вскоре удастся значительно снизить".

Chernoff H. (1973). The Use of Faces to Represent Points in K-Dimen-sional Space Graphically. Journal of the American Statistical Association 68 (342): 361–368.

Huff D. L., Mahajan V., Black W. C. (1981). Facial Representation of Multivariate Data. Journal of Marketing 45 (4): 53–59.

Эдди Левин с лондонской Харли-стрит, улицы, знаменитой своими дорогими клиниками, придумал золотое сечение для человеческого рта, а это посложнее, чем ставить золотые зубы. Доктор Левин занимается данной проблемой уже довольно давно. Именно ему принадлежит статья "Стоматологическая эстетика и золотая пропорция", которая украшает страницы 244–252 сентябрьского номера Journal of Prosthetic Dentistry за 1978 год.

Золотая пропорция — особое число, которое с давних пор привлекает внимание и воображение математиков, художников, а теперь, благодаря Левину, еще и дантистов. Некоторые именуют эту величину "золотым средним" (хотя философы имеют в виду некое особое усреднение), некоторые — "золотым сечением". Немцы называют его "goldener Schnitt", как бы настаивая, что "сечение" — от близкого их сердцу слова "сечь". Но почти все сходятся во мнении, что это число прекрасно.

Золотое сечение — число, которое вы получаете, сравнивая определенные части определенных прекрасных в своем совершенстве объектов (среди них — спирально закрученные ракушки, афинский Парфенон, "Тайная вечеря" Леонардо да Винчи). Проводя такое сравнение, вы обнаружите, что отношение большей части целого к меньшей равно отношению их общего размера к размеру большей части (иными словами, A/B = (A + B)/A при A > B). Это число всегда одинаково и составляет чуть больше 1,6180339.

Если вам мучительно заниматься всеми этими сложениями и делениями, просто найдите кого-нибудь из знакомых с отличными зубами, который (или которая) позволит вам спокойно заглянуть к нему (или к ней) в рот.

Левин объясняет, что много лет назад он изучал математику и при этом пытался понять, что придает красоту зубам. "И вдруг, — пишет он, — у меня, словно у Архимеда в ванне, случилось озарение. Я осознал, что эти две вещи связаны — Золотое Сечение и красота зубов. Я начал проверять эту идею на практике, исследуя ротовую полость моих пациентов. Первым объектом стала девушка в больнице, где я вел занятия. Ее передние зубы находились в ужасном состоянии, следовало поставить на них коронки. Несмотря на скептицизм персонала и полное отсутствие энтузиазма со стороны зубных техников, с которыми мне приходилось работать и без которых я не мог обойтись, я поставил коронки на все ее передние зубы, руководствуясь правилом Золотого Сечения. И все, в том числе и сама юная леди, согласились, что теперь ее зубы выглядят просто великолепно".

Важнее всего, по мнению Левина, простое соотношение размеров зубов: "Четыре передних зуба, от центрального резца до премоляра, являются главной составляющей улыбки и должны находиться в отношении Золотого Сечения друг к другу".

Левин разработал специальный инструмент, который он назвал "измерителем золотого сечения". Устройство сделано из нержавеющей стали, имеет 1,5 мм в толщину и продается по цене 85 фунтов стерлингов за штуку. Оно позволяет определить, находятся ли многочисленные узловые стоматологические пункты "в Золотом Соотношении", и его удобно стерилизовать в автоклаве. Дантист предлагает также увеличенный вариант прибора, который может пригодиться "для измерения всего лица", а также "для измерения более крупных объектов, картин, предметов мебели и т. п.".

Levin E. I. (1978). Dental Esthetics and the Golden Proportion. Journal of Prosthetic Dentistry 40 (3): 244–252.

Январь 1995 года стал знаковым для науки о сыре. Мария Н. Чараламбидес и два ее коллеги, Дж. Г. Уильямс и С. Чакрабарти, опубликовали масштабный труд "Исследование влияния процесса старения на механические свойства сыра "чеддер"". В нем демонстрируется новый метод математических расчетов для сыра.

Чараламбидес — старший преподаватель факультета инженерной механики лондонского Имперского колледжа. Ее статья начинается с двухстраничного обзора некоторых въедливых исследований сыра, предпринятых ранее. Эти изыскания, по большому счету, сводились к тому, чтобы сжать кусок сыра между двумя пластинами и понаблюдать, как он при этом себя поведет.

Такая работа требует большой тщательности. В 1976 году ученые Кулиоли и Шерман "сообщили об изменениях в поведении сыра "гауда" при сжатии, когда пластины смазывались растительным маслом, а не покрывались чистой бумагой". Два года спустя Шерман вместе с другим коллегой проделали аналогичный опыт с куском "лестера". В дальнейшем другие ученые проводили сходные эксперименты с моцареллой, чеддером и плавленым сыром.

Пластины трутся о сыр, в результате чего он к ним приклеивается. Трение заставляет кусок сыра искривляться (выгибаться наружу или прогибаться внутрь), когда он находится под давлением. И это искривление сводит ученых с ума. Сыр, не подверженный влиянию трения, было бы легче изучать. Но сыра, не подверженного трению, попросту не существует.

"Вполне очевидно, — пишет Чараламбидес, — что количественную оценку фрикционных эффектов при компрессионных экспериментах с сыром проводить весьма сложно". Да, сложно. Однако Чараламбидес и ее коллеги все-таки сумели ее осуществить.

Они подвергали сжатию сырные цилиндры разной высоты, рассчитывая нагрузки и напряжения в каждом из них, а затем строили соответствующие семейства кривых. Дальнейшие (сравнительно тривиальные) вычисления позволили отыскать подлинный грааль сыроведения: метод оценки того, как сыр (если не учитывать воздействия трения) будет вести себя под давлением.

И тут мы подходим к главному: этот метод позволяет количественно оценить, как поведение сыра меняется, когда он взрослеет, постепенно переходя от младенчества к старости. Сыропроизводители будут вне себя от счастья, если сумеют определять возраст сыра при помощи вполне простого механического теста.

Чараламбидес и ее команда проводили и испытания сыра на разрушение. Как и компрессионные тесты, они осуществлялись для сыров самого разного возраста, что позволило получить числовую картину поведения сыра от его рождения до зрелости (которая у этого продукта наступает обычно в 7 месяцев) — и далее, до старости.

Статья Чараламбидес и ее коллег представляет собой захватывающее чтение для всех, кто разбирается в сырах и при этом обладает хотя бы небольшими практическими познаниями в области материаловедения. Однако самые тонкие знатоки сыров могли заметить, что в ходе этой работы изучались только три сорта — мягкий чеддер, острый чеддер и "монтерей джек".

На следующий год, в июне 1996 года, ценители моцареллы наверняка выстраивались в длиннейшие очереди, чтобы купить свежий номер Journal of Food Science, где они могли прочесть статью М. Махмет Ака и Сундарам Гунасекаран "Динамика реологических свойств сыра "моцарелла" при его хранении в замороженном виде". С тех пор еще множество ученых сжимало и дробило множество сортов сыра, иной раз погружаясь даже в царство мягких сыров. Математические методы механических испытаний сыра теперь уже не просто мечта романтиков — это реальность.

Charalambides M. N., Williams J. G., Chakrabarti S. (1995). A Study of the Influence of Ageing on the Mechanical Properties of Cheddar Cheese. Journal of Materials Science 30: 3959–3967.

Ak M. M., Gunasekaran S. (1996). Dynamic Rheological Properties of Mozzarella Cheese During Refrigerated Storage. Journal of Food Science 61 (3): 566–569.

Lee S. K., Anema S., Klostermeyer H. (2004). The Influence of Moisture Content on the Rheological Properties of Processed Cheese Spreads. International Journal of Food Science & Technology 39 (7): 763–771.

Обычные небольшие пластмассовые линейки, какие бесплатно выдаются во многих магазинах, неточны, неудобны, осквернены рекламными надписями, а потому заслуживают лишь умеренного уважения со стороны метрологов. В 1994 году два метролога попытались определить степень этого уважения.

Метрологи вечно придумывают все более точные способы измерения всяких штук. Метрологическое сообщество неустанно и весьма пылко обсуждает новые стандартные дефиниции для незыблемо важных, никогда не достигающих желанного идеала стандартов, самые знаменитые из которых — килограмм, метр и секунда.

Отец и сын Т. Д. Дойрон и Д. Т. Дойрон в ходе совместного исследования рассмотрели некий отвергнутый стандарт и в итоге написали доклад под названием "Метрология параметра длины, определяемого с помощью бытовых пластиковых линеек", который привлек значительный интерес на конференции по измерительным наукам, прошедшей в Пасадине (штат Калифорния) в 1994 году.

Теодор Дойрон — член группы метрологии линейных измерений Национального института стандартов и технологий США. Его сын Дэниэл в то время еще учился в школе.

Доклад двух Дойронов подчеркивает два противоположных тезиса. Метрологи иногда выражают презрение по отношению к маленьким пластмассовым линейкам (специалисты сокращенно именуют их МПЛ), поскольку они сделаны из дешевого полистирола и при их изготовлении допускаются слишком большие отклонения от стандартов. Однако в глубине души метрологи питают уважение к этим изящным, полезным, гладким, плоским предметам с четырьмя прямыми рабочими краями и верхней частью, которая может похвастаться изрядным количеством нанесенных на нее значков и делений на краях обсуждаемого приспособления.

Дойроны поясняют двойственность своего отношения к данному предмету: "Практически у каждого активно работающего ученого или инженера имеется на столе некоторое количество МПЛ, каковые они постоянно используют при создании первоначальных чертежей практически всех предметов, производимых затем на фабриках и заводах. Беглое изучение творений инженеров показывает, что эти первые наброски, основа производственных отраслей нашей экономики, во многом сделаны при помощи МПЛ. Несмотря на существование государственного стандарта для пластмассовых линеек — Федерального стандарта GG-R-001200-1967 и более нового — A-A-563 (1981), никогда не проводилось систематического метрологического исследования этого базового инструмента национальной измерительной системы".

Дойрон-отец и Дойрон-сын изучили 50 линеек, которые они "собрали за долгий период времени на различных конференциях и у различных коллег". Постаравшись при помощи этих линеек поизмерять всякие предметы как можно лучше (как хорошие метрологи они действительно умели неплохо измерять вещи), Дойроны пришли к некоторым выводам. Во-первых, большинство бытовых пластмассовых линеек "довольно четко" соответствуют официальному стандарту (хотя он сам по себе сформулирован нечетко). Во-вторых, чем старше линейка, тем она, скорее всего, точнее.

Национальный институт стандартов и технологий (НИСТ), как сообщил мне один важный чиновник, сам однажды заказал для своих сотрудников набор бытовых пластмассовых линеек. Когда заказ доставили, выяснилось, что линейки откалиброваны отвратительно. В качестве меры предосторожности (в конце концов, почтенному институту не хотелось пятнать свою репутацию) и, возможно, не без обиды и смущения НИСТ вернул эти линейки производителю.

Doiron D. T., Doiron Th. D. (1994). Length Metrology of Complimentary Small Plastic Rulers. Proceedings of the Measurement Science Conference, Anaheim, Calif.

"Задача ленивого бюрократа" возникла давно, вместе с самой бюрократией. В 1990-е годы некоторые математики обратили на нее пристальное внимание. С тех пор они продвинулись вперед, добившись определенных успехов. Некоторых эти успехи впечатляют, некоторым кажутся незначительными. Тут все зависит от точки зрения.

Четверка ученых из Университета штата Нью-Йорк (Стони-Брук) напечатала первое официальное сообщение о своих изысканиях под названием "Задача о графике работы ленивого бюрократа" в журнале Algorithms and Data Structures. Эстер Аркин, Майкл Бендер, Джозеф Митчелл и Стивен Скиена описывают типичного ленивого бюрократа, превращая этого неприятного типа в целый набор формул, теорем с доказательствами и алгоритмов.

У этого чиновника весьма ограниченный ум. Аркин, Бендер, Митчелл и Скиена поясняют: цель такого бюрократа — "минимизировать объем работы, которую он выполняет (он "ленив"). При этом существует важное условие: он должен быть занят, когда имеется работа, которую он может делать. В итоге возникает целый класс проблем "извращенного" рабочего графика, которые мы в совокупности именуем "Задачей ленивого бюрократа" и которые порождают целый ряд новых вопросов".

Другие математики и ученые-компьютерщики тоже предпринимали атаки на ленивых бюрократов. Так, Араш Фарзан и Мохаммад Годси из тегеранского Технологического университета Шариф в 2002 году представили в Иранском центре телекоммуникационных исследований свою статью под названием "Новые результаты решения задачи рабочего графика ленивого бюрократа". Они объявили, что с математической точки зрения для ленивого бюрократа практически невозможно действовать эффективно. Задачу, добавляют они, "трудно решить даже приближенно". Иными словами, никто с уверенностью не скажет, что проблему вообще можно решить, даже если кто-нибудь станет беспрерывно работать над ней до скончания времен.

В 2003 года Годси и два других его коллеги представили новую работу — "Задача об обычном графике работы ленивого бюрократа". Они задались вопросом: что произойдет, если на ленивого бюрократа наложить более жесткие ограничения? Ответ: задача станет лишь чуть менее "почти неразрешимой".

Как показывают подобные изыскания, построить математическое описание неприятных личностей, по крайней мере некоторых из них, можно. В теории (на бумаге или на компьютере) наверняка существуют более эффективные (хотя и не обязательно удачные) способы как-то с ними справиться.

Впрочем, если мы "справились с проблемой", это не обязательно означает, что мы ее решили.

Математики, занимающиеся задачами ленивых бюрократов, применяют довольно ленивый подход. Никто из них не берется за тяжелый труд, необходимый для реального решения проблемы: они не дают советов, как избавиться от ленивых бюрократов, и вместе с большинством нематематиков, позволяют праздным чиновникам и дальше продолжать их деятельность, тормозя развитие административной системы.

Настоящий труженик, читая эти статьи, может почувствовать, что он постепенно сходит с ума. Однако так чувствуют себя не все. В 2008 году британское Королевское экономическое общество выпустило пресс-релиз "Ленивые бюрократы: благословенная маскировка". Вовсю расхваливая исследование, которое провели Йоссе Дельфгаув и Роберт Дур из Университета имени Эразма Роттердамского (расположенного в Роттердаме, соответственно), уважаемые члены Королевского общества замечают: "Наем ленивого персонала на чиновничьи должности помогает поддерживать стоимость госуслуг на низком уровне". Впрочем, само исследование заключает в себе больше тонкостей.

Arkin E. M., Bender M. A., Mitchell J. S. B., Skiena S. S. (1999). The Lazy Bureaucrat Scheduling Problem. Algorithms and Data Structures 1663: 773–785.

Farzan A., Ghodsi М. (2002). New Results for Lazy Bureaucrat Scheduling Problem. Proceedings of the 7th CSI Computer Conference, Iran Telecommunication Research Center, Tehran, 3–5 March 2002: 66–71. Esfahbod B., Ghodsi М., Sharif А. (2003). Common-Deadline Lazy Bureaucrat Scheduling Problems. Algorithms and Data Structures: Proceedings of the 8th International Workshop, WADS, Ottawa, Canada, 30 July — 1 August: 59–66.

Gai L., Zhang G. (2008). On Lazy Bureaucrat Scheduling with Common Deadlines. Journal of Combinatorial Optimization 15 (2): 191–199.

О ПОВЫШЕНИЯХ ПО СЛУЖБЕ, ПРОИЗВОДИМЫХ СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ

Три итальянских ученых получили в 2010 году Игнобелевскую премию в области менеджмента за математическое доказательство того, что организация работает эффективнее, если повышает сотрудников методом случайной выборки. Однако это исследование — не первое и не последнее в бесконечной истории о том, как бюрократы пытаются (тщетно) отыскать правильный метод повышения персонала.

Алессандро Плучино, Андреа Раписарда и Чезаре Гарофало, работающие в Университете Катании (Сицилия), провели количественное сравнение схемы случайного повышения с другими, более почтенными методами. Подробности они приводят в статье "Пересмотр принципа Питера: вычислительный подход", которую опубликовал журнал Physica A: Statistical Mechanics and its Applications.

Противоположные подходы к методам повышения. Центральная точка — пересечение "кривой здравого смысла" и "кривой принципа Питера" — соответствует "самой удобной стратегии, которую можно применить, если вы не знаете, какой механизм передачи знаний и навыков действует в данной организации". Из работы "Пересмотр принципа Питера: вычислительный подход".

В основу своей работы Плучино, Раписарда и Гарофало положили знаменитый принцип Питера, согласно которому в ходе повышений по службе многие рано или поздно занимают должность, превышающую уровень их компетенции.

Трое ученых цитируют труды других исследователей, делавших робкие шаги в том же направлении. Однако они не упоминают (видимо, ненамеренно) смелое исследование Стивена Фелана и Жанга Лина, работающих в Техасском университете (Даллас): их работу "Системы служебного повышения и организационная эффективность: вероятностная модель" опубликовал в 2001 году журнал Computational and Mathematical Organization Theory.

Фелан и Лин желали все-таки в конце концов разобраться, что лучше — повышать сотрудников благодаря их предполагаемым достоинствам (то есть тем или иным способом определяя, хороший ли вы сотрудник) или по принципу "вверх или вон" (или мы вас быстро повышаем, или выкидываем на улицу). В качестве точки отсчета, наихудшего варианта из возможных, они рассматривали вариант, при котором выясняли, что произойдет, если повышать людей по случайной выборке. Ученых ожидал сюрприз: повышение случайным методом, с восхищением пишут они, "оказалось эффективнее", чем почти все прочие варианты. Фелан и Лин были почти потрясены и даже испуганы своей находкой (по крайней мере, такой вывод я сделал, прочитав их статью).

Но позже, независимо от них, Плучино, Раписарда и Гарофало придут к тем же результатам, красиво подав и разрекламировав свое открытие, чтобы им восхитился весь мир. Фелан и Лин пробормотали о том же самом посреди длинного нудного абзаца — мол, "этот факт подлежит дальнейшему исследованию в наших будущих работах". И затем они, в общем-то, перешли в изучению совсем других вещей.

Человеческие существа отличаются изрядным умом — если не все, то многие. Всегда есть возможность придумать новый (не исключено, что более эффективный) метод выбора, кого из сотрудников вашей организации повысить. Сравнительно недавно Федон Николаидес из Европейского института государственного управления в Маастрихте (Нидерланды) предложил усовершенствование (во всяком случае, так он считает) метода повышения сотрудников по случайной выборке: случайным методом выбирать тех, кто будет принимать решение о повышении других. Свою схему профессор Николаидес опубликовал в газете Cyprus Mail.

Совсем иной метод, уже не связанный со случайными выборками, изобрели для американских Военно-воздушных сил. С подробностями можно ознакомиться в 170-страничной статье "Система взвешенного повышения летного персонала. Стандартизация при анализе тестов", которую в 2008 году явили миру Майкл Шифер, Альберт Робберт, Джон Краун, Томас Манакапилли и Кэролин Вонг из Rand Corporation. Однако, при всех своих достоинствах, военные скорее всего отвергнут предлагаемую систему — из-за ее забавного названия.

Pluchino A., Rapisarda А., Garofalo С. (2010). The Peter Principle Revisited: A Computational Study. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 389 (3): 467-72.

Phelan S. E., Lin Zh. (2001). Promotion Systems and Organizational Performance: A Contingency Model. Computational & Mathematical Organization Theory 7: 207–232.

Schiefer M., Robbert A. A., et al. (2008). The Weighted Airman Promotion System. Standardizing Test Scores. Rand Corporation report prepared for the US Air Force, http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD= ADA485497&Location=U2&doc=GetTRDoc.pdf