Евклид. Геометрия

Эпилог

XIX век в геометрии завершился появлением фундаментального труда гениального немецкого математика Давида Гильберта «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie). С ним сформировался (хотя может показаться, что еще формируется) определенный подход к пониманию математики. Гильберт аксиоматизировал евклидову геометрию, но сделал это, не прибегая к геометрической интуиции. Он говорил:

«Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость» другими, столь же условными: «стул, стол, пивная кружка»!»

Разница между этими текстами Евклида и Гильберта состоит в использовании интуиции и наглядных соображений. Гильберт пытается избавиться от субъективности в науке. Для этого он прибегает к строгому формализму: аксиомы определяют отношения между геометрическими объектами (и они не требуют других определений, кроме самих этих аксиом), и на их основе, используя инструментарий формальной логики, создаются теоремы. При этом подходе невозможно вывести утверждение и его опровержение (на этой особенности основан метод доведения до абсурда), и непротиворечивость теории, построенной таким образом, подразумевает существование гео-

метрических объектов. Гильберт попытался создать твердую основу математики, после того как потерпел поражение подход, основанный на теории типов Рассела. Вдохновившись этим новым веянием в математической науке, выдающийся французский ученый Жан Дьёдонне во время семинара в 1969 году воскликнул: «Долой Евклида!» Этими словами он вовсе не принижал заслуги гениального александрийского математика, но стремился раскритиковать чрезмерное насаждение его геометрического учения в школах того времени. Так в начале 1970-х зарождалась наука, позже названная современной математикой, — новый подход к математике, имевший невероятный успех. Гильберт говорил:

«Моя мысль заключается в следующем: несмотря на высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода, аксиоматический метод [...] предпочтительнее, поскольку дает окончательную картину наших знаний и их безупречной логической точности».

И все же спустя 20 лет его метод оказался «слишком современным». Через 2000 лет после написания «Начал» дискуссия о педагогической ценности евклидовых теорий — с точки зрения генетического метода — открыта снова.